Primitieven en Riemnn- integrlen vn reëelwrdige functies Het begrip primitieve vn een R R functie Stel : f( ) reëelwrdige functie, met definitie gebied = intervl I Def : F( ) is primitieve functie vn f( ) over I <=> F( ) is fleidbr ( en continu) over I. DF = df =f, I d OPM : ) ( uitbreiding)... over I \ P <=> verzmeling vn -wrden wrover bv f( ) niet gedef. is. ) Niet elke functie f( ) bezit een primitieve functie Voldoende voorwrde: Elke continue functie f( ) ( zonder bewijs) bezit een primitieve functie => Bezit de functie f( ) een primitieve functie over I dn is f( ) integreerbr over I OPM : Een integreerbre functie bezit oneindig veel primitieve functies. Bewijs : Stel F ( ) & F ( ) zijn primitieve functies vn f( ) over I. => F ( ) & F ( ) zijn fleidbr (=> ook continu) => DF ( ) = DF ( ) = f( ), I => DF ( ) DF ( ) = fleidbr => D( F ( ) F ( )) = => F ( ) F ( ) = C, C R => F ( ) = F ( ) + C Stel Verzmeling vn lle primitieve functies vn f( ) over I. = onbeplde integrl vn f( ) Nottie OPM f.d=f C f =Df = df d =d F C d = d d f.d=f Wiskunde nlse Hoofdstuk 3 (/3)
Bsisintegrlen n.d= n n C ( n R, n - ) d =ln C.d= ln C -> e.d=e C sin.d= cos C cos.d=sin C sec.d= d =ln sec tg C cos = ln tg Pi 4 C csc.d= d =ln csc cotg C sin cotg.d=ln sin C = ln tg C tg.d= ln cos C=ln sec C sec².d=.d=tg C cos² csc².d=.d= cotg C sin² d ² ² = rctg C d ² ² = ln C d ² ² =rcsin C d ²±² =ln ²±² C sinh.d=cosh C cosh.d=sinh C.d=tgh C cosh².d= coth C sinh² Wiskunde nlse Hoofdstuk 3 (/3)
Eigenschppen vn primitieven c.f c.g.d=c. f.d c. g.d Integrtietechnieken ) Substitutie f D.d= f d d.d= f t.dt =t substitutie Er geldt : f t = d dt f t.dt = d dt f.d.d. d dt = f.d.d. d dt = f.d.d. dt d = f.d.d. dt d = f.d. =f =f t D met t= => de beide leden hebben dezelfde fgeleide Gebruik : ) D.d= dt t =ln t C=ln C met t= D = d d vb. tg.d= sin cos.d= Dcos cos.d = dcos cos.d Stel cos =t = dt t = ln t C = ln cos C Wiskunde nlse Hoofdstuk 3 (3/3)
= ln cos C = ln sec C b) kies zelf t= => dt= '.d vb. d ² 4 = dt t = t dt =. t C = t C = ² 4 C ) ² 4=t => d=dt => d=.dt ) ² 4=t² => d= tdt => d=tdt (*) = tdt t = dt=t C= ² 4 C OPM : Goniometrische substitutie ) f, k² ² d domein : = k. sin t of = cos t Gebseerd op sin²t + cos²t = ) f, ² k² d dn : = k. tg t of = k sinh t vb. ² ²d=?= ² ²sin²t..cost.dt met =sin t = ² sin²t cos t dt = ² cos²t dt= ² cost.dt => d=cos t dt Nu is : cos t=cos²t => cos²t= cost Wiskunde nlse Hoofdstuk 3 (4/3)
= ² [ cost dt dt ] Stel t=u dt= du ) Prtiële integrtie ( PI) = ² [ cos udu t] = ² [ sin t t ] C = ² sin t cos t ²t 4 C cos t= sin²t met sin t= of t=rcsin = ² ² ² ².rcsin C = ² ² ².rcsin C u. v '.d=u. v v.u'.d of u.dv=u.v v.d u & v: constnt en fleidbr Beschouw : D[u.v]=D u. v u.d v => u.d v =D u.v v.d u => u. dv d =d u.v du v. d d => u.dv= d u.v v.du => u.dv=u.v v.du Toepssingsvoorbeeld: Intertieformule: cos n d= cos n.cos.d = cos n.d sin = cos n.sin sin.d cos n = cos n.sin sin. n.cos n.sin.d Wiskunde nlse Hoofdstuk 3 (5/3)
