a) 900; b) 0,9; c) 90; d) 10 9 ; e) ; d) a 3 10 ; 2x + 1 ; d) 1 2x 1 ; 1 e) x + 1 ; f) 1 x ; g) x x + 1 ; h) x 2 x 2 1 ; e) 2x + 2 ; d) x 2

Transcriptie

1 Introductie Zelftest Hieronder volgen 0 kleine opgaven. Ze hebben betrekking op kennis en vaardigheden die in het eerstejaars analyse-onderwijs regelmatig aan de orde komen. Alle opgaven kunnen in principe met de kennis van school gemaakt worden, al zal er wel eens wat weggezakt zijn. Ook wordt er op de ene school nu eenmaal meer aandacht aan sommige zaken besteed dan op andere. We hebben geprobeerd juist die dingen te vragen die veel van pas komen. Van sommige kennisvraagjes zal je geneigd zijn te zeggen dat dat wel op de formulekaart staat. Ook al is dat ook zo, toch heb je er bij het analyseonderwijs veel last van als je een aantal veel voorkomende zaken niet paraat hebt (of zelfs geen idee hebt dat daar wel eens een formule voor zou kunnen zijn). Vergelijk het maar met een taal: als je Engels gaat studeren schiet het niet erg op als je de vervoeging van to be iedere keer moet opzoeken. Ook bij wiskunde maak je het jezelf moeilijker dan nodig als je niet een beperkte hoeveel kennis en vaardigheden paraat hebt. Deze zelftest geeft daar een beeld van. We vragen je daarom ook de opgaven te maken zonder de grafische rekenmachine te gebruiken. Niet omdat die bij het analyseonderwijs verboden zou zijn, want behalve bij multiple-choice toetsjes mag die gewoon gebruikt worden. Maar ook hiervoor geldt: het schiet gewoon niet op als je de GR ook voor de simpelste dingen nodig hebt. Deze zelftest is dus in de eerste plaats letterlijk een test voor je zelf: wat kan en weet ik vlot, wat weet ik nog wel zo n beetje maar kost me moeite, en wat ben ik toch wel aardig kwijt. Ons advies is: als je merkt dat je echt dingen niet meer weet of beheerst, doe daar dan wat aan. Om je daarbij behulpzaam te zijn krijg je na afloop van deze toets niet alleen de antwoorden, maar ook per opgave suggesties voor uitleg en oefenmateriaal. Wat je daar mee doet, en wanneer je dat doet, is aan je zelf. De opgaven zijn om praktische redenen in meerkeuzevorm gegoten. Je krijgt een antwoordvel, waarop je het (volgens jou) juiste alternatief moet aangeven. Op dat antwoordvel wordt ook gevraagd je studierichting aan te geven. Verder is de toets anoniem. Noteer op een kladblaadje welke alternatieven je hebt aangekruist, dan kun je straks zien wat je goed of fout had. Deze toets wordt bij bijna alle opleidingen aan de TU afgenomen en de antwoordvellen wordt automatisch verwerkt. Daardoor kunnen we straks voor de TU als geheel, maar ook per opleiding, zien waar eventueel opvallende problemen zitten. Die gegevens gaan naar de docenten met het verzoek om daar zonodig en zo mogelijk wat mee te doen.

2 Opgaven Zelftest. 0 is gelijk aan (3) a) 900; b) 0,9; c) 90; d) 0 9 ; e) 0 0 ; f) 90; g) ; h) a 3 5 a is gelijk aan a) a 6 5 ; b) a 6 5 ; c) a 3 0 ; d) a 3 0 ; e) 5 a 7 ; f) 5 a 7 ; g) 7 a 5 ; h) 7 a x x is gelijk aan x x + x a) x ; b) x x ; c) x x + ; d) x ; e) x + ; f) x ; g) x x + ; h) x x x +. x x + + x is gelijk aan x x a) x ; b) x x + ; c) x + ; d) x x ; x e) x ; f) x x ; g) x x ; h) x x. 5. Los op x + 3 x + = a) 3; b) 3; c) 3 ; d) 3 ; e) 5; f) 5; g) 5 ; h) Los op x 4x a) x 0; b) x 4; c) x 0; d) x 4; e) 0 x 4; f) x 0 en x 4; g) x 0 of x 4; h) alle x.

