Geometrische optica. Hoofdstuk Principe van Huygens. 1.2 Weerkaatsing van lichtgolven.

Transcriptie

1 Inhoudsopgave Geometrische optica Principe van Huygens Weerkaatsing van lichtgolven 3 Breking van lichtgolven 4 4 Totale weerkaatsing en lichtgeleiders 6 5 Breking van lichtstralen door een sferisch diopter 8 6 Breking van lichtstralen door een dunne lens 3 7 Dioptermodel voor het oog 7

2 Hoofdstuk Geometrische optica In dit hoofdstuk gebruiken we het beeld van lichtstralen om de beeldvorming bij de doorgang van licht door een grensoppervlak te bespreken We behandelen achtereenvolgens het principe van Huygens voor de voortplanting van golven, de breking en weerkaatsing aan een vlak oppervlak, de breking door een sferisch diopter, de breking door een lens en eenvoudig dioptermodel voor het oog Principe van Huygens Weerkaatsing van lichtgolven We volgen het verloop van een vlakke golf met snelheid c en periode T De golflengte is dan λ = ct In figuur schetsen we golffronten van deze vlakke golf De golffronten vallen in onder een hoek α met het grensvlak, en worden door dit scheidingsvlak weerkaatst We tekenen de golffronten zo dat het faseverschil van de trillingen van twee opeenvolgende golffronten gelijk is aan π De afstand tussen twee opeenvolgende golffronten is gelijk aan de golflengte λ In figuren tot 3 stellen we de posities van de golffronten op t = 0, t = T en t = T voor Het golffront maakt op t = 0 contact met het grensvlak in a Dit punt beschouwen we als puntvormige

3 3 λ a b c Figuur : Vlakke golffronten bewegen naar een oppervlak Het punt a van het golffront kan beschouwd worden als een puntvormige trillingsbron die een sferische golf uitstuurt Zie figuur 4 3 a b c Figuur : De golf die op moment t = 0 in a ontstond heeft zich uitgebreid tot een sferisch oppervlak met straal λ en het vlakke golffront maakt nu contact in b a b c Figuur 3: Vlakke golffronten schuiven verder naar en vlak golffront raakt nu in c De sferische golffront ontstaan in a en b zijn verder uitgebreid Het punt c van golffront kan beschouwd worden als een puntvormige trillingsbron die een sferische golf uitstuurt w i d e θ i θ w f a b c Figuur 4: i is een invallend golffront op t = 0 en w een weerkaatst golffront op t= T golffront maakt nu contact in b bron die een sferische golf uitzendt Op het moment t = T heeft dit sferisch golffront een straal λ en is het golffront ook een golflengte λ verplaatst zodat dit golffront het grensvlak raakt in b (figuur ) Dit punt wordt een puntvormige trillingsbron die een sferische golf uitstraalt Op t = T maakt golffront contact met het grensvlak in c, het golffront van b is een halve bol met straal λ en het golffront van a is een halve bol met straal λ Het raakvlak aan deze golffronten is het nieuwe golffront op t = T Dit is het weerkaatste golffront voorgesteld door w in figuur 4 In figuur 4 geven we de belangrijkste elementen van deze redenering weer i is het een invallend golffront, w het weerkaatste golffront Van de rechthoeki- 3

4 ge driehoeken fad en aec weten we het volgende : fa=ac=ab eb da=ae=λ Deze driehoeken zijn congruent en bijgevolg is θ w = θ i, de weerkaatste hoek gelijk aan de invalshoek We kunnen vlakke golffronten ook voorstellen met stralen Een straal staat loodrecht op het golffront en heeft dus de richting van de golfsnelheid Dan kunnen we de weerkaatsingswet formuleren in termen van de hoeken van de invallende en de weerkaatste straal met de normale op het grensvlak Dit is voorgesteld in figuur 5 Ook hier geldt weerkaatsingshoek is gelijk aan invalshoek : θ w = θ i n i w θ i θ w θ i θ w a Figuur 5: i is een invallende straal, loodrecht op een invallend golffront w een weerkaatste straal, loodrecht op een weerkaatst golffront θ i is de invalshoek, θ w is de weerkaatsingshoek: θ w = θ i 3 Breking van lichtgolven Om in te zien hoe de breking van een lichtgolf aan een oppervlak verloopt, maken we een analoge redenering De vlakke golf heeft in het medium voor het grensvlak een snelheid c In het medium achter dit grensvlak is de snelheid c De trillingsfrequentie f en de periode veranderen niet, zodat de golflengte in de twee middens verschillend is λ = c T en λ = c T () In figuren 6 tot 8 stellen we weer de posities van de golffronten op momenten t = 0, t = T en t = T voor Nu bestuderen we de golf die 4

