Vrije Universiteit Brussel Analyse I WPO Academiejaar Prof. Dr. E. Colebunders, Dr. An Gerlo, Dr. G. Sonck

Vrije Universiteit Brussel Analyse I WPO Academiejaar 2007-2008 Prof. Dr. E. Colebunders, Dr. An Gerlo, Dr. G. Sonck 5 oktober 2007

Inhoudsopgave Opgaven Afgeleiden 2 Opgaven Bepalen van Primitieven 4 Methoden voor het oplossen van differentiaalvergelijkingen 3 Opgaven Differentiaalvergelijkingen 2 Opgaven Hoofdstuk : Continuïteit in een veranderlijke 24 Opgaven Hoofdstuk 2: Differentieerbaarheid in één veranderlijke 35 Opgaven Hoofdstuk 3: Convergentie 45 Opgaven Hoofdstuk 4: Integratietheorie 52 Opgaven Hoofdstuk 5: Differentieerbaarheid in meerdere variabelen 59 Opgaven Hoofdstuk 6: Meervoudige integralen 64 Opgaven Hoofdstuk 7: Lijn- en Oppervlakte-integralen 68 Inleiding tot de verzamelingenleer 72 Inleiding tot cardinaliteit 76 Formulelijst 84 Grieks alfabet 88

Opgaven Afgeleiden Opgaven Hierna volgt een lijst van voorschriften van reëelwaardige functies van een reëele veranderlijke. Als codomein wordt steeds R genomen. Het domein van de functies wordt impliciet verondersteld een open interval I van R te zijn zodat het functievoorschrift f(x) voor elke x I goed gedefinieerd is.. f(x) = e x log x 2. f(x) = e +2x +2x 3. f(x) = log( +x x ) 4 2 bgtgx 4. f(x) = sin(sin(x)) 5. f(x) = log tg x 2 (cotgx) log( + sin x) x 6. f(x) = x x 7. f(x) = x log x 8. f(x) = 5 ( + xe x ) 3 9. f(x) = tg log(2x + 3) 2 0. f(x) = x (xx ) a+b cos x. f(x) = bgtg b+a cos x 2. f(x) = 3 log tg x 2 +2 3 tg x 2 +2+ 3 3. f(x) = tg 2 (e 3x ) 2

Oplossingen. f (x) = e x ( + log x) x 2. f (x) = e +2x +2x ( +2x ) 3. f (x) = x2 x 4 4. f(x) = cos x cos(sin(x)) 5. f (x) = log(+sin x) sin 2 x 6. f (x) = x x ( + log x) 7. f log x log x (x) = 2x x 8. f (x) = 3 5 ( + xex ) 2 5 e x ( + x 2 ) 9. f (x) = 4 2x+3 sec2 log(2x + 3) 2 0. f (x) = ( x + (log x)2 + log x)x x x (xx ). f (x) = (a 2 b 2 ) sin x (b+a cos x) 2 +(a+b cos x) 2 2. f (x) = sec2 x 2 (2+tg x 2 )2 3 3. f (x) = 6e 3x tge 3x sec 2 e 3x

Opgaven Bepalen van Primitieven Opgaven. 5 x 7 2. x 2 6 x 3. x 3 + 4x 5 4. ( 3 x + x) 3 5. x+2 x+ 6. x 2 +x+ (+x 2 )x 7. x 2 +2x (x+) 2 8. sin 2 x. cos 2 x 9. +cos x 0. sin 2 x 2. tan 2 x 2. a sin x b+c cos x 3. e x + 4. cosec2x cotan2x 5. sin 3x. sin 7x 6. 25 6x 2 7. 2x+3 x 2 +0x+30 8. (3x + 2) 3 20. x 3 2x 2 +3 2. x sin x 2 22. x 3 + x 4 23. sin 4 x. cos x 24. sin 3x 25. a 5x 26. e 2x e 3x 27. sec x 28. x 2 e x3 29. log x x 30. sin 3 x cos 2 x 3. (x 2 x) 4 (2x ) 32. x 2 4 x 3 +2 33. e x x 2 34. tan 4 x 35. e 2x e 2x +3 36. x( x) 37. x+3 x 2 9. (+ x) 2 x 38. cotan x.e log sin2 x 4

39. arctan x +x 2 40. tan 3 2x. sec 3 2x 4. log(x+) x+ 42. cosh 3 2 x 43. x 2 4x+6 44. x 2 +2x+3 45. x 4 x 2 4x+8 46. 2x 3 (x 2 +) 2 47. arctan x 48. x 2 e x 49. x log x 50. sin 2 x 5. arcsin x 52. x tan 2 x 53. x 3 sin x 54. x 2 +x 6 55. 2x x 2 7x+2 56. 3x+5 x 3 x 2 x+ 57. 2x 3 (x 2 +) 2 58. x 2 +3x 4 x 2 2x 8 59. x 4 x 3 x x 3 x 2 60. x 3 +x 2 +x+2 x 4 +3x 2 +2 6. x 4 (x 2 4x+8) 2 62. x 2 +3x 2 (x )(x 2 +x+) 2 63. x 4 +8x 3 x 2 +2x+ (x 2 +x)(x 3 +) 64. x 5 x 4 +4x 3 4x 2 +8x 4 (x 2 +2) 3 65. x 3 + x 3 66. 3 x 2 ( 3 x+) 3 67. x 2 (+x 2 ) 3 68. x ( x 3 ) 2 3 69. cos 3 x 70. sin 2 x cos 4 x 7. sin x( cos x) 72. +sin x 73. cos 3 x sin x 74. sin 2 x cos 4 x 75. 3+5 cos x 76. sin 4 x 77. sin 3 x cos 5 x 78. tan 4 x sec 4 x 79. 4 x 2 +9 80. 4x x 2 +9 8. 4x 2 x 2 +9 82. x+3 4+x 2 83. x 2 6 x 6 84. cos 3 x 85. e x cos 7x 86. xe x (+x) 2 87. sin 3 x cos x 88. x 2 +x 3 4

89. log x (+x) 2 90. x 3 4+x 2 9. (tan 2 x sec 2 x) 92. x+ (x 2 +2x 4) 2 93. e x e x + 4. x(+x) 3 5. log(x 2 + ) 6. e x +e x 7. x 2 x 2 8. x 5 x 2 4 94. e x ( e 2x ) 2 9. 4+2x+x 2 95. (cos x sin x) 2 96. tan 2 x 97. 2 + 4x x 2 98. x (x 2) 2 99. x 4 ( x) 3 00. x+x 3 0. 2x 3 (x 2 +) 2 02. 2x 3 +x 2 +4 (x+4) 2 03. e 2x 3e x 04. arctan x (+x 2 ) 3 05. e x 2 cos 3x 06. cos 2 x sin 6 x 07. tan x tan x+sec x 08. x+ x 3 +2x 2 09. x 2 arctan x 0. sin 2x 2+cos x. log x x+(3+2 log x) 2. x 3 log 2 x 3. +tan x 20. 4 6x+x 2 2. e 3x cos 2x 22. x x 4 + 23. 3 5x 2x 24. sin 2x 2+cos x 25. + x 26. 9 4x 2 x 27. x 2 +9x 7 x 4 +x 2 + 28. tan x 2 cos 2 x 29. 4 x+ x 30. x(+log x) log x(2+log x) 3. 3+5x 2x 2 32. x 2 (x cos x sin x) 2 33. x+ x 2 + x 2 + 34. x 2 x 2 + x 4 + 35. 3x+2 + 3x+2 36. 6+x x 2 37. x x 7

38. x 3 +x 2 39. x 6 x 40. tan 3 x cos 4 x 4. arctan 2 x 42. 3x x 4 43. x 3 6 x 2 44. 2+sin x 45. x Oplossingen. 5 6x 6 + C 2. 6 7 x2 6 x 5 + C 3. x 4 4 + 2 3 x6 x + C 4. x 2 2 + 8 3 x2 6 x + 9 7 x2 3 x + 2 5 x2 x + C 5. x + log x + + C 6. log x + arctan x + C 7. x + x+ + C 8. tan x cotanx + C 9. cos x sin x + C of tan x 2 + C 0. 2 x 2 sin x + C. tan x x + C 2. a c log b + c. cos x + C 3. x log(e x + ) + C 4. log( cos 2x) + C of log sin x + C 2 sin 4x sin 0x 5. + C 8 20 6. 4 arcsin 4x 5 + C 7. log(x 2 + 0x + 30) 7 5 arctan x+5 5 + C 8. 9. (3x+2) 4 2 + C 2(+ x) 3 3 + C 3 3 20. (2x2 + 3) 8 2 + C

2. 2 cos x2 + C 22. 6 (x4 + ) x 4 + + C 23. sin 5 x 5 + C 24. 3 cos 3x + C 25. a 5x 5 log a + C 26. e 2x 2 + 3e 3x + C 27. log sec x + tan x + C 28. 3 ex3 + C 29. 2 log2 x + C 30. sec x + cos x + C 3. (x 2 x) 5 5 + C 4 4 32. (x3 + 2) 9 3 + C 33. e x + C 34. tan 3 x 3 tan x + x + C 35. 2 3 log(e2x + 3) x 3 + C 36. 2 log x + C 37. x 2 + 3 arcsin x + C 38. sin 2 x 2 + C 39. 2 3 (arctan x) 3 2 + C 40. sec 5 2x 0 sec3 2x 6 + C 4. 2 x + log(x + ) 4 x + + C 42. 2 sinh x 2 + 2 3 sinh3 x 2 + C 43. 2 arctan x 2 2 + C 44. arcsin x 2 + C 45. 2 log(x2 4x + 8) arctan x 2 2 + C 46. x 2 + + log(x2 + ) + C