3 7. Los op ln x = a) e ; b) e ; c) ( e) ; d) e; e) e; f) e; g) e ; h) e. 8. Los op e x = 4 a) ln 6; b) ln 6; c) ln 4; d) ln 4; e) ln ; f) ln ; g) ln ; h) ln. 9. De afgeleide van f(x) = cos(x) is a) sin(x); b) sin(x); c) sin(x); d) sin(x); e) sin(x); f) sin(x); g) sin(); h) sin(). 0. De afgeleide van f(x) = x ln(x) is a) ; b) ln(x); c) ln(x) + ; d) ln(x) + x; e) x ; f) x + x ; g) + ; h) x. x. De afgeleide van f(x) = e x is a) e x ; b) e x ; c) e x ; d) e x ; e) xe x ; f) x e x ; g) xe x ; h) x e x.. Een primitieve van f(x) = x x is a) x x; b) 5x x; c) x x; d) 3x x; 5 3 e) 3x x ; f) 3 x x ; g) 5x x ; h) 5 x x. 3. Een primitieve van f(x) = sin(3x) is a) cos(3x); b) cos(3x); c) 3 cos(3x); d) 3 cos(3x); e) cos(3x); f) cos(3x); g) cos(3); h) cos(3) dx is gelijk aan 0 x + a) 8; b) 8; c) ; d) ; 8 8 e) e 8 ; f) e 8 ; g) ln(9); h) ln( 9 ). 3

4 5. cos( x) is gelijk aan a) sin(x); b) sin(x); c) cos(x); d) cos(x); e) sin(x + π); f) sin(π x); g) cos(x + π); h) cos(π/ + x). 6. sin(π/ x) is gelijk aan a) sin(x); b) sin(x); c) cos(x); d) cos(x); e) sin(π + x); f) sin(π x); g) cos(π x); h) cos(π + x). 7. cos(x) is gelijk aan a) cos(x); b) sin(x); c) sin(x) cos(x); d) sin(x) cos(x); e) cos (x); f) sin (x); g) cos (x); h) cos (x). 8. Als je weet dat cos(α) = 3 5 met π < α < π, dan is tan(a) gelijk aan a) 3 4 ; b) 3 4 ; c) 4 3 ; d) 4 3 ; e) 5 3 ; f) 5 3 ; g) 4 5 ; h) 4 5. n + n + 9. lim n is gelijk aan 3n + n + a) ; b) ; c) 0; d) ; e) ; f) 3 ; g) 3 ; h). 0. lim x ( x) 0 x is gelijk aan a) 0; b) ; c) ; d) ; e) ; f) 0; g) 0; h) bestaat niet. 4

5 Handreiking bij de Zelftest Inmiddels heb je antwoorden van de zelftest analyse gekregen en heb je zelf kunnen zien wat je vlot beheerst en waar misschien (nog of weer?) wat gebreken zitten. Hierna volgt bij elke opgave een commentaar en geven we tips voor oefenmateriaal. Je kunt dat gebruiken door voor die onderdelen waar je moeite mee had de achterliggende theorie nog eens door te kijken en oefenopgaven te maken. Van een paar regels vermelden we dat het handig is die uit je hoofd te kennen. Het voor de hand liggende advies is natuurlijk om indien nodig daar snel wat aan te doen. Verder wijzen we er nog op dat op de website waarop extra oefenopgaven bij de cursus staan, ook een onderdeel te vinden is waarop oefenmateriaal passend bij de zelftoets staat. In de studiewijzer kun je vinden waar die website te vinden is. Je docent kan je de weg wijzen. Opgaven en Verderop in deze Hand Out zit een hoofdstuk met de titel Review of Algebra. Onder het kopje Exponents staan de definities en de regels voor het rekenen met exponenten samengevat. Als je met de vragen en/of moeilijkheden hebt, lees dat stukje dan nog eens door en oefen met een aantal opgaven uit de numers uit de Review (antwoorden staan op de laatste pagina s). Opgaven 3 en 4 In deze twee opgaven gaat het om het optellen/aftrekken en vereenvoudigen van breuken. Daarbij komen ook zaken als het wegwerken van haakjes en het ontbinden in factoren aan de orde. Onder de kopjes Fractions en Factoring worden deze zaken in de Review samengevat. Lees dat zonodig door, en oefen met opgaven uit de series 7 8 en Opgaven 5 en 6 Deze opgaven bevatten een gebroken vergelijking en een kwadratische ongelijkheid. Heel bekend zijn natuurlijk ook kwadratische vergelijkingen; die moet je echt vlot kunnen oplossen (zie ook de opgaven 6 68 uit de Review; in die Review wordt ook de abc-formule uitgelegd). Ongelijkheden loste je misschien meestal met de GR op. Het is wel handig als je heel eenvoudige, zoals de opgave uit de test, ook zonder dat hulmiddel kunt maken. In Appendix A in het boek van Stewart vind je onder Inequalities het een en ander over ongelijkheden, met bij opgaven 3 38 heel wat oefenmateriaal. In 5

