HANDREIKING BIJ DE INSTAPTOETS

Transcriptie

1 HANDREIKING BIJ DE INSTAPTOETS SEPTEMBER 0 FACULTEIT EWI TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT

2 Inhoud Inleiding Aansluiting Voorbeeldtoets Oefenmateriaal Instaptoets Opfrissen van wiskundekennis Belangrijke data en roosters Voorbeeldtoets Verwijzingen Calculus Stewart Verwijzingen Basisboek wiskunde Verwijzingen Foundation Maths Digitaal oefenmateriaal Review of Algebra Uitwerkingen voorbeeldtoets Antwoorden voorbeeldtoets

3 Inleiding Aansluiting In het eerstejaars wiskunde-onderwijs (met name het analyse-onderwijs) wordt er vaak een beroep gedaan op voorkennis die je op school opgedaan hebt. Er zal wel eens wat weggezakt zijn en ook formules die je vroeger met je grafische rekenmachine uitvond heb je misschien niet paraat. Als je met een aantal veel voorkomende zaken niet handig en snel kunt omgaan (of zelfs geen idee hebt dat daar wel eens een formule voor zou kunnen zijn), dan heb je daar bij het analyse-onderwijs veel last van. Vergelijk het maar met een taal: als je Engels gaat studeren schiet het niet erg op als je de vervoegingen van to be iedere keer moet opzoeken. Je maakt het jezelf moeilijker dan nodig wanneer je een bepaalde hoeveelheid kennis en vaardigheden niet paraat hebt. Voorbeeldtoets Na de inleiding vind je een voorbeeldtoets met opgaven. Ze hebben betrekking op kennis en vaardigheden die in het eerstejaars analyse-onderwijs geregeld aan de orde komen. We hebben geprobeerd juist die dingen te vragen die veel voorkomen. We vragen je de opgaven te maken zonder een grafische rekenmachine te gebruiken. Ook hiervoor geldt: het schiet niet op als je een grafische rekenmachine voor de simpelste berekeningen nodig hebt. Oefenmateriaal De toets is in de eerste plaats letterlijk een test voor jezelf: wat kan en weet ik vlot, wat weet ik nog wel zo n beetje maar kost me moeite, en wat ben ik toch wel kwijt. Ons advies: als je merkt dat je bepaalde zaken niet meer weet of beheerst, doe daar dan wat aan. De antwoorden van de voorbeeldtoets staan achterin, inclusief uitwerkingen van de opgaven. Je kunt nu zelf zien wat je vlot beheerst en waar misschien nog (of weer?) wat gebreken zitten. Na de toets vind je ook suggesties voor oefenmateriaal (ook online) inclusief verwijzingen per opgave van de voorbeeldtoets. Je kunt die gebruiken door bij die onderdelen waar je moeite mee had de achterliggende theorie nog eens te bekijken en oefenopgaven te maken. Van een paar regels vermelden we dat het handig is die uit je hoofd te kennen. Het voor de hand liggende advies is natuurlijk om indien nodig daar snel wat aan te doen. Op blackboard is het oefenmateriaal te vinden onder het vak met code wi000. Instaptoets Afhankelijk van de studie die je volgt, krijg je tijdens een van de eerste collegeweken een instaptoets voorgelegd. De voorbeeldtoets uit deze hand out lijkt op zo n instaptoets. De opgaven zijn om praktische redenen in meerkeuzevorm gegoten. Bij die instaptoets krijg je een antwoordformulier, waarop je het (volgens jou) juiste alternatief moet aangeven, wederom zonder gebruik te maken van grafische rekenmachine. Op het antwoordformulier wordt ook gevraagd je studierichting en studienummer op te geven. Noteer op een kladblaadje welke alternatieven je hebt aangekruist, dan kun je later nog zien welke opgaven je goed en welke je fout had. Opfrissen van wiskundekennis Sommige faculteiten stellen het op enig moment met voldoende resultaat afleggen van een instaptoets als voorwaarde voor het toekennen van een cijfer voor het vak Analyse. Er zijn dan herkansingen in oktober en / of januari. Ook al heb je de instaptoets nog niet voldoende gemaakt, dan mag je natuurlijk gewoon meedoen met de tentamens van het vak Analyse. Het behaalde cijfer krijg je echter pas als je een instaptoets voldoende hebt gemaakt. Meer informatie over het opfrissen van wiskundekennis vind je op Blackboard onder vakcode wi000. (Voor ME is de vakcode wi00wbmt T). Belangrijke data en roosters Voor de eerste toets in september hoef je je niet aan te melden. Voor de herkansingen in oktober en januari wel. De data en roosters kun je het beste Blackboard (blackboard.tudelft.nl onder eerder genoemde vakcodes wi000 en wi00wbmt T) of je rooster in de gaten

