Elaiche Boing ELASTISCHE BOTSING In he boe Syeeanalye in 8 doeinen wor de lezer geconfroneerd e ele nieuwe begrippen: diracipul, Laplaceranforaie, bereenen an de raniënreponie. Velen zullen zich de raag ellen: wa doe je eree? In deze e wor een praich oorbeeld uigewer, waarin deze begrippen aan bod oen.. DE ELASTISCHE BOTSING We bechouwen ballen. De eere heef een aa en een nelheid. De weede bal heef een aa en lig il. Op he ijdip = bo bal egen bal. Op he ogenbli an de ipac i de nelheid ( ) =. De boing i een ideale elaiche boing. We beijen = deze boing ééndienionaal. He reulaa an de boing i da beide ballen een zeere nelheid hebben in dezelde riching al de nelheid. - hoe erlopen de nelheden en? - hoe erloop de rach op bal en op bal? We unnen on nu de olgende ragen ellen: Noraal gezien oe el echanich problee unnen worden opgelo e de we an Newon: rach = aa x ernelling. Kan deze we hier worden oegepa? Alle hang eran af wel odel we gebruien oor di yee.. BEREKENING VAN DE EINDSNELHEDEN De eindnelheden unnen bereend door gebrui e aen an de behoudween: behoud an ipul en behoud an energie. Di geef on een elel an ergelijingen, waarui de onbeende nelheden en unnen worden opgelo: He oploen gebeur dan al olg: zoda Hierui olg zoda en Ui deze forule olgen enele inereane beluien: Syeeanalye /
Elaiche Boing ) al =, dan i na de boing = en i = ) al > dan i na de boing negaief: de bal eer erug in de riching an waar hij i geoen. Al = dan i = - ) al << dan an de nelheid an de weede bal nie groer worden dan De eere beluien oen perfec oereen e wa we inuïief aanoelen oer deze elaiche boing. He derde belui lig al ie inder oor de hand. Me behulp an de behoudween unnen we wel de eindnelheden bereenen, aar nie he erloop an de nelheid. Wa beref he erloop unnen we dingen doen: ofwel ellen we een bepaald erloop oor, ofwel erfijnen we he odel zoda we he erloop unnen bereenen. Beide opie zullen we nu erder behandelen.. STAPVORMIG SNELHEIDSVERLOOP Hierbij eronderellen we da de nelheid an beide ballen ogenblielij erander op he ijdip an de boing. He erloop an de nelheden unnen we dan oorellen al olg: () () F () F () d() d F () u( - ) δ( - ) Cijferoorbeeld: el = g en = g de beginnelheid = / na de boing i dan = / en = / er conrole: de ipul oor de boing (g/) i gelij aan de ipul na de boing ( + g/) de energie oor de boing ( / = J) i gelij aan de energie na de boing (J + J) Wiundig an he erloop an de nelheden worden gechreen al () = ( ) u(- ) en () = u(- ) Hoe erloop de rach? Voor F () unnen we chrijen Veri de nelheid ogenblielij erander oe de rach wel een diracipul zijn. Mer op: i he opperla an de diracipul, du de dienie i newon (dienie an de y-a) aal econde (dienie an de x-a). Inderdaad, g / i gelij aan N. Voor F beoen we: d() F () ( ) δ( - ) Deze rach i negaief en dien o bal af e reen. ( - ) (- ) (- ) Syeeanalye /
Elaiche Boing Ui de forule oor en olg da ( ) Bijgeolg i F () = -F (), ie wa we uieraard erwachen anui de laiee echanica. Hoewel we e di odel ooie forule beoen, zien we och e een lein problee: een rach die oneindig groo i, da an och nie. Hoe i dan he werelij erloop? O di e unnen bereenen oeen we on odel aanpaen.. MODEL MET IDEALE VEER In di geal eronderellen we een eer uen de ballen. Indien er op deze eer geen rach L wor uigeoefend, dan heef deze eer een lenge L (deze lenge peel erder geen enele rol). Al deze eer wor ingedru oer een afand x, dan oefen deze eer een rach F ui. Voor een lineaire eer i deze rach eenredig e de erplaaing x. We unnen du chrijen F = x. F=-(x -x ) F=(x -x ) De eenredigheidfacor noe en de eerconane. In di oorbeeld i x = x -x. x x Zowel oor bal al oor bal unnen we nu de we F = a oepaen. Di geef olgend elel: e beginoorwaarden: d x dx() ( x x) x() d x dx() ( ) () x x x In he Laplace-doein wor di dan ( X ) X X X X X X X of X X Di elel oe worden opgelo. De oploing i de olgende: ( ) X ( ) X ( ) Nu we X () en X () ennen, unnen we x () en x () bereenen door de inere laplaceranforaie oe e paen. Voor he bereenen an x () oeen we eer plien in parieelbreuen: ( ) A B C D ( ) Syeeanalye /
