PROJECT 1: Kinematics of a four-bar mechanism

KINEMATICA EN DYNAMICA VAN MECHANISMEN PROJECT 1: Kinematics of a four-bar mechanism Lien De Dijn en Celine Carbonez 3 e bachelor in de Ingenieurswetenschappen: Werktuigkunde-Elektrotechniek Prof. Dr. Ir. M. Abdel Wahab 2017-2018 1

1. Inleiding In dit project gaan we de beweging van een vierstangenmechanisme bestuderen. Het mechanisme is geschetst in de onderstaande figuur. Staaf AD zit vast aan de grond, waardoor A en D vaste punten zijn. Staaf AB roteert rond scharnier A, staaf BC is scharnierend vastgemaakt aan scharnier B en staaf CD is scharnierend bevestigd aan scharnier C en kan roteren rond scharnier D. De parameters worden weergegeven in het kader naast het figuur. L 1 = 0.15m L 2 = 0.35m L 3 = 0.35m L 4 = 0.4m B = 0.1m θ = 15 θ = 3 rad/s Figuur 1: Vierstangenmechanisme We bestuderen nu in het bijzonder de hoeken φ en Ψ bij de gegeven beginsituatie van θ = 15 en θ = 3 rad/s. Ook bekijken we de snelheden φ en Ψ en versnellingen φ en Ψ bij deze situatie. Verder gaan we deze hoeken, hoeksnelheden en hoekversnellingen plotten in functie van de tijd voor 1 omwenteling van θ = 0 tot θ = 360. Als laatste berekening, berekenen we de snelheid van E,v E,en de versnelling van punt E, a E, op het moment dat θ = 15. Ook deze bestuderen we dan in functie van de tijd. Daarnaast maken we een animatie van het verloop. Hiermee kunnen we dan de grafieken verklaren. Op het einde valideren we onze resultaten. 2

2. Analyse 2.1 Flow chart Hierbij een schema van de toegepaste methode: 2.2 Kinematische vergelijkingen Figuur 2: Flowchart BEPALING POSITIE B We nemen het punt A als oorsprong van het assenstelsel. Dan worden respectievelijk de x en y-coördinaat van D 0 en 0,4. Nu wordt de positie van punt B bepaald: x B = L 1 cos θ en y B =L 1 sin θ BEPALING POSITIE C Nu kunnen de coördinaten van punt C gevonden worden door gebruik te maken van de posities van punten B en D. Aangezien de lengtes van BC en CD constant zijn, verkrijgen we volgend stelsel: 3

(x c -x D )² + (y c -y D )² = L 3 ² (x c -x B )² + (y c -y B )² = L 2 ² Hieruit komen 2 paar oplossingen voor x c en y C. We kunnen echter een oplossing schrappen door een voorwaarde toe te voegen, namelijk y C > y D. BEPALING POSITIE E Aangezien punt E geen scharnier is, ligt E op dezelfde rechte lijn als B en C. Dus kan gesteld worden dat: y B y C x B x C = y E y B x E x B Ook weten we de lengte van BE, namelijk b, dus geldt: (x E - x B )² +(y E y B )² = b² Ook hier krijgen we dus een stelsel van 2 vergelijkingen met twee paar oplossingen voor de positie van E. Opnieuw kunnen we een paar oplossingen schrappen door de bijkomende voorwaarde y E > y B. BEPALING HOEKEN ψ EN Φ De hoeken ψ en Φ kunnen we eenvoudigweg bepalen door driehoeksmeting: ψ = arctan ( y B y C x B x C ) en φ = arctan( y B y C x B x C ) BEPALING SNELHEID EN VERSNELLING PUNT B Aangezien A en D vaste punten zijn, zijn hun snelheden en versnellingen gelijk aan nul. Staaf AB draait met constante hoeksnelheid ω 1 dus zijn versnelling α 1 = 0. Punt B kan op twee manier bekeken worden, namelijk op staaf AB en op staaf BC. We noemen deze punten respectievelijk B1 en B2. De snelheden van B1 en B2 zijn gelijk want het betreft hetzelfde punt. Toepassing van de formules voor relatieve snelheid en versnelling levert volgende oplossingen. v B = v B1 = v B2 = v A + ω 1 x r BA = ω 1 x r B a B = a B1 = a B2 = a A + α 1 x r B - ω 1² r B ² BEPALING HOEKSNELHEID EN HOEKVERSNELLING Ψ EN φ Ook punt C bekijken we vanuit twee perspectieven en noemen het punt C2 en C3 respectievelijk op de staaf BC en CD: v C = v C2 = v B2 + ω 2 x r CB = v B + ω 2 x (r C r B ) v C = v C3 = v D + ω 3 x r CD = v D + ω 3 x (r C r D ) 4

