1 Verbindingsmatrix, directe-wegenmatrix, overgangsmatrix

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "1 Verbindingsmatrix, directe-wegenmatrix, overgangsmatrix"

Transcriptie

1 Verbindingsmatrix, directe-wegenmatrix, overgangsmatrix In deze grafische voorstelling zie je steden die met elkaar verbonden zijn door de Thalys. Onderstaande stamboom geeft een beeld van de familierelatie hebben als kind bij onze koninklijke familie. In deze voorbeelden vertonen de grafische voorstellingen dezelfde kenmerken.

2 Elke voorstelling is een verzameling knooppunten die onderling verbonden zijn door takken of wegen. Deze grafische voorstelling noemen we een graaf. Fietsroutenetwerk kent succes In de provincie West-Vlaanderen zijn de voorbije twaalf maanden meer dan kaarten van het fietsroutenetwerk verkocht. Het fietsroutenetwerk laat fietsers toe de streek te verkennen. Daarbij stapt men af van circuits in lusvorm. In de plaats daarvan wordt een spinnenweb van fietsroutes opgesteld. Zo krijgen de fietsers de mogelijkheid om van de ene route naar de andere over te schakelen. Daarvoor heeft men 7 kaarten opgesteld en hun knooppunten wijzen de weg. In de hele provincie zijn er 648 knooppunten waarvan 20 in het Brugse Ommeland, 67 in de Leiestreek en 25 in de Westhoek. De bewegwijzering van de verschillende routes heeft één miljoen euro gekost. Bron: de Standaard Verbindingsmatrix In een graaf kunnen knooppunten al of niet verbonden zijn. Het is mogelijk de getekende graaf voor te stellen door een matrix waarbij we de volgende afspraak maken: - minstens één rechtstreekse verbinding tussen twee knooppunten duiden we aan met, - als er geen rechtstreekse verbinding is tussen twee knooppunten schrijven we 0. De matrix van de graaf ziet er dan als volgt uit. naar A B C D van A 0 B 0 C 0 0 D De matrix waarbij de bovenstaande afspraak geldt, noemen we een verbindingsmatrix. Uit deze verbindingsmatrix lees je onmiddellijk af dat - A met drie andere knooppunten verbonden is, - B en C met twee andere knooppunten verbonden zijn en B met zichzelf verbonden is, - D met één knooppunt verbonden is. Deze matrix is een vierkante matrix waarvan de elementen boven de hoofddiagonaal gelijk zijn aan de overeenkomstige elementen onder de hoofddiagonaal. Een verbindingsmatrix is dus een symmetrische matrix. 2

3 2 Directe-wegenmatrix De getekende graaf stelt verkeerswegen voor met vier knooppunten. Tussen de punten A en C zijn er twee wegen waarvan één met eenrichtingsverkeer. In het knooppunt B is er een weg getekend die in hetzelfde punt terugkomt. Zo n weg noemen we een lus. Tussen B en D en tussen C en B zijn er alleen gerichte wegen aangeduid. Ook hier is het mogelijk de gerichte graaf voor te stellen door een matrix. In de matrix geven we weer hoeveel wegen er zijn van het ene knooppunt naar het andere. De matrix van de gerichte graaf ziet er dan als volgt uit. naar A B C D van A 0 0 B 0 C 2 0 D Deze matrix noemen we een directe-wegenmatrix. Overgangsmatrix In ons land werd op juli 200 de energiemarkt vrij gemaakt. Naast Electrabel (E) kwamen er andere energieleveranciers bij (A) zoals Nuon, Luminus, Ecopower,.... De liberalisering van de energiemarkt had tot doel dat elke klant vrij zijn eigen elektriciteitsleverancier kon kiezen. De volgende graaf bestaat uit de knooppunen E en A. De bijbehorende getallen stellen de overstap voor van klanten van de ene naar de andere leverancier. We veronderstellen hier dat 85% van de Electrabelklanten hun leverancier trouw blijven en dat 2% van de klanten van de nieuwe energieleveranciers na jaar terugkeert naar Electrabel. Van deze situatie tekenen we de gerichte graaf. We stellen de matrix op waarbij de elementen de kans op overgang weergeven. naar E A van E 0,85 0,5 A 0,02 0,98 Deze matrix noemen we een overgangsmatrix. Bij een overgangsmatrix is de som van de matrixelementen van eenzelfde rij gelijk aan. Omdat we met kansen werken is de som van de elementen op eenzelfde rij gelijk aan.

4 Nog even dit! Ook in de aardrijkskunde spelen overgangsmatrices een belangrijke rol. In deze disciplines worden ze migratiematrices, of nog, bevolkingsmatrices genoemd (zie opdrachten). DENES KÖNIG ( ) De Hongaarse wiskundige Denes König ( ) was de eerste die systematisch onderzoek deed naar grafen. Hij studeerde in Budapest en Göttingen en behaalde zijn doctoraat in 907. In dat jaar vervoegde hij het lerarenkorps van de Technische Hogeschool in Budapest. In Göttingen werd König beïnvloed door de lezingen van Minkowski in verband met het vierkleurenprobleem, een typisch grafenprobleem. Deze lezingen wekten de interesse van König voor de grafentheorie. Zijn boek Theorie der endlichen und unendlichen Graphen werd gepubliceerd in 96 en droeg in belangrijke mate bij tot de groeiende belangstelling voor de grafentheorie wereldwijd. Opdracht Stel de verbindingsmatrix op die behoort bij elke graaf

5 Opdracht 2 Gegeven Gevraagd. Stel van elke graaf de verbindingsmatrix op. 2. Stel van elke graaf de directe-wegenmatrix op. Opdracht Hieronder zie je enkele voorbeelden van netwerken uit de informatica. Sternetwerk Ringnetwerk Elk apparaat is met een centraal punt verbonden. Busnetwerk Alle apparaten zijn verbonden door een ononderbroken ring. Boomnetwerk Elke apparaat is door juist één verbinding aangesloten op een volgende. De apparaten zijn vertakt verbonden. Gevraagd : Stel de verbindingsmatrix op voor elk van de bovenstaande netwerken. 5

6 Opdracht 4 Stel de verbindingsmatrix op van volgend elektrisch schema. 2 Twee- en driestapsverbindingen, Markovketen Een vertegenwoordiger van een firma moet dagelijks een aantal bedrijven bezoeken. Naargelang zijn agenda moet hij in de voormiddag in Mechelen of Brussel zijn. Op de middag wordt hij verwacht in Lier of Antwerpen. Hij beëindigt in de avond zijn bezoeken ofwel in Turnhout, Westerlo of Hasselt. - Onderstaand schema stelt het aantal reisroutes voor tussen de verschillende steden. Je kunt ook het aantal reisroutes voorstellen met behulp van hun directewegenmatrix. 6

7 naar L A van M 0 B 2 naar T W H van L 2 A We onderzoeken het aantal reisroutes die de vertegenwoordiger heeft om van Mechelen naar Turnhout, naar Westerlo en naar Hasselt te rijden. - We doen hetzelfde voor de reisroutes van Brussel naar Turnhout, naar Westerlo en naar Hasselt. Deze routes noemen we tweestapsverbindingen en kun je voorstellen door onderstaand schema en de bijbehorende matrix. naar T W H van M 2 B 4 2 We plaatsen de verschillende mogelijkheden in een boomdiagram. De getallen bij de takken geven het aantal directe wegen aan. Het bedoelde aantal tweestapsverbindingen kun je als volgt bepalen. 7

8 naar L TenA T L W ena W L HenA H van M B naar L TenA T L W ena W L Hen A H 0 Je stelt vast dat deze matrix het product is van de matrices en De vertegenwoordiger heeft vanuit Mechelen twee mogelijkheden om naar Turnhout, één mogelijkheid om naar Westerlo en één mogelijkheid om naar Hasselt te rijden. Vanuit Brussel heeft hij vier mogelijkheden om naar Turnhout, twee mogelijkheden om naar Westerlo en drie mogelijkheden om naar Hasselt te rijden. 2 Twee- en driestapsverbindingen De directe-wegenmatrix van de getekende gerichte graaf ziet er als volgt uit: naar A B C van A 0 0 B C Als je van A naar B gaat en vervolgens van B naar C dan spreken we van een tweestapsverbinding van A naar C. Zo is van C via de gerichte weg naar B en dan van B naar A een tweestapsverbinding van C naar A. Van A naar B en vervolgens van B naar A is een tweestapsverbinding van A naar A. Van B naar B en vervolgens van B naar B is een tweestapsverbinding van B naar B. Onderstaand schema stelt de tweestapsverbindingen voor tussen de verschillende knooppunten. 8

