REKENEN MET MACHTEN Np EEBII 0 GGHM
Inhoud Herhlin: Eponentiele roei... Netieve Mchten... Geroken mchten... Etr Oefeninen... 9 Hoere-mchts functies... 0 Overzicht vn de reels...
Herhlin: Eponentiële roei Bcteriën plnten zich voort door tweedelin. Elke cterie rent twee nieuwe cteriën voort door zich te delen. Bij een eschikte constnte tempertuur kn de roei vn het ntl cteriën ls volt verlopen: tijd in uren 0 6 ntl cteriën 600 00 00 800 9600 900 800 Het ntl cteriën wordt elk uur twee keer zo root. Dt zie je door opeenvolende wrden in de tel op elkr te delen: 00 00 800 9600 900 800 600 00 00 800 9600 90 Je moet dus steeds met fctor vermenivuldien om het volende ntl te vinden: op tijdstip 0 (ein vn het eperiment) zijn er 600 cteriën; n uur zijn er 600 cteriën; n uur zijn er 600 600 cteriën; n uur zijn er 600 600 cteriën; n uur zijn er 600 600 cteriën; enzovoort. Het ntl cteriën roeit eponentieel met roeifctor per uur. Voor het ntl cteriën B n t uur eldt in dit evl de formule B(t) 600 t. Je ziet dt er mchten worden eruikt voor het herhldelijk vermenivuldien. In dit evl zijn het mchten met rondtl, dit etl is de roeifctor per uur. Omdt de vriele t in de eponent zit, spreek je vn eponentiële roei. De lemene formule die ij eponentiële roei hoort is: N B t wrij N ntl op tijdstip t, B ein-hoeveelheid roeifctor per tijdseenheid t tijdstip Opdrcht Deze opdrcht t over het vooreeld hieroven. Wt verst je onder de 'roeifctor' per uur vn het ntl cteriën? Hoeveel procent cteriën komt er elk uur ij? c Hoeveel cteriën he je n uur? En hoeveel he je er een uur lter? d Hoeveel cteriën he je uur lter dn uur n t0? De formule voor de cterieroei hieroven is B(t) 600 t. e Bren deze formule in eeld op je rfische rekenmchine. Zor er voor dt er minstens uur cterieroei in eeld komt. f Hoeveel cteriën zijn er n 0 uur? Op welk tijdstip zijn er meer dn 60000 cteriën? h Op welk tijdstip is het ntl cteriën dn weer verdueld (dus 0000 eworden)? Le uit hoe je dt het erekend.
Opdrcht Het ntl inwoners vn een dorp roeit volens de formule N 6000,0 t. Hierin is: t de tijd in jren, N het ntl inwoners vn het dorp (ferond op duizendtllen), t 0 in het jr 000. Met hoeveel procent per jr roeit het ntl inwoners vn het dorp volens deze formule? In welk jr heeft het dorp meer dn 00.000 inwoners ls deze roei zo doort? Opdrcht Een krnt z in een reeks vn jren het ntl jronnementen dlen. jrtl 000 00 00 00 00 00 ntl onnementen ( 000) 90 9 9 88 89 8 Stel op rond vn deze tel een zo oed moelijk pssende formule op die het verloop vn het ntl duizenden onnementen A ls functie vn de tijd t in jren eschrijft. Neem t 0 in het jr 000. Als het ntl jronnementen onder de 00.000 zkt rkt de krnt in prolemen. In welk jr is dt het evl ls dit verloop niet wijzit?
Netieve mchten We n no even teru nr het eerste vooreeld met de cteriën. De einhoeveelheid ws 600 cteriën, dt ws op het tijdstip t 0. Die 600 cteriën zijn ook erens vndn ekomen, voordt er eonnen werd met het ntl cteriën ij te houden wren er ook l een ntl cteriën ij elkr. Hoeveel cteriën wren er uur voordt men eonnen is? Of uur voordt men eon te tellen, of hoeveel uur voor het ein vn het eperiment wren er minder dn 00 cteriën? In de tijd vóór het ein vn het eperiment is de wrde vn t netief. Dus uur voor het tijdstip 0 is t, en uur ervoor is t, enz. Deze wrden kun je ewoon invullen in de formule en met de rekenmchine erekenen: 0 t 0 B (0) 600 600 t B( ) 600 00 t B( ) 600 0 etc. Schijnr kun je ook netieve mchten erekenen. Lten we eens kijken hoe we met mchten rekenen, we nemen ls rondtl: 6 0???????????? De vr is nu ntuurlijk hoe we de open pltsen invullen. Nou heel eenvoudi, we n door op de mnier zols we eonnen zijn; we delen steeds door (het rondtl) en de uitkomsten schrijven we ls mchten. Hierij moeten we dus reuken eruiken. Het ltste stukje vn de tel wordt nu dus: : : : : 0???? : : : : :