Hierbij zijn ω 2 en ω 3 vectoren evenwijdig met de z-as. De vergelijkingen aan elkaar gelijkstellen levert een vectorvergelijking. Door vermenigvuldiging met de eenheidsvectoren î en ĵ levert deze 2 scalaire vergelijkingen: v Bx - ω 2 ( y C y B ) = ω 3 ( y C y D ) v By + ω 2 ( x C x B ) = ω 3 ( x C x D ) Hieruit halen we de hoeksnelheden van respectievelijk Ψ en φ, namelijk ω 2 en ω 3. Dezelfde methode wordt toegepast om de hoekversnellingen α 1 en α 2 te berekenen: a C = a C2 = a B + α 2 x (r C r B ) - ω 2² ( r C r B ) a C = a C3 = a D + α 3 x (r C r D ) - ω 3² ( r C r D ) Hierbij zijn α 2 en α 3 vectoren evenwijdig met de z-as. Opnieuw levert gelijkstellen van de vergelijkingen een vectorvergelijking die opgesplitst wordt in 2 scalaire vergelijkingen door vermenigvuldiging met eenheidsvectoren î en ĵ. Uit dit stelsel scalaire vergelijkingen wordt een oplossing verkregen voor de hoekversnellingen van respectievelijk Ψ en φ, namelijk α 2 en α 3. BEPALING SNELHEID EN VERSNELLING PUNT E Nu ω 2 gekend is, kan ook v E berekend worden: v E = v B + ω 2 x r EB = v B + ω 2 x (r E r B ) Daarbovenop is ook α 2 reeds gekend dus krijgen we voor a E : a E = a B = a B + α 2 x (r E r B ) - ω 2 ² ( r E r B ) 3. Matlab code De matlab code is bijgevoegd in het bestand Project1Groep10. Daar wordt de positie van punt E bepaald, de grootte van de hoeken ψ en φ, de snelheid en versnelling van punt E, hoek ψ en hoek φ. Ook tonen we een afbeelding van de beginpositie en een animatie van beweging. Als laatste is ook de code voor enkele plots van de parameters in functie van de tijd bijgevoegd. 5

4. Resultaten 4.1 Beginpositie (θ = 15 ) Positie (rad) Positie (graden) Snelheid (rad/s) Versnelling (rad/s 2 ) ψ 1,04223 59,7153-1,87481 1,3912 φ 1,79732 102,979-1,31991 7,2768 Snelheid x-richting (m/s) Snelheid y-richting (m/s) Versnelling x-richting (m/s²) Versnelling y-richting (m/s²) E 0,854907-0,132611-1,60139-0,582773 Tabel 1: Resultaten voor θ = 15 Figuur 3: Vierstangenmechanisme voor θ = 15 6

4.2 Plots in functie van tijd Figuur 4: ψ in functie van de tijd Figuur 5: φ in functie van de tijd Figuur 6: Hoeksnelheid van ψ in functie van de tijd Figuur 7: Hoeksnelheid van φ in functie van de tijd Figuur 8: Hoekversnelling van ψ in functie van de tijd Figuur 9: Hoekversnelling van φ in functie van de tijd De tijd waarin θ een keer heeft rondgedraaid (2π radialen) is ongeveer 2,094 seconden aangezien de hoeksnelheid van θ 3 rad/s bedraagt. Hierdoor loopt de grafiek steeds tot 2,094. In figuren 4, 6 en 8 volgen we de beweging van hoek ψ, de hoek die BC maakt met de positieve x-as. In figuren 5,7 en 9 volgen we de beweging van hoek φ, de hoek die CD maakt met de positieve x-as. Beide hoeken worden gemeten in tegenwijzerzin. 7

