Analytische Mechanica

Analytische Mechanica Universiteit Antwerpen - 2de bachelor fysica Christophe De Beule - Bart Partoens Academiejaar 2013-2014

Inhoudsopgave I. Analytische mechanica 1 1. Lagrangiaanse mechanica 2 1.1. Voorbeeld................................... 2 1.1.1. Newtoniaanse methode........................ 2 1.1.2. Virtuele arbeid............................ 4 1.2. Veralgemeende coördinaten.......................... 6 1.2.1. Vrijheidsgraden en bindingen.................... 7 1.3. Virtuele arbeid................................ 9 1.4. Principe van d Alembert........................... 9 1.5. De Lagrangiaan................................ 10 1.6. Lagrange-vergelijking in willekeurige coördinaten.............. 11 1.7. Symmetrieën en constanten van beweging.................. 12 1.7.1. Ijksymmetrie............................. 12 1.7.2. Theorema van Noether........................ 13 1.7.3. De Hamiltoniaan en behoud van energie.............. 14 1.8. Deeltje in een elektromagnetisch veld.................... 15 2. Hamiltoniaanse mechanica 17 2.1. Variatierekening en het principe van Hamilton............... 17 2.2. De faseruimte................................. 18 2.3. Theorema van Liouville............................ 19 2.4. Poisson haakjes................................ 21 2.5. Canonieke transformaties........................... 22 2.6. Genererende functie.............................. 24 2.7. De Hamilton-Jacobi vergelijking....................... 27 2.8. Verband met kwantummechanica...................... 27 3. Trillingen rond evenwicht 29 3.1. Stabiel of onstabiel evenwicht........................ 29 3.2. Lagrangiaan rond evenwicht......................... 31 3.3. Eenvoudige harmonische oscillator...................... 32 3.4. Gedempte harmonische oscillator...................... 33 3.5. Gedreven harmonische oscillator....................... 35 3.5.1. Constante drijfkracht......................... 36

3.5.2. Greense functie voor de EHO.................... 38 3.5.3. Willekeurige kracht.......................... 40 3.6. Resonantie................................... 41 3.6.1. Ongedempte trilling......................... 41 3.6.2. Ondergedempte trilling........................ 41 3.7. Anharmonische effecten............................ 45 3.7.1. Correctie op de periode........................ 45 3.7.2. Lindstedt-Poincaré storingstheorie.................. 47 3.7.3. Gedreven anharmonische oscillator................. 50 II. Relativiteit 54 4. Tensorrekening 55 4.1. Meetkundig object.............................. 55 4.2. Coördinatentransformatie.......................... 56 4.3. Vectoren.................................... 57 4.4. Duale vectoren................................ 58 4.5. Scalair product en de metrische tensor................... 59 4.6. Tensoren.................................... 60 4.6.1. Bewerkingen met tensoren...................... 62 4.6.2. Levi-Civita tensor........................... 63 4.7. Differentiaaloperatoren............................ 65 III. Chaos 67

Deel I. Analytische mechanica

1. Lagrangiaanse mechanica In de Newtoniaanse vectoriële mechanica wordt een probleem opgelost door elk lichaam en de krachten die er op inwerken afzonderlijk te beschouwen. In dit hoofdstuk zullen we een equivalente formulering van de mechanica introduceren, de Lagrangiaanse analytische mechanica. In deze formulering wordt het fysisch systeem als een geheel beschouwd. Deze methode introduceert geen nieuwe fysische principes, maar ze is wiskundig veel krachtiger dan de Newtoniaanse methode. 1.1. Voorbeeld We beginnen met een voorbeeld om je meer vertrouwd te maken met de belangrijke concepten die je zal tegenkomen in dit hoofdstuk. Beschouw een blok met massa m die wrijvingsloos glijdt over een schuine blok met massa M, die zelf op een wrijvingsloos oppervlak rust, zoals getoond in Fig. 1.1. Er zijn twee vrijheidsgraden in dit systeem, namelijk de kleine blok die naar beneden kan glijden en de schuine blok die horizontaal over het oppervlak kan bewegen. 1.1.1. Newtoniaanse methode Allereerst kiezen we een inertiaalstelsel 1 waar de versnelling van de schuine blok gegeven wordt door A = Aˆx. Als a de versnelling is van de kleine blok t.o.v. de schuine blok, dan is a + A de versnelling van de kleine blok in dit stelsel. Kleine blok De tweede wet van Newton voor de kleine blok wordt gegeven door F = F 1 mgŷ = m( a + A), waar F 1 de normaalkracht is van de schuine op de kleine blok. Zo n kracht noemt men een dwangkracht omdat het de beweging van de kleine blok over de schuine blok houdt. Als we deze vergelijkingen uitschrijven in componenten evenwijdig aan (F ) en loodrecht op (F ) de schuine blok dan vinden we F = mg sin α = ma + ma cos α (1.1) F = F 1 mg cos α = ma + ma sin α, 1 Een inertiaalstelsel is een stelsel dat geen versnelling ondergaat. Alle inertiaalstelsels bewegen met een constante rechtlijnige snelheid t.o.v. elkaar.

Voorbeeld 3 d F 1 mgŷ α Figuur 1.1. waar α de hellingshoek is van de schuine blok. Omdat de kleine blok enkel over de schuine blok kan bewegen geldt dat a = 0, zodat F 1 = mg cos α + ma sin α. (1.2) Schuine blok Naast de zwaartekracht werken er nog twee krachten in op de schuine blok. Volgens de derde wet van Newton wordt een reactiekracht F 1 uitgeoefend door de kleine op de schuine blok. Daarnaast is er nog de dwangkracht F 2 = F 2 ŷ die ervoor zorgt dat er geen verticale beweging is. Voor de schuine blok vinden we dus F = F 1 + F 2 Mgŷ = M A. De verticale component van F 1 wordt gecompenseerd door F 2 Mg en voor de horizontale component geldt F 1 sin α = MA. Als we (1.2) invullen in bovenstaande vergelijking dan vinden we ( ) sin α cos α A = g sin 2. α + M/m Bespreking De verticale component van de versnelling van de schuine blok vinden we met vergelijking (1.1) en wordt gegeven door ( ) M + m a y = a sin α = g sin 2 α M + m sin 2. α

Voorbeeld 4 Als de kleine blok vanuit rust vertrekt van een hoogte h op de schuine blok, dan bereikt deze het oppervlak na een tijd t = 2h/a y. Om dit probleem op te lossen hadden we twee vergelijkingen nodig voor elk lichaam met vier onbekenden F 1, F 2, a en A. In de Lagrangiaanse mechanica is er geen nood meer voor dwangkrachten zoals F 1 en F 2. We zullen dit toelichten met de methode van virtuele arbeid. 1.1.2. Virtuele arbeid De dynamische variabelen 2 in dit probleem zijn de afstand d van de kleine blok tot het startpunt op de schuine blok en de horizontale positie X van de schuine blok. Eerst schrijven we de kinetische energie T in functie van deze variabelen: T = 1 2 m ( ẋ 2 + ẏ 2) + 1 2 MẊ2, met x = X + d cos α y = h d sin α, waar h de hoogte is van het startpunt zodat T ( d, Ẋ) = 1 2 (m + M) Ẋ2 + 1 2 m ( d 2 + 2 dẋ cos α ). (1.3) Variaties Een variatie δq(t) is een virtuele infinitesemale verandering van de functie q(t) zelf. Dit geeft aanleiding tot een nieuwe functie: q(t) q(t) = q(t) + δq(t). Men noemt de verandering virtueel omdat het geen gevolg is van een echte verandering in de variabele t zoals bij de differentiaal dq = qdt. Bij een variatie wordt de functionele vorm van q(t) een klein beetje veranderd als een soort van wiskundig experiment. Virtuele arbeid. Beschouw een variatie δd(t) van d(t) en δx(t) van X(t). Deze virtuele verplaatsingen voldoen automatisch aan de bindingen 3. De variaties in d en X geven aanleiding tot een variatie van de positievector, δ r = r ( d, X) r (d, X) = r (d + δd, X + δx) r (d, X) = r r δd + d X δx. 2 Dynamische variabelen zijn tijdsafhankelijke variabelen die de beweging volledig beschrijven eens de bewegingsvergelijkingen opgelost zijn. 3 Bindingen zijn voorwaarden op de beweging. In dit geval zijn er twee bindingen: de kleine blok kan enkel over de schuine blok bewegen, die enkel horizontaal kan bewegen.

Voorbeeld 5 Als we dit toepassen op (1.3) dan bekomen we de variatie op de positie van de kleine blok r en de schuine blok R, δ r = (δx + δd cos α) ˆx (δd sin α) ŷ, δ R = δx ˆx. Beschouw nu even terug een willekeurig lichaam met positievector r. De virtuele arbeid verricht door een virtuele verplaatsing δ r wordt gegeven door δw = F δ r, met F de totale kracht die inwerkt op het lichaam. In het voorbeeld is de enige kracht die virtuele arbeid levert de zwaartekracht die inwerkt op de kleine blok, δw = (mg sin α) δd. Merk op dat de dwangkrachten F 1 en F 2 geen bijdrage leveren aan de virtuele arbeid omdat ze loodrecht op de verplaatsing staan. Principe van d Alembert Anderzijds kunnen we de virtuele arbeid herschrijven met de wet van Newton. Dit is het principe van d Alembert: δw p δ r = 0. (1.4) De bewegingsvergelijkingen worden bekomen door de virtuele arbeid opnieuw te berekenen met het principe van d Alembert. Merk eerst op dat p δ r = d dt d ( p δ r ) p δ r. (1.5) dt Om deze vergelijking verder uit te werken, berekenen we eerst de snelheidsvector met de kettingregel: r = r d d + r X Ẋ. Aan de hand van de partiële afgeleiden van deze vergelijking naar d en Ẋ herschrijven we de variatie van de positie, δ r = r r δd + d X r δx = d δd + r Ẋ δx, zodat de eerste term van (1.5) geschreven kan worden als ( p δ r = T r r ) r d δd + Ẋ δx = T T d δd + Ẋ δx.

Veralgemeende coördinaten 6 De tweede term van vergelijking (1.5) wordt gegeven door de tijdsafgeleide van de variatie in de positie, d dt r r r δ r = δd + δx + d X d δ d + r X δẋ = r d δ d + r X δẋ, aangezien r in dit voorbeeld niet afhangt van d en X. Net zoals voor de eerste term kunnen we dit ook schrijven als waaruit volgt d r δ r = dt d δ d + r Ẋ δẋ, ( p d T δ r = dt r r d δ d + r ) Ẋ δẋ = T d δ d + T Ẋ δẋ. De virtuele arbeid uit vergelijking (1.4) kan dus geschreven worden als δw = d ( ) T dt d δd + d ( ) T δx. dt Ẋ Deze vergelijking geldt voor heel het systeem omdat de kinetische energie een additieve grootheid is. Als we deze vergelijking uitwerken dan vinden we (mg sin α) δd = (m d ) ( + mẍ cos α δd + (m + M) Ẍ + m d ) cos α δx. Dit moet gelden voor een willekeurige virtuele verplaatsing zodat g sin α = d + Ẍ cos α 0 = (m + M) Ẍ + m d cos α. Deze procedure lijkt ingewikkelder dan de Newtoniaanse methode, maar in de toekomst moeten we voor zulke problemen enkel de kinetische energie en de virtuele arbeid berekenen zonder dat we de dwangkrachten in rekening moeten nemen. In de oefeningen zullen jullie een algemener probleem oplossen waar de snelheid wel afhangt van de dynamische variabelen zodat d δ r nog extra termen bevat. dt 1.2. Veralgemeende coördinaten Beschouw een mechanisch systeem dat opgebouwd is uit N deeltjes die vrij kunnen bewegen en dus niet beperkt worden door bindingen. De rechthoekige coördinaten x i, y i, z i, (i = 1,..., N),

Veralgemeende coördinaten 7 bepalen de configuratie van het systeem op elk tijdstip t, en de beweging ligt vast eens de {x i, y i, z i } gegeven worden als functie van t. We kunnen echter hetzelfde probleem oplossen als we de {x i, y i, z i } uitdrukken in functie van andere grootheden q 1,..., q 3N, aan de hand van een algemene coördinatentransformatie. Je kan dit beschouwen als een veralgemening van de transformatie van rechthoekige coördinaten x, y, z van een enkel deeltje naar sferische coördinaten r, θ, φ. Een algemene coördinatentransformatie wordt gegeven door x 1 = f 1 (q 1,..., q 3N ). z N = f 3N (q 1,..., q 3N ). Het oorspronkelijke probleem waar de {x i, y i, z i } bepaald moeten worden, wordt getransformeerd naar een nieuw probleem waar we de q 1,..., q 3N moeten bepalen. Aan de hand van een geschikte coördinatentransformatie wordt het nieuwe probleem eenvoudiger op te lossen dan het oude probleem. Zo zijn poolcoördinaten beter geschikt voor de beweging van een planeet rond de zon te beschrijven. In het voorbeeld van hierboven worden de veralgemeende coördinaten gegeven door de afstand d van de kleine blok tot het toppunt van de schuine blok en de horizontale positie X van de schuine blok. 1.2.1. Vrijheidsgraden en bindingen In de beschrijving van een mechanisch systeem hebben we vaak te maken met bindingen, wat betekent dat de beweging van een deel van het systeem de beweging van een ander deel strikt volgt. In de vectoranalyse van zo n systeem worden er onbekende krachten geassocieerd met deze bindingen, en een deel van de analyse bestaat er juist in om deze dwangkrachten te elimineren door de bindingsvoorwaarden op te leggen. Een groot voordeel van de Lagrangiaanse formulering is het gebruik van variabelen die reeds vanaf het begin deze bindingen in rekening nemen. Beschouw een mechanisch systeem dat opgebouwd is uit N deeltjes die niet allemaal onafhankelijk van elkaar kunnen bewegen door m onafhankelijke bindingsvoorwaarden op de coördinaten, zodat er maar n = 3N m onafhankelijke parameters q 1, q 2,..., q n nodig zijn om het systeem te beschrijven. De rechthoekige coördinaten van alle deeltjes kunnen dan geschreven worden als x 1 = f 1 (q 1,..., q n, t). z N = f 3N (q 1,..., q n, t). De onafhankelijke n parameters q 1,..., q n die nodig zijn om de beweging te beschrijven, noemen we de veralgemeende coördinaten of vrijheidsgraden van het systeem.