5 3 λ c a b c c 4 3 λ c a b c c λ Figuur 6: Vlakke golffronten bewegen naar het scheidingsvlak tussen twee middens Het punt a waar het golffront het scheidingsvlak raakt kan beschouwd worden als een puntvormige trillingsbron die een sferische golf uitstuurt naar het tweede midden Zie figuur 7 Figuur 7: Het golffront dat op moment t = 0 in a ontstond heeft zich uitgebreid tot een sferisch oppervlak met straal λ en het vlakke golffront maakt nu contact in b 4 λ 3 c a b c c λ Figuur 8: Vlakke golffronten schuiven verder naar en vlak golffront raakt nu in c De sferische golffront ontstaan in a en b zijn verder uitgebreid Het punt c van golffront kan beschouwd worden als een puntvormige trillingsbron die een sferische golf uitstuurt nar het tweede midden Het nieuwe vlakke golffront raakt aan deze sferische golffronten i d c λ a θ c c λ θ e g Figuur 9: i is een invallend golffront op t = 0 en g het gebroken golffront in midden De brekingswet leiden we af uit driehoeken acd en ace doorloopt in het tweede medium De golffronten worden gebroken in het tweede medium Uit driehoeken acd en ace leiden we af dat sin θ = λ ac en sin θ = λ ac () 5

6 Zodat sin θ sin θ = λ λ = c c (3) De brekingsindex van een medium wordt gedefinieerd als de verhouding van de lichtsnelheid in vacuüm (c) tot de lichtsnelheid in het midden Voor middens en kunnen we dit als volgt neerschrijven : n = c c en n = c c (4) De lichtsnelheid in een transparant midden is kleiner dan de lichtsnelheid in vacuüm De brekingsindex is altijd groter dan één Voor vacuüm is de brekingsindex gelijk aan Dit is, in zeer goede benadering, ook de brekingsindex voor lucht Voor glas ligt de brekingsindex rond,5 Het verband tussen de invalshoek θ en de brekingshoek θ wordt dus gegeven door n sin θ = n sin θ (5) brekingswet : n sin θ = n sin θ We kunnen ook gebruik maken van stralen De hoek tussen de invallende straal en de normaal op het oppervlak is gelijk aan de hoek tussen het invallend golffront en het grensvlak Een gelijkaardige eigenschap geldt voor de gebroken straal De bovenvermelde brekingsformule geldt dus ook als θ de hoek tussen de invallende straal en de normaal is en θ de hoek tussen de gebroken straal en de normaal is 4 Totale weerkaatsing en lichtgeleiders Als een lichtgolf invalt op het grensvlak tussen twee middens zal een gedeelte van de zich voortplanten golf in het tweede midden en gebroken worden Een ander gedeelte van de lichtgolf wordt weerkaatst Hoeveel energie door het tweede midden gaat, wordt bepaald door de transparantie van dit midden De brekingsindex n is een eigenschap van een bepaalde stof Als de brekingsindex van een stof groter is dan die van een andere stof, zegt men dat het eerste stof optisch dichter is dan de tweede Als de brekingsindex van een stof kleiner is dan die van een andere stof, zegt men dat het eerste stof 6

7 n θ midden θ θ midden n θ Figuur 0: De brekingswet vergelijking (5) geeft het verband tussen θ, de hoek tussen de invallende straal en de normaal, en θ de hoek tussen de gebroken straal en de normaal optisch ijler is dan de tweede Bij de overgang van een lichtstraal van een optisch dicht naar een optisch ijler gebied, zal de brekingshoek groter zijn dan de invalshoek n sin θ = n sin θ en n < n θ > θ (6) We stellen enkele stralen voor in figuur Naarmate de invalshoek groter wordt, wordt ook de brekingshoek groter en nadert de waarde ervan naar π Als θ = π dan voldoet de invalshoek aan n sin θ = n sin π sin θ = n n (7) θ b = bgsin( n n ) wordt de Brewsterhoek genoemd Als de invalshoek groter is dan de Brewsterhoek, zal de invallende straal volledig weerkaatst worden (figuur ) Dit effect van totale weerkaatsing wordt benut in lichtgeleiders Als een lichtgeleider op optische vezel een grotere optische dichtheid heeft dan de omgeving, zal een lichtstraal die door de vezel gestuurd wordt, zodat de hoek met de normale groter is dan de Brewsterhoek, volledig weerkaatst worden aan de wand van de vezel Indien de vezel niet te sterk gekromd is, zal die gebroken straal ook weerkaatst worden De lichtstraal blijft in de vezel en kan een grote afstand doorlopen (figuur ) Deze glasfibers worden gebruikt in endoscopen, voor telecommunicatie, als lichtgeleiders voor laserstralen, in sfeerverlichting 7