In het begin verkleint ψ steeds (draait dus in wijzerzin) want zijn grafiek daalt. Dit volgt ook uit de grafiek van ψ, deze is namelijk negatief in het begin. Ook φ draait in het begin in wijzerzin. De staaf BC duwt CD als het ware in die richting. Maar al na 0,25 seconden trekt de staaf BC CD de andere richting uit. Dit zien we ook in de grafiek van φ, deze bereikt namelijk een minimum bij 0,25 seconden. φ wordt dan ogenblikkelijk nul. Na ongeveer 0,6 seconden wordt ψ terug positief waardoor de hoek vergroot en dus in tegenwijzerzin begint de draaien. Op hetzelfde ogenblik bereikt φ een maximum (en wordt φ negatief ). Hieruit kunnen we afleiden dat BC de staaf CD begint te hinderen. Na 1,4 seconden pas zal φ opnieuw van richting veranderen. Nu draait φ dus terug in wijzerzin. Dit gebeurt wanneer θ ongeveer gelijk is aan 240. Op hetzelfde ogenblik zien we dat ψ een maximum bereikt voor zijn snelheid terug sterk daalt. Dit komt omdat zowel AB als CD een beweging naar rechts volgen. Zo hoeft de BC niet zoveel te veranderen om toch de beweging van θ te blijven volgen. Na ongeveer 1,8 seconden draait ψ weer in wijzerzin want we zien we een maximum in zijn grafiek. In de grafiek van φ zien we dan weer een minimum. Vanaf dan daalt de versnelling van φ in wijzerzin sterk. Dit valt te verklaren door de hinder van staaf BC. Daarna roteert AB verder tot het beginpunt. We concluderen dus uit deze plots dat staaf CD geen volledige omwenteling maakt maar een schommeling van ongeveer 0,9 radialen (φ varieert tussen 1,7 en 2,6 radialen). De afgelegde weg van C is dus slechts een booglengte, terwijl punt B een volledige cirkel beschrijft. Figuur 10: Snelheid van punt E in functie van de tijd Figuur 11: Versnelling van punt E in functie van de tijd Op figuren 10 en 11 zien we het verloop van de grootte van de snelheid en versnelling van punt E. De snelheid en versnelling tonen duidelijke minima en maxima op de tijdstippen hierboven verduidelijkt. Dit betekent dat de draaizin van φ en ψ beide veel invloed hebben op de snelheid van E. Dit is vanzelfsprekend aangezien E zich op de staaf BC bevindt. Ook worden de snelheid en versnelling van E nooit nul. Het punt bevindt zich dus nooit in rust. 8

5. Validatie 5.1 Berekening met de hand Door handmatige berekening verkregen we de volgende resultaten: Positie (rad) Positie (graden) Snelheid (rad/s) Versnelling (rad/s 2 ) ψ 1,04 59,71-1,87 1,39 φ 1,80 102,98-1,32 7,28 Snelheid x-richting (m/s) Snelheid y-richting (m/s) Versnelling x-richting (m/s²) E 0,85-0,13-1,60-0,58 Tabel 2: handberekende resultaten Versnelling y-richting (m/s²) Vergeleken met tabel 1 zien we (op afronding na) exact dezelfde resultaten. We kunnen dus stellen dat onze MATLAB code zou moeten kloppen. 5.2 SAM software Θ Φ ψ Θ Φ ψ Figuur 12: Grootte van hoeken in functie van de tijd Figuur 13: Hoeksnelheden in functie van de tijd Θ Φ ψ v E a E Figuur 14:Hoekversnellingen in functie van de tijd Figuur 15: Snelheid en versnelling van punt E in functie van de tijd 9

Bovenstaande figuren geven opnieuw grafieken van de grootte van de hoeken, hoeksnelheden en hoekversnellingen weer t.o.v. de tijd. We zien dat de vormen van deze grafieken overeenkomen met deze van MATLAB, met een andere schaling weliswaar. Ook θ wordt hier geplot en we zien een lineair verband voor de grootte van de hoek, een constante hoeksnelheid van 3 rad/s en geen hoekversnelling. Dit komt overeen met de gegeven informatie. Ook de snelheid en versnelling van punt E worden weergegeven in figuur 15. Hier is wat meer verschil met de plot die via MATLAB gemaakt is (figuren 10 en 11). Er zijn heel wat meer fluctuaties zichtbaar in figuur 15, maar de ruwe vorm is toch ongeveer gelijk. We kunnen dit dus wijten aan een verschil van nauwkeurigheid tussen beide programma s. 6. Conclusie In dit project hebben we de beweging van een vierstangenmechanisme bestudeerd. Hierbij is één staaf vast, dus 2 punten konden niet bewegen. Één staaf roteert met een constante hoeksnelheid en de andere staven zijn hiermee scharnierend verbonden. Aan de hand van de geometrie van het mechanisme kunnen we de plaatsvectoren van de scharnieren bepalen als ook de onbekende hoeken. Met de relatieve snelheid- en versnellingsformules is het gemakkelijk om de hoeksnelheden en hoekversnellingen te vinden. Eenmaal deze gekend zijn, kan de snelheid en versnelling van punt E berekend worden. Deze berekeningen worden uitgevoerd in Matlab, waar het ook mogelijk is een plot van de beginsituatie te maken, alsook een animatie die het makkelijker maakt de beweging voor te stellen. Alle parameters worden nog eens geplot in grafieken in functie van de tijd. Zo kunnen we de beweging verder analyseren. De bekomen resultaten worden ten slotte gecontroleerd met handberekeningen en SAM software. Het vierstangenmechanisme heeft een volledige rotatie omgezet in een gedeeltelijke rotatie. 10