Veralgemeende coördinaten 8 Voorbeelden De beweging van een punt in de ruimte wordt volledig beschreven met drie onafhankelijke dynamische variabelen. Anderzijds heeft een massapunt dat beweegt op een tafel maar twee vrijheidsgraden. Een star lichaam, bestaande uit drie of meer massapunten, dat vrij kan bewegen heeft altijd zes vrijheidsgraden, namelijk drie translaties en drie rotaties. Soorten bindingen Beschouw nu een systeem met n vrijheidsgraden waarvoor we een bindingsvoorwaarde opleggen, zodat het systeem nog maar n 1 vrijheidsgraden heeft. Men onderscheidt twee soorten bindingsvoorwaarden: holonome en niet-holonome bindingen. Holonome bindingen Een bindingsvoorwaarde die uitgedrukt kan worden als f (q 1,..., q n, t) = 0, (1.6) noemen we holonoom. Dit reduceert het aantal onafhankelijke coördinaten met één. De positievectoren kunnen dan uitgedrukt worden als (i = 1,..., N) r i = r i (q 1,..., q n 1, t). Een bindingsvoorwaarde die expliciet van de tijd afhangt zoals in (1.6) noemen we bovendien een rheonome binding. Een holonome bindingsvoorwaarde f (q 1,..., q n ) = 0, die niet expliciet van de tijd afhangt, noemen we een scleronome binding, en dan worden de positievectoren gegeven door r i = r i (q 1,..., q n 1 ). Neem bijvoorbeeld de bindingsvoorwaarde f(r, θ, φ) = r R. Dit betekent dat de beweging plaatsvindt op het oppervlak van een bol (cf. sferische slinger). Deze voorwaarde is scleronoom, maar als nu de straal op een gekende manier verandert in de tijd zodat f(r, θ, φ, t) = r R(t), dan wordt de bindingsvoorwaarde rheonoom. Niet-holonome bindingen Er bestaan ook bindingen die niet holonoom zijn en waarvoor de bindingsvoorwaarde enkel infinitesimaal uitgedrukt kan worden, n A k (q, t) dq k + B(q, t) dt = 0, k=1 waar q = {q 1,..., q n }. Dit betekent dat deze vergelijking niet geschreven kan worden als een totale differentiaal. Aangezien dit geen verband geeft tussen de coördinaten zelf, kunnen we het aantal onafhankelijke coördinaten niet meteen reduceren. Hiervoor moet men de methode van de Lagrange-multiplicatoren gebruiken. Rollen zonder glijden is bijvoorbeeld een niet-holonome binding. In de rest van deze cursus beschouwen we enkel holonome systemen. In de oefeningen zullen jullie een niet-holonoom probleem oplossen.

Virtuele arbeid 9 1.3. Virtuele arbeid Stel dat we één van de vrijheidsgraden q k (t) variëren met een infinitesimale hoeveelheid δq k (t), wat betekent dat we de functionele vorm een heel klein beetje veranderen. De variatie van de positie van het i-de massapunt wordt dan δ r i = r i δq k. q k Omwille van de krachten die inwerken op het systeem wordt er virtuele arbeid uitgeoefend door de virtuele verplaatsing δq k. Als de vrijheidsgraden onafhankelijk zijn, dan is de totale virtuele arbeid δw de som van de arbeid δw k geleverd door elke afzonderlijke verplaatsing δq k, met δw = N F i δ r i = i=1 δw k = ( N n F i i=1 ( N i=1 k=1 F i r i q k r i q k δq k ) ) = n δw k, k=1 δq k. (1.7) Aangezien de veralgemeende coördinaten voldoen aan de bindingen, leveren de dwangkrachten geen bijdrage tot de virtuele arbeid aangezien ze steeds loodrecht staan op de beweging en de gradiënt gericht is langs de beweging. Wanneer we in de rest van dit hoofdstuk spreken over krachten, dan bedoelen we steeds alle krachten buiten de dwangkrachten. Naar analogie definiëren we voor elke vrijheidsgraad een veralgemeende kracht F k, F k N i=1 F i r i q k. (1.8) Merk op dat de functies F k overeenkomen met de componenten van een vectorveld in de q-ruimte en dat ze niet noodzakelijk de dimensie van een kracht hebben. 1.4. Principe van d Alembert De kinetische energie wordt in het algemeen gegeven door T = 1 N m i ri 2 r i = T (q 1,..., q N, q 1,..., q N, t). i=1 Allereerst schrijven we de partiële afgeleiden van de kinetische energie naar de veralgemeende coördinaten en snelheden uit met de kettingregel: T q k = i T q k = i m i ri r i q k = i m i ri r i q k = i p i r i q k (1.9) p i r i q k. (1.10)

De Lagrangiaan 10 De laatste stap in (1.10) is enkel geldig voor holonome systemen (oefening). Als we de tijdsafgeleide nemen van (1.10) dan vinden we d T = [ p i r i + p i r ] i. dt q k q i k q k Het Principe van d Alembert stelt dat we de tweede wet van Newton kunnen gebruiken om p i gelijk te stellen aan de kracht die inwerkt op het i-de massapunt. Let op dat dit enkel kan als r i gedefinieerd is in een inertiaalstelsel. De eerste term van de bovenstaande vergelijking is gegeven door de veralgemeende kracht uit (1.8). Samen met vergelijking (1.9) vinden we de veralgemeende bewegingsvergelijkingen: F k = d T T, k = 1,..., n. (1.11) dt q k q k Een holonoom systeem kan dus beschreven worden met n vergelijkingen die afhangen van n + 1 scalaire functies, namelijk de kinetische energie T (q, q, t) en de veralgemeende krachten F k (q, t) met q = {q 1,..., q n }. In de Newtoniaanse mechanica moeten er meer dan n vergelijkingen opgelost worden omdat de dwangkrachten zelf extra onbekenden zijn. De Lagrangiaanse mechanica is dus bijzonder efficiënt, aangezien er evenveel vergelijkingen als onbekenden q k zijn. 1.5. De Lagrangiaan Als we de virtuele arbeid (1.7) schrijven voor een variatie die op elk tijdstip overeenkomt met de echte infinitesimale verplaatsing op dat tijdstip zodat δq k = dq 4 k, dan bekomen we de ogenblikkelijke arbeid dw = F k dq k. k Indien er een scalaire functie V = V (q 1,..., q n, t) bestaat zodat op elk tijdstip dw = dv = k V q k dq k, (1.12) dan moet er op elk ogenblik gelden dat F k = V q k. In het geval dat V = V (q 1,..., q n ) niet expliciet van de tijd afhangt, spreken we van een conservatief systeem en komt de functie V overeen met de potentiële energie van het systeem. Laten we nu de Lagrangiaan L definiëren als L T V. 4 Deze variatie komt overeen met een infinitesimale verschuiving van de kromme q k (t) naar links.

Lagrange-vergelijking in willekeurige coördinaten 11 Omdat we aangenomen hebben dat de scalaire functie V onafhankelijk is van de snelheden q k geldt er L = T. q k q k Als we alles invullen in de veralgemeende bewegingsvergelijking (1.11) dan bekomen we de Euler-Lagrange bewegingsvergelijkingen: L d L = 0, k = 1,..., n. (1.13) q k dt q k Dit zijn de belangrijkste vergelijkingen van de Lagrangiaanse mechanica. Voor een holonoom systeem waarvoor (1.12) opgaat, is het probleem gereduceerd tot het zoeken van één enkele scalaire functie, de Lagrangiaan L. Snelheidsafhankelijke potentialen Het Lagrange formalisme werkt voor sommige snelheidsafhankelijke functies U = U(q, q, t) waarmee de veralgemeende krachten geschreven kunnen worden als F k = d U U. (1.14) dt q k q k In dit geval volgen de veralgemeende bewegingsvergelijkingen (1.11) uit de Lagrange vergelijkingen (1.13) met L = T U. De Lorentzkracht op een geladen deeltje in een elektromagnetisch veld kan bijvoorbeeld zo geschreven worden. 1.6. Lagrange-vergelijking in willekeurige coördinaten Onderstel dat de tijdsevolutie van een systeem met n vrijheidsgraden beschreven wordt door de coördinaten q 1 (t),..., q n (t) die voldoen aan de Lagrange-vergelijkingen, gegeven door (1.13). Beschouw nu een (inverteerbare) coördinatentranformatie naar nieuwe coördinaten u 1,..., u n. De oude coördinaten kunnen uitgedrukt als q k = q k (u 1,..., u n, t), (k = 1,..., n), waar de coördinatentransformatie mogelijk kan veranderen in de tijd. We zullen nu aantonen dat als de originele coördinaten voldoen aan de bewegingsvergelijkingen, dat dan de nieuwe coördinaten hier ook aan voldoen: L d L = 0, u k dt u k zodat de vorm van de bewegingsvergelijkingen onafhankelijk is van de coördinaten. We zullen dit aantonen voor een enkele vrijheidsgraad om de notatie eenvoudig te houden. Het bewijs voor meerdere vrijheidsgraden verloopt analoog. Het pad in de oorspronkelijke coördinaat q kan uitgedrukt worden in de nieuwe coördinaat u als q(t) = q(u(t), t).

Symmetrieën en constanten van beweging 12 Hieruit volgt dat q = q q u + u t. In de nieuwe coördinaat u wordt de Lagrangiaan dus gegeven door ( ) q(u, t) q(u, t) L = L q(u, t), u +, t. u t Met de kettingregel vinden we dan L u = L q q u + L ( ) q q u + q u u t L u = L q q u = L q q u, zodat d L dt u = d dt ( ) L q q u + L d q q dt u = d ( ) L q dt q u + L q u ( q q u + u t ). We vinden dus L u d ( L L dt u = q d ) L q dt q u. 1.7. Symmetrieën en constanten van beweging Een symmetrie is een transformatie van de Lagrangiaan die de actie (op randtermen na), en dus de bewegingsvergelijkingen onveranderd laat. We beschouwen twee soorten symmetrieën: ijksymmetrie en symmetrieën die overeenkomen met continue transformaties van de veralgemeende coördinaten. Voor de laatstgenoemden symmetrieën zullen we een belangrijk theorema bewijzen, namelijk het theorema van Noether. Ten laatste zullen we de Hamiltoniaan introduceren en onderzoeken wanneer deze behouden is, en hoe dit in verband staat met het behoud van energie. 1.7.1. Ijksymmetrie Als we een constante optellen bij de Lagrangiaan of de Lagrangiaan vermenigvuldigen met een constante, dan verkrijgen we een Lagrangiaan die fysisch equivalent is, aangezien de bewegingsvergelijkingen (1.13) niet veranderen onder deze transformaties. Zo kunnen we ook een totale tijdsafgeleide van een scalaire functie G = G (q, t) optellen bij de Lagrangiaan zonder de bewegingsvergelijkingen te veranderen, L L + dg dt. (1.15)

Symmetrieën en constanten van beweging 13 Om dit aan te tonen, schrijven we eerst de totale tijdsafgeleide uit, dg dt = k G q k + G q k t, zodat ( ) d dg dt q k dt = d G = dt q k dg q k dt, en de bewegingsvergelijkingen niet veranderen. Een symmetrietransformatie zoals (1.15) noemt men een ijktransformatie van de Lagrangiaan. 1.7.2. Theorema van Noether We zullen hier aantonen dat de invariantie van de bewegingsvergelijkingen onder een continue symmetrie leidt tot een behouden grootheid. Een continue transformatie kan per definitie bereikt worden vanuit de identiteit door een opeenvolging van infinitesimale transformaties 5, zodat we enkel q k (t) q k (t) + δq k (t) moeten beschouwen. Dit geeft aanleiding tot een kleine verandering van de Lagrangiaan, L L + δl, δl = ( L δq k + L ) δ q k. q k q k k Aangezien we veronderstellen dat de bewegingsvergelijkingen invariant zijn onder deze transformatie, mag δl hoogstens gegeven worden door een totale tijdsafgeleide k δl = d df δg(q, t) dt dt. (1.16) Er moet dus gelden dat [ L δq k d ( ) L δq k + d ( )] L δq k = df q k dt q k dt q k dt. Als de q(t) bovendien ook nog voldoen aan de bewegingsvergelijkingen, dan vinden we dat de Noetherstroom J = L δq k F, q k k een constante van beweging is. Dit is de meest eenvoudige versie van het theorema van Noether. Merk bijvoorbeeld op dat translaties in de tijd (en dus behoud van energie) niet inbegrepen zijn in deze versie. 5 In tegenstelling tot een discrete transformatie zoals inversie r r.

Symmetrieën en constanten van beweging 14 Cyclische coördinaten Als voorbeeld beschouwen we een translatie van de coördinaat q 1 (t) q 1 (t) + δa. Onderstel bovendien dat q 1 een cyclische coördinaat is, wat betekent dat ze niet voorkomt in de Lagrangiaan. In dit geval verdwijnt de variatie van de Lagrangiaan, δl = L q 1 δa + L q 1 δȧ = 0, aangezien δa constant is, en L niet afhangt van q 1. We kunnen δl schrijven als (1.16) door F gelijk te stellen aan een constante c. De Noetherstroom wordt dan gegeven door J = L q 1 δa c. Aangezien δa arbitrair is, is dit enkel een constante van beweging als p 1 L q 1 constant is in de tijd. Dit volgt ook meteen uit de bewegingsvergelijking voor de cyclische coördinaat q 1. De grootheid p 1 noemt men een veralgemeende of canonieke impuls, en het behoud van p 1 is een veralgemening van behoud van (echte) impuls. Neem bijvoorbeeld een systeem dat cilindersymmetrisch is. In dit geval is de azimutale hoek φ een cyclische coördinaat, en de overeenkomstige behouden canonieke impuls p φ komt dan overeen met het draaimoment rond de z-as. Merk op dat q 1 mogelijk nog aanwezig is in de Lagrangiaan. We kunnen deze variabele echter elimineren door gebruik te maken van het feit dat de canonieke impuls p 1 een constante van beweging is, p 1 (q 2,..., q n, q 1, q 2,..., q n, t) = k, met k een constante. Deze vergelijking kunnen we in principe oplossen naar q 1 zodat het aantal onafhankelijke bewegingsvergelijkingen met één verminderd is. Uiteraard zullen de vergelijkingen nu wel afhangen van de constante k die bepaald wordt door de beginvoorwaarden. 1.7.3. De Hamiltoniaan en behoud van energie Men kan een grootheid construeren uit de Lagrangiaan, de Hamiltoniaan H genoemd, die behouden is onder heel algemene voorwaarden: H k q k L q k L. De tijdsafgeleide van H wordt gegeven door dh dt = k ( L d q k + q k q k dt ) L q k dl dt.

Deeltje in een elektromagnetisch veld 15 Uit de kettingregel volgt dl dt = k ( ) L L q k + q k + L q k q k t. Als we de Lagrange vergelijkingen (1.13) gebruiken dan vinden we dh dt = L t, zodat de Hamiltoniaan behouden is als en slechts als de Lagrangiaan niet expliciet afhangt van de tijd. Behoud van energie Voor een scleronoom systeem is de Lagrangiaan nooit expliciet afhankelijk van de tijd. Bovendien is de kinetische energie in dit geval een kwadratische vorm van de veralgemeende snelheden, aangezien T = 1 m i ri 2 r i = 1 r i m i q k q k r i, 2 q i i k,k k q k zodat 2T = k q k T q k = k q k L q k = H + T V, waaruit volgt dat H = T + V = E. De totale energie van een scleronoom systeem is dus altijd behouden. Voor een rheonoom systeem is de Lagrangiaan meestal, maar niet altijd, expliciet afhankelijk van de tijd. Als dit niet het geval is, dan is de Hamiltoniaan behouden, maar niet meer gelijk aan de totale energie. 1.8. Deeltje in een elektromagnetisch veld De bewegingsvergelijking van een deeltje met lading e in een elektromagnetisch veld wordt gegeven door (in SI eenheden) ( ) m a = e E( r, t) + v B( r, t) F ( r, v, t), (1.17) met E het elektrisch en B het magnetisch veld. Als er geen magnetisch veld aanwezig is, kan deze vergelijking afgeleid worden van de Lagrangiaan L = T V met V = eφ, de elektrostatische potentiële energie. Men kan echter een snelheidsafhankelijke potentiaal definiëren zodat ook eindige magneetvelden in rekening gebracht kunnen worden. Daartoe introduceren we de vectorpotentiaal A die gedefinieerd wordt door E = φ A t, B = A,

Deeltje in een elektromagnetisch veld 16 zodat de Lorentzkracht in uitdrukking (1.17) geschreven kan worden als F i = d dt ( ea i) ( eφ e x ) A v. i De Lorentzkracht volgt dus uit (1.14) met U = eφ e A v. De Lagrangiaan wordt dan L = T U = 1 2 m v v + e A( r, t) v eφ( r, t), zodat de canonieke impuls p = L v = m v + e A. Merk op dat een deeltje een eindige snelheid kan hebben terwijl de canonieke impuls gelijk is aan nul! Bovendien is de canonieke impuls afhankelijk van de keuze van de vectorpotentiaal (zie hieronder) zodat de canonieke impuls niet ijkinvariant is en dus niet fysisch waarneembaar. De kinematische impuls m v is natuurlijk wel fysisch en dus ijkinvariant. De Hamiltoniaan wordt gegeven door H = p v L = 1 ( p ea) 2m 2 + eφ = T + V. Het is interessant om op te merken dat deze Lagrangiaan niet uniek bepaald is, terwijl de bewegingsvergelijkingen dat natuurlijk wel zijn. Een ijktransformatie transformeert de potentialen als volgt: φ φ χ t A A + χ, met χ = χ( r, t) een scalaire functie. De fysische grootheden E en B veranderen niet onder deze transformatie, terwijl de Lagrangiaan transformeert als L L + d dt (eχ). Zoals reeds vermeld zijn Lagrangianen fysisch equivalent indien ze verschillen op een totale tijdsafgeleide omdat ze dezelfde bewegingsvergelijkingen opleveren.