47. x arctan x 2 log(x2 + ) + C 48. e x (x 2 2x + 2) + C 49. x 2 2 log x x2 4 + C 50. sin x cos x+x 2 + C 5. x arcsin x + x 2 + C 52. x tan x x2 2 + log cos x + C 53. x 3 cos x + 3x 2 sin x + 6x cos x 6 sin x + C x 2 54. log + C 5 x+3 55. log x 4 7 x 3 5 + C x+ 56. log 4 2 x x + C 57. log(x 2 + ) + x 2 + + C 58. log( x + 2 (x 4) 4 ) + x + C 59. x 2 2 x + log x 2 (x ) 2 + C 60. arctan x + 2 log(x2 + 2) + C x 6. x 2 arctan + C 4(x 2 4x+8) 8 2 (x )2 62. log + 5x+2 + 8 3 arctan 2x+ 9 x 2 +x+ 3(x 2 +x+) 9 3 + C 63. log x (x2 x+) (x+) 2 3 x+ + 2 3 arctan 2x 3 + C 64. 2 log(x2 + 2) 2 arctan x 2 2 + C (x 2 +2) 2 3 65. ( + x 2 3 ) 4 + C 66. 3 2(+ 3 x) 2 + C 67. x +x 2 + log(x + + x 2 ) + C 68. log t2 t+ 6 (t+) 2 3 arctan 2t 3 + C met t = 3 x 3 x sin x 69. log tan x + sec x + + C 2 2 cos 2 x 70. tan 3 x 3 + C 7. 2 log cosec x cotan x 2( cos x) + C

72. 2 +tan x 2 + C 73. sin x + sin2 x 2 + C 74. cotan x + 2 tan x + tan3 x 3 + C 75. log 2+tan x 2 + C 4 2 tan x 2 76. cotan 3 x 3 cotan x + C 77. 4 sin4 x 3 sin6 x + 8 sin8 x + C 78. 5 tan5 x + 7 tan7 x + C 79. 4 3 arctan x 3 + C 80. 2 log(x 2 + 9) + C 8. 4x 2 arctan x 3 + C 82. 4 + x 2 + 3 log x + 4 + x 2 + C x3 83. arcsin + C 3 4 84. tan x sec x + log tan x + sec x + C 2 2 85. 50 (ex cos 7x + 7e x sin 7x) + C 86. xe x +x + ex + C 87. 2 cos x + 2 5 cos 5 2 x + C 88. 4 3 x 3 4 4 3 log + x 3 4 + C 89. log x +x + log x log + x + C 90. 3 (4 + x3 ) 3 4 4 + x 2 + C 9. x + C 92. (x 2 + 2x 4) 2 + C 93. log(e x + ) 2 x + C 94. arcsin e x + C 95. x sin 2 x + C 96. tan x x + C 97. 2 (x 2) 2 + 4x x 2 + 8 arcsin x 2 4 + C

98. log x 2 2 x 2 + C 99. 2 x2 3x + 6 log x 4 4 x 2 ( x) 2 + C 00. log x x 2 + + C 0. log(x 2 + ) + x 2 + + C 02. log(x 2 + 4) + 2 arctan x 2 + 4 x 2 +4 + C 03. + log ex 3 + C 3e x 9 e x 04. arctan x x +x 2 + +x 2 + C ( ) 36 e 05. x 2 sin 3x + e x 2 cos 3x + C 37 3 8 06. cos x 5 sin 5 x 3 cos x 5 sin 3 x 6cotan x 5 + C 07. 2 tan x 2 + + x + C 08. 2 log q 2x+2 x+2 q 2x+2 x+2 + + log + q x+ x+2 q x+ x+2 + C 09. x 3 3 arcsin x + 3 x2 9 ( x2 ) 3 2 + C 0. 4 log 2 + cos x 2 cos x + C. (3 + 2 log x) 3 log 3 + 2 log x + C 4 4 x 2. 4 4 log2 x x4 x4 log x + + C 8 32 3. 2 log (tan x 2 )2 2 2 log sec2 x 2 + x 2 + C 4. log 3 + x 2 log(( + x) 2 3 + ( + x) 3 + ) + 3 arctan 2(+x) 3 + 3 + C 5. x log(x 2 + ) 2(x arctan x) + C 6. arctan(e x ) + C 7. 2 x x 2 + 2 arcsin x + C 8. 5 (x2 4) 5 2 + 8 3 (x2 4) 3 2 + 6(x 2 4) 2 + C 9. log x + + 4 + 2x + x 2 + C 20. log x 3 + 4 6x + x 2 + C 2. ( 3 2 cos 2x + sin 2x) e 3x + C 3 3 22. 2 arctan x2 + C

23. 3 5x 3 2 log 3+ 3 5x 3 3 5x + C 24. 2 cos x + 4 log cos x + 2 + C 4 5 25. 5 + x 4 3 3 + x + C 26. 3 log 3 9 4x 2 x + 9 4x 2 + C 27. 9 2 log x2 x+ x 2 +x+ 7 3 arctan 2x+ 3 + 3 arctan 2x 3 + C 28. 2 log cos x + 4 log(2 cos2 x) + C 29. 2 x 4 4 x + 4 log 4 x + + C 30. arcsec( + log x) + C 3. 2 arcsin(4x 5) + C 32. x sin x(x cos x sin x) cotan x + C 33. log x x 2 + log x 2 + x 2 ++ + x 2 + x log x + x 2 + x + x + C 34. 2 arcsin +x 4 +x 2 + C 35. x + 3 4 3x + 2 4 log( 3x + 2 + ) + C 3 3 x 36. 2 arctan + C 2+x 37. 2 5 ( x x ) 5 2 3 ( x ) 3 x + C 38. 2 log 3 + x 2 4 log(( + x2 ) 2 3 + ( + x 2 ) 3 + ) + 3 2 arctan 2 3 +x 2 + 3 + C 39. 3 4 x 4 3 + 6 7 x 7 6 + x + C 40. 4 tan4 x + 6 tan6 x + C + C 4. x arctan 2 x + 2 x 2 arcsin x 2x + C 42. log x + 2 log x + + 2 arctan x 3 4 log x2 + + C 43. 6 3 6 x 2 3 + 5 6 x 2 5 + C 44. 2 3 arctan 2 tan x 2 + 3 + C 45. x x 2 + C

Methoden voor het oplossen van differentiaalvergelijkingen Inleiding Zij I een open interval van R (eventueel onbegrensd) en y : I R een differentieerbare functie, dan bestaan er verbanden tussen de functie y, haar afgeleide functie y en x. Bijvoorbeeld als y = x 2 + x, dan is y = 2x +, waaruit onder meer volgt dat en (y ) 2 4y = 0 2y y 2x 2 + = 0. Wanneer we alleen over zulke betrekking beschikken en de functie zelf niet kennen, dan spreekt men van een differentiaalvergelijking (DV). Het oplossen van de differentiaalvergelijking bestaat erin de functie terug te vinden. De oplossing van een DV is per definitie lokaal. Men kan steeds proberen de intervallen I waarin een oplossing gedefinieerd is zo groot mogelijk te kiezen. Zo heeft de differen-tiaalvergelijking y cos 2 x = de oplossing y = tgx die slechts geldig is in deelintervallen van alle intervallen van de vorm ] π + kπ, π + (k + )π[ ondanks het feit dat de differentiaalvergelijking zelf 2 2 over x in heel R gegeven is. In algemenere context kan het gebeuren dat men een betrekking kent tussen een n keer differentieerbare functie y en haar eerste n afgeleide functies y, y, y,..., y (n) : F ( x, y, y,, y (n)) = 0. Dan spreken we van een differentiaalvergelijking van orde n. Het oplossen van een differentiaalvergelijking is niet altijd mogelijk, zeker niet met elementaire functies. Een oplossing hoeft ook niet uniek te zijn. Zo heeft de differentiaalvergelijking y = e x 3