8 θ θ θ b n n Figuur : De breking van een lichtstraal bij de overgang van een optisch dicht (links van de verticale lijn) naar een optisch ijler midden Als de brekingshoek θ gelijk is aan pi dan is de invalshoek θ de Brewsterhoek Voor invalshoeken groter dan of gelijk aan de Brewsterhoek wordt de straal volledig weerkaatst Figuur : Als de invalshoek groter is dan de Brewsterhoek, wordt de straal volledig weerkaatst Daardoor kan een lichtstraal via een dunne gekromde glasvezel een zigzag pad volgen en van het ene uiteinde van de vezel naar het andere geleid worden 5 Breking van lichtstralen door een sferisch diopter Een diopter is een gekromd scheidingsoppervlak tussen twee media, of twee gebieden met een verschillende brekingsindex We beperken deze bespreking tot een sferisch oppervlak of sferisch diopter Een reëel voorwerp is een verzameling van puntbronnen waaruit lichtstralen vertrekken De beeldvor- n n R O Figuur 3: Voorstelling van een sferisch diopter R is de kromtestraal van het diopter O is het kromtemiddelpunt van het diopter De rechte door het kromtemiddelpunt en een punt van het sferisch diopter is een optische as De pijl geeft de richting van de lichtstralen aan 8

9 P p n n R q O Q Figuur 4: Beeldvorming door een sferisch diopter Vanuit het punt P van het voorwerp vertrekt een lichtstraal Deze straal breekt aan het oppervlak De gebroken straal snijdt de optische as PO in Q, het beeldpunt van P p is de voorwerpafstand en q is de beeldafstand straal R > 0 middelpunt achter grensvlak R < 0 middelpunt voor grensvlak voorwerp p > 0 voorwerp voor grensvlak p < 0 voorwerp achter grensvlak beeld q > 0 beeld achter grensvlak q < 0 beeld voor grensvlak Tabel : Tekenafspraken voor de straal van het diopter, de voorwerpafstand en de beeldafstand ming door een sferisch diopter kunnen we als volgt uitwerken We tekenen een rechte door het punt O, het kromtemiddelpunt van de bolkap en een punt van de bolkap Dit is een optische as van het diopter De hoofdas is de optische as die door het miuddelpunt van de bolkap gaat Een lichtstraal vertrekt vanuit P, een punt van het voorwerp, en breekt aan het oppervlak De gebroken straal snijdt de hoofdas in Q, het beeldpunt Het beeld is perfect als bij elke puntbron slechts één beeldpunt overeenkomt p is de voorwerpafstand en q is de beeldafstand We maken gebruik van de brekingswet (5) om een verband te zoeken tussen de beeldafstand q en de voorwerpafstand p De afspraken voor het teken van elk van de grootheden van p, q en R worden weergegeven in tabel De richting van van invallende lichtstralen bepalen wat voor en achter het diopter is Als we in de richting van de invallende stralen kijken, is de straal positief als het oppervlak bol is en negatief als het oppervlak hol is De brekingsformule voor de straal die toekomt in het punt A van de bolkap is n sin θ = n sin θ (figuur 5) We beperken ons 9

10 P α p n n A θ θ d R V B q β O γ Q Figuur 5: Beeldvorming door een sferisch diopter tot stralen die dicht bij de hoofdas liggen Dit is de paraxiale benadering Dan zijn de hoeken α, β, γ, θ en θ heel klein We kunnen dan volgende benadering maken : sin θ θ en sin θ θ Daarmee kunnen we de brekingsformule herschrijven als In driehoeken PAB en AQO geldt respectievelijk Hiermee wordt vergelijking (8) n θ = n θ (8) θ = α + β β = θ + γ n (α + β) = n (β γ) of n α + n γ = (n n )β (9) Nu geldt in de paraxiale benadering dat p = P V P B, q = QV QB en R = V O BO omdat het stukje VB verwaarloosbaar klein is Voor kleine hoeken is bovendien: zodat α tanα = d P B d p β tanβ = d OB d R γ tanγ = d QB d q n p + n q = n n R (0) Dit is de diopterformule die voor de paraxiale benadering een verband legt tussen de voorwerpafstand p, de beeldafstand q en de straal R van het sferisch diopter We zullen deze formule gebruiken voor een eenvoudig model 0