6 de test vragen we niet over absolute waarde. Als je niet meer weet wat dat is, lees dan nog eens het stukje uit dezelfde appendix onder Absolute Value door. Opgaven 7 en 8 Deze opgaven draaien om eigenschappen van exponenten, e-machten en logaritmen. Elementaire eigenschappen van exponenten vindt je in de Review samengevat onder Exponents (zie ook bij opgaven en ). Definities en eigenschappen van exponentile en logaritmische functies vind je in Stewart, in de paragrafen.5 en.6, onder de kopjes logarithmic functions en natural logarithms. Heb je hier moeite mee, lees dan vooral de theorie nog eens goed door. Voorbeelden en opgaven hierover kun je weer vinden in de Review onder Exponents. Oefen eventueel met opgaven uit de serie Opgaven 9, 0 en Bij deze differentieeropgaven gaat het om een paar dingen. We gaan er toch wel vanuit dat je een paar standaard-afgeleiden uit je hoofd kent: van x n, ook met n negatief of gebroken, e x, ln x, sin x, cos x, tan x. Verder verwachten we dat je de rekenregels voor som, verschil, product en quotiënt kent. En tot slot duikt nu eenmaal vaak de kettingregel op, ook die moet je kennen, anders blijf je voortdurend hinderlijke fouten maken. De theorie van de afgeleiden vind je in de paragrafen.7,.8 en.9 van Stewart. De rekenregels staan in 3., 3., 3.4 en 3.4. Een collectie oefenopgaven waarin alle regeltjes gecombineerd worden vind je in 3.5 bij de nummers Opgaven, 3 en 4 In de analysecursus komen wat verdergaande technieken van integreren uitgebreid aan bod. Hier gaat het om eenvoudige functies die direct met de basisregels geprimitiveerd kunnen worden. Ook hier geldt dat we er wel vanuit gaan dat je een aantal standaardfuncties (x n, e x, sin x, cos x), en de meest eenvoudige samenstellingen daarvan uit het hoofd kunt primitiveren. Oefenmateriaal met heel elementaire integralen is te vinden in Stewart, paragraaf 5.4, bijvoorbeeld de opgaven 5 tot en met 9, 7, en 5 8. Opgaven 5, 6, en 7 Bij goniometrie wordt nogal veel gebruikt gemaakt van formules, goniometrische identiteiten genaamd, waarmee de ene uitdrukking wordt overgevoerd 6

7 in een andere. Het formuleblad van school geeft er een groot aantal van, en wij verlangen niet dat je die allemaal uit je hoofd kent. Een aantal echter komt zo vaak voor, dat het bijna geen doen is als je die iedere keer moet opzoeken. Het gaat dan met name over de regels voor sin( x), cos( x) en tan( x), en sin(π/ x), en cos(π/ x). Deze regels, en ook wat er gebeurt als je bij het argument van de sinus en cosinus π optelt of ervan aftrekt, zijn bovendien makkelijk te bedenken als je even de grafiek van de betreffende functie schetst, of aan de manier denkt waarop ze in de eenheidscirkel zijn gedefinieerd. De dubbele-hoekformules sin(x) en cos(x) zijn minder simpel te bedenken, maar worden ook erg vaak toegepast. We adviseren ze gewoon maar uit het hoofd te leren voor zover je dat nog niet gedaan had. De definities en vele eigenschappen van goniometrische functies en hun grafieken vind je in appendix D van Stewart. Het heeft hierbij niet zoveel zin nog weer sommetjes te gaan maken. Wel is het heel nuttig om met behulp van de eenheidscirkel en/of grafiek eenvoudige identiteiten zoals in de vragen 3 6 na te gaan. Opgave 8 Zo n sommetje doe je misschien meestal door op de GR bij de gegeven waarde INV COS te bepalen, en de gevonden waarde bij TAN in te toetsen. In dit geval had je op die manier een verkeerd teken gekregen! Het is niet moeilijk te begrijpen hoe je dit ook zelf kunt uitrekenen en bovendien kom je dan een paar regels tegen die goed zijn om paraat te hebben. Het gaat als volgt: via de identiteit sin α + cos α = (een regel die je echt uit het hoofd moet kennen) uitrekenen hoeveel sin α is, dan met behulp van het gegeven dat α in het derde kwadrant (π < α < 3 π) ligt het teken van sin α en de waarde zelf bepalen, en tenslotte tan α bepalen via tan α = sin α. Als je deze opgave cos α fout had, probeer dan te bedenken welke stap fout ging. Als je nog wat wilt oefenen, vind je geschikt materiaal in Stewart, appendix D, de opgaven 9, 30 en 3. Opgaven 9 en 0 Strikt genomen zijn dit opgaven die eerder bij wiskunde B horen dan bij wiskunde B. Om eenvoudige limieten, die je nogal eens zult tegen komen, snel te zien kun je de volgende vuistregels hanteren: expontiële functies winnen het in het oneindige van veeltermen, en veeltermen winnen het weer in het oneindige van logaritmische functies. Op grond van deze vuistregels kun je concluderen dat de limiet bij opgave 0 gelijk is aan nul. Als teller en noemer allebei veeltermen zijn, kijk je eerst of ze van dezelfde graad zijn (als 7

