16.3 Opgaven hoofdstuk 4: 2-d partities

Transcriptie

1 Opgave 4.1 b Voor het getal drie geldt dat het op drie manieren opgedeeld kan worden in gehele getallen volgens definitie 4.1. Het kan opgedeeld worden in één keer 3 of in één keer 2 en één keer 1 of in drie keer 1. In figuur 118 zijn ze afgebeeld. (a) λ = (3) (b) λ = (2, 1) (c) λ = (1, 1, 1) Figuur 118: De drie verschillende 2-d partities van het getal 3 Opgave 4.1 c Er is maar één manier mogelijk om niets neer te leggen. Ook voor één vierkantje is maar één mogelijkheid. Voor twee vierkantjes zijn twee mogelijkheden. Voor vier vierkantjes zijn vijf mogelijkheden. Voor vijf vierkantjes zijn zeven mogelijkheden en tot slot zijn er voor zes vierkantjes elf mogelijkheden. Zie ook de voorbeelden bij het antwoord op opgave 4.1 d. (a) λ = (1) (b) λ = (2) (c) λ = (1, 1) Figuur 119: De partitie van het getal 1 en de twee verschillende 2-d partities van het getal 2 Opgave 4.1 d In de figuren 118, 119, 120, 121 en 122 zijn de Ferrersdiagrammen gegeven van alle mogelijke 2-d partities van de getallen 3, 1, 2, 4, 5 en 6. (a) λ = (4) (b) λ = (3, 1) (c) λ = (2, 1, 1) (d) λ = (2, 2) (e) λ = (1, 1, 1, 1) Figuur 120: De vijf verschillende 2-d partities van het getal 4 129

2 (a) λ = (5) (b) λ = (4, 1) (c) λ = (3, 1, 1) (d) λ = (3, 2) (e) λ = (2, 2, 1) (f) λ = (2, 1, 1, 1) (g) λ = (1, 1, 1, 1, 1) Figuur 121: De zeven verschillende 2-d partities van het getal 5 Opgave 4.2 a De geconjugeerde partitie van λ = (11, 7, 7, 3, 3, 1, 1) is λ = (7, 5, 5, 3, 3, 3, 3, 1, 1, 1, 1). De geconjugeerde partitie van λ = (8, 5, 4, 2) is λ = (4, 4, 3, 3, 2, 1, 1, 1). De geconjugeerde partitie van λ = (4, 3, 2, 1) is λ = (4, 3, 2, 1). De geconjugeerde partitie van λ = (4, 3, 3, 1) is λ = (4, 3, 3, 1). Opgave 4.2 b Zie bijvoorbeeld de partities λ = (4, 3, 2, 1) en λ = (4, 3, 3, 1) uit opgave 4.2 a. Verder vind je tussen de partities van de vorige opgaven enkele voorbeelden, zoals in de figuren 118(b), 119(a), 120(d), 121(c) en 122(f). Opgave 4.2 c In de figuren 118, 119, 120, 121 en 122 zijn naast de Ferrersdiagrammen ook de λ-notaties opgenomen van alle mogelijke 2-d partities van de getallen 3, 1, 2, 4, 5 en 6. Opgave 4.2 d De partities in de figuren 122(a) en 122(k) zijn elkaars geconjugeerde. De partities in de figuren 122(b) en 122(j) zijn elkaars geconjugeerde. De partities in de figuren 122(c) en 122(g) zijn elkaars geconjugeerde. De partities in de figuren 122(d) en 122(i) zijn elkaars geconjugeerde. De partities in de figuren 122(e) en 122(h) zijn elkaars geconjugeerde. De partitie in figuur 122(f) is zijn eigen geconjugeerde. Opgave 4.3 a De Frobenius-notatie van λ = (11, 7, 7, 3, 3, 1, 1) is (10, 5, 4 6, 3, 2). De Frobenius-notatie van λ = (8, 5, 4, 2) is (7, 3, 1 3, 2, 0). De Frobenius-notatie van λ = (4, 3, 2, 1) is (3, 1 3, 1). 130