9 Uit deze figuur kunnen we het aantal tweestapsverbindingen met de bijbehorende matrix afleiden. naar A B C van A B 4 C Uit kun je afleiden dat deze matrix het product is van de gegeven directe wegenmatrix met zichzelf, of nog deze matrix is het kwadraat van 0 0 de matrix

10 Als je van A naar B, van B naar C en tenslotte van C naar B gaat dan spreken we van een driestapsverbinding van A naar B. Zo is van C naar B, van B naar B en van B naar A een driestapsverbinding van C naar A. Van B naar B, van B naar B en vervolgens van B naar B is ook een driestapsverbinding van B naar B. Volgen we dezelfde redenering als bij de tweestapverbindingen dan is naar A B C van A 4 de matrix die het aantal driestapsverbindingen weergeeft B C We stellen vast dat deze matrix de derdemacht is van de directe 0 0 wegenmatrix Voorbeelden van driestapsverbindingen Van A naar A is er driestapsverbinding, namelijk van A naar B, van B naar B en dan van B naar A. Van A naar B zijn er 4 driestapsverbindingen, namelijk - van A naar B, van B naar B en van B naar B, - van A naar B, van B naar C en van C naar B, - van A naar B, van B naar C en van C via de gerichte weg naar B, - van A naar B, van B naar A en van A naar B. Enz. Markovketen We hernemen de graaf met de bijbehorende overgangsmatrix waarbij de overstap beschreven wordt van klanten Electrabel naar andere leveranciers Nuon, Luminus, Ecopower,... en omgekeerd (zie blz. ). naar E A van E 0,85 0,5 A 0,02 0,98 Bij de aanvang van de liberalisering van de energiemarkt telt Electrabel klanten. De andere leveranciers hebben op dat ogenblik klanten. Aan de hand van de gegevens kunnen we berekenen hoeveel klanten Electrabel en de andere leveranciers na jaar, na 2 jaar, enz... zullen hebben. 0

11 - Na jaar Voor Electrabel is dat , ,02 = De andere leveranciers hebben dan , ,98 = Het aantal klanten na jaar kun je ook berekenen met matrices als volgt: 0,85 0,5 [ ] = [ ,02 0,98 ] Je ziet dat in dit product de overgangsmatrix als tweede factor voorkomt. - Na 2 jaar 0,85 0,5 0,85 0, ,02 0,98 0,02 0,98 [ ] = [ ] = [ ] - Als je jaar na jaar volgens deze prognose het aantal klanten berekent van Electrabel en van de andere energieleveranciers bekom je de volgende resultaten. 2 Bij Electrabel is er elk jaar een steeds kleinere afname van het aantal klanten. Bij de andere energieleveranciers is er elk jaar een steeds kleinere toename van het aantal klanten. Uiteindelijk zal de toestand evolueren naar een stabiele eindsituatie met klanten voor Electrabel en klanten voor de andere leveranciers. Dit is een voorbeeld van een Markovketen.

12 Een Markovproces is een proces waarbij de toestand in een volgende periode enkel afhangt van de overgangsmatrix en van de huidige toestand. Door berekeningen met steeds hogere machten van de overgangsmatrix bekomt men een Markovketen. Er is een evolutie naar een stabiele eindsituatie als na een aantal periodes de toestandsgetallen niet meer wijzigen. ANDREI ANDREYEVICH MARKOV ( ) Markov werd geboren op 4 juni 856 in Ryazin in Rusland. Vanaf 876 studeerde hij aan de universiteit van Sint-Petersburg, waar hij in 886 professor werd. Aanvankelijk hield hij zich bezig met de getaltheorie en de analyse. Onder invloed van zijn leermeester Pafnuty Chebyshev concentreert hij zich na 900 op de kanstheorie. In deze periode ontstonden de Markovprocessen en de Markovketens. Een Markovproces is een stochastisch proces waarvan de toekomstige waarschijnlijkheidsverdeling enkel afhangt van het huidig moment en van de huidige toestand van het proces en onafhankelijk is van hoe die huidige toestand bereikt werd. Een Markovketen is het resultaat van één of meer Markovprocessen. Het werk van Markov lanceert de theorie van stochastische processen. In 92 was Norbert Wiener de eerste die zich mathematisch bezighield met een continu Markovproces. De basis voor een algemene theorie werd in de jaren dertig door Andrei Kolmogorov gelegd. Markov en Kolmogorov waren beiden ook poëzieliefhebbers. Markov stierf op 20 juli 922 in Sint-Petersburg in Rusland. Opdracht De volgende graaf geeft een overzicht van de verschillende mogelijkheden om vanuit twee bergdorpjes A en B het punt E bovenaan de berg te bereiken. Hoeveel verschillende mogelijkheden zijn er om van A naar E te gaan? Om van B naar E te gaan? Los dit op met behulp van directe-wegenmatrices. 2

13 Opdracht 2 Hoeveel verschillende mogelijkheden zijn er om in 2 stappen van A naar E te gaan? Om in 2 stappen van A naar F te gaan? Bereken dit met beperkte directewegenmatrices. Opdracht In deze gerichte graaf lees je af dat over een periode van vijf jaar /4 van de stadsbevolking in de stad blijft wonen en dat /4 ervan verhuist naar het platteland. Slechts /8 van de plattelandsbevolking verhuist naar de stad en 7/8 blijft op het platteland wonen.. Stel de gegevens voor met behulp van een migratiematrix. 2. Veronderstel dat er in de stad miljoen mensen wonen en op het platteland 7 miljoen. Bereken met behulp van matrices de nieuwe bevolkingsaantallen in de stad en op het platteland na 5 jaar.. Als je veronderstelt dat dezelfde evolutie zich opnieuw voordoet de volgende vijf jaar, bereken dan de bevolkingsaantallen na 0 jaar. Opdracht 4 Men bestudeerde gedurende de laatste drie jaar het migratiegedrag van een bevolking in drie gebieden A, B en C. Het schema stelt de verschillende migraties voor. Gevraagd. Stel de migratiematrix M op. 2. Aanvankelijk waren er in A inwoners, in B en in C Bereken de nieuwe bevolkingsaantallen in A, B en C na drie jaar. Welk gebied heeft een bevolkingsaangroei? 75 % 8 % 8% 60 % 0 % 0 % 7% 22 % 40 %

14 Opdracht 5 Bepaal. de directe-wegenmatrix van deze graaf, 2. de matrix die alle tweestapsverbindingen van deze graaf voorstelt,. de matrix die alle driestapsverbindingen van deze graaf voorstelt. Opdracht 6 Een mythisch land bestaat uit drie provincies Adventura (A), Fantasia (F) en Utopia (U) met een totale populatie van personen, inwoners in Adventura, in Fantasia en in Utopia. Per decreet werd vastgelegd dat op het einde van elk jaar alle bewoners naar een andere provincie moeten verhuizen en dit volgens de volgende migratiematrix. van A naar A F U F U 0 0,5 0,5 0,5 0 0,5 0,5 0,5 0. Maak de bijbehorende gerichte graaf van deze migratiematrix. 2. Bereken de bevolkingsaantallen in elk van de drie provincies na 0 jaar.. Bereken de bevolkingsaantallen in elk van de drie provincies na 20 jaar, na jaar, na 2 jaar, na jaar. Wat kan je besluiten? Opdracht 7 Een weermodel stelt voorop dat de kans dat in België - een droge dag gevolgd wordt door een droge dag 65 % is, - een droge dag gevolgd wordt door een dag met neerslag 5 % bedraagt, - een dag met neerslag gevolgd wordt door een dag met neerslag 90 % is, - een dag met neerslag gevolgd wordt door een droge dag 0 % bedraagt.. Stel de gerichte graaf op en vul de bijbehorende overgangsmatrix voor dit weermodel aan. naar droog neerslag van droog neerslag 2. Veronderstel dat het vandaag (dag 0) droog is. Dit geven we weer met de matrix [ 0 ]. Bereken de kans dat: - het overmorgen opnieuw droog is, - we na week nog altijd een droge dag hebben, - we na maand nog altijd van droog weer kunnen genieten. 4

