opgven formele struturen proeslger Opgve 1. (opgve 3.3.7 op p.97 vn het ditt 2005) Een mier moet vn links voor onder nr rehts hter oven op een kuus, met ties (rehts), (hter), en (oven). Uitwerking vn opgve 1: (i) Een mogelijke wndeling is, dus nr rehts, nr hter, nr oven. (ii) Er zijn 3! = 6 vershillende wndelingen mogelijk. (iii) Er zijn vershillende ntwoorden mogelijk: = ( + ) + ( + ) + ( + ) en ook ijvooreeld ( ) +( ) +( ) = + + + + + Opgve 2. (opgve 3.3.9 op p.98 vn het ditt 2005) Uitwerking vn opgve 2: 3 3 3. Er zijn weer ook ndere ntwoorden mogelijk. Opgve 3. Gegeven zijn de reursief gedefinieerde proessen X = Y + Y = X Hier is Y een hulpproes. () Teken de proesgrf vn X. () Geef drie vershillende eindige tres vn X. () Geef het oneindige tre vn X. Uitwerking vn opgve 3: () De proesgrf vn X is: X Y 1
() Drie eindige tres vn X zijn ijvooreeld,, en. () Het oneindige tre vn X is... ook wel geshreven ls ( ) ω. Opgve 4: Deze opgve gt over de merge zonder ommunitie. Je kunt n de ties s(1) en r(1) denken ls send(1) en reeive(1), en net zo voor s en r met rgument 2. We ekijken de proesterm P = (s(1) r(2)) (r(1) s(2)) () Geruik de xiom s om de term P te hershrijven tot een term zonder merge en zonder left-merge. () Teken de proesgrf vn P. Uitwerking vn opgve 4: () s(1) r(2) r(1) s(2) = s(1) r(2) r(1) s(2) + r(1) s(2) s(1) r(2) = s(1) (r(2) r(1) s(2)) + r(1) (s(2) s(1) r(2)) = s(1) (r(2) r(1) s(2) + r(1) s(2) r(2)) + r(1) (s(2) s(1) r(2) + s(1) r(2) s(2)) = s(1) (r(2) r(1) s(2) + r(1) (s(2) r(2) + r(2) s(2))) +r(1) (s(2) s(1) r(2) + s(1) (r(2) s(2) + s(2) r(2))) () We geven de grf hier niet; de strutuur is hetzelfde ls die vn Figuur 3.2 vn het ditt 2005. Opgve 5: Deze opgve gt over de merge met ommunitie. We ekijken weer de proesterm P = (s(1) r(2)) (r(1) s(2)) en gn nu uit vn de volgende ommunities: s(1) r(1) = (1) s(2) r(2) = (2) Je kunt n de tie (1) denken ls ommunition(1), en net zo voor met rgument 2. () Geef een tre vn P wr twee keer ommunitie pltsvindt. () Geef een tre vn P wr geen ommunitie pltsvindt. () Teken (G(P )). Uitwerking vn opgve 5: 2
() (1) (2). () Bijvooreeld s(1) r(2) r(1) s(2). () Die ziet eruit ls het ntwoord op opgve 4, met drij nog een middentk vn de vorm tie (1) gevolgd door of r(2) s(2) of door tie (2) of door s(2) r(2). Opgve 6. We ekijken weer de proesterm P = (s(1) r(2)) (r(1) s(2)) met ommunities gedefinieerd ls in het vorige onderdeel. Teken (P ). Uitwerking vn opgve 6: (1) (1) Opgve 7. We gn uit vn de ommunitie De ndere ommunities leveren δ op. = Teken (G(( d ) ( d))). Uitwerking vn opgve 7: Het proes (( d ) ( d)) heeft drie tres: De proesgrf ziet er zo uit: dd, dd, dd 3
d d Betere tekening: d d d d d d d d d d d d d d d d d d Opgve 8. Gegeven zijn de reursief gedefinieerde proessen X = 1 2 X Y = 1 2 3 Y wr we weer uitgn vn de ommunitie = Geef twee vershillende oneindige tres vn (X Y ). 4
Uitwerking vn opgve 8: Een oneindig tre vn X is ijvooreeld 1 2 1 2 3..., dus ( 1 2 1 2 3 ) ω, en ook 1 1 2 2 3..., dus ( 1 1 2 2 3 ) ω. Betere nottie(?): Twee vershillende oneindige tres: 1 2 1 2 3 1 2 1 2 3... en 1 1 2 2 3 1 1 2 2 3... Opgve 9. (We werken hier met merge zonder ommunitie.) Reken de proesterm ( + ) uit tot een proesterm wr merge ( ) en left-merge ( ) niet in voorkomen, en teken de proesgrf vn de gevonden sisterm. Uitwerking vn opgve 9: ( + ) = ( + ) + ( + ) = + + ( ( + )) = + ( ) + ( ( + ) + ( + ) ) = + ( + ) + ( ( + ) + + ) = + ( + ( + ))+ ( ( + ) + + ( + )) De proesgrf tekenen we hier niet. Opgve 10. () Bekijk de reursief gedefinieerde proessen X = ( + )Y + Y = Y Hier is Y het hulpproes. Geef de proesgrf vn X. () Vereenvoudig de proesterm (δ δ + )( + δ) zoveel mogelijk. Is dit proes dedlok-vrij? Uitwerking vn opgve 10: () De proesgrf ziet er ls volgt uit: 5
