2 Toepassingen van matrices

Transcriptie

1 Toepassingen van matrices. Matrices en verkeer.. efinities Een graaf is een figuur bestaande uit een eindig aantal punten (= knopen) en een eindig aantal verbindingslijnen (= takken) tussen die knopen. Een graaf is enkelvoudig als voor elk tweetal knopen ten hoogste verbinding bestaat. Indien er voor tenminste knopen meerdere verbindingen bestaan dan spreekt men van een meervoudige graaf. Twee knopen verbonden door tenminste tak noemt men buren of verbonden knopen. Een tak die hetzelfde beginpunt en eindpunt heeft is een lus. Een pad van een knoop p naar een knoop q is een rij van opeenvolgende verbindingslijnen startend in de knoop p en eindigend in de knoop q. ij n knopen zijn er maximaal n ( n ) n = verbindingen... Het probleem van Köningsberg In Köningsberg (Oost-Pruisen - 8 e eeuw) vroegen de bewoners zich af of het mogelijk zou zijn een wandeling te maken over de 4 delen van de stad die verbonden zijn door 7 bruggen, en wel zo dat elke brug precies -maal werd gebruikt. Euler was de eerste die een bewijs gaf voor dit probleem. Euler stelde ieder deel voor door een punt en iedere brug door een lijn. Stel namelijk dat er inderdaad een route bestaat waarbij je één keer elke brug passeert. ie tocht is logischerwijze ergens begonnen en ergens geëindigd. Het is ook logisch dat op elke halte tussen dat begin en einde een even aantal bruggen moet samenkomen. Immers: als je tijdens je tocht bijvoorbeeld op plein komt, moet je er via een andere brug weer af (en beland je nog een keer in, moet je er via weer een andere brug van af). Via dezelfde redenering begrijpen we ook dat zowel het start- als het eindpunt juist een oneven aantal bruggen moet hebben. Een zogenaamde Eulertocht lukt alleen als de graaf exact twee punten heeft met een oneven aantal verbindingen. En helaas, bij de Köningsberger-bruggen zijn alle vier punten oneven. Geboeid door wiskunde en wetenschappen Matrices

2 Een gelijkaardig probleem is of de figuur hiernaast in één pennetrek kan getekend worden. Een graaf die aan de voorgaande probleemstelling voldoet, noemt men een Euler-pad. Euler bewees dat een graaf een Euler-pad is als het aantal punten met een oneven aantal verbindingspunten gelijk is aan nul of twee. Indien er geen oneven punten zijn, noemt men de graaf een Euler-circuit. Het beginpunt mag willekeurig gekozen worden. In het geval van twee oneven punten, kan je alleen met zekerheid zeggen dat er een Eulerpad is. Het beginpunt moet samenvallen met één oneven punt en het eindpunt met het andere. Zoek uit medelijden met de burgers van Köningsberg een oplossing voor hun probleem...3 Verbindingsmatrix efinitie estaat een graaf K uit n knopen,,, n dan stelt M de n n-verbindingsmatrix van K voor, waarbij: m ij = 0 als i en j niet verbonden zijn en m ij = als i en j door minstens tak verbonden zijn. Opmerking Het kan bij eenrichtingsverkeer dat m ij = en m ji = 0 Voorbeeld: Graaf K met 3 knopen, =, = en 3 =. van M = naar Merk op dat deze matrix de graaf overbodig maakt...4 irecte-wegenmatrix van K e directe-wegenmatrix van K is de matrix met als elementen m ij = aantal takken van i naar j (ook voor i=j). Voor het onderstaande voorbeeld geldt weer: =, = en 3 =. M = naar van Van naar zijn wegen waarvan met éénrichtingsverkeer! Met graaf bedoelen we een samenhangende graaf. it is een graaf waarbij het steeds mogelijk is tussen twee willekeurige knopen een pad te construeren. Geboeid door wiskunde en wetenschappen Matrices

3 ..5 -stapsverbindingen Weg van naar is een éénrichtingsverbinding. Indien je van naar gaat via weg, moet je via weg terug naar. Opsomming van alle -stapsverbindingen: it geeft de volgende matrix: van 4 naar Voorstelling van de -stapsverbindingen met volgende graaf: Van Via Naar ereken, met de grafische rekenmachine, M M = M. Wat stel je vast?..6 3-stapsverbindingen e verbindingsmatrix van de hieronder afgebeelde graaf is: M 0 0 = Geboeid door wiskunde en wetenschappen Matrices 3