2. Hamiltoniaanse mechanica In Lagrange s formalisme bepaalt de Langrangiaan de dynamica van het systeem via de partiële afgeleiden naar de variabelen q k en q k. In Hamiltons formalisme wordt een verandering van de variabelen uitgevoerd, van de set van veralgemeende coördinaten en snelheden (q, q) naar de set van coördinaten en canonieke momenta (q, p) met q {q 1,..., q n } en p {p 1,..., p n }. Dit gaat gepaard met een Legendre transformatie die de Lagrangiaan transformeert in de Hamiltoniaan: H = k p k q k L, p k = L q k. Om de bewegingsvergelijkingen van Lagrange te herformuleren in termen van de partiële afgeleiden van H, beschouwen we eerst de differentiaal dh = k (dp k q k + p k d q k ) dl = k q k dp k k L q k dq k L t dt. Het is belangrijk om op te merken dat de differentiaal d q k niet meer voorkomt in de laatste uitdrukking zodat de nieuwe onafhankelijke variabelen inderdaad de (q, p) zijn. Uit bovenstaande uitdrukking volgt onmiddellijk q k = H p k, H = L, q k q k H t = L t. Samen met de definitie van de canonieke impuls bekomen we de bewegingsvergelijkingen van Hamilton: q k = H p k, ṗ k = H q k. 2.1. Variatierekening en het principe van Hamilton Stel dat q 1 en q 2 twee configuraties zijn van het systeem op verschillende tijden. Beschouw nu alle mogelijke paden tussen q(t 1 ) = q 1 en q(t 2 ) = q 2. Wat karakteriseert het dynamische pad (d.i. het pad dat voldoet aan de bewegingsvergelijkingen) in vergelijking met de andere continue paden?

De faseruimte 18 Hamilton formuleerde een antwoord op deze vraag in de vorm van een variationeel probleem. Het pad dat de dynamische evolutie beschrijft én dat voldoet aan de randvoorwaarden, is het pad waarvoor de actie-integraal S[q(t)] = t2 t 1 dt L(q(t), q(t), t), stationair is, d.i. het pad waarvoor de variatie van de actie δs verdwijnt. Daartoe berekenen we δs onder een variatie van het pad q(t) q(t) + δq(t) dat voldoet aan de randvoorwaarden δq(t 1 ) = δq(t 2 ) = 0. We vinden t2 δs = S[q(t) + δq(t)] S[q(t)] = dt δl(q(t), q(t), t) t 1 t2 = dt ( L δq k + L ) δ q k t 1 q k q k k t2 = dt [ L δq k + d ( ) L δq k d ( ) ] L δq k t 1 q k dt q k dt q k k t2 = dt [ L d ( )] [ ] t2 L L δq k + δq k t 1 q k dt q k q k k k t 1 t2 = dt [ L d ( )] L δq k. t 1 q k dt q k k Hieruit volgt dat de actie stationair is als het pad voldoet aan de bewegingsvergelijkingen aangezien de integraal moet verdwijnen voor elke variatie δq die aan de randvoorwaarden voldoet. Dit is is meestal een (lokaal) minimum en soms een zadelpunt, maar nooit een maximum. Er bestaat namelijk steeds een sneller pad door veel kleine fluctuaties toe te voegen met relatief meer kinetische energie en dus een grotere actie. 2.2. De faseruimte Een manier om de oplossing van de bewegingsvergelijking voor te stellen wordt getoond in Fig. 2.1a. Het toont de tijdsevolutie van de n coördinaten q(t) voor een bepaald pad in de n-dimensionale configuratieruimte. De verschillende paden worden onderscheiden door andere randvoorwaarden. In het Lagrange formalise worden de snelheiden q(t) ook beschouwd als onafhankelijke variabelen vooraleer de Lagrange vergelijkingen opgelost zijn. De configuratie van het systeem q(t) op een bepaald tijdstip bepaalt a priori namelijk niet de snelheid op datzelfde tijdstip. Echter in Hamiltons formalisme worden de coördinaten en de momenta op gelijke voet behandeld zodat men een pad beter kan voorstellen in de 2d-dimensionale faseruimte, zoals getoond in Fig. 2.1b. Aangezien elk punt in de faseruimte bepaald wordt door 2d getallen, en elk dynamisch pad uniek bepaald wordt door 2d beginvoorwaarden,

Theorema van Liouville 19 q 2 p (q(t), p(t)) q(t) q 1 q (a) (b) Figuur 2.1.: Schets van de configuratieruimte (a) en de faseruimte (b). gaat er door elk punt in de faseruimte juist één pad. Dit betekent dat verschillende dynamische paden elkaar niet kunnen snijden in de faseruimte. In Figuur 2.2 wordt het faseportret van de eenvoudige slinger getoond (mathematische slinger). 2.3. Theorema van Liouville In de praktijk is het meestal onmogelijk om de beginvoorwaarden voor ieder deeltje van grote en/of complex systemen te bepalen, laat staan om de bewegingsvergelijkingen op te lossen. We moeten een andere aanpak gebruiken om de dynamica van zulke systemen te bestuderen, nl. de statistische mechanica. De Hamiltoniaanformulering is ideaal voor de statistische studie van complexe systemen. Het theorema van Liouville is een voorbeeld hiervan. Voor een groot aantal deeltjes (bv. gasmoleculen) is het onmogelijk om een specifiek punt in de faseruimte aan te duiden dat correspondeert met de toestand van het systeem. We kunnen echter wel de faseruimte vullen met punten die de mogelijke toestanden van het systeem voorstellen (een deel van de ruimte kunnen we uitsluiten, bv. omwille van behoud van energie). In plaats van het traject van een welbepaald systeem te zoeken, bestuderen we een ensemble van equivalente systemen. We onderstellen nu dat deze punten in de faseruimte voldoende talrijk zijn, zodat we een dichtheid ρ in de faseruimte kunnen definiëren; de volume-elementen die ρ definiëren moeten voldoende groot zijn zodat ρ op een continue manier varieert. Het aantal systemen ( punten ) in een volume dv is dan gegeven door ρdv met dv = dq 1 dq 2... dq N dp 1 dp 2... dp N. Beschouw nu een infinitesimaal volume-element in het (q k, p k )-vlak van de faseruimte wat getoond wordt in Figuur 2.3. Het aantal punten dat van buiten dit volume-element

Theorema van Liouville 20 θ 3 2 1 0 1 2 3 4 2 0 2 4 Figuur 2.2.: Het faseportret van de eenvoudige slinger. De stroom toont hoe het systeem evolueert. Merk op dat evenwichtspunten (θ = 0, π en θ = 0) overeenkomen met fixpunten van de stroom. De volle (rode) kromme noemt men de separatrix; de scheidingslijn tussen slingeren en roteren. θ beweegt tot in het volume-element via de linkerkant per tijdseenheid, wordt gegeven door ρ q k dp k, en via de onderkant door ρṗ k dq k. Het aantal punten dat uit het klein volume-element stroomt wordt dan (Taylor) [ ρ q k + ] [ (ρ q k )dq k dp k + ρṗ k + ] (ρṗ k )dp k dq k, q k p k zodat de totale verandering van de dichtheid in het volume-element dq k dp k per tijdseenheid gegeven wordt door [ ρ t dq kdp k = (ρ q k ) + ] (ρṗ k ) dq k dp k. q k p k Sommatie over alle k levert een continuïteitsvergelijking: ρ t + [ ρ q k + ρ q k + ρ ṗ k + ρ ṗ ] k q k q k p k p k k zodat het totaal aantal systemen in de faseruimte behouden is. Stel nu dat de dynamica van elk systeem beschreven wordt door de Hamiltonvergelijkingen. Invullen van q k / q k = ṗ k / p k in de continuïteitsvergelijking geeft ρ t + k [ ρ q k q k + ρ p k ṗ k ] = dρ dt = 0. = 0,

Poisson haakjes 21 (q k, p k + dp k ) (q k + dq k, p k + dp k ) (q k, p k ) (q k + dq k, p k ) Figuur 2.3.: De stroom door een infinitesimaal volume-element in het (q k, p k )-vlak van de faseruimte. Dit is het theorema van Liouville. Het stelt dat de dichtheid aan punten (mogelijke toestand van het systeem) in de faseruimte van een systeem van deeltjes constant blijft gedurende de beweging, tenminste als het systeem voldoet aan de vergelijkingen van Hamilton. In de statistische mechanica kunnen we dus gebruik maken van de Hamiltoniaanse dynamica om ensembles te bestuderen. 2.4. Poisson haakjes In het algemeen zijn we geïnteresseerd in het gedrag van functies van p en q, als functie van de tijd. Laten we een functie f(q, p, t) volgen in de tijd: df dt = ( f q k + f ) ṗ k + f q k p k t k = ( f H f ) H + f q k p k p k q k t. k Voor de combinatie tussen de haken in het rechterlid introduceert men de volgende notatie, het zogenaamde Poisson haakje van f en g: {f, g} ( f g f ) g. q k p k p k q k k Met deze notatie vinden we df f = {f, H} + dt t, zodat het theorema van Liouville geschreven kan worden als ρ t + {ρ, H} = 0.

Canonieke transformaties 22 We zien ook dat als f niet expliciet van de tijd afhangt, f een behouden grootheid is als het Poisson haakje van f met de Hamiltoniaan verdwijnt, dus als {f, H} = 0. Aan de hand van Poisson haakjes kunnen we dus op een eenvoudige manier testen of een grootheid behouden is. Daarnaast kunnen we de Hamilton vergelijkingen op een elegante en symmetrische manier opschrijven: q k = {q k, H}, ṗ k = {p k, H}. Het Poisson haakje voldoet aan volgende eigenschappen: 1. Antisymmetrie: {f, g} = {g, f}. 2. Lineariteit: {f + g, h} = {f, h} + {g, h} en {αf, g} = α{f, g} voor α R. 3. Leibniz regel: {fg, h} = f{g, h} + {f, h}g. 4. Jacobi regel: {f, {g, h}} + {g, {h, j}} + {h, {f, g}} = 0. Deze eigenschappen komen overeen met die van de commutator [f, g] uit de kwantummechanica (en dit is geen toeval!). De relatie met de kwantummechanica wordt nog suggestiever als we de q k en p k zelf als functie nemen: {q k, q l } = {p k, p l } = 0, {q k, p l } = δ kl. Bovendien geldt er ook voor de componenten van het draaimoment l = r p, {l x, l y } = l z. Zoals vermeld kunnen de Poisson haakjes gebruikt worden om te testen of een grootheid behouden is. Daarnaast kunnen we er ook nieuwe behoudswetten mee genereren. Stel dat f(q, p) en g(q, p) behouden grootheden zijn. Dan geldt er, gebruikmakend van de Jacobi identiteit, {{f, g}, H} = {f, {g, H} } {g, {f, H} } = 0, } {{ } } {{ } 0 0 zodat dan {f, g} ook een behouden grootheid is. 2.5. Canonieke transformaties We hebben reeds gezien dat de Lagrange vergelijkingen invariant zijn onder transfomaties van het type q k Q k (q 1,..., q N ) (zolang de transformatie inverteerbaar is). Nu we

Canonieke transformaties 23 canonieke impulsen en coördinaten op gelijke voet behandelen, is de vraag of we ook algemenere transformaties kunnen toelaten: q k Q k (q 1,..., q N, p 1,..., p N ) p k P k (q 1,..., q N, p 1,..., p N ). (2.1) Met een geschikte transformatie kunnen we misschien het probleem vereenvoudigen. Bijvoorbeeld, zodra een bepaalde getransformeerde coördinaat niet meer voorkomt in de Hamiltoniaan, is de bijhorende canonieke impuls een constante van beweging. Als we er in slagen om alle coördinaten q k weg te transformeren uit de Hamiltoniaan, dan zijn de getransformeerde impulsen allemaal constanten van beweging, P k = α k. De getransformeerde Hamiltoniaan K is dan alleen een functie van constanten, zodat de veralgemeende snelheden ook constanten zijn: Q k = K P k = K(α 1,..., α N ) α k = β k. Bij deze redenering zijn we er wel van uitgegaan dat ook na de transformatie nog steeds de vergelijkingen van Hamilton gelden: Q k = K(Q 1,..., Q N, P 1,..., P N ) P k P k = K(Q 1,..., Q N, P 1,..., P N ). Q k Omdat bij een transformatie deze canonieke vorm van de bewegingsvergelijkingen behouden moet blijven, spreken we van een canonieke transformatie. Wanneer zijn de transformaties (2.1) nu canoniek? We bepalen hiervoor nu de de voorwaarden. De tijdsevolutie van Q k en P k wordt gegeven door Q k = {Q k, H} q,p, P k = {P k, H} q,p, (2.2) waar we voor de duidelijkheid indices q, p hebben toegevoegd aan de Poisson haakjes om aan te geven dat we afleiden naar de q k en p k. Als we nu de vergelijkingen in (2.2) als de Hamiltonvergelijkingen willen identificeren, dan moeten de rechterleden ook gelijk zijn aan de Poisson haakjes in termen van de Q k en P k : met K de getransformeerde Hamiltoniaan {Q k, H} q,p = {Q k, K} Q,P {P k, H} q,p = {P k, K} Q,P. K(Q 1,..., Q N, P 1,..., P N ) = H(q 1 (Q 1,..., Q N, P 1,..., P N ),..., q N (Q 1,..., Q N, P 1,..., P N ), p 1 (Q 1,..., Q N, P 1,..., P N ),..., p N (Q 1,..., Q N, P 1,..., P N )).

Genererende functie 24 Dit betekent dat we transformaties zoeken die de eigenschap hebben dat ze het Poisson haakje invariant laten: {f, g} q,p = {f, g} Q,P. Met de kettingregel kunnen we aantonen dat hieraan voldaan is als {Q k, Q l } q,p = 0 {q k, q l } Q,P = 0 {Q k, P l } q,p = δ kl of analoog {q k, p l } Q,P = δ kl {P k, P l } q,p = 0 {p k, p l } Q,P = 0 2.6. Genererende functie Om nu de expliciete uitdrukking voor een canonieke transformatie te bekomen kunnen we gebruik maken van een genererende functie. Als de transformatie canoniek is, moet er gelden dat [ ] [ ] p k dq k Hdt P k dq k Kdt = df, k met df een totale differentiaal. Dit volgt uit het variatieprincipe van Hamilton: t2 [ ] t2 δ Ldt = δ p k q k H dt = 0. t 1 t 1 De functie F noemt men de genererende functie van de transformatie omdat, zoals we zullen zien, eens F gegeven is, de transformaties (2.1) bepaald zijn. Er zijn vier mogelijke vormen voor F. Om de transformatie vast te leggen tussen beide sets van canonieke variabelen, moet F afhangen van zowel de oude als de nieuwe variabelen. Daarom is F een functie van 4N variabelen plus de tijd. Echter enkel 2N ervan zijn onafhankelijk, omdat de transformatie tussen beide sets juist 2N voorwaarden opleggen. Daardoor zijn de volgende vier vormen voor F mogelijk, k k F = F 1 (q, Q, t), F = q p + F 3 (p, Q, t), F = Q P + F 2 (q, P, t), F = q p Q P + F 4 (p, P, t). De functies F 1, F 2, F 3, F 4 die allen dezelfde canonieke transformatie genereren, zijn dus met elkaar verbonden via een Legendre transformatie. Elk van deze functies heeft 2N onafhankelijke variabelen. Laten we nu de overeenkomstige canonieke momenta bepalen, bijvoorbeeld voor het eerste geval F 1. Uit (2.6) volgt [ ] [ ] p k q k H P k Q k K = df 1(q, Q, t) k k = k dt [ F1 q k + F 1 Q k q k Q k ] + F 1 t.