4 Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Mekelweg 4, Delft Voorbeeldtoets Lees zorgvuldig onderstaande punten door Deze toets is bedoeld om een idee te krijgen van uw parate kennis en uw beheersing van enkele basisvaardigheden van de wiskunde op het huidige moment. Het gebruik van een rekenmachine of een formulekaart is niet toegestaan. De toets bestaat uit meerkeuzevragen. Bij iedere vraag is één van de vier mogelijkheden goed. De tijdsduur van de toets is één uur.. Een van de volgende beweringen is niet juist. Welke? a b c.. De uitdrukking a 5 a is gelijk aan + 5 d. a. 5 a b. 8 a c.. Welk van de volgende getallen is het grootst? 8 a d. 5 a 8 a. b. 4 c. 4. De uitdrukking a. a a + a + a 4 a 4 a b. is gelijk aan a a 4 c. 4 8 d. 5 6 a 4 a d. 4 a a 4 zie volgende pagina

5 5. De uitdrukking ( 7 ) ( + 7 ) is gelijk aan a. 0 b c. 4 d Hoeveel verschillende nulpunten heeft de functie f() 8 + 6? a. b. c. d De uitdrukking ln( e e ) ln( e) is gelijk aan a. e b. c. d Als ln(y) + ln(8), dan is y gelijk aan a. e b. 8 e c. 9. Als f() en g() +, dan is f(g()) gelijk aan 8 e d. e a. + b. ( + ) c. ( + ) d. + ( + ) 0. Gevraagd wordt om de volgende twee vergelijkingen op te lossen: () ln( ) 4, () (ln()) 4 Iemand lost deze vergelijkingen als volgt op: () ln( ) 4 ln() 4 ln() e () (ln()) 4 ln() e Welke uitspraak is waar? a. Alleen oplossing () is volledig c. Beide oplossingen zijn volledig b. Alleen oplossing () is volledig d. Geen van beide oplossingen is volledig.. De uitdrukking ln(e 5 e ) is gelijk aan a. b. 5 c. + ln(e ) d. ln(e ) zie volgende pagina

6 . Gegeven is de functie f() 0 log(). Het domein van de functie f bestaat uit die waarvoor geldt a. 0 < c. b. 0 < < d. én 0. De uitdrukking 7 49 log() is gelijk aan a. 7 log(9) b. c. 7 log( ) d Los de vergelijking op. De vergelijking heeft a. één oplossing. Er geldt dat >. c. één oplossing. Er geldt dat 0 < <. b. geen oplossingen d. twee oplossingen 5. Als h() f(g()), dan is h () gelijk aan a. f (g()) c. f (g()) + f(g ()) b. f (g()) g () d. f (g()) g() + f(g ()) g () 6. Als y + 8, dan kun je dy d schrijven als a. + 8 b. ( + 8) c. d. ( + 8) 7. Voor k > 0 is k k d te herleiden tot a. ln() b. ln( k) c. k log( k) d. 8. De integraal ( ) d is gelijk aan 8 9 k a. 4 ln4 () b. ln(8) c. 5 6 d. 8 zie volgende pagina

7 9. Gegeven is de functie f() sin(a ) + cos(a ) met a 0. De maimale waarde van deze functie is a. c. b. d. een waarde afhankelijk van a. 0. De functie f() cos ( ) sin ( ) heeft a. periode π c. periode π b. periode π d. een horizontale lijn als grafiek. De afgeleide van f() (cos() + sin()) is a. 0 c. sin () cos () b. cos () sin () d. sin() cos(). Een primitieve van f() cos() sin() is gelijk aan a. b. cos () c. sin () + cos () sin () d. 4 cos () sin () einde toets