15 . Ga na dat de Markovketen uit punt 2. evolueert naar een stabiele eindsituatie. 4. Herneem de berekening uit punt 2. met de veronderstelling dat het vandaag een 0. dag met neerslag is die we weergeven met de matrix [ ] Evolueert deze Markovketen ook naar een stabiele eindsituatie? 5. De matrix bij deze stabiele eindsituatie geeft de kansen weer op een droge dag of op een dag met neerslag en is onafhankelijk van het weer op de startdag. Welk is in België op lange termijn de kans op een droge dag? Welk is in België op lange termijn de kans op een dag met neerslag? 5

16 .5 Leslie-matrix.5. Vleermuizenpopulatie Al enkele jaren loopt een onderzoek naar de vleermuizenpopulatie in de mergelgrotten in de omgeving van Maastricht. Om na te gaan hoe de aantallen evolueren maakt men om de twee jaar een inventaris van de populatie van de kleine hoefijzerneus. Bij dit onderzoek beperkt men zich tot de vrouwelijke populatie om de modellen niet onnodig te verzwaren. Dit zijn de resultaten. (Gegevensbron: Wageningen Universiteit, university for life sciences) - De vrouwelijke vleermuizen worden ingedeeld in drie groepen: N is de groep van de vleermuizen tussen 0 en 2 jaar, T is de groep van de vleermuizen vanaf 2 en jonger dan 4 jaar, V is de groep van de vleermuizen van 4 jaar en ouder. - Bij de start van het onderzoek (periode 0) telt men: 60 vleermuizen in groep N, of nog, N(0) 60, 270 vleermuizen in groep T, of nog, T(0) 270, 80 vleermuizen in groep V, of nog, V(0) 80, - Enkel de vleermuizen uit groep T zijn vruchtbaar. Gemiddeld brengen de vrouwtjes uit deze groep 2/ vrouwelijke jongen groot. - De kans dat een vleermuis twee jaar oud wordt en dus naar groep T overgaat is 6. De kans dat een tweejarige vleermuis vier jaar wordt is. De kans dat een vleermuis uit groep V na twee jaar nog leeft is. Vanuit deze gegevens berekenen we het aantal vleermuizen in elke groep na periode (na 2 jaar): 2 N() T() N 6 T V V()

17 We stellen de evolutie van de aantallen van de eerste perioden schematisch voor. Stel N(n) het aantal vrouwelijke vleermuizen van nul tot twee jaar na n perioden. Stel T(n) het aantal vrouwelijke vleermuizen van twee tot vier jaar na n perioden. Stel N(n) het aantal vrouwelijke vleermuizen van vier jaar en ouder na n perioden. periode 0 (start van het onderzoek) periode (na twee jaar) periode 2 (na vier jaar) periode (na zes jaar) aantal in groep N aantal in groep T aantal in groep V N(0) 60 T(0) 270 V(0) 80 N() 80 T() 60 V() 50 N(2) N() T(2) T() ,67 Deze populatie kan eenvoudig gemodelleerd worden met de matrix 2 A V(2) V() 0+ 70, Op de eerste rij van A lees je de vruchtbaarheid van elke groep af. Op de tweede rij van A lees je van elke groep de kans af om na periode tot groep T te behoren: - de overlevingskans van groep N is 6, - van groep T blijft er geen enkele vleermuis in groep T, dus is de kans 0, - van groep V gaat er uiteraard geen enkel exemplaar naar groep T, dus is de kans 0. Op de derde rij van A lees je van elke groep de kans af om na periode tot groep V te behoren: - er gaat na periode geen enkele vleermuis uit groep N over naar groep V, dus is de kans 0, - van groep T gaat er van de populatie over naar groep V, - van groep V overleeft van de populatie en blijft dus in groep V. De matrix A is een Leslie-matrix.

18 .5.2 Leslie-matrix Een Leslie-matrix is een populatievoorspellingsmatrix die beschrijft hoe de aantallen levende wezens die in de huidige periode de verschillende deelpopulaties uitmaken de populatiesamenstelling in een periode later bepalen. Het is een speciaal soort overgangsmatrix. Leslie-matrices worden gebruikt om voorspellingen te doen over de omvang en opbouw van populaties, uitgaande van de veronderstelling dat de beschreven processen lineair verlopen en de gevonden constanten gelijk blijven. Een Leslie-matrix voor n verschillende deelpopulaties is een n n-matrix die er uitziet als volgt: v v2 v vn 2 vn vn p p p p n p n p n vruchtbaarheidsfactor van elke groep p is de overlevingskand van groep p 2 is de overlevingskand van groep 2 p is de overlevingskand van groep p n 2 is de overlevingskand van groep n 2 p n is de overlevingskand van groep n en p n is de overlevingskand van groep n.5. Gebruik van een Leslie-matrix We bestuderen opnieuw de vleermuizenpopulatie. N(0) - De populatie bij de start noteren we met de matrix X(0) T(0) V(0) De populatie na periode noteren we met de matrix X() (zie schema). 50 Deze populatie kan je ook berekenen door gebruik te maken van de matrix 2 0 A X() A X(0)

19 - De populatie na 2 perioden is X(2) (zie schema). Ook deze aantallen kan je berekenen met behulp van de matrix A. 2 X(2) = A X() Of nog, X(2) A X() A A X(0) A 2 X(0) De populatie na 6 perioden wordt dan: X(6) A X(5) A 2 X(4)... A 6 X(0) 0,498 0,704 2, De populatie na 7 perioden: X(7) A 7 X(0) 0,2469 0,082 0, Na 7 perioden, of nog, na 4 jaar is de populatie vleermuizen per klasse kleiner dan. De kans dat er dan nog vleermuizen rondfladderen is relatief klein. Nog even dit! Je merkt op dat de matrix die de aantallen van de deelpopulaties weergeeft als tweede matrix voorkomt in de producten. Om na te gaan of het probleem ligt bij de voortplanting of eerder bij de overlevingskansen bepalen we het procentueel aandeel van elke klasse tegenover de totale populatie. Of nog, we bekijken de kans dat een vleermuis binnen een periode tot groep N, tot groep T of tot groep V behoort. - Bij de start , ,44 % van de vleermuizen behoort tot groep N 0,, % van de vleermuizen behoort tot groep T 0, ,22 % van de vleermuizen behoort tot groep V

20 - Na periode ,465 0,58 0,846 - Na periode ,2857 0,24 0,5 - Na periode 6 0,7682 0,498 0,704 2,0988 0,667 0,250 0,708 - Na periode 7,522 0,2469 0,082 0,820 0,24 0,074 0,74 We stellen vast dat er vooral vergrijzing van de vleermuizenbevolking optreedt. Het probleem zit dus bij de voortplanting. Onderzoeksopdracht Om de vleermuizenpopulatie voor uitsterven te behoeden, kan men, in theorie, het aantal jongen per periode vergroten. Om te onderzoeken wat het effect is van de verhoogde voortplanting vermenigvuldigen we de eerste rij van de matrix A met 2. Bepaal nu opnieuw de populatiesamenstelling en de grootte ervan na, 2, 0, en 20 perioden. Is de kleine hoefijzerneus op deze manier nog steeds bedreigd? LESLIEMATRIX De bioloog P.H. Leslie introduceerde in 945 in zijn artikel On the Use of Matrices in Certain Population Mathematics een matrixmodel dat de populatie van planten en dieren voorspelt. Zijn studies waren een vervolg op het werk dat verricht is in het Bureau of Animal Population van de Oxford Universiteit. In zijn populatievoorspellingsmatrix, later Leslie-matrix genoemd, zijn alle elementen gelijk aan nul uitgezonderd de elementen van de bovenste rij en de elementen van de diagonaal onmiddellijk onder de hoofddiagonaal. Hogere machten van een Leslie-matrix geven informatie over de bewegingen tussen leeftijdscategorieën na verloop van meerdere omloopstijden. OPDRACHTEN: -5

21 Opdrachten Rendieren op het eiland South Georgia In 9 hebben walvisvaarders uit Noorwegen op het eiland South Georgia in het zuidelijk deel van de Atlantische Oceaan 0 rendieren losgelaten. Gedurende meer dan 40 jaar ging het zeer goed met deze populatie. In 958 waren er zelfs drieduizend rendieren. Vanaf dan neemt het aantal rendieren af. De vrouwelijke rendieren worden onderverdeeld in drie groepen: - groep : de rendieren tussen 0 en jaar, - groep 2: de rendieren van jaar, - groep : de rendieren van 2 jaar en ouder. Voor 958 nemen we aan dat er 750 rendieren tot groep behoorden, 500 tot groep 2 en 200 rendieren tot groep. R is de Leslie-matrix die de populatie om de twee jaar modelleert. V(0) is de matrix die de aantallen weergeeft van de drie groepen in ,45 0,9 R 0,7 0 0 V(0) 0 0,68 0, Leg uit wat de matrixelementen van R betekenen. 2. Bereken V(), V(2), V(), V(0), V() en V(20).. Bekijk na de periode, 2,, 0, en 20 het procentueel aandeel van elke klasse ten opzichte van de totale populatie. 4. Sterft de rendierpopulatie uit door een te lage voortplantingscoëfficiënt of is de overlevingskans te klein? 2 Zebra s in Afrika In een wildpark in Afrika worden om de 5 jaar de zebra s geteld. De merries worden ingedeeld in drie leeftijdsklassen. We noemen M de groep van de merries van 0 tot en met 4 jaar, M 2 de groep vanaf 5 jaar tot en met 9 jaar en M de merries van 0 jaar en ouder.

