Toepassingen op matrices - Ingevulde versie

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Toepassingen op matrices - Ingevulde versie"

Transcriptie

1 Toepassingen op matrices - Ingevulde versie Toepassing. Matrices en aantal verbindingen in grafen Op ontdekking De onderstaande figuur is een voorbeeld van een graaf. Het toont het aantal dagelijkse internationale vluchten tussen de belangrijkste luchthavens in de drie landen Algerije, Brazilië en Canada. Het getal bij elke verbinding geeft aan hoeveel vluchten er per dag zijn tussen de twee luchthavens. Bijvoorbeeld, van luchthaven b 3 in Brazilië zijn er vier dagelijkse vluchten naar luchthaven c 3 in Canada, maar geen enkele vlucht naar c in Canada. Bereken het aantal dagelijkse vluchten van a i naar c j met een tussenlanding in Brazilië (voor elke i en j). Algerije Brazilië Canada b 3 a c b a 3 b 3 4 c c 3 b 4 Oplossing. Uiteraard kunnen we alle mogelijkheden afzonderlijk uitrekenen. Maar zoals je later zal merken kunnen we zo n soort problemen wat efficiënter aanpakken, namelijk met behulp van matrices. Om te herkennen over welke matrices het gaat, volgen we de volgende stappen. Stap. Start met een voorbeeld. We berekenen bijvoorbeeld: aantal vluchten van a naar c via B is = 8 via b via b via b 3 via b 4 Analoog bereken je bijvoorbeeld: ( ) aantal vluchten van a naar c via B is = aantal vluchten van a naar c 3 via B is = 4 A-98

2 Stap. Herken in Stap een vermenigvuldiging van matrices. In de bewerking ( ) herkennen we: aantal vluchten van a naar c via B is 3 [ ] = [ 8 ] Analoog herken je: aantal vluchten van a naar c via B is aantal vluchten van a naar c 3 via B is 3 [ ] 3 = [ ] [ ] 3 4 = [ 4 ] Stap 3. Voeg alle rijen in een matrix, en alle kolommen in een matrix. Om met één bewerking het aantal dagelijkse vluchten van a i naar c j via Brazilië te berekenen, maken we volgende matrixvermenigvuldiging: [ ] 3 [ ] = 4 Zo is bijvoorbeeld het aantal vluchten van a naar c 3 met een tussenlanding in Brazilië gelijk aan het (, 3)-de element van de matrix, en dat is gelijk aan 4. Opmerking. De matrix stelt het aantal directe verbindingen van Algerije naar Brazilië voor, ook wel de directe-wegenmatrix (of éénstapsverbindingsmatrix) van Algerije naar Brazilië genoemd. b b b 3 b 4 a a matrix = [ ] ik = aantal directe wegen van a i naar b k De notatie a b wijst op het aantal wegen van a naar b, namelijk a b =. Analoog stelt matrix de directe wegenmatrix van Brazilië naar Canada voor. c c c 3 b 3 b b 3 4 b 4 3 matrix = 4 kj = aantal directe wegen van b k naar c j A-99

3 Modelvoorbeeld De volgende graaf toont het aantal metroverbindingen tussen vier stations s, s, s 3 en s 4. (a) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van s i naar s j met één tussenstop in een willekeurige station (voor elke i en j). (b) Wat is het aantal verbindingen van s naar s 3 met één tussenstop? Lees dit af uit je antwoord op (a). (c) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van s 4 naar s met twee tussenstops in willekeurige stations. Maak gebruik van je grafische rekenmachine. Metro van Londen (d) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van s naar s met tien tussenstops in willekeurige stations. Maak gebruik van je grafische rekenmachine. s s s 4 s 3 Oplossing. (a) Om te herkennen over welke matrices het gaat, volgen we terug ons stappenplan. Stap. Start met een voorbeeld. We berekenen bijvoorbeeld: aantal verbindingen van s naar s 4 via één tussenstop is = 5 via s via s via s 3 via s 4 Stap. Herken in Stap een vermenigvuldiging van matrices. In de bewerking ( ) herkennen we: aantal verbindingen van s naar s 4 [ ] 3 via één tussenstop is 4 = [ 5 ] Stap 3. Voeg alle rijen in een matrix, en alle kolommen in een matrix. Om met één bewerking het aantal verbindingen van s i naar s j via één tussenstop te berekenen, maken we volgende matrixvermenigvuldiging: = Opmerking. In dit voorbeeld is de matrix gelijk aan de matrix. Dat komt omdat het beginstation, de tussenstop en het eindstation nu eender welk station mag zijn. Daarom noemt men de directe-wegenmatrix (of éénstapsverbindingsmatrix) van de totale graaf. (b) Het aantal verbindingen van s naar s 3 met één tussenstop gelijk aan het (, 3)-de element van de matrix, en dat is gelijk aan. A- ( )

4 (c) Hoe kunnen we met één bewerking het aantal verbindingen van station s i naar s j met twee tussenstops berekenen? We kunnen opnieuw starten met een voorbeeld. Stel we willen het aantal verbindingen van s naar s 4 met twee tussenstops kennen. Is de eerste tussenstop s, dan levert dat mogelijkheid van s naar s, daarna 5 mogelijkheden van s naar s 4. Analoog met een andere eerste tussenstop levert: aantal verbindingen van s naar s 4 via twee tussenstops is = 57 via eerst s via eerst s via eerst s 3 via eerst s 4 We herkennen hierin de vermenigvuldiging van de eerste rij van met de eerste kolom van : 5 aantal verbindingen van s naar s 4 [ ] 3 3 via twee tussenstops is 7 = [ 57 ] 5 Om met één bewerking het aantal verbindingen van s i naar s j via twee tussenstops te berekenen, maken we dus de matrixvermenigvuldiging = 3. Het berekenen kan met behulp van de grafische rekenmachine. ND MATRIX EDIT :[A] 4 ENTER etc. ND UIT ND MATRIX ENTER... ENTER > Zo is het aantal wegen van s 4 naar s met twee tussenstops gelijk aan het (4, )-de element van de matrix 3 en dus gelijk aan 46. Opmerking. De matrix 3 noemen we de driestapsverbindingsmatrix van de totale graaf. (d) Hoe kunnen we met één bewerking het aantal verbindingen van station s i naar s j met tien tussenstops berekenen? Analoog als in (c) doen we dat door te berekenen. Ter informatie: met behulp van de grafische rekenmachine vinden we = Zo is het aantal wegen van s naar s met tien tussenstops gelijk aan het (, )-de element van de matrix en dus gelijk aan Opmerking. De matrix noemen we de elfstapsverbindingsmatrix van de totale graaf. A-