duidelijk alle functies y = e x + C, waarbij C een willekeurig reëel getal is, als oplossingen. C noemen we ook parameter. De differentiaalvergelijking y = e x heeft alle functies y = e x + C x + C 2 met willekeurige C, C 2 R als oplossingen. Deze functies zijn bovendien de enige oplossingen. C en C 2 zijn hier parameters. Er kunnen dus één of meerdere parameters in de oplossing optreden. In deze voorbeelden komen precies zoveel parameters voor in de oplossing als de orde aangeeft. Dit is dikwijls zo, maar niet altijd. Zo heeft bijvoorbeeld de differentiaalvergelijking y 2 + y 2 = 0 één enkele oplossing y = 0, en y 2 + y 2 + = 0 heeft geen enkele oplossing. In het algemeen heeft een differentiaalvergelijking oneindig veel oplossingen. In de praktijk heeft men er meestal slechts één zogenaamde particuliere oplossing nodig die aan een of meer bijkomende voorwaarden voldoet. In het bijzonder zal men bij een differentiaalvergelijking van eerste orde vragen naar een oplossing waarvan de grafiek door een gegeven punt (x 0, y 0 ) gaat, d.w.z. een oplossing y = f(x) waarvoor y 0 = f(x 0 ). Zo heeft de differentiaalvergelijking y = e x als algemene oplossing y = e x + C, en als particuliere oplossing waarvoor f(0) = 3 : y = e x + 2. (Men bepaalt C door in de algemene oplossing x = x 0 en y = y 0 te substitueren.) Voorbeelden tonen dat er punten in het vlak zijn waardoor geen oplossing gaat en dat er punten zijn waardoor meerdere oplossingen gaan. Voorbeeld. De differentiaalvergelijking xy = 2y heeft als algemene oplossing y = Cx 2 zodat ze oneindig veel oplossingen heeft door (0, 0) en geen enkele door om t even welk ander punt van de y-as. Er bestaan stellingen die garanderen dat er door een punt in het vlak lokaal een unieke oplossing bestaat. Dit zijn existentie- en uniciteitsstellingen. Zeer dikwijls zal een oplossing in impliciete vorm voorkomen d.w.z. in de gedaante f(x, y) = 0. Dit betekent dat iedere continu differentieerbare functie y = y(x), bepaald op een interval I, zodat geldt x I : f ( x, y(x) ) = 0, een oplossing van de differentiaalvergelijking is. Zo is bijvoorbeeld y 2 + x 2 = een impliciete oplossing van de differentiaalvergelijking yy + x = 0 wat betekent dat zowel de functie y = x 2 als y = x 2 oplossing is, bepaald op het interval ], [.

Lineaire vergelijkingen van eerste orde Definitie. Een lineaire differentiaalvergelijking van eerste orde is een differentiaalvergelijking die in de vorm kan worden geschreven. y + P (x)y = Q(x) Als P en Q : I 0 R continu en begrensd zijn, dan bestaat er voor elk punt (x 0, y 0 ) I 0 R een unieke oplossing y = y(x) waarvoor y(x 0 ) = y 0. We nemen aan dat dit steeds het geval is. Is Q = 0 dan wordt de differentiaalvergelijking y + P (x)y = 0 wat we een homogene lineaire differentiaalvergelijking noemen. Dan is de algemene oplossing y = Ce R P (x) waarbij P (x) een willekeurige maar vaste primitieve van P voorstelt. In het algemene geval waar Q 0 kan de algemene oplos-sing van y + P (x)y = Q(x) gevonden worden aan de hand van de algemene oplossing van y + P (x)y = 0 (de zgn. geassocieerde homogene vergelijking en een willekeurige oplossing van y + P (x)y = Q(x) (een zgn. particuliere oplossing). Stelling 2. Is Cy h (x) de algemene oplossing van de geassocieerde homogene vergelijking y + P (x)y = 0 en y p (x) is een particuliere oplossing, dan wordt de algemene oplossing van de vergelijking y + P (x)y = Q(x) gegeven door y = Cy h + y p. Hoe de algemene oplossing van de geassocieerde homogene vergelijking gevonden wordt, werd hiervoor besproken. Voor het bepalen van een particuliere oplossing kan men, indien geen dergelijke oplossing voor de hand liggend is, het volgende resultaat gebruiken. Stelling 3. Indien u een niet nulle oplossing is van de vergelijking y + P (x)y = 0, dan bestaat er een particuliere oplossing y p van y + P (x)y = Q(x) van de vorm met een functie c : I 0 R. y p (x) = c(x)u(x) Voorbeeld 4. Beschouw de differentiaalvergelijking y = e x y. De algemene oplossing van de geassocieerde homogene vergelijking y = y is y h (x) = Ce x. We zoeken een particuliere oplossing van de vorm y p (x) = c(x)e x en substitueren dus deze vorm in de oorspronkelijke vergelijking y = e x y. Dit levert c (x)e x c(x)e x = e x c(x)e x

en dus c (x) =. We kunnen dus kiezen c(x) = x (we zoeken tenslotte slechts een particuliere oplossing!) en dit levert y p (x) = xe x. De algemene oplossing van de vergelijking y = e x y is dus y(x) = Ce x + xe x. Lineaire vergelijkingen van tweede orde met constante coëfficiënten Definitie 2. Een lineaire differentiaalvergelijking (LDV) van orde 2 is een differentiaalvergelijking die in de vorm a 2 (x)y + a (x)y + a 0 (x)y = f(x) kan worden geschreven. De functies a 0, a, a 2 worden de coëfficiënten van de differentiaalvergelijking genoemd. Indien f = 0 dan spreken we van een homogene lineaire differentiaalvergelijking (HLDV). De vergelijking a 2 (x)y + a (x)y + a 0 (x)y = 0 noemen we ook geassocieerde homogene of gereduceerde van de DV. Stelling 5. Beschouw de HLDV a 2 (x)y + a (x)y + a 0 (x)y = 0 met coëfficiënten a i : I R. De verzameling van oplossingen is een 2-dimensionale deelvectorruimte van R I. Met andere woorden, indien y : I R, y 2 : I R een stel van 2 lineair onafhankelijke oplossingen is van de HLDV, dan is de algemene oplossing. y = K y + K 2 y 2 Stelling 6. Indien y p : I R een oplossing is van de LDV a 2 (x)y + a (x)y + a 0 (x)y = f(x) en y : I R, y 2 : I R een stel van 2 lineair onafhankelijke oplossingen is van de gereduceerde vergelijking, dan is de algemene oplossing van de LDV. y = K y + K 2 y 2 + y p

Om alle oplossingen van een LDV te kennen moeten dus twee problemen opgelost worden: een stel van 2 lineair onafhankelijke oplossingen bepalen van de geassocieerde homogene vergelijking, alsook één oplossing van oorspronkelijke vergelijking. Zulke oplossing noemen we particuliere oplossing. Alvorens deze problemen te behandelen, vermelden we een existentie- en uniciteitsstelling. Stelling 7. Indien a 0, a, a 2 en f continu zijn, en indien x 0 I en (y 0, y 2 0) R 2 gegeven zijn, dan bestaat er een unieke oplossing y van de LDV die voldoet aan a 2 (x)y + a (x)y + a 0 (x)y = f(x) y(x 0 ) = y 0 y (x 0 ) = y 2 0 Voorbeeld 8. De differentiaalvergelijking 25x 2 y + 25xy y = 0, die we bijvoorbeeld kunnen beschouwen op het interval R + 0, heeft oplossingen y : R + 0 R : x x /5 en y 2 : R + 0 R : x x /5 (Ga dit na). Deze oplossingen zijn lineair onafhankelijk. Elke oplossing is dus van de vorm y = K y + K 2 y 2, met K, K 2 R, wat we ook kunnen schrijven als y(x) = K x /5 + K 2 x /5. Om die oplossing te vinden waarvoor geldt dat y() = 0 en y () = 2 bepalen we de afgeleide y (x) = K 5 x 4/5 K 2 5 x 6/5 en lossen we het stelsel { K + K 2 = 0 5 K 5 K 2 = 2 op. We bekomen we K = 5, K 2 = 5, zodat y(x) = 5x /5 5x /5 de unieke oplossing van de differentiaalvergelijking is die voldoet aan de twee voorwaarden. Homogene lineaire differentiaalvergelijkingen van tweede orde met constante coëfficiënten Definitie 3. Met een HLDV a 2 y + a y + a 0 y = 0

waarbij de coëfficiënten a 0,...,a n constanten zijn, associëren we een veelterm φ(t) = a 2 t 2 + a t + a 0, die we karakteristieke veelterm noemen. De vergelijking φ(t) = 0 noemen we ook de karakteristieke vergelijking geassocieerd met de HLDV. Voor elke reële wortel t R met multipliciteit van de karakteristieke veelterm bepalen we de functie u : R R : x e tx. Voor een reële wortel t R met multipliciteit 2 van de karakteristieke veelterm bepalen we de functies u : R R : x e tx u 2 : R R : x xe tx Voor een complexe wortel t = α +iβ C\R van de karakteristieke veelterm (die als wortel uiteraard samen optreedt met zijn complex toegevoegde t = α iβ) bepalen we de functies v : R R : x e αx cos βx w : R R : x e αx sin βx Door dit te doen voor alle wortels van de karakteristieke veelterm, bekomen we 2 oplossingen van de HLDV, waarvan men kan aantonen dat ze lineair onafhankelijk zijn. Voorbeeld 9. De HLDV y 2y + y = 0 heeft karakteristieke vergelijking t 2 2t + = 0. is een reële wortel met multipliciteit 2. Bijgevolg zijn de functies y : R R : x e x en y 2 : R R : x xe x oplossing van de DV, en wordt de algemene oplossing gegeven door y = K e x + K 2 xe x. Voorbeeld 0. De HLDV y + y = 0 heeft karakteristieke vergelijking t 2 + = 0. Er zijn twee complexe wortels, i en i, elk met multipliciteit. Dus zijn de functies y : R R : x cos x en y 2 : R R : x sin x oplossing van de DV, en wordt de algemene oplossing gegeven door y = K cos x + K 2 sin x. Methode van de onbepaalde coëfficiënten voor een particuliere oplossing van een lineaire tweede orde differentiaalvergelijking met constante coëffi-ciënten De volgende methode leidt tot een particuliere oplossing van een LDV met constante coëfficiënten a 2 y + a y + a 0 y = f(x)