22 In 970 waren er 200 M -merries, 88 M 2 -merries en 6 M -merries. Het gemiddeld aantal vrouwelijke nakomelingen uit de groepen M,M 2 en M zijn respectievelijk 0,; en in een periode van 5 jaar. Het percentage overlevende merries na 5 jaar voor de groep M is 66 %, voor de groep M 2 is dat 60 % en voor de groep M gaat het over 20 %.. Stel de Leslie-matrix op. 2. Welke is de vermoedelijke samenstelling van de zebrapopulatie in 975, in 2005 en in 2020?. Hoeveel merries zijn er in 970, in 975, in 2005 en in 2020? 4. Geef voor elk van deze jaartallen het procentueel aandeel van elke klasse tegenover de totale populatie. 5. Stabiliseert de verdeling zich over de drie klassen? Plantenpopulatie We onderzoeken de jaarlijkse samenstelling van een tweejarige plantensoort. Om de evolutie na te gaan verdelen we deze soort in drie ontwikkelingsstadia: - groep Z is de groep van de zaden, - groep E is de groep van de éénjarigen die zich nog niet voortplanten, - groep R is de groep van de tweejarigen of de reproductieve planten. Veronderstel dat men in het beginstadium 00 zaden, 0 eenjarige planten en tweejarige plant vond. Een jaar later vond men 0 6 zaden, was er éénjarige plant en ook tweejarige plant.. Stel de Leslie-matrix op. 2. Bereken de populatiesamenstelling na, 2, 5, 0 en jaar.. Stabiliseert de verdeling zich over de drie klassen na verloop van tijd? 4. Wat is de kans dat een zaadje uitgroeit tot een volwassen plant? 4 Neushoorns in Zuid-Afrika We onderzoeken de evolutie van de neushoornpopulatie in Zuid-Afrika om de tien jaar. De neushoorns verdelen we in vijf groepen: - groep : de neushoorns tussen 0 en 0 jaar, - groep 2: de neushoorns vanaf 0 jaar en jonger dan 20 jaar, - groep : de neushoorns vanaf 20 jaar en jonger dan 0 jaar, - groep 4: de neushoorns vanaf 0 jaar en jonger dan 40 jaar, - groep 5: de neushoorns vanaf 40 jaar.

23 Bij de start van het onderzoek telt men: 50 neushoorns in groep, 26 neushoorns in groep 2, 20 neushoorns in groep, 5 neushoorns in groep 4, neushoorns in groep 5. R is de Leslie-matrix die de populatie om de 0 jaar modelleert. 0 R 0,2, 0 0, , , ,. Leg uit wat de matrixelementen van R betekenen. 2. Voorspel de populatie na 0, 20, 0 en 40 jaar.. Ziet de toekomst voor de neushoorns er rooskleurig uit? 5 De knobbelzwaan in Nederland In een project uitgevoerd door personeel van het Centrum voor biometrie aan de universiteit van Wageningen, wordt de populatieontwikkeling van de knobbelzwaan in Nederland weergegeven met een matrixmodel. Men onderscheidt zes stadia in de ontwikkeling van de zwanen: S is de groep van de eieren en de pasgeborenen, S 2 is de groep van de jonge zwanen, S is de groep van de net niet volwassen zwanen, S 4 is de groep van de volwassen zwanen, S 5 is de groep van de oudere zwanen, S 6 is de groep van de bejaarden.

24 De matrix A beschrijft de situatie voor de knobbelzwanen in Nederland tijdens de normale jaren met een niet zo strenge winter. De matrix B beschrijft de populatieontwikkeling tijdens de jaren met een strenge winter. 0 A 0 0,5,5 0, ,6 0, ,2 0, ,05 0, ,04 0 B 0 0 0,5 0, , 0, ,04 0, ,0 0, ,0 Omdat de zes stadia niet even lang duren, zijn deze populatievoorspellingsmatrices geen Leslie-matrices. Om het verschil tussen de normale en de strenge winters na te gaan, nemen we als beginwaarde bijvoorbeeld 00 individuen in elk van de zes groeistadia.. Bereken de zwanenpopulatie na 0 normale winters. 2. Bereken de zwanenpopulatie als er eerst 9 normale winters zijn en daarna één strenge winter.. Bereken de zwanenpopulatie na 0 strenge winters. 4. Vergelijk de bekomen resultaten.

Toepassingen op matrices - Opgave

Toepassingen op matrices - Opgave Toepassingen op matrices - Opgave Toepassing. Matrices en aantal verbindingen in grafen Op ontdekking. De onderstaande figuur is een voorbeeld van een graaf. Het toont het aantal dagelijkse internationale

Nadere informatie

Uitwerkingen hoofdstuk K deel A3 Grafen en Matrices

Uitwerkingen hoofdstuk K deel A3 Grafen en Matrices 1 Uitwerkingen hoofdstuk K deel A3 Grafen en Matrices 1. Er zijn 3. 2. 1 = 6 rondritten mogelijk. Iedere keer 2 ritten met dezelfde lengte wege de mogelijkheid de omgekeerde richting. b. De kortste ritten

Nadere informatie

WISKUNDE C VWO VAKINFORMATIE STAATSEXAMEN 2016 V15.7.0

WISKUNDE C VWO VAKINFORMATIE STAATSEXAMEN 2016 V15.7.0 WISKUNDE C VWO VAKINFORMATIE STAATSEXAMEN 2016 V15.7.0 De vakinformatie in dit document is vastgesteld door het College voor Toetsen en Examens (CvTE). Het CvTE is verantwoordelijk voor de afname van de

Nadere informatie

Monitoraatssessie Wiskunde

Monitoraatssessie Wiskunde Monitoraatssessie Wiskunde 1 Overzicht van de cursus Er zijn drie grote blokken, telkens voorafgegaan door de rekentechnieken die voor dat deel nodig zullen zijn. Exponentiële en logaritmische functies;

Nadere informatie

Matrixrekenen. Wilfried Van Hirtum. Versie 1.11 2015

Matrixrekenen. Wilfried Van Hirtum. Versie 1.11 2015 Matrixrekenen Wilfried Van Hirtum Versie 1.11 2015 2 Even opfrissen Het algemeen principe bij een matrixvermenigvuldiging is: ri j kolom. Voorbeeld: A 1 2 3 4 1 0 2 3 0 2 3 2 B 10 5 20 6 30 7 40 8 A B

Nadere informatie

INLEIDING. Definitie Stochastisch Proces:

INLEIDING. Definitie Stochastisch Proces: Definitie Stochastisch Proces: INLEIDING Verzameling van stochastische variabelen die het gedrag in de tijd beschrijven van een systeem dat onderhevig is aan toeval. Tijdparameter: discreet: {X n, n 0};

Nadere informatie

De Belg: een bedreigde diersoort? Een matrixmodel voor de groei van de Belgische bevolking

De Belg: een bedreigde diersoort? Een matrixmodel voor de groei van de Belgische bevolking De Belg: een bedreigde diersoort? Een matrimodel voor de groei van de Belgische bevolking. Inleiding Haast dagelijks worden we geconfronteerd met de nakende vergrijzing. In de toekomst zal onze bevolking

Nadere informatie

0.97 0.03 0 0 0.008 0.982 0.01 0 0.02 0 0.975 0.005 0.01 0 0 0.99

0.97 0.03 0 0 0.008 0.982 0.01 0 0.02 0 0.975 0.005 0.01 0 0 0.99 COHORTE MODELLEN Markov ketens worden vaak gebruikt bij de bestudering van een groep van personen of objecten. We spreken dan meestal over Cohorte modellen. Een voorbeeld van zo n situatie is het personeelsplanning