8 dat niet zo is, kun je zelf wel bedenken wat er gebeurt voor x ). Bij gelijke graad is de limiet de verhouding van de coëfficiënten van de termen met de hoogste graad. Zo zie je snel het antwoord van opgave 9. 8

9 Review of Algebra

10 REVIEW OF ALGEBRA Review of Algebra Here we review the basic rules and procedures of algebra that you need to know in order to be successful in calculus. Arithmetic Operations The real numbers have the following properties: a b b a ab ba a b c a b c ab c ab ac abc abc (Commutative Law) (Associative Law) (Distributive law) In particular, putting a in the Distributive Law, we get b c b c b c and so b c b c EXAMPLE (a) (b) (c) 3xy4x 34x y x y t7x tx 4tx 4t x t 4 3x 4 3x 6 0 3x If we use the Distributive Law three times, we get a bc d a bc a bd ac bc ad bd This says that we multiply two factors by multiplying each term in one factor by each term in the other factor and adding the products. Schematically, we have a bc d In the case where c a and d b, we have or a b a ba ab b a b a ab b Similarly, we obtain a b a ab b

11 REVIEW OF ALGEBRA 3 EXAMPLE (a) (b) (c) x 3x 5 6x 3x 0x 5 6x 7x 5 x 6 x x 36 3x 4x 3 x 6 34x x 3 x x 3x 9 x x 5x Fractions To add two fractions with the same denominator, we use the Distributive Law: Thus, it is true that a b c b b a b c a c a c b b a c b a b c b But remember to avoid the following common error: a b c a b a c (For instance, take a b c to see the error.) To add two fractions with different denominators, we use a common denominator: a b c ad bc d bd We multiply such fractions as follows: a b c ac d bd In particular, it is true that a b a b a b To divide two fractions, we invert and multiply: a b c d a b d c ad bc

12 4 REVIEW OF ALGEBRA EXAMPLE 3 x 3 (a) x x x 3 x 3 x (b) (c) (d) 3 x x y y x x 3x xx 3x 6 x x x x x x x x x 6 x x s t u ut s t u u s t x y y x y x x y y x xx y x y yx y x xy xy y Factoring We have used the Distributive Law to expand certain algebraic expressions. We sometimes need to reverse this process (again using the Distributive Law) by factoring an expression as a product of simpler ones. The easiest situation occurs when the expression has a common factor as follows: Expanding 3x(x-)=3x@-6x Factoring To factor a quadratic of the form x bx c we note that x rx s x r sx rs so we need to choose numbers r and s so that r s b and rs c. EXAMPLE 4 Factor x 5x 4. SOLUTION The two integers that add to give 5 and multiply to give 4 are 3 and 8. Therefore x 5x 4 x 3x 8 EXAMPLE 5 Factor x 7x 4. SOLUTION Even though the coefficient of x is not, we can still look for factors of the form x r and x s, where rs 4. Experimentation reveals that x 7x 4 x x 4 Some special quadratics can be factored by using Equations or (from right to left) or by using the formula for a difference of squares: 3 a b a ba b

13 REVIEW OF ALGEBRA 5 The analogous formula for a difference of cubes is 4 a 3 b 3 a ba ab b which you can verify by expanding the right side. For a sum of cubes we have 5 a 3 b 3 a ba ab b EXAMPLE 6 (a) x 6x 9 x 3 (Equation ; a x, b 3) (b) 4x 5 x 5x 5 (Equation 3; a x, b 5) (c) x 3 8 x x x 4 (Equation 5; a x, b ) x 6 EXAMPLE 7 Simplify. x x 8 SOLUTION Factoring numerator and denominator, we have x 6 x 4x 4 x 4 x x 8 x 4x x To factor polynomials of degree 3 or more, we sometimes use the following fact. 6 The Factor Theorem If P is a polynomial and Pb 0, then x b is a factor of Px. EXAMPLE 8 Factor x 3 3x 0x 4. SOLUTION Let Px x 3 3x 0x 4. If Pb 0, where b is an integer, then b is a factor of 4. Thus, the possibilities for b are,, 3, 4, 6, 8,, and 4. We find that P, P 30, P 0. By the Factor Theorem, x is a factor. Instead of substituting further, we use long division as follows: x x x x 3 3x 0x 4 x 3 x x 0x x x x 4 x 4 Therefore x 3 3x 0x 4 x x x x x 3x 4 Completing the Square Completing the square is a useful technique for graphing parabolas or integrating rational functions. Completing the square means rewriting a quadratic ax bx c