indien f een van de volgende gedaanten aanneemt: f(x) = P (x)e ax of f(x) = P (x) cos ax of f(x) = P (x) sin ax met P een veelterm en a R. Beschouw bijvoorbeeld de differentiaalvergelijking a 2 y + a y + a 0 y = P (x)e ax. Als P een veelterm is van graad k 0 en a is wortel van de karakteristieke veelterm met multipliciteit m 0, dan bestaat er een oplossing van de LDV van de vorm y = V (x)e ax, met V een veelterm van graad k + m. Men vindt een particuliere oplossing door y p (x) = (c 0 x k+m + c x k+m + + c k+m x + c k+m )e ax te substitueren in de differentiaalvergelijking, en de coëfficiënten c i, i {0,..., k + m} te bepalen. Daarom wordt deze methode de methode van de onbepaalde coëfficiënten genoemd. Indien f(x) = P (x)e ax cos bx of f(x) = P (x)e ax sin bx, met P een veelterm van graad k 0 en a + bi wortel van de karakteristieke veelterm met multipliciteit m, dan substitueren we een particuliere oplossing van de gedaante met V, V 2 veeltermen van graad k + m. y p = V (x)e ax cos bx + V 2 (x)e ax sin bx, Voorbeeld. We beschouwen de differentiaalvergelijking y y = x cos 2x. De algemene oplossing van de gereduceerde vergelijking wordt gegeven door y = K e x + K 2 e x. We zoeken nu een particuliere oplossing van de vorm y p = (c 0 x + c ) cos 2x + (d 0 x + d ) sin 2x. Substitutie in de differentiaalvergelijking leidt tot de vergelijking ( 5c 0 x 5c + 4d 0 ) cos 2x + ( 5d 0 x 5d 4c 0 ) sin 2x = x cos 2x. Door coëfficiënten gelijk te stellen vinden we c 0 = 5, c = 0, d 0 = 0, d = 4 25. Bijgevolg is y p = 5x cos 2x + 425 sin 2x een particuliere oplossing, en wordt de algemene oplossing gegeven door y = K e x + K 2 e x 5 x cos 2x + 4 sin 2x. 25 De methode kan ook toegepast worden wanneer f een som is van termen van de gedaante P (x)e ax,.... Wegens de lineariteit geldt immers dat indien y oplossing is van a 2 y + a y + a 0 y = f en y 2 is oplossing van a 2 y + a y + a 0 y = f 2, dan is y + y 2 oplossing van a 2 y + a y + a 0 y = f + f 2.

Voorbeeld 2. Beschouw de DV y y 2y = 4x 2 + e 3x. De karakteristieke vergelijking t 2 t 2 = 0 heeft wortels en 2. De differentiaalvergelijking y y 2y = 4x 2 (a = 0) heeft een particuliere oplossing van de vorm y = c 0 x 2 + c x + c 2, en y y 2y = e 3x heeft een particuliere oplossing van de vorm y 2 = d 0 e 3x. Substitutie in de DV leidt tot y = 2x 2 + 2x 3 en y 2 = 4 e3x. Nu is y = y + y 2 = 2x 2 + 2x 3 + 4 e3x een particuliere oplossing van y y 2y = 4x 2 + e 3x. De algemene oplossing wordt gegeven door y = K e x + K 2 e 2x 2x 2 + 2x 3 + 4 e3x.

Opgaven Differentiaalvergelijkingen Opgaven. Los volgende beginwaardeproblemen op: (a) y = 2y + x + 6, y(0) = 2 (b) xy 2y = x 2, y() = 6 (c) y ytgx =, y(0) = 0 (d) u = x 3 u, u( 2) = e 3 (e) y = my + e x, y(0) = 0 (f) y + 3y = 0 (g) y = 2xy, y() = (h) y = y + x 2, y(0) = (i) y = x 3 2xy, y() = (j) y = 3y (k) y + 22y = 0, y() = 2 (l) x = x +, x(0) = (m) y + y = sin x, y(0) = 0 (n) x x log y = y y (o) y + y = +e 2x (p) y 3 x y = x3, y() = 4 (q) x + x cot t = 2t csc t (r) x 2x = t 2 e 2t (s) y + 2 x y = cos x x 2, y(π) = 0 (t) (3y + sin 2x) dy = 0, y(0) = (u) y = 2y x+ + (x + )5/2, y(0) = (v) y cos 2 x + y = 0, y(0) = 5 2. Bepaal de algemene oplossing van: (a) y 4y = 0 (b) y 2y + 5y = 0 (c) y + y = 0 (d) y + 3y = 0 (e) y = 0 (f) y + 6y + 9y = 0 (g) y + 3y + 2y = 0 (h) y + 2y + 4y = 0 3. Bepaal de algemene oplossing van: 2

(a) y + 3y + 2y = 4x 2 (b) y + 3y + 2y = e x (c) y + 3y + 2y = e 4x (d) y + 3y + 2y = sin x (e) y + 3y + 2y = e x sin x (f) y + 4y = 3 sin x (g) y 3y + 2y = 6e 3x (h) y 2y + y = 4e x (i) y + y = + x + x 2 (j) y + y = x 3 x 2 (k) y + 4y = 6x sin 2x (l) y 4y + 5y = 2e 2x cos x (m) y y 2y = x 2 + cos x (n) y + 6y + 9y = 0e 3x (o) y + y = + 2 sin x (p) y 2y 3y = x x 2 + e x (q) y + 4y = 3 cos 2x 7x 2 (r) y + 4y + 4y = xe x + sin x (s) y + y = (x + x 2 ) sin x (t) y y = x 2 (u) y 2y + y = x 2 e x (v) y 4y + 3y = x 3 e 3x (w) y 7y + 0y = 00x, y(0) = 0, y (0) = 5 (x) y 4y + 4y = 6xe 2x, y(0) = 0, y (0) = 3 (y) y + y = 3x 2, y(0) = 4, y (0) = 0 (z) y y 6y = 20e 2x, y(0) = 0, y (0) = 6 Enkele oplossingen van de oefeningen. (a) (b) (c) (d) (e) (f) y(x) = Ce 3x (g) y(x) = e x2 (h) y(x) = 3e x (x 2 + 2x + 2) (i) y(x) = 2 (x2 ) + e x2 (j) y(t) = Ce 3t (k) (l) x(t) = 2e t (m) (n) x(y) = y y ( + Ce y ) (o) (p) y(x) = x 4 + 3x 3 (q) (r) x(t) = Ce 2t + t3 e 2t 3 (s) (t) (u) y(x) = 3 (x + )2 + 2 3 (x + ) 7 2 (v) 2. (a) (b) (c) (d) (e) (f) y(x) = C e 3x + C 2 xe 3x

(g) y(x) = C e x + C 2 e 2x (h) y(x) = C e x cos( 3x) + C 2 e x sin( 3x) 3. (a) y(x) = C e x + C 2 e 2x + 2x 2 6x + 7 (b) y(x) = (C + x)e x + C 2 e 2x (c) y(x) = C e x + C 2 e 2x + 6 e 4x (d) y(x) = C e x + C 2 e 2x + 0 cos x 3 0 sin x (e) (f) y(x) = C sin 2x + C 2 cos 2x + sin x (g) y(x) = C e x + C 2 e 2x + 3e 3x (h) y(x) = e x (C + C 2 x 2x 2 ) (i) (j) y(x) = C + C 2 e x + frac4x 4 4 3 x3 + 4x 2 8x (k) (l) y(x) = e 2x (C cos x + C 2 sin x) + xe 2x sin x (m) (n) y(x) = e 3x (C + C 2 x + 5x 2 ) (o) (p) y(x) = C e 3x + C 2 e x + 20 7x + 27 9 3 x2 4 ex (q) (r) y(x) = (C + C 2 x)e 2x + ( x 2 9 27 (s) (t) (u) (v) (w) y(x) = 3e 5x 0e 2x + 0x + 7 (x) (y) (z) ) e x + 3 25 sin x 4 25 cos x

Opgaven Hoofdstuk : Continuïteit in een veranderlijke. Druk volgende delen van R als intervallen uit (a) {x R : x 2 < x + 6} (b) {z R : e z 2 } (c) {x R : x 4 + x 2 = 0} (d) {t R : (t c) 2 < k 2 } (c R, k R + 0 ) (e) {x R : [2x] = 3} ([a] = max{m Z : m a} geheel deel van a R) 2. (a) Als 0 < θ < π, toon aan dat 2 sin θ < θ < tan θ. Vergelijk hiervoor de oppervlaktes van de driehoek A = {(x, y) R 2 : 0 y, y x tan θ, (x ) sin θ y(cos θ )}, de sector B = {(x, y) R 2 : 0 y, y x tan θ, x 2 + y 2 } en de driehoek C = {(x, y) R 2 : 0 y, y x tan θ, x }. (b) Leid uit (a) af dat sin t < t voor alle t R. 3. (a) Als a, b, c R, ga na of a b + b c a c. (b) Voor a, b R, toon aan dat a + b = a + b ab 0. 4. Bewijs a b a b voor a, b R. 5. Bewijs xy 2 (x2 + y 2 ) voor x, y in R. 6. Bepaal expliciet de volgende bollen in R: (a) B(3, 2 ) (b) B( 7, 3) (c) B(, 5) (d) B(3, 3 ) 24