5 Toepassing. Matrices en migratie- en populatievoorspellingen Op ontdekking We beschouwen een eenvoudig model voor de verandering van het aantal inwoners in een bepaalde stad t.o.v. het platteland. Onderstel dat ieder jaar 5% van de inwoners van de stad verhuizen naar het platteland en dat ieder jaar 3% van de inwoners van het platteland verhuizen naar de stad. Stel in wonen er 6 mensen in de stad en 4 mensen op het platteland. (a) Bepaal het aantal inwoners in de stad en op het platteland na twee jaar en na vijf jaar. Maak gebruik van je grafische rekenmachine. Jan Van Eyckplein,Brugge (b) Naar welke waarde evolueert het aantal mensen in de stad? Maak gebruik van je grafische rekenmachine. Oplossing. We kunnen de migratiebeweging voorstellen met behulp van de volgende graaf:, 5, 97, 95 platteland stad, 3 Ook hier kunnen we het probleem wat efficiënter aanpakken met behulp van matrices. Om te herkennen over welke matrices het gaat, volgen we de volgende stappen. Stap. Start met een voorbeeld. We berekenen bijvoorbeeld: aantal mensen in de stad na één jaar: Analoog bereken je bijvoorbeeld: aantal mensen op platteland na één jaar:, 95 6 aandeel van stad +, 3 4 = 58 aandeel van platteland, 5 6 +, 97 4 = 48 Stap. Herken in Stap een vermenigvuldiging van matrices. In de bewerking ( ) herkennen we: aantal mensen in de stad na één jaar: Analoog herken je: aantal mensen op platteland na één jaar: [ ] [ ] 6, 95, 3 = [ 58 ] 4 [ ] [ ] 6, 5, 97 = [ 48 ] 4 Stap 3. Voeg alle rijen in een matrix, en alle kolommen in een matrix. Om met één bewerking het aantal inwoners in de stad en op het platteland na één jaar te berekenen, maken we volgende matrixvermenigvuldiging: [ ] [ ] [ ], 95, =, 5, Opmerking. De matrix stelt de (procentuele) bijdragen voor die een plaats (stad of platteland) genereert voor een andere plaats (stad of platteland), ook wel een overgangsmatrix (of migratiematrix) genoemd. ( ) stad platteland stad, 95, 3 platteland, 5, 97 matrix = [, 95 ], 3, 5, 97 ij = proc. aandeel van plaats j naar i Een overgangsmatrix is een vierkante matrix waarvoor de som van elke kolom gelijk is aan %. A-

6 De notatie stad platteland wijst op het procentueel aandeel bij overgang van platteland naar stad, namelijk stad platteland =, 5. (a) Hoe kunnen we met één bewerking het aantal inwoners in de stad en op het platteland na twee jaar berekenen? En na vijf jaar? We kunnen opnieuw starten met een voorbeeld. Stel we willen het aantal mensen in de stad na twee jaar kennen. Dat is een aandeel van, 95 keer het aantal mensen in de stad na één jaar, plus een aandeel van, 3 keer het aantal mensen op het platteland na één jaar: aantal mensen in de stad na twee jaar:, aandeel van stad +, 3 48 = aandeel van platteland We herkennen hierin een vermenigvuldiging van de eerste rij van met de eerste kolom van : [ ] aantal mensen in de stad [ ] 58, 95, 3 = [ ] na twee jaar: 48 Om met één bewerking het aantal mensen in de stad en op het platteland na twee jaar te berekenen, maken we dus de matrixvermenigvuldiging [ ] [ ] [ ], 95, =, 5, Merk op dat we ook eerst kunnen berekenen en daarna vermenigvuldigen met : [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ], 95, 3, 95, 3 6, 94, = =, 5, 97, 5, 97 4, 96, Analoog vinden we het aantal inwoners in de stad en op het platteland na vijf jaar (maak gebruik van je grafische rekenmachine): [ ] 5 [ ] [ ], 95, , 5, (b) Hoe kunnen we nagaan naar welke waarde het aantal mensen in de stad evolueert? Dat kunnen we door te berekenen wat het aantal mensen in de stad is na een groot aantal jaren, bijvoorbeeld na 5 of zelfs jaar. Analoog als in (a) doen we dat door 5 of te berekenen. Met behulp van de grafische rekenmachine vinden we: [ ] 5 [ ], 95, 3 6, 5, [ ] [ ], 95, 3 6, 5, 97 4 [ ] [ ] Nemen we een nog groter aantal jaren (bijvoorbeeld of 5) dan merken we dat het aantal mensen in de stad evolueert naar 375. A-3

7 Modelvoorbeeld De bioloog K. Evers bestudeert een insectensoort. Hij beschikt over 3 eitjes, larven en insecten. Elke levensfase (ei, larve en insect) duurt één maand. Hij plaatst de eitjes, larven en insecten in een afgesloten ruimte. Na één maand is de situatie als volgt: Van de eitjes is 95% opgegeten of niet uitgekomen. De rest is uitgekomen. Van de larven heeft % zich ontwikkeld tot insect. De rest is dood. Van de oorspronkelijke insecten is er niet één meer over. Maar ze hebben elk gemiddeld eitjes voortgebracht. (a) Stel de populatiebeweging voor met behulp van een graaf. (b) Bepaal met behulp van matrices het aantal eitjes, larven en insecten na één maand, twee maanden en acht maanden. (c) Naar welke waarde evolueert het aantal eitjes? Maak gebruik van je grafische rekenmachine. Oplossing. (a) We kunnen de overgang van de levensfasen voorstellen met volgende graaf: Roodkopvuurkever (yrochroa serraticornis) eitje larve insect, 5, (b-c) Om te herkennen over welke matrices het gaat, volgen we terug ons stappenplan. Stap. Start met een voorbeeld. We berekenen bijvoorbeeld: aantal eitjes na één maand: 3 aandeel van eitjes + aandeel van larven + =. ( ) aandeel van insecten Stap. Herken in Stap een vermenigvuldiging van matrices. In de bewerking ( ) herkennen we: aantal eitjes [ ] 3 = [. ] na één maand: Stap 3. Voeg alle rijen in een matrix, en alle kolommen in een matrix. Om met één berekening de populatie (eitjes, larven en insecten) na één maand te kennen maken we de volgende matrixvermenigvuldiging:, 5 3 =. 5, 4 Opmerking. De matrix stelt de fracties voor die een levensfase genereert voor een andere levensfase, ook wel een Leslie-matrix (of populatievoorspellingsmatrix) genoemd. Een Leslie-matrix is een vierkante matrix waarvan enkel de elementen op de eerste rij en de elementen vlak onder de diagonaal mogen verschillen van het getal. Het model van Leslie werd beschreven door.h. Leslie 945 [6], en vereist een populatie die niet onderhevig is aan migratie en waarbij slechts één sexe, meestal de vrouwelijke, wordt beschouwd. A-4

