Tussen twee grfieken De functie f is gegeven door f ( ) =. In figuur zijn op het intervl [0, ] de grfiek vn f en de lijn = getekend. De grfiek vn f en de lijn = snijden elkr in het punt T. p de lijn = ligt tussen (0, 0) en T een punt P(p, p). De lijn = p snijdt de grfiek vn f in het punt Q. figuur p P f T = Q p De rechthoek wrvn PQ een zijde is en wrvn de tegenoverliggende zijde op de -s ligt, is in figuur voor een wrde vn p grijs gemkt. De -coördint vn Q is p2. 3p Toon dit n. Er is een wrde vn p wrvoor de oppervlkte vn de rechthoek miml is. 6p 2 ereken ect deze wrde vn p. Het gebied V wordt begrensd door de grfiek vn f, de -s, de lijn = en de lijn =. Zie figuur 2. 6p 3 ereken ect de inhoud vn het omwentelingslichm dt ontstt wnneer V om de -s wordt gewenteld. 2 figuur 2 V f T = = 2
Rkcirkels n een lijn Gegeven zijn twee evenwijdige lijnen k en m en een punt F, niet op m, zo dt de fstnd vn F tot k gelijk is n de fstnd vn k tot m. We bekijken de cirkels die door F gn en n k rken. In figuur zijn enkele vn deze rkcirkels getekend. In elke rkcirkel is de middellijn vnuit F getekend. Elke middellijn heeft behlve F nog een tweede eindpunt op de rkcirkel. De tekening doet vermoeden dt deze eindpunten op een prbool met brndpunt F en richtlijn m liggen. figuur F k m - -
In figuur 2 is een vn de rkcirkels getekend met middelpunt M, middellijn FX en rkpunt R. De loodlijn vnuit F op k en m snijdt k in G en m in H, dus FG = GH. Lijn FR snijdt m in S. Deze figuur stt ook op de uitwerkbijlge. figuur 2 X M F = R G = k Er geldt: FR S = RS. H m 4p 4 ewijs dit. Uit FS = 2 FR en FX = 2 FM en XFS = MFR volgt de gelijkvormigheid vn de driehoeken FXS en FMR (zhz). Met behulp vn deze gelijkvormigheid kn bewezen worden dt XS loodrecht op m stt. 3p 5 ewijs op deze mnier dt XS loodrecht op m stt. 3p 6 ewijs dt punt X inderdd ligt op de prbool met brndpunt F en richtlijn m. - 2 -
uitwerkbijlge 4, 5, 6 X M F R G = = k S H m - 3 -
Etrusie p de foto hiernst zie je enkele stven met verschillende profielen. Profielen kunnen gemkt worden door middel vn etrusie. ij deze techniek wordt bijvoorbeeld verwrmde kunststof door een opening geperst. De opening beplt de vorm vn het etrusieprofiel. In figuur zie je een illustrtie hiervn. foto etrusieprofielen figuur De druk die nodig is om het mteril door de opening te persen, is onder ndere fhnkelijk vn de grootte en de vorm vn de opening. De invloed vn de P vorm hngt f vn het quotiënt. Hierin is P de omtrek vn de opening (in cm) en de oppervlkte vn de opening (in cm 2 ). P 2πr Zo geldt voor cirkelvormige openingen: = = 2 π 3,5. πr2 We vergelijken twee openingen die gelijkvormig zijn. Zie bijvoorbeeld figuur 2. figuur 2 Vn de grote opening zijn de breedte en de hoogte k keer zo groot ls de breedte en de hoogte vn de kleine opening. 3p 7 Toon n dt het quotiënt P voor de grote opening even groot is ls voor de kleine opening. - -
In figuur 3 is een opening getekend wrvn één rnd recht is en de ndere rnd de vorm vn een prbool heeft. De rechte rnd is 4 cm lng. De top vn de prbool bevindt zich 3 cm boven het midden vn de rechte rnd. We nemen een ssenstelsel met de -s lngs de rechte rnd en de -s door de top vn de prbool. De prbolische rnd wordt dn beschreven door de vergelijking 3 = 3 2, met en in cm. 4 figuur 3 4 3 8p 8 ereken de wrde vn het quotiënt ntwoord f op één deciml. P voor de opening in figuur 3. Rond je We vergelijken rechthoekige openingen vn bij cm. In figuur 4 stn drie voorbeelden. figuur 4 In figuur 5 is vn dergelijke rechthoekige openingen de wrde vn het quotiënt P uitgezet tegen. figuur 5 P De grfiek in figuur 5 heeft één top. 5p 9 ereken lngs lgebrïsche weg de -coördint vn deze top. - 2 -