8 Verwijzingen Calculus Early Trancendentals James Stewart, 7 E, Thomson Brooks/Cole, ISBN De theorie en oefenopgaven bij de onderwerpen van de voorbeeldtoets zijn terug te vinden in het boek van Stewart. Het hoofdstuk met de titel Review of Algebra vind je verderop in deze tekst. Hieronder een aantal verwijzingen naar dat hoofdstuk en ook andere hoofdstukken uit het boek. Eponenten (opgaven,, en 7 uit de voorbeeldtoets) In het hoofdstuk Review of Algebra staan onder het kopje Eponents de definities en de regels voor het rekenen met eponenten samengevat. Als je met deze opgaven moeilijkheden hebt, lees dat stukje dan nog eens door en oefen met een aantal opgaven uit de nummers 8-00 uit de Review of Algebra (antwoorden op de laatste bladzijdes van dat hoofdstuk). Breuken en haakjes (opgaven, 4, 5 en 9) In deze opgaven gaat het om optellen, aftrekken en vereenvoudigen van breuken. Daarbij komen ook zaken als het wegwerken van haakjes en het ontbinden in factoren aan de orde. Onder de kopjes Fractions en Factoring worden deze zaken in de Review samengevat. Lees dat zonodig door en oefen met opgaven uit de series 7-8 en Vergelijkingen en ongelijkheden (opgaven 6, en 4) In deze opgaven gaat het onder andere om tweedegraads en ook hogeregraads vergelijkingen. Tweedegraads vergelijkingen kom je heel veel tegen; die moet je echt vlot kunnen oplossen (zie ook de opgave 6-68 uit de Review. In de Review vind je ook de abcformule uitgelegd.) Ongelijkheden loste je misschien meestal met je grafische rekenmachine op. Het is wel handig als je heel eenvoudige ongelijkheden ook zonder dat hulpmiddel kunt oplossen, bijvoorbeeld met een tekenoverzicht of een simpel schetsje. In Appendi A van het boek van Stewart vind je onder Inequalities het een en ander over ongelijkheden, met bij opgaven -8 heel wat oefenmateriaal. In de toets vragen we nauwelijks iets over absolute waarde. Als je niet meer weet wat dat is, lees dan nog eens het stukje uit dezelfde appendi onder Absolute Value door. Voor derdegraads vergelijkingen bestaat ook een algemene oplosmethode, maar die hoef je niet te kennen. Wel word je geacht zoiets simpels als de buiten haakjes halen zelf te zien. Wortels (opgaven,, 5, 7, en 4) Wat in het Nederlands wortels genoemd wordt, heet in het Engels Radicals (radi is Latijn voor wortel). In de Review staat ook een kopje Radicals en daaronder vind je de theorie over het werken met wortels. Opgaven staan aan het eind, bijvoorbeeld Logaritmen en e-machten (opgaven 7, 8, 0, en ) Deze opgaven draaien om eigenschappen van eponenten, e-machten en logaritmen. Elementaire eigenschappen van eponenten zijn in de Review samengevat onder Eponents. Definities en eigenschappen van eponentiële en logaritmische functies vind je in Stewart in de paragrafen.5 en.6 onder de kopjes Logarithmic Functions en Natural Logarithms. Heb je hier moeite mee, lees dan vooral de theorie nog eens goed door. Geschikte opgaven zijn uit paragraaf.6 de nummers 5-4 en Voorbeelden en opgaven hierover kun je ook vinden in de Review onder Eponents. Oefen eventueel met de opgaven Differentiëren (opgaven 5, 6 en ) Bij deze differentieeropgaven gaat het om een paar dingen. We gaan er toch wel van uit dat je een paar standaardafgeleiden uit je hoofd kent: van n, ook met n negatief of gebroken, ep(), ln(), sin(), cos() en tan(). Verder verwachten we dat je de rekenregels voor som, verschil, product en quotiënt kent. En tot slot duikt nu eenmaal vaak de kettingregel op, ook die moet je kennen, anders blijf je voortdurend hinderlijke fouten maken. De theorie van de afgeleides wordt behandeld in de paragrafen.7 en.8 van Stewart. De rekenregels staan in.,. en.4. Een collectie oefenopgaven waarin alle regeltjes gecombineerd worden vind je in.4 bij de nummers 7-4. Over het opstellen van een vergelijking van de raaklijn aan een