8 (b) Hoe kunnen we met één bewerking het aantal eitjes, larven en insecten na twee maanden berekenen? En na acht maanden? Het aantal eitjes, larven en insecten na twee maanden berekenen we als volgt (maak gebruik van je grafische rekenmachine):, 5 3 = 4 5, 3 Na twee maanden zijn er dus 4 eitjes, 5 larven en 3 insecten. Het aantal eitjes, larven en insecten na acht maanden berekenen we als volgt (maak gebruik van je grafische rekenmachine): 8 3 4, 5 = 5, 3 8 Ook na acht maanden zijn er 4 eitjes, 5 larven en 3 insecten. (c) Hoe kunnen we nagaan naar welke waarde het aantal eitjes, larven en insecten streeft? Het is verleidelijk om uit onze resultaten in (b) te besluiten dat de populatie streeft naar 4 eitjes, 5 larven en 3 insecten. Echter, enkele berekeningen voor opeenvolgende maanden onthullen een ander patroon: 3 oorspronkelijk: =. na één maand: = na twee maanden: = na drie maanden: 3 = zelfde als oorspronkelijk!. na vier maanden: 4 = 5 zelfde als na één maand! 4 4 na vijf maanden: 5 = 5 zelfde als na twee maanden! 3 De populatie herhaalt zich elke drie maanden. Het aantal eitjes evolueert dus niet naar een bepaalde waarde. Analoog voor het aantal larven en het aantal insecten. A-5

Toepassingen op matrices - Opgave

Toepassingen op matrices - Opgave Toepassingen op matrices - Opgave Toepassing. Matrices en aantal verbindingen in grafen Op ontdekking. De onderstaande figuur is een voorbeeld van een graaf. Het toont het aantal dagelijkse internationale

Nadere informatie

12.1 Grafen [1] Definitie: Een graaf bestaat uit punten, waarvan er twee of meer door wegen verbonden zijn. Willem-Jan van der Zanden

12.1 Grafen [1] Definitie: Een graaf bestaat uit punten, waarvan er twee of meer door wegen verbonden zijn. Willem-Jan van der Zanden 12.1 Grafen [1] Een spoorwegkaart is een voorbeeld van een graaf; Een graaf bestaat uit punten; De punten worden door wegen met elkaar verbonden; De plaats van de punten en de vorm van de wegen is van

Nadere informatie

Uitwerkingen hoofdstuk K deel A3 Grafen en Matrices

Uitwerkingen hoofdstuk K deel A3 Grafen en Matrices 1 Uitwerkingen hoofdstuk K deel A3 Grafen en Matrices 1. Er zijn 3. 2. 1 = 6 rondritten mogelijk. Iedere keer 2 ritten met dezelfde lengte wege de mogelijkheid de omgekeerde richting. b. De kortste ritten

Nadere informatie

WISKUNDE C VWO VAKINFORMATIE STAATSEXAMEN 2016 V15.7.0

WISKUNDE C VWO VAKINFORMATIE STAATSEXAMEN 2016 V15.7.0 WISKUNDE C VWO VAKINFORMATIE STAATSEXAMEN 2016 V15.7.0 De vakinformatie in dit document is vastgesteld door het College voor Toetsen en Examens (CvTE). Het CvTE is verantwoordelijk voor de afname van de

Nadere informatie

Lineaire Algebra (wi2142tn) Les 5: Determinanten. Joost de Groot Les 5. Faculteit EWI, Toegepaste Wiskunde. Technische Universiteit Delft

Lineaire Algebra (wi2142tn) Les 5: Determinanten. Joost de Groot Les 5. Faculteit EWI, Toegepaste Wiskunde. Technische Universiteit Delft Lineaire Algebra (wi2142tn) Les 5: Determinanten Joost de Groot Les 5 1 Technische Universiteit Delft Doel van deze les Determinanten ben je al tegengekomen bij de behandeling van het in en het uitwendig

Nadere informatie

2 Toepassingen van matrices

2 Toepassingen van matrices Toepassingen van matrices. Matrices en verkeer.. efinities Een graaf is een figuur bestaande uit een eindig aantal punten (= knopen) en een eindig aantal verbindingslijnen (= takken) tussen die knopen.

Nadere informatie

Determinanten. , dan is det A =

Determinanten. , dan is det A = Determinanten We hebben al gezien : ( a b Definitie Als A c d, dan is det A a c b d ad bc Als A een ( -matrix is, dan geldt : A is inverteerbaar det A 0 Definitie Als A (a ij een (m n-matrix is, dan is

Nadere informatie

te vermenigvuldigen, waarbij N het aantal geslagen Nederlandse munten en B het aantal geslagen buitenlandse munten zijn. Het resultaat is de vector

te vermenigvuldigen, waarbij N het aantal geslagen Nederlandse munten en B het aantal geslagen buitenlandse munten zijn. Het resultaat is de vector Les 3 Matrix product We hebben gezien hoe we matrices kunnen gebruiken om lineaire afbeeldingen te beschrijven. Om het beeld van een vector onder een afbeelding te bepalen hebben we al een soort product

Nadere informatie

3.2 Vectoren and matrices

3.2 Vectoren and matrices we c = 6 c 2 = 62966 c 3 = 32447966 c 4 = 72966 c 5 = 2632833 c 6 = 4947966 Sectie 32 VECTOREN AND MATRICES Maar het is a priori helemaal niet zeker dat het stelsel vergelijkingen dat opgelost moet worden,

Nadere informatie

Functies van vectoren

Functies van vectoren Functies van vectoren Alexander Ly Psychological Methods University of Amsterdam 15 September 2014 Overview 1 Notatie 2 Overview 1 Notatie 2 Matrices Een matrix schrijven we vaak met een hoofdletter A.

