Toepassingen op matrices - Ingevulde versie

Transcriptie

1 Toepassingen op matrices - Ingevulde versie Toepassing. Matrices en aantal verbindingen in grafen Op ontdekking De onderstaande figuur is een voorbeeld van een graaf. Het toont het aantal dagelijkse internationale vluchten tussen de belangrijkste luchthavens in de drie landen Algerije, Brazilië en Canada. Het getal bij elke verbinding geeft aan hoeveel vluchten er per dag zijn tussen de twee luchthavens. Bijvoorbeeld, van luchthaven b 3 in Brazilië zijn er vier dagelijkse vluchten naar luchthaven c 3 in Canada, maar geen enkele vlucht naar c in Canada. Bereken het aantal dagelijkse vluchten van a i naar c j met een tussenlanding in Brazilië (voor elke i en j). Algerije Brazilië Canada b 3 a c b a 3 b 3 4 c c 3 b 4 Oplossing. Uiteraard kunnen we alle mogelijkheden afzonderlijk uitrekenen. Maar zoals je later zal merken kunnen we zo n soort problemen wat efficiënter aanpakken, namelijk met behulp van matrices. Om te herkennen over welke matrices het gaat, volgen we de volgende stappen. Stap. Start met een voorbeeld. We berekenen bijvoorbeeld: aantal vluchten van a naar c via B is = 8 via b via b via b 3 via b 4 Analoog bereken je bijvoorbeeld: ( ) aantal vluchten van a naar c via B is = aantal vluchten van a naar c 3 via B is = 4 A-98

2 Stap. Herken in Stap een vermenigvuldiging van matrices. In de bewerking ( ) herkennen we: aantal vluchten van a naar c via B is 3 [ ] = [ 8 ] Analoog herken je: aantal vluchten van a naar c via B is aantal vluchten van a naar c 3 via B is 3 [ ] 3 = [ ] [ ] 3 4 = [ 4 ] Stap 3. Voeg alle rijen in een matrix, en alle kolommen in een matrix. Om met één bewerking het aantal dagelijkse vluchten van a i naar c j via Brazilië te berekenen, maken we volgende matrixvermenigvuldiging: [ ] 3 [ ] = 4 Zo is bijvoorbeeld het aantal vluchten van a naar c 3 met een tussenlanding in Brazilië gelijk aan het (, 3)-de element van de matrix, en dat is gelijk aan 4. Opmerking. De matrix stelt het aantal directe verbindingen van Algerije naar Brazilië voor, ook wel de directe-wegenmatrix (of éénstapsverbindingsmatrix) van Algerije naar Brazilië genoemd. b b b 3 b 4 a a matrix = [ ] ik = aantal directe wegen van a i naar b k De notatie a b wijst op het aantal wegen van a naar b, namelijk a b =. Analoog stelt matrix de directe wegenmatrix van Brazilië naar Canada voor. c c c 3 b 3 b b 3 4 b 4 3 matrix = 4 kj = aantal directe wegen van b k naar c j A-99

3 Modelvoorbeeld De volgende graaf toont het aantal metroverbindingen tussen vier stations s, s, s 3 en s 4. (a) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van s i naar s j met één tussenstop in een willekeurige station (voor elke i en j). (b) Wat is het aantal verbindingen van s naar s 3 met één tussenstop? Lees dit af uit je antwoord op (a). (c) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van s 4 naar s met twee tussenstops in willekeurige stations. Maak gebruik van je grafische rekenmachine. Metro van Londen (d) Bereken met behulp van matrices het aantal verbindingen van s naar s met tien tussenstops in willekeurige stations. Maak gebruik van je grafische rekenmachine. s s s 4 s 3 Oplossing. (a) Om te herkennen over welke matrices het gaat, volgen we terug ons stappenplan. Stap. Start met een voorbeeld. We berekenen bijvoorbeeld: aantal verbindingen van s naar s 4 via één tussenstop is = 5 via s via s via s 3 via s 4 Stap. Herken in Stap een vermenigvuldiging van matrices. In de bewerking ( ) herkennen we: aantal verbindingen van s naar s 4 [ ] 3 via één tussenstop is 4 = [ 5 ] Stap 3. Voeg alle rijen in een matrix, en alle kolommen in een matrix. Om met één bewerking het aantal verbindingen van s i naar s j via één tussenstop te berekenen, maken we volgende matrixvermenigvuldiging: = Opmerking. In dit voorbeeld is de matrix gelijk aan de matrix. Dat komt omdat het beginstation, de tussenstop en het eindstation nu eender welk station mag zijn. Daarom noemt men de directe-wegenmatrix (of éénstapsverbindingsmatrix) van de totale graaf. (b) Het aantal verbindingen van s naar s 3 met één tussenstop gelijk aan het (, 3)-de element van de matrix, en dat is gelijk aan. A- ( )