Genererende functie 25 Hieruit kunnen we de vergelijkingen voor p k en P k bepalen: p k = F 1(q, Q, t) q k, P k = F 1(q, Q, t) Q k. Het verband tussen beide Hamiltonianen wordt uiteindelijk K = H + F 1 t. Gelijkaardige uitdrukkingen voor de afhankelijke variabelen worden bekomen voor de functies F 2, F 3 en F 4. Steeds zal bovenstaande relatie tussen beide Hamiltonianen gelden. Bijvoorbeeld voor de genererende functie F 2 (q, P, t) geldt er p k = F 2(q, P, t) q k, Q k = F 2(q, P, t) P k, K = H + F 2 t. Eenvoudige voorbeelden Met de keuze F 2 (q, P, t) = k q kp k genereren we de eenheidstransformatie: p k = F 2 q k = P k, Q k = F 2 P k = q k. De genererende functie F 1 (q, Q, t) = k q kq k levert p k = F 1 q k = Q k, P k = F 1 Q k = q k. Afgezien van het extra minteken, zien we dat de rol van de coördinaten en de momenta omgekeerd worden door deze transformatie. Dit voorbeeld toont wederom aan dat de coördinaten en de impulsen equivalente variabelen zijn in het Hamilton formalisme. Via meer algemene canonieke transformaties kunnen we de faseruimte dus naar wens transformeren, in de hoop om zo getransformeerde bewegingsvergelijkingen te vinden die eenvoudiger op te lossen zijn. De harmonische oscillator De Hamiltoniaan voor dit probleem is Via de genererende functie H(q, p) = 1 2 ( p 2 + ω 2 q 2). F 1 (q, Q) = 1 2 ωq2 cot 2πQ.

Genererende functie 26 verkrijgen we volgende canonieke transformatie: p = F 1 q = ωq cot 2πQ, P = F 1 Q = πωq2 sin 2 2πQ. Oplossen van deze impliciete transformatie-vergelijkingen voor de expliciete (inverse) transformatie-vergelijkingen levert ωp P p = cos 2πQ, q = sin 2πQ. (2.3) π πω Substitutie in de oorspronkelijke Hamiltoniaan levert de nieuwe Hamiltoniaan K = ω 2π P. Omdat Q nu een cyclische coördinaat is, is P een constante van beweging. De bewegingsvergelijking van Hamilton wordt Q = ω 2π, met oplossing Q = ω 2π t + η. Invullen in (2.3) levert de gekende oplossing van de bewegingsvergelijkingen voor de harmonische oscillator op. Infinitesimale canonieke transformaties Kies F 2 (q, P, t) = k q kp k + ɛg(q, P ). Deze generator is bijna de eenheidstransformatie als ɛ infinitesimaal klein is. De transformatievergelijkingen leveren p k = P k + ɛ G q k, Q k = q k + ɛ G P k. Stel nu ɛ = dt, een infinitesimaal tijdinterval. Dan bekomen we voor Q k en P k Q k = q k + dt G P k, P k = p k dt G q k. Als G(q, P ) = H(q, P ) en aangezien (P, Q) (q, p) voor dt 0, zien we dat we opnieuw de bewegingsvergelijking van Hamilton gereproduceerd hebben. We kunnen de Hamiltoniaan dus beschouwen als generator van de canonieke transformatie die (q, p) t transformeert in (q, p) t+dt, en dus de generator van de tijdsevolutie.

De Hamilton-Jacobi vergelijking 27 2.7. De Hamilton-Jacobi vergelijking Laten we nu op zoek gaan naar de genererende functie die ons de eenvoudigste Hamiltoniaan oplevert, namelijk K(Q, P, t) = 0 = H(q, p, t) + S t. In dit geval zijn al de Q k en P k constant. Noemen we S = F 2 (q, P, t) de genererende functie die hiervoor zorgt, dan is p k = S/ q k en Q k = S/ P k. De vergelijking die we moeten oplossen is dus ( H q, S ) q, t + S t = 0. Dit is de Hamilton-Jacobi vergelijking. De functie S noemt men de principiële functie van Hamilton, en bevat alle informatie over de tijdsevolutie van het systeem. De totale tijdsafgeleide van S wordt gegeven door ds dt = k S q k + S q k t = k p k q k H = L. De genererende functie S is dus de actie S = Ldt. 2.8. Verband met kwantummechanica Hier gaan we de klassieke limiet van de kwantummechanica bestuderen 1. Deze behandeling is geldig als de actie groot is ten opzichte van de constante van Planck, d.i. de limiet /S 0. Laten we starten van de Schrödingervergelijking i ψ t = 2 2m 2 ψ + V ( r, t)ψ. De golffunctie is een complexe grootheid die we kunnen schrijven als ψ( r, t) = [ ] i ρ( r, t) exp S( r, t), met ρ en S reëel, en waar ρ > 0 de waarschijnlijkheidsdichtheid is. Invullen in de Schrödingervergelijking levert volgende vergelijking, ( ρ i + i ) S ρ = t t ( 2 2 ρ + 2i 2m ρ S 1 ρ ( S) 2 + i ) ρ 2 S + V ρ. 2 1 Klassieke mechanica komt tevoorschijn op macroscopische schaal door een samenzwering van microscopisch kwantumgedrag, m.a.w. de klassieke mechanica is emergent.

Verband met kwantummechanica 28 Veronderstel nu dat beschouwd kan worden als een kleine grootheid. De fysische betekenis van deze benadering zal later duidelijk worden. Laten we dus aannemen dat 2 S S 2, enzovoort. Zo houden we enkel de termen over die niet bevatten. Dit geeft een niet-lineaire partiële differentiaalvergelijking voor S: 1 2m ( S)2 + V ( r ) + S t = 0. Merk op dat deze vergelijking identiek is aan de Hamilton-Jacobi vergelijking waar S gegeven wordt door de actie. SAKURAI p.103 Geldigheid van de klassieke limiet We zullen nu aantonen dat de (semi-)klassieke limiet van de kwantummechanica geldig is als de potentiaal weinig varieert over verschillende de Broglie golflengtes λ = /p.

3. Trillingen rond evenwicht In een mechanisch systeem komt periodieke beweging tot stand door een herstellende kracht die arbeid verricht op het systeem. Positieve arbeid zet kinetische energie om naar potentiële energie en negatieve arbeid verandert de potentiële energie terug naar kinetische energie. Een oscillator is een systeem met periodieke beweging. Als de kracht lineair toeneemt met de uitwijking, spreken we van een lineaire of harmonische oscillator; de frequentie van de trilling is dan onafhankelijk van de amplitude. In een echt mechanisch systeem is er wrijving aanwezig waardoor we een wrijvingskracht moeten introduceren; zulke oscillatoren noemen we gedempt. Als we de oscillator aandrijven met een externe kracht dan spreken we van een gedreven oscillator. Het is mogelijk om de respons van een lineaire oscillator te berekenen voor een willekeurige externe kracht als deze kracht een gekende functie van de tijd is, onafhankelijk van de oscillator. De drijfkracht verricht arbeid waardoor er energie wordt opgeslagen in de oscillator. Als de drijffrequentie in de buurt komt van de natuurlijke frequentie van de oscillator, kan de amplitude van de oscillaties sterk toenemen; dit is resonantie. De mogelijkheid van een oscillator om energie op te slaan is echter gelimiteerd omdat er constant energie verwijderd wordt door wrijving. Als de herstellende kracht een niet-lineair deel bevat, dan spreken we van een anharmonische oscillator. In dit geval zal de periode afhankelijk zijn van de amplitude. Ook is het meestal niet meer mogelijk om de bewegingsvergelijking analytisch op te lossen. We zullen daarom gebruik maken van storingsrekening en Fourieranalyse om deze problemen te bestuderen. Voor de eenvoud beschouwen we enkel systemen met één vrijheidsgraad. 3.1. Stabiel of onstabiel evenwicht Een mechanisch systeem dat in rust is en dat in rust blijft, is in evenwicht. De evenwichtspunten van een systeem worden bepaald door te eisen dat alle veralgemeende krachten verdwijnen. Voor een conservatief systeem zijn dit alle configuraties waarvoor de potentiële energie V (q 1,..., q N ) stationair is. Een evenwichtspunt is dus een punt in de configuratieruimte waar alle partiële afgeleiden van de potentiële energie naar de coördinaten verdwijnen: δv = 0 V q 1 = = V q N = 0.

Stabiel of onstabiel evenwicht 30 Voorbeeld: de slinger Als voorbeeld beschouwen we de mathematische slinger. Er zijn twee punten waar de koppel te wijten aan de zwaartekracht gelijk is aan nul. De Lagrangiaan van de slinger wordt gegeven door L( θ, θ) = 1 2 ml2 θ2 mgl (1 cos θ), zodat de veralgemeende kracht (de koppel in dit geval) F θ = V = mgl sin θ, θ met evenwichtspunten θ = 0 en θ = π. De slinger blijft bewegingsloos als deze in rust geplaatst wordt in een van deze twee punten. De hoek θ = 0 is een stabiel evenwicht omdat het systeem na een kleine uitwijking oscillerend terugkeert naar de evenwichtspositie. Anderzijds is het punt θ = π een onstabiel evenwicht aangezien elke uitwijking zeer snel weg van het evenwicht wordt uitvergroot. Stabiel evenwicht In de buurt van θ = 0 kunnen we de cosinus expanderen zodat ( ) 2 L mgl l 2 g θ θ 2. In dimensieloze tijd τ = g l t en zonder de constante factor, vinden we L = 1 2 zodat de bewegingsvergelijking gegeven wordt door θ θ = 0, ( θ2 θ 2 ), (3.1) met algemene oplossing θ(t) = Ae it + Be it. Onstabiel evenwicht Analoog bekomen we rond θ = π met θ = θ π: L = 1 [ ( θ) 2 ] 2 + ( θ) 2, (3.2) zodat de bewegingsvergelijking gegeven wordt door θ + θ = 0, met algemene oplossing θ(t) = π + Ae t + Be t. Het belangrijkste verschil tussen stabiel evenwicht (3.1) en onstabiel evenwicht (3.2) is het teken van de term die kwadratisch is in de uitwijking. Deze term bepaalt namelijk of de kracht herstellend of uiteendrijvend werkt.

Lagrangiaan rond evenwicht 31 3.2. Lagrangiaan rond evenwicht De evenwichtspositie van een eendimensionaal systeem is het punt q ev waar de kracht q = 0. De meeste fysische systemen gedragen zich gelijkaardig rond hun evenwichtsposities. Een expansie van de Lagrangiaan rond evenwicht verduidelijkt dit. Als we een inertiaalstelsel kiezen waar q ev = q ev = 0, dan wordt de Lagrangiaan voor een scleronoom systeem rond evenwicht tot en met tweede orde gegeven door L = A + Bq + C q + Dq 2 + Eq q + F q 2, met A, B, C, D, E en F constanten 1 die afhangen van het systeem. De Euler-Lagrange bewegingsvergelijking wordt of d (C + Eq + 2F q) = B + 2Dq + E q, dt q D F q = 0, waar we B nul hebben gesteld omdat q = 0 in evenwicht. We zouden dezelfde bewegingsvergelijking gevonden hebben met de equivalente Lagrangiaan, waar L = q 2 ω 2 0q 2, ω 2 0 = D F. D In dimensieloze tijd τ = t kunnen we de Lagrangiaan schrijven als F L = 1 2 ( q 2 ± q 2), waar nu q dq/dτ. Het teken hangt enkel af van D omdat F > 0 aangezien het overeenkomt met een deel van de kinetische energie wat altijd positief is. Bovendien is de kinetische energie van een scleronoom systeem steeds een kwadratische functie van q, zodat er geldt dat D 2 L q 2 = 2 V ev q 2. ev Het teken van D wordt dus bepaald door de kromming van V in het evenwichtspunt. Als de kromming van V (q) in evenwicht positief is, dan vinden we q + q = 0 2 V q 2 > 0. ev 1 In een rheonoom systeem kunnen deze constanten tijdsafhankelijk zijn.

Eenvoudige harmonische oscillator 32 In dit geval werkt de kracht als gevolg van een kleine uitwijking q herstellend, zodat het evenwicht stabiel is. Als de kromming negatief is, dan geldt er q q = 0 2 V q 2 < 0, ev zodat elke uitwijking het systeem verder uit evenwicht drijft en het evenwicht onstabiel is. Als de kromming van V in evenwicht gelijk is aan nul, dan is het evenwicht labiel en moeten we hogere orde termen in rekening nemen. Deze termen zullen aanleiding geven tot niet-lineaire krachten. Voor eendimensionale systemen komen de minima van V (q) overeen met stabiele evenwichtspunten terwijl de maxima onstabiel zijn. In meerdere dimensies kunnen er ook zadelpunten zijn die stabiel zijn in één richting en onstabiel in de andere. 3.3. Eenvoudige harmonische oscillator De bewegingsvergelijking voor de stabiele beweging is gekend als de eenvoudige harmonische oscillator (EHO): q + q = 0. (3.3) Dit is een lineaire oscillator omdat bovenstaande vergelijking lineair 2 is. De belangrijkste eigenschap van een lineaire oscillator is dat de trillingsfrequentie onafhankelijk is van de trillingsamplitude. De slinger uit het voorbeeld gedraagt zich enkel als een lineaire oscillator voor kleine uitwijkingen rond θ = 0. De Hamiltoniaan voor de EHO, die voor een scleronoom systeem ook gelijk is aan de totale energie, wordt gegeven door zodat de totale energie constant is, H = 1 2 de dt ( q 2 + q 2) = E, = q ( q + q) = 0, waar we vanaf nu de dimensieloze tijd noteren als t in plaats van τ. Complexe oplossing voor de EHO De algemene complexe oplossing van (3.3) wordt gegeven door q c (t) = Ae it = A (cos (t + φ) + i sin (t + φ)), waar A Ae iφ. De betekenis van het reële en imaginaire deel van A is duidelijk: q(0) = Re (A), q(0) = Re (ia) = Im (A), 2 Een vergelijking is lineair als er enkel eerste machten van de variabele en zijn afgeleiden (q, q, q,...) in voorkomen.