(e) B(0, ) 7. Bepaal expliciet de volgende bollen in ], 3]: (a) B(3, 2 ) (b) B( 7, 3) (c) B(, 5) (d) B(3, 3 ) (e) B(0, ) 8. Bepaal expliciet de verzameling Bepaal daarna B X ( 2, ) en B X(2, 3). X = {x R : x 3 x > 0}. 9. Bepaal de ophopingspunten van A = Q in R B = Q in Q C = {x R : x 3 < x 2 } in R D = { : n N n 0} in [0, ] E = { : n N n 0} in ]0, ] F = { : n N n 0} in R G = {x R : 2 sin 2 x + sin x } in R 0. Onderzoek (met ε, δ-definitie) de continuïteit van volgende functies in elk punt van hun domein. (a) f : R R : x 3 x (b) f :] 2, 7] R : x 4 (c) f : R 0 R : x x { x 0 (d) f : R R : x x 0 x = 0 (e) f : Z R : x tan x (f) f : [0, 5] R : t [t] (g) f : R R : x x 2 { x Q (h) f : R R : x 0 x / Q { x x Q (i) f : R R : x x x / Q (j) f : Q R : x 2x 5 { x x 3 (k) f : R R : x a x x > 3

(l) f : R R : x x3 x 2 +. Onderzoek wat de invloed is op de definitie van lokale continuïteit indien men in de voorwaarde ε > 0 δ > 0 x X : x a < δ f(x) f(a) < ε een van beide of beide strikte ongelijkheden zou vervangen door een ongelijkheid. 2. Bepaal de continuïteitspunten van f : R + R : x 3. Zijn volgende afbeeldingen continu? (a) f : Q R : x x 2 x + 5 (b) f : R R : x sin(x 2 + 2) (c) f : R 0 R : x x x { sin (d) f : R + x 0 R : x x x = 0 { x cos x 0 (e) f : R R : x x 0 x = 0 { x < 0 (f) f : R R : x x x 0 { x 2 x (g) f : R R : x x 4 x > { x Q 2 x / Q 4. Voor f, g : X R functies op X R, stel h = max(f, g) (gedefinieerd als h(x) = max(f(x), g(x)), voor elke x X) en definieer min(f, g) op dezelfde manier. Toon dat als f en g continu zijn, ook max(f, g) en min(f, g) continu zijn op X. 5. Onderzoek de continuïteit van de afbeelding ] [ f : 4, R : x [ x] 6. Zij X R n, f : X R continu in R en f(a) 0. Bewijs dat er dan een δ > 0 bestaat zodat f een constant teken heeft op B X (a, δ). 7. Bewijs, alleen gebruik makend van de definitie van iet, dat x +x 2 = 2.

8. Beschouw een deel X van R, een functie f : X R en een ophopingspunt a van X. Bewijs dat f(x) = f(a + h) x a h 0 zodra een van beide ieten bestaat. 9. Beschouw delen X en Y van R, functies f : X R en g : Y R, ophopingspunten a en b van X resp. Y en onderstel x a f(x) = b, y b g(y) = c. Bewijs dan x a g(f(x)) = c. 20. Bewijs dat de functie f : R 0 R : x sin x naar 0. geen iet heeft voor x gaande 2. Zij X R, 0 een ophopingspunt van X en f : X R een afbeelding. f(x) Onderstel dat x 0 bestaat en gelijk is aan een reëel getal, toon dan dat x x 0 f(x) = 0. 22. Voor welke keuze van k R is continu? f : R R : x { (x + k) 2 x < 0 cos kx x 0 23. Is het mogelijk een waarde voor k R te vinden zodat de afbeelding { cotan (2x). cotan( π f :], [ R : x x) x 0 2 k x = 0 continu is? Zo ja, bepaal zo een k (is deze uniek?). 24. (a) Bepaal α R zo dat continu is. (b) Bereken ϕ : R + R : { t 3 27 t 2 9 t 3 α t = 3 x 2 27 x 729 x 3 9. 25. Onderzoek de continuïteit van volgende functies. Welke discontinuïteiten kunnen opgeheven worden? (a) f(x) = x [x] 2 (b) f(x) = x x 3 (c) f(x) = (d) f(x) = cos πx 2 x 2 (x ) x sin x

{ log(x + ) < x 0 (e) f(x) = e x 0 < x < 26. Beschouw de functie f : [0, ] {2} R : x { x 2 5x x [0, ] 0 x = 2 Bewijs dat voor elk reëel getal b geldt dat x 2 f(x) = b. 27. Bereken volgende (eventueel oneindige) ieten: (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) x x 2 x 5 x x 3 x 2 + 4x 5 x 3 x 2 + 4x 5 x 3 x 2 + 4x 5 x 3 x 2 + 4x 5 cos x x x x 3 x + x2 (h) (i) (j) (k) (l) (m) (n) x x [x] [x] 2x 2 x + x 2 + 3x t 2 + cos t t + t 3 + 5 x 0 x 4 + 2 x x 0 < + 3 x + 2 t t 0 + 3 t 28. Onderzoek, voor n N, de volgende iet in R: 29. Bereken, als ze bestaan: 2n cos x. x 0 x 2n (a) tan(πx) x 2 x + 2 (b) x 0 cos x x 2

(c) (d) (e) cos x x 0 x 3 cos x x 0 x (h) (i) sin(tan x) x 0 x n n tan n (f) (g) x + x arctan 4 x sin 2x x 0 tan x x 0 x sin 4 x (j) (k) n n tan n cos(πx) x 2 x 2 4x + 4 30. Bereken, als ze bestaan: (a) (b) (c) (d) (e) x2 + 6x + x x x 3 x x 2 x3 + 4x 2 + 4x x 2 x 2 (x3 + 4x 2 + 4x) x 0 x 2 x + x (g) (h) (i) (j) x 0 sin x x sin x x 0 x h 0 5 + h 5 x2 + 2x x 2 + 3x x + h (f) x 0 sin x x (k) x 2x + 3x x + 3 2 x 3. Bereken (a) (b) x 2 x 2 x 2 + + 2x + x 2 5x + 6 x 2 7x + 0 (c) (d) x m x x n (m, n N 0 ) ( x x 3 ) x 3

(e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) (m) x 0 x 0 x 0 3 + x x + x + x2 x 3 + 3x 2x x + x 2 sin x 3 x 0 x 2 cos x x 0 x 2 sin mx x π sin nx cos 2x + tan 2 x x 0 x sin x x 0 + x sin x cos x sin 2 x 2 x x x + x x + (p) (q) (r) (s) (t) (u) (v) (w) ( + x) 3 ( x) 3 x 0 x x + x + x2 x 4π cos x (x 4π) 2 sin(x n ) x x x π x + x sin x x π 3x + x 7x 5 x 3x + x 7x 5 x x 2 + 2x 3 + 2x sin x ( ( x ) ) 5 2 (n) (o) x x x + x x x 2k+ + x x + (x) (y) ( + x) 4 x 0 x ( x + x2 cos ) x (z) x x >0 a [ ] b [ x ] b, x x >0 a x (a > 0, b > 0) 32. Toon aan dat volgende ieten niet bestaan (door de linker- en rechteriet te berekenen).

(a) (c) (b) x 0 x 0 cos x sin x 3x + x 7x 5 x (d) x α + 2 x x 0 3 + 2 x cos(x α) x 2 α 2 (α > 0) 33. Zij (x n ) n N een rij reële getallen, met x 0 = 0, x =, x 2 = 2. Mogen we besluiten dat (a) x n = n, n N? (b) x n = n 3 3n 2 + 3n, n N? (c) x n = cos nπ 2, n N? (d) (x n ) n divergeert? (e) (x n ) n convergeert? 34. Bewijs met de definitie dat de volgende rijen reële getallen convergeren: (a) a n = n+3 (b) b n = n2 + 3n 2 2 (c) c n = cos n 2 n (d) d n = n k= k 2 +k { 3 n < 00 (e) e n = 4 n 00 (f) f n = n n (n ) (g) g n = 2+( )n n+ { 2 n n even (h) h n = n n oneven 35. Als x n = ( ) n, bewijs dat de rij (x n ) n divergent is. 36. Moet de rij (a n ) n N convergeren als het beeld {a n : n N} = {3 n : n N}? 37. Zij (x n ) n een rij in R. Als de deelrijen (x 2n ) n en (x 2n+ ) n allebei convergeren, is de oorspronkelijke rij noodzakelijk convergent? 38. (a) Toon volgende bewering aan: k > 0 n 0 N : n n 0 = n! > k n. (b) Bepaal (n!) n. n 39. Zoek in R:

