Opdrachten e week. Periode Goniometrie, klas. Doel: Beheersing basis goniometrie, functieleer, vergelijkingen. Je maakt alle opgaven (in tweetallen werken is handig ivm overleg). Opgaven tussen haakjes kan je overslaan op voorwaarde dat je dit ook beheerst. Anders belazer je jezelf. Tijd: 4 werkdagen di-vr. ivm uitval Open Dag. Weekindeling: di: opdr -5 woe : opdr 6-0 do: opdr - 5 vr: opdr 6-7. (kost erg veel tijd, selecteer dus!) Kan je sneller? doe dat dan ook!
PRAKTIJKVRAGEN GONIOMETRIE dl Bovenstaande functie beschrijft tweemaal een sinusfunctie. y = a + b sin(c (x + d)) Uit deze figuur kan men een aantal kenmerken halen: a. Golflengte, dus: c p, dus c = b. Evenwichtsstand: de lijn y=0. (De x-as hier): a = 0 c. De amplitude = (gerekend vanaf de evenwichtsstand): b = d. De sinusgolf begint op (0,0) : d = 0 Conclusie: y = sin x. (blauwe lijn). Opdr. Vindt de juiste functies In de figuur hieronder staan drie functies afgebeeld. Onderzoek welk functievoorschriften hierbij horen.
Opdr. Golfverschijnsel Een golfverschijnsel wordt ingegeven door: ) Amplitude 5 ) evenwichtsstand 3) Periodeduur (GRM in rad zetten!!!) 4) verschuiving 3 naar links Welke formule en welke grafiek hoort hierbij. (Je controle is kijken in de tabel van je GRM of de juiste punten gepasseerd worden). Opdr 3. Golfverschijnsel Wat verandert er aan de in opdr. gemaakte formule als de periode duur wordt: a) periodeduur b) periodeduur c) periodeduur 365 dagen d) periodeduur seconde. e) periodeduur /400 seconde Geef deze veranderingen wel duidelijk weer voor jezelf. Opdr 3. Verschillen in periodeduur. Voor deze opdracht onderzoek je met je GRM wat het verschil is tussen de onderstaande vijf functies: ). y sin( x) ). y sin( x) 3). y sin( x ) 4). y sin( x ) 5). y cos( x) Welke lijken hetzelfde? Wat is het verschil tussen x en x precies? Opdr 4. Frequenties Voor deze opdracht onderzoek je met je GRM Een windmolen draait rond. Men maakt een sinus van één van de tip-uiteinden van de wieken. Door die te volgen, ontstaat een sinusgrafiek. De molen draait met windkracht zes met een snelheid van 30 omwentelingen in een minuut. a) Welke sinusfunctie hoort hierbij als de as van de molen op 50m hoogte staat, de wieken 5m lang zijn? b) Wat verandert er aan de formule als de wieken geen 30 maar 0 omwentelingen per minuut maken? c) Welke formule ontstaat bij rustig weer, zodat de wieken x per minuut ronddraaien? Als je deze eerste functie plot, zie je deze figuur: 3
Onderzoek met je GRM of dit klopt en verklaar. Opdr 5. 0V spanning in huis De electra in je huis heeft een wisselspanning die (gemakshalve) varieert tussen -0 en 0 volt. Deze wisseling vindt 50x per seconde plaats. Welke formule hoort hierbij? Opdr 6. Golfverschijnsel Een schip vaart de haven in van Ijmuiden. De haven kent een getij dat wisselt tussen de meter en 6 meter (resp. laag en hoogwater). Hoogtij is het om 09:00 uur. Periodeduur nog even,0 uur. a) Ontwerp een formule die bij de situatie past. b) Het bedoelde schip heeft een diepgang van 4 meter en kan nooit op laagtijmomenten de haven in. Men wil minimaal meter water hebben tussen de bodem van het schip en de grond. Onderzoek met elkaar tussen welke tijdstippen dit schip zonder problemen kan binnenvaren. Denk eraan: Een een golf schetsen, hierin aangeven wat een veilige waterhoogte is, etc. c) In dezelfde haven varen continu boten in en uit. Bij welke diepgang van deze vaartuigen zullen zij nooit een probleem ondervinden met getijverschillen? d) Welke formule hoort bij de haven die een getijverschil kent van 7 meter, een hoogtij van 0m om 0:00 uur, een periodeduur van,5 uur? (lastig) Opdr 7. Piano 5) Een snaar van een piano trilt met een frequentie van 440 trillingen (golven) per seconde. a) Welke sinus-formule hoort hierbij? b) Het blijkt dat als men een pianotoets aanraakt die één octaaf hoger ligt, de frequentie verdubbelt. Verder verandert er niks. Wat wordt dan de formule? 4
