Faculteit der Exacte Weteschappe Deeltetame Vrije Uiversiteit Wiskude II (Deel 6-- 3:3-5:3. Gegeve is de volgede fuctie: f(x, y x(x + y a. Bepaal de statioaire pute va f e geef va elk statioair put aa of het ee miimum, ee maximum of ee zadelput is. We hebbe de volgede twee vergelijkige odig: f x + y + x x 3x + y ( f xy ( Vergelijkig ( levert os dat x of y. We vulle dit i ( i: x Levert y ±. y Levert 3x x ± 3 3. We hebbe de statioaire pute (,, (,, ( 3 3,, ( 3 3,. We bekijke u het gedrag va deze statioaire pute mbv de volgede formules: f xx 6x f yy x f xy y y x (, (, ( 3 3, ( 3 3, f xx 3 3 3 3 3 f yy 3 f xy - - - Coclusie ZP ZP Mi Max
b. Bekijk h(x, y (x + (x y + x Bepaal m.b.v. de multiplicatoremethode va Lagrage de extreme va h oder de evevoorwaarde x + y. I welk va deze extreme wordt ee maximum e i welke ee miimum va h op de cirkel x + y aageome? (N.B.: De evevoorwaarde is ee begresd e geslote gebied. We hebbe de volgede twee vergelijkige odig: h + λ g 3x y + x + + λx (3 h + λ g xy y + λy ( g(x, y x + y (5 We berekee y (3 x (: y (3 x ( 3x y y 3 + xy + y + λxy ( x y xy + λxy 5x y y 3 + 6xy + y y(5x + 6x + y Dit levert y of y 5x + 6x +. Dit vulle we i (5 i: y Levert x ±. y 5x + 6x + Levert 6x + 6x, e dit geet x e x. De waarde x hadde we al e de waarde x geeft y ±. Dit levert de volgede statioaire pute e hu fuctie waarde: (, (,- (, (-, f - - Coclusie Mi Mi Max
. Zij D het gebied igeslote tusse de lije x y e x y, e de cirkels x +y e x +y 9 waarbij y. We wille de itegraal (x + y Dx,y x dy dx + y bereke m.b.v. poolcoördiate. a. Geef de Jacobimatrix e de Jacobiaa va deze coördiatetrasformatie. We kue de trasformatie x r cos φ, y r si φ als volgt otere: Ψ IR IR r φ x y Dit geeft voor de jacobimatrix e jacobiaa: ( cos φ r si φ J(Ψ si φ r cos φ J(Ψ r. b. Schets het itegratiegebied e geef de greze i poolcoördiate. 3 φ, r 3. c. Bereke de itegraal. (Hit: dek aa de goioregels! ( Dx,y (x + y x dy dx + y r + r si φ cos φ r r dφ dr ( r + r si φ dφ dr ( ( (r cos φ + r si φ r cos φ + r si φ r dφ dr r + r si φ cos φ dφ dr [rφ r cos φ ] 3 dr r dr [ r] 3 3
3. Gegeve is de volgede itegraal: ( 3 3y x 3 x + dx dy a. Schets het itegratiegebied e geef de greze die odig zij om de itegratievolgorde te verwissele. b. Bereke de itegraal. x, 3x y. ( 3 3y [ x 3 x + dx dy 3x ] ( 3x x 3 x + dy dx y x 3 x + dx 3x 3x x 3 x + dx 3x [ x 3 x + dx l x 3 x + (l l l 5. ] Z.O.Z.
. Bereke de covergetiestraal va de volgede machtreekse. Oderzoek teves het gedrag i de radpute. a. x b. a: We berekee de covergetiestraal: R lim a a + lim lim (+ + x l + + lim + De machtreeks covergeert dus voor < x <. Nu de radpute: x We bekijke hier de reeks x We bekijke hier de reeks ( ( Deze reeks is alterered, daled e a voor e is daarmee coverget. b: We berekee de covergetiestraal: R lim a l lim lim a + l + (+ + l l + lim De machtreeks covergeert dus voor < x <. Nu de radpute: x We bekijke hier de reeks Maar l l dus reeks is diverget. x We bekijke hier de reeks ( l l l + Deze reeks is alterered, daled e a voor e is daarmee coverget. 5
5. Gegeve is ee cotiu differetieerbare fuctie z f(x, y. Substitueer x u v e y u + v. a. Druk uit is u, v, e We hebbe de volgede kettigfuctie: Ψ Φ IR IR IR u x z v y e de kettigregel J(z J(ΦJ(Ψ ( ( u v u v ( We herschrijve dit tot Dus ( e daarmee ( ( ( ( u v ( u v u v v v 8uv u u u u v v u + v u v u + v v. 6
b. Druk uit i u, v,,, z, z Uit oderdeel a wete we dat z e z u v u + v We krijge da z ( ( u + v ( u u + v v ( u + v z 6u 6u 3 + z 6uv z 6uv + 6v 3 z 6v z 6u 6u 3 + 6v 3 z 6v Normerig Vooraf 3 5 Totaal a b a b c a b a b a b 3 3 3 3 8 7 6 8 7 7