Gedempte harmonische oscillator 33 zodat A = q(0) i q(0). Om de fysische oplossing te bekomen is het belangrijk om op het einde van de berekening steeds het reële deel te nemen. Dit is ook een oplossing omdat (3.3) lineair is met reële coëfficiënten. We vinden q(t) = A cos (t + φ) = (A cos φ) cos t + ( A sin φ) sin t = q(0) cos t + q(0) sin t. 3.4. Gedempte harmonische oscillator De Langrangiaanse methode werkt enkel voor conservatieve krachten, zodat we het effect van wrijving zelf moeten toevoegen aan de bewegingsvergelijking. We nemen aan dat de wrijvingskracht evenredig is met de snelheid, zodat de vergelijking lineair blijft: q + q Q + q = 0, waar we de positieve dimensieloze constante Q gedefinieerd hebben. Men noemt dit de kwaliteitsfactor van de oscillator. De oplossing van de bovenstaande vergelijking kunnen we vinden door de proefoplossing q(t) = e iαt te substitueren, ( α 2 + iq α + 1 ) e iαt = 0, zodat α = i 2Q ± 1 1 4Q. 2 Afhankelijk van de waarde van de discriminant zijn er drie verschillende soorten oplossingen: ondergedempt, overgedempt en kritisch gedempt. Ondergedempt Q > 1 2 In dit geval wordt de algemene complexe oplossing gegeven door q c (t) = Ae t 2Q e iω t, ω 1 1 4Q, 2 en de fysische oplossing door q(t) = Ae t 2Q cos (ω t + φ). De twee onafhankelijke oplossingen worden getoond in Figuur 3.1a voor Q = 10. In dit geval is de trilling exponentieel gedempt; er wordt energie van de oscillator afgenomen, meestal in de vorm van warmte. Hoe kleiner Q, hoe sneller de trillingen uitdoven. Ook neemt de trillingsfrequentie ω 0 af met een factor 1 1. 4Q 2

Gedempte harmonische oscillator 34 Overgedempt Q < 1 2 Nu zijn er geen trillingen meer omdat ω imaginair is. Een voorbeeld van een overgedempte trilling is een slinger in stroop. Als we de slinger verplaatsen en laten gaan, dan keert de slinger heel traag terug naar de evenwichtspositie zonder er voorbij te gaan. De algemene oplossing wordt gegeven door met q(t) = Ae λ +t + Be λ t, λ ± = 1 ± 1 4Q 2 2Q > 0. De constanten A en B worden gevonden uit de beginvoorwaarden: q(0) = A + B, q(0) = (λ + A + λ B). De twee onafhankelijke oplossingen worden in Figuur 3.1c getoond voor Q = 0.1. Kritisch gedempt Q = 1 2 Als Q = 1 2 dan heeft de kwadratische vergelijking maar één wortel, q(t) = q(0)e t. Omdat er twee beginvoorwaarden zijn, moeten we een tweede onafhankelijke oplossing vinden. We kunnen deze oplossing vinden aan de hand van de oplossing voor de overgedempte trilling door Q = 1 ɛ te nemen in de limiet ɛ 0. In laagste orde geldt 2 zodat λ ± = 1 ± 2 ɛ, q(t) = (A + B) e t 2 ɛ (A B) te t = q(0)e t + (q(0) + q(0)) te t. Figuur 3.1b toont de twee onafhankelijke oplossingen voor Q = 0.5. Fysische betekenis van Q Het energieverlies van de ondergedempte trilling wordt gegeven door Als we dit invullen dan vinden we de dt = 1 Q A2 e de dt = q ( q + q) = 1 Q q2. t Q ( 1 Q cos (ω t + φ) + ω sin (ω t + φ) ) 2.

Gedreven harmonische oscillator 35 q(t) 1.0 0.5 q(t) 1.0 0.8 0.6 t 10 20 30 40 0.4 0.5 0.2 1.0 (a) q(t) 1.0 1 2 3 4 5 (b) t 0.8 0.6 0.4 0.2 t 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 (c) Figuur 3.1.: De twee onafhankelijke oplossingen van de gedempte harmonische oscillator. (a) Q = 10, ondergedempt; (b) Q = 0.5, kritisch gedempt; (c) Q = 0.1, overgedempt. De energie neemt dus exponentieel af met tijdsconstante Q. Gemiddeld gezien kunnen we dus schrijven de dt = E Q. Na één periode t = 2π is de fractie aan verloren energie voor Q 1, E E 0 = 2π Q. (3.4) 3.5. Gedreven harmonische oscillator Laten we nu een oscillator beschouwen die aangedreven wordt door een externe kracht. Deze drijfkracht kan negatieve en positieve arbeid leveren, zodat er energie afgenomen en opgeslagen wordt in het systeem. Onderstel dat de drijfkracht f(t) een gekende functie

Gedreven harmonische oscillator 36 is van de tijd zonder eigen dynamica, onafhankelijk van de oscillator. De bewegingsvergelijking wordt q + q = f(t). (3.5) Omwille van de drijfkracht is de bewegingsvergelijking inhomogeen geworden, zodat we niet langer nieuwe oplossingen kunnen maken uit lineaire combinaties van andere oplossingen (superpositie principe). Stel nu dat we een oplossing vinden voor (3.5) die we de steady state oplossing q s noemen. Als we hier een oplossing van de vrije oscillator bij optellen, de transiënte oplossing q t, dan is dit nog steeds een oplossing. De meest algemene oplossing wordt dus gegeven door waar q = q s + q t, q s + q s = f(t) q t + q t = 0. Het systeem ondersteunt dus zowel vrije als gedreven trillingen, die meestal met verschillende frequenties oscilleren. De beginvoorwaarden kunnen dan vastgelegd worden met de constanten uit de transiënte oplossing q t. Als we geen steady state oplossing hebben, kunnen we de Greense functie methode gebruiken om de bewegingsvergelijking op te lossen. Dit is een zeer krachtige methode die werkt voor elke lineaire inhomogene vergelijking. De Greense functie wordt gedefinieerd als de oplossing van (3.5) voor een speciale drijfkracht: een korte krachtige schok zoals een hamerslag. We geven eerst een voorbeeld van de steady state methode voor een gedreven gedempte harmonische oscillator door de vergelijking op te lossen voor een constante kracht die plots aangezet wordt. 3.5.1. Constante drijfkracht Stel dat het systeem in rust is voor t < 0 tot er op t = 0 een constante kracht f 0 aangebracht wordt. De bewegingsvergelijking voor t 0 wordt gegeven door q + q Q + q = f 0. (3.6) Beschouw bijvoorbeeld een (ijzeren) slinger in rust waar plots een constante horizontale kracht op inwerkt, bijvoorbeeld door een magneet. De slinger zal oscilleren rond een nieuw evenwicht; dit is de transiënte oplossing. Als de slinger gedempt is, dan zullen de trillingen uitdoven totdat de slinger tot rust komt in het punt q = f 0 ; dit is de steady state oplossing. Zowel q en q moeten continu zijn omdat de kracht q maar een eindige discontinuïteit vertoont in t = 0. De snelheid vertoont daar wel een kink aangezien de afgeleide q niet continu is. Als we f 0 gelijkstellen aan 1 dan wordt de algemene oplossing q(t) = 1 + q t (t) = 1 + Aq 1 (t) + Bq 2 (t),

Gedreven harmonische oscillator 37 met q 1 en q 2 de twee onafhankelijke oplossingen van de homogene vergelijking. In t = 0 moeten de uitwijking q en de snelheid q continu zijn, Ongedempte trilling q(0) = 1 + Aq 1 (0) + Bq 2 (0) = 0 q(0) = A q 1 (0) + B q 2 (0) = 0. De transiënte oplossingen worden gegeven door Uit de continuïteitsvoorwaarde volgt dat q 1 (t) = cos t, q 2 (t) = sin t. A = 1, B = 0, zodat de oplossing voor t 0 gegeven wordt door q(t) = 1 cos t = 2 sin 2 ( t 2 ). (3.7) In dit geval doven de transiënte oscillaties niet uit omdat er geen demping is. Ondergedempte trilling Voor de ondergedempte trilling vinden we, q 1 (t) = e t 2Q cos ω t, q 2 (t) = e t 2Q sin ω t. Uit de continuïteitsvoorwaarde volgt dat A = 1, B = 1 2Qω, zodat de oplossing voor t 0 gegeven wordt door q(t) = 1 e t 2Q ( cos ω t + 1 2Qω sin ω t In Figuur 3.2 wordt deze respons getoond voor Q = 2. Merk op dat zowel q als q nul zijn in de oorsprong. De nieuwe evenwichtspositie q = 1 wordt bereikt nadat de transiënte oscillaties, geëxciteerd door de discontinue kracht, uitdoven. ).

Gedreven harmonische oscillator 38 q(t) q(t) 1 0.5 0.2 t 5 20 t 5 20 (a) (b) Figuur 3.2.: (a) Respons van de ondergedempte harmonische oscillator, gedreven met een constante drijfkracht f 0 = 1, die plots aangezet wordt voor Q = 2. De overeenkomende snelheid (b) heeft geen continue afgeleide omwille van de discontinue kracht, aangezien het systeem aanvankelijk in rust is. 3.5.2. Greense functie voor de EHO Nu beschouwen we een impulsieve kracht die inwerkt op een vrije oscillator in rust op het tijdstip t = t. Een impulsieve kracht is een oneindig sterke maar infinitesimaal korte kracht die een eindige impuls overbrengt. Daartoe definiëren we de Greense functie G als de oplossing, G + G = δ (t t ), waar de Dirac delta functie δ(x) de impulsieve kracht voorstelt. Dit is eigenlijk geen functie, maar een notatie voor een limiet van een functie. De belangrijkste eigenschappen van δ(x) zijn δ(x 0) = 0, dx δ(x) = 1. We kunnen δ(x) beschouwen als een smalle, sterk gepiekte functie in de limiet dat de breedte van de piek naar nul gaat, terwijl het oppervlak onder de kromme constant blijft en gelijk is aan 1. Binnen de infinitesimaal kleine breedte is elke brave functie f(x) constant zodat dx f(x)δ(x) = f(0) dx δ(x) = f(0). Greense functie voor de vrije trilling (methode 1) De Greense functie kan bepaald worden door de korte impuls te benaderen met een vierkante puls op t = 0 van lengte ɛ 1 en hoogte 1/ɛ, f(t) = 1 [θ (t) θ (t ɛ)]. ɛ

Gedreven harmonische oscillator 39 Omdat (3.6) lineair is, wordt de respons gegeven door q(t) = 1 ɛ [q stap (t) q stap (t ɛ)], waar q stap (t) de respons is van een vrije oscillator op een constante drijfkracht, gegeven door (3.7). In de limiet ɛ 0 vinden we Uit (3.7) volgt 1 dθ f(t) δ(t) = lim [θ (t) θ (t ɛ)] = ɛ 0 ɛ dt 1 q(t) G(t) = lim ɛ 0 ɛ [q stap (t) q stap (t ɛ)] = dq stap. dt G (t t ) = sin (t t ) θ (t t ), (3.8) waar we de oorsprong verplaatst hebben naar t = t. De θ-functie weerspiegelt causaliteit; de oscillator kan niet reageren voor de impuls zodat G (t < t ) = 0. Men noemt (3.8) daarom de causale Greense functie. Greense functie voor de vrije trilling (methode 2) Alternatief kunnen we de Greense functie vinden uit het feit dat er alleen op t = t een kracht aangebracht wordt. De oscillator is in rust voor t < t zodat dan G = 0, en voor t > t is G een oplossing van de vrije oscillator. Daarnaast moet G continu zijn in t zodat G (t t ) sin (t t ) θ (t t ). Omdat de afgeleide Ġ verspringt in t met de eenheid, gaat de gelijkheid op. We bewijzen dit door de vergelijking te integreren rond t over een klein interval van breedte 2ɛ, t +ɛ t ɛ dt ( G + G) = t +ɛ t ɛ dt δ (t t ) = 1. Anderzijds kunnen we het linkerlid verder uitwerken met t +ɛ t ɛ dt G = Ġ (ɛ) Ġ ( ɛ), en t +ɛ dt G 2ɛ G(0), t ɛ in laagste orde. In bovenstaande vergelijking hebben we verondersteld dat G continu is, en ɛ klein genoeg. In de limiet ɛ 0 vinden we ] lim [Ġ (ɛ) Ġ ( ɛ) = 1. ɛ 0

Gedreven harmonische oscillator 40 Greense functie voor de gedempte trilling Nu wordt de Greense functie voor t > t gegeven door de oplossing van de ondergedempte oscillator: G = e t t 2Q (A cos [ω (t t )] + B sin [ω (t t )]). Op t = t is G continu en verspringt Ġ met de eenheid3 waaruit volgt dat A = 0, B = 1 ω. De Greense functie voor de ondergedempte oscillator wordt dus gegeven door 3.5.3. Willekeurige kracht G (t t ) = 1 t t e 2Q ω sin [ω (t t )] θ (t t ). Elke willekeurige kracht kan benaderd worden door een som van eindige vierkante impulsen met breedte ɛ, F (t) ( F i [θ t t i + ɛ ) ( θ t t i ɛ )], 2 2 i waar de t i uniform verdeeld zijn en F i de gemiddelde waarde is van F (t) in het interval t i ɛ/2 t < t i + ɛ/2. In de limiet ɛ 0 geldt dus F (t) = dt F (t )δ(t t ). Als we deze vergelijking voor F (t) beschouwen als een oneindige som, dan stelt het superpositie principe dat de oplossing gegeven wordt door een superpositie van Greense functies gewogen met F (t ). Eens we de Greense functie kennen, kunnen we de oplossing meteen neerschrijven: q(t) = c 1 q 1 (t) + c 2 q 2 (t) + dt F (t )G(t t ), waar de constanten c 1 en c 2 de beginvoorwaarden vastleggen. Controleer zelf dat dit een oplossing is van de bewegingsvergelijking. Voor de eenvoudige harmonische oscillator wordt de oplossing expliciet gegeven door q(t) = c 1 cos t + c 2 sin t + t dt F (t ) sin(t t ). (3.9) De eindige bovenlimiet in de integraal verschijnt omdat we de causale Greense functie gebruiken. De Greense functie techniek werkt voor elke lineaire vergelijking en wordt doorheen heel de fysica gebruikt. 3 In de integratie van de vergelijking zal de term in Ġ niet bijdragen omdat G continu is.

