Calculus 3. Tentamen Calculus 3, 8 April 11 Opgave 1. Zij f(x, y, z) = xy z 3xz en g(x, y, z) = x 3 +z sin(y) y sin(z). i) (5 pnt) Laat zien dat p = (, 1, 1) op de oppervlakken {f(x, y, z)} = en {g(x, y, z)} = ligt en bereken de gradienten van f te p en van g te p. ii) (5 pnt) Bereken de hoek die de vlakken {f(x, y, z)} = en {g(x, y, z)} = te p met elkaar maken. Opgave. Zij f : R R de functie gegeven door f(x, y) = xy 1 (x4 + y 4 ) + 1 (1 pnt) Bepaal alle punten waar deze functie een relatief extreem of een zadelpunt heeft. Opgave 3. Zij D het gebied gegeven door D = {(x, y) R 3 x + y 1 en y 1x + 1 } Zij f : D R de functie gegeven door f(x, y) = x + y x + 3. i) (3 pnt) Laat zien dat f op D een maximum en een minimum aanneemt. ii) (7 pnt) Bereken in welke punten van D f het maximum en het minimum aanneemt en bereken de waarde van f in die punten. [Aanwijzing: maak een tekening] Opgave 4. i) (5 pnt) Zij c : [, 1] R 3 de kromme gegeven door c(t) = (e t cos(t),, e t sin(t)) Bereken de lengte van deze kromme. ii) (5 pnt) Zij F : R 3 R 3 het vectorveld gegeven door F (x, y, z) = (yz + xy, xz + z + x, xy + 3z + yz) Laat zien dat F een gradientvectorveld is. 1
Uitwerking wc8 =tentamen Calculus 3, 8 April 11 Opgave 1. Zij f(x, y, z) = xy z 3xz en g(x, y, z) = x 3 +z sin(y) y sin(z). i) (5 pnt) Laat zien dat p = (, 1, 1) op de oppervlakken {f(x, y, z)} = en {g(x, y, z)} = ligt en bereken de gradienten van f te p en van g te p. ii) (5 pnt) Bereken de hoek die de vlakken {f(x, y, z)} = en {g(x, y, z)} = te p met elkaar maken. Oplossing. i) Zij p = (, 1, 1). Dan f(p) = = en g(p) = + sin(1) sin(1) = ii) grad(f)(p) = grad(g)(p) = y z 3z xyz xy 3x (,1,1) 3x zcos(y) ysin(z) sin(y) y cos(z) = (,1,1) = grad(f)(p), grad(g)(p) = (,, ), (,, ) = Dus de gevraagde hoek is 9 graden. Opgave. Zij f : R R de functie gegeven door f(x, y) = xy 1 (x4 + y 4 ) + 1 (1 pnt) Bepaal alle punten waar deze functie een relatief extreem of een zadelpunt heeft en beschrijf de aard van ieder van deze punten. Oplossing. We bepalen eerst de kandidaat punten van R waar f een locaal extreem kan hebben. In die punten moeten beide partiële afgeleiden nul zijn. Dus moet gelden f x = y x 3 = en f y = x y 3 = Uit f x = volgt y = x 3 en uit f y = volgt x = y 3. Uit beiden volgt dan x = x 9. Dus (x 8 1)x =. Dus (x 4 1)(x 4 + 1)x =. Dus x = of x 4 = 1. Dus x = of x = 1 of x = 1. Omdat y = x 3 vinden we dan de volgende drie punten: (, ), (1, 1) en ( 1, 1). 1
We gebruiken nu de Hessematrix H om na te gaan of deze punten locale maxima, minima of zadelpunten zijn. fxx f H = xy 6x = 6y f xy f yy H(, ) = ( Omdat het element in de linkerbovenhoek van H(, ) = en det H(, ) = 4 is (, ) een zadelpunt. Verder geldt ( ) 6 H(1, 1) = 6 Het element in de linkerbovenhoek van H(1, 1) = 6 < en det H(1, 1) = 3 >. Dus we zien het tekenpatroon, +, waaruit volgt dat (1, 1) een locaal maximum is. Omdat ( ) 6 H( 1, 1) = 6 zien we dat H( 1, 1) = H(1, 1). Dus is ook ( 1, 1) een locaal maximum van f. Opgave 3. Zij D het gebied gegeven door D = {(x, y) R 3 x + y 1 en y 1x + 1 } Zij f : D R de functie gegeven door f(x, y) = x + y x + 3. i) (3 pnt) Laat zien dat f op D een maximum en een minimum aanneemt. ii) (7 pnt) Bereken in welke punten van D f het maximum en het minimum aanneemt en bereken de waarde van f in die punten. [Aanwijzing: maak een tekening] Oplossing. i) f is een veeltermfunctie, dus continu op R en dus continu op D. Verder is D begrensd want D is bevat in de cirkel met straal 1. Ook is D een gesloten verzameling van R, want D{(x, y) R 3 x + y 1 en y + 1x 1 } en de functies x + y 1 en y + 1x 1 zijn continu op R (want het zijn veelterm functies). Uit een stelling volgt dan dat f op D een globaal )