(a) (b) (c) (d) (e) n n n n2 + 3n n + 4 4n + 4 n n 3 2 n + 2 n+ n n n! 3n 2 5 n 2 n 2 (f) (g) (h) n n ( 5 )k k=0 n sin(π exp n) n n + n n n k= k 40. Bepaal in R de ophopingspunten van { P = ( ) n 5n2 24n 5 n 2 5n 4. Zoek } : n N, n > 99. (a) n n! cos 2 n (d) n2 + n + a n (a R) n (b) (c) n n a k (a R) k=0 n sin n n (e) (f) n n n 2 n + sin n n + a n (a R + ) 42. Onderzoek de convergentie van (a n ) n N als (a) a n = ( ) ( ) ) n n (f) a n = n ( + n (b) a n = ( n) 2 2 ( n) 2 3 (g) a n = ( ) 3n n 4n+ (c) a n = (h) a n = n ( 3 ) a n n 2 + 2n 2 +3n 3n 3 n 3 +2 (d) a n = 2n + n (e) a n = +2+ +n 3(n+3) n 6 (i) a n = n k= (j) a n = n k= n 2 +k n 2 +k

[ (a ) ] (k) a n = n 3 + 4 n a 4 [ ( 3 ) ( (l) a n = 2 sin4 n 00 + 3 n 25 + cos4 n 00 n 25 + 43. Toon met een tegenvoorbeeld dat n a n niet noodzakelijk strikt positief moet zijn als elke term a n strikt positief is. 44. Is volgende afbeelding continu? 45. Toon aan: (a) Als x, y > 0 en )] n f : R + x n R : x n + x n ( x n + y n a n = 2 dan convergeert (a n ) n naar max(x, y). (b) Als x j > 0 voor elke j {,, k}, en a n = ( k k j= x n j ) n ) n dan convergeert (a n ) n N naar max{x j : j {,, k}}. (c) Als x, y > 0 en ( x n + y n a n = 2 dan convergeert (a n ) n naar min(x, y). (d) Als x j > 0 voor elke j {,, k}, en a n = ( k k j= x n j ) n ) n dan convergeert (a n ) n N naar max{x j : j {,, k}}. 46. Zij 0 < x < y. Voor n >, stel x n+ = x n y n en y n+ = 2 (x n + y n ). Toon dat n x n = n y n. 47. Zij x > 0 en stel x n = +x n voor n >. Toon aan dat n x n bestaat en evalueer deze iet. 48. Als a n+2 = a n++a n 2 voor elke n, toon: a n = a + 2a 2. n 3

49. Als 0 < x <, en x n+ = x n ( n ), toon dat: (a) n x n = 0 (b) n x n+ x n = 2. 50. Zij (x n ) n gegeven door 7x n+ = x 3 n + 6 (n ). Als x = 2, toon dan dat (x n) n N convergeert. Wat gebeurt er als x = 3 2 of x = 5 2? 5. Als x = 2 en x n = 2x n, bereken dan n x n. 52. Is volgende afbeelding continu? f : [0, 2] R 2 : x (x 2, [x 3 ])

Opgaven Hoofdstuk 2: Differentieerbaarheid in één veranderlijke. Beschouw een open interval I R, a I en een functie f : I R die differentieerbaar is in a. De rechte met vergelijking y = f (a)(x a) + f(a) noemen we de raaklijn van f in (a, f(a)). Bepaal al de koppels (a, f(a)) van de grafiek {(x, f(x)); x R} van de functie f : R R : x x2 x 2 + waarin de raaklijn van f door de oorsprong gaat. 2. Bepaal, in de punten waar die bestaat, de afgeleide van volgende functies: (a) f : R R : x 3 x (b) f : R R : x [x] (c) f : R R : x cos x (d) f : R 0 R : x x (e) f : R R : x x x 3. Leid volgende functies af; gebruik, indien mogelijk, de rekenregels: (a) f : R + R : x cos x (b) f :]0, π[ R : x (sin x) 2x (c) f : R 0 R : x tg(ex ) x (d) f : R R : x (x 2 + ) 3 4. Beschouw een open interval I R, a I en een functie f : I R die differentieerbaar is in a. Bewijs dat f f(a + h) f(a h) (a) =. h 0 2h Geef een voorbeeld van een functie waarvoor bovenstaande iet bestaat en die niet afleidbaar is in a. 35

5. Bepaal, in elk punt van ] π, π[, de linker- en rechterafgeleide van Is f differentieerbaar in π en π? f : [ π, π] R : x x sin x. 6. Zij f : R R een veeltermfunctie en a R Bewijs: Veralgemeen. 7. Bepaal A R zodat de functie differentieerbaar is in 4. f is deelbaar door (x a) 2 f(a) = f (a) = 0. f : R R : x { 2 x 4x als x 4 A als x = 4 8. Zij f : R R continu in 0 en zij g : R R gedefinieerd door g(x) = xf(x). Bewijs dat g differentieerbaar is in 0. 9. Beschouw de functie { x 2 als x Q f : R R : x x 2 als x / Q Bewijs dat f differentieerbaar is in 0 en bepaal f (0). 0. (a) Toon het bestaan van een open interval I R zodat (b) Bepaal de afgeleide functie van x I, x cos x sin x 0. f : I R : x x cos x sin x. (c) Bepaal de onbepaalde integraal x 2 (x cos x sin x). 2. Zij f : R R p een functie en a R. Bewijs dat de volgende eigenschappen equivalent zijn: (a) f is differentieerbaar in a (b) Er bestaat een functie φ : R R p, continu in a, zodat x R : f(x) = f(a) + φ(x)(x a).

2. Bewijs dat, indien twee functie f : I R p en g : I R p differentieerbaar zijn in a I, hun inproduct < f, g >: I R differentieerbaar is in a en dat (< f, g >) (a) =< f (a), g(a) > + < f(a), g (a) >. 3. Bewijs dat, indien twee functie f : I R 3 en g : I R 3 differentieerbaar zijn in a I, hun vectorieel product f g : I R differentieerbaar is in a en dat (f g) (a) = f (a) g(a) + f(a) g (a). 4. Voor welke keuze van a en b in R is de functie { ax + b als x < 0 f : R R : x e x als x 0 differentieerbaar? 5. Een functie f : I R heet even (resp. oneven) als I = I en x I : f(x) = f( x) (resp. als I = I en x I : f(x) = f( x)). Als f : I R even en afleidbaar is, toon dan dat f ook even is. Als f : I R oneven en afleidbaar is, toon dan dat f ook oneven is. 6. Bepaal voor elke n N 0, het voorschrift van de n-de afgeleide functie voor de volgende functies: (a) f : R \ { 5 2 } : x 2x 5 (b) f : R R : x xe x (c) f : R R : x sin 2 x 7. Bepaal f (t) en f (t) voor elke t R als f : R R 3 : t (t, t 2, t 3 ). 8. Voor welke waarde van n N is de functie { x f : R R : x n cos als x 0 x 0 als x = 0 twee maal differentieerbaar? 9. Is de stelling van Rolle toepasbaar op volgende gevallen? (a) f : [, 2] R : x e x (b) f : [0, ] R : x x [x] (c) f : [ 3, 3] R : x x 4 x 2 + (d) f : [, ] R : x x (e) f : [0, π] R : x sin x (f) f : [0, ] R 2 : x (x 2 x, x 3 x)

20. Hoeveel nulpunten heeft de afgeleide van volgende functies f : [0, ] R in het interval ]0, [? (a) f(x) = x 5 x 2 + 4 (b) f(x) = sin(nπx) (n N 0 ) { x sin π x 0 (c) f(x) = x 0 x = 0 (d) f(x) = 3 2. Beschouw f : [0, 3] R : x x + Vind c ]0, 3[ zodanig dat en g : [0, 3] R : x 2x + 3 f (c)(g(3) g(0)) = g (c)(f(3) f(0)) 22. Bepaal al de afleidbare functies f : R R zodanig dat f (x) = f(x), x R. HINT: Beschouw g(x) = f(x)e x. 23. Onderstel f : R + 0 R tweemaal afleidbaar, f(5) = f (5) = 0, f(8) = 0. Toon aan dat f minstens één nulpunt heeft in ]5, 8[. 24. Als f : R R tweemaal differentieerbaar is, en minstens 3 fixpunten heeft, bewijs dat f minstens een nulpunt moet hebben. 25. Bewijs dat de vergelijking x 6 3x + = 0 precies 2 reële wortels bezit. 26. Onderstel f : [a, b] R een C 2 -functie, stel p(x) = f(a) x b a b + f(b)x a b a en g(x) = f(x) p(x) (a x b) Als c ]a, b[, toon aan dat er een ξ [a, b] bestaat zodat: 2g(c) = f (ξ)(c a)(c b) HINT: Beschouw h(x) = g(x) (x a)(x b) (c a)(c b) g(c) GEVOLG: g(c) M 8 (b a)2 waarbij M = max{ f (ξ) : a ξ b}. Controleer dit als [a, b] = [0, π] en f(x) = sin x.