Resonantie 41 3.6. Resonantie Laten we nu het effect van een sinusoïdale drijfkracht bestuderen met een frequentie die in de buurt ligt van de natuurlijke oscillatorfrequentie: 3.6.1. Ongedempte trilling F (t) = θ(t) cos ωt. Eerst kijken we naar de ongedempte trilling. We veronderstellen dat de oscillator initieel in rust is, en dat de drijffrequentie gelijk is aan de natuurlijke frequentie van de oscillator ω = ω 0 = 1. In dit geval is de drijfkracht in resonantie met de ongedempte oscillator. De oplossing wordt gegeven door (3.9), q(t) = t = 1 4i dt cos t sin(t t ) 0 t 0 = t sin t 2 ( dt e it + e it ) ( ) e i(t t ) e i(t t ) 1 2 t 0 dt sin(2t t) = t sin t 2, zodat de amplitude onbegrensd stijgt. Een ongedempte harmonische oscillator, gedreven op zijn natuurlijke frequentie zal een onbeperkte, steeds toenemende hoeveelheid energie opslaan. Echter omwille van demping en niet-lineaire termen zullen echte oscillatoren een evenwicht bereiken na voldoende tijd. 3.6.2. Ondergedempte trilling De respons van het systeem onder invloed van een sinusoïdale drijfkracht zal initieel bestaan uit trillingen met zowel de natuurlijke oscillatorfrequentie als de drijffrequentie. Na een tijdje bereikt het systeem een evenwicht, waar het verlies aan wrijving juist gecompenseerd wordt door de drijfkracht. Er is dan nog maar één frequentie aanwezig, het systeem beweegt synchroon met de externe drijfkracht. De respons (als het systeem initieel in rust is) wordt gegeven door q(t) = q s (t; ω) + q t (t; ω ) = t 0 dt cos } {{ ωt } G(t t ), F (t ) met ω de frequentie van de drijfkracht en ω = 1 1/4Q 2 de natuurlijke frequentie van de ondergedempte oscillator. De oscillator is in rust voor t < 0 en voor t 0 bestaat de respons uit een steady state q s en een vrije oscillatie q t. De vrije oscillatie dempt uit na ongeveer Q/2π periodes wat volgt uit (3.4) zodat enkel de steady state overblijft en het systeem maar één frequentie heeft aangezien de vergelijking lineair is. In de steady state, reageert een lineair systeem altijd met de drijffrequentie. Hiermee kunnen we de

Resonantie 42 10 8 A(ω) 6 4 2 0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 Figuur 3.3.: Steady state amplitude van de sinusoïdaal gedreven ondergedempte harmonische oscillator als functie van de drijffrequentie voor Q = 1 (volle lijn), Q = 5 (gestreepte lijn) en Q = 10 (gestippelde lijn). ω steady state oplossing vinden zonder de integraal expliciet op te lossen. De drijfkracht kan geschreven worden als F (t) = θ(t) Re [ e iωt], zodat de steady state oplossing gevonden wordt door q 0 e iωt te substitueren in (3.5) en vervolgens het reële deel te nemen, [ ] e iωt q s (t) = Re 1 ω 2 + i ω = (1 ω2 ) cos ωt + ω sin ωt Q Q (1 ω 2 ) 2 + w2 (3.10) Q 2 A(ω) cos [ωt + φ(ω)], waar we de amplitude A, en het faseverschil φ tussen de respons en de sinusoïdale drijfkracht gedefinieerd hebben. Voor de amplitude vinden we A(ω) = 1, (1 ω 2 ) 2 + ω2 Q 2 wat getoond wordt in Figuur 3.3 als functie van de drijffrequentie. De opgeslagen energie is evenredig met het kwadraat van de amplitude zodat E 1 (1 ω 2 ) 2. + ω2 Q 2 Als functie van de drijffrequentie vertoont de energie een scherpe resonantiepiek bij de resonantiefrequentie ω r. Uit de = 0 volgt dω ω r = 1 1 2Q, 2

Resonantie 43 wat niet gelijk is aan de natuurlijke frequentie van de vrije oscillator ω. In het geval dat Q 1, is ω 1 in de buurt van de piek zodat 1 ω 2 = 1 [(1 ω) 1] 2 2 (1 ω), ω 2 Q 2 1 Q 2, waaruit volgt dat de opgeslagen energie benaderd kan worden als E 1 (1 ω) 2, Q 1. + 1 4Q 2 In dit geval volgt de opgeslagen energie een Lorentzverdeling in de buurt van de piek. Het maximum van de piek schaalt als Q 2 en de breedte bij de helft van het maximum wordt gegeven door (in echte eenheden) ω ω 0 = 1 Q, waar ω 0 de frequentie is van de vrije ongedempte oscillator die bijna gelijk is aan de resonantiefrequentie aangezien Q 1. Aan de hand van deze vergelijking kan men Q experimenteel bepalen op een eenvoudige wijze. We zien dus dat hoge Q waarden (weinig wrijving) naast een traag verval van de transiënte oplossing, ook overeenkomen met een smalle en hoge resonantiepiek van de opgeslagen energie in de steady state als functie van de drijffrequentie. Faseverschil tussen respons en drijfkracht De respons wordt getoond in Figuur 3.4. In de steady state (na een aantal periodes) beweegt het systeem synchroon met de drijfkracht, d.i. het faseverschil is constant. Op resonantie (Figuur 3.4b) is het faseverschil gelijk aan π/2 zodat een extremum van de drijfkracht overeenkomt met een node van de respons. Bij frequenties onder de resonantie (Figuur 3.4a) is er geen faseverschil en boven de resonantie (Figuur 3.4c) is het faseverschil gelijk aan π. De oscillator loopt achter op het drijvend signaal met een tijd t = φ. Uit vergelijking (3.10) vinden we dat het faseverschil bepaald wordt door ω ω Q tan φ = 1 ω. 2 Hieruit volgt dat π < φ < 0 omdat sin φ = Aω/Q < 0, zodat de oscillator steeds achterloopt op het drijfsignaal. De faseachterstand φ(ω) in de buurt van de resonantie ω = ω r wordt getoond in Figuur 3.5. Naarmate Q groter wordt, is de faseachterstand klein onder de resonantie, terwijl de faseachterstand in de buurt van de resonantie zeer snel gelijk wordt aan π/2. Zodra we over de resonantie gaan, bereikt de faseachterstand zeer snel de waarde π voor grote Q.

Resonantie 44 q(t) 2 t 2 q(t) (a) 4 t 4 q(t) (b) 2 t 2 (c) Figuur 3.4.: Respons van de ondergedempte harmonische oscillator (volle lijn) die gedreven wordt in de buurt van resonantie met drijfkracht F (t) = cos ωt (onderbroken lijn) voor Q = 10. (a) ω = 0.8 (onder resonantie); (b) ω = 1 (op resonantie); (c) ω = 1.2 (boven resonantie).

Anharmonische effecten 45 0 φ(ω) π 2 π 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 Figuur 3.5.: Faseverschil φ(ω) tussen de respons q(t) en de drijfkracht F (t) als functie van de drijffrequentie ω voor Q = 1 (volle lijn), Q = 5 (gestreepte lijn) en Q = 10 (gestippelde lijn). 3.7. Anharmonische effecten 3.7.1. Correctie op de periode De bewegingsvergelijking van een eendimensionaal scleronoom systeem is ω q + dv dq = 0. Als we aannemen dat de potentiaal symmetrisch is, zodat V ( q) = V (q), dan wordt de reeksontwikkeling van V rond q = 0 gegeven door V (q) = 1 2 q2 + ɛ 4 q4 + O(q 6 ), (3.11) waar we de eenheden zo kiezen dat de coëfficiënt van q 2 gelijk is aan 1/2. De term in q 4 noemt men een anharmonische term, aangezien deze overeenkomt met het niet-lineair deel van de bewegingsvergelijking. De onbekende constante ɛ is dan een maat voor de sterkte van het anharmonische deel van de potentiaal. We gaan nu onderzoeken hoe de periode van de oscillatie afhangt van de amplitude als ɛ verschillend is van nul. Voor een scleronoom systeem is de totale energie E = 1 2 q2 + V (q), een constante van beweging. De snelheid kan geschreven worden als q = ± 2 (E V (q)),

Anharmonische effecten 46 zodat voor q > 0: dt = dq 2 (E V (q)). Als we het rechterlid integreren van q = 0 tot q = q max met q max de maximale amplitude en de potentiaal (3.11) invullen dan vinden we, met T de periode, T 4 = qmax 0 dq 2E q2 ɛ 2 q4. Omdat de energie constant is, geldt dat E = 1 2 q2 max + ɛ 4 q4 max, aangezien q max = 0. Als we nu de substitutie q = q max x uitvoeren dan geeft dit T 4 = 1 0 dx. (1 x 2 ) + ɛq2 max (1 x 2 4 ) In de limiet ɛ 0 keren we terug naar het lineaire systeem en wordt de periode onafhankelijk van de amplitude, zoals we verwachten. Vervolgens expanderen we de vierkantswortel in ɛ = ɛq2 max 2 : 1 1 x 2 1 1 + (1 + x2 ) ɛ = [ 1 1 1 ( ) 1 + x 2 ɛ + 3 ( ) ] 1 + x 2 2 ɛ 2 + O(ɛ 3 ). 1 x 2 2 8 Substitueren we nu x = sin u, dan krijgen we T 4 = π/2 Gebruik makend van 0 du [ 1 1 ( 1 + sin 2 u ) ɛ + 3 ( 1 + sin 2 u ) ] 2 ɛ 2 +. 2 8 sin 2 u = 1 (1 cos 2u) 2 vinden we sin 4 u = 1 (3 4 cos 2u + cos 4u), 8 du sin 2 u = 1 (2u sin 2u) 4 du sin 4 u = 1 (12u 8 sin 2u + sin 4u). 32 Na uitwerking van de integraal, vinden we uiteindelijk voor de periode ( T = 2π 1 3 4 ɛ + 57 ) 64 ɛ 2 +. (3.12) Merk op dat als ɛ > 0, de periode korter wordt als de amplitude toeneemt. Dit is wat men verwacht voor een starre veer waar de herstellende kracht sterker dan lineair toeneemt met de uitwijking.

Anharmonische effecten 47 Voorbeeld: de slinger Voor de slinger hebben we ( 1 V = mgl (1 cos θ) = mgl 2 θ2 1 ) 24 θ4 +. Als we dit vergelijken met (3.11) dan vinden we ɛ = 1 zodat de periode van de slinger 6 met de anharmonische correctie 4 gelijk is aan ( l T = 2π 1 + 1 ) g 16 θ2 max +. Omdat de periode langer is voor grotere amplitudes, is de potentiaal zacht. We hadden dit resultaat kunnen voorspellen uit het feit dat de herstellende kracht sin θ kleiner is dan θ voor grotere hoeken. 3.7.2. Lindstedt-Poincaré storingstheorie We kennen nu de correctie op de periode omwille van een anharmonische term, maar niet de correctie op de respons van het systeem. Hiervoor kunnen we Lindstedt-Poincaré storingstheorie gebruiken. We zullen zien dat de correctie op de respons bijkomende harmonieken van de verschoven frequentie introduceert. De niet-lineaire oscillator van hierboven met een kubische herstellende kracht (of een kwartische potentiaal) wordt de Duffing oscillator genoemd. De bewegingsvergelijking wordt gegeven door q + q + ɛq 3 = 0, met ɛ een maat voor de sterkte van de niet-lineaire term. Voor de eenvoud nemen we de beginvoorwaarden q(0) = A en q(0) = 0. Om deze vergelijking op te lossen, proberen we eerst een reeksontwikkeling van q(t) in machten van ɛ: q(t) = q 0 (t) + ɛq 1 (t) + ɛ 2 q 2 (t) + = ɛ k q k (t). Als we deze uitdrukking in de bewegingsvergelijking steken, dan krijgen we een stelsel van oneindig veel vergelijkingen door de termen in gelijke machten van ɛ afzonderlijk gelijk aan nul te stellen. Dit is de enige mogelijkheid aangezien ɛ een variabele is, en de gelijkheid voor alle ɛ opgaat. We vinden een vergelijking voor elke orde k waarvan de oplossing, de vergelijking voor k + 1 vastlegt. De eerste drie vergelijkingen worden gegeven door k=0 q 0 + q 0 = 0 (3.13) q 1 + q 1 = q 3 0 (3.14) q 2 + q 2 = 3q 2 0q 1. 4 De term in θ 4 max is niet helemaal juist in deze benadering (ongeveer tweemaal te groot) omdat we een bijdrage missen van de θ 6 term in de potentiaal.

Anharmonische effecten 48 De oplossing van (3.13) wordt gegeven door q 0 = A cos t. Deze oplossing kunnen we vervolgens gebruiken om de q 1 (t) te vinden met (3.14), enzovoort. We kunnen de niet-lineaire termen beschouwen alsof het inhomogene drijftermen zijn, zodat voor elke orde kunnen schrijven, q k + q k = F k (t), met q k (0) = Aδ k0 en q k (0) = 0. De Greense functie methode geeft de unieke oplossing Voor q 1 (t) vinden we q k (t) = t 0 dt F k (t ) sin(t t ), k > 0. t q 1 (t) = A 3 dt cos 3 t sin(t t ) 0 t = A3 16i 0 [ t = A3 8 = A3 32 = A3 32 0 ( 3t ( dt e i3t + 3e it + 3e it + e i3t ) ( ) e i(t t) e i(t t) t ( 3t ) dt (3 sin(2t t) sin(2t + t) + sin(4t t) 3t sin t t du sin u 2 3t du sin u + 12t sin t = A3 (cos 3t cos t 12t sin t), 32 t ) du sin u 12t sin t ) ] (3.15) waar we zowel in de 3de als de 4de stap gebruik gemaakt hebben van het feit dat de sinus een oneven functie is. Deze oplossing is echter niet fysisch aangezien de amplitude onbegrensd toeneemt, hoewel de energie van de Duffing oscillator behouden is. Dit komt omdat q0 3 een term cos t bevat 5 die zich gedraagt als een resonante drijfterm. De resulterende niet-fysische term t sin t in de oplossing noemt men een seculiere term. De oplossing voor dit probleem werd gevonden door Lindstedt en Poincaré. Zij beseften dat men een functie waarvan de periode verandert met de amplitude, probeert uit te drukken in termen van functies met een vaste periode 2π. Daarom stelden ze voor om ook van de frequentie een veranderlijke te maken: ω 1 + ɛω 1 + ɛ 2 ω 2 +, (3.16) zodat de periode kan veranderen met de amplitude. De reeksontwikkeling wordt q(s) = ɛ k q i (s), k=0 5 Dit volgt uit cos 3 t = 1 4 (3 cos t + cos 3t).

Anharmonische effecten 49 met s = ωt. Met de extra vrijheidsgraden ω 1 en ω 2 kunnen we de seculiere termen verwijderen. De bewegingsvergelijking voor q(s) wordt ω 2 q + q + ɛq 3 = 0, waar nu q dq/ds. Stellen we wederom de termen met gelijke machten in ɛ aan elkaar gelijk, dan bekomen we q 0 + q 0 = 0 (3.17) q 1 + q 1 = q 3 0 + 2q 0 ω 1 (3.18) q 2 + q 2 = 3q 2 0q 1 + 2 ( q 1 + q 3 0) ω1 + q 0 ( 2ω2 3ω 2 1). De oplossing van (3.17) is nog steeds q 0 = A cos s. Als we deze oplossing in (3.18) substitueren, dan vinden we q 1 + q 1 = (2Aω 1 34 ) A3 cos s A3 cos 3s. 4 Om de seculiere term te verwijderen, stellen we zodat de oplossing gegeven wordt door ω 1 = 3 8 A2, q 1 = A3 (cos 3s cos s). 32 Dit resultaat is analoog aan (3.15) door op te merken dat de seculiere term afkomstig van de drijfterm cos t (onderlijnd in de vergelijking) wegvalt. Samen met (3.16) vinden we de periode tot eerste orde in de niet-lineaire storing (vergelijk met uitdrukking (3.12)), ( T = 2π 1 3 ) 8 ɛa2 +. Voor de volledigheid geven we ook de 2de orde correctie die veel meer (doch eenvoudig) rekenwerk vereist. Men vindt ω 2 = 21 256 A4, en A5 q 2 = (23 cos s 24 cos 3s + cos 5s). 1024 De periode wordt dan tot tweede orde in ɛ gegeven door ( T = 2π 1 3 8 ɛa2 + 57 ( ) ) ɛa 2 2 +. 256

Anharmonische effecten 50 10 8 A1(ω) 6 4 2 0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 Figuur 3.6.: De amplitude A 1 (ω) voor f = 1 met ɛ = 0.1 (volle lijn) en ɛ = 0 (onderbroken lijn) als functie van de drijffrequentie ω. 3.7.3. Gedreven anharmonische oscillator In het geval van een gedreven lineaire oscillator reageert het systeem steeds met de drijffrequentie in de steady state, en als de drijffrequentie in de buurt van de natuurlijke frequentie ligt, treedt er resonantie op. Als er een kleine anharmonische term aanwezig is, zijn er nog steeds oplossingen met dezelfde periode als het drijfsignaal maar er zullen ook hogere harmonieken aanwezig zijn. In dit deel zullen we zulke oplossingen bestuderen met de gedreven Duffing oscillator: ω q + q Q + q + ɛq3 = f cos ωt. (3.19) Harmonische analyse Beschouw eerst het geval zonder wrijving (Q ). De oplossingen van (3.19) zijn in het algemeen niet periodiek, maar we gaan hier op zoek naar een periodieke oplossing. Enkel voor speciale beginvoorwaarden zal de oplossing stabiel zijn met een vaste periode 2π. Voor de eenvoud zullen we alvast q(0) = 0 nemen, zodat we de oplossing kunnen ω schrijven als een Fourier reeks van cosinussen. Bovendien zullen we enkel oplossingen zoeken die oneven harmonieken bevatten (omdat dan geldt t t + π/ω, q q): q(t) = A n (ω) cos(nωt). n=1,3,5,... Omdat in de limiet ɛ 0 enkel de eerste harmoniek kan optreden, onderstellen we dat de dominante termen van de Fourier reeks gegeven worden door q(t) = A 1 cos ωt + A 3 cos 3ωt +. (3.20)