14 6 REVIEW OF ALGEBRA in the form ax p q and can be accomplished by:. Factoring the number a from the terms involving x.. Adding and subtracting the square of half the coefficient of x. In general, we have ax bx c ax b a x c ax b a a x b ax b a c 4a b a b c EXAMPLE 9 Rewrite x x by completing the square. SOLUTION The square of half the coefficient of x is. Thus x x x x 4 4 (x ) 3 4 EXAMPLE 0 x x x 6x x 6x 9 9 x 3 9 x Quadratic Formula By completing the square as above we can obtain the following formula for the roots of a quadratic equation. 7 The Quadratic Formula are The roots of the quadratic equation ax bx c 0 x b sb 4ac a EXAMPLE Solve the equation 5x 3x 3 0. SOLUTION With a 5, b 3, c 3, the quadratic formula gives the solutions x 3 s s69 0 The quantity b 4ac that appears in the quadratic formula is called the discriminant. There are three possibilities:. If b 4ac 0, the equation has two real roots.. If b 4ac 0, the roots are equal. 3. If b 4ac 0, the equation has no real root. (The roots are complex.)

15 REVIEW OF ALGEBRA 7 These three cases correspond to the fact that the number of times the parabola y ax bx c crosses the x-axis is,, or 0 (see Figure ). In case (3) the quadratic ax bx c can t be factored and is called irreducible. y y y 0 x 0 x 0 x FIGURE Possible graphs of y=ax@+bx+c (a) b@-4ac>0 (b) b@-4ac=0 (c) b@-4ac<0 EXAMPLE The quadratic x x is irreducible because its discriminant is negative: b 4ac Therefore, it is impossible to factor x x. The Binomial Theorem Recall the binomial expression from Equation : a b a ab b If we multiply both sides by a b and simplify, we get the binomial expansion 8 a b 3 a 3 3a b 3ab b 3 Repeating this procedure, we get a b 4 a 4 4a 3 b 6a b 4ab 3 b 4 In general, we have the following formula. 9 The Binomial Theorem If k is a positive integer, then a b k a k ka k b kk kk k 3 a k b a k3 b 3 kk k n 3 n a kn b n kab k b k

16 8 REVIEW OF ALGEBRA EXAMPLE 3 Expand x 5. SOLUTION Using the Binomial Theorem with a x, b, k 5, we have x 5 x 5 5x x x 3 5x 4 5 x 5 0x 4 40x 3 80x 80x 3 Radicals The most commonly occurring radicals are square roots. The symbol s means the positive square root of. Thus x sa means x a and x 0 Since a x 0, the symbol sa makes sense only when a 0. Here are two rules for working with square roots: 0 sab sa sb a sa b sb However, there is no similar rule for the square root of a sum. In fact, you should remember to avoid the following common error: sa b sa sb (For instance, take a 9 and b 6 to see the error.) EXAMPLE 4 s8 (a) s 8 s9 3 (b) sx y sx sy x sy Notice that sx x because s indicates the positive square root. (See Appendix A.) In general, if n is a positive integer, x s n a means x n a If n is even, then a 0 and x 0. Thus s 3 8 because 3 8, but s 4 8 and s 6 8 are not defined. The following rules are valid: a s n a s n ab s n a s n n b b s n b EXAMPLE 5 s 3 x 4 s 3 x 3 x s 3 x 3 s 3 x xs 3 x

17 REVIEW OF ALGEBRA 9 To rationalize a numerator or denominator that contains an expression such as sa sb, we multiply both the numerator and the denominator by the conjugate radical sa sb. Then we can take advantage of the formula for a difference of squares: (sa sb)(sa sb) (sa) (sb) a b sx 4 EXAMPLE 6 Rationalize the numerator in the expression. x SOLUTION We multiply the numerator and the denominator by the conjugate radical sx 4 : sx 4 sx 4 sx 4 x 4 4 x x sx 4 x(sx 4 ) x x(sx 4 ) sx 4 Exponents Let a be any positive number and let n be a positive integer. Then, by definition,. a n a a a. 3. a 0 a n a n n factors 4. a n s n a a mn s n a m (s n a) m m is any integer Laws of Exponents Let a and b be positive numbers and let r and s be any rational numbers (that is, ratios of integers). Then rs. a r a s a rs. a abr a r b r 5. a r a s b a r a r b b 0 r a r s a rs In words, these five laws can be stated as follows:. To multiply two powers of the same number, we add the exponents.. To divide two powers of the same number, we subtract the exponents. 3. To raise a power to a new power, we multiply the exponents. 4. To raise a product to a power, we raise each factor to the power. 5. To raise a quotient to a power, we raise both numerator and denominator to the power.