() Voor de vereenvoudiging geruiken we de regels vn tel 6.2.1: Dit proes is dedlok-vrij. (δ δ + ) ( + δ) = (δ + ) ( + δ) = ( + δ) = Opgve 11. (uit tentmen 30 mei 2000) () We werken hier met merge zonder ommunitie; de xiom s vn proeslger zijn gegeven ls ijlge. Reken de proesterm vn (+) uit tot sisproesterm (zonder merge ( ) en left-merge ( )), en teken de proesgrf vn de gevonden sisterm. () Geef de proesgrf vn X, gedefinieerd ls (met Y het hulpproes): X = ( + ) + ( + ) Y Y = Y Opgve 12. (uit hertentmen 17 ugustus 2000) () We werken hier met merge zonder ommunitie; de xiom s vn proeslger zijn gegeven ls ijlge. Reken de proesterm vn ( ) ( + ) uit tot sisproesterm (zonder merge ( ) en left-merge ( )). () Teken de proesgrf vn de sisterm gevonden in (). () Teken de proesgrf vn het reursieve proes X dt eerst een -stp doet, dn òf een -stp òf een -stp, en drn weer zihzelf is. (d) Geef de reursievergelijking vn het proes X getekend ls ntwoord op vrg (). Uitwerking vn opgve 12: 6
() ( ) ( + ) = ( ) ( + ) + ( + ) ( ) = ( ( + )) + ( ) + ( ) = ( ( + ) + ( + ) ) + + = ( ( + ) + + ) + + = ( ( + ) + + ) + + () () ( + )X ( + )X (d) X = ( + )X. Opgve 13. (opgve 3.3.8 op p98 vn het ditt 2005) Uitwerking vn opgve 13: ( ). (Er zijn ook ndere ntwoorden mogelijk.) Dit proes heeft 12 tres. Opgve 14. (uit tentmen 30 mrt 2001) () Reken de proesterm ( ( + )) d uit tot sisproesterm. () Teken de proesgrf vn de sisproesterm gevonden ls ntwoord op 5(). () Geef de proesgrf vn X, gedefinieerd ls volgt (met Y het hulpproes): X = ( + d) Y Y = ( + d) X 7
Uitwerking vn opgve 14: () () ( ( + )) d = ( + ) d + d ( + ) = (( + ) d) + d ( + ) = (( + ) d + d ( + )) + d ( + ) = ( d + d + d ( + )) + d ( + ) = ( d + d + d ( + )) + d ( + ) d d d d () X d d Opgve 15. (uit hertentmen 17 ugustus 2001) () Reken de proesterm ( + ) ( d) uit tot sisproesterm. () Teken de proesgrf vn de sisproesterm gevonden ls ntwoord op 5(). () Geef de speifitie vn een proes X met het oneindige tre.... Uitwerking vn opgve 15: () ( + ) ( d) = ( + ) ( d) + ( d) ( + ) = ( d) + ( d) + (d ( + )) = d + d + (d ( + ) + ( + ) d) = d + d + (d ( + ) + d + d) = d + d + (d ( + ) + d + d) () 8
d d d d d () X = X. Opgve 16. Gegeven is het proes P = (( ) + ) (d ). We heen de ommunite = ; de ndere ommunities leveren δ op. () Geef de proesgrf vn P. () Geef de proesgrf vn (P ), wrij de hlve ties en weggeveegd worden en lle ndere ties ehouden lijven. Opgve 17. Gegeven zijn de reursief gedefinieerde proessen X en Y : X = ( + ) X Y = d e Y met ommunitie = ; de ndere ommunities leveren δ op. Geef twee vershillende oneindige tres vn (X Y ) (zonder dedlok). Opgve 18. Geef een reursief proes X dt ls tres heeft:... en.... (Er mogen ook ndere tres zijn dn deze twee.) Opgve 19. (uit tentmen 5 juni 2002) () Reken de proesterm ( + ) d uit tot sisproesterm. () Geef een eshrijving vn een proes met het oneindige tre.... () Teken de proesgrf vn het proes gegeven door de vergelijkingen (met Y ls hulpproes). Uitwerking vn opgve 19: () X = ( + ) Y + d Y = X ( + ) d = ( + ) d + d ( + ) = d + d + d ( + ) = d + ( d) + d( + ) = d + ( d + d ) + d( + ) = d + (d + d) + d( + ) 9