27. Toon aan: x R + 0 : 28. Zoek de lokale extrema van (a) f : R R : x x 3 (b) f : R R : x x (c) f : R + 0 R : x x x (d) f : R R : x x 3 3x 2 + 5 (e) f : R R : x x + sin x (f) f : R R : x x 4 e x (g) f : R R : x (x 2 ) 2 3 (h) f : R R : x x 6 { e x (i) f : R R : x 2 x 0 0 x = 0 { x Q (j) f : R R : x 0 x / Q x + < log x + x < x (k) f : R R : x (x a) 2 + (x b) 2 + (x c) 2 (a, b, c R) 29. Zoek de lokale extrema van (a) f : [, 3] R : x x 2 (b) f : R + R : t t 5 e t (c) f : Z R : x tan x (d) f : R R : x x + x 30. Onderstel f : [a, b] R afleidbaar. Als f een lokaal maximum bereikt in x 0 [a, b], toon aan dat f (x 0 )(x x 0 ) 0, x [a, b]. 3. Zijn de volgende functies convex? concaaf? (a) f : R R : x x 4 (b) f : [0, 2π] R : x cos x (c) f :], [ R : x 2x + 5 (d) f : R + R : x x k (k R + 0 ) { 0 x 0 (e) f : R R : x x 2 x 0 32. Zij f : R R een functie, en stel A = {(x, y) R 2 : y f(x)}. Toon aan dat de funtie f convex is als en slechts als het deel A convex is. 33. Bepaal, zo ze bestaan, het minimum en het maximum van volgende delen van R:

A = {x 2 2x : 0 x 3} B = {log x : x ]0, [} C = {e x sin x : x 0} D = {x 2 : x 4} E = { +x 2 : x R } F = { x x R} G = {x 3 x : x R} H = {[x] : x [0, π]} I = {e x7 x 4 +2 : x R} J = {2x 3x 2 3 : x [, 3]} 34. Beschouw alle rechthoeken in R 2 met een hoekpunt in de oorsprong, een zijde op de positieve x-as en een zijde op de positieve y-as en een hoekpunt op de grafiek van f(x) = log x. Voor zover ze bestaan, bepaal tussen deze rechthoeken x 2 die met de grootste en kleinste oppervlakte. 35. (a) Voor welke m R 0 is de oppervlakte van het domein begrensd door de rechten x = 0, y = 0 en y = m(x 2) maximaal? minimaal? (b) Welke is de grootste rechthoek (met zijden evenwijdig met de assen) gelegen in het eerste kwadrant en onder de grafiek y = e x2? (c) Vind de maximale inhoud van een cylinder ingeschreven in een (Euclidische) sfeer van straal r. (d) Beschouw a = (0, ), b = (0, 2) en p = (x, 0) (x > 0). Voor welke x is de hoek apb maximaal? 36. Teken de grafiek van de functie f. Onderzoek o.a. het domein van f de doorsnede van de grafiek met beide assen (m.a.w bereken f(0) en los f(x) = 0 op) de symmetrie (is f even? oneven?) de periodiciteit van f de continuïteit van f de verticale asymptoten (in welke punten is de linker- of rechteriet + of ) de horizontale/schuine asymptoten (zoek a, b R zodat x f(x) (ax + b) = 0, analoog in + ) f (x) (is f stijgend? dalend? lokale extrema?) f (x) (is f convex? concaaf? buigpunten?) Stel een tabel op met alle x R waarvoor f(x), f (x) of f (x) nul worden of ophouden te bestaan; bepaal zo nodig nog een aantal punten (x, f(x)). (a) f(x) = x x 2 9 (b) f(x) = (x 2 ) 4 3 (c) f(x) = sin 2 4x (d) f(x) = x 2 + 2x (e) f(x) = e x (f) f(x) = x 4 2x 3 + 48x 2 64x

(g) f(x) = [ ] x (h) f(x) = e x2 (i) f(x) = tan x (j) f(x) = chx = ex +e x 2 (k) f(x) = (x + ) + x 2 (l) f(x) = sin x cos x (m) f(x) = x+ x (n) f(x) = 2 x + 2 x 3 (o) f(x) = x 2 3 + x 3 (p) f(x) = x x 2 (q) f(x) = 3 x 3 4x (r) f(x) = sin 2x 3 2 sin 2 x (s) f(x) = x 3 (x 4) (t) f(x) = 2 tan x sec 2 x (u) f (x) = x 3 x en f 2 (x) = (x + 2) 3 (x + 2) + 3 (op eenzelfde tekening) 37. Hoeveel reële wortels heeft p(x) = 2x 7 0x? 38. Toon dat de vergelijking sec x x 3 + 5 = 0 39. Zijn precies een oplossing op ]0, π 2 [ heeft. en continu afleidbaar? f : R R : x { x 2 log(x 2 ) x 0 0 x = 0 g : R R : x sin(x 2 3 ) 40. Bereken volgende ieten (gebruik, zo nodig, de regel van de l Hospital) (a) x 2 x 2 4 2 x 4 (f) x 3 x + 2 x 3 (b) x + log x x (g) (sin x) x x 0 > (c) (d) x > 0 x + tan x log x ( x + x ) 3x (h) (i) x > x + log x x x x2 + (e) x sin x x (j) x 0 (sin2 x) x

(k) (l) x 0 arctan 2 x x 2 (o) x 2 cos(πx) x 2 4x + 4 x + x sin x (p) (m) (n) x + log 2x log 3x (( ) x x + x e) x + x (q) (sin a sin x)πx x a 2a x 0 x sin x x 2 4. Zoek volgende ieten. Is de regel van de l Hospital soms toepasbaar? (a) x 0 sin(x ) sin x (c) x 0 x 2 sin(x ) sin x (b) x 0 x sin(x ) sin x (d) x 0 x 3 sin(x ) sin x 42. Uit (via de l Hospital), besluit dat x + log x x = 0 (a) x + sin(e x x 2 ) log x x = 0 (b) n + log n n = 0 Hoe tonen we dat n + sin(e n n 2 ) log n n = 0? 43. Bepaal a R, a > 0 en k R zodat f :] a, a[ R : x { log(x+e x ) x x 0 k x = 0 differentieerbaar is. Geef het voorschrift van f. Is f continu differentieerbaar? 44. Schrijf de formule van Taylor voor f(x) = x 2, x 0 = 3, n = 39.

45. (a) Als f(x) = sin x (x R), zoek ξ ]π, 4π[ zodat (b) Als f(x) = x f(π) = f(4π) 3πf (4π) + 9π2 2 f (ξ) (x < ), en 0 < a <, zoek ξ ]0, a[ zodat f(a) = 4 k=0 f (k) (0) ak k! + f (5) (ξ) a5 5! 46. Bewijs dat e x > x, x R 0. 47. (a) Toon aan dat als x R, ( ) cos x ( x2 x 3 ) min 2 6, x4 24 (b) Toon aan dat, voor x ]0, π 3 [: x2 2 + x4 48 48. (a) Bewijs dat voor elke x > 0: Wat als x = 2? (b) Bewijs dat voor elke x > 5: < cos x < x2 2 + x4 24 3 + x 6 x2 26 < 9 + x < 3 + x 6 Wat als x = 2? 3 + x 6 x2 64 9 + x 3 + x 6 49. (a) Hoeveel termen van de Taylorontwikkeling van f(x) = e x om x = 0 heeft men nodig om e te benaderen met nauwkeurigheid 0 3? (b) Bepaal n N zodanig dat de Taylorveelterm van graad n voor f(x) = log x om x = log.2 tot op 0 4 benadert. 50. Door de formule van Taylor toe te passen op f(x) = arctan x, x 0 = 0, n = 2 besluiten we dat als x, arctan x x 3 3. 6 Kan dit scherper gesteld worden? (Bestudeer de extrema van arctan x x op [, ]).

5. Stel f : R R : x cos(4x). Bewijs dat n + R n (x) = 0, x R (waar R n (x) de restterm van de Taylorontwikkeling van f om x 0 = 0 is). Bijgevolg geldt: x R : cos 4x = n n ( 6) k x 2k k=0 (2k)! Besluit dat als t R + : cos 2 t = n n k=0 ( 4t) k (2k)! 52. Ga na dat Kunnen we M R + 0 n x ], [: x k = n x vinden, zodanig dat k=0 x ], [ n N : dn n ( x) M? 53. Beschouw f :], [ R 3 : t (cos t, sin t, t) en stel t 0 = 0. Vind S :], [\{0} R 3 zodat f(t) = f(0) + tf (0) + S(t)t en n S(t) = 0.

Opgaven Hoofdstuk 3: Convergentie. Bepalen de volgende afbeeldingen een metriek op R? (a) d : R R R + : (x, y) sin 2 (x y) (b) d : R R R + : (x, y) e x e y (c) d : R R R + : (x, y) (x y) 4/3 (d) d : R R R + : (x, y) x + y (e) d : R R R + : (x, y) min{ x y, 5} (f) d : R R R + : (x, y) max{ x y, 5} 2. Als een norm is op de reële vectorruimte X, bewijs dan dat d : X X R + : (x, y) x y een metriek is op X. 3. Voor welke waarden van a, b, c en d in R is : R 2 R + : (x, y) ax + by + cx + dy een norm op R 2? 4. Als x R n, toon dat x M x E x S n x M. Als x, y R n, toon dat d M (x, y) d E (x, y) d S (x, y) nd M (x, y). Als x R n en r R + 0, toon dat B M (x, r n ) B S(x, r) B E (x, r) B M (x, r). 5. Bepaal expliciet de volgende bollen in (R, d): 45