11 om de beeldvorming door een ooglens te bespreken en om een uitdrukking voor het verband tussen beeldafstand en voorwerpafstand voor een dunne lens te bepalen Omdat we de paraxiale benadering toepassen, zullen we een diopter schematisch voorstellen door een vlak scheidingsvlak en het kromtemiddelpunt Een voorbeeld wordt gegeven in figuur 6 Samen met de brekingsindices is dit voldoende om beeldconstructies te maken n n P p R O q Q Figuur 6: Schematische voorstelling van een sferisch diopter Met enkele speciale stralen kunnen we eenvoudig de plaats van het beeld bepalen Als p =, dan zal de invallende straal evenwijdig zijn aan de hoofdas Het beeld wordt dan gevormd in het punt met q = n R n n We noemen dit het eerste brandpunt of eerste focus F De brandpuntafstand of eerste focusafstand is f f = n R n n () R n n De brandpuntafstand f kan zowel positief (voor > 0) als negatief zijn R (voor n n < 0) In het eerste geval is het grensvlak een convergerend diopter, in het tweede geval is het grensvlak een divergerend diopter Bij een convergerend diopter wordt de lichtstraal afgebogen naar de hoofdas en snijdt ze de hoofdas in het eerste brandpunt Bij een divergerend diopter wordt de lichtstraal weg van de hoofdas gebroken en snijdt het verlengde van de straal de hoofdas vóór het diopter Dit is voorgesteld in figuur 7 We definiëren het tweede brandpunt F als het punt waarvan het beeld op oneindig gevormd wordt : q = als p = f Uit vergelijking 0 volgt dat tweede focusafstand gelijk is aan f = n R n n ()

12 n n O f F n n F f O Figuur 7: Voorstelling van het eerste brandpunt Een convergerend (links) en een divergerend diopter (rechts) Dit tweede brandpunt wordt voorgesteld in figuur 8 voor een convergerend en en divergerend diopter De brandpuntsafstand f en f zijn niet gelijk, maar hebben voor een gegeven diopter hetzelfde teken Ze zijn beide positief voor een convergerend diopter en beide negatief voor een divergerend diopter Dit voorbeeld van een divergerend diopter is een illustratie van een virtueel voorwerp, een voorwerp dat achter het diopter staat Een diopter n n F f O n n 3 F f Figuur 8: Voorstelling van het tweede brandpunt Een convergerend (links) en een divergerend diopter (rechts) is volledig bepaald door de twee brandpunten en het kromtemiddelpunt We kunnen met deze speciale punten beelden construeren : een straal door het kromtemiddelpunt wordt niet gebroken Die stralen vallen immers loodrecht in op het diopter een straal die evenwijdig invalt, wordt door het eerste brandpunt gebroken een straal die door het tweede brandpunt gaat wordt zo door het diopter gebroken dat ze in het tweede medium evenwijdig met de hoofdas loopt In figuur 9 illustreren we met twee voorbeelden hoe we de beelden kunnen vinden In de linkse figuur zoeken we het beeld van een pijl P A Daartoe zoeken we het beeld van A De lichtstralen lopen van links naar rechts Een straal door A die evenwijdig met de hoofdas loopt, wordt gebroken door

13 het eerste brandpunt Een straal door A en het tweede brandpunt wordt door het diopter evenwijdig met de hoofdas gebroken Het snijpunt van de twee gebroken stralen is het beeldpunt A Het beeld van de pijl is de pijl QA Als controle kunnen we nog een straal door O tekenen Deze wordt niet gebroken, want ze staat loodrecht op het scheidingsoppervlak In figuur 9(links) is een convergerend diopter afgebeeld Straal valt evenwijdig in, en wordt gebroken door het eerste brandpunt Straal loopt door het tweede brandpunt en loopt na overgang in het tweede medium evenwijdig met de hoofdas Het snijpunt van beide stralen vormt het beeldpunt A in het tweede medium Figuur 9(rechts) geeft een voorbeeld van beeldvorming door een divergerend diopter Een straal door het punt A van het voorwerp die evenwijdig met de hoofdas invalt, breekt zo dat het verlengde ervan door het eerste brandpunt gaat Straal, waarvan het verlengde door het tweede brandpunt loopt, wordt evenwijdig aan de hoofdas gebroken Het snijpunt van beide stralen is weer het beeldpunt A We zouden de straal door O en het punt A kunnen tekenen Deze straal zal ook door A gaan Omdat het voorwerp achter het grensvlak staat, is p < 0 We spreken dan van een virtueel voorwerp A P n n F F O Q A n n A A F Q P O F Figuur 9: Beeldvorming met hoofdstralen voor een reëel voorwerp (links) en een virtueel voorwerp (rechts) Voor beide figuren lopen de lichtstralen van links naar rechts Het voorwerp is de pijl P A, het beeld de pijl QA 6 Breking van lichtstralen door een dunne lens Een lens is een transparant medium begrensd door twee diopters Een lichtstraal die vertrekt van een voorwerp wordt twee keer gebroken : eenmaal door het scheidingsvlak tussen het medium met brekingsindex n en de lens, met brekingsindex n, en een tweede keer door het grensvlak tussen lensma- 3

