Rony Keppens. Centre for Plasma Astrophysics, K.U.Leuven FOM-Institute for Plasma Physics Rijnhuizen Astronomical Institute, Utrecht University

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "Rony Keppens. Centre for Plasma Astrophysics, K.U.Leuven FOM-Institute for Plasma Physics Rijnhuizen Astronomical Institute, Utrecht University"

Janne van Doorn
7 jaren geleden
Aantal bezoeken:

1 De fysica van atoombom explosies Centre for Plasma Astrophysics, K.U.Leuven FOM-Institute for Plasma Physics Rijnhuizen Astronomical Institute, Utrecht University Februari in de voetsporen van Sir. Geoffrey Taylor...

Historiek I 1941: Brits wiskundige Geoffrey Taylor (1886-1975) analyseert hoe een schokgolf zich voortplant vanuit een puntvormige bron

2 Historiek I 1941: Brits wiskundige Geoffrey Taylor ( ) analyseert hoe een schokgolf zich voortplant vanuit een puntvormige bron formation of a blast wave by a very intense explosion uiterst gevoelige materie: interne communicatie van het Britse Civil Defense Research Committee

Historiek II in die jaren werd er gespeculeerd dat het mogelijk moest zijn om bommen te maken die een enorme hoeveelheid energie zouden vrijmaken via nucleaire splijtingsprocessen eerste atoombom via

3 Historiek II in die jaren werd er gespeculeerd dat het mogelijk moest zijn om bommen te maken die een enorme hoeveelheid energie zouden vrijmaken via nucleaire splijtingsprocessen eerste atoombom via dit principe kwam in 1945, de Trinity test explosie in New Mexico (met demonstraties in Japan die daarop volgden om de 2e wereldoorlog te beëindigen) gegevens rond die test waren lange tijd classified Taylor was lid van Britse delegatie in Manhattan project

Historiek III 1947: oorsponkelijke filmpjes en foto s van de test worden vrijgegeven voorspellingen van de eerdere analyse werden gebruikt om de energie van de explosie te kwantificeren (op dat

4 Historiek III 1947: oorsponkelijke filmpjes en foto s van de test worden vrijgegeven voorspellingen van de eerdere analyse werden gebruikt om de energie van de explosie te kwantificeren (op dat moment nog classified ) 1950: Taylor s resultaten gepubliceerd in 2 artikelen Proc. R. Soc. Lond. A 1950, 201, 159 (I: Theoretical discussion) Proc. R. Soc. Lond. A 1950, 201, 175 (II: The atomic explosion of 1945)

5 Opdracht I berekeningen van Taylor (nagenoeg gelijktijdig ook door Sedov) analyseerden de wetmatigheden voor samendrukbaar gas [cfr. cursus vloeistofdynamica] in termen van dichtheid ρ, snelheid v, en druk p (parameter γ verhouding van specifieke warmte, 1.4 voor lucht) behoud van massa ρ t + (vρ) = 0 behoud van impuls, te schrijven als (ρv) t behoud van energie ( ) ρv p (γ 1) t + (ρvv + pi) = 0 {( ) } v γp ρv (γ 1)ρ = 0

6 Opdracht II geschreven als behoudswet: partiële differentiaalvergelijkingen, impliciet verondersteld dat functies afleidbaar zijn schokgolf komt overeen met een discontinuë overgang Stap 1: vertrek van behoudswetten (1D), kom tot schokcondities [( v γp (γ 1)ρ [ρv] = s [ρ] [ ρv 2 + p ] = s [ρv] ) ] ρv = s [ ρv p ] γ 1 hierbij is [...] nu notatie voor de sprong in die grootheid over de schokpositie, die zelf zich voortplant met schoksnelheid s

7 Opdracht III analyseer deze Rankine-Hugoniot relaties in het meebewegend stelsel van de schok (waarin s = 0) en kom tot ρ 1 = v 2 = 2 + (γ 1)M2 1 ρ 2 v 1 (γ + 1)M1 2 p 2 = 2γM2 1 γ + 1 p 1 γ + 1 M 2 2 = 2 + (γ 1)M2 1 2γM 2 1 γ + 1 index 1 voor upstream, vóór de schokgolf uit index 2 voor downstream, na passage schokgolf dimensieloos Mach getal M i = medium γp i /ρ i v i γpi /ρ i met geluidssnelheid in elk

8 Opdracht IV deze algemeen geldende relaties voor schokovergangen in het stelsel van een stilstaande schok gaan we omvormen naar een stelsel waarin het upstream medium stilstaat een schokrelatie die opgaat voor sterke schokgolven d.w.z. waarvoor het Mach getal waarmee de schok zich in het upstream medium verplaatst supersoon is (M 1 1) als we de dichtheid, druk in upstream medium aangeven met ρ 0, p 0, en de schokpositie op tijd t met R(t), dan voeren we de transformatie uit via: downstream ρ p v upstream ρ 0. R(t) p 0 v=0 Galilean transform. R(t) downstream ρ p. v R(t) s=0 upstream ρ 0 p. 0 R(t)