4 (c) Hoe kunnen we met één bewerking het aantal verbindingen van station s i naar s j met twee tussenstops berekenen? We kunnen opnieuw starten met een voorbeeld. Stel we willen het aantal verbindingen van s naar s 4 met twee tussenstops kennen. Is de eerste tussenstop s, dan levert dat mogelijkheid van s naar s, daarna 5 mogelijkheden van s naar s 4. Analoog met een andere eerste tussenstop levert: aantal verbindingen van s naar s 4 via twee tussenstops is = 57 via eerst s via eerst s via eerst s 3 via eerst s 4 We herkennen hierin de vermenigvuldiging van de eerste rij van met de eerste kolom van : 5 aantal verbindingen van s naar s 4 [ ] 3 3 via twee tussenstops is 7 = [ 57 ] 5 Om met één bewerking het aantal verbindingen van s i naar s j via twee tussenstops te berekenen, maken we dus de matrixvermenigvuldiging = 3. Het berekenen kan met behulp van de grafische rekenmachine. ND MATRIX EDIT :[A] 4 ENTER etc. ND UIT ND MATRIX ENTER... ENTER > Zo is het aantal wegen van s 4 naar s met twee tussenstops gelijk aan het (4, )-de element van de matrix 3 en dus gelijk aan 46. Opmerking. De matrix 3 noemen we de driestapsverbindingsmatrix van de totale graaf. (d) Hoe kunnen we met één bewerking het aantal verbindingen van station s i naar s j met tien tussenstops berekenen? Analoog als in (c) doen we dat door te berekenen. Ter informatie: met behulp van de grafische rekenmachine vinden we = Zo is het aantal wegen van s naar s met tien tussenstops gelijk aan het (, )-de element van de matrix en dus gelijk aan Opmerking. De matrix noemen we de elfstapsverbindingsmatrix van de totale graaf. A-

5 Toepassing. Matrices en migratie- en populatievoorspellingen Op ontdekking We beschouwen een eenvoudig model voor de verandering van het aantal inwoners in een bepaalde stad t.o.v. het platteland. Onderstel dat ieder jaar 5% van de inwoners van de stad verhuizen naar het platteland en dat ieder jaar 3% van de inwoners van het platteland verhuizen naar de stad. Stel in wonen er 6 mensen in de stad en 4 mensen op het platteland. (a) Bepaal het aantal inwoners in de stad en op het platteland na twee jaar en na vijf jaar. Maak gebruik van je grafische rekenmachine. Jan Van Eyckplein,Brugge (b) Naar welke waarde evolueert het aantal mensen in de stad? Maak gebruik van je grafische rekenmachine. Oplossing. We kunnen de migratiebeweging voorstellen met behulp van de volgende graaf:, 5, 97, 95 platteland stad, 3 Ook hier kunnen we het probleem wat efficiënter aanpakken met behulp van matrices. Om te herkennen over welke matrices het gaat, volgen we de volgende stappen. Stap. Start met een voorbeeld. We berekenen bijvoorbeeld: aantal mensen in de stad na één jaar: Analoog bereken je bijvoorbeeld: aantal mensen op platteland na één jaar:, 95 6 aandeel van stad +, 3 4 = 58 aandeel van platteland, 5 6 +, 97 4 = 48 Stap. Herken in Stap een vermenigvuldiging van matrices. In de bewerking ( ) herkennen we: aantal mensen in de stad na één jaar: Analoog herken je: aantal mensen op platteland na één jaar: [ ] [ ] 6, 95, 3 = [ 58 ] 4 [ ] [ ] 6, 5, 97 = [ 48 ] 4 Stap 3. Voeg alle rijen in een matrix, en alle kolommen in een matrix. Om met één bewerking het aantal inwoners in de stad en op het platteland na één jaar te berekenen, maken we volgende matrixvermenigvuldiging: [ ] [ ] [ ], 95, =, 5, Opmerking. De matrix stelt de (procentuele) bijdragen voor die een plaats (stad of platteland) genereert voor een andere plaats (stad of platteland), ook wel een overgangsmatrix (of migratiematrix) genoemd. ( ) stad platteland stad, 95, 3 platteland, 5, 97 matrix = [, 95 ], 3, 5, 97 ij = proc. aandeel van plaats j naar i Een overgangsmatrix is een vierkante matrix waarvoor de som van elke kolom gelijk is aan %. A-

