TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT WERKTUIGBOUWKUNDE Tentamen Polymeerverwerking (4K550) vrijdag 16 november 2007, 9:00-12:00. Bij het tentamen mag het boek Modeling in Materials Processing van Dantzig en Tucker gebruikt worden. Het gebruik van andere aantekeningen en laptop is NIET toegestaan. Het tentamen levert maximaal 40 punten op waarvan de verdeling aan het eind is aangegeven. 1. Beantwoord de volgende vragen met ja of nee en geef daarbij een korte argumentatie. Bij een goed antwoord met juiste argumentatie krijgt men per vraag 1 punt. Bij een ernstige fout in de argumentatie wordt geen punt toegekend ondanks een correct antwoord. Bij een correct antwoord zonder argumentatie wordt een 1 2 punt toegekend. (a) Beschouw het spuitgietproces in een smalle strip met dimensies H = 2.5 mm, L = 175 mm en V = 60 mm/s voor een polymeer met de eigenschappen ρ = 1200 kg/m 3, µ = 750 N s/m 2 en Γ = 0.02 N/m. Is het waar dat als we naar globale effecten kijken oppervlaktespanning van belang is? (b) De druk in een luchtbel is hoger dan de druk buiten de luchtbel als gevolg van grensvlakspanning. Deze druk neemt inverse kwadratisch toe met de straal van de druppel. Is dit waar? (c) De temperatuurverdeling tijdens een spuitgietproces wordt gegeven door: T(x,y,z,t) = 12 + 2(x t) + (z + t) 2, de snelheid van het polymeer is v x = y,v y = x,v z = 2. Is het waar dat de tijdsafgeleide van de temperatuur gemeten op t = 0 door een vaste waarnemer die de meet op de positie x = 1, y = 2, z = 0.5 gelijk is aan 1.5. (d) Gegeven is het stationaire twee-dimensionale stromingsveld v = (v x,v y ) in het x y vlak: v x = 2sin(y) x 2, v y = tan(x) + 2x 2 y (1) Is het snelheidsveld divergentievrij? (e) Is het waar dat grenslagen in het algemeen onstaan door onjuiste aannames in de schaling van de vergelijkingen? (f) Is het waar dat de latente warmte verwaarloosd kan worden als het Stefan getal St << 1? (g) Is het waar dat in een stationaire axisymmetrische buisstroming de snelheid in stromingsrichting schaalt met de drukgradiënt? (h) Indien we een Hele-Shaw benadering gebruiken geldt de volgende vergelijking voor de druk 1 p (rs r r r ) + 1 p r 2 (S θ θ ) = 0 Is dat waar?
Figuur 1: Het vormen van een druppel nadat deze de printkop verlaat. (i) In Figuur 1 zien we het vormen van een druppel nadat deze een piezo inkjetprintkop verlaat. Verder is gegeven dat de oppervlaktespanning Γ = 0.03 N/m. Veronderstel dat de druppel de viscositeit van water heeft en met een snelheid van 5 m/s gejet wordt. Is het waar dat in de laatste figuur rechtsonder geldt dat Ca< 1? (j) Is het waar dat het drukverschil binnen en buiten de druppel gedurende het proces zoals te zien in Figuur 1 constant is?
2. In deze opgave kijken we naar het opstarten van een sleepstroming van een powerlaw vloeistof tussen twee parallelle platen waarbij de afstand tussen de twee platen H bedraagt. Initieel zijn beide platen in rust, maar op tijdstip t = 0 begint de bovenplaat instantaan te bewegen met een snelheid V in de x-richting. Traagheid kunnen we niet verwaarlozen en het snelheidprofiel heeft de vorm zoals aangegeven in Figuur 2(a). Figuur 2(b) geeft het stationaire snelheidprofiel. Voor het gemak gaan we uit van een 2D stroming en veronderstellen we verder dat de zwaartekracht verwaarloosd kan worden. Verder veronderstellen we dat de x-component van de snelheid niet in de x-richting verandert. We zijn met name geïnteresseerd in de tijd die nodig is om een stationair stromingprofiel te ontwikkelen. V y x H (a) V y x H (b) Figuur 2: Opstarten van een sleepstroming tussen twee parallelle platen. (a) Geef de balansvergelijkingen die het opstarten van de sleepstroming beschrijven. (b) Welke begin- en randvoorwaarden gelden hier? (c) Voer dimensieloze variabelen in en schaal de impulsbalans in de x-richting. Bepaal de karakteristieke tijdschaal voor dit probleem in termen van de bekende parameters. (d) Bepaal de numerieke waarde van de tijdschaal ervan uitgaand dat de vloeistof een polymeer is met de volgende eigenschappen: ρ = 1 10 3 kg/m 3, µ c = 2.3 10 2 Pa s, een karakteristieke waarde voor de viscositeit. De afstand H tussen de platen is 0.1 mm en de snelheid van de plaat is 18 m/s. (e) Veronderstel dat de powerlaw parameter n = 1 en dat de wand oneindig ver weg is. Bepaal het instationaire snelheidsveld.