3 (a) λ = (6) (b) λ = (5, 1) (c) λ = (4, 1, 1) (d) λ = (4, 2) (e) λ = (3, 3) (f) λ = (3, 2, 1) (g) λ = (3, 1, 1, 1) (h) λ = (2, 2, 2) (i) λ = (2, 2, 1, 1) (j) λ = (2, 1, 1, 1, 1) (k) λ = (1, 1, 1, 1, 1, 1) Figuur 122: De elf verschillende 2-d partities van het getal 6 De Frobenius-notatie van λ = (4, 3, 3, 1) is (3, 1, 0 3, 1, 0). Opgave 4.3 b De λ-notatie van (6, 4, 0 5, 2, 0) is λ = (7, 6, 3, 2, 1, 1). De λ-notatie van (9, 8, 6, 4 6, 4, 1, 0) is λ = (10, 10, 9, 8, 2, 2, 1). De λ-notatie van (3, 1, 0 5, 4, 2) is λ = (4, 3, 3, 3, 3, 2). Opgave 4.4 a Als de Frobenius-notatie van een partitie gegeven wordt door (a 1, a 2,, a p a 1, a 2,, a q) en voor deze partitie geldt dat hij gelijk is aan zijn geconjugeerde, dan geldt dat p = q en bovendien a 1 = a 1, a 2 = a 2 tot en met a p = a p. Opgave 4.4 b Voor de eerste p getallen in de λ-notatie kunnen we rechtstreeks gebruik maken van de getallen a i met i = 1, 2,, p uit de Frobenius-notatie. Hiervoor geldt namelijk dat deze getallen gelijk zijn aan λ i = a i + i. Voor de λ j met j > p moeten we de getallen a i gaan onderzoeken. Deze getallen vertellen ons hoe lang de verticale stroken zijn, links onder de diagonaal. Door te kijken hoeveel hiervan uitsteekt onder de eerste p horizontale rijen, waarvoor we de waarden van de λ i al bepaald hebben, weten we meer over de volgende λ j. We beginnen met a p. De uitkomst hiervan, als het tenminste groter is dan 0, vertelt ons hoeveel λ j er nog komen. Analoog aan de vorige berekening onderzoeken we a i + i p. Zolang hier een getal groter dan 0 uit komt, 131