= cos n.sin n. cos².cos n.d = cos n.sin n. cos n.d n. cos n.d Termen cos n in zelfde lid. cos n d n. cos n d n. cos n d = cos n.sin n. cos n.d = cosn.sin n n. cos n.d n => cos n d=cos n.sin n. cos n.d OPM: e. V n.d=e. V n ' C vb. e. ².d=e. ² b c C => e. ² =e. ² b c e. b ² =² b c b = ² b. b c = b= => b= b c= => c= = e. ² C 3 ) Splitsen in prtieel breuken Stel t r =q n n met gr r( ) < gr n( ) ( gr t( ) gr n( )) Beschouw n =... i i. ² p q... ² p j q j j OPM: i = multipliciteit vn i i = multipliciteit vn ² + p j + q j Met een fctor i i prtieel breuken: correspondeert met een som vn i... i i Wiskunde nlse Hoofdstuk 3 (6/3)
Met een fctor ² p j q j j vn prtieel breuken: correspondeert met een som ( met p j ² 4q j < ) P Q ² p j q j P Q... P j Q j ² p j q j ² p j q j j Vi splitsen in prtieel breuken bekomt men bij integrtie 4 tpes integrlen, nl: ) d 3) b.d ² p q ) d n 4) b.d ² p q n ( n> ) Tpe d = d = dt t = ln t C = ln C Tpe d = d n = dt n t n - = = t n.dt= t n n C = C n n. t = n. t n C Tpe 3 b.d ² p q =k. d ² p q ² p q l. d ² p q Stel b d=k.d ² p q l.d b d=k. pd l.d b=k kp l of k= k= Wiskunde nlse Hoofdstuk 3 (7/3)
kp l=b l=b p d = k.ln ² p q l. ² p q =...=... l. d p p s Stel ² p q=² p p² p² q 4 4 q p 4 = p = p s² p² met s= q 4 =... l. dt t² s² =k.ln ² p q l. p s. rctg C s Tpe 4 - EX b.d ² p q n n,p² 4q Stel b=k.d ² p q l = k. d ² p q ² p q l. d n ² p q n = k. dz z...= k n n.z n... k = n. ² p q l. d n ² p q n Stel =... l. ² p q=...= p s p² met s= q 4 d p [ p s ] dt n =... l. t² s² n Wiskunde nlse Hoofdstuk 3 (8/3)
Er geldt: dt t² s² = t² s² n t² s² n = t² t² s².dt s². dt n t² s² n Nu is: I= t.t.dt t² s² n =? Stel u=t du=dt dv= t.dt v= t.dt t² s² n t² s² n =. d t² s² t² s² = n. dz z n =. n.z n =. n. t² s² n... PI = t. n. t² s² dt n. n t² s² n Substitutie vn I in (*) dt => t² s² n = n t² s² n + n. dt t² s² s². dt n t² s² n => s². dt t² s² = t n n s².. n. t² s² n. dt t² s² n n = n 3 s². n => dt t² s² = t n.s²3 n. t² s² n s². n 3 n. dt t² s² n Wiskunde nlse Hoofdstuk 3 (9/3)
Riemnn integrl ( begrensd in [, b]) Stel < b Verdeel [, b] in n deelintervllen m. b. v. =,,..., i-, i,..., b = n n Stel S n = i= n f i. i = opp i= -> Riemnn-som n >> => rij vn Riemnn-sommen -> eventueel convergeren eindige wrde => f( ) is ( Riemnn- integererbr over [, b]) Nottie : b f.d= lim S n =S -> Eindige wrde n -> beplde integrl OPM : ) Is > b => b f d= f d b ) Is = b => b 3 ) Is c [, b] => b f d= f d= c f d b f d c Meetkundige interprettie Stel f( ), [, b] => b f d = opp. Begrensd door = f( ), -s & de verticlen = & = b. Wiskunde nlse Hoofdstuk 3 (/3)
Middelwrde stelling Stel f( ) continu over [, b]: c [, b] => b f d= b.f c opp /// opp \\\ Verbnd tussen beplde & onbeplde integrlen Stelling f( ) is continu over [, b] & stel k [, b] met k wilekeurige, vst Dn : H: k f t dt=h is een primitieve vn f( ) over [, b] Te bewijzen: Bewijs: DH = dh =f d DH = dh d = lim H H f t dt = lim = lim = lim k k k f t dt k f t dt f t dt f t dt met k [, + ] = lim f c = lim f c c [, ] : f t dt=.f c =f Wiskunde nlse Hoofdstuk 3 (/3)