6 De notatie stad platteland wijst op het procentueel aandeel bij overgang van platteland naar stad, namelijk stad platteland =, 5. (a) Hoe kunnen we met één bewerking het aantal inwoners in de stad en op het platteland na twee jaar berekenen? En na vijf jaar? We kunnen opnieuw starten met een voorbeeld. Stel we willen het aantal mensen in de stad na twee jaar kennen. Dat is een aandeel van, 95 keer het aantal mensen in de stad na één jaar, plus een aandeel van, 3 keer het aantal mensen op het platteland na één jaar: aantal mensen in de stad na twee jaar:, aandeel van stad +, 3 48 = aandeel van platteland We herkennen hierin een vermenigvuldiging van de eerste rij van met de eerste kolom van : [ ] aantal mensen in de stad [ ] 58, 95, 3 = [ ] na twee jaar: 48 Om met één bewerking het aantal mensen in de stad en op het platteland na twee jaar te berekenen, maken we dus de matrixvermenigvuldiging [ ] [ ] [ ], 95, =, 5, Merk op dat we ook eerst kunnen berekenen en daarna vermenigvuldigen met : [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ], 95, 3, 95, 3 6, 94, = =, 5, 97, 5, 97 4, 96, Analoog vinden we het aantal inwoners in de stad en op het platteland na vijf jaar (maak gebruik van je grafische rekenmachine): [ ] 5 [ ] [ ], 95, , 5, (b) Hoe kunnen we nagaan naar welke waarde het aantal mensen in de stad evolueert? Dat kunnen we door te berekenen wat het aantal mensen in de stad is na een groot aantal jaren, bijvoorbeeld na 5 of zelfs jaar. Analoog als in (a) doen we dat door 5 of te berekenen. Met behulp van de grafische rekenmachine vinden we: [ ] 5 [ ], 95, 3 6, 5, [ ] [ ], 95, 3 6, 5, 97 4 [ ] [ ] Nemen we een nog groter aantal jaren (bijvoorbeeld of 5) dan merken we dat het aantal mensen in de stad evolueert naar 375. A-3

7 Modelvoorbeeld De bioloog K. Evers bestudeert een insectensoort. Hij beschikt over 3 eitjes, larven en insecten. Elke levensfase (ei, larve en insect) duurt één maand. Hij plaatst de eitjes, larven en insecten in een afgesloten ruimte. Na één maand is de situatie als volgt: Van de eitjes is 95% opgegeten of niet uitgekomen. De rest is uitgekomen. Van de larven heeft % zich ontwikkeld tot insect. De rest is dood. Van de oorspronkelijke insecten is er niet één meer over. Maar ze hebben elk gemiddeld eitjes voortgebracht. (a) Stel de populatiebeweging voor met behulp van een graaf. (b) Bepaal met behulp van matrices het aantal eitjes, larven en insecten na één maand, twee maanden en acht maanden. (c) Naar welke waarde evolueert het aantal eitjes? Maak gebruik van je grafische rekenmachine. Oplossing. (a) We kunnen de overgang van de levensfasen voorstellen met volgende graaf: Roodkopvuurkever (yrochroa serraticornis) eitje larve insect, 5, (b-c) Om te herkennen over welke matrices het gaat, volgen we terug ons stappenplan. Stap. Start met een voorbeeld. We berekenen bijvoorbeeld: aantal eitjes na één maand: 3 aandeel van eitjes + aandeel van larven + =. ( ) aandeel van insecten Stap. Herken in Stap een vermenigvuldiging van matrices. In de bewerking ( ) herkennen we: aantal eitjes [ ] 3 = [. ] na één maand: Stap 3. Voeg alle rijen in een matrix, en alle kolommen in een matrix. Om met één berekening de populatie (eitjes, larven en insecten) na één maand te kennen maken we de volgende matrixvermenigvuldiging:, 5 3 =. 5, 4 Opmerking. De matrix stelt de fracties voor die een levensfase genereert voor een andere levensfase, ook wel een Leslie-matrix (of populatievoorspellingsmatrix) genoemd. Een Leslie-matrix is een vierkante matrix waarvan enkel de elementen op de eerste rij en de elementen vlak onder de diagonaal mogen verschillen van het getal. Het model van Leslie werd beschreven door.h. Leslie 945 [6], en vereist een populatie die niet onderhevig is aan migratie en waarbij slechts één sexe, meestal de vrouwelijke, wordt beschouwd. A-4

8 (b) Hoe kunnen we met één bewerking het aantal eitjes, larven en insecten na twee maanden berekenen? En na acht maanden? Het aantal eitjes, larven en insecten na twee maanden berekenen we als volgt (maak gebruik van je grafische rekenmachine):, 5 3 = 4 5, 3 Na twee maanden zijn er dus 4 eitjes, 5 larven en 3 insecten. Het aantal eitjes, larven en insecten na acht maanden berekenen we als volgt (maak gebruik van je grafische rekenmachine): 8 3 4, 5 = 5, 3 8 Ook na acht maanden zijn er 4 eitjes, 5 larven en 3 insecten. (c) Hoe kunnen we nagaan naar welke waarde het aantal eitjes, larven en insecten streeft? Het is verleidelijk om uit onze resultaten in (b) te besluiten dat de populatie streeft naar 4 eitjes, 5 larven en 3 insecten. Echter, enkele berekeningen voor opeenvolgende maanden onthullen een ander patroon: 3 oorspronkelijk: =. na één maand: = na twee maanden: = na drie maanden: 3 = zelfde als oorspronkelijk!. na vier maanden: 4 = 5 zelfde als na één maand! 4 4 na vijf maanden: 5 = 5 zelfde als na twee maanden! 3 De populatie herhaalt zich elke drie maanden. Het aantal eitjes evolueert dus niet naar een bepaalde waarde. Analoog voor het aantal larven en het aantal insecten. A-5