() X = X. () d X Y X Opgve 20: (uit hertentmen 16 ugustus 2002) () Reken de proesterm ( + ) (d e) uit tot sisproesterm. (De xiom s vn de proeslger worden hieronder gegeven.) () Teken de proesgrf vn de sisterm gevonden in 5. () Geef de proesgrf vn X, gedefinieerd door het stelsel X = X + Y Y = ( + ) X Opgve 21. (uit tentmen 26 mrt 2003) () Werk de proesterm (+) uit tot een sis proesterm (dus zonder en zonder ). Mk hierij geruik vn de xiom s ondern de pgin. () De proessen X en Y zijn reursief gedefinieerd door: Teken de proesgrf vn X. X = Y Y = X + Y () Hier zijn en hlve ties met ommunitie = =. (i) Teken de proesgrf vn ( ( + )). (Dit is de proesgrf wr de δ s zoveel mogelijk uit verwijderd zijn, dus de opgeshoonde vrint.) (ii) Geef vn dit proes ( ( + )) het dedlokvrije tre. (d) Ook hier zijn en hlve ties met ommunitie = =. Beshouw de reursieve proessen X =...X Y =...Y Geef een oneindig tre vn (X Y ). 10
Opgve 22. (uit hertentmen 15 ugustus 2003) () Werk de proesterm (( + )) uit tot een sisterm (dus zonder en zonder ). Mk hierij geruik vn de xiom s ondern de pgin. () De proessen X en Y zijn reursief gedefinieerd door (i) Teken de proesgrf vn X. X = + X + Y Y = + Y (ii) Geef drie vershillende eindige tres vn X. (iii) Geef drie vershillende oneindige tres vn X. () Hier zijn en hlve ties met ommunitie = =. Gegeven zijn de reursieve proessen X = X Y = Y Geef vn het proes (X Y ) het oneindige dedlokvrije tre Opgve 23. Lt vn de volgende pren vn proestermen zien dt ze gelijk zijn met de xiom s vn BPA. Teken ook de proesgrfen, en lt zien dt die isimulir zijn.. ( + )( + ) = ( + ) + ( + ),. ( + ( + ))( + ) = (( + ) + ( + )) + ( + ). Uitwerking vn opgve 23:. ( + )( + ) = ( + ) + ( + ) (A4). ( + ( + ))( + ) = (A4) ( + ) + ( + )( + ) = (A4) ( + ) + (( + ) + ( + )) = (A2) (( + ) + ( + )) + ( + ) De proesgrfen zijn op het ollege gegeven. Als je een isimultie moet ngeven tussen twee proesgrfen die hetzelfde zijn is het voldoende om op te merken dt ze hetzelfde zijn en dus isimilir. Als je een isimultie geeft tussen twee proesgrfen, zorg er dn voor dt je duidelijk ngeeft wt de reltie op de knopen is; d.w.z. hoe de knopen vn de ene proesgrf gerelteerd zijn n de knopen vn de ndere proesgrf. Denk n de drie eisen op isimulties gegeven in Definitie 1.5.1. 11
Opgve 24. Lt zien dt de volgende gelijkheden niet gelden met de xiom s vn BPA, door te lten zien dt de ijehorende proesgrfen niet isimulir zijn.. ( + ) = + ( + ) +,. ( + )( + ) = + + +. Uitwerking vn opgve 24:. BP A ( + ) = + ( + ) +. Teken de proesgrfen vn ( + ) (G) en vn + ( + ) + (H) en lt zien dt er geen isimultie tussen estt. De proesgrfen zijn op het ollege getekend. Als er een isimultie is tussen G en H dn moet de wortel vn G n de wortel vn H gerelteerd zijn. Vnuit de wortel vn G is er mr een mogelijkheid: een -stp nr een knoop die we p noemen. Vnuit de wortel vn H zijn er drie mogelijkheden: in lle gevllen -stppen nr knopen die we q 1, q 2, en q 3 noemen. Vnuit q 1 kun je lleen nog een -stp doen. Vnuit q 2 kun je zowel een -stp ls een -stp doen. Vnuit q 3 kun je lleen nog een -stp doen. Als er een isimultie is tussen G en H dn moet de knoop p in G gerelteerd zijn n de knopen q 1, q 2, en q 3 in H. Vnuit p kun je zowel een -stp ls een -stp doen. Vnuit q 1 kun je lleen een -stp doen. Dus er kn geen isimultie geonstrueerd worden tussen G en H.. BP A ( + )( + ) = + + +. Teken de proesgrfen vn ( + )( + ) (G) en vn + + + (H ) en lt zien dt er geen isimultie tussen estt. Als er een isimultie is tussen G en H dn moet de wortel vn G n de wortel vn H gerelteerd zijn. Vnuit de wortel vn G zijn er twee mogelijkheden: een -stp en een -stp. Als