Gevolg : Is f( ) continu over [, b] & is F( ) een primitieve functie vn f( ) over [, b] => b f d=f b F Bewijs : Er geldt F( ) is primitieve functie vn f( ) over [, b] H = k => H =F C f t dt is primitieve functie vn f( ) over [, b] H( ) & F( ) beide primitieven zijn op een constnte n gelijk. => b f d= b f t dt= k f t dt b f t dt vb. Oneigelijke integrl = b k f t dt f t dt=h b H k = F b C F C =F b F d=?=[ = 3 4 4 4 ] 4 4 4 Er geldt: F = 3 d= 4 4 Beplde integrl: f d met & b: reële getllen f( ): begrensd is over [, b] ls f( ) continu is over [, b] k b f d= c f t dt c c f t dt c 3 => oneigenlijke integrlen vn de ste soort. ( b beiden: oneigenlijk ± c f t dt c b f t dt c 3 vb. d Wiskunde nlse Hoofdstuk 3 (/3)
=> oneigenlijke integrlen vn de de soort. ( f( ) niet begrensd in [, b]) vb. d => oneigenlijke integrlen vn de 3de soort ( combintie vn de ste en de 3de soort) vb. d Bewerking oneigenlijke integrl ste soort b s s f d= lim b s s f d= lim f d= c c s s = lim f d f d f d f d c f d lim t t c OPM: -> op voorwrde dt limiet bestt! f d vb. d = lim n s s d n Er geldt: d = n.d n ls n > = n n = n. n ls n = = ln ) n > = lim s [ = lim s [ = n s n. n ] n.s n convergent n ] Wiskunde nlse Hoofdstuk 3 (3/3)
) n = s = lim [ln ] s = lim s [ln s ln ]= lim ln s = s divergent, integrl bestt niet, is geen eindig getl. het Bewerking oneigenlijke integrl de soort Stel f( ) is niet begrensd in, wel in ], b] b f.d=lim b f.d Stel f( ) is niet begrensd in b, wel in [, b[ b f.d=lim b f.d Stel f( ) is niet begrensd in [, b], niet in c ], b[ b f.d= c = lim f.d b f.d c vb. d ² = d ² d ² = lim c d ² lim f.d lim d ² b f.d c Nu is d ² = = lim [ = lim [ ] lim [ ] ] lim [ ] Wiskunde nlse Hoofdstuk 3 (4/3)
Integrtie over een vlk gebied: Def : z = f(, ) z dubbelintegrl def( f ) R² Beschouw n m f i, j. ij i= j= met f i, j =, ij : ij = -> Riemnn-som Stel n >> m >> => Rij vn Riemnn- sommen -> eventueel convergeren -> eindige wrde => f(, ) is integreerbr over. Nottie => f,.d= lim n m n m f i, j. ij i= j= OPM Voldoende voorwrde voor integreerbrheid over : f(, ) is continu & begrensd over. Wiskunde nlse Hoofdstuk 3 (5/3)
Dubbelinterlen in crthesinse coördinten f,.d -> berekening: opeenvolgende enkelvoudige integrlen. Stel = enkelvoudig gebied t. o. v. -s of = {(, ) b & f ( ) f ( )} of = enkelvoudig gebied t. o. v. -s of = {(, ) g ( ) g ( ) & c d} Nu is f,.d= lim n m = lim n m n m f i, j. ij i= j= n m f i, j. i. j i= j= Stel enkelvoudig gebied t. o. v. -s Wiskunde nlse Hoofdstuk 3 (6/3)
Houdt nu constnt & beschouw lim n n i= lim m m j= f i, j. j. i = b Stel enkelvoudig gebied t. o. v. Y-s f, d= d c g f, d d g f f, d d f OPM ) Is enkelvoudig gebied t. o. v. - s & t. o. v. - s => => is rechthoekig f, d= b Bijzonder gevl d c f, d d= d c b f, d d Is f, =. => ) d = dd 3) f, d= b d. d d r.f, s.g, d=r. 4) = met = => f, d= c f, d s. g, d f, d f, d Gevolg : Integrtie over willekeurig gebied Wiskunde nlse Hoofdstuk 3 (7/3)
=> f, d= f, d => = 3 met i j = i j vb. f, d f, d 3 Geg. z = f(, ) = Gevr. ( Dubbel) integrl over, berensd door - s ( = ) & = & = Opl. d=.d d -> enkelvoudig gebied t. o. v. - s. = = [ ² = Dubbelinterlen in poolcoördinten.d d ] d ² d= 3 d = [ 4 4 ] =. 4 4 =8 Er geldt: =r.cos =r.sin f, d Wiskunde nlse Hoofdstuk 3 (8/3)