Als je dus een etl tot een netieve mcht uit moet rekenen dn komt dt er op neer dt je edeeld door het etl tot de positieve mcht uit moet rekenen. Vooreelden: 6 6 6 etc. De lemene reel is dus: En je moet onthouden: 0 ( 0 ) Opdrcht Bereken zonder rekenmchine: d e c 0 0 Bij het rekenen met (positieve) mchten hdden we de volende reels: + ( ) Voorl ij het vereenvoudien vn uitdrukkinen met vrielen ws dit er mkkelijk: zo is en ( ) of 8 De reels elden nu no steeds, ook met netieve mchten! dus 6 en ( ) 6 of 6 ( ) 6 Opdrcht Bereken, vereenvoudi en schrijf het ntwoord zonder netieve mcht: e ( y ) f ( ) c ( ) d c h y ( y y ) + 6
Opdrcht 6 Schrijf zonder netieve mchten, denk oed n! y c d ( ) Opdrcht Schrijf met netieve mcht: c d 6 y 6 y Geroken mchten We n weer teru nr het vooreeld vn de cteriën. De ijehorende formule ws: B(t) 600 t Met deze formule kun je het ntl cteriën uitrekenen n een epld ntl uren. In de tel heen we dt edn voor,,,, of 6 uur. Hoe zit dt nu met het ntl cteriën n ijvooreeld uur, uur of uur? Je kunt dn ewoon invullen in de formule en met de rekenmchine uitrekenen: t B ( ) 600 89 t B () 600 98 t B () 600 69 Lten we eens kijken hoe dit precies in elkr zit, we kijken even nr de tel die ij de functie Bt () 600 t hoort. tijd in uren 0 6 ntl cteriën 600 00 800 9600 900 800 De fctor wrmee je moet vermenivuldien om het ntl n een uur te erekenen noemen we even. Je zou nu dus kunnen zeen dt oftewel ² (wrom??) Als ² dn is mr ook dus is Alemeen eldt dt :
Opdrcht 8 Bereken zonder rekenmchine: 6 c : 6 Opdrcht 9 Schrijf zonder netieve mchten en zonder reuken in de mcht: + c Je weet dt kwdrteren het omekeerde (inverse) is vn worteltrekken, dus ( ) of ook Zo kun je ook spreken vn het omekeerde vn een derde mcht, dt is de derdemchts wortel trekken. Dt ziet er dn uit ls Het werkt net ls ij kwdrten en wortels: 6 wnt 6 en wnt 6 wnt 6 etc. Opdrcht 0 Bereken nu de volende wortels, proeer het eerst zonder rekenmchine: 69 d 8 e 8 c f 0 Ook de hoere mchts wortels kun je schrijven ls een rondtl met een eroken mcht. De reel is: n n Vooreeld: 0 0 etc. Opdrcht Schrijf met een eroken mcht: 8 c 8 d 8
Etr Oefeninen Opdrcht Bereken met de rekenmchine en proeer de uitkomst te verklren: 8 9 d 9 e c 0 0 0 0 8 Opdrcht Schrijf zonder netieve of eroken mchten en vereenvoudi zonodi: e ( ) 8 8 f ( ) c ( ) ( ) ( ) d ( ) h Opdrcht Schrijf de volende uitdrukkinen met netieve of eroken mchten: d + e c f 9
Hoere-mchts functies Tot nu toe kennen we eienlijk lleen de kwdrtische functies en hun rfieken oed. Hoe zit dt nu met functies zols f ( ) of f ( ) of f ( )?? Je t dit onderzoeken n de hnd vn de opdrcht hieronder: Opdrcht Plot met de rekenmchine de rfiek vn : f ( ) h ( ) ( ) i ( ) Mk vn elke rfiek een schets in de vensters hieronder: Kijk oed nr de vorm vn de rfieken. Wt vlt er op? Wt he je evonden? Vul de lemene reel hieronder verder in: n Als f ( ) en n is een even etl dn heeft de rfiek de vorm vn een. n Als f ( ) en n is een oneven etl dn heeft de rfiek de vorm vn een. 0
Opdrcht 6 Geeven is de functie h ( ) en de horizontle lijn y 00 Teken de lijn in de schets vn h() hieroven. Hoeveel snijpunten heen de rfieken? c Hoeveel oplossinen heeft de verelijkin 00? d Hoeveel oplossinen heeft de verelijkin 0? e Hoeveel oplossinen heeft de verelijkin 000 Opdrcht Plot en schets de rfiek vn c d f ( ) Hoeveel snijpunten heeft de verelijkin Hoeveel snijpunten heeft de verelijkin Hoeveel snijpunten heeft de verelijkin, kies een eschikt venster. 0000? 0? 000? Opdrcht 8 Schrijf de verelijkin 00 0 in de vorm... Hoeveel oplossinen heeft de verelijkin 00 0? c Hoeveel oplossinen heeft de verelijkin + 00 0? d Hoeveel oplossinen heeft de verelijkin + 0 60? 8 e En de verelijkin, +, 0? f En de verelijkin 8 + 8 8?
Overzicht vn de reels De volende reels over rekenen met mchten moet je kennen: Reels ( > 0 ) Vooreelden + ( ) ( ) 6 ( ) 6 0 0 0 n n n n n f ( ) n > 0 -Grfiek heeft proolvorm ls n even is -Grfiek heeft lijnvorm ls n oneven is