je de -stp doet kom je in een knoop die we p noemen. Vnuit de wortel vn H zijn er vier mogelijkheden: twee -stppen en twee -stppen. We ekijken de - stppen; die rengen je in knopen die we q 1 en q 2 noemen. Vnuit q 1 kun je lleen nog een -stp doen. Vnuit q 2 kun je lleen nog een -stp doen. Als er een isimultie is tussen G en H dn moet de knoop p in G gerelteerd zijn n de knopen q 1 en q 2 in H. Vnuit p kn je zowel een -stp ls een -stp doen. Vnuit q 1 lleen een -stp. Dus er kn geen isimultie geonstrueerd worden tussen G en H. Opgve 25.. We werken hier met merge zonder ommunitie; Reken de proesterm vn ( ) ( + ) uit tot sisproesterm (zonder merge ( ) en left-merge ( )). 12
. Teken de proesgrf vn de sisterm gevonden in 1. Uitwerking vn opgve 25: () ( ) ( + ) = ( ) ( + ) + ( + ) ( ) = ( ( + )) + ( ) + ( ) = ( ( + ) + ( + ) ) + + = ( ( + ) + + ) + + = ( ( + ) + + ) + + () Opgve 26.. Vereenvoudig de proesterm (δ δ + )( + δ) zoveel mogelijk.. Is het proes uit 2 dedlok-vrij? Uitwerking vn opgve 26:. (δδ + )( + δ) = (δ + )( + δ) = ( + δ) =. J wnt (δδ + )( + δ) is gelijk n een proesterm zonder δ. Opgve 27. (uit tentmen 23 mrt 2004) Deze opgve gt over proeslger met merge zonder ommunitie.. Werk de term ( + ) (d + e) uit tot sisproesterm.. Bewijs dt de volgende gelijkheid niet geldt: = ( + ).. Los op ls proesgrf (Y is het hulpproes): X = Y + Y = XX 13
Uitwerking vn opgve 27:. ( + ) (d + e) = ( + ) (d + e) + (d + e) ( + ) = (d + e) + (d + e) + (d) ( + ) + e ( + ) = (d + e) + (d + e) + (d ( + )) + e( + ) = (d + e) + (d + e) + (d ( + ) + ( + ) d) + e( + ) = (d + e) + (d + e) + (d( + ) + d + d) + e( + ) = (d + e) + (d + e) + (d( + ) + d + d) + e( + ). We lten zien dt de proesgrf vn niet isimilir is met die vn ( + ). Als we proeren een isimultie te onstrueren, dn moeten we om te eginnen de roots n elkr relteren. Vnuit de root kn je in lletwee de grfen lleen een -stp doen. Je moet de punten wr je dn in tereht komt ook n elkr relteren. Mr dn kn je in de grf vn ( + ) een -stp doen, terwijl dt in de grf vn niet mogelijk is. Conlusie: de twee grfen zijn niet isimilir, en de gelijkheid = ( + ) geldt dus ook niet.. De proesgrf vn X: X Y XX Y X XXX We geruiken het volgende: XX = (Y + )X = Y X + X Y X = XXX XXX = (Y + )XX = Y XX + XX Opgve 28. (uit tentmen 23 mrt 2004) Deze opgve gt over proeslger met merge met ommunitie.. Werk δ zoveel mogelijk weg uit de proesterm p = δ+(+δ)+δ(+). Teken ook het δ-shone overlijfsel vn G(p) (dt is (G(p))).. We werken met de verzmeling ties A = {,,,,, d, e}. De ommunitiefuntie γ is gedefinieerd ls γ(, ) =. Teken G( de ). 14
. Dit is een vervolg op vrg 6; we heen nu ovendien gegeven H = {, }. Teken H (G( de )). Uitwerking vn opgve 28:. δ + ( + δ) + δ( + ) = δ + + δ = δ + Het δ-shone overlijfsel vn G(p): δ. G( de ): d d e e d d e e. H (G( de )): 15
d e Opgve 29. (uit hertentmen 29 juni 2004) Deze opgve gt over proeslger met merge zonder ommunitie.. Werk de term ( + ) (d + e) uit tot sisproesterm.. Bewijs dt de volgende gelijkheid niet geldt: ( + ) = +.. Los op ls proesgrf (Y is het hulpproes): X = Y Y Y = X + Opgve 30. (uit hertentmen 29 juni 2004) Deze opgve gt over proeslger met merge met ommunitie.. Werk δ zoveel mogelijk weg uit de proesterm p = δ(+)+(δ +)+δ. Teken ook het δ-shone overlijfsel vn G(p) (dt is (G(p))).. We werken met de verzmeling ties A = {,,,,, d}. De ommunitiefuntie γ is gedefinieerd ls γ(, ) =. Teken de proesgrf vn d, dwz. het rtesish produt vn G() en G( d) met toevoeging vn de ommunitiepijlen. (NB: Er wordt niet gevrgd om de term d uit te werken met de xiom s vn de proeslger.). Dit is een vervolg op vrg 6; we heen nu ovendien gegeven H = {, }. Teken H (G( d)). Opgve 31. Zijn de volgende pren vn proestermen gelijk? Zoj, geef een fleiding met de wetten vn de BPA, en geef een isimultie tussen de ijehorende proesgrfen. Zonee, leg uit wrom er geen isimultie mogelijk is. (i) ( + )( + ) =, 16