Anharmonische effecten 51 6 5 4 A(ω) 3 2 1 0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 Figuur 3.7.: Anharmonische resonantie. Reële oplossingen A(ω) van (3.22) voor f = 1 en ɛ = 0.1 als functie van ω met Q = 1 (blauw), Q = 5 (rood) en Q = 10 (groen). De onderbroken delen van de curven zijn onstabiel. ω Als we deze uitdrukking in de bewegingsvergelijking (3.19) steken (zonder de term te wijten aan demping) dan vinden we ( ) 1 ω 2 A 1 cos ωt + ( 1 9ω 2) A 3 cos 3ωt + ( 3 + ɛ 4 A3 1 cos ωt + 1 ) 4 A3 1 cos 3ωt + = f cos ωt, waar we alle termen kleiner of gelijk aan ɛa 2 1A 3 verwaarloosd hebben. Door de coëfficiënten per harmoniek aan elkaar gelijk te stellen, bekomen we ( 1 ω 2 ) A 1 + 3 4 ɛa3 1 = f, A 3 = 1 4 (9ω 2 1) ɛa3 1. (3.21) Zolang ω 1/3 en ɛ klein is, geldt onze aanname in (3.20). Voor ω = 1, f = 1 en ɛ = 0.1 vinden we bijvoorbeeld A 1 2.371 en A 3 0.042. De amplitude A 1 (ω) wordt gegeven door de reële oplossingen van (3.21) en wordt voor f = 1 en ɛ = 0.1 getoond als functie van ω in Figuur 3.6. Als men het systeem in rust initialiseert met amplitude A 1 (ω) dan zal de respons van de anharmonische oscillator periodiek zijn. Merk op dat er niets speciaals gebeurt voor ω = 1, terwijl voor de lineaire oscillator waar ɛ = 0, A 1 divergeert. Zo kan je zien dat zelfs een kleine anharmonische term, de resonantie kan stabiliseren. Foldover effect en hysteresis Tot nu hebben we enkel de oplossing zonder wrijving bestudeerd. In dit geval vinden we dat de amplitude voor een periodieke oplossing in eerste orde als functie van de

Anharmonische effecten 52 drijffrequentie gegeven wordt door een kubische vergelijking. We zullen nu kijken hoe wrijving de respons beïnvloedt. Voor een semi-kwantitatieve bespreking van de periodieke respons in de aanwezigheid van wrijving, is het vooral belangrijk het faseverschil tussen het drijfsignaal en de oscillator in rekening te nemen. Onderstel daarom dat de oplossing gegeven wordt door de eerste harmoniek, q(t) = A cos(ωt + φ) a cos ωt + b sin ωt, Als we deze oplossing in de vergelijking steken en alle harmonieken buiten de eerste laten vallen, dan vinden we a (1 ω 2 + 34 ) ɛa2 + bω Q = f b (1 ω 2 + 34 ) ɛa2 aω Q = 0. Door beide vergelijkingen te kwadrateren en het resultaat met elkaar op te tellen, vinden we een kubische vergelijking voor A 2, A 2 = f 2 ( 1 ω2 + 3 4 ɛa2) 2 + ω 2 Q 2. (3.22) De faseachterstand wordt gevonden uit de tweede vergelijking, ω Q tan φ = b a = 1 ω 2 + 3. (3.23) ɛa2 4 De reële oplossingen A(ω) van (3.22) voor f = 1 en ɛ = 0.1 worden getoond als functie van ω in Figuur 3.7 voor Q = 1, Q = 5 en Q = 10 (vergelijk met Figuur 3.3). Beschouw bijvoorbeeld de curve voor Q = 10 en stel dat we vertrekken van een oscillator in rust met A = 0, wanneer we plots een drijfkracht aanzetten met een zeer hoge frequentie. We verwachten dan dat de respons van de anharmonische oscillator periodiek is met periode 2π, en dat voornamelijk de eerste harmoniek bijdraagt. Als we de frequentie verlagen ω dan neemt de amplitude continu toe tot ω 1.3 waar de amplitude een discontinue sprong maakt naar de hogere tak van de curve (foldover effect). Verhogen we nu weer de frequentie, dan neemt de amplitude toe tot de resonantie op ω 1.8 waar de amplitude naar de lagere tak valt. Zulk gedrag noemt men een hysteresis effect. De uitkomst is afhankelijk van de zin waarmee we de drijffrequentie over de resonantie brengen. Merk ook op dat de hysteresis zwakker wordt naarmate de wrijving toeneemt. In Figuur 3.8a tonen we de amplitude voor verschillende waarde van de sterkte van de anharmonische term: ɛ = 0 (lineaire oscillator), ɛ = 0.1 (harde potentiaal) en ɛ = 0.003 (zachte potentiaal). De overeenkomende faseachterstand wordt getoond in Figuur 3.8b.

Anharmonische effecten 53 12 10 8 A(ω) 6 4 2 0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 (a) ω 0 φ(ω) π 2 π 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 Figuur 3.8.: (a) Reële oplossingen A(ω) van (3.22) voor f = 1 en Q = 10 als functie van ω met ɛ = 0 (blauw), ɛ = 0.1 (rood) en ɛ = 0.003 (groen). (b) De overeenkomende faseachterstand φ(ω) van (3.23). De onderbroken delen van de curven zijn onstabiel. ω (b)

Deel II. Relativiteit

4. Tensorrekening Een belangrijk doel van de wetenschap is de wetmatigheden in de Natuur naar een zo klein mogelijk aantal regels en verbanden te herleiden, i.e. wetten van de Natuur. Deze wetten moeten onafhankelijk zijn van de waarnemer die de wereld observeert vanuit zijn referentiestelsel. Dit noemt men het relativiteitsbeginsel. Een gebeurtenis is een waarneming van de positie van een fysisch object in functie van de tijd. Alle andere grootheden (e.g. krachten, velden,... ) zijn in functie van deze waarnemingen afgeleid. Deze grootheden en hun wiskundige structuur laten toe de wetten die de beweging van objecten beschrijven, compact neer te schrijven. Elke gebeurtenis kan door de waarnemer voorgesteld worden met vier getallen (t, x, y, z). Newton (1642-1727) meende dat de tijd absoluut was, onafhankelijk van de positie of relatieve snelheid van de waarnemer in de ruimte. Later toonde Einstein (1879-1955) aan, met zijn relativiteitstheorie, dat tijd ook relatief is, en dat we ruimte en tijd niet onafhankelijk mogen beschouwen, maar dat we enkel kunnen spreken van de ruimte-tijd. Zoals we reeds vermeld hebben, moeten de wetmatigheden onafhankelijk zijn van de waarnemer. Zo zou Kepler (1571-1630) zijn drie planetaire wetten even goed hebben kunnen afleiden uit de astronomische tabellen van een Chinese astronoom, dan uit de tabellen van Tycho Brahe (1546-1601). De tabellen geven slechts een numerieke voorstelling van de werkelijkheid. Indien men de wetmatigheden wil ontdekken, moet men ook weten hoe de tabellen van beide waarnemers in elkaar kunnen omgezet worden. Deze omzetting noemt men een coördinatentransformatie. 4.1. Meetkundig object Een wet van de Natuur drukt een verband uit tussen grootheden zoals plaats, snelheid, massa, lading, enzovoort. Het relativiteitsbeginsel stelt dat de wetten een absolute betekenis hebben onafhankelijk van de waarnemer. Bijgevolg moeten de grootheden ook een absolute, meetkundige betekenis hebben, onafhankelijk van het gekozen coördinatenstelsel. Zulk meetkundig object wordt een tensor genoemd. Door een coördinatenstelsel te kiezen, kunnen we een abstracte tensor concreet voorstellen met een aantal getallen, i.e. de componenten van de tensor in dat bepaald stelsel. Aangezien een tensor een meetkundige betekenis heeft, moeten de componenten voldoen aan een transformatiewet zodat de tensor hetzelfde object voorstelt in verschillende stelsels, en vice versa. De meest eenvoudige tensor is een scalair (e.g. temperatuur). Een scalair voldoet automatisch aan de transformatievoorwaarde, aangezien het dezelfde waarde heeft in elk stelsel. Een vector is een tensor met een niet-triviale transformatiewet. Beschouw bijvoorbeeld een rotatie van het assenstelsel, getoond in Fig. 4.1. In

Coördinatentransformatie 56 y y f y f x f x f y f x x Figuur 4.1.: Rotatie van het (x, y) naar het (x, y ) stelsel. De componenten van de vector f roteren in de omgekeerde zin, zodat f invariant blijft. het geroteerd stelsel wordt de voorstelling van een vector verkregen door de voorstelling in het oorspronkelijke stelsel te roteren in de omgekeerde zin, zodat de vector invariant blijft. Men kan een tensor bijvoorbeeld vergelijken met een woord dat vertaald kan worden in verschillende talen aan de hand van een woordenboek, maar in elke taal dezelfde absolute betekenis heeft. 4.2. Coördinatentransformatie Beschouw een gebeurtenis in een n-dimensionale ruimte met coördinaten x µ in het stelsel S en coördinaten x µ in het stelsel S. Er bestaat dan een continue bijectie x µ = x µ (x µ ), x µ = x µ (x µ ), (µ, µ = 1,..., n), (4.1) die de coördinaten met elkaar verbindt, i.e. een coördinatentransformatie. Omgekeerd geldt dat de coördinaten x µ in S en x µ in S dezelfde gebeurtenis voorstellen, als ze met elkaar verbonden zijn door een coördinatentransformatie. Neem bijvoorbeeld de transformatie van sferische naar Cartesische coördinaten x µ (x µ ) : (r, θ, ϕ) (x, y, z), zodat (x 1, x 2, x 3 ) = (r, θ, ϕ) en (x 1, x 2, x 3 ) = (x, y, z). Deze transformatie wordt expliciet gegeven door x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ cos ϕ, z = r cos θ.

Vectoren 57 Een ander eenvoudig voorbeeld van een transformatie is een translatie x µ x µ = δ µ µ (x µ + a µ ), met a µ een n-tal constanten en δ µ µ de Kronecker delta. Indien het niet expliciet vermeld wordt, zullen we in deze cursus steeds gebruik maken van de Einstein sommatieregel, i.e. als een index meermaals in een uitdrukking voorkomt, wordt automatisch over die index gesommeerd. Bijvoorbeeld, x µ x µ = x ν x ν = x 1 x 1 + x 2 x 2 + + x n x n. Merk op dat het niet uitmaakt hoe we een index noteren waarover gesommeerd wordt. Men noemt dit een dummy index. Door gebruik te maken van de kettingregel vinden we uit (4.1), δ µ ν = xµ x ν = xµ x ρ x ρ x ν, δµ ν = xµ x ν = xµ x ρ x ρ x ν. De matrix xµ noemt men de Jacobiaanse matrix van de transformatie x µ x µ. Opdat x µ de inverse matrix xµ bestaat, moet gelden dat x µ x µ x µ 0, wat de Jacobiaanse determinant of Jacobiaan wordt genoemd. Dit object bepaalt o.a. hoe infinitesimale volumes transformeren, dv = dx 1 dx 2 dx n = x µ x µ dx1 dx 2 dx n. 4.3. Vectoren Beschouw een vlakke n-dimensionale ruimte met een coördinatenstelsel x µ (µ = 1,..., n) zodat de positie van elke punt in de ruimte geschreven kan worden aan de hand van de positievector r = r(x 1,..., x n ). De coördinatenbasis in elk punt van de ruimte wordt dan gedefinieerd als de vectoren e (µ) die raken aan de overeenkomstige x µ -richting, e (µ) = r x µ = r x ν x ν x µ = xν x µ e (ν ), met e (ν ) de coördinatenbasis in het stelsel x µ. Dit is de transformatiewet voor de basis. De transformatiewet voor de componenten van een vector, f = f µ e (µ) = f µ e (µ ), wordt gevonden uit diegene voor de basisvectoren, f µ = xµ x µ f µ.

Duale vectoren 58 Contravariantie Omdat een vector onafhankelijk moet zijn van de basis e (µ), moeten de componenten van een vector contra variëren t.o.v. de basis om te compenseren, zodat ze volgens de inverse transformatie transformeren. De componenten van vectoren worden daarom contravariante componenten genoemd. 4.4. Duale vectoren Eens we een vectorruimte hebben, kunnen we een andere geassocieerde vectorruimte (met dezelfde dimensie) definiëren, de duale vectorruimte. De duale ruimte is de ruimte van alle lineaire afbeeldingen van de oorspronkelijke vectorruimte naar de reële getallen. Als f en h gewone vectoren zijn en ω een duale vector ω(af + bh) = aω(f) + bω(h) R, met a, b reële getallen. Een lineaire combinatie van twee duale vectoren ω en η wordt gedefinieerd als (aω + bη)(f) aω(f) + bη(f), zodat de duale ruimte wel degelijk een vectorruimte is. De canonieke basis θ (µ) (n lineaire afbeeldingen) van de duale vectorruimte wordt gekozen door te eisen dat θ (µ) (e (ν) ) = δ µ ν. Elke andere duale vector ω kan dan uitgedrukt worden in deze basis, ω = ω µ θ (µ), waar ω µ de componenten (getallen) zijn van de duale vector in deze basis. De component notatie leidt tot een eenvoudige schrijfwijze voor de actie van een duale vector op een vector, ω(f) = ω µ θ (µ) (f ν e (ν) ) = ω µ f ν θ (µ) (e (ν) ) = ω µ f ν δ µ ν = ω µ f µ R, waar we gebruik hebben gemaakt van de lineariteit en de definitie van de duale basis. Analoog kunnen we een vector ook beschouwen als een lineaire afbeelding die een duale vector afbeeldt op een reële getal met de definitie f(ω) ω(f) = ω µ f µ. De duale ruimte van de duale ruimte is dus de oorspronkelijke ruimte. De transformatiewet voor de componenten van een duale vector kan op dezelfde manier worden afgeleid als die voor een vector, ω µ = xµ x µ ω µ. (4.2) Covariantie Voor een duale vector (ook covector genoemd) moeten de componenten op dezelfde manier transformeren als de basis e (µ) ( co variëren), om de duale vector onveranderd te laten. De componenten van duale vectoren worden daarom covariante componenten genoemd.