9 grafiek in een punt vind je meer in Stewart paragraaf.7, voorbeeld (raaklijn is tangeant in het Engels) en in opgaven 5-0 van.7. Integreren (opgaven 7, 8 en ) In de analysecursus komen wat verdergaande technieken van integreren uitgebreid aan bod. Hier gaat het om eenvoudige functies die direct met de basisregels geprimitiveerd kunnen worden. Ook hier geldt dat we er wel van uit kunnen gaan dat je een aantaal standaardfuncties ( n, ep(), sin(), cos()) en de meest eenvoudige samenstellingen daarvan uit het hoofd kunt primitiveren. Oefenmateriaal met heel elementaire integralen is te vinden in Stewart paragraaf 5.4, bijvoorbeeld de opgaven 5-9, -6 en 9-. Goniometrie (opgaven 9, 0, en ) Bij goniometrie wordt nogal veel gebruik gemaakt van formules, goniometrische identiteiten genaamd, waarmee de ene uitdrukking wordt overgevoerd in een andere. Het formuleblad van school geeft er een groot aantal van en wij verlangen niet dat je die allemaal uit je hoofd kent. Een aantal komt echter zo vaak voor, dat het bijna geen doen is als je die iedere keer moet opzoeken. Het gaat dan met name om de regels voor sin(-), cos(-) en tan(-) en sin(π /-) en cos(π /-). Deze regels en ook wat er gebeurt als je bij het argument van de sinus en de cosinus π optelt of ervan aftrekt, zijn bovendien makkelijk te bedenken als je even de grafiek van de betreffende functie schetst of aan de manier denkt waarop ze in de eenheidscirkel zijn gedefinieerd. De dubbele- hoekformules sin() en cos() zijn minder simpel te bedenken, maar worden ook erg vaak toegepast. We adviseren ze gewoon maar uit het hoofd te leren voor zover je dat nog niet gedaan had. De definities en de vele eigenschappen van goniometrische functies en hun grafieken vind je in Appendi D van Stewart. Het heeft hierbij niet zoveel zin nog weer sommetjes te gaan maken. Wel is het heel nuttig om met behulp van de eenheidscirkel en/of de grafiek eenvoudige identiteiten na te gaan. En we raden je dringend aan de standaardwaarden van de sinus en de cosiuns voor 0, π /6, π /4, π / en π / gewoon paraat te hebben. Die kom je eindeloos veel tegen.

10 Verwijzingen Basisboek wiskunde Jan van de Craats en Rob Bosch, tweede editie, Pearson Education, ISBN Een belangrijke bron van uitleg en oefenmateriaal is ook het Basisboek Wiskunde van Jan van de Craats en Rob Bosch. Stukken uit dat boek zijn ook te vinden op de site van de auteur opgave staat hieronder aangegeven waar relevante theorie te vinden is in het Basisboek. De bijbehorende opgaven zijn in het boek telkens op de bladzijde naast de theorie te vinden. Voor een toelichting over welke aspecten van de diverse onderwerpen belangrijk zijn verwijzen we naar de opmerkingen bij de verwijzingen naar het boek Calculus van Stewart hierboven. Opgave uit voorbeeldtoets Bladzijde uit Basisboek Wiskunde ( e editie) 7,, 7 5, ,, ,4 59, 6 59, ,, , , , 45 45, 79 79

11 Verwijzingen Foundation Maths Anthony Croft and Robert Davison, fourth ed., Pearson Prentice Hall, ISBN Een Engelstalig boek dat geschikt is om bijbehorende stof uit te bestuderen is Foundation Maths. Per opgave staat hieronder aangegeven in welk hoofdstuk relevante theorie te vinden is in het boek. Voor een toelichting over welke aspecten van de diverse onderwerpen belangrijk zijn verwijzen we naar de opmerkingen bij de verwijzingen naar het boek Calculus van Stewart hierboven. Opgave uit voorbeeldtoets Hoofdstuk uit Foundation Maths (fourth ed.), , , 0 9, 0 7, niet in dit boek, zie Stewart 6 niet in dit boek, zie Stewart 7 0, , 9

12 Digitaal oefenmateriaal Online oefenen met Maple TA Via een knop in het Course Menu van het opfristraject wi000 of wi00wbmt T op blackboard zijn online oefenvragen beschikbaar. Niet alle onderwerpen zijn relevant voor de instaptoets. De vragen zijn gerangschikt op basis van de hoofdstuk indeling van het Basisboek Wiskunde. Het maken van de vragen gebeurt met behulp van Maple TA. Het systeem levert ook hints en oplossingen. De vorderingen worden bijgehouden en zijn te raadplegen door de docent. Toetsbank analyse Een andere opgavenverzameling is te vinden in de toetsbank analyse die te vinden is op de blackboardsite van de TU onder Courses, nummer 0000.