18 0 REVIEW OF ALGEBRA EXAMPLE 7 (a) (b) (c) (d) x y x y 4 3 s4 3 s64 8 s 3 x 4 43 x43 x 4 x 3 z (e) y3 x y x x y x y y xy x xyy x y y 8 x 4 3 z 4 y x x y y x xy y x xy Alternative solution: x 7 y 5 z 4 y x x y xy y x 4 3 (s4) Exercises A Click here for answers. 6 Expand and simplify.. 6ab0.5ac. x yxy 4 3. xx xx a x x x 5x x 53t 4 t tt x 3x 7 0. xx x. x. 3x y 4 6 y5 y t 5 t 38t 5. xx 3x 6. x x 7 8 Perform the indicated operations and simplify. 8x 9b b x 5 x 3. u u. u xy z 5. r s 6. s 6t x x a 3 ab 4 b x yz a bc b ac c c 9 48 Factor the expression. 9. x x ab 8abc 3. x 7x 6 3. x x x x x 7x x x 0x x 5x x 0x t t 9s 4. 4t t 9 4. x x 3 x x 44. x 3 4x 5x 45. x 3 3x x x 3 x 3x x 3 5x x x 3 3x 4x Simplify the expression. x x x 3x x x 9x x 3 x 9 x x 3x x 4 x 3 5x 6x x x

19 REVIEW OF ALGEBRA 54. x x x x 5x Complete the square. 55. x x x 6x x 5x x 3x 59. 4x 4x 60. 3x 4x Solve the equation. 6. x 9x x x x 9x x x x 5x x 7x x 3 x x 3 3x x Which of the quadratics are irreducible? 69. x 3x x 9x x x 6 7. x 3x Use the Binomial Theorem to expand the expression. 73. a b a b7 75. x x Simplify the radicals. s 3 s 4 3x s3 s s 3 54 s sxy sx 3 y 8. s6a 4 b 3 8. s 5 96a 6 s 5 3a Use the Laws of Exponents to rewrite and simplify the expression x 9 x 4 a n a n x a 3 b 4 x y 88. a 5 b 5 x y x y x 5 y 3 z s 5 y (sa) sx (st) 5 s 4 x 3 t sst 4 s Rationalize the expression. sx x 9 xsx x s5 07. sx 3x 4 x 08. sx x sx x 09 6 State whether or not the equation is true for all values of the variable. 09. sx x 0. 6 a. a x x y y x 3 4 x x a 6 4x 4a a n s 4 r n s 4 r (sx) x s h s h h sx sy sx 4 x x y x y 4 x x

20 ANSWERS Answers. 3a bc. x 3 y 5 3. x 0x 4. 4x 3x a 6. 4 x 7. x 6x t t 9. x 5x 7 0. x 3 x x. 4x 4x. 9x x y 4 y 5 y t 56t 3 5. x 3 5x x 6. x 4 x 3 x x 7. 4x 8. 3 b 9. 3x 7 x u 3u 0.. x x 5 x u. b 3ab 4a x zx rs a b yz y 3t 6. a c 3 x b c x 9. x 6x 30. ab5 8c 3. x 6x 3. x 3x 33. x 4x 34. x x x x 36. 4x 3x 37. 3x x x t t t 40. t 3st 3s 4. t 3 4. x 3x 3x xx 44. x x 45. x x x x 3x 5x x x 3x x x 3x 49. x x x xx x x x 8 x x x 6x x 9 x x x x x (x 5 ) (x 3 ) x x 4 6., 0 6., 4 9 s s s33 s5 67., 4 68., s 69. Irreducible 70. Not irreducible 7. Not irreducible (two real roots) 7. Irreducible a 6 6a 5 b 5a 4 b 0a 3 b 3 5a b 4 6ab 5 b 6 a 7 7a 6 b a 5 b 35a 4 b 3 35a 3 b 4 a b 5 7ab 6 b x 8 4x 6 6x 4 4x x 70x 4 90x 6 5x 8 x x 80. x y 8. 4a bsb 8. a x a n3 87. a x y b xy s s s x 3 y 6 x 3 y y 95 z 6 t r n s 4 sx 3 x 4x xsx 8 3 s sx sy x y a 34 t 5 s h s h sx x 07. 3x 4 x 08. sx 3x 4 x sx x sx x 09. False 0. False. True. False 3. False 4. False 5. False 6. True 56 5 s3 6 x 8