3. Bij een groot aantal materiaalverwerkingsprocessen is het van belang om een sheet continu te koelen na het verwerken, bijvoorbeeld na het extruderen. Een voorbeeld van zo n situtatie is geschetst in Figuur 3. We veronderstellen dat de sheet een uniforme Figuur 3: Schematische weergave van het koelproces temperatuur T 0 heeft na het extrusieproces en dat het met een constante snelheid V beweegt. De dikte van de sheet is 2H. Het koelen gebeurt door de sheet in contact te brengen met gekoelde lucht (zou ook een vloeistof kunnen zijn) met temperatuur T. Deze koeling wordt gekarakteriseerd door een warmteoverdrachtscoëfficiënt h. Het doel van deze opgave is te bepalen hoe de benodigde lengte om te koelen L afhangt van de materiaal- en procesparameters. (a) Vereenvoudig de energiebalans onder de aannames: 2D, stationair, constante materiaalparameters en geen interne warmtebronnen. (b) Geef de randvoorwaarde op x = 0, dus meteen na het extrusieproces. (c) Geef de randvoorwaarden op y = ±H, dus aan de boven en onderkant van de sheet. (d) Voer geschikte dimensieloze variabelen in. (e) Schaal de energievergelijking. (f) Veronderstel dat H L en vereenvoudig hiermee het laatste gevonden resultaat. (g) Schaal de randvoorwaarden en laat zien dat het Biot getal Bi = hh k verschijnt. (h) Veronderstel dat Bi 1. Bepaal een uitdrukking voor de koellengte L. (i) Veronderstel dat Bi 1. Bepaal een uitdrukking voor de koellengte L.
4. Inkjettechnologie wordt continu verbeterd en toekomstige nieuwe printers zullen vooral sneller worden met een toenemende resolutie. Een van de grootste nadelen van conventionele inkjettechnologie is de waterachtige inkt. Een print die een beetje vochtig wordt is al snel als verloren te beschouwen. Druppel Diameter Do Snelheid Vo Spreiding Splashing Terugkaatsen Figuur 4: Verschillende modes van impact. lucht vloeistof vaste stof papier Figuur 5: Links: geometrie van een druppel die stolt; rechts: een echte hotmelt op papier. Een nieuwe techniek is hot melt inkjet printing waarbij gesmolten polymeren druppels ge jet worden. De druppels stollen zodra ze het papier raken en de kwaliteit van de afdruk is in meerdere opzichten superieur vergeleken met bestaande producten. (a) Figuur 4 laat verschillende modes van impact zien. Welke dimensieloze groepen zijn belangrijk om de verschillende modes te karakteriseren als we uitgaan van isotherme druppel impact? (b) Figuur 5 toont een druppel na impact op papier. Ter vereenvoudiging kijken we naar de stolling van de druppel over de centerlijn; we hebben dus een ééndimensionaal probleem. We veronderstellen even dat het papier en de vloeistof oneindig dik zijn, omdat we slechts gedurende een korte tijd het stollingsgedrag wil bepalen. Verder is er geen interne warmteproductie, geen stroming en zijn de materiaalcoefficienten constant. Verder veronderstellen we geen warmteweerstand tussen het papier en het gestolde polymeer. Definiëer de x as zo dat de overgang tussen papier en gestolde inkt zich op x = 0 bevindt en de overgang tussen gestolde en vloeibare inkt op x = δ.
Stel de energiebalans op voor de drie gebieden en vereenvoudig deze zoveel mogelijk gebruikmakend van de veronderstellingen. (c) Welke randvoorwaarden gelden hier? (d) Schets het verloop van de temperatuur over de stippellijn van Figuur 5. (e) Bij de meest recente ontwikkelingen wordt de temperatuur van het papier verhoogd en we veronderstellen even voor het gemak dat deze constant is, i.e. T = T papier. Laat zien dat dan de volgende conditie geldt dt k s dx dδ x=δ = ρ s L f dt (2) (f) Maak vergelijking (2) dimensieloos en voer het Stefan getal in. (g) Laat zien dat t = C δ 2 met C een nog onbekende constante. (h) Gebruik vergelijking (2) om een (niet-lineaire) relatie af te leiden waarmee C bepaald kan worden. Verdeling van de punten Opgave 1 Opgave 2 Opgave 3 Opgave 4 a) 1 1 1 1 b) 1 1 1 1 c) 1 2 1 2 d) 1 1 1 1 e) 1 2 2 2 f) 1 2 1 g) 1 2 1 h) 1 1 2 i) 1 1 j) 1