13 Review of Algebra

14 REVIEW OF ALGEBRA Review of Algebra Here we review the basic rules and procedures of algebra that you need to know in order to be successful in calculus. Arithmetic Operations The real numbers have the following properties: a b b a ab ba a b c a b c a b c ab ac ab c a bc (Commutative Law) (Associative Law) (Distributive law) In particular, putting a in the Distributive Law, we get b c b c b c and so b c b c EXAMPLE (a) (b) (c) y 4 4 y y t 7 t 4t 4t t If we use the Distributive Law three times, we get a b c d a b c a b d ac bc ad bd This says that we multiply two factors by multiplying each term in one factor by each term in the other factor and adding the products. Schematically, we have a b c d In the case where c a and d b, we have or a b a ba ab b a b a ab b Similarly, we obtain a b a ab b

15 REVIEW OF ALGEBRA EXAMPLE (a) (b) (c) Fractions To add two fractions with the same denominator, we use the Distributive Law: Thus, it is true that a b c b b a b c a c a c b b a c b a b c b But remember to avoid the following common error: a b c a b a c (For instance, take a b c to see the error.) To add two fractions with different denominators, we use a common denominator: a b c ad bc d bd We multiply such fractions as follows: a b c ac d bd In particular, it is true that a b a b a b To divide two fractions, we invert and multiply: a b c d a b d c ad bc

16 4 REVIEW OF ALGEBRA EXAMPLE (a) (b) (c) (d) y y 6 6 s t u ut s t u u s t y y y y y y y y y y y y Factoring We have used the Distributive Law to epand certain algebraic epressions. We sometimes need to reverse this process (again using the Distributive Law) by factoring an epression as a product of simpler ones. The easiest situation occurs when the epression has a common factor as follows: Epanding (-)@-6 Factoring To factor a quadratic of the form b c we note that r s r s rs so we need to choose numbers r and s so that r s b and rs c. EXAMPLE 4 Factor 5 4. SOLUTION The two integers that add to give 5 and multiply to give 4 are and 8. Therefore EXAMPLE 5 Factor 7 4. SOLUTION Even though the coefficient of is not, we can still look for factors of the form r and s, where rs 4. Eperimentation reveals that Some special quadratics can be factored by using Equations or (from right to left) or by using the formula for a difference of squares: a b a b a b

17 REVIEW OF ALGEBRA 5 The analogous formula for a difference of cubes is 4 a b a b a ab b which you can verify by epanding the right side. For a sum of cubes we have 5 a b a b a ab b EXAMPLE 6 (a) 6 9 (Equation ; a, b ) (b) (Equation ; a, b 5) (c) 8 4 (Equation 5; a, b ) 6 EXAMPLE 7 Simplify. 8 SOLUTION Factoring numerator and denominator, we have To factor polynomials of degree or more, we sometimes use the following fact. 6 The Factor Theorem If P is a polynomial and P b 0, then b is a factor of P. EXAMPLE 8 Factor 0 4. SOLUTION Let P 0 4. If P b 0, where b is an integer, then b is a factor of 4. Thus, the possibilities for b are,,, 4, 6, 8,, and 4. We find that P, P 0, P 0. By the Factor Theorem, is a factor. Instead of substituting further, we use long division as follows: Therefore Completing the Square Completing the square is a useful technique for graphing parabolas or integrating rational functions. Completing the square means rewriting a quadratic a b c

18 6 REVIEW OF ALGEBRA in the form a p q and can be accomplished by:. Factoring the number a from the terms involving.. Adding and subtracting the square of half the coefficient of. In general, we have a b c a b a c a b a a b a b a c 4a b a b c EXAMPLE 9 Rewrite by completing the square. SOLUTION The square of half the coefficient of is. Thus 4 4 ( ) 4 EXAMPLE Quadratic Formula By completing the square as above we can obtain the following formula for the roots of a quadratic equation. 7 The Quadratic Formula are The roots of the quadratic equation a b c 0 b sb 4ac a EXAMPLE Solve the equation 5 0. SOLUTION With a 5, b, c, the quadratic formula gives the solutions s s69 0 The quantity b 4ac that appears in the quadratic formula is called the discriminant. There are three possibilities:. If b 4ac 0, the equation has two real roots.. If b 4ac 0, the roots are equal.. If b 4ac 0, the equation has no real root. (The roots are comple.)