Nadere informatie

Antwoorden. 32-jarige vrouwen op 1 januari Zo gaan we jaar per jaar verder en vinden

Antwoorden. 32-jarige vrouwen op 1 januari Zo gaan we jaar per jaar verder en vinden Antwoorden 1. De tabel met bevolkingsaantallen is niet moeilijk te begrijpen. We zullen gebruik maken van de bevolkingsaantallen volgens geslacht en leeftijdsklassen van 1 jaar (de cijfers die in het midden

Nadere informatie

Matrixalgebra (het rekenen met matrices)

Matrixalgebra (het rekenen met matrices) Matrixalgebra (het rek met matrices Definitie A a a n a a n a m a mn is e (m n-matrix Hierbij is m het aantal rij van A n het aantal kolomm (m n noemt m de afmeting( van de matrix A We noter vaak kortweg

Nadere informatie

Matrixrekenen. Wilfried Van Hirtum. Versie 1.11 2015

Matrixrekenen. Wilfried Van Hirtum. Versie 1.11 2015 Matrixrekenen Wilfried Van Hirtum Versie 1.11 2015 2 Even opfrissen Het algemeen principe bij een matrixvermenigvuldiging is: ri j kolom. Voorbeeld: A 1 2 3 4 1 0 2 3 0 2 3 2 B 10 5 20 6 30 7 40 8 A B

Nadere informatie

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen

Nadere informatie

Supplement Wiskunde 2017/2018. Inhoudsopgave

Supplement Wiskunde 2017/2018. Inhoudsopgave Inhoudsopgave Hoofdstuk 1: Missende stof in de verslagen... 2 Hoofdstuk 2: Overbodige stof in de verslagen... 7 Hoofdstuk 3: Fouten in de verslagen... 8 Tentamen halen? www.rekenmaarverslagen.nl 1 Hoofdstuk

Nadere informatie

Migrerende euromunten

Migrerende euromunten Migrerende euromunten Inleiding Op 1 januari 2002 werden in vijftien Europese landen (twaalf grote en drie heel kleine) euromunten en - biljetten in omloop gebracht. Wat de munten betreft, ging het in

Nadere informatie

Hoofdstuk 3 : Determinanten

Hoofdstuk 3 : Determinanten (A5D) Hoofdstuk 3 : Determinanten Les : Determinanten Definitie 3. De determinant van de [2 x 2]-matrix A = ( a c det(a) = ad bc. b ) is een getal met waarde d a b Notatie : det(a) = = ad bc c d Voorbeeld

Nadere informatie

1 Junior Wiskunde Olympiade 2010-2011: tweede ronde

1 Junior Wiskunde Olympiade 2010-2011: tweede ronde 1 Junior Wiskunde Olympiade 2010-2011: tweede ronde 1. Het quotiënt 28 is gelijk aan 82 (A) 2 0 () 2 1 (C) 2 2 (D) 2 3 (E) 2 4 2. Het resultaat van de vermenigvuldiging 1 3 5 7 9 2011 eindigt op het cijfer

Nadere informatie

Examenvragen Hogere Wiskunde I

Examenvragen Hogere Wiskunde I 1 Examenvragen Hogere Wiskunde I Vraag 1. Zij a R willekeurig. Gegeven is dat voor alle r, s Q geldt dat a r+s = a r a s. Bewijs dat voor alle x, y R geldt dat a x+y = a x a y. Vraag 2. Gegeven 2 functies

Nadere informatie

Rekenen met de GRM. 1 van 1. Inleiding: algemene zaken. donkerder. lichter

Rekenen met de GRM. 1 van 1. Inleiding: algemene zaken. donkerder. lichter 1 van 1 Rekenen met de GRM De grafische rekenmachine (voortaan afgekort met GRM) ga je bij hoofdstuk 1 voornamelijk als gewone rekenmachine gebruiken. De onderste zes rijen toetsen zijn vergelijkbaar met

Nadere informatie

1 Verbindingsmatrix, directe-wegenmatrix, overgangsmatrix

1 Verbindingsmatrix, directe-wegenmatrix, overgangsmatrix Verbindingsmatrix, directe-wegenmatrix, overgangsmatrix In deze grafische voorstelling zie je steden die met elkaar verbonden zijn door de Thalys. Onderstaande stamboom geeft een beeld van de familierelatie

Nadere informatie

Lineaire Algebra. Bovendriehoeks- en onderdriehoeks vorm: onder (boven) elke leidende term staan enkel nullen

Lineaire Algebra. Bovendriehoeks- en onderdriehoeks vorm: onder (boven) elke leidende term staan enkel nullen Lineaire Algebra Hoofdstuk 1: Stelsels Gelijkwaardige stelsels: stelsels met gelijke oplv Elementaire rijbewerkingen: 1. van plaats wisselen 2. externe vermenigvuldiging 3. interne optelling (2. en 3.:

Nadere informatie

Lijsten op uw TI grafische rekenmachine.

Lijsten op uw TI grafische rekenmachine. Lijsten op uw TI grafische rekenmachine. Een van de sterke punten van een grafische rekenmachine is de mogelijkheid berekeningen uit te voeren op een lijst met getallen, in plaats van op een enkel getal.

Nadere informatie

Basiskennis lineaire algebra

Basiskennis lineaire algebra Basiskennis lineaire algebra Lineaire algebra is belangrijk als achtergrond voor lineaire programmering, omdat we het probleem kunnen tekenen in de n-dimensionale ruimte, waarbij n gelijk is aan het aantal

Nadere informatie

In de 4som-puzzel kun je de gegeven sommen variëren. Nog zo eentje.

In de 4som-puzzel kun je de gegeven sommen variëren. Nog zo eentje. 4som kaart a In een 4som-puzzel moeten in vier hokjes getallen worden geschreven. Van de (horizontale) rijen en van de (verticale) kolommen is de som gegeven en ook van de diagonalen. Welke getallen moeten

Nadere informatie

Stelsels Vergelijkingen

Stelsels Vergelijkingen Hoofdstuk 5 Stelsels Vergelijkingen Eén van de motiverende toepassingen van de lineaire algebra is het bepalen van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen. De belangrijkste techniek bestaat uit

Nadere informatie

Linalg.nb 1. Werk het notebook aandachtig door en maak de (genummerde) oefeningen aan het einde van elke sectie. Succes!

Linalg.nb 1. Werk het notebook aandachtig door en maak de (genummerde) oefeningen aan het einde van elke sectie. Succes! Linalg.nb Lineaire Algebra Andr Heck AMSTEL Instituut, Universiteit van Amsterdam Werk het notebook aandachtig door en maak de (genummerde) oefeningen aan het einde van elke sectie. Succes! Å Introductie

Nadere informatie

Bij de volgende vragen Bij een regelmatige veelhoek kun je het gemakkelijkst eerst de buitenhoeken berekenen en daarna pas de binnenhoeken.

Bij de volgende vragen Bij een regelmatige veelhoek kun je het gemakkelijkst eerst de buitenhoeken berekenen en daarna pas de binnenhoeken. Rood-wit-blauw werkblad 1 Bij het hele werkblad: Alle rode getallen zijn deelbaar door hetzelfde getal. Elk wit getal is gelijk aan een rood getal + 1, elk blauw getal aan een rood getal + 2 Russisch vermenigvuldigen

Nadere informatie

Hoofdstuk 3 Basiswetten van de elektriciteit.