Elaiche Boing Syeeanalye / Voor de coëfficiënen A, B, C en D beo en de olgende waarden: D C B A X () unnen we bijgeolg chrijen al ) ( X De eigenfrequenie an di yee wor du gegeen door de forule Inere laplaceranforaie geef dan in ) ( () x Veri de nelheid de afgeleide i an de afgelegde weg, unnen we eeen chrijen co ) ( () Conrole: in deze bereening i =. Ui boenaande forule olg () =, wa oereeno e de beginoorwaarde. Voor he bereenen an x () gel: ) ( D C B A ) ( Voor de coëfficiënen A, B, C en D beo en nu de olgende waarden: - D C B A X () unnen we bijgeolg chrijen al ) ( ) ( X zoda ) in ( () x en ) co ( () De curen boenaan de olgende bladzijde onen de afgelegde weg en de nelheid an beide ballen oor de olgende waarden: = g, = g, = / = N/. Voor deze waarden i = 9,rad/, wa oereeno e een periode an,88. Deze curen gelden oor he geal de ballen azien aan die eer. Bij de elaiche boing i da nie zo: de ballen zijn lech e elaar erbonden zolang de eer wor aengedru (o di in e zien an je een een iulaie doen e behulp an de apple op hp://www.waler-fen.de/phnl/colliion_nl.h).
Elaiche Boing. afgelegde weg nelheid.. x. x.. Van zodra de eer zijn oorpronelije lenge L weer berei, loen de ballen an elaar. Di gebeur op he ogenbli waarop x gelij i geworden aan x. Di ijdip noeen we T. He an worden bereend door de oorwaarde x (T)= x (T): x(t) (T in T) (T in T) x(t) Hierui olg in T T π We unnen nu de nelheden op di ijdip T bereenen: (T) ( ) en (T) Di zijn dezelfde forule al dewele werden afgeleid e behulp an de behoudween. De curen zien er nu ui al olg: T π. afgelegde weg nelheid..... He ijdip T i gelij aan de hale periode: T =,. Deze ijd i gelij aan de duur an de boing. We unnen nu oo he erloop an de rach bereenen al olg: F() ( x x) ( in in ) in Deze forule i uieraard alleen aar geldig oor < < T. De axiale rach doe zich oor al de inu gelij i aan, du Syeeanalye /
Elaiche Boing F MAX In on cijferoorbeeld: F MAX 9N, zoal blij ui onderaande cure. nelheid rach 8.. We unnen nu oo de oale ipul bereenen: deze i gelij aan de inegraal an de rach, en i bijgeolg oo gelij aan he opperla onder de cure an de rach: T F() T in co co π co Al we de forule oor inullen wor di T F() We ellen a da di opperla onafhanelij i an de waarde an! Wa gebeur er al de eerconane groer i? Onderaande figuur oon de curen oor = 8 N/ (x groer dan oorheen). π/ nelheid rach.. De duur T an de boing i gehaleerd, F MAX i erdubbeld, he opperla onder de cure i dezelfde gebleen, en nauurlij oo de eindnelheden zijn dezelfde gebleen. De olgende figuur oon de curen oor = N/. Syeeanalye /
Elaiche Boing nelheid rach 8.. Wa gebeur er al we de eerconane o oneindig laen oeneen? Dan wor de duur an de boing oneindig lein, he erloop an de nelheden i dan aporig, F MAX wor oneindig groo, en he erloop an de rach wor dan bepaald door de diracfuncie F() δ() Di i uieraard dezelfde diracfunie al die we in de orige paragraaf hebben afgeleid (zie boenaan op p). Mer op: he opperla onder de cure an F() i nog eed hezelfde gebleen, eri di opperla onafhanelij wa an. Belui Di eenoudige oorbeeld an een ééndienionale elaiche boing oon aan da er uen de boende oorwerpen eed een eer oe worden erondereld. Een elel an differeniaalergelijingen an dan worden opgeeld. Via de laplaceranforae wor di dan een algebraïch elel, da op de laiee anier an worden opgelo. Door de inere laplaceranforaie an he erloop an de nelheden en an de rachen worden bereend. De eerconane an de eer an nauurlij zeer groo zijn. In da geal wor he erloop an de nelheden bijna aporig, en gaan de rachen eer en eer lijen op een diracipul. Een diracipul onaa eed bij een liieoergang, in di geal. Syeeanalye /