19 REVIEW OF ALGEBRA 7 These three cases correspond to the fact that the number of times the parabola y a b c crosses the -ais is,, or 0 (see Figure ). In case () the quadratic a b c can t be factored and is called irreducible. y y y FIGURE Possible graphs of ya@+b+c (a) b@-4ac>0 (b) b@-4ac0 (c) b@-4ac<0 EXAMPLE The quadratic is irreducible because its discriminant is negative: b 4ac Therefore, it is impossible to factor. The Binomial Theorem Recall the binomial epression from Equation : a b a ab b If we multiply both sides by a b and simplify, we get the binomial epansion 8 a b a a b ab b Repeating this procedure, we get a b 4 a 4 4a b 6a b 4ab b 4 In general, we have the following formula. 9 The Binomial Theorem If k is a positive integer, then a b k a k ka k b k k k k k a k b a k b k k k n n a k n b n kab k b k

20 8 REVIEW OF ALGEBRA EXAMPLE Epand 5. SOLUTION Using the Binomial Theorem with a, b, k 5, we have Radicals The most commonly occurring radicals are square roots. The symbol s means the positive square root of. Thus sa means a and 0 Since a 0, the symbol sa makes sense only when a 0. Here are two rules for working with square roots: 0 sab sa sb a sa b sb However, there is no similar rule for the square root of a sum. In fact, you should remember to avoid the following common error: sa b sa sb (For instance, take a 9 and b 6 to see the error.) EXAMPLE 4 s8 (a) s 8 s9 (b) s y s sy sy Notice that s because s indicates the positive square root. (See Appendi A.) In general, if n is a positive integer, s n a means n a If n is even, then a 0 and 0. Thus s 8 because 8, but s 4 8 and s 6 8 are not defined. The following rules are valid: a s n a s n ab s n a s n n b b s n b EXAMPLE 5 s 4 s s s s

21 REVIEW OF ALGEBRA 9 To rationalize a numerator or denominator that contains an epression such as sa sb, we multiply both the numerator and the denominator by the conjugate radical sa sb. Then we can take advantage of the formula for a difference of squares: (sa sb)(sa sb) (sa) (sb) a b s 4 EXAMPLE 6 Rationalize the numerator in the epression. SOLUTION We multiply the numerator and the denominator by the conjugate radical s 4 : s 4 s 4 s s 4 (s 4 ) (s 4 ) s 4 Eponents Let a be any positive number and let n be a positive integer. Then, by definition,. a n a a a.. a 0 a n a n n factors 4. a n s n a a m n s n a m (s n a) m m is any integer Laws of Eponents Let a and b be positive numbers and let r and s be any rational numbers (that is, ratios of integers). Then r s. a r a s a r s. a. 4. ab r a r b r 5. a r a s b a r a r b b 0 r a r s a rs In words, these five laws can be stated as follows:. To multiply two powers of the same number, we add the eponents.. To divide two powers of the same number, we subtract the eponents.. To raise a power to a new power, we multiply the eponents. 4. To raise a product to a power, we raise each factor to the power. 5. To raise a quotient to a power, we raise both numerator and denominator to the power.

22 0 REVIEW OF ALGEBRA EXAMPLE 7 (a) (b) (c) (d) y y 4 s4 s64 8 s z (e) y y y y y y y y y y 8 4 z 4 y y y y y y Alternative solution: 7 y 5 z 4 y y y y 4 (s4) 8 Eercises A Click here for answers. 6 Epand and simplify.. 6ab 0.5ac. y y a t 4 t t t y 4 6 y 5 y t 5 t 8t Perform the indicated operations and simplify. 8 9b b u u. u y. 4. z 5. r s 6. s 6t a ab 4 b y z a bc b ac c c 9 48 Factor the epression ab 8abc t 40. 4t 9s 4. 4t t Simplify the epression

