Differentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft Roelof Koekoek WbMT248 Roelof Koekoek (TU Delft) Differentiaalvergelijkingen WbMT248 1 / 1
Partiële integratie Uit de productregel volgt: (f (x)g(x)) = f (x)g (x) + g(x)f (x) Integreren geeft dan: f (x)g(x) = f (x)g (x) dx + g(x)f (x) dx Gebruik nu de differentialen df (x) = f (x) dx en dg(x) = g (x) dx: Voorbeeld: f (t) = cos(a t): F (s) = f (x) dg(x) = f (x)g(x) e s t cos(a t) dt = 1 a g(x) df (x) e s t d sin(a t) Met behulp van partiële integratie volgt dan voor s > : F (s) = 1 a e s t sin(a t) 1 sin(a t) de s t a Roelof Koekoek (TU Delft) Differentiaalvergelijkingen WbMT248 2 / 1
De stokterm is nul, dus: Dus: F (s) = s e s t sin(a t) dt = s a a 2 e s t d cos(a t) = s a 2 e s t cos(a t) + s a 2 cos(a t) de s t = s a 2 s2 a 2 ) (1 + s2 a 2 F (s) = s a 2 = F (s) = Het kan ook zo: F (s) = e s t cos(a t) dt = s a 2 s2 a 2 F (s) e s t cos(a t) dt = 1 s s s 2 + a 2 Met behulp van partiële integratie vinden we nu: cos(a t) de s t Roelof Koekoek (TU Delft) Differentiaalvergelijkingen WbMT248 3 / 1
F (s) = 1 s e s t cos(a t) Nu volgt: + 1 s e s t d cos(a t) = 1 s a e s t sin(a t) dt = 1 s s + a s 2 sin(a t) de s t = 1 s + a s 2 e s t sin(a t) a s 2 e s t d sin(a t) = 1 s a2 s 2 (1 + a2 s 2 e s t cos(a t) dt = 1 s a2 s 2 F (s) ) F (s) = 1 s = F (s) = s s 2 + a 2 Roelof Koekoek (TU Delft) Differentiaalvergelijkingen WbMT248 4 / 1
Breuksplitsing Bij het gebruik van de Laplace transformatie voor het oplossen van differentiaalvergelijkingen, moeten we vaak gebruik maken van de techniek van het breuksplitsen: Voorbeeld: 1 s(s + 1) = 1 s 1 s + 1 Hieruit volgt bijvoorbeeld dat ( ds 1 s(s + 1) = s 1 ) ds = ln s ln s+1 +C = ln s s + 1 s + 1 +C Deze breuksplitsing vinden we alsvolgt: 1 s(s + 1) = A s + B A(s + 1) + Bs = s + 1 s(s + 1) Dan volgt: A = 1 en B = 1 = (A + B)s + A s(s + 1) Roelof Koekoek (TU Delft) Differentiaalvergelijkingen WbMT248 5 / 1
Breuksplitsing Deze techniek kunnen we algemeen toepassen op rationale functies (breuken met zowel in de teller als in de noemer een polynoom) met de graad van de teller lager dan die van de noemer Ontbind de noemer in factoren en probeer vervolgens de breuk te splitsen: s + 5 Voorbeeld: s 2 + s 2 = s + 5 (s 1)(s + 2) Dan volgt: s + 5 (s 1)(s + 2) = A s 1 + B s + 2 Schrijf het rechterlid vervolgens als één breuk: A s 1 + B A(s + 2) + B(s 1) (A + B)s + 2A B = = s + 2 (s 1)(s + 2) (s 1)(s + 2) Dus: A + B = 1 en 2A B = 5. Daaruit volgt: A = 2 en B = 1. Roelof Koekoek (TU Delft) Differentiaalvergelijkingen WbMT248 6 / 1
Breuksplitsing Als de noemer van de tweede graad is, dan kan de teller nog van de eerste graad zijn: s 4 + 2s 3 4s 2 + 1 Voorbeeld: s(s + 1) 2 (s 2 + 1) = A s Uitschrijven levert voor de teller: s 4 + 2s 3 4s 2 + 1 B(s + 1) + C + (s + 1) 2 + Ds + E s 2 + 1 = A(s + 1) 2 (s 2 + 1) + Bs(s + 1)(s 2 + 1) + Cs(s 2 + 1) + Ds 2 (s + 1) 2 + Es(s + 1) 2 Deze gelijkheid moet gelden voor alle waarden van s en dus ook voor s = en s = 1. Dan vinden we: 1 = A en 4 = 2C. Hieruit volgt dat A = 1 en C = 2. De andere onbekenden kunnen gevonden worden door andere waarden van s in te vullen. Door invullen van s = 1, s = 2 en s = 2 volgt nu: Roelof Koekoek (TU Delft) Differentiaalvergelijkingen WbMT248 7 / 1
= 8A + 4B + 2C + 4D + 4E 17 = 45A + 3B + 1C + 36D + 18E 15 = 5A + 1B 1C + 4D 2E = 4B + 4D + 4E = 12 3B + 36D + 18E = 48 1B + 4D 2E = Verder vereenvoudigen leidt tot : B + D + E = 3 5B + 6D + 3E = 8 = B = 1, D = 1 en E = 3 5B + 2D E = Roelof Koekoek (TU Delft) Differentiaalvergelijkingen WbMT248 8 / 1
Dus: s 4 + 2s 3 4s 2 + 1 s(s + 1) 2 (s 2 + 1) = 1 s 1 s + 1 + 2 (s + 1) 2 + s s 2 + 1 3 s 2 + 1 Een andere mogelijkheid is het vergelijken van machten van s: s 4 + 2s 3 4s 2 + 1 = A(s + 1) 2 (s 2 + 1) + Bs(s + 1)(s 2 + 1) + Cs(s 2 + 1) + Ds 2 (s + 1) 2 + Es(s + 1) 2 = (A + B + D)s 4 + (2A + B + C + 2D + E)s 3 Hieruit volgt dat A = 1 en: + (2A + B + D + 2E)s 2 + (2A + B + C + E)s + A Roelof Koekoek (TU Delft) Differentiaalvergelijkingen WbMT248 9 / 1
A + B + D = 1 2A + B + C + 2D + E = 2 Zo vinden we ook dat: 2A + B + D + 2E = 4 2A + B + C + E = = B = 1, C = 2, D = 1 en E = 3 s 4 + 2s 3 4s 2 + 1 s(s + 1) 2 (s 2 + 1) = 1 s 1 s + 1 + 2 (s + 1) 2 + s s 2 + 1 3 s 2 + 1 Roelof Koekoek (TU Delft) Differentiaalvergelijkingen WbMT248 1 / 1