Hoofdstuk 3 Basiswetten van de elektriciteit. Hoofdstuk 3 Basiswetten van de elektriciteit. 1 Wet van Ohm. Volledigheidshalve vermelden we hier nog eens de wet van Ohm: Elektriciteit U R. I of U I of R U R I 2 Wetten van Kirchhoff. Kirchhoff heeft

Nadere informatie

x = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1

x = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1 WIS9 9 Matrixrekening 9 Vergelijkingen Stelsels lineaire vergelijkingen Een stelsel van m lineaire vergelijkingen in de n onbekenden x, x 2,, x n is een stelsel vergelijkingen van de vorm We kunnen dit

Nadere informatie

3. Structuren in de taal

3. Structuren in de taal 3. Structuren in de taal In dit hoofdstuk behandelen we de belangrijkst econtrolestructuren die in de algoritmiek gebruikt worden. Dit zijn o.a. de opeenvolging, selectie en lussen (herhaling). Vóór we

Nadere informatie

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1)

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1) TU/e 2DD50: Wiskunde 2 () Tussentoets 26 november, tijdens de instructies Zaal: paviljoen (study hub) Time: 90min Tentamenstof: colleges 4 (LP; Simplex; dualiteit; complementaire slackness) Oude tentamens:

Nadere informatie

Ruimtewiskunde. college. De determinant en lineaire afbeeldingen. Vandaag. De determinant van een matrix. Toepassing: oppervlakte en inhoud

Ruimtewiskunde. college. De determinant en lineaire afbeeldingen. Vandaag. De determinant van een matrix. Toepassing: oppervlakte en inhoud college 6 en lineaire collegejaar college build slides Vandaag : : : : 6-7 6 9 juni 27 3 2 3 van een matrix Toepassing: oppervlakte en inhoud.6-7[6] vandaag van de 2 2-matrix a b c d is gelijk aan ad bc.

Nadere informatie

De dimensie van een deelruimte

De dimensie van een deelruimte De dimensie van een deelruimte Een deelruimte van R n is een deelverzameling die op zichzelf ook een vectorruimte is. Ter herinnering : Definitie. Een deelverzameling H van R n heet een deelruimte van

Nadere informatie

0.97 0.03 0 0 0.008 0.982 0.01 0 0.02 0 0.975 0.005 0.01 0 0 0.99

0.97 0.03 0 0 0.008 0.982 0.01 0 0.02 0 0.975 0.005 0.01 0 0 0.99 COHORTE MODELLEN Markov ketens worden vaak gebruikt bij de bestudering van een groep van personen of objecten. We spreken dan meestal over Cohorte modellen. Een voorbeeld van zo n situatie is het personeelsplanning

Nadere informatie

De inverse van een matrix

De inverse van een matrix De inverse van een matrix Laat A een n n matrix zijn. Veronderstel dat de matrixvergelijking A X = I n de oplossing X = C heeft. Merk op dat [ A I n ] rijoperaties [ I n C ] [ I n A] inverse rijoperaties

Nadere informatie

Zoek de unieke oplossing van het stelsel π = π P waarvoor bovendien geldt dat i S π i = 1.

Zoek de unieke oplossing van het stelsel π = π P waarvoor bovendien geldt dat i S π i = 1. LIMIETGEDRAG VAN REDUCIBELE MARKOV KETEN In het voorgaande hebben we gezien hoe we de limietverdeling van een irreducibele, aperiodieke Markov keten kunnen berekenen: Voorbeeld 1: Zoek de unieke oplossing

Nadere informatie

Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010

Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010 Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010 Stijn Vermeeren (University of Leeds) 16 juni 2010 Samenvatting Probleem 10 van de Landelijke Interuniversitaire Mathematische Olympiade 2010vraagt

Nadere informatie

oefenbundeltje voor het vijfde leerjaar

oefenbundeltje voor het vijfde leerjaar oefenbundeltje voor het vijfde leerjaar bevat: werkbladen uit de map van Wibbel bij Rekensprong Plus, aansluitend bij de wiskundeopdrachten op de poster; de correctiesleutel bij deze werkbladen. Meer informatie

Nadere informatie

Elementaire rekenvaardigheden

Elementaire rekenvaardigheden Hoofdstuk 1 Elementaire rekenvaardigheden De dingen die je niet durft te vragen, maar toch echt moet weten Je moet kunnen optellen en aftrekken om de gegevens van de patiënt nauwkeurig bij te kunnen houden.

Nadere informatie

Rekenen: Getallen groep 5 en hoger. Rekenen en schattingen ontdekken. Algebra groep 5 en hoger. Patronen en relaties ontdekken.

Rekenen: Getallen groep 5 en hoger. Rekenen en schattingen ontdekken. Algebra groep 5 en hoger. Patronen en relaties ontdekken. Activiteit 4 Kaarten truc Fout opsporen & herstellen Samenvatting Wanneer data worden opgeslagen op een harde schijf of worden verzonden van de ene computer naar de andere, nemen we aan dat de data niet

Nadere informatie

UITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b,

UITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b, UITWERKINGEN 1. Gegeven in R 3 zijn de punten P = (1, 1, ) t en Q = ( 2,, 1) t en het vlak V gegeven door de vergelijking 2x 1 x 2 + x 3 = 1. Zij l de lijn door P loodrecht op V en m de lijn door Q loodrecht

Nadere informatie

Beknopte handleiding voor Derive 5.0 for Windows

Beknopte handleiding voor Derive 5.0 for Windows - Lesbrief Beknopte handleiding voor Derive 5.0 for Voorspelbaarheid en Populaties in de tijd Doelgroep Klas 5 t/m 6 havo en vwo Vakken en domeinen Algemene natuurwetenschappen VWO Wiskunde VWO: A domein

Nadere informatie

11.1 Kansberekeningen [1]

11.1 Kansberekeningen [1] 11.1 Kansberekeningen [1] Kansdefinitie van Laplace: P(gebeurtenis) = Aantal gunstige uitkomsten/aantal mogelijke uitkomsten Voorbeeld 1: Wat is de kans om minstens 16 te gooien, als je met 3 dobbelstenen

Nadere informatie

Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding

Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Theorie vraag Zij A een m n-matrix. Geef het verband tussen de formule voor de dimensie d van een niet-strijdig stelsel, d = n rang (A) (zie

Nadere informatie

Paragraaf 9.1 : Twee soorten groei

Paragraaf 9.1 : Twee soorten groei Hoofdstuk 9 Exponentiële Verbanden (H5 Wis A) Pagina 1 van 9 Paragraaf 9.1 : Twee soorten groei Les 1 Lineaire en exponentiele groei Definitie Lijn = LINEAIRE GROEI Algemene formule van een lijn : y =

Nadere informatie

Projectieve Vlakken en Codes

Projectieve Vlakken en Codes Projectieve Vlakken en Codes 1. De Fanocode Foutdetecterende en foutverbeterende codes. Anna en Bart doen mee aan een spelprogramma voor koppels. De ene helft van de deelnemers krijgt elk een kaart waarop