23 REVIEW OF ALGEBRA Complete the square Solve the equation Which of the quadratics are irreducible? Use the Binomial Theorem to epand the epression. 7. a b a b Simplify the radicals. s s s s s 54 s sy s y 8. s6a 4 b 8. s 5 96a 6 s 5 a 8 00 Use the Laws of Eponents to rewrite and simplify the epression a n a n a b 4 y 88. a 5 b 5 y y y z s 5 y (sa) s (st) 5 s 4 t sst 4 s Rationalize the epression. s s s5 07. s s s 09 6 State whether or not the equation is true for all values of the variable. 09. s 0. 6 a. a y y a 6 4 4a a n s 4 r n s 4 r ( s) s h s h h s sy s 4 y y 4

24 ANSWERS Answers. a bc. y a t t y 4 y 5 y t 56t b 9. 7 u u u. b ab 4a z rs a b yz y t 6. a c b c ab 5 8c t t t 40. t s t s 4. t ( 5 ) ( ) , 0 6., 4 9 s s s s5 67., 4 68., s 69. Irreducible 70. Not irreducible 7. Not irreducible (two real roots) 7. Irreducible a 6 6a 5 b 5a 4 b 0a b 5a b 4 6ab 5 b 6 a 7 7a 6 b a 5 b 5a 4 b 5a b 4 a b 5 7ab 6 b y 8. 4a bsb 8. a a n 87. a y b y s s s y 6 y y 9 5 z 6 t r n s 4 s s 8 s s sy y a 4 t 5 s h s h s s 4 s s 09. False 0. False. True. False. False 4. False 5. False 6. True 56 5 s 6 8

25 Uitwerkingen voorbeeldtoets. Een van de volgende beweringen is niet juist. Welke? 5 A. 40 () B. (64) 6 C. 5 + D. 5 A () 6 4 B. (64) ( ) 6 C D. Antwoord: C. De uitdrukking: a 5 a is gelijk aan A. B. C. D. 5 8 a a 8 a 5 8 a. Welk van de volgende getallen is het grootst? A. B. 4 C. 4 8 D a a a a a a a Antwoord: D. ( ) ( ) ( ) 6 6 Antwoord:D

26 4. a a De uitdrukking + a + a A. 4a 4 a B. a a 4 C. a 4 a D. 4a a 4 is gelijk aan: a a + a + a a( + a) a( a) + ( a)( + a) ( + a)( a) a+ a + a a 4a 4 a 4 a Antwoord:A 5. De uitdrukking gelijk aan ( 7) ( + 7) is A. 0 B C. 4 D Hoeveel verschillende nulpunten heeft de functie f ( ) 8 + 6? A. B. C. D. 0 ( 7) ( + 7) 7+ 7 (+ 7+ 7) 4 Antwoord:D ( 8+ 6) 0 ( 4) Antwoord:B 7. ln( e e) De uitdrukking A. e B. C. D. 4 ln ( e ) is gelijk aan ln ( e e) ln ( e ) e ln ee ln e ln e ln e ln e ln e ln e ln Antwoord:C

27 8. Als ln( y) + ln(8), dan is y gelijk aan A. y e B. y 8e C. y D. y e 8 e y y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ln( y) + ln(8) ln( y ) ln8 ln 8 8 y 8e y e y e e e Antwoord: D 9. Als f ( ) en g( ) + dan is f( g( )) A. + B. ( + ) C. ( + ) D. + ( + ) 0. Gevraagd wordt om de volgende twee vergelijkingen op te lossen () ln( ) 4 () (ln( )) 4. Iemand lost deze vergelijkingen als volgt op: () ln( ) 4 ln( ) 4 ln( ) e () (ln( )) 4 ln( ) e A. Alleen oplossing () is volledig B. Alleen oplossing () is volledig C. Beide oplossingen zijn volledig D. Geen van beide oplossingen is volledig. De uitdrukking 5 ln( e e ) is gelijk aan A. B. 5 C. + ln( e ) D. ln( e ) Als f ( ) en g( ) + dan is f( g( )) ( + ) Antwoord:B () ln( ) 4 ln( ) 4 ln( ) e e e () (ln( )) 4 ln( ) ln( ) e e Antwoord:D 5 ln( e e ) ln( e ( e )) ln( e ) + ln( e ) + ln( e ) Antwoord:C