(ii) ( + ) = ( + ) +, (iii) ( + )( + ) = ( + ) + +. Uitwerking vn opgve 31: (i) De gelijkheid ( + )( + ) = is geldig in BPA. Een fleiding: De twee ijehorende proesgrfen: ( + )( + ) = (A3) ( + ) = (A3) R 1 R 2 R 3 S 1 S 2 S 3 Een isimultie tussen deze twee proesgrfen: {(R 1, S 1 ), (R 2, S 2 ), (R 3, S 3 )}. (Je mg een isimultie in een pltje ngeven.) (ii) De gelijkheid ( + ) = ( + ) + is niet geldig in BPA. De twee ijehorende proesgrfen zijn: R 3 R 1 R 2 R 4 S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 17
Er is geen isimultie tussen deze proesgrfen mogelijk. In een isimultie zouden in elk gevl R 1 en S 1 gerelteerd moeten zijn. Dn zouden R 2 en S 3 ook gerelteerd moeten zijn. Mr in R 2 kn je nog kiezen tussen een -stp en een -stp, en in S 3 kn je lleen mr een -stp doen. (iii) De vergelijking ( + )( + ) = ( + ) + + is niet geldig in BPA. De twee ijehorende proesgrfen zijn: R 1 R 2 R 3 S 2 S 3 S 4 S 5 S 6 S 1 S 7 S 8 Er is geen isimultie tussen deze proesgrfen mogelijk. In een isimultie zouden in elk gevl R 1 en S 1 gerelteerd moeten zijn. Dn zou verder R 2 gerelteerd moeten zijn met S 3 (onder ndere). Vnuit R 2 kn je zowel een -stp ls een -stp zetten, mr vnuit S 3 is lleen een -stp mogelijk. Er estt dus geen isimultie. Opgve 32. (i) Bepl een oplossing ls proesgrf vn X in de reursieve speifitie: X = X + X (ii) Bepl een oplossing ls proesgrf vn X in de reursieve speifitie: X = XX + X (iii) Bepl een oplossing ls proesgrf vn X in de reursieve speifitie: X = XX + (iv) Welke vn de drie reursieve proessen in deze opgve zijn met elkr isimilir? Motiveer je ntwoord. Uitwerking vn opgve 32: (i) Een oplossing ls proesgrf vn X met X = X + X: 18
, X (We geruiken hier een fkorting: er is een -stp vn X nr X en een -stp vn X nr X.) (ii) Een oplossing ls proesgrf vn X met X = XX + X: X XX X 3... We moeten hier X 2 en X 3 zo uitwerken dt we weten wt lle mogelijke eerste ties zijn. Er geldt XX = (XX + X)X = X 3 + X 2 en X 3 = (XX + X)XX = X 4 + X 3, (iii) Een oplossing ls proesgrf voor X met X = XX + : X X 2 X 3 X 4... Om deze (oneindige) proesgrf te mken moeten we weer weten wt lle mogelijke eerste ties zijn vnuit ijvooreeld X 2. Er geldt X 2 = (XX + )X = X 3 + X en X 3 = (XX + )XX = X 4 + X 3. (iv) Er is een isimultie tussen de proesgrfen in (i) en in (ii): relteer lle knopen in (ii) n de enige knoop in (i). Tussen de proesgrf vn (iii) en (i) is geen isimultie mogelijk omdt je vnuit de wortel in (iii) een -stp kunt doen om vervolgens te termineren; vnuit de wortel in (i) kn dt niet. Evenzo is er geen isimultie tussen (iii) en (ii). Opgve 33. (uit tentmen 29 juni 2004) Deze opgve gt over proeslger met merge zonder ommunitie.. Werk met ehulp vn de xiom s vn de proeslger de term (d+e) uit tot sisproesterm.. Werk ook de term ( + ) (d + e) uit tot sisproesterm.. Teken de proesgrf vn de term ( + ). 19