Nadere informatie

Leeftijd (jaar) Lengte 1,59m 1,70m 1,80m 1,85m Indexcijfer (16 jaar=100) Indexcijfer (15 jaar=100)

Leeftijd (jaar) Lengte 1,59m 1,70m 1,80m 1,85m Indexcijfer (16 jaar=100) Indexcijfer (15 jaar=100) INTRODUCTIE VAN INDEXCIJFERS LES 1 Hier zijn de eerste 5 opgaven over indexcijfers. Het is de bedoeling dat je het stroomdiagram voor indexcijfers gebruikt welke op de PPT en in je schrift staat. Hierdoor

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde C. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde C. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 2012 Eindexamen VWO Wiskunde C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek I Tjing Opgave 1. Het aantal hoofdstukken in de I Tjing correspondeert met het totale aantal

Nadere informatie

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie

Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 205-206 Definitie opspansel 2/35 Stel S = {v,..., v n } is een deelverzameling van de vectorruimte

Nadere informatie

Excel. Inleiding. Het meest gebruikte spreadsheet programma is Excel.

Excel. Inleiding. Het meest gebruikte spreadsheet programma is Excel. Excel Inleiding Het woord computer betekent zoiets als rekenmachine. Daarmee is is eigenlijk aangegeven wat een computer doet. Het is een ingewikkelde rekenmachine. Zelf voor tekstverwerken moet hij rekenen.

Nadere informatie

ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.

ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3. ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.8 ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Inleiding

Nadere informatie

Bij het oplossen van een telprobleem zijn de volgende 2 dingen belangrijk: Is de volgorde van de gekozen dingen van belang?

Bij het oplossen van een telprobleem zijn de volgende 2 dingen belangrijk: Is de volgorde van de gekozen dingen van belang? 4. tellen & kansen 4.1 Tellen Herkennen Je kunt een vraag over telproblemen herkennen aan signaalwoorden: - hoeveel mogelijkheden, manieren, routes, volgordes etc. zijn er?, - bereken het aantal mogelijkheden/manieren

Nadere informatie

2. Optellen en aftrekken van gelijknamige breuken

2. Optellen en aftrekken van gelijknamige breuken 1. Wat is een breuk? Een breuk Een breuk is een verhoudingsgetal. Een breuk geeft aan hoe groot een deel is van een geheel. Stel een taart is verdeeld in stukken. Je neemt 2 stukken van de taart. Je hebt

Nadere informatie

9. Strategieën en oplossingsmethoden

9. Strategieën en oplossingsmethoden 9. Strategieën en oplossingsmethoden In dit hoofdstuk wordt nog even terug gekeken naar alle voorgaande hoofdstukken. We herhalen globaal de structuren en geven enkele richtlijnen voor het ontwerpen van

Nadere informatie

Voorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus. Rekenregels voor vereenvoudigen ( ) = = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) = = ( )

Voorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus. Rekenregels voor vereenvoudigen ( ) = = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) = = ( ) Voorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus Tips: Maak de voorbereidende opgaven voorin in één van de A4-schriften die je gaat gebruiken tijdens de cursus. Als een opdracht niet lukt, werk hem dan uit tot

Nadere informatie

Haarlem 135 Eindhoven 85 Utrecht. Utrecht-Eindhoven-Zwolle-Haarlem-Utrecht en Utrecht-Haarlem-Zwolle-Eindhoven-Utrecht zijn de kortste.

Haarlem 135 Eindhoven 85 Utrecht. Utrecht-Eindhoven-Zwolle-Haarlem-Utrecht en Utrecht-Haarlem-Zwolle-Eindhoven-Utrecht zijn de kortste. G&R vwo A deel C von Schwartzenberg 1/1 1a 1b r zijn 1 1 = 6 rondritten mogelijk (het maakt niet uit waar de rondrit begint) r zijn steeds twee rondritten met gelijke lengte (maar in omgekeerde volgorde)

Nadere informatie

Excel reader. Beginner Gemiddeld. bas@excel-programmeur.nl

Excel reader. Beginner Gemiddeld. bas@excel-programmeur.nl Excel reader Beginner Gemiddeld Auteur Bas Meijerink E-mail bas@excel-programmeur.nl Versie 01D00 Datum 01-03-2014 Inhoudsopgave Introductie... - 3 - Hoofdstuk 1 - Databewerking - 4-1. Inleiding... - 5-2.

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los

Nadere informatie

Het eenzame vierkant van Khajuraho!

Het eenzame vierkant van Khajuraho! Het eenzame vierkant van Khajuraho! Stephan Berendonk 19-12-2006 ii Contents 1 De Lo Shu vii 2 Het vierkant van Khajuraho xi iv Contents Voorwoord Het stuk is vooral gericht op middelbare scholieren, die

Nadere informatie

Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge. Roland van der Veen

Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge. Roland van der Veen Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge Roland van der Veen Modulorekenen Twee getallen a en b zijn gelijk modulo p als ze een veelvoud van p verschillen. Notatie: a = b mod p Bijvoorbeeld:

Nadere informatie

Hoofdstuk 3. Matrices en stelsels. 3.1 Matrices. [[1,7]],[[12,8] ] of [ 1, 7; 12,8 ] bepaalt de matrix

Hoofdstuk 3. Matrices en stelsels. 3.1 Matrices. [[1,7]],[[12,8] ] of [ 1, 7; 12,8 ] bepaalt de matrix Hoofdstuk 3 Matrices en stelsels 3.1 Matrices Een matrix is in DERIVE gedefinieerd als een vector van vectoren. De rijen van de matrix zijn de elementen van de vector. Op de volgende manier kan je een

Nadere informatie

Niveauproef wiskunde voor AAV

Niveauproef wiskunde voor AAV Niveauproef wiskunde voor AAV Waarom? Voor wiskunde zijn er in AAV 3 modules: je legt een niveauproef af, zodat je op het juiste niveau kan starten. Er is de basismodule voor wie de rekenvaardigheden moet

Nadere informatie

2. Het benaderen van nulpunten

2. Het benaderen van nulpunten Het benaderen van nulpunten Benaderen van vierkantswortels Als we met een numerieke rekenmachine benadering, 7 =,64575 7 berekenen, krijgen we als resultaat een Het numeriek benaderen kan met een recursieve

Nadere informatie

Indexcijfers. - We rekenen volumes van allerlei zaken om naar procenten - We vergelijken vervolgens die cijfers om conclusies te trekken

Indexcijfers. - We rekenen volumes van allerlei zaken om naar procenten - We vergelijken vervolgens die cijfers om conclusies te trekken Wat is een? Binnen de economie vergelijken we vaak procentuele ontwikkelingen. Die ontwikkelingen zijn in geld uitgedrukt soms lastig te doorzien. Zo wordt de economische groei van een land uitgedrukt

Nadere informatie

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet

Nadere informatie

Opdrachtbladen (I) Hoe komt een formule tot stand?