De formule vn Gompertz Verzekeringsmtschppijen en pensioenfondsen mken bij het berekenen vn de premies en uitkeringen een schtting vn de levensverwchting vn verzekerden. Drbij wordt vk een formule gebruikt wrvn de vorm gebseerd is op de resultten vn een onderzoek uit 825 vn de verzekeringswiskundige enjmin Gompertz (779-865). Voor een levensverzekering die op een leeftijd vn 40 jr fgesloten wordt, hnteerde een verzekeringsmtschppij in de 9e eeuw de volgende formule vn Gompertz om het percentge nog levende verzekerden met een beplde leeftijd te schtten: () 9 e 0,06 e 0,0595 t Pt = Hierin is t 40 en geeft Pt () n welk percentge vn de mensen die zo n verzekering fsloten minstens t jr oud wordt. 4p 0 ereken hoeveel jr n het fsluiten vn de levensverzekering volgens deze formule de helft vn de polishouders is overleden. 0,06 e 0,0595 t De gegeven formule is ook te schrijven in de vorm Pt () = 00e m. 3p ereken lngs lgebrïsche weg de wrde vn m. Rond je ntwoord f op twee decimlen. De lgemene formule vn Gompertz heeft de vorm positieve wrden vn, b en k. b e kt Pt () = e, met Een eigenschp vn deze lgemene formule is: P' () t = c ekt Pt () Hierin hngt de wrde vn c f vn de wrden vn b en k. 4p 2 Druk c uit in b en k.
Goniometrische functies De functie f is gegeven door f ( ) = sin+ sin(2 ) op het domein [0, π]. In figuur is de grfiek vn f getekend. Deze grfiek snijdt de -s tussen (0,0) en (π,0) in het punt. 4p 3 ereken ect de -coördint vn punt. figuur 2 f Voor elke positieve wrde vn is de functie f gegeven door f ( ) = sin+ sin(2 ) op het domein [0, π]. In figuur 2 is voor enkele wrden vn de grfiek vn f getekend. figuur 2 2 Voor een beplde wrde vn heeft de grfiek vn f twee toppen en is de -coördint vn een vn deze toppen 5 6 π. 5p 4 ereken in twee decimlen nuwkeurig de -coördint vn de ndere top bij deze wrde vn. Voor elke wrde vn wrvoor geldt 0 < < ligt de grfiek vn 2 f tussen (0, 0) en (π, 0) geheel boven de -s. In figuur 3 is een dergelijke grfiek getekend. 5p 5 Toon n dt de oppervlkte vn het vlkdeel dt wordt begrensd door de grfiek vn f en de -s, onfhnkelijk is vn. figuur 3 2 f
Cirkels bij een driehoek Gegeven is een driehoek C, met punt D op zijde C. In figuur is deze driehoek getekend met zijn omgeschreven cirkel. Figuur stt ook op de uitwerkbijlge. figuur C D De cirkel door D die de lijn rkt in, snijdt de omgeschreven cirkel vn driehoek C behlve in ook in punt E. 3p 6 Teken op de uitwerkbijlge punt E. Licht je werkwijze toe. De cirkel door D die de lijn rkt in en de cirkel door D die de lijn C rkt in C, hebben koorde DF gemeenschppelijk. Zie figuur 2. Figuur 2 stt ook op de uitwerkbijlge. figuur 2 C F D 4p 7 ewijs dt vierhoek FC een koordenvierhoek is. - -
uitwerkbijlge 6 C D 7 C F D - 2 -
Vierknt bij een derdegrdskromme De functie f is gegeven door f ( ) = b 3 met b > 0. 3 De grfiek vn f snijdt de positieve -s in. T is de top vn de grfiek vn f die ligt tussen de -s en de verticle lijn door. De -s, de verticle lijn door, de horizontle lijn door T en de -s sluiten de rechthoek C in. Zie de figuur. figuur C T f 8p 8 ereken ect de wrde vn b wrvoor rechthoek C een vierknt is.