Nadere informatie

Samenvatting. Bossen en bedreigde boomsoorten in Vietnam

Samenvatting. Bossen en bedreigde boomsoorten in Vietnam Bossen en bedreigde boomsoorten in Vietnam Er zijn veel verschillende bostypen in Vietnam, omdat het land een tropisch klimaat heeft en topografisch zeer gevariëerd is. Er zijn tropische regenbossen, mangrovebossen,

Nadere informatie

Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010

Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010 Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010 Stijn Vermeeren (University of Leeds) 16 juni 2010 Samenvatting Probleem 10 van de Landelijke Interuniversitaire Mathematische Olympiade 2010vraagt

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los

Nadere informatie

Examenopgaven VMBO-GL en TL 2004

Examenopgaven VMBO-GL en TL 2004 Examenopgaven VMBO-GL en TL 2004 tijdvak 2 woensdag 23 juni 13.30 15.30 uur WISKUNDE CSE GL EN TL WISKUNDE VBO-MAVO-D Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 25 vragen. Voor dit

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde A1-2 vwo 2004-I

Eindexamen wiskunde A1-2 vwo 2004-I Examenresultaten Voor de invoering van de tweede fase bestonden de vakken wiskunde A en wiskunde B. In 2 werden deze vakken voor het laatst op alle VWO-scholen geëxamineerd. Bij het Centraal Examen wiskunde

Nadere informatie

Dan is de waarde van het recessieve allel q dus 0,87, vanwege het feit dat p + q = 1.

Dan is de waarde van het recessieve allel q dus 0,87, vanwege het feit dat p + q = 1. Opgave 1: Wet van Hardy-Weinberg Een populatie van 10.000 individuen voldoet wat betreft de onderlinge voortplanting aan de voorwaarden, genoemd in de wet van Hardy-Weinberg. Van deze populatie is bekend

Nadere informatie

Examen VWO 2015. wiskunde C. tijdvak 2 woensdag 17 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2015. wiskunde C. tijdvak 2 woensdag 17 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2015 tijdvak 2 woensdag 17 juni 13.30-16.30 uur wiskunde C Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 22 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor

Nadere informatie

De huwelijksstelling van Hall

De huwelijksstelling van Hall Thema Discrete wiskunde In de vorige twee afleveringen heb je al kennis kunnen maken met het begrip graaf en hoe grafen worden gebruikt door Google s zoekmachine en door de NS bij het maken van een optimale

Nadere informatie

Examen VWO. Wiskunde A1,2 (nieuwe stijl)

Examen VWO. Wiskunde A1,2 (nieuwe stijl) Wiskunde A1,2 (nieuwe stijl) Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 18 juni 13.3 16.3 uur 2 3 Voor dit examen zijn maximaal zijn 88 punten te behalen; het examen bestaat

Nadere informatie

Examen HAVO en VHBO. Wiskunde A

Examen HAVO en VHBO. Wiskunde A Wiskunde A Examen AVO en VBO oger Algemeen Voortgezet Onderwijs Vooropleiding oger Beroeps Onderwijs AVO Tijdvak VBO Tijdvak Woensdag 1 juni 1.0 16.0 uur 0 00 Dit examen bestaat uit 0 vragen. Voor elk

Nadere informatie

Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen.

Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen. Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen. Opmerking vooraf. Een netwerk is een structuur die is opgebouwd met pijlen en knooppunten. Bij het opstellen van

Nadere informatie

HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE

HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE 1 DOEL VAN REGRESSIE ANALYSE De relatie te bestuderen tussen een response variabele en een verzameling verklarende variabelen 1. LINEAIRE REGRESSIE Veronderstel dat gegevens

Nadere informatie

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde A1,2 (nieuwe stijl)

Examen VWO. wiskunde A1,2 (nieuwe stijl) wiskunde A1,2 (nieuwe stijl) Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 1 juni 13.3 16.3 uur 2 4 Voor dit examen zijn maximaal 87 punten te behalen; het examen bestaat uit 21

Nadere informatie

Griepepidemie. Modelleren B. Javiér Sijen. Janine Sinke

Griepepidemie. Modelleren B. Javiér Sijen. Janine Sinke Javiér Sijen Janine Sinke Griepepidemie Modelleren B Om de uitbraak van een epidemie te voorspellen, wordt de verspreiding van een griepvirus gemodelleerd. Hierbij wordt zowel een detailbenadering als

Nadere informatie

voorbeeldopgaven wiskunde C vwo

voorbeeldopgaven wiskunde C vwo Voorbeeldopgaven bij wiskunde C 1. Scholingsgraad Het percentage analfabeten in een land is een maat voor het aantal mensen dat onderwijs genoten heeft. Een andere veel gebruikte maat is de scholingsgraad

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde A1,2

Examen VWO. wiskunde A1,2 wiskunde A1,2 Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Woensdag 25 mei 13.30 16.30 uur 20 05 Voor dit examen zijn maximaal 86 punten te behalen; het examen bestaat uit 21 vragen. Voor

Nadere informatie

FLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j

FLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j FLIPIT JAAP TOP Een netwerk bestaat uit een eindig aantal punten, waarbij voor elk tweetal ervan gegeven is of er wel of niet een verbinding is tussen deze twee. De punten waarmee een gegeven punt van

Nadere informatie

N. Haelvoet, V. Lippens, D. Luyckx, C. Tonesi

N. Haelvoet, V. Lippens, D. Luyckx, C. Tonesi Examen Wiskunde I Eerste zittijd 24-25 professor C. Thas e bachelor biochemie en biotechnologie, biologie, geografie en geomatica, geologie N. Haelvoet, V. Lippens, D. Luyckx, C. Tonesi Gelieve vraag op

Nadere informatie

Onderzoek of de rijen rekenkundig, meetkundig of geen van beide zijn. Geef bij de rekenkundige rijen v en t 7 en bij de meetkundige rijen q en t 7.

Onderzoek of de rijen rekenkundig, meetkundig of geen van beide zijn. Geef bij de rekenkundige rijen v en t 7 en bij de meetkundige rijen q en t 7. Herhalingsoefeningen Rijen Van de opgaven die geel gemarkeerd zijn, vind je achteraan de oplossingen. De oplossingen van de andere mag je steeds afgeven of er vragen over stellen. Oef 1 Onderzoek of de

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.

Nadere informatie

1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 tijd in jaren

1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 tijd in jaren Beoordelingsmodel VWO 004-I wiskunde A (oude stijl) Antwoorden Kentekens Het aantal mogelijkheden met de letters is 6 Het aantal mogelijkheden met de cijfers is 0 4 Het totaal aantal mogelijkheden is 6

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde C (pilot) tijdvak 2 woensdag 17 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde C (pilot) tijdvak 2 woensdag 17 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2015 tijdvak 2 woensdag 17 juni 13.30-16.30 uur wiskunde C (pilot) Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 21 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 76 punten te behalen.

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B1. tijdvak 1 dinsdag 20 mei 13.30-16.30 uur

Examen HAVO. wiskunde B1. tijdvak 1 dinsdag 20 mei 13.30-16.30 uur Examen HAVO 2008 tijdvak 1 dinsdag 20 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B1 Dit examen bestaat uit 20 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met

Nadere informatie

Matrixalgebra (het rekenen met matrices)

Matrixalgebra (het rekenen met matrices) Matrixalgebra (het rek met matrices Definitie A a a n a a n a m a mn is e (m n-matrix Hierbij is m het aantal rij van A n het aantal kolomm (m n noemt m de afmeting( van de matrix A We noter vaak kortweg

Nadere informatie

MARKOV MODEL MET KOSTEN In Markov modellen zijn we vaak geïnteresseerd in kostenberekeningen.

MARKOV MODEL MET KOSTEN In Markov modellen zijn we vaak geïnteresseerd in kostenberekeningen. MARKOV MODEL MET KOSTEN In Markov modellen zijn we vaak geïnteresseerd in kostenberekeningen. voorraadmodel: voorraadkosten personeelsplanningmodel: salariskosten machineonderhoudsmodel: reparatiekosten

Nadere informatie

Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 1 Vrijdag 23 mei 13.30-16.30 uur

Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 1 Vrijdag 23 mei 13.30-16.30 uur Wiskunde A (oude stijl) Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 1 Vrijdag 23 mei 13.3-16.3 uur 2 3 Voor dit examen zijn maximaal 87 punten te behalen; het examen bestaat uit 22 vragen.