Gevr : d =? f, d=r f r.cos,r.sin dr.d vb. ) e ² ² dd = 'ste kwdrnt' Stel dd =r.cos =r.sin => ² + ² = r² = rdrd : : -> + : -> + ' : r: -> + : -> / e ² ² dd= e r² rdrd = = d. e r². r.dr d.. e r².dr² = [ ].. [ e r² ] =..= 4 vb. ) ² ² d gebied: C : ² ²= C M,,R= C : ² ²=4 C M,,R= R : =, R : = Wiskunde nlse Hoofdstuk 3 (9/3)
Overgng nr Poolcoördinten c :r².cos² r.sin ²= r².cos² r².sin² r.sin = r²=r.sin => r=sin c :r².cos² r.sin ²=4 r².cos² r².sin² 4r.sin 4=4 r²=4r.sin => r=4sin R : = 4 =rctg R : =rctg ² ² d= ' =.r.drd r rctg 4 rctg = 4 = 4 rctg r=4sin r=sin dr d 4sin sin d sin d = [ cos ] 4 rctg Wiskunde nlse Hoofdstuk 3 (/3)
Integrtie over een ruimtelijk gebied: drievoudige integrl Def : f(,, z) & V def( f ) R³ z met Volume V ijk = i i z i Stel n m p f i, i, I. V ijk i= j= k= -> Riemnn-som met f i, i, I =, V ijk : V ijk V= n >> m >> -> lten groter worden p >> -> rij vn Riemnn-sommen -> eventueel convergeren -> nr eindige wrde => ls dit geldig is => f(,, z) is integreerbr over V Nottie : f,,z dv= lim V n m p n m p f i, i, I. V ijk i= j= k= -> integrndum of integrnt -> dv: elementir volume element -> integrtiegebied (- volume) OPM : Voldoende voorwrde voor integreerbrheid vn f over V: is continu & begrensd over V. f Wiskunde nlse Hoofdstuk 3 (/3)
Drievoudige integrl in crthesische coördinten -> Berekening: opeenvolging vn een enkelvoudige integrl & dubbel integrl Stel V = enkelvoudig gebied t. o. v. -vlk = {(,, z ) (, ) V & f (, ) z f (, )} -> projectie vn V op -vlk z * Houdt & constnt en sommeer over de blkjes // z- s en k >> ( resp lim ) k * Lt & vriëren zodt grondvlk vn blkje het volledige oppervlkte V doorloopt. => f,,z dv= V z=f, V z=f, f,,z dz dv OPM : nloog voor enkelvoudige gebieden t. o. v. z-vlk z-vlk Eigenschppen : ) Is V enkelvoudig t. o. v. de 3 coördint vlkken... is op 3 mnieren te berekenen. V OPM : Is het gebied V bolvormig & f(,, z) = ( ). ( ). ( z) is =>... = te herleiden tot product V vn 3 enkelvoudige integrlen. ) dv = dddz 3) Lineriteitseigenschp 4) Willekeurig integrtiegebied => opsplitsing in som vn enkelvoudige integrtie gebieden. Wiskunde nlse Hoofdstuk 3 (/3)
Drievoudige integrl in cilindercoördinten z f,,z dv V dv =? =r cos =r sin z=z => dv=r.dr.d.dz f r.cos,r.sin,z.r.dr.d.dz V ' vb. OPM : Zie not's Volume vn een omwentelingslichm z V= V dv= r.dr.d.d -> cilinder coördinten V = = = = = = =b = =b = b r=f rdr d d r= [ r=f r² d d ]r= = [f ]²d b = ²d Volume: b V= ²d Wiskunde nlse Hoofdstuk 3 (3/3)
Drievoudige integrl in bolcoördinten z f,,z dv V dv =? =r cos sin =r sin sin z=r cos => dv=r.d.r.sin.d.dr dv=r².sin.dr.d.d f,,z dv V = f r.cos,sin,r.sin.sin,r.cos.r².sin.dr.d.d V vb. zie not's lgemene coördintentrnsformties in 3- voudige integrlen Stel = u, v, w = u, v, w z= 3 u, v, w f,,z dv V dv=dddz met vb. = f,, 3 V,, 3 u, v, w u,, 3 = u, v, w u 3 u zie not's,, 3 u, v, w dudvdw = bsolute wrde vn de Jcobin v v 3 v w w 3 w Wiskunde nlse Hoofdstuk 3 (4/3)