4 ls tweestapsverbindingen vinden we: M 3 3 = 3 = MM = oor de keuze van de getallen 0 en in de verbindingsmatrix zal een onmogelijke tweestapsroute minstens één factor 0 bevatten. Neem bijvoorbeeld m 4 van M, m 4 =, het aantal tweestapsverbindingen van naar. Vermenigvuldiging van de e rij van M met de 4 e kolom van M geeft m 4 van M : = m m 4 + m m 4 + m 3 m 34 + m 4 m 44. m = m 4 =0 = geen verbinding e 3-stapsverbindingen zijn: M 3 = van M = = m 4 =4 van M, de 3-stapsverbindingen van naar, is het product van de e rij van de -stapsverbindingen van naar,, en, met de 4 e kolom van M, de -stapsverbindingen van,, en naar : =4 namelijk -, -, -, en - lgemeen Het element op de i e -rij en j e -kolom, m ij, van aantal k-stapsverbindingen tussen i en j. M, k M (met M de directe-wegenmatrix) is het 0 M + M geeft het aantal verbindingen bestaande uit hoogstens stap, 0 M + M + M het aantal verbindingen van hoogstens stappen en 0 k M + M + M M aantal verbindingen van hoogstens k stappen. k e som die geen enkele 0 meer bevat heet de oplossingsmatrix T waarbij k de diameter van de graaf is. Er zijn hoogstens k stappen nodig om gelijk welke twee plaatsen met elkaar te verbinden. Geboeid door wiskunde en wetenschappen Matrices 4

5 Oefening (i) Stel de verbindingsmatrix op. (ii) ereken met de grafische rekenmachine - en 3-stapsverbindingen. (iii) epaal de diameter van de graaf. Oefening In onderstaande figuur vind je een deel van het Underground-netwerk in Londen. (i) epaal de verbindingsmatrix. (ii) 0 ereken + +. (iii) epaal de diameter van de graaf. (iv) epaal het element t 3 van de oplossingsmatrix. -- akerstreet -- Oxford ircus -3- Green Park -4- Picadilly ircus -5- Victoria Station -6- haring ross Geboeid door wiskunde en wetenschappen Matrices 5

6 . Matrices in sociale wetenschappen.. Een fragment ze werden verwelkomd door Leopold, zijn zonen lbert en oudewijn en zijn dochter harlotte, lbert s vrouw Paola en hun zonen Philip en Laurent en Philip s dochter Elisabeth. Met de relatie is kind van maken we de volgende graaf: Leopold lbert ouwdewijn Paola Philip Laurent Elisabeth e volgende matrix, met nullen ( is geen kind van ) en enen ( is een kind van ), representeert deze graaf. naar L P Ph La E Van L P Ph La E ereken, met de grafische rekenmachine, achterkleinkind van. : is een kleinkind van en 3 : is.. Overgangsmatrix Een overgangsmatrix is een matrix die hoort bij een graaf met knopen waarin de overgangen in een vaste periode worden aangegeven. Geboeid door wiskunde en wetenschappen Matrices 6

7 VOOREEL In een dorp zijn twee winkels en. Elke maand zijn er klanten van winkel die de volgende maand naar winkel gaan en andersom. e meeste klanten blijven gewoon bij hun oude winkel. ij de opening van de winkels zijn er 00 klanten bij en 00 klanten bij e overgangsmatrix is: van 0,95 0, naar 0, 05 0,9 e elementen van de overgangsmatrix geven deovergangen aan. e som van de elementen van elke kolom is telkens. Situatie na periode (= maand): 0,95 0, , 05 0,9 00 = 85 Situatie na periodes (= maand): 0,95 0, 5 0,95 0, 0,95 0, 00 0, 05 0,9 85 = 0, 05 0,9 0, 05 0,9 00 0,95 0, 00 8 = 0, 05 0,9 = 00 7 Evolutie na enkele maanden: ij is er elke maand een steeds kleinere toename, terwijl er bij elke maand een steeds kleinere daling is. e toestand evolueert naar een stabiele verdeling. VOOREEL In een ontwikkelingsland is er een wekelijks mededelingsprogramma voor landbouwers waarin een technologische evolutie wordt uiteengezet. deze landbouwers hebben onderling geen contact. e kans dat een landbouwer luistert is 0%. Op t = 0 weet geen enkele landbouwer iets van de innovatie. van nw w gedeelte niet-weters 00 % nw niet-weters 0 naar 0. 0 = gedeelte weters 0% w 0 weters Geboeid door wiskunde en wetenschappen Matrices 7

8 Na week zijn er van de 00 niet-weters nog 80 niet-weters en de andere 0 zijn weters. Hoe is de situatie na 5 weken? = Resulaat na 5 weken: = niet-weters weters Hoe komt dat de groep van weters niet elke week met 0% toeneemt? Nadat er 80% weters zijn, wordt een volgende innovatie gestart. Na hoeveel weken is dit?.3 Matrices in biologie of aardrijkskunde.3. Migratie e migratie tussen russel en ntwerpen wordt als volgt schematisch weergegeven: 7/8 ntwerpen /8 /6 russel 5/6 e bijhorende migratie-matrix is 7/8 /6 = /8 5/6, in een tijdspanne van 5 jaar. ereken de bevolkingsaantallen van russel en ntwerpen na 5 en 0 jaar als de beginsituatie gegeven is door de matrix = OEFENING ereken de bevolkingsaantallen van russel, Mechelen en ntwerpen binnen 9 jaar als de volgende migratie-matrix geldt voor een periode van 3 jaar, dit uitgaande van de bevolkingsaantallen (in duizendtallen): ntwerpen 55, Mechelen 98, russel. M = naar ntwerpen Mechelen russel van nt Mech ru 3/5 /0 /0 /5 4/5 3/0 /5 /0 3/5 Herschrijf de migratie-matrix als volgt: van naar 3/5 /5 /5 /0 4/5 3/0 /0 /0 3/5 Wat is de relatie tussen M en deze matrix? Gebruik deze laatste matrix om je antwoord te bekomen. Geboeid door wiskunde en wetenschappen Matrices 8