9 Opdracht V Op het in de tijd toenemende interval r [0, R(t)] zoeken we nu een oplossing van het volledige stelsel van differentiaalvergelijkingen die self-similar is (zelfgelijkend) we gaan uit van een sferisch symmetrisch probleem, met als heersende vergelijkingen ρ t + 1 ( r 2 ) r 2 ρv r r = 0 v r t + v v r r r + 1 p ρ r = 0 pρ γ pρ γ + v r t r = 0 behoud van massa, impuls, energie, nu anders opgeschreven via vergelijkingen voor ρ(r, t), radiële snelheid v r (r, t) en entropie gerelateerde grootheid pρ γ

10 Opdracht VI Stap 2: reduceer die set van 3 partiële differentiaalvergelijkingen tot een set van 3 gewone differentiaalvergelijkingen, waarbij alle grootheden functie worden van één geschaalde veranderlijke ξ ρ(r, t) ρ( ξ) p(r, t) p( ξ) v r (r, t) v r ( ξ) gedachtegang van Taylor: na een eerste fase is de energie die uit de explosie vrijkomt overgedragen op een dunne laag opgezwiepte materie van de lucht waarin de expansie plaatsgrijpt in die fase is de oplossing eigenlijk beschreven via een continu verlopende functieset ρ( ξ), p( ξ), v r ( ξ), die voor elk tijdstip t analoog is in die nieuwe variable ξ(r, t)

11 Opdracht VII de variable ξ(r, t) moet dimensieloos zijn als energie van explosie E is, dichtheid van lucht waarin die plaatsgrijpt ρ 0, dan is ( ρ0 ) 1 5 ξ = r Et 2 je kan ook een andere grootheid introduceren η = r R(t) waarvoor de schokpositie op elk tijdstip t overeenkomt met η = 1 Stap 3: argumenteer vanuit behoud van energie dat schokpositie R(t) zal voldoen aan dr dt Ṙ(t) = 2R(t) 5t

12 Opdracht VIII de set van gewone differentiaalvergelijkingen heeft als randvoorwaarde op r = R(t) de relaties voor een sterke schokovergang, eerder afgeleid bijvoorbeeld in variable η geldt dan dat ρ = γ + 1 γ 1 ρ 0 ρ( η) p = 2ρ 0Ṙ2 γ + 1 p( η) v r = 2Ṙ γ + 1ṽr ( η) zodat ρ(1) = p(1) = ṽ r (1) = 1 opdracht: leidt al deze vergelijkingen af, kom tot een stelsel van gewone differentiaalvergelijkingen in de dimensieloze profielen ρ, p, ṽ r

13 Opdracht IX beschrijf het verband tussen η en ξ gebruik/vind de relaties ( ) t r ( ) r t ( ) = Ṙ R = 1 ( ) R η η R 2 η ( ) 5t η R

14 Opdracht X Taylor genereerde vervolgens een numerieke oplossing van de differentiaalvergelijkingen afhankelijk van jullie vorderingen in termen van het afleiden van alle belangrijke formules kan je hier ook voor kiezen (gebruik bvb Maple) een zuiver analytische oplossing is ook verkrijgbaar: zie Landau & Lifschitz, Fluid Mechanics (die werken met de variable ξ) ook benaderende uitdrukkingen zijn te verkrijgen idee van deze opdracht: nagaan hoe om te gaan met de wetten van Euler, toepassing op schokgolven gebruik de foto s van de explosie zoals Taylor: leidt de energie af vanuit je berekeningen (via R(t) t 2/5 )

15 Afspraken je bent welkom, als groep, om op jouw initiatief langs te komen aub even vooraf bureau op 4e verdiep, lokaal 04.35, tel begin tijdig aan het neerschrijven (als LaTeX document) van de belangrijkste formules en tussenresultaten uiteindelijke presentatie voor collega studenten: denk goed na over wat je gaat vertellen en wat niet (overleg met me mogelijk)

Vergelijkbare documenten

D h = d i. In deze opgave wordt de relatie tussen hoekmaat en afstand uitgerekend in een vlak expanderend heelal.

D h = d i. In deze opgave wordt de relatie tussen hoekmaat en afstand uitgerekend in een vlak expanderend heelal. 12 De hoekafstand In een vlak, statisch, niet expanderend heelal kan men voor een object met afmeting d op grote afstand D (zodat D d) de hoek i berekenen waaronder men het object aan de hemel ziet. Deze