Eindexamen vwo wiskunde B pilot 2013-I

Transcriptie

1 Eindeamen vwo wiskunde B ilot 0-I Beoordelingsmodel De vergelijking van ntoine maimumscore 4 44 log = 0, dus 0 4,46 T 5, Dit geeft = 4,46, dus T 5,5 = T 5,5 4,46 44 Hieruit volgt T = 5,5+ ( 9,) 4,46 Het antwoord: 9 (kelvin) maimumscore ls T toeneemt, neemt T 5,5 toe en (omdat T > 5,5 ) neemt 44 af T 5,5 44 Dan neemt 4,46 T 5,5 ls log P toeneemt, neemt ook P toe (dus de functie is stijgend) maimumscore 4, ,5 P = 0 T Beschrijven hoe de waarde van d P met de GR gevonden kan worden dt De gevraagde waarde van d P is 0,0 (bar/kelvin) dt 4, ,5 T P = ,46 T 5,5 dp 44 = 0 ln0 d T ( T 5,5) ( T = 9 invullen geeft) het antwoord 0,0 (bar/kelvin) - -

2 Eindeamen vwo wiskunde B ilot 0-I 4 maimumscore 4 44 log = 4, t + 7,5 5,5 44 Hieruit volgt log log750 = 4,46 t + 7,5 5,5 a = log ,46 dus de gevraagde waarde van a is 7,0 b = 7,5 5,5 dus de gevraagde waarde van b is 0 44 log(750 P) a T 7,5 b 44 log P a log750 T 7,5 b a log750 = 4,46 dus de gevraagde waarde van a is 7,0 7,5+ b = 5,5 dus de gevraagde waarde van b is 0 Vierkanten 5 maimumscore 4 De oervlakte van OETS is sin ( π ) = en ( ) 6 6 De oervlakte van OETS is (sin α+ cos α ) ( + sin αcosα) cos π = ( + ) = + ( + = + ) - -

3 Eindeamen vwo wiskunde B ilot 0-I 6 maimumscore 5 sin α GC = sin α+ cosα Lijn GC heeft vectorvoorstelling sin α+ cosα+ sin α = + t y sin α+ cosα Snijden met de y-as geeft sin α+ cosα+ + t ( sin α ) = 0 sin α+ cosα+ t = sin α+ (sin α+ cos α+ ) (sin α+ cos α ) OP = + t (sin α+ cos α ) = + sin α+ Driehoek GCR is gelijkvormig met driehoek GPQ PQ GQ Hieruit volgt = CR GR GR = sin α+, CR = sin α+ cosα en GQ = sin α+ cosα+ PQ sin α+ cosα+ Dit geeft =, wel sin α+ cosα sin α+ (sin α+ cosα )(sin α+ cosα+ ) PQ = sin α+ (sin α+ cos α+ ) (sin α+ cos α ) Dus OP = + PQ = + sin α+ 7 maimumscore 4 (sin α+ cosα )(sin α+ cosα+ ) = sin α+ cos α+ sin αcosα sin α+ cos α= dus sin αcosα= sin( α ) dus sin α+ cos α+ sin αcosα = sin αcosα sin( α) OP = + sin α+ 8 maimumscore 6 De hoogte van P is maimaal als OP maimaal is dop cos( α) (sin α+ ) sin( α) cosα = dα (sin α+ ) ls OP maimaal is dan geldt d OP = 0 dα Beschrijven hoe deze vergelijking ogelost kan worden (voor 0 <α< π) De gevraagde waarde van α is 0,67 (rad) - -

4 Eindeamen vwo wiskunde B ilot 0-I Halverwege 9 maimumscore 4 Noem de -coördinaat van P', dan is de -coördinaat van P De y-coördinaten van P' en P zijn gelijk, wel g( ) = f( ) Dit geeft Dus (omdat g( ) = e e = (e ) ) a = e De grafiek van g is het beeld van de grafiek van f na vermenigvuldiging ten ozichte van de y-as met factor Dus g= ( ) e Dus (omdat e = (e ) ) a = e 0 maimumscore 5 De grafiek van h ontstaat door de grafiek van f eerst omlaag te schuiven, dan te siegelen in de lijn y = en daarna omhoog te schuiven De grafiek van f omlaag schuiven geeft y = e Siegelen van de grafiek van y = e in de lijn y = geeft = e y = e geeft y = ln( + ) Dan omhoog schuiven geeft y = + ln( + ) (dus h ( ) = + ln( + ) ) Het siegelbeeld van de grafiek van f in de lijn y = is de grafiek van k ( ) = ln De grafiek van h ontstaat door de grafiek van k naar links en naar boven te verschuiven Dus h ( ) = + ln( + ) Het siegelbeeld van de grafiek van f in de lijn y = is de grafiek van k ( ) = ln Het siegelbeeld van de grafiek van f in de lijn y = + is de grafiek van h ( ) = a+ ln( + b) De verticale asymtoot van de grafiek van h is =, dus b = De grafiek van h gaat door (0, ), dus a (dus h) ( ln( ) ) y - 4 -