(a) B(, π) 3 6 (b) B(, π) 3 3 (c) B(, π) 3 2 (d) B(, 2π) 3 3 (e) B(, 5π) 3 6 (f) B(, π) 3 (g) B(, 7π) 3 6 (h) B(, 4π) 3 3 (i) B(, 3π) 3 2 (j) B(, 25) 3 6. Zijn volgende delen open, gesloten, dicht in de metrische ruimte (R 2, d E )? (a) φ (b) {(x, y) R 2 ; x + y } (c) {(x, y) R 2 ; 0 < x < 5} (d) R 2 (e) R 2 \ {(0, 0)} (f) {(x, y) R 2 ; x Q, y R \ Q} (g) {(x, y) R 2 ; < x < y < 4} (h) een eindig, niet leeg deel van R 2 7. Onderzoek of de verzameling A = {(x, y) R 2 ; (x, y) S (x, y) E 2, (x, y) M < } open (resp. gesloten) is in de metrische ruimte (R 2, d E ). Bepaal de verzameling van de ophopingspunten van A; 8. Stel, voor n N 0, A n =] n, 2n [. Bepaal n=a n en n=a n. Zijn deze unie en doorsnede open delen van R? 9. Toon dat in de deelruimte R 0 van de metrische ruimte R (met de Euclidische metriek) het deel R + 0 open en gesloten is. Vind nog andere delen van R 0 met deze eigenschap. 0. Zijn de volgende delen open (resp. gesloten)? A = Q in R B = Q in Q C = {x R : x 3 < x 2 } in R D = { : n N n 0} in [0, ] E = { : n N n 0} in ]0, ] F = { : n N n 0} in R G = {x R : 2 sin 2 x + sin x } in R. Zijn volgende delen open (resp. gesloten) in de metrische ruimte (R, d)? (a) R + 0 (b) R + 0 { } (c) R + (d) R + { }

(e) N (f) R \ N (g) {, e, π} (h) [0, 7] { } (i) Q Bepaal de afsluitings- en ophopingspunten. 2. Convergeren volgende rijen in de metrische ruimte (R, d)? (a) x n = 3n+2 (b) x n = ( 5) n (c) x n = 5 n (d) x n = ( 5) n 5 n 3. Als x n = ( 6 )n, toon dan dat de rij (x n ) n een Cauchy rij is, zowel in de metrische ruimte R als in de metrische ruimte R 0. Is ze convergent in R? Is ze convergent in R 0? 4. Zij (x n ) n een rij in R n, toon dan de equivalentie van volgende uitspraken: (a) (x n ) n is een Cauchy rij in (R n, d E ) (b) (x n ) n is een Cauchy rij in (R n, d M ) (c) (x n ) n is een Cauchy rij in (R n, d S ) 5. Stel x n = n en y n = n 2. Zijn de rijen (x n ) n en (y n ) n equivalente rijen in R (resp. in R 0 )? 6. Stel x n = n en y n = n +. Zijn de rijen (x n ) n en (y n ) n equivalente rijen in R (resp. in R 0 )? 7. Zij (x n ) n een rij in een metrische ruimte (X, d) met x n x. Construeer een deelrij (x kn ) n met d(x, x kn ) < 0 n. 8. Onderzoek de continuïteit van volgende functies: { x 2 y (a) f : R 2 (x, y) (0, 0) R : (x, y) x 2 +y 2 0 (x, y) = (0, 0) { x 2 y 2 (b) f : R 2 (x, y) (0, 0) R : (x, y) x 2 +y 2 0 (x, y) = (0, 0) { (c) f : R + R + x y y 0 0 R : (x, y) y = 0 { sin(xy) (d) f : R 2 x 0 R : (x, y) x 0 x = 0

9. Beschouw de functie f : R + R : x { x Q 0 x / Q Vind een open deel G van R zodat f (G) niet open is in R +. Vind een gesloten deel F van R zodat f (F ) niet gesloten is in R +. Vind een deel A van R + zodat f(a) f(a). 20. De functie f : R + R : x +x 2 is continu. Vind een open deel G van R zodat f(g) niet open is in R. 2. Toon aan dat A = {x R; 0 < sin x < } open is in R, zonder A expliciet te bepalen. 22. Beschouw de functie f : R 2 R : (x, y) { x 4 x 4 y 2 +y 2 x 4 +y 2 (x, y) (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0) Is f (], [) open in R 2? In welke punten is f continu? 23. Bewijs dat het Euclidisch inprodukt op R n continu is. <.,. >: R n R n R : ((x, x 2,..., x n ), (y, y 2,..., y n )) (x 2 +) 3 n x i y i 24. Beschouw de afbeelding f : R 0 R : x en de equivalente rijen x 2 ( n) en ( n + ) in R 0. Bewijs dat de beeldrijen door f equivalent zijn in R. 25. Zijn de volgende afbeeldingen uniform continu resp. Lipschitz? i= (a) f : R + R : x x (b) f : R + 0 R : x log x (c) f : R R : x 6 cos(3x) (d) f :] π, π [ R : x tgx 2 2 (e) f : R R : x x 3 (f) f : [, ] R : x x 3 (g) f : [, [ R : x x 3 (h) f : R + R : x x /3 (i) f : R 0 R : x cos x (j) f : R R : x x (k) f : R R : x x +x 2 (l) f : Z R : x x 2 (m) f : R R : x e x (n) f : R + R : x π + x 2 (o) f : R R : x x 2 cos x (p) f : R + R : x cos 2 x 26. Beschouw de functie f : [ 2, 5] R : (x, y) { x cos x x 0 0 x = 0 Is f continu? Is f uniform continu? Is de beperking van f tot [ 2, 4[ continu resp. uniform continu?

27. Beschouw een rij f : N R. Is f continu resp. uniform continu, Lipschitz? 28. Beschouw een continue functie f :]0, ] R. Is f noodzakelijk uniform continu? Bestaat x 0 f(x) steeds? Bewijs f is uniform continu x 0 f(x) bestaat 29. Onderzoek het bestaan van volgende ieten: (a) (x,y) (0,0) x 2 y x 2 +y 2 (b) (x,y) (0,0) x 2 y 2 x 2 +y 2 (c) (x,y) (,0) x y (d) (x,y) (0,0) sin(xy) x 30. Zijn de volgende delen van R van onder begrensd (resp. van boven begrensd, begrensd)? Bestaan supremum, infimum, minimum en maximum? (a) R (b) {3 m ; m Z} (c) [ 3, 5] (d) {x Q; x 2 < 7} (e) {x R; x 3 + x = 9} (f) een oneindig deel van N 3. Bewijs dat een Cauchy rij in een metrische ruimte begrensd is. 32. Onderstel x 0 < y 0 in R + 0. Definieer de rijen (x n ) n en (y n ) n recursief door x n+ = x n y n en y n+ = xn+yn 2 voor n N 0. Toon aan dat n N x n < x n+ < y n+ < y n, besluit dat de rijen (x n ) n en (y n ) n convergent zijn in R en dat n x n = n y n. 33. Stel, voor n N 0, u n = ( + n )n. (a) Toon aan dat u n = + + ( ) +... + ( n )...( ). 2! n n! n n (b) Leid uit (a) af dat n N 0 : u n < u n+. (c) Toon aan dat n N 0 : u n < 3. (d) Besluit dat n u n bestaat in R. De iet wordt e genoteerd. 34. Onderstel dat een deel A van R open en gesloten is in R. Bewijs dat de functie { x A f : R R : x 0 x / A continu is. Pas de stelling van Bolzano toe om te besluiten dat ofwel A = ofwel A = R. 35. We beschouwen reële getallen a < b en een continue functie f : [a, b] R. Onderstel dat er geen punten x [a, b] bestaan met f(x) = x. Toon dat juist een van volgende uitspraken waar is:

(a) f(x) > x voor alle x [a, b], (b) f(x) < x voor alle x [a, b]. 36. We beschouwen de functie f : R R : x x 3 + Bewijs dat er een x R bestaat met f(x) = 5. 3 2 + sin x. 37. Zijn de volgende delen van R begrensd resp. gesloten, compact? Vind in elk niet compact deel telkens een rij zonder convergente deelrij in het deel. (a) Z (b) ]2, e] (c) Q + (d) {x R; sin x = 2} 5 (e) {x R; [x] = 4} (f) {x R; x 3 3x 2 + = 0} (g) {x R; x 4 x 2 + 0} (h) {x R; x 2 x 0} (i) {x Q; 0 x } (j) {x R; sin x Q} 38. Zijn volgende delen van R 2 compact? (a) R 2 (b) (c) {(x, y) R 2 ; x 2y = 9} (d) {(x, y) R 2 ; x 2 y 2 = 9} (e) {(x, y) R 2 ; x 2 + y 2 = 9} (f) {(x, y) R 2 ; x 2 + y 2 9} (g) {(x, y) R 2 ; x 2 + y 2 < 9} (h) {(x, y) R 2 ; x 2 + y 2 > 9} (i) {(x, y) R 2 ; x 2 + y 2 9} (j) {(x, y) R 2 ; x 2 + y 2 9} 39. Toon aan dat A = {x R; x 3 sin x 2} niet leeg, gesloten en begrensd is. Bijgevolg is A compact. 40. Vind rijen (x n ) n in R zodat (a) (x n ) n convergeert en {x n ; n N} is compact, (b) (x n ) n divergeert en {x n ; n N} is compact, (c) (x n ) n convergeert en {x n ; n N} is niet compact, (d) (x n ) n divergeert en {x n ; n N} is niet compact, 4. Geef een voorbeeld van een onbegrensde functie f : [2, 5] R. 42. Als A een niet gesloten deel is van R en a A \ A, toon dan dat de functie continu en onbegrensd is. f : A R : x x a