Integrtie over een kromme: Lijnintegrl K: ruimte kromme -> begrensd door P& Q z Beschouw: f(,, z): gedefinieerd in elk punt vn K n f i, i, i. s i i= -> Riemnn- som voor f over K ( tss P& Q) n >> -> rij R- sommen -> eventueel convergeren -> eindige wrde -> J Lijn- integrl vn f over K ( tussen P& Q) K n f,,z ds=lim f i, i, i. s i i= f is integreerbr over K ds -> elementir boogelement Berekening vn lijnintegrl s i P i P i = i i ² i i ² z i z i ² = i ² i ² z i ² lim n ds= d ² d ² dz ² (*) Wiskunde nlse Hoofdstuk 3 (5/3)
Stel K gegeven in prmeter gednte = t = t z=z t met t Q t t P Nu is d= d.dt= ' t.dt dt d= d.dt= ' t.dt dt dz= dz dt.dt=z' t.dt -> in (*) ds= ' t ² ' t ² z' t ².dt => K t Q f,,z ds= f t, t,z t...dt t P OPM : ) K is lijnstuk op - s tussen P(,, ) & Q( b,, ) => K : = t = z = => ' ( t)=, ' ( t)=, z' ( t)= => K b f,,z ds= b f t,, dt= f t dt ) K is gelsoten kromme f,,z ds 3) K is vlkke kromme ( vb. in - vlk) K z ( i ) in crthesische vergelijking K = ( ) z = ds= d ² d ²= d d d = ' d ( ii ) pool vergelijking Wiskunde nlse Hoofdstuk 3 (6/3)
K r = r( ) z = s r ² r ² lim n ds= r.d ² dr ² ds= [ ] r² dr d d = r² r ' d vb. zie not's Oppervlkte integrlen z Stel f(,, z): gedefinieerd in elk punt vn Verdeel in n. m deeloppervlkjes oppervlkte S ij ij met Kiespunt i, i, i op ij Beschouw: n m f i, i, i. S ij i= j= -> Riemnn-som n >> -> rij R- sommen -> eventueel convergeren -> eindige m >> wrde Nottie : Voldoende voorwrde: J -> f(,, z) is integreerbr over f,,z.ds= lim n m n m f i, i, i. S ij i= j= = oppervlkte integrl vn f over f is continu & begrensd over Berekening vn een oppervlkte integrl: Wiskunde nlse Hoofdstuk 3 (7/3)
f,,z.ds -> te herleiden tot berekening vn een dubbele integrl over een VLK gebied. ) Stel: z = z(, ) -> met crthesinse vergelijking z : z = z(, ) Er geldt: Nu is: S ij ij cos ij = b => b = cos ij -> oppervlkte verhouden zich op dezelfde wijze => ij = i. i cos ij Verder is: n. z =± n. z.cos ij = > => cos ij = ± n. z n met n z, z, & z,, => n. z = => cos ij = n Wiskunde nlse Hoofdstuk 3 (8/3)
Besluit: => cos ij = S ij ij = z z z z. i. i => lim n m ds= z z.d.d f,,z.ds= f,,z,. z z.d.d OPM : ) Stel -vlk => : z= (=> z =, z = ) => f,,z.ds= f,,z,.d.d -> dubbel integrl ) gesloten oppervlkte: f,,z.ds vb. -> zie not's ) Stel: = ( u, v) -> met prmetervoorstelling = ( u, v) z z = z( u, v) Wiskunde nlse Hoofdstuk 3 (9/3)
PQ= r= r u u, v v r u, v -> ls Q oneindig dicht nr P ndert d r= r u d u, v d v r u, v -> gelegen in het rkvlk in P. Nu is : d r= r r.du u v.dv -> onbonden in componenten -> component rkend n een u- lijn ( v= cte) -> component rkend n een v- lijn ( u= cte) Er geldt: n= r r.du u v.dv => het oppervlk gevormd door de componenten is: opp= r r.du u v.dv = r u r v.du.dv = ds -> infinitesiml klein oppervlkte element in P f,,z.ds= f u, v, u, v,z u, G uv v. r u r v.du.dv Bijzondere gevllen: ) Cilindrisch oppervlk : ds = ) Bol oppervlk ds = Rd dz R sin d d Toepssing: z Geg : vlkke kromme K: = f( ) tss b = = f( ). cos z = f( ). sin -> prmeters & Wiskunde nlse Hoofdstuk 3 (3/3)
Gevr: Opl: Dus: ds=, r r.dd r =,f '.cos,f '.sin r =, f.sin,f.cos r r =f. [f ' ] b ds= f. [f ' ].dd b ds= f. [f ' ].d b S= f.ds Wiskunde nlse Hoofdstuk 3 (3/3)