Uitwerking opgve 33:. We werken (d + e) uit tot sisproesterm: (d + e) = (d + e) + (d + e) = (d + e) + d + e = (d + e) + d + e. We werken ( + ) (d + e) uit tot sisproesterm; we geruiken onderdeel (): ( + ) (d + e) = ( + ) (d + e) + (d + e) ( + ) = (d + e) + () (d + e) + d ( + ) + e ( + ) = (d + e) + ( (d + e)) + d( + ) + e( + ) = (d + e) + ((d + e) + d + e) + d( + ) + e( + ). De proesgrf vn ( + ): Opgve 34. (uit tentmen 29 juni 2004) Gegeven is de proesterm p = δ( + ) + (δ + ) + δ.. Werk δ zoveel mogelijk weg uit de proesterm p.. Teken de proesgrf G(p) vn p.. Teken het δ-shone overlijfsel (G(p)) vn G(p). Uitwerking opgve 34:.. De proesgrf G(p):. Het δ-shone overlijfsel (G(p)): δ( + ) + (δ + )δ = δ + + δ = + δ Opgve 35. We werken met de verzmeling ties A = {,, e,,, d}. De ommunitiefuntie γ is gedefinieerd ls γ(, ) = e.. Teken de proesgrf vn d, dwz. het rtesish produt vn G() en G( d) met toevoeging vn de ommunitiepijlen. (NB: Er wordt niet gevrgd om de term d uit te werken met de xiom s vn de proeslger.) 20
. We heen nu ovendien gegeven H = {, }. Teken H (G( d)).. Gegeven zijn de proessen X, Y, gedefinieerd met de reursievergelijkingen X = X Y = Y Geef een oneindig tre vn het proes H (X Y ). Uitwerking opgve 35:. Het rtesish produt vn G() en G( d):. De proesgrf H (G( d)):. Een oneindig tre vn X Y : eeeee... Deze opgve gt over proeslger met merge zonder ommu- Opgve 36. nitie.. Werk met ehulp vn de xiom s vn de proeslger de term (d+e) uit tot sisproesterm.. Werk ook de term ( + ) (d + e) uit tot sisproesterm.. Teken de proesgrf vn de term ( + ). Uitwerking opgve 36: () We werken (d + e) uit tot sisproesterm: (d + e) = (d + e) + (d + e) = (d + e) + d + e = (d + e) + d + e () We werken ( + ) (d + e) uit tot sisproesterm; we geruiken onderdeel (): ( + ) (d + e) = ( + ) (d + e) + (d + e) ( + ) = (d + e) + () (d + e) + d ( + ) + e ( + ) = (d + e) + ( (d + e)) + d( + ) + e( + ) = (d + e) + ((d + e) + d + e) + d( + ) + e( + ) () De proesgrf vn ( + ): 21
Opgve 37. Gegeven is de proesterm p = δ( + ) + (δ + ) + δ.. Werk δ zoveel mogelijk weg uit de proesterm p.. Teken de proesgrf G(p) vn p.. Teken het δ-shone overlijfsel (G(p)) vn G(p). Uitwerking opgve 37: () () De proesgrf G(p): () Het δ-shone overlijfsel (G(p)): δ( + ) + (δ + )δ = δ + + δ = + δ Opgve 38. We werken met de verzmeling ties A = {,, e,,, d}. De ommunitiefuntie γ is gedefinieerd ls γ(, ) = e.. Teken de proesgrf vn d, dwz. het rtesish produt vn G() en G( d) met toevoeging vn de ommunitiepijlen. (NB: Er wordt niet gevrgd om de term d uit te werken met de xiom s vn de proeslger.). We heen nu ovendien gegeven H = {, }. Teken H (G( d)).. Gegeven zijn de proessen X, Y, gedefinieerd met de reursievergelijkingen X = X Y = Y Geef een oneindig tre vn het proes H (X Y ). Uitwerking opgve 38: () Het rtesish produt vn G() en G( d): () De proesgrf H (G( d)): () Een oneindig tre vn X Y : eeeee... 22
Opgve 39. We werken in deze opgve in PA (dus zonder ommunitie) met de tomire ties,, en. Zijn de volgende vergelijkingen geldig? Zo j, geef een erekening; zo nee, toon n dt de ijehorende proesgrfen niet isimilir zijn. () = ( ) () = ( ) + () ( ) + ( ) = ( + ) (d) = ( ) Uitwerking vn opgve 39: () PA = ( ). We redueren eide gesloten PA-termen tot BPA-termen, en lten zien dt de ijehorende proesgrfen niet isimilir zijn. De redutie vn tot BPA-term: = + = + ( ) = + ( + ) = + ( + ) De ijehorende proesgrf g 1 is getekend in Figuur 1. r 1 p Figuur 1: g 1 = G( + ( + )) De redutie vn ( ) tot BPA-term: ( ) = ( + ) = ( + ) = + 23