9 n m Een matrix noemen we de getransponeerde matrix van T en j {,..., m} geldt dat bij = aji. noteren we als. m n als i {,..., n} Waaraan denk je dat de getransponeerde van het product van twee matrices gelijk is? ( PQ ) T = Populatie-voorspellingsmatrix of Lesliematrix ij een kever-populatie geldt dat 50% meer dan jaar wordt, /3 meer dan jaar en geen enkele kever wordt 3 jaar -jarige kevers brengen gemiddeld 6 nakomelingen voort. Vertrekkende van 3000 kevers waarbij er 000 kevers per groep (I: 0-jaar, II: - jaar, III: > jaar) zijn, kan het volgend produkt worden opgesteld: I II III I II III / / Gebruik van insecticides dringt de vruchtbaarheid terug van 6 tot 3. epaal hiervan de invloed. Hoe stel je een Lesliematrix op voor n groepen? e rij: vruchtbaarheid van elke groep e rij: e kolom = overlevingskans, promotiekans voor volgende groep en alle andere elementen nul 3 e rij: e kolom = kans om van e naar 3 e groep te gaan en alle andere elementen nul. 4 e rij: 3 e kolom = kans om van 3 e naar 4 e groep te gaan en alle andere elementen nul. v0 v v... vn vn p p pn 0 = Geboeid door wiskunde en wetenschappen Matrices 9

10 OEFENINGEN a. Een populatie bestaat uit leeftijdsklassen van 5 dagen. Geen enkel individu wordt 90 dagen. Voortplanting is er tussen de 30 ste en 75 ste levensdag (v 0 = v = v 5 = 0) met v = 4, v 3 = 0 en v 4 = 4. e eerste 5 dagen sterft 50% van de dieren, 75% gaat van de e naar de 3 e groep en eveneens 75% gaat van de 3 e naar de 4 e groep. Slechts 33% gaat van de 4 e naar de 5 e groep en tenslotte gaat er 5% van de 5 e naar de 6 e groep. epaal de Lesliematrix. b. Voor drie even grote groepen van 000 (jongeren, volwassenen, ouderen) gelden volgende regels: v 0 = 0,, v = 0,5, v = 0,0 en p 0 = 0.5, p = 0.5. Hoe evolueert deze populatie in de eerste 4 jaren? Hoe is de verdeling na 0 jaar? c. In een populatie kunnen 3 generaties onderscheiden worden. e periode van de graaf is de lengte van generatie. Stel de populatievoorspellingsmatrix of Lesliematrix op en bepaal het aantal van elke generatie na 5 periodes. e beginsituatie is 00, 60, Matrices en lineaire transformaties in het vlak Uitgewerkt voorbeeld van een rotatie (= draaiing) met centrum 0 en hoek θ. y y ' b P x' d θ 0 θ a c x Zij { e, e} de orthonormale basis van x0 y en { e', e'} een orthonormale basis van x '0 y '. ( ab, ) zijn de coördinaten van P t.o.v. x0 y en (, cd ) t.o.v. x '0 y '. π π π π aar cos( θ + ) = cos( θ) = sinθ en sin( + θ ) = sin( θ) = cosθ geldt: e ' = cosθ e + sinθ e e ' = sinθ e + cosθ e en Geboeid door wiskunde en wetenschappen Matrices 0

11 it geeft de volgende overgangsmatrix: cosθ sinθ S = sinθ cosθ. Voor P geldt dat P= a e+ b e. () nderzijds geldt dat: P= c e' + d e' = c (cosθ e+ sin θ e) + d ( sinθ e+ cos θ e) = ( c cosθ d sin θ) e + ( c sinθ + d cos θ) e () Uit () en () volgt dat a = c cosθ d sinθ en b= c sinθ + d cosθ. In matrixnotatie geeft dit a cosθ sinθ c b = sinθ cosθ d. En na links vermenigvuldigen met S : c cosθ sinθ a d = sinθ cosθ b. Verklaar waarom S een inverse heeft en bereken de inverse. Stel de matrix op van een spiegeling t.o.v. de x-as. epaal de matrix na opeenvolgende rotaties over θ. Geboeid door wiskunde en wetenschappen Matrices