14 teriaal en het eerste medium (figuur 0 We bespreken de beeldvorming door een dunne lens, en stellen de lens schematisch voor als een opeenvolging van twee diopters We werken weerom met lichtstralen die dicht bij de hoofdas liggen We kunnen de diopters als nagenoeg vlak voorstellen In figuur (boven) vinden we een schematische weergave van dit deel van P p n n n 3 q Q Figuur 0: Beeldvorming door een lens De straal vanuit het voorwerp P breekt twee maal door de lens De gebroken straal snijdt de hoofdas in het beeldpunt Q p is de voorwerpafstand en q is de beeldafstand de lens F en F zijn de brandpunten van de eerste lens, F en F deze van de tweede lens De afstand tussen de lenzen is d Op het einde van deze redenering zullen we deze afstand verwaarloosbaar klein beschouwen tov de beeldafstand en de voorwerpafstand De beeldconstructie voor het eerste diopter wordt in het midden van deze figuur weergegeven Onderaan vinden we de beeldconstructie voor het tweede diopter Hierbij houden we voor ogen dat de stralen van links naar rechts lopen De formules die het verband tussen voorwerpafstand en beeldafstand geven zijn : n + n = n n p q R n + n = n n p q R R is de straal van het eerste diopter en R de straal van het tweede diopter De brekingsindices in de tweede formule zijn omgewisseld omdat we bij het tweede diopter gaan van een medium met brekingsindex n naar een midden met brekingsindex n Uit de figuren blijkt dat p = q + d p = q ( + d q ) 4

15 n n n F F F F d A n n P q F F Q p n n A F 3 q p Q P F Figuur : Beeldvorming door een lens Boven : voorstelling van de lens Midden : hoofdstralen voor een reëel voorwerp voor de breking aan het eerste diopter Onder : breking aan het tweede diopter Als de dikte van de lens zeer klein is in vergelijking met de beeldafstand, is d q verwaarloosbaar kunnen we schrijven : p = q We noemen de afstand van het voorwerp tov het eerste diopter p en de uiteindelijke beeldafstand q Hiermee kunnen we bovenstaande vergelijkingen voor de breking herschrijven als n p + n q = n n R 5

16 n + n q q = n n R Door deze vergelijkingen op te tellen bekomen we uiteindelijk de formule voor de breking door een lens : p + q = n n n ( R R ) (3) Deze vergelijking kunnen we in een eenvoudige vorm gieten door de brandpuntsafstand van een lens te definiëren Een voorwerp op oneindig heeft zijn beeld in het eerste brandpunt Of : een straal die evenwijdig an de hoofdas invalt op de lens zal gebroken worden door het eerste brandpunt Door p = te stellen in (3) vinden we voor het omgekeerde van de brandpuntsafstand f f = n n ( ) (4) n R R Dit is de formule van de lenzenmaker Hiermee wordt de beeldformule voor een lens p + q = (5) f Voor een lens kunnen we slechts één brandpuntsafstand definiëren De plaats van het voorwerp, waarvan het beeld op oneindig gevormd wordt is het tweede brandpunt; deze brandpuntsafstand is f Voor een convergerende lens is de brandpuntsafstand positief, voor een divergerend lens is de brandpuntsafstand negatief Voor een convergerende lens ligt het eerste brandpunt achter de lens, voor een divergerende lens ligt het eerst brandpunt voor de lens (figuur ) n n F F f n n f F F Figuur : Voorstelling van een convergerende (links) en een divergerende lens (rechts) met het eerste en tweede brandpunt We kunnen de plaats van het beeld door breking door een lens ook terugvinden met speciale stralen : 6

17 een straal door het optisch middelpunt (snijpunt van de hoofdas met de lens) wordt niet gebroken diopter een straal die evenwijdig invalt, wordt door het eerste brandpunt gebroken een straal die door het tweede brandpunt gaat wordt zo door de lens gebroken dat de gebroken straal evenwijdig met de hoofdas loopt We illustreren deze beeldvorming voor een convergerende lens in figuur 3 voorwerp 7 F F beeld Figuur 3: Beeld van een voorwerp door een convergerende lens 7 Dioptermodel voor het oog 7