Rudi Penne. Karel de Grote-Hogeschool, Antwerp

Transcriptie

1 Nationale Wiskundedagen 7: Projectieve Meetkunde en Mechanica Rudi Penne Karel de Grote-Hogeschool, Antwerp p.1/34

2 Het projectief vlak = euclidisch vlak vanuit perspectief waarnemer : oorsprong standaardpositie werkvlak : euclidisch punt (:3:1) (1::1) x y+z= (3:1:1) kijkrichting 4 3 k(,1,) 1 Y k(3,1,1) 1 X 3 4 projectief punt punt op (verdwijnrichting): p./34

3 p.3/34 Lijncoördinaten Rechte in het projectief vlak: ) (vlak van kijkrichtingen naar lijncoördinaten: van is punt op! ) (bevat alle punten op!

4 Optelling van homogene coördinaten Som van punten: ligt op de rechte door Som van rechten: en! gaat door snijpunt van en Opgelet: De juiste positie van de som hangt af van de gekozen homogene coördinaten. p.4/34

5 p.5/34 Uitwendig product en : punten in : rechte door en homogene coördinaten:,

6 p.6/34 Eigenschappen van anti-symmetrisch: bilineair: IR : anti-symmetrische tensor in IR in formeel: basis:

7 p.7/34 Duaal uitwendig product en ; : snijpunt van : rechten in B 8 6 B C A D C 4 Voorbeeld: (A D) (B C)

8 p.8/34 Kinematica in het vlak rotaties rotatiecentrum: (radiale) hoeksnelheid: projectief bewegingscentrum: 5 v 4 P P α C P C : beweging van ,, Voorbeeld: centrum ) (

9 p.9/34 Kinematica in het vlak translaties translatievector: projectief bewegingscentrum: v P.4 C. C P P..4 : beweging van , Voorbeeld: translatie: ) (

10 Samenstelling van bewegingen in punt : resulterend centrum: Gevolg: De samenstelling van rotaties en/of translaties is weer een rotatie of translatie. p.1/34

11 Directe kinematica centrum voor resulterende beweging: Voorbeeld: bewegingscentrum grijper: 1 8 C locatie: op rechte 6 4 C α C 1 α p.11/34

12 Inverse kinematica Gewenste beweging voor grijper :? zodat C C 3 α α 3 α 1 C opgelet: vereist aantal scharnieren ( in 3D) C 4 α α 1 C C 1 α 4 6 p.1/34

13 Singulariteiten speciale positie van scharnieren beperkte mobiliteit Voorbeeld: vlakke arm met 3 v.g.: singulariteit scharnieren collineair 1 8 C 6 C 3 4 C 1 C p.13/34

14 Relatieve centra : starre lichamen in het vlak : bewegingscentrum voor relatief centrum: Opmerkingen geen relatieve beweging beweging rond scharnier p.14/34

15 Aronhold-Kennedy : 3 starre lichamen : 3 relatieve centra collineair 1 8 C B 1 C 1 C 3 B B p.15/34

16 Staafconstructies staven met scharnieren ( ) en starre beweging van : staaf Voorwaarde: centrum! 1 C 14 primaire centra: scharnieren C 1 secundaire centra: Aronhold-Kennedy 4 C 34 C 13 3 C 3 C p.16/34

17 De regel van vier als snijpunt van AK-rechten Voorbeeld: C 1 a v 1 C C 3 f 4 d b 3 w x 7 c p.17/34

18 Moeilijk geval Soms is de regel van 4 onvoldoende: a v 1 d x 4 5 e w b f c Stelling: Regel van 4 volstaat voor enkelvoudige mechanismen ( graad - uitbreiding van het vier-staven-mechanisme ) p.18/34

19 Starre staafconstructies (infinitesimaal) star beweging: minimaal aantal staven: slechte spreiding: goede spreiding: Laman-criterium: voor ieder deel: p.19/34

20 Driehoek-constructie Infinitesimale deformatie:,, A.K. hoekpunten collineair met starre driehoek: C 13 C C 3 infinitesimaal vervormbaar: C 13 C 1 1 C p./34

21 Prisma-constructie en : centra voor driehoeken : centra voor verbindingen Infinitesimale deformatie: A.K. verbindingslijnen concurrent starre constructie: C? 1 C 3 3 C 13 C C 14 C 5 C? infinitesimaal vervormbaar: C 3 C 13 3 C 1! 1 C C 15 C C 5 p.1/34

22 of p./34 De projectieve ruimte of projectieve punt: projectieve vlak: : vlak op :

23 lijncoördinaten in 3D Rechte in 3D: bepaald door richting en een punt moment van (rond ): r O l P homogene coördinaten voor : gestandaardiseerd: ( oriëntaties mogelijk) Grassmann-Plücker-relatie: p.3/34

24 Uitwendige product in IR : gegeven 4-vectoren en met en opvatten als homogene coördinaten: : lijncoördinaten voor Merk op: Indien we in p.4/34

25 ) Eigenschappen opnieuw anti-symmetrisch en bilineair p.5/34 (rechte op rechte door de oorsprong:

26 p.6/34 Nog meer met collineair geeft niet collineair coördinaten voor

27 p.7/34 punt rechte IR IR punt rechte met Eigenschap:

28 Sommen van rechten in 3D Stel en twee 6-vectoren van homogene coördinaten voor de rechten en in (GP geldt!) twee gevallen: en coplanair hetzelfde vlak) en niet coplanair voldoet aan GP (rechte in voldoet niet aan GP Gevolg: door punt voldoet aan GP (rechte door ). p.8/34

29 Theorema van Poinsot Stel: een 6-vector die niet aan GP voldoet we kunnen steeds ontbinden als waar voldoet aan GP ( centrale as ) en overeenkomt met de rechte op van vlakken. p.9/34

30 Kinematica in 3D Rotatie rond georiënteerde as centrum: met : standaardcoördinaten voor : radiale hoeksnelheid beweging in punt : met hoeksnelheid Translatie met constante snelheid centrum: (rechte op beweging in punt : ) p.3/34

31 Algemene starre beweging Ogenblikkelijke beweging voor star object : Poinsot 3 soorten inf. starre bewegingen: rotatie, translatie en schroefbeweging p.31/34

32 Samenstelling van bewegingen resulterend centrum: Voorbeeld: chinese slang: verticale rotatieassen kop blijft horizontaal p.3/34

33 Industriële robots = kinematische keten met draai- en/of schuifscharnieren aandrijving scharnieren beweging grijper (of... ): ( : scharniercoördinaten; : centrum voor grijper) Merk op: Er zijn minstens 6 scharnieren nodig om alle bewegingen voor de grijper te genereren. singulariteit: positie waarin de (6) scharniercoördinaten lineair afhankelijk worden. p.33/34

34 Voorbeelden p.34/34