maximum en een globaal minimum heeft. ii) Eerst bepalen we de kandidaat punten in het inwendige van D waar f een extreem kan hebben. Dan moet gelden f x = en f y =. Dus x = en 4y =. Dus we vinden het punt (1, ) en f(1, ) =. Nu bepalen we de kandidaat extreem punten op de cirkelrand g(x, y) := x + y 1 =. Merk op dat ( ) x g = y Dus als g(x, y) =, dan (x, y) = (, ) en dit punt ligt niet op de cirkelrand g(x, y) =. Dus g(x, y) voor alle punten (x, y) die voldoen aan g(x, y) =. Uit de stelling van Lagrange volgt dan: als f een extreem heeft in een punt (x, y ) op de rand g(x, y) =, dan bestaat er een λ R zodat f(x, y ) = λ g(x, y ) en g(x, y ) =. Met andere woorden x x = λ en x + y = 1 4y y Dus 4y = λy. Dus y (4 λ) =. Dus y = of y en λ =. Als y = dan x = 1 dus twee punten, namelijk ( 1, ) en ( 1, ). Het eerste punt ligt niet in D omdat niet is voldaan aan de voorwaarde y 1x + 1. Voor het tweede punt geldt f( 1, ) = 1 + 1 + 3. Als y en λ = dan x = 4x, dus x = 1 en met x + y = 1 volgt dan dat y = 3 of y = 3. Dus we vinde twee punten: ( 1, 3) en ( 1, 3) en er geldt f( 1, 3) = 4 en f( 1, 3) = 4. Tenslotte bekijken we de kandidaat extremen op de parabool y +1x 1 =. Met Lagrange vinden we dan: als f in een punt (x, y ) van deze parabool een extreem heeft dan geldt: er bestaat een λ R zodat x 1 = λ en y = 1x 4y y + 1 Uit 4y = λy volgt y = of y en λ =. Als y = volgt 1x = 1 en dus x = 1. We vinden dan het punt (1, ) en f(1, ) =. Tenslotte, als y en λ = dan x = en dus x = 11. Maar zo n punt ligt niet binnen de cirkel met straal 1 en ligt dus buiten D. Uit alle bovenstaande punten zien we dan dat f op D zijn maximum aanneemt in de punten ( 1, 3) en ( 1, 3). Dit maximum is f( 1, 3) = 4. Het minimum neemt f op D aan in het punt (1, ) en f(1, ) =. 3
4 Opgave 4. i) (5 pnt) Zij c : [, 1] R 3 de kromme gegeven door c(t) = (e t cos(t),, e t sin(t)) Bereken de lengte van deze kromme. ii) (5 pnt) Zij F : R 3 R 3 het vectorveld gegeven door F (x, y, z) = (yz + xy, xz + z + x, xy + 3z + yz) Laat zien dat F een gradientvectorveld is. Oplossing. c (t) = (e t cos(t),, e t sin(t)). Dus c (t) = 4e 4t cos (t) + 4e 4t sin (t) 8e 4t cos(t)sin(t)+ 4e 4t sin (t) + 4e 4t cos (t) + 8e 4t cos(t)sin(t) = 8e 4t = ( e t ) Dus de gevraagde booglengte is 1 e t dt = [ e t ] 1 = e ii) Manier 1. Bepaal f zodat F = f, met andere woorden zoek f zodat (f x, f y, f z ) = F. Om te beginnen moet dan gelden dat f x = yz + xy. Dus f = xyz + x y + c(y, z). Omdat ook moet gelden f y = xz + z + x moet dus gelden dat xz + x + c y (y, z) = xz + z + x. Dus moet gelden c y (y, z) = z, waaruit volgt dat c(y, z) = yz + d(z). Dus f = xyz + x y + yz + d(z). Tenslotte gebruik dat f z = xy+3z +yz. Hieruit volgt dat xy+yz+d (z) = xy + yz + 3z. Dus d (z) = 3z, waaruit volgt dat d(z) = z 3 + c, c R. Samengevat: neem f = xyz + x y + yz + z 3. Dan geldt F = f en dus is F een gradient vectorveld. Manier. R 3 is convex. Het is dus noodzakelijk en voldoende te bewijzen dat F =. Welnu, e 1 e e 3 F = det x y z = F 1 F F 3 ( y F 3 z F, ( x F 3 z F 1 ), x F y F 1 ) y F 3 z F = (x + z) (x + z) = x F 3 z F 1 = y y = x F y F 1 = (z + x) (z + x) = Dus F = en dus is F een gradient vectorveld.