Scalair product en de metrische tensor 59 4.5. Scalair product en de metrische tensor Het scalair product van twee vectoren is een symmetrische bilineaire afbeelding die twee vectoren afbeeldt op een reël getal, V V R : (f, h) f h. Symmetrisch: f, h V : f h = h f. Bilineair: f, h, u, v V en a, b, c, d R : (af + bh) (cu + dv) = af (cu + dv) + bh (cu + dv) = ac (f u) + ad (f v) + bc (h u) + bd (h v). Omdat elke vector uitgedrukt wordt als een lineaire combinatie van basisvectoren, is het vanwege de bilineariteit voldoende om het scalair product te definiëren voor de basis, f h = f µ h ν ( e (µ) e (ν) ) gµν f µ h ν = g(f, h), waar de symmetrische matrix g µν = g νµ de componenten zijn van de zogenaamde metrische tensor of metriek. De transformatiewet van de metriek kan gevonden worden uit de transformatiewet voor de basis, g µ ν = xµ x ν g µν. (4.3) x µ x ν De metriek kan ook geïnterpreteerd worden als een afbeelding die een vector afbeeldt op een unieke duale vector, g µν : f ν g µν f ν = g µ1 f 1 + g µ2 f 2 + + g µn f n f µ, (4.4) waar we de componenten f µ gedefinieerd hebben. Controleer zelf of deze componenten aan de transformatiewet (4.2) voldoen. Noemen we deze duale vector g(f), dan geldt g(f)(h) = g(f, h) = f h. Als de basisvectoren loodrecht op elkaar staan, g µν = e (µ) e (ν) = δ µν ( e(µ) e (µ) ), spreken we van een orthogonaal stelsel. Een orthogonaal stelsel kan rechtlijnig of kromlijnig (e.g. poolcoördinaten) zijn. Rechtlijnige stelsels hebben per definitie een constante metriek (en basis). Als de basisvectoren genormaliseerd zijn, spreken we van een orthonormaal stelsel. Voor een positief-definiete metriek, worden de g µν van een orthonormaal rechtlijnig stelsel gegeven door de eenheidsmatrix; zulke stelsel worden ook wel Carthesische stelsels genoemd.

Tensoren 60 4.6. Tensoren We zijn reeds een tensor tegengekomen met twee indices, de metriek g µν met n 2 componenten. Dit is een voorbeeld van een (0, 2) tensor. We zullen nu bespreken hoe we tensoren van hogere orde kunnen construeren door een (0, 2) tensor als voorbeeld te nemen. Het tensorproduct van twee (0, 1) tensoren, i.e. duale vectoren ω en η, wordt gedefinieerd als de (0, 2) tensor T = ω η zodat T (f, h) = (ω η) (f, h) ω(f)η(h) = ω µ η ν f µ h ν. (4.5) Dit is een bilineaire afbeelding van twee vectoren naar een reëel getal. Merk op dat het tensorproduct niet commutatief is. Een basis voor alle (0, 2) tensoren wordt gevonden door het tensorproduct te nemen van de duale basis, In deze basis wordt T geschreven als θ (µ) θ (ν). T = T µν ( θ (µ) θ (ν)). De componenten kunnen we vinden uit de actie, T (f, h) = T µν ( θ (µ) θ (ν)) (f, h) = T µν θ (µ) (f)θ (ν) (h) = T µν θ (µ) (f ρ e (ρ) )θ (ν) (h σ e (σ) ) = T µν f ρ h σ θ (µ) (e (ρ) )θ (ν) (e (σ) ) = T µν f ρ h σ δ µ ρ δ ν σ = T µν f µ h ν, waar we naast de definitie van het tensorproduct uit (4.5), de lineariteit en de definitie van de duale basis gebruikt hebben. Hieruit volgt dat T µν = ω µ η ν zodat de transformatiewet voor een (0, 2) tensor gegeven wordt door T µ ν = ω µ η ν = xµ x µ x ν x ν ω µ η ν = xµ x µ x ν x ν T µν. Aan de hand van deze methode kunnen we elke (k, l) tensor F met n k+l componenten samenstellen door het tensorproduct te nemen van een (r, s) tensor T met een (k r, l s) tensor S, F ( ω (1),..., ω (k), f (1),..., f (l)) = (T S) ( ω (1),..., ω (k), f (1),..., f (l)) T ( ω (1),..., ω (r), f (1),..., f (s)) S ( ω (r+1),..., ω (k), f (s+1),..., f (l)). De tensor F is een multilineaire afbeelding van k duale vectoren en l vectoren naar een reël getal. In component notatie, F = F µ 1 µ kν1 ν l ( e(µ1 ) e (µk ) θ (ν 1) θ (ν l) ),

Tensoren 61 zodat met F ( ω (1),..., ω (k), f (1),..., f (l)) = F µ 1...µ kν1...ν l ω (1) µ 1 ω (k) µ k f (1)ν1 f (l)ν l, F µ 1 µ kν1 ν l = T µ 1 µ rν1 ν s S µ r+1 µ kνs+1 ν l. Een tensor van het type (k, l) noemt men contravariant van orde k en covariant van orde l met een totale orde k + l. Scalairen zijn (0, 0) tensoren, vectoren zijn (1, 0) tensoren en duale vectoren zijn (0, 1) tensoren. De transformatiewet voor een (k, l) tensor wordt gegeven door F µ 1 µ k ν 1 ν l x xµ k µ 1 x µ k = xµ 1 x ν 1 x ν 1 xν l F µ 1 µ x kν1 ν ν l. l Merk op dat je de transformatiewet gemakkelijk kan vinden door te kijken naar de plaatsing van de indices. Indices waarover niet gesommeerd worden, moeten altijd op dezelfde positie (boven of onder) staan in beide leden van de vergelijking. Als een index in de noemer staat, draaien de rollen van boven en onder om. Indices waarover wel gesommeerd worden, staan altijd schuin ten opzichte van elkaar. Kronecker delta De Kronecker delta δµ ν is een (1, 1) tensor waarvan de componenten gelijk zijn in elk stelsel. Een (1, 1) tensor kan ook geïnterpreteerd worden als een lineaire afbeelding tussen (duale) vectoren. De Kronecker delta komt overeen met de identiteit, δ ν µ : f µ δ ν µf µ = f ν. Inverse metriek Als g µν 0 kunnen we de inverse metriek g µν definiëren via g µν g νρ = δ µ ρ. De actie van de inversie metriek op een duale vector wordt g µν f ν = g µν g νρ f ρ = δ µ ρ f ρ = f µ, waar we (4.4) gebruikt hebben. Een (2, 0) tensor zoals de inverse metriek kan dus ook beschouwd worden als een afbeelding die een duale vector afbeeldt op een vector. We kunnen nu handig gebruik maken van deze definities om indices van plaats te wisselen met de metriek en zijn inverse. Cartesische tensoren In een Cartesisch assenstelsel geldt f µ g µν f ν = f µ. In dit geval is er dus geen onderscheid tussen contravariante en covariante componenten zodat de positie van de indices niet van belang is in een Cartesisch stelsel.

Tensoren 62 4.6.1. Bewerkingen met tensoren Lineaire combinatie Elke lineaire combinatie van twee tensoren van hetzelfde type at + bs met a, b R, is ook een tensor met componenten (at + bs) µ 1 µ k ν1 ν l = at µ 1 µ kν1 ν l + bs µ 1 µ kν1 ν l. Controleer zelf dat deze tensor aan de transformatiewet voldoet. Tensorproduct Zoals we reeds gezien hebben, geeft het tensorproduct van de (r, s) tensor met de componenten T µ 1 µ rν1 ν s en de (k r, l s) tensor met de componenten S µ r+1 µ kνs+1...ν l, een (k, l) tensor F = T S met componenten F µ 1 µ kν1 ν l = T µ 1 µ rν1 ν s S µ r+1 µ kνs+1 ν l. Contractie Contractie maakt van een (k, l) tensor T, een (k 1, l 1) tensor F door te sommeren over één boven en één onder index, F µ 1 µ k 1ν1 ν l 1 = T µ 1 µ µ k 1ν1 µ ν l 1 = T µ 1 1 µ k 1 ν1 1 ν l 1 + + T µ 1 n µ k 1ν1 n ν l 1. Merk op dat de volgorde van de indices van belang is, T ρνσ µν T ρσν µν. De contractie van de Kronecker delta wordt bijvoorbeeld, g µν g µν = δ µ µ = 1 + + 1 = n, waar n de dimensie van de ruimte is. Voor een (1, 1) tensor komt contractie dus overeen met het spoor (trace) van de componentenmatrix. Wetten van de Natuur De wetten van de Natuur moeten onafhankelijk zijn van de waarnemer, i.e. het moeten verbanden zijn tussen meetkundige objecten. De meeste wetten zijn lineaire tensorvergelijkingen, zoals bv. de wet van Newton, f i ma i = 0, (i = 1, 2, 3). Omdat de optelling van twee tensoren terug een tensor is, is het linkerlid een (1, 0) tensor waarvan alle componenten gelijk zijn aan nul. Uit de transformatiewet volgt dat deze componenten nul zijn in alle coördinatenstelsels. Bijgevolg is de wet onafhankelijk van de waarnemer. Elke waarnemer observeert een verband tussen de componenten en door de transformatiewet blijft het verband gelden voor alle waarnemers. Het wordt een wet, een betrekking tussen de abstracte tensoren zelf.

Tensoren 63 4.6.2. Levi-Civita tensor Permutatie symbool Het permutatie symbool is gedefinieerd als, +1 µ 1 µ 2 µ n even permutatie van 01 (n 1), ɛ µ1 µ 2 µ n = 1 µ 1 µ 2 µ n oneven permutatie van 01 (n 1), 0 twee of meer indices gelijk. We zullen nu onderzoeken hoe dit symbool transformeert. De determinant van een n n matrix M µ µ wordt gegeven door M = ɛ µ1 µ 2 µ n M µ 1 1 M µ 2 2 M µn n. Als we twee factoren onderling verwisselen en de indices hernoemen, draait het teken van de determinant om, zodat ɛ µ 1 µ M = ɛ 2 µ n µ 1 µ 2 µ n M µ 1 µ M µ 2 1 µ M µn µ. 2 n Stellen we nu M µ µ = x µ / x µ dan volgt er ɛ µ 1 µ = x µ 2 µ n x µ ɛ x µ 1 µ 1 µ 2 µ n x µ 1 waar we gebruik gemaakt hebben van M 1 = M 1. x µ 2 x µ 2 xµn, (4.6) x µ n Tensordichtheid Het permutatie symbool transformeert dus bijna zoals een tensor. Zulke objecten noemen we tensordichtheden. De determinant van de metriek g = g µν is ook een (scalaire) tensordichtheid. Als we de determinant nemen van beide kanten van (4.3) dan vinden we g(x µ ) = x µ 2 x µ g(x µ ). De macht van de Jacobiaan noemt men het gewicht van de tensordichtheid. Het permutatie symbool heeft gewicht 1 en g heeft gewicht 2. We kunnen elke tensordichtheid met gewicht w omzetten naar een tensor door de tensordichtheid te vermenigvuldigen met g w/2 (absolute waarde omdat mogelijk g < 0). Levi-Civita tensor De Levi-Civita tensor wordt gedefinieerd als met ɛ = ɛ µ1 µ 2 µ n ( θ (µ 1 ) θ (µ 2) θ (µn)), ɛ µ1 µ 2 µ n = g ɛ µ1 µ 2 µ n. Als we deze vorm substitueren in (4.6) dan vinden we echter, ɛ µ 1 µ 2 µ n = ±ɛ µ 1 µ 2 µ n x µ 1 x µ 1 x µ 2 x µ 2 xµn, x µ n

Tensoren 64 waar het teken gegeven wordt door het teken van de Jacobiaan. Een object dat zo transformeert noemen we een pseudotensor. Onder een orthogonale transformatie met Jacobiaan 1 (i.e. een rotoreflectie) verkrijgt het een minteken. We kunnen nu de metriek gebruiken om de indices te verhogen. Het permutatie symbool met de indices vanboven ɛ µ 1µ 2 µ n is een tensordichtheid met gewicht 1 en is gerelateerd aan de Levi-Civita tensor, ɛ µ 1µ 2 µ n = g µ 1ν 1 g µ 2ν2 g µnνn ɛ ν1 ν 2 ν n = 1 g ɛ µ 1µ 2 µ n, met ɛ µ 1µ 2 µ n = sgn(g) ɛ µ1 µ 2 µ n aangezien g µν = g 1. We geven nog enkele eigenschappen die gelden in de driedimensionale Euclidische ruimte, en die gevonden worden door het tensorproduct te nemen van ɛ lmr met ɛ ijk en vervolgens een of meerdere contracties uit te voeren, ɛ lmi ɛ ijk = δ l jδ m k δ m j δ l k, ɛ lij ɛ ijk = 2δ l k, ɛ ijk ɛ ijk = 6. (4.7) Vectorieel product Het vectorieel product in drie dimensies kan ook geschreven worden aan de hand van de Levi-Civita tensor, f h = g mi ɛ ijk f j h k e (m). Als een tensor samengesteld is uit een oneven aantal pseudotensoren, is het resultaat ook een pseudostensor, zodat het vectorproduct een pseudovector geeft. Merk op dat we het vectorieel product zelf kunnen beschouwen als een abstracte (1, 2) pseudotensor met componenten g mi ɛ ijk. Vectorformules We bewijzen nu enkele vectorformules in de driedimensionale Euclidische ruimte. Het volume van het parallellepipedum opgespannen door de vectoren u, v en w wordt gegeven door de absolute waarde van u (v w) = g lm u l (v w) m = g lm g mi ɛ ijk u l v j w k = ɛ ijk δ i lu l v j w k = ɛ ijk u i v j w k = u 1 u 2 u 3 g v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3. Uit de eigenschappen van de determinant volgt dat u (u v) = 0 en dat het volume invariant is onder cyclische permutaties van de vectoren, u (v w) = w (u v) = v (w u). (4.8)

Differentiaaloperatoren 65 Vervolgens berekenen we v (w z) = g mi ɛ ijk v j (w z) k e (m) = g mi g kr ɛ ijk ɛ rst v j w s z t e (m) = ɛ mlr ɛ rst g jl v j w s z t e (m) = ( δ m s δ l t δ l sδ m t ) gjl v j w s z t e (m) = g jl v j w m z l e (m) g jl v j w l z m e (m) = w (v z) z (v w), waar we (4.7) gebruikt hebben. Hiermee vinden we ook u [v (w z)] = (u w) (v z) (u z) (v w), of na cyclische permutatie waar we (4.8) gebruiken, Hieruit volgt dat (u v) (w z) = (u w) (v z) (u z) (v w). (u v) 2 = u 2 v 2 (u v) 2 = u 2 v 2 ( 1 cos 2 ϕ ) = u 2 v 2 sin 2 ϕ, met ϕ [0, π] de kleinste hoek tussen de vectoren u en v zodat u v = u v sin ϕ. 4.7. Differentiaaloperatoren De belangrijkste wetten worden in de natuurkunde neergeschreven als differentiaalvergelijkingen, e.g. de wetten van Newton, de Maxwell vergelijkingen, de Schrödingervergelijking, enzovoort. Een differentiaaloperator laat toe om uit een vector of een scalair, door een differentiaalbewerking, een nieuwe vector of scalair te construeren. Bovendien kunnen de wetten op een coördinaatonafhankelijke wijze geschreven worden aan de hand van de duale vector nabla of del waarvan de componenten operatoren zijn. In een Cartesische stelsel geldt er = θ (i) x. i De belangrijkste differentiaaloperatoren zijn de gradiënt, de divergentie, de laplaciaan en de rotor. In het volgende is φ een scalaire functie en f een vector. Gradiënt grad φ φ = θ (i) φ x i

Differentiaaloperatoren 66 Divergentie Laplaciaan Rotor (curl) div f f = x i f i φ 2 φ = ( φ) = g ij φ x i x j rot f f = g mi ɛ ijk f k x j e (m)

Deel III. Chaos

Bibliografie [1] Cornelius Lanczos, The Variational Principles of Mechanics. Dover Publications, 4th Edition, 1986. [2] Louis N. Hand and Janet D. Finch, Analytical Mechanics. Cambridge University Press, 1st Edition, 1998. [3] Sean M. Carroll, Spacetime and geometry: An Introduction to General Relativity. Addison Wesley, 1st Edition, 2004.