De ijehorende proesgrf g 2 is getekend in Figuur 2. r 2 q Figuur 2: g 2 = G( + ) Het is duidelijk dt de proesgrfen g 1 (Fig. 1) en g 2 (Fig. 2) niet isimilir zijn. Immers, stel dt er wel een isimultie R tussen g 1 en g 2 estt. Dn geldt dt de wortels r 1 en r 2 vn respetievelijk g 1 en g 2 R-gerelteerd zijn, dus (r 1, r 2 ) R. Omdt er vnuit r 1 een -stp mogelijk is nr een knoop die we p noemen, volgt dt er een knoop k in g 2 is zodt r 2 k en dt (p, k) R. De enige kndidt voor k is q. Ehter, vnuit p is een -stp mogelijk, mr vnuit q niet. Dus p en q kunnen niet gerelteerd zijn. Drme heen we lten zien dt er geen isimultie tussen g 1 en g 2 kn worden geonstrueerd. Met de volledigheidsstelling voor BPA volgt dn BPA + ( + ) = + en dus ook dt PA + ( + ) = +. () PA = ( ) +. We werken linker- en rehterknt vn de gelijkheid uit tot de BPA-term +. Links: = + = ( ) + = ( + ) + = ( ) + = + 24
Rehts: ( ) + () PA + = ( + ). = ( + ) + = ( + ) + = ( + ) + = + ( + ) = ( + ) + = + We redueren eide gesloten PA-termen tot BPA-termen, en lten zien dt de ijehorende proesgrfen niet isimilir zijn. Links: + = + + + = + + + De ijehorende proesgrf g 1 is fgeeeld in Figuur 3. r 1 p Figuur 3: g 1 = G( + + + ) Rehts: ( + ) = ( + ) + ( + ) = ( + ) + + = ( + ) + + De ijehorende proesgrf g 2 is fgeeeld in Figuur 4. De proesgrfen in Figuren 3 en 4 zijn niet isimilir. Als er wel een isimultie R zou estn, dn zou r 1 R-gerelteerd zijn n r 2. Voorts, 25
r 2 q Figuur 4: g 2 = G(( + ) + + ) vnwege r 1 p, heen we dt (p, q) R (vnuit r2 vertrekt mr één -pijl, nr q). Dt ltste kn ehter niet het gevl zijn. Immers, vnuit p is geen -stp mogelijk, vnuit q wel. De nnme dt g 1 en g 2 isimilir zijn leidt tot een tegensprk; we onluderen dt ze niet isimilir zijn. Drmee is de gevrgde gelijkheid niet fleidr in PA. (d) PA = ( ). We redueren eide gesloten PA-termen tot BPA-termen, en lten zien dt de ijehorende proesgrfen niet isimilir zijn. Links: = + = ( ) + = ( + ) + = ( + ) + De ijehorende proesgrf g 1 is fgeeeld in Figuur 5. r 1 p Figuur 5: g 1 = G(( + ) + ) 26
Rehts: ( ) = ( + ) = ( + ) De ijehorende proesgrf g 2 is fgeeeld in Figuur 6. r 2 q Figuur 6: g 2 = G(( + )) De proesgrfen in Figuren 5 en 6 zijn niet isimilir. Als er wel een isimultie R zou estn, dn zou r 1 R-gerelteerd zijn n r 2. Voorts, vnwege r 1 p, heen we dt (p, q) R (vnuit r2 vertrekt mr één -pijl, nr q). Dt ltste kn ehter niet het gevl zijn. Immers, vnuit p is geen -stp mogelijk, vnuit q wel. De nnme dt g 1 en g 2 isimilir zijn leidt tot een tegensprk; we onluderen dt ze niet isimilir zijn. Drmee is de gevrgde gelijkheid niet fleidr in PA. Opgve 40. We werken met de verzmeling ties A = {,, e,, }. De ommunitiefuntie γ is gedefinieerd ls γ(, ) = e. Verder geruiken we H = {, }. () Teken de proesgrf vn, dwz. het rtesish produt vn G() en G( ) met toevoeging vn de ommunitiepijlen. () Teken H (G( )). Uitwerking vn opgve 40: De verzmeling tomire ties is A = {,, e,, } en de ommunitiefuntie is gedefinieerd ls γ(, ) = e. () De proesgrf vn is fgeeeld in Figuur 7. () Verder is gegeven H = {, }. Het δ-shone overlijfsel H (G( )) is fgeeeld in Figuur 8. 27
e e Figuur 7: G( ) e δ Figuur 8: H (G( )) Opgve 41. We werken met de verzmeling ties A = {,, e,, }. De ommunitiefuntie γ is gedefinieerd ls γ(, ) = e. Verder geruiken we H = {, }. () Teken de proesgrf vn X, gedefinieerd in de reursievergelijkingen: X = Y Y = Y + X + () Gegeven zijn de proessen X, Y, gedefinieerd met de reursievergelijkingen X = X Y = Y Geef een oneindig tre vn het proes H (X Y ). Uitwerking vn opgve 41: () De proesgrf vn X gedefinieerd door de reursievergelijkingen: X = Y Y = Y + X + 28