Nadere informatie

P = LIMIETGEDRAG VAN MARKOV KETENS Limietverdeling van irreducibele, aperiodieke Markov keten:

P = LIMIETGEDRAG VAN MARKOV KETENS Limietverdeling van irreducibele, aperiodieke Markov keten: LIMIETGEDRAG VAN MARKOV KETENS Limietverdeling van irreducibele, aperiodieke Markov keten: Voorbeeld: Zoek de unieke oplossing van het stelsel π = π P waarvoor bovendien geldt dat i S π i = 1. P = 0 1/4

Nadere informatie

LaboXX 2. Bijlage E1: Bevolkingsprognoses Antwerpen 2011-2030. Studiedienst stadsobservatie Bestuurszaken stad Antwerpen

LaboXX 2. Bijlage E1: Bevolkingsprognoses Antwerpen 2011-2030. Studiedienst stadsobservatie Bestuurszaken stad Antwerpen A B C D E F G 1 LaboXX 2 Bijlage E1: Bevolkingsprognoses Antwerpen 2011-2030 3 Studiedienst stadsobservatie Bestuurszaken stad Antwerpen 4 5 6 7 8 9 Inhoudstafel Inhoudstafel... 1 1 Inleiding: evaluatie

Nadere informatie

1. Het getal 200 9 = 1800 is even. De andere antwoorden zijn oneven: 2009, 2 + 0 + 0 + 9 = 11, 200 9 = 191, 200 + 9 = 209.

1. Het getal 200 9 = 1800 is even. De andere antwoorden zijn oneven: 2009, 2 + 0 + 0 + 9 = 11, 200 9 = 191, 200 + 9 = 209. 1. Het getal 200 9 = 1800 is even. De andere antwoorden zijn oneven: 2009, 2 + 0 + 0 + 9 = 11, 200 9 = 191, 200 + 9 = 209. Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2009, probleem 1; Kangoeroewedstrijd

Nadere informatie

Omgaan met inteelt in kleine rassen

Omgaan met inteelt in kleine rassen Omgaan met inteelt in kleine rassen Piter Bijma, Jack Windig en Sipke-Joost Hiemstra Centrum Genetische bronnen Nederland (CGN) Animal Breeding and Genomics Centre (ABGC) 23 april 2008. Traditionele planten-

Nadere informatie

Functies van vectoren

Functies van vectoren Functies van vectoren Alexander Ly Psychological Methods University of Amsterdam 15 September 2014 Overview 1 Notatie 2 Overview 1 Notatie 2 Matrices Een matrix schrijven we vaak met een hoofdletter A.

Nadere informatie

Examen VWO. Wiskunde A (oude stijl)

Examen VWO. Wiskunde A (oude stijl) Wiskunde A (oude stijl) Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 27 mei 13.3 16.3 uur 2 3 Voor dit examen zijn maximaal 9 punten te behalen; het examen bestaat uit 2 vragen.

Nadere informatie

Genetische diversiteit in de Shetland Pony populatie

Genetische diversiteit in de Shetland Pony populatie Genetische diversiteit in de Shetland Pony populatie Lezing door Ir. Anouk Schurink, onderzoeker bij Wageningen Universiteit, tijdens ALV van het NSPS op 23 november 2013 Er is door Wageningen Universiteit

Nadere informatie

Compex wiskunde A1-2 vwo 2005-I

Compex wiskunde A1-2 vwo 2005-I Zalm Wanneer van een vissoort te veel gevangen wordt, kan de populatie zich niet herstellen en valt er op den duur niets meer te vangen. Visserijbiologen streven dan ook naar een evenwichtssituatie waarbij

Nadere informatie

Opmerking Als is afgerond op duizendtallen, hiervoor geen punten aftrekken.

Opmerking Als is afgerond op duizendtallen, hiervoor geen punten aftrekken. Antwoordmodel HAVO wiskunde A 000-II (oude stijl) Antwoorden Opgave Hypotheken Maximumscore 00 000 komt overeen met, maal de koopsom bij een bestaand huis koopsom bestaand huis = 00000 :, = 67 857 gulden

Nadere informatie

Welzijn inkomen en armoede

Welzijn inkomen en armoede Streekpact 2013-2018 Cijferanalyse Publicatiedatum: 10 oktober 2013 Contactpersoon: Kim Nevelsteen Welzijn inkomen en armoede Samenvatting gemiddeld inkomen per Kempenaar 16.423/jaar (2010) iets lager

Nadere informatie

Wiskunnend Wiske. 5. Goochelende getallen. Wat ik ga studeren? Wiskunde natuurlijk!

Wiskunnend Wiske. 5. Goochelende getallen. Wat ik ga studeren? Wiskunde natuurlijk! Wat ik ga studeren? Wiskunde natuurlijk! Wiskunnend Wiske 5. Goochelende getallen c 2010, Standaard Uitgeverij, Antwerpen, België voor alle afbeeldingen van groot Wiske Opdracht 5 Vele goochelaars gebruiken

Nadere informatie

Opvallend in deze figuur is het grote aantal bedrijven met een vergunning voor exact 340 stuks melkvee (200 melkkoeien en 140 stuks jongvee).

Opvallend in deze figuur is het grote aantal bedrijven met een vergunning voor exact 340 stuks melkvee (200 melkkoeien en 140 stuks jongvee). Ontwikkeling melkveebedrijven in Utrecht, Gelderland en Brabant Analyse van mogelijke groei van melkveebedrijven op basis van gegevens van CBS en provincies Het CBS inventariseert jaarlijks de feitelijk

Nadere informatie

Trendrapport hotelbarometer 2014. Jaarrapport

Trendrapport hotelbarometer 2014. Jaarrapport Trendrapport hotelbarometer 2014 Jaarrapport Trendrapport hotelbarometer 2014 - Jaarrapport Inlichtingen sofie.wauters@toerismevlaanderen.be Tel +32 (0)2 504 24 07 Verantwoordelijke uitgever: Peter De

Nadere informatie

NETWERKEN VAN WACHTRIJEN

NETWERKEN VAN WACHTRIJEN NETWERKEN VAN WACHTRIJEN Tot nog toe keken we naar wachtrijmodellen bestaande uit 1 station. Klanten komen aan bij het station,... staan (al dan niet) een tijdje in de wachtrij,... worden bediend door

Nadere informatie

(door ing. P.H. Stikker)

(door ing. P.H. Stikker) MAGISCHE VIERKANTEN TYPEN EN VOORBEELDEN (door ing. P.H. Stikker) Versie: 11-02-03 1 Voorwoord Dit document is opgesteld om een overzicht te krijgen van alle type magische vierkanten. Hopelijk is de lijst

Nadere informatie

3.1 Procenten [1] In 1994 zijn er 3070 groentewinkels in Nederland. In 2004 zijn dit er nog 1625.

3.1 Procenten [1] In 1994 zijn er 3070 groentewinkels in Nederland. In 2004 zijn dit er nog 1625. 3.1 Procenten [1] In 1994 zijn er 3070 groentewinkels in Nederland. In 2004 zijn dit er nog 1625. Absolute verandering = Aantal 2004 Aantal 1994 = 1625 3070 = -1445 Relatieve verandering = Nieuw Oud Aantal

Nadere informatie

Netwerkdiagram voor een project. AON: Activities On Nodes - activiteiten op knooppunten

Netwerkdiagram voor een project. AON: Activities On Nodes - activiteiten op knooppunten Netwerkdiagram voor een project. AON: Activities On Nodes - activiteiten op knooppunten Opmerking vooraf. Een netwerk is een structuur die is opgebouwd met pijlen en knooppunten. Bij het opstellen van

Nadere informatie

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1) Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk

Nadere informatie

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht. 4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 = 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen

Nadere informatie

Evolutie: De ontwikkeling van het leven op aarde waarbij soorten ontstaan, veranderen en/of verdwijnen.