5 Eindeamen vwo wiskunde B ilot 0-I Rakende cirkel maimumscore 5 altijd toekennen * Noem PQ =. Dan geldt: ( B = en P = QB dus) P = Hieruit volgt Q = + De stelling van Pythagoras toeassen in driehoek QR geeft ( ) + + = Dit geeft = 0 Dan volgt 6 = ( = vervalt) (en dus 6 PQ = ) 5 5 maimumscore 6 altijd toekennen * In driehoek MT, waarbij T de loodrechte rojectie van M o B is, geldt M = r en MT = 6 + r 5 De stelling van Pythagoras toeassen in driehoek MT geeft 6 ( r) = + ( + r) r+ r = + + r+ r Dit geeft r = Het antwoord: r = 60 * Toelichting: De inhoud van deze vragen vertoont overeenkomst met de inhoud van vragen uit het voorbeeldmateriaal. Er is besloten om alle unten van deze vragen aan alle kandidaten toe te kennen omdat niet alle kandidaten o gelijke wijze van dit voorbeeldmateriaal gebruik hebben kunnen maken

6 Eindeamen vwo wiskunde B ilot 0-I Een eivorm maimumscore 4 Ogelost moet worden de vergelijking 87 = 0 Dit geeft = 0 87 = 0 ± 705 Uit 87 = 0 volgt = 4 Het antwoord 5,89 (cm) 4 maimumscore 4 De inhoud is 6 Een rimitieve van 5, is 87 π (87 )d De gevraagde inhoud is 6 (cm ) Omerking In laats van 5,9 mag ook een nauwkeuriger waarde van de bovengrens, bijvoorbeeld 5,89, genomen zijn. 5 maimumscore 4 Voor 0 t π geeft de arametervoorstelling de rechterhelft van een cirkel met middelunt (4, 0) en straal (cm) Voor t geeft de arametervoorstelling de linkerhelft van cirkel met middelunt (4, 0) en straal (cm) die horizontaal is uitgerekt met factor ten ozichte van de lijn 4 De lengte van het ei is + 4= 6 (cm) De breedte is 4 (cm) - 6 -

7 Eindeamen vwo wiskunde B ilot 0-I Driehoek bij een vierdegraadsfunctie 6 maimumscore 8 f '( ) = = 0 geeft = 0 = Hieruit volgt = Dus y = = O = B als y (: ( ) = + y = = geeft ( ) ( ) + = geeft ( ) ( ) ( ) ( ) y Dit herleiden tot + =, dus + = 4 ) = ( een gelijkwaardige uitdrukking) Het antwoord = f '( ) = = 0 geeft = 0 = Hieruit volgt = Dus y = = y Dus = Uit de symmetrie van de grafiek van f in de y-as volgt OB = O, dus vanwege O = B is driehoek OB gelijkzijdig y Dus = tan 60 = Het antwoord = - 7 -

8 Eindeamen vwo wiskunde B ilot 0-I Zwaarteunt 7 maimumscore 5 Het verdelen van het gebied in drie rechthoeken met gelijke oervlakte en in elk gebied de bijbehorende untmassa aangeven Het tekenen van drie vectoren u, v en w zoals bijvoorbeeld hieronder Voor elke vector is de wegingsfactor Het zwaarteunt is eindunt van de vector ( u + v + w ) Het tekenen van het zwaarteunt Z Het verdelen van het gebied in twee rechthoeken met gelijke oervlakte en in elk gebied de bijbehorende untmassa aangeven Het tekenen van twee vectoren u en v zoals hieronder aangegeven Voor elke vector is de wegingsfactor Het zwaarteunt is eindunt van de vector ( u + v ) Het tekenen van het zwaarteunt Z - 8 -

9 Eindeamen vwo wiskunde B ilot 0-I Het verdelen van het gebied in drie rechthoeken met verschillende oervlakte en in elk gebied de bijbehorende untmassa aangeven Het tekenen van drie vectoren u, v en w, bijvoorbeeld zoals hieronder Omdat de oervlaktes zich verhouden als : 4 : is het zwaarteunt eindunt van de vector 4 6u+ 6v+ 6w (= 6u+ v+ 6w ) Het tekenen van het zwaarteunt Z Verdelen van het gebied in drie rechthoeken met verschillende oervlakte en in elk gebied aangeven van de untmassa, zoals bijvoorbeeld hierboven Kiezen van een oorsrong en geven van de kentallen van de drie vectoren van deze oorsrong tot de untmassa s, bijvoorbeeld u =, v = 0 en w = Omdat de oervlaktes zich verhouden als : 4 : is het zwaarteunt 4 4 eindunt van de vector 6u+ 6v+ 6w= = 0 0 Het tekenen van het zwaarteunt Z - 9 -