is fgeeeld in Figuur 9. X Y Y Figuur 9: De proesgrf vn X gedefinieerd door X = Y, Y = Y + X +. () Gegeven zijn de vergelijkingen: X = X Y = Y Gevrgd wordt een oneindig tre te geven vn H (X Y ). We gn uit vn γ en H zols die zijn gedefinieerd in Opgve 1. Uitrekenen vn H (X Y ) geeft e H (X Y ); en H (X Y ) geeft e H (Y X) + H (Y X). Dus, gegeven ommuttiviteit vn, kunnen we het proes definiëren met ehulp vn twee reursievergelijkingen (U voor het hoofdproes H (X Y ) en V voor het hulpproes H (X Y )): U = ev V = ev + U Dus, twee vooreelden vn oneindige tres vn het proes U zijn: (e) ω en e(e) ω. Opgve 42: () Teken de proesgrf vn, dwz. het rtesish produt vn G() en G( ) met toevoeging vn de ommunitiepijlen. () Teken H (G( )). () Reken met de xiom s vn de proeslger (ACP) de term H (( + ) ) uit tot een term in BPA δ en teken de proesgrf H (G(( + ) )). Uitwerking vn opgve 42: 29
e Figuur 10: G( ) e Figuur 11: H (G( )) () Deze opgve lijkt erg op Opgve 1(). De proesgrf in Figuur 10 is geknipt uit die vn Figuur 7. A en H zijn ook ls in die opgve. () Het δ-shone overlijfsel vn G( ) is getekend in Figuur 11. () We redueren H (( + ) ) uit tot sisproesterm: H (( + ) ) = H (( + ) + ( + ) + ( + ) ) = H ( + + ( ( + )) + + ) = H ( + + ( ( + )) + ( ) + ( )) = H ( ) + H ( ) + H ( ( ( + ))) + H (( )) + H (( ))) = δ + δ + δ( (δ + )) + H (e) + H (δ)) = δ + δ + δ + e + δ = δ + e Opgve 43. () Teken de proesgrf vn X gedefinieerd in de reursievergelijkingen: 30
X = X + Y Y = Y + () Teken nu de proesgrf vn Z gedefinieerd in de reursievergelijkingen: Z = Z + Y Y = Y + () Zijn de in () en () gevonden proesgrfen isimilir? Zo j, geef een isimultie, zo nee, eredeneer wrom niet. Uitwerking vn opgve 43: () De proesgrf vn X gedefinieerd door reursievergelijkingen: is fgeeeld in Figuur 12. X = X + Y Y = Y + X Y Y Figuur 12: De proesgrf vn X gedefinieerd door: X = X +Y, Y = Y +. () De proesgrf vn Z gedefinieerd door: Z = X + Y met hetzelfde hulpproes Y ls in het vorige item, is fgeeeld in Figuur 13. () De proesgrfen vn X (Fig. 12) en Z (Fig. 13) zijn duidelijk niet isimilir. Een mogelijke tre vn Z is, terwijl je in het proes X minstens 2 -stppen moet doen voordt je met een -stp termineert. 31
X Y Figuur 13: De proesgrf vn Z gedefinieerd door: Z = Z + Y, Y = Y +. Opgve 44. Deze opgve gt over PA (dus zonder ommunitie). We geruiken tomire ties,,, en d. Zijn de volgende vergelijkingen geldig? Zo j, geef een fleiding in PA. Zo nee, toon n dt de ijehorende grfen niet isimilir zijn. () + = ( + ). () ( + ) ( + ) = ( + )( + ) + ( + )( + ). () () = (). (d) ( + ) d = ( d) + ( d). Uitwerking vn opgve 44: Opgve 45. Deze opgve gt over PA, dus zonder ommunitie. Ook hier zijn en tomire ties. () Bepl een oplossing ls proesgrf vn de proessen X, Y, en Z: X = X + X Y = Y Y + Y Z = Z + ZZ () Welke vn de drie reursieve proessen X, Y, en Z in deze opgve zijn met elkr isimilir? Motiveer je ntwoord. Opgve 46. We geruiken tomire ties,,, en d. Bepl een oplossing ls proesgrf vn X in de volgende reursieve speifitie: X = (X + XX) + d Opgve 47. We geruiken tomire ties en. Bepl een oplossing ls proesgrf vn Y gedefinieerd door de reursievergelijkingen: Y = Y + Z Z = Z + Y Z 32
Opgve 48. Deze opgve gt over ACP (met ommunitie). We geruiken tomire ties,,, en. De ommunitiefuntie is gedefinieerd ls γ(, ) =. Verder is gegeven H = {, }. () Teken de proesgrf G( ). () Teken het δ-shone overlijfsel H (G( )). () Bereken H ( ). Opgve 49. Deze opgve gt over ACP (met ommunitie). We geruiken tomire ties,,, en. De ommunitiefuntie is gedefinieerd ls γ(, ) =. Verder is gegeven H = {, }. () Teken de proesgrf G( ( + )). () Teken het δ-shone overlijfsel H (G( ( + ))). () Bereken H ( ( + )). 33