21 INTRODUCTION TO MAPLE, RELEASE 8 and 9 The computer algebra system (abbreviated CAS) MAPLE is part of the software package that the Technical University Delft distributes freely among its first year students. Maple is not only capable of performing calculations with numbers and making graphical representations of functions (like graphing calculators), it also can do so called symbolic manipulations. That is, Maple can handle algebraic expressions, solve equations even if they contain parameters and, for instance, differentiate and integrate functions. The calculus textbook we will use (James Stewart, Calculus) contains many problems that should be solved using a computer algebra system like Maple. These problems are marked with the letters CAS. During the calculus course, special assignments will be presented to you, which must be solved using Maple. Therefore it is important to learn to work with Maple right from the start. Now follows a short introduction to the basics of Maple, a sort of how to get started course. To be able to work through this introduction it is necessary to have Maple at your disposal. So install Maple on your own computer, or make use of a computer of your department with Maple on it. First thing to do is to start Maple, so double click on the Maple icon. What you will see after some seconds is an empty Maple worksheet. On top you will see some toolbars, and some of the icons on these toolbars you will recognize from other Windows orientated programs. The other symbols relate to specific Maple commands. Under the toolbars on the left you see the Maple-cursor. It looks this way: [> If you type behind this cursor some characters, they will appear in red. (in this hard copy they are in black, of course) If your Maple input appears in red on the screen, it means that Maple is in the command mode and it interprets you input as (part of) a Maple command. Type some arbitrary characters behind the cursor and then press the enter key. That means that you ask the program to execute your commands. The program will respond with the message: warning premature input. Since your input makes presumably head nor tail to Maple, on your request to execute your nonsense command it gives this answer. If you make in a Maple command a more specific mistake, the program reacts with a warning related to that mistake. It is possible to change to a so called text mode. In this mode your input is not interpreted as a Maple command but handled as text as in a normal wordprocessor like Word, with the usual significance of the enter key. Find in one of the toolbars the icon with the symbol T on it. Click on this icon, and the program is now in text mode. The cursor has changed ( the < disappears), the toolbar has changed and your input appears in black on the screen. Next to the icon with the T on it, you will see an icon with the Maple cursor on it. Clicking on this icon brings you back in the command mode. Try some experiments, and when you have finished, clear your screen with the backspace key and go back to the command mode. Then type the command restart; (without the parenthesis, but with the semicolon), this command will clear the memory of Maple from all the things you, perhaps by accident, put in there. Just one warning: Maple is case sensitive!

22 What now follows are lines with Maple commands, with some brief explanations. Type these commands into your worksheet and press the enter key after each line. Then the program will execute your commands. Try to understand what the program has done.. Maple as a calculator Maple can be used as a powerful calculator. Example We approximate the number π, successively in 0, and 500 digits. Be careful: an approximation in 0 digits is not the same as in 0 digits behind the decimal point! Pay attention to the symbol := (combine the keystrokes for : and = ), which should more or less be read as will become equal to. So in the first command the variable a will become equal to the number π. (The number π must be typed als Pi) Now type the following commands into your Maple worksheet, don t forget the semicolon after each command and press enter after each command. Look at your output to see what the program did. a:=pi; Digits:=; evalf(a); Digits:=500; evalf(a); We continue to work with an accuracy of ten digits, the default value Maple uses. So give the following command: Digits:=0; Example. Now we perform some simple calculations +5; *5; /5; 0/5; /3+/4; /3+/4; ^; ^;

23 Example 3. Now some calculations involving roots. sqrt(4); sqrt(); sqrt( ); root[3](7); root[0](04); Example 4 In example 3 Maple tries to give exact answers. Often only a decimal approximation is possible. Then use the command evalf, as we did already in example evalf(sqrt()); evalf(sqrt( )); Example 5 Of course Maple has many in built functions, including the trigonometric functions and their inverses, the natural logarithm and the natural exponential function. Try the following commands. sin(0); cos(pi/4); sin(45); evalf(sin(45)); sin(pi/); evalf(sin(pi/)); cos(pi); tan(pi/3); exp(); evalf(exp()); ln(exp()); ln(0); evalf(ln(0));

24 . Maple as a tool for symbolic manipulation Factorization or expanding of algebraic expressions, adding or dividing such expressions, it all can be done by Maple for you. Just try and see. Example Expanding (in Dutch: haakjes wegwerken ) Once you have assigned a value to a variable, the variable keeps this value. Type for instance: (a+b)^; You will see that Maple does not use the letter a, but substitutes the value of π for a. That s because some examples before you have assigned this value to a, and Maple keeps this in mind. You can make a new start by giving the command restart, and all variables will lose the assigned values. If you only want to clear the variable a of tits value, type: a:= a ; expand((a+b)^); expand ((a+b)^0); Example Factorization (in Dutch: ontbinden in factoren ) factor((a^-b^)); factor((a^5-b^5)); factor((x^4-6)); factor((*x^3-6*x-x^+3)/((x+)*(3*x-4))); 3. Solving equations with Maple Maple can solve equations for you by using the commands solve and fsolve. Try to find out the difference Example solve(x^-3=0,x); fsolve(x^-3=0,x); solve(cos(x)=0,x); fsolve(cos(x)=0,x); You can also give an equation a name: Eq:= x^+3 = x^3+3*x; The equation x^+3 = x^3+3*x can now be called with the name Eq.