Evolutie: De ontwikkeling van het leven op aarde waarbij soorten ontstaan, veranderen en/of verdwijnen. Evolutie: De ontwikkeling van het leven op aarde waarbij soorten ontstaan, veranderen en/of verdwijnen. Evolutietheorie: Vanaf de 18 de eeuw. Het is niet te bewijzen, maar er zijn genoeg argumenten die

Nadere informatie

Examen HAVO. Wiskunde A1,2 (nieuwe stijl)

Examen HAVO. Wiskunde A1,2 (nieuwe stijl) Wiskunde A1,2 (nieuwe stijl) Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 23 mei 13.30 16.30 uur 20 02 Voor dit examen zijn maximaal 90 punten te behalen; het examen bestaat uit

Nadere informatie

Trendbarometer hotels 2012 Finaal rapport

Trendbarometer hotels 2012 Finaal rapport Trendbarometer hotels 2012 Finaal rapport Trendbarometer hotels 2012 Inlichtingen Dagmar.Germonprez@toerismevlaanderen.be Tel +32 (0)2 504 25 15 Verantwoordelijke uitgever: Peter De Wilde - Toerisme Vlaanderen

Nadere informatie

Huis Sofia 22 november 2011

Huis Sofia 22 november 2011 Huis Sofia 22 november 2011 Overzicht presentatie Antwerpen in cijfers OCMW Antwerpen in cijfers Studenten in Antwerpen Strategische visie en doelstelling Visie en uitgangspunten Wie woont er? Wat betekent

Nadere informatie

TOELICHTING BIJ DE KUBUS "AANTAL MIGRATIES NAAR PLAATS VAN HERKOMST EN PLAATS VAN BESTEMMING PER LEEFTIJD, GESLACHT EN NATIONALITEIT"

TOELICHTING BIJ DE KUBUS AANTAL MIGRATIES NAAR PLAATS VAN HERKOMST EN PLAATS VAN BESTEMMING PER LEEFTIJD, GESLACHT EN NATIONALITEIT TOELICHTING BIJ DE KUBUS "AANTAL MIGRATIES NAAR PLAATS VAN HERKOMST EN PLAATS VAN BESTEMMING PER LEEFTIJD, GESLACHT EN NATIONALITEIT" 1. Algemeen Deze tabellen geven aantallen migraties. In de "Inleiding

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde A1

Examen VWO. wiskunde A1 wiskunde A1 Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 22 juni 13.30 16.30 uur 20 05 Voor dit examen zijn maximaal 81 punten te behalen; het examen bestaat uit 19 vragen. Voor

Nadere informatie

1. Fossielen, dood of levend?

1. Fossielen, dood of levend? 1. Fossielen, dood of levend? Op veel plaatsen op aarde kun je fossielen vinden. Deze oeroude overblijfselen van organismen vertellen een deel van het levensverhaal van de aarde. Soms worden er planten

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B 1 havo 2009 - I

Eindexamen wiskunde B 1 havo 2009 - I Vetpercentage Al heel lang onderzoekt men het verband tussen enerzijds het gewicht en de lengte van volwassen mensen en anderzijds hun gezondheid. Hierbij gebruikt men vaak de Body Mass Index (BMI). De

Nadere informatie

waarde 0,01 0,02 0,05 0,10 0,20 0,50 1,00 2,00

waarde 0,01 0,02 0,05 0,10 0,20 0,50 1,00 2,00 EURO Vanaf 1 januari 2002 werden de munten en bankbiljetten van twaalf Europese landen vervangen door munten en bankbiljetten in euro. In de tabel hieronder staan de waarden van de euromunten aangegeven.

Nadere informatie

STUDIE (F)050908-CDC-455

STUDIE (F)050908-CDC-455 Commissie voor de Regulering van de Elektriciteit en het Gas Nijverheidsstraat 26-38 1040 Brussel Tel. : 02/289.76.11 Fax : 02/289.76.09 COMMISSIE VOOR DE REGULERING VAN DE ELEKTRICITEIT EN HET GAS STUDIE

Nadere informatie

2. We nu nog levende katachtige is volgens deze stamboom het meest verwant aan de Poema? A de Cheeta B de Europese lynx C de Huiskat D de Jaguar

2. We nu nog levende katachtige is volgens deze stamboom het meest verwant aan de Poema? A de Cheeta B de Europese lynx C de Huiskat D de Jaguar 14 C datering De techniek van werken met het verval van 14 C is afkomstig uit onderzoek naar de ouderdom van bepaalde fossielen. De halfwaardetijd van 14 C is 5730 jaar. Over dit onderzoek worden twee

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op 16-4-2012, 14.30-17.00 uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op 16-4-2012, 14.30-17.00 uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS6) op 6--,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops

Nadere informatie

IJSLAND: EEN LAND VAN WATER EN VUUR

IJSLAND: EEN LAND VAN WATER EN VUUR Naam: Klas : Nr: Datum: IJSLAND: EEN LAND VAN WATER EN VUUR A. Roegis & L. Van Eycken 2014-2015 BACHELORPROEF HOGENT Aardrijkskunde IJsland: een land van water en vuur Pagina 2 Deze werkbundel mag gebruikt

Nadere informatie

Op het vwo heb je wiskunde A, B, C en D. Wiskunde A, B en C horen bij een profiel, wiskunde D is een keuzevak.

Op het vwo heb je wiskunde A, B, C en D. Wiskunde A, B en C horen bij een profiel, wiskunde D is een keuzevak. Let op: In de wiskundefilm wordt gezegd dat je naast wiskunde B ook wiskunde A kunt kiezen als examenvak in het vrije deel. Dit is niet toegestaan. De enige combinatie die is toegestaan, is wiskunde B

Nadere informatie

GROOT-BRITTANNIË en zeeklimaat

GROOT-BRITTANNIË en zeeklimaat Naam GROOT-BRITTANNIË en zeeklimaat Groot Brittannië Groot-Brittannië is Schotland, Engeland en Wales samen. Engeland is het grootst van Groot-Brittannië en Wales het kleinst. Engeland heeft meer dan 46

Nadere informatie

Inhoud leereenheid 4. Grafen. Introductie 45. Leerkern 47. Samenvatting 75 Zelftoets 76

Inhoud leereenheid 4. Grafen. Introductie 45. Leerkern 47. Samenvatting 75 Zelftoets 76 Inhoud leereenheid 4 Grafen Introductie 45 Leerkern 47 4.1 Enkele grafische structuren 47 4.2 Wat is een graaf? 49 4.3 De verbindingsmatrix en een algemener graafbegrip 54 4.4 Wandelen in een graaf 58

Nadere informatie

5.0 Voorkennis. Er zijn verschillende manieren om gegevens op een grafische wijze weer te geven: 1. Staafdiagram:

5.0 Voorkennis. Er zijn verschillende manieren om gegevens op een grafische wijze weer te geven: 1. Staafdiagram: 5.0 Voorkennis Er zijn verschillende manieren om gegevens op een grafische wijze weer te geven: 1. Staafdiagram: De lengte van de staven komt overeen met de hoeveelheid; De staven staan meestal los van

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde A1

Examen VWO. wiskunde A1 wiskunde A1 Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Woensdag 25 mei 13.30 16.30 uur 20 05 Voor dit examen zijn maximaal 83 punten te behalen; het examen bestaat uit 21 vragen. Voor

Nadere informatie

Fase 2: De waarnemingen... 4. Fase 3: De resultaten... 4

Fase 2: De waarnemingen... 4. Fase 3: De resultaten... 4 NAAM: Onderzoek doen HAVO versie Fase 1. Plan van aanpak (De voorbereiding)... 2 1.1 Het onderwerp:... 2 1.2 De hoofdvraag:... 2 1.3 De deelvragen:... 2 1.4 Een meetplan... 2 1.5 De theorie... 3 Fase 2:

Nadere informatie

Projectieve Vlakken en Codes

Projectieve Vlakken en Codes Projectieve Vlakken en Codes 1. De Fanocode Foutdetecterende en foutverbeterende codes. Anna en Bart doen mee aan een spelprogramma voor koppels. De ene helft van de deelnemers krijgt elk een kaart waarop

Nadere informatie

Examenopgaven VMBO-KB 2004

Examenopgaven VMBO-KB 2004 Examenopgaven VMBO-KB 2004 2 tijdvak 2 woensdag 23 juni 13.30 15.30 uur WISKUNDE CSE KB WISKUNDE VBO-MAVO-C Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 26 vragen. Voor dit examen zijn

Nadere informatie

Diophantische vergelijkingen

Diophantische vergelijkingen Diophantische vergelijkingen 1 Wat zijn Diophantische vergelijkingen? Een Diophantische vergelijking is een veeltermvergelijking waarbij zowel de coëfficiënten als de oplossingen gehele getallen moeten

Nadere informatie

Ruitjes vertellen de waarheid

Ruitjes vertellen de waarheid Ruitjes vertellen de waarheid Opdracht 1 Van fouten kun je leren Van fouten kun je leren, jazeker. Vooral als je héél goed weet wat er fout ging. Vandaag leer je handige formules begrijpen door kijken