Opdrachtbladen (I) Hoe komt een formule tot stand? Opdrachtbladen (I) Hoe komt een formule tot stand? Adriaan Herremans Dag van de wiskunde Kortrijk 14/11/2015 Hieronder vinden jullie opdrachten. Je werkt samen met je buur en kan overleggen met je overburen.

Nadere informatie

P (X n+1 = j X n = i, X n 1,..., X 0 ) = P (X n+1 = j X n = i). P (X n+1 = j X n = i) MARKOV KETENS. Definitie van Markov keten:

P (X n+1 = j X n = i, X n 1,..., X 0 ) = P (X n+1 = j X n = i). P (X n+1 = j X n = i) MARKOV KETENS. Definitie van Markov keten: Definitie van Markov keten: MARKOV KETENS Een stochastisch proces {X n, n 0} met toestandsruimte S heet een discrete-tijd Markov keten (DTMC) als voor alle i en j in S geldt P (X n+1 = j X n = i, X n 1,...,

Nadere informatie

Exotische Sudoku s ii

Exotische Sudoku s ii Exotische Sudoku s ii Voorwoord Er zijn sudokupuzzels, daar zijn er veel van, en er zijn sudokupuzzels, daar zijn er weinig van. De puzzels in deze verzameling behoren tot de laatste soort: die van exotische

Nadere informatie

Computerlessen voor Senioren. Themacursus. Basis Excel. Uitgave Samenstelling: Lucien Delchambre Paul Derycke. Werken met mappen 1

Computerlessen voor Senioren. Themacursus. Basis Excel. Uitgave Samenstelling: Lucien Delchambre Paul Derycke. Werken met mappen 1 & Computerlessen voor Senioren Themacursus Basis Excel Uitgave 2010 Samenstelling: Lucien Delchambre Paul Derycke Werken met mappen 1 HANDLEIDING BASIS EXCEL 3 1 Inleiding 3 2 Belangrijke functies 8 3

Nadere informatie

Uitleg. Welkom bij de Beverwedstrijd 2006. Je krijgt 15 vragen, die je in maximaal 45 minuten moet beantwoorden.

Uitleg. Welkom bij de Beverwedstrijd 2006. Je krijgt 15 vragen, die je in maximaal 45 minuten moet beantwoorden. Uitleg Welkom bij de Beverwedstrijd 2006 Je krijgt 15 vragen, die je in maximaal 45 minuten moet beantwoorden. Je krijgt 5 vragen van niveau A, 5 vragen van niveau B en 5 vragen van niveau C. Wij denken

Nadere informatie

Lineaire Algebra Een Samenvatting

Lineaire Algebra Een Samenvatting Lineaire Algebra Een Samenvatting Definitie: Een (reële) vectorruimte is een verzameling V voorzien van een additieve en multiplicatieve operatie, zodat (a) u V en v V u + v V, (1) u + v = v + u voor alle

Nadere informatie

INLEIDING. Definitie Stochastisch Proces:

INLEIDING. Definitie Stochastisch Proces: Definitie Stochastisch Proces: INLEIDING Verzameling van stochastische variabelen die het gedrag in de tijd beschrijven van een systeem dat onderhevig is aan toeval. Tijdparameter: discreet: {X n, n 0};

Nadere informatie

EXCEL BASIS 2013

EXCEL BASIS 2013 EXCEL BASIS 2013 WWW.I-LEARNING.BE - 4 FORMULE-INVOER ALS EXCEL EEN BEREKENING MOET DOEN, MOET JE EEN FORMULE OF EEN FUNCTIE INVOEREN 4.1 OPERATOREN + om op te tellen - om af te trekken / om te delen *

Nadere informatie

Populaties in de tijd. Populaties in de tijd. - Lesbrief. Lia Hemerik. Doelgroep Klas 5 t/m 6 havo en vwo

Populaties in de tijd. Populaties in de tijd. - Lesbrief. Lia Hemerik. Doelgroep Klas 5 t/m 6 havo en vwo - Lesbrief Populaties in de tijd Doelgroep Klas 5 t/m 6 havo en vwo Vakken en domeinen Biologie VWO Algemene natuurwetenschappen VWO Wiskunde VWO: A domein Ea Niveau *** Tijdsduur Afhankelijk van de uitgevoerde

Nadere informatie

College WisCKI. Albert Visser. 16 januari, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Loodrechte Projectie

College WisCKI. Albert Visser. 16 januari, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Loodrechte Projectie College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 16 januari, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Zij V een deelruimte met basis v 1,..., v k.

Nadere informatie

begin van document Eindtermen vwo wiskunde C (CE) gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie

begin van document Eindtermen vwo wiskunde C (CE) gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie begin van document Eindtermen vwo wiskunde C (CE) gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie Domein subdomein in CE moet in SE A Vaardigheden A1: Informatievaardigheden A2: Onderzoeksvaardigheden

Nadere informatie

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft: Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x

Nadere informatie

1 Complexe getallen in de vorm a + bi

1 Complexe getallen in de vorm a + bi Paragraaf in de vorm a + bi XX Complex getal Instap Los de vergelijkingen op. a x + = 7 d x + 4 = 3 b 2x = 5 e x 2 = 6 c x 2 = 3 f x 2 = - Welke vergelijkingen hebben een natuurlijk getal als oplossing?...

Nadere informatie

3 Wat is een stelsel lineaire vergelijkingen?

3 Wat is een stelsel lineaire vergelijkingen? In deze les bekijken we de situatie waarin er mogelijk meerdere vergelijkingen zijn ( stelsels ) en meerdere variabelen, maar waarin elke vergelijking er relatief eenvoudig uitziet, namelijk lineair is.