25 Try: fsolve(eq); In the following command the range of the variable x is restricted. This can only be done when using the fsolve command. Pay attention to the way this is done, because this way is also used when plotting functions. Example fsolve(cos(x)=0,x=pi..*pi); Example 3 Solving an equation involving parameters solve(3*x^-*p*x+p^+q=0,x); 4. Functions Suppose we want to define the function f(x)=x x + 7 in Maple. This should be done as follows: Example f:=x->x^-*x+7; Type this command and calculate the values of the function f for some values of x using the following commands: Example f(); f(sqrt()); evalf(f(sqrt())); f(u); If you give the command f:=x^-*x+7; then you define an expression, not a function. In this case, the mathematical form or expression x^-*x+7 has simply got the name or label f. When you define a function, you define a rule that assigns to each value of x exactly one other value, called f(x).

26 5. Graphs of a function of one variable Maple has a lot of graphing possibilities Example. To draw a plot of the function f defined in the paragraph before use the command: plot (f(x),x=-3..3); The command plot(f(z),z=-3..3); will also do the job. Example. It is not necessary to define the function before the plot command is used. plot(x^3-*x^-,x=-..3); plot(sin(x),x=0..*pi); Example 3. Maple can plot more graphs within one figure. This is done in the following way: plot({sin(x),cos(x),tan(x)},x=0..*pi, y=-5..5); Remark: graphing occupies usually a lot of memory space. If you don t use the graphs anymore, it is better to remove them. This can be done as follows. Mark the graph by pointing with the mouse arrow at it and press the left key of the mouse. Then the graph is marked. Then press the delete key, and the graph will disappear. Do this now. 6. Differentiation and integration Maple can differentiate and integrate functions for us. A bit surprising: strictly speaking Maple can only integrate expressions, but we will not go into this point on this moment Example diff(x^,x); diff(cos(x)+sin(x)+x^4+6,x); diff(x^,y); diff(f(x),x);

27 Integration goes as follows: Example int(x^,x); int(cos(x)+sin(x)+x^4+6,x); int(cos(x)+sin(x)+x^4+6,y); Example (definite integrals) int(x^,x=0..); int(sin(x),x=0..pi); 7. Using the help possibilities of Maple Programs like Maple have extensive help-possibilities. It is very important to get used to them and to be able to work with the help function, since no one is expected to know all the possibilities of Maple by heart. To invoke the help function, click on help in the toolbar on top. Then click on topic search, and in the topic box type a word, by example integration (if you forgot how to integrate, for instance). Then you will see a very formal description of the command available, which is not very useful for a start, but at the end there is a list of examples, which are usually very illuminating. It can be a good idea to print a hard copy of these examples to have them at hand Example We want to use Maple to evaluate the following definite integral Try the following command int(exp(x^),x=0..); e ( x) 0 dx That doesn t yield the answer we are looking for So try the help function and the topic search with the topic integration and try to get an answer that makes sense.

28 Concluding remarks What you have seen so far are only the very first principles of Maple. The problem with the Maple-tour within Maple itself, is that this tour supposes to much knowledge of mathematics. There is a better possibility for an interactive tutorial, just at the level of knowledge we expect from you when entering university. It s the tutorial on the official site of the Maple Application Centre, its address is : The Maple introduction will also be made available on the Blackboard site of your calculus course. Ask your instructor! ASSIGNMENTS (compulsory for participation in the practical assignments) The following assignments must be made in groups of at most three persons. Hard copies (printed Maple output) of the solutions must be handed over to your instructor. Don t forget to use the text mode of Maple to explain what you have done. Handing in and approval of these assignments is a condition for participation in the practical assignments later on. a) Use the plot command to plot, in one figure, the graphs of the functions f(x) = cos (x) and g(x) = x on the interval [0,π] b) Use the command fsolve to solve the equation cos(x) = x on the interval [0,π] Give your answer with an accuracy of 5 digits. Look in the help function for examples of the commando limit, and use this to calculate the following lim x / (-cos(4x)) x 0 3 a) Plot in one figure the graphs of the functions f(x) = xln(x/b) en g(x) =xcos(x/) b) Use Maple to find primitive functions of f and g. c) The function f is not defined at x=0. If we define f(0)=0, the functions f and g bound a region. Use Maple to find the exact area of this region. 4 The graph of the function f(x) = ln (x) ln(x) has a point of inflection. (in Dutch: buigpunt) Find the coordinates of this point. 5 The curve K has the parametric equation x(t) = t +, y(t) = ln(t). Look in topic search for parametric plot and use this to make a plot of K.