28 . Gegeven is de functie f( ) 0 log( ) Het domein van de functie f bestaat uit die waarvoor geldt A. 0 < B. 0 < < C. D. - en 0 bestaat als ( ) 0 0 log( ) bestaat als > 0 De breuk bestaat als 0 log( ) 0 Dus de uitdrukking bestaat als 0< < Antwoord: B. De uitdrukking 49 log() 7 is gelijk aan A. 7 log(9) B. C. 7 log ( ) D log() 49 log() ( log() ) ( ) log() ( log() ) 49 Antwoord: B 4. Los de vergelijking op. De vergelijking heeft A. één oplossing. Er geldt dat > B. geen oplossingen C. één oplossing. Er geldt dat 0< < D. twee oplossingen (+ ) en en (voldoet niet) 6 6 Antwoord: C 5. Als h ( ) f( g ( )) dan is h ( ) gelijk aan Dit moet volgens de kettingregel A. f ( g( )) Noem g()u df du B. f ( g( )) g ( ) h ( ) f ( u) u ( ) f ( g( )) g ( du d C. f ( g( )) + f( g ( )) D. f ( g ( )) g ( ) + f( g ( )) g ( ) Antwoord:B

29 6. Als y + 8 dan kun je dy schrijven als d A. + 8 B. ( + 8) C. D. ( + 8). y + 8 ( + 8) Differentieren met de kettingregel; dy ( + 8) d ( ) + 8 ( + 8) Antwoord: B k Voor k>0 is d te herleiden tot ( ) A. ln B. ln( k) k C. log( k) 8 D. 9 k De integraal A. ln () B. ln(8) C. D. k d is gelijk aan k k k d [ ln ] k k ln( k) ln k ln ln k Antwoord: A ( ) d d 8 8 Antwoord:D 9. Gegeven is de functie f ( ) sin( a) + cos( a) met a 0. De maimale waarde van deze functie is: A. B. C. D. afhankelijk van a Eerste manier redeneren vanuit standaardgrafieken.de variabele a verandert alleen de periode, niet het maimum. Schets de grafieken van sin() en cos() en van de som. Je ziet dan dat het maimum groter is dan en op een kwart van de periode ligt. Dus maimum is Tweede manier met de afgeleide: f ( ) acos( a) asin( a) f ( ) 0 als acos( a) asin( a) 0 acos( a) asin( a) a π het ma is 4

30 0. De functie ( ) cos ( ) sin f ( ) heeft A. periode π B. periode π. C. periode π Derde manier met een formule f ( ) sin( a) + cos( a) sin( a) + sin( π sin ( a + a)cos ( a ( π a)) a a sin π cos( π) cos( π) dus het maimum is Antwoord: C D. een horizontale lijn als grafiek Antwoord:A Volgens een goniometrische formule geldt: cos ( ) sin ( ) cos Dus de periode is π π. De afgeleide van f ( ) (cos( ) + sin( )) is A. 0 B. cos ( ) sin ( ) C. sin ( ) cos ( ) D. sin( )cos( ). Een primitieve van de functie f ( ) cos( )sin( ) is gelijk aan A. B. C. cos ( ) sin ( ) sin ( ) + cos Eerste manier f ( ) (cos( ) + sin( )) ( sin( ) + cos( )) (cos ( ) sin ( )) cos ( ) sin ( ) Tweede manier f( ) (cos( ) + sin( )) cos ( ) + sin cos + sin ( ) + sin( ) f ( ) cos( ) (cos sin ) Derde manier f( ) (cos( ) + sin( )) cos ( ) + sin cos + sin ( ) + sin cos ) produktregel f ( ) cos cos + sin ( cos ) (cos sin ) Antwoord:B Eerste manier f ( ) cos( )sin( ) sin( ) Dus een primitieve is:

31 D. 4 cos ( )sin ( ) 4 cos( ) + c 4 ( sin ( )) + c sin ( ) + k Neem k0 Tweede manier Differentieer de alternatieven f( ) sin ( ) f ( ) sin( ) cos sincos Antwoord: B

32 Antwoorden voorbeeldtoets Opgave uit voorbeeldtoets Antwoord C D D 4 A 5 D 6 B 7 C 8 D 9 B 0 D C B B 4 C 5 B 6 B 7 A 8 D 9 C 0 A B B