Nadere informatie

Opdrachtenboekje. Willem van Ravenstein 2006-2007

Opdrachtenboekje. Willem van Ravenstein 2006-2007 Opdrachtenboekje Willem van Ravenstein 2006-2007 versie 2 herzien in 2010 Inleiding Met de komst van de Tweede Fase is de grafische rekenmachine ingevoerd, ook op het HAVO. Zoals altijd heeft een nieuwe

Nadere informatie

M1 Wiskundig taalgebruik en notaties

M1 Wiskundig taalgebruik en notaties M1 Wiskundig taalgebruik en notaties Verzamelingenleer Verzameling = aantal objecten samengebracht tot een geheel - Lege verzameling = verzameling die geen elementen bevat A = - Singleton verzameling =

Nadere informatie

Ruitjes vertellen de waarheid

Ruitjes vertellen de waarheid Ruitjes vertellen de waarheid Opdracht 1 Van fouten kun je leren Van fouten kun je leren, jazeker. Vooral als je héél goed weet wat er fout ging. Vandaag leer je handige formules begrijpen door kijken

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6

Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 We veralgemenen eerst Stelling 6.4 tot een willekeurige lineaire transformatie tussen twee vectorruimten en de overgang naar twee nieuwe basissen. Stelling 6.4. Zij A : V W

Nadere informatie

Compex wiskunde A1-2 vwo 2003-I

Compex wiskunde A1-2 vwo 2003-I Epidemie Men spreekt van een epidemie als in korte tijd minstens 2% van de bevolking een besmettelijke ziekte oploopt. Een voorbeeld van zo n ziekte is griep. Rond 930 hebben twee Schotse wiskundigen,

Nadere informatie

P = LIMIETGEDRAG VAN MARKOV KETENS Limietverdeling van irreducibele, aperiodieke Markov keten:

P = LIMIETGEDRAG VAN MARKOV KETENS Limietverdeling van irreducibele, aperiodieke Markov keten: LIMIETGEDRAG VAN MARKOV KETENS Limietverdeling van irreducibele, aperiodieke Markov keten: Voorbeeld: Zoek de unieke oplossing van het stelsel π = π P waarvoor bovendien geldt dat i S π i = 1. P = 0 1/4

Nadere informatie

4.1 Procenten [1] In het linkerplaatje zijn 26 van de 100 vierkantjes rood gekleurd. 26 procent (26%) is nu rood. 26% betekent 26 van de 100.

4.1 Procenten [1] In het linkerplaatje zijn 26 van de 100 vierkantjes rood gekleurd. 26 procent (26%) is nu rood. 26% betekent 26 van de 100. 4.1 Procenten [1] In het linkerplaatje zijn 26 van de 100 vierkantjes rood gekleurd. 26 procent (26%) is nu rood. 26% betekent 26 van de 100. 26 26% = = 0,26 100 In het rechterplaatje zijn 80 van de 400

Nadere informatie

Basistechnieken Microsoft Excel in 15 minuten

Basistechnieken Microsoft Excel in 15 minuten Basistechnieken Microsoft Excel in 15 minuten Microsoft Excel is een rekenprogramma. Je kan het echter ook heel goed gebruiken voor het maken van overzichten, grafieken, planningen, lijsten en scenario's.

Nadere informatie

Kleurencode van weerstanden.

Kleurencode van weerstanden. Kleurencode van weerstanden. x1 x2 x3 n t TC R = x1 x2 (x3) 10 n +/- t% +/- TC 1 Kleurencode van weerstanden. R = x1 x2 (x3) 10 n +/- t [%] +/- TC [ppm] x n t TC x n t TC zilver - -2 10 goud - -1 5 Zwart

Nadere informatie

Programmeren A. Genetisch Programma voor het Partitie Probleem. begeleiding:

Programmeren A. Genetisch Programma voor het Partitie Probleem. begeleiding: Programmeren A Genetisch Programma voor het Partitie Probleem begeleiding: Inleiding Het Partitie Probleem luidt als volgt: Gegeven een verzameling van n positieve integers, vindt twee disjuncte deelverzamelingen

Nadere informatie

3.1 Procenten [1] In 1994 zijn er 3070 groentewinkels in Nederland. In 2004 zijn dit er nog 1625.

3.1 Procenten [1] In 1994 zijn er 3070 groentewinkels in Nederland. In 2004 zijn dit er nog 1625. 3.1 Procenten [1] In 1994 zijn er 3070 groentewinkels in Nederland. In 2004 zijn dit er nog 1625. Absolute verandering = Aantal 2004 Aantal 1994 = 1625 3070 = -1445 Relatieve verandering = Nieuw Oud Aantal

Nadere informatie

Scoreblad bewis 01. naam cursist: naam afnemer: werkpunt. niet goed. tellen. getalbegrip. algemeen 01 04. bewerking en. optellen en.

Scoreblad bewis 01. naam cursist: naam afnemer: werkpunt. niet goed. tellen. getalbegrip. algemeen 01 04. bewerking en. optellen en. Scoreblad bewis naam cursist: datum: naam afnemer: inhoud vraag opmerkingen OK werkpunt niet goed tellen eieren tellen in dozen van 10 getallen verder aanvullen in kralenketting getalbegrip getallen ertussen

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 20 Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 20) Inhoudsopgave Rationale functies. Inleiding....................................2

Nadere informatie

Rekenkundige rijen. WISNET-HBO update aug. 2013

Rekenkundige rijen. WISNET-HBO update aug. 2013 Rekenkundige rijen WISNET-HBO update aug. 2013 1 Inleiding Een rij (sequtentie) is een serie getallen achter elkaar opgeschreven met komma's ertussen. Ieder getal in zo'n rij noemen we een term. Het is

Nadere informatie

Een functie is een kant en klare formule. Via de knop Som in de groep Bewerken van het tabblad Start kun je een aantal veelgebruikte functies kiezen:

Een functie is een kant en klare formule. Via de knop Som in de groep Bewerken van het tabblad Start kun je een aantal veelgebruikte functies kiezen: SAMENVATTING HOOFDSTUK 6 De functies Gemiddelde en Afronding Een functie is een kant en klare formule. Via de knop Som in de groep Bewerken van het tabblad Start kun je een aantal veelgebruikte functies

Nadere informatie

5 Eenvoudige complexe functies

5 Eenvoudige complexe functies 5 Eenvoudige complexe functies Bij complexe functies is zowel het domein als het beeld een deelverzameling van. Toch kan men in eenvoudige gevallen het domein en het beeld in één vlak weergeven. 5.1 Functies

Nadere informatie

Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4

Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4 Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4 Hoofdstuk 5, Eigenwaarden en eigenvectoren 5.1; Eigenvectoren en eigenwaarden Definitie: Een eigenvector van een n x n matrix A is een niet nulvector x zodat Ax

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde A1-2 compex vwo 2008-I

Eindexamen wiskunde A1-2 compex vwo 2008-I Tijdens dit examen werk je in Excel. Door in het openingsscherm op Excel werkbladen te klikken start Excel automatisch op. Je komt dan meteen in het eerste werkblad dat hoort bij het eerste deel van de

Nadere informatie

Informatica: C# WPO 10

Informatica: C# WPO 10 Informatica: C# WPO 10 1. Inhoud 2D arrays, lijsten van arrays, NULL-values 2. Oefeningen Demo 1: Fill and print 2D array Demo 2: Fill and print list of array A: Matrix optelling A: Matrix * constante

Nadere informatie