Nadere informatie

Micro evolutie In een populatie huisjesslakken

Micro evolutie In een populatie huisjesslakken Inleiding Bij evolutie denken we vaak aan macro evolutie: het ontstaan, de afstamming of verandering van organismen over een lange tijdsperiode. In macro evolutionair onderzoek werkt men met aannames,

Nadere informatie

Correctievoorschrift HAVO

Correctievoorschrift HAVO Correctievoorschrift HAVO 20 tijdvak wiskunde A (pilot) Het correctievoorschrift bestaat uit: Regels voor de beoordeling 2 Algemene regels 3 Vakspecifieke regels 4 Beoordelingsmodel 5 Inzenden scores Regels

Nadere informatie

Extra oefeningen hoofdstuk 2: Natuurlijke getallen

Extra oefeningen hoofdstuk 2: Natuurlijke getallen Extra oefeningen hoofdstuk 2: Natuurlijke getallen 2.1 Natuurlijke getallen 1 Rangschik de volgende natuurlijke getallen van klein naar groot. 45 54 56 78 23 25 77 89 2 050 2 505 2 055 2 500 2 005 879

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B1

Examen HAVO. wiskunde B1 wiskunde B1 Eamen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak Woensdag 1 juni 13.30 16.30 uur 0 06 Voor dit eamen zijn maimaal 83 punten te behalen; het eamen bestaat uit 0 vragen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor. Opgedragen aan Th. J. Dekker. H. W. Lenstra, Jr.

Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor. Opgedragen aan Th. J. Dekker. H. W. Lenstra, Jr. Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor Opgedragen aan Th. J. Dekker H. W. Lenstra, Jr. Uit de lineaire algebra is bekend dat het aantal oplossingen van een systeem lineaire vergelijkingen gelijk

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde A. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde A. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen HAVO 2014 tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur wiskunde A Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 22 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor

Nadere informatie

VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN. 1. Inleiding

VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN. 1. Inleiding VISUALISATIE VAN KROMMEN EN OPPERVLAKKEN IGNACE VAN DE WOESTNE. Inleiding In diverse wetenschappelijke disciplines maakt men gebruik van functies om fenomenen of processen te beschrijven. Hiervoor biedt

Nadere informatie

Omgevingsanalyse Oostende Ifv nieuwe locatie kinderdagverblijf In opdracht van CM Oostende

Omgevingsanalyse Oostende Ifv nieuwe locatie kinderdagverblijf In opdracht van CM Oostende Omgevingsanalyse Oostende Ifv nieuwe locatie kinderdagverblijf In opdracht van CM Oostende 1 Inleiding In deze analyse worden een aantal cijfers meegegeven die van belang kunnen zijn in het kader van de

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Biologie: evolutieleer 6/29/2013. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Biologie: evolutieleer 6/29/2013. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Biologie: evolutieleer 6/29/2013 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating) en studenten van forum http://www.toelatingsexamen-geneeskunde.be

Nadere informatie

Examen VWO. Wiskunde A1,2 (nieuwe stijl)

Examen VWO. Wiskunde A1,2 (nieuwe stijl) Wiskunde A1,2 (nieuwe stijl) Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 20 juni 13.30 16.30 uur 20 01 Voor dit examen zijn maximaal 90 punten te behalen; het examen bestaat

Nadere informatie

Hoe maak je nu van breuken procenten? Voorbeeld: Opgave: hoeveel procent van de onderstaande tekening is zwart gekleurd?

Hoe maak je nu van breuken procenten? Voorbeeld: Opgave: hoeveel procent van de onderstaande tekening is zwart gekleurd? Procenten Zoals op de basisschool is aangeleerd kunnen we een taart verdelen in een aantal stukken. Hierbij krijgen we een breuk. We kunnen ditzelfde stuk taart ook aangegeven als een percentage. Procenten:

Nadere informatie

Samenvattingen 5HAVO Wiskunde A.

Samenvattingen 5HAVO Wiskunde A. Samenvattingen 5HAVO Wiskunde A. Boek 1 H7, Boek 2 H7&8 Martin@CH.TUdelft.NL Boek 2: H7. Verbanden (Recht) Evenredig Verband ( 1) Omgekeerd Evenredig Verband ( 1) Hyperbolisch Verband ( 2) Machtsverband

Nadere informatie

deel B Vergroten en oppervlakte

deel B Vergroten en oppervlakte Vergroten en verkleinen - wiskunde deel B Vergroten en oppervlakte Als je een figuur door een fotokopieerapparaat laat vergroten dan worden alle afmetingen in de figuur met dezelfde factor vermenigvuldigd.

Nadere informatie

Enig idee wat een uitvaart gemiddeld kost?

Enig idee wat een uitvaart gemiddeld kost? Verzekering Verzekeringsmaatschappijen maken op verschillende manieren reclame voor allerlei verzekeringen. Een voorbeeld daarvan vind je in figuur 1 hieronder. Daar zie je een deel van een reclamefolder

Nadere informatie

math inside Model orde reductie

math inside Model orde reductie math inside Model orde reductie Model orde reductie Met het voortschrijden van de rekenkracht van computers en numerieke algoritmen is het mogelijk om steeds complexere problemen op te lossen. Was het

Nadere informatie

Nog een eindexamen met veel vaardigheden Eindexamen Wiskunde A havo 2009-I 2 tabel 1 -getal Draagvermogen (kg)

Nog een eindexamen met veel vaardigheden Eindexamen Wiskunde A havo 2009-I 2 tabel 1 -getal Draagvermogen (kg) Nog een eindexamen met veel vaardigheden Eindexamen Wiskunde A havo 2009-I Autobanden Er bestaan veel verschillende merken autobanden en per merk zijn er banden in allerlei soorten en maten. De diameter

Nadere informatie

HANDLEIDING IMA ATLAS

HANDLEIDING IMA ATLAS 1 HANDLEIDING IMA ATLAS 1. INLEIDING Het InterMutualistisch Agentschap (IMA) stelt beleidsrelevante statistieken en indicatoren ter beschikking via een interactieve website: http://atlas.ima-aim.be. Deze

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde C. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde C. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 2012 Eindexamen VWO Wiskunde C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek I Tjing Opgave 1. Het aantal hoofdstukken in de I Tjing correspondeert met het totale aantal

Nadere informatie

11. o - 8 ... ... ... ... f e. d i. Apenrots Leeuwenterras Kleine-Zoogdierenhuis Uilenruïne Californische zeeleeuwen Insectarium

11. o - 8 ... ... ... ... f e. d i. Apenrots Leeuwenterras Kleine-Zoogdierenhuis Uilenruïne Californische zeeleeuwen Insectarium o - 8 11. We hadden al gezien dat sommige dieren toevallig bepaalde voordelige eigenschappen hebben. Je kunt je voorstellen dat zo n dier-met-voordeel meer nakomelingen krijgt dan andere dieren. En die

Nadere informatie

Leerstofplanning. 3 vmbo-k

Leerstofplanning. 3 vmbo-k Leerstofplanning 3 vmbo-k Inhoud 3 vmbo-k deel 1 1 Kijken in ruimtefiguren Bij kaart: schaal, hemelsbreed en werkelijke afstand(vuistregels), hoogtelijnen op kaart, verticale doorsnede bij hoogtekaart,

Nadere informatie

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback IJkingstoets burgerlijk ingenieur 30 juni 2014 - reeks 1 - p. 1 IJkingstoets burgerlijk ingenieur juni 2014: algemene feedback In totaal namen 716 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur

Nadere informatie

4.2. Evaluatie van de respons op de postenquêtes. In dit deel gaan we in op de respons op instellingsniveau en op respondentenniveau.

4.2. Evaluatie van de respons op de postenquêtes. In dit deel gaan we in op de respons op instellingsniveau en op respondentenniveau. 4.2. Evaluatie van de respons op de postenquêtes 4.2.1. Algemeen In dit deel gaan we in op de respons op instellingsniveau en op respondentenniveau. Instellingsniveau (vragenlijst coördinator) provincie,

Nadere informatie

Info spot. Diabetes en depressie. Inleiding. Oktober - november - december 2011

Info spot. Diabetes en depressie. Inleiding. Oktober - november - december 2011 Oktober - november - december 2011 Info spot Diabetes en depressie Inleiding Diabetes mellitus, ofwel suikerziekte, is een chronische stofwisselingsziekte die gekenmerkt wordt door een te hoog glucosegehalte

Nadere informatie