Opdr 8. Translaties Gebruik de GRM voor de volgende opgave a) Plot de functie y=sin(x) en y = cos(x) in één figuur. Plot ook de functie ysin( x ) erbij. Wat valt op? b) Welke formule moet je maken om de sinus te plotten mbv een cosinus? sin( x) c) Er is een andere goniowet: tan( x). Leg uit dat dit klopt voor elke denkbare cos( x) x. en maak gebruik van een algemene rechthoekige driehoek. sin ( x) cos en dus ook: d) Wéér een andere goniowet zegt: sin ( x) cos cos ( x) sin Toon ook deze (eerste) waarheid aan mbv eenzelfde simpele driehoek. e) Maak een lijst in je PS met deze gevonden wetmatigheden. Je dient deze 'conversie-formules' wel te kennen. Opdr 9. Translaties Gebruik de GRM voor de volgende opgave: Vermenigvuldigen t.o.v. de x-as: ). y 0.5sin( x) a) Onderzoek het verschil tussen: ). y sin( x) 3). y sin( x) b) Vermenigvuldigen van y = sin(x) t.o.v. de y-as met een factor 3. Leg uit waarom dan de formule moet worden: y sin( x) en niet y=sin(3x). 3 Opdr 0. Vergelijkingen met de GRM Gegeven de functie: N 3,5,5sin( 3 ( t 0,5)) a) Teken de grafiek van N m.b.v. de GRM b) Los op N> 4 Opdr a. Vergelijkingen Zonder GRM Maak een tabel met de bekende waarden voor sin, cos en tan. Deze tabel moet je wel uit je hoofd kennen. Vul 'm aan. sin cos tan 0 0 30 0.5 45 0.5 60 0.5 3 90 5
Opdr b. Vergelijkingen Zonder GRM Bereken exact de oplossingen: a) 3sin( x ) 0 b) cos ( x) c) cos(3 x ) 0 6 4 d) cos( x) 0 Opdr. Vergelijkingen met de GRM Het aantal daglichturen Z is gegeven met de functie: Z 8cos( 365 ( t 0)) a) Plot de grafiek in een passend venster [0, 365] x [0, 4] b) Op welke dag(nummer) is de daglengte het langst? c) In welk (Europees) land zou dit kunnen zijn? d) Maak eenzelfde grafiek voor een land dat in Noord Afrika ligt (Tunesie bijv). e) Hoe ziet de grafiek (exact) op de poolcirkel eruit? f) In ons land is het maximaal 8 uur ligt en minimaal 0 uur. Maak de juiste formule. Welke formule hoort er bij een land dat ca 500 km meer naar het Oosten maar wel op dezelfde breedtegraad ligt? g) Onderzoek hoe lang het licht is op 0 april op basis van de eerst gegeven formule. h) Tussen welke twee tijdstippen is het langer dan 0 uur licht bij de eerste formule? Opdr 3. Algebra en conversies. In deze opgave worden functies gegeven die je om moet zetten. a) Men wil de functie plotten: y cos ( x). Welke functie, gebruik makend van een sinus geeft dezelfde figuur? Controleer je antwoord met je GRM b) Zelfde vraag: Men vervangt 3sin( t) door een cosinus. Onderzoek welke formule dat dan wordt. 5cos( 3 ( t 3)) c) Iemand beweert dat dezelfde functies zijn. Controleer dat en 5sin( 3 ( t 7.5)) verklaar. Zijn de waarden en 5 eigenlijk van belang? d) Probeer de functie: 0.05.6cos( 4 ( t 38)) te veranderen in een sinus die wat 'normaler' eruit zit. e) Wat is het verschil tussen -cos(x) en cos(x)? f) Zet de -cos(x) om in een sinusfunctie Opdr 4. Algebra Gegeven de functie: y sin( x 4) met domein: [0,3 ] a) Hoe ontstaat deze functie uit de standaard grafiek? b) Geef de exacte (Geen GRM) coordinaten van de toppen. c) Geef de exacte coordinaten van de snijpunten met de evenwichtsstand. d) De grafiek snijdt de x-as in drie punten A, B en C. Geef de exacte afstand tussen A en C. 6
Opdr 5. Algebra Gegeven de functie: N 3 cos( 3 ( t )) met domein: [0,0] a) Hoe ontstaat deze functie uit de standaard grafiek? Teken de grafiek b) Los op N>4. c) Bereken in decimalen de helling van de grafiek in het snijpunt met de y-as. d) Onderzoek met de GRM waar de grootste helling zit. Differentieëren heb je als onderwerp mogelijk nog (onvoldoende) gehad. Zonder bewijs deel ik je mede dat:. De afgeleide van sin(x) = cos(x). De afgeleide van cos(x) = - sin(x) 3. De afgeleide van sin(ax) = Acos(Ax) 4. De afgeleide van a + bcos(c(x+d)) moet zijn. -bcsin(c(x+d) Beantwoord nu vragen c en d nog eens, maar dan zonder GRM. Opdr 6. Algebra en afgeleiden Zoek de afgeleide van de functie: M 0 sin( 4 ( x 4)) en controleer of het maximum van M inderdaad een nulpunt van diens afgeleide is. 6. Maak de DT uit getal en Ruimte, deel B: pagina 76 en 77 (Wees wel wat selectief; alles doen kost veeeeeel tijd hè). 7. Maak de G.O. uit getal en Ruimte, deel B: pagina 96 tot 99 (Wees wel wat selectief; alles doen kost veeeeeel tijd hè). 7