4 hebben de eerste a i + i p waarden voor λ j een waarde groter of gelijk aan i. Opgave 4.4 c De getallen p en q blijken altijd aan elkaar gelijk. Het aantal getallen voor de verticale streep is gelijk aan het aantal getallen na de verticale streep. En dit aantal is dus gelijk aan het aantal vierkantjes op de diagonaal. Dit is het aantal vierkantjes dat we verwijderd hebben. Het rijtje getallen a 1, a 2,, a p levert opgeteld het aantal vierkantjes rechts boven de diagonaal. Het rijtje getallen a 1, a 2,, a p levert opgeteld het aantal vierkantjes links onder de diagonaal. Deze twee rijtjes samen opgeteld levert dus het aantal vierkantjes buiten de diagonaal. Tellen we hier p bij op dan hebben we er ook nog het aantal vierkantjes op de diagonaal bij opgeteld. En deze optelling levert ons dus het getal van de partitie. Samenvattend: p p p + a i + a i = n. i=1 Opgave 4.5 a In opgave 4.3 a heb je de partities (10, 5, 4 6, 3, 2), (7, 3, 1 3, 2, 0), (3, 1 3, 1) en (3, 1, 0 3, 1, 0) gevonden. (10, 5, 4 6, 3, 2) bestaat uit (10, 5, 4) en (6, 3, 2). (7, 3, 1 3, 2, 0) bestaat uit (7, 3, 1) en (3, 2, 0). (3, 1 3, 1) bestaat uit (3, 1) en (3, 1). (3, 1, 0 3, 1, 0) bestaat uit (3, 1, 0) en (3, 1, 0). In alle gevallen zijn het niet stijgende rijen getallen, en dus partities. Soms eindigt een rij op een 0, maar omwille van de λ-notatie laten we deze weg. Het zelfde geldt voor de Frobenius-notaties in opgave 4.3 b. Opgave 4.5 b Formule (4) vertelt ons dat als de partitie in λ-notatie gegeven wordt door λ = (λ 1, λ 2, λ 3,...) dat dan in de Frobeniusnotatie links van de verticale streep de niet negatieve getallen komen uit de reeks (λ 1 1, λ 2 2,...). Definitie 4.2 leert ons dat in de λ-notatie geldt dat λ 1 λ 2 λ r > 0. Als λ 1 λ 2 dan zal zeker ook gelden λ 1 1 λ 2 2. En voor de volgende λ i geldt λ i λ i+1, dus ook λ i 1 λ i+1 (i + 1). Dus zal voor deze reeks getallen (λ 1 1, λ 2 2,...) (voorzover niet negatief) gelden dat het ook een partitie is in λ-notatie volgens definitie 4.2, alleen moeten we mogelijk op het einde nog een 0 weglaten. Voor de reeks getallen rechts van de verticale streep geldt dat deze tot stand komt met dezelfde berekening, maar met de geconjugeerde van de oorspronkelijke partitie als bron. En de geconjugeerde van een partitie is zelf ook weer een partitie. Dus hierop is verder een zelfde argumentatie van toepassing. Opgave 4.5 c In opgave 4.5 b hebben we gevonden dat voor opvolgende getallen in de λ-notatie geldt dat λ i λ i+1. Als we van beiden het positieve getal i afhalen komen we op λ i i λ i+1 i. Als we dan van de tweede er nog 1 vanaf halen dan wordt deze nog kleiner en kan deze zeker niet meer gelijk zijn aan de eerste en is er dus sprake van een strikte ongelijkheid: λ i i > λ i+1 i 1. Met andere woorden: λ i i λ i+1 (i + 1). En dit zijn twee willekeurige opvolgende getallen in de reeks aan één van beide kanten van de verticale streep van de Frobenius-notatie. Dus voor de getallen in zo n reeks geldt λ 1 1 > λ 2 2 > λ 3 3 > λ 4 4 >... en deze zijn dus allemaal verschillend. Opgave 4.6 a Van de partities uit opgave 4.3 a zijn de volgende wel strikt: λ = (8, 5, 4, 2) en λ = (4, 3, 2, 1). De partities λ = (11, 7, 7, 3, 3, 1, 1) en λ = (4, 3, 3, 1) zijn niet strikt. De tweede heeft twee keer het getal 3, de eerste heeft de getallen 7, 3 en 1 alle drie twee keer. Van de partities uit opgave 4.3 b zijn alle drie de partities (6, 4, 0 5, 2, 0), (9, 8, 6, 4 6, 4, 1, 0) en (3, 1, 0 5, 4, 2) niet strikt. Je hebt ze vertaald naar λ = (7, 6, 3, 2, 1, 1), λ = (10, 10, 9, 8, 2, 2, 1) en λ = (4, 3, 3, 3, 3, 2). De eerste heeft twee keer een 1; de tweede twee keer een 10 en twee keer een 2; de derde heeft vier keer een 3. i=1 132

5 Opgave 4.6 b Van de elf partities van 6 zijn de volgende strikt: λ = (6), λ = (5, 1), λ = (4, 2) en λ = (3, 2, 1). Bij de andere zeven komen getallen vaker dan één keer voor. Opgave 4.7 a (10), (9, 1), (8, 2), (7, 3), (7, 2, 1), (6, 4), (6, 3, 1), (5, 4, 1), (5, 3, 2), (4, 3, 2, 1), (9), (8, 1), (7, 2), (6, 3), (6, 2, 1), (5, 4), (5, 3, 1), (4, 3, 2), (8), (7, 1), (6, 2), (5, 3), (5, 2, 1), (4, 3, 1), (7), (6, 1), (5, 2), (4, 3), (4, 2, 1), (6), (5, 1), (4, 2), (3, 2, 1), (5), (4, 1), (3, 2), (4), (3, 1), (3), (2, 1), (2), (1). Opgave 4.7 b n aantal verschillende strikte partities Opgave 4.8 a (9, 1), (7, 3), (7, 1, 1, 1), (5, 5), (5, 3, 1, 1), (5, 1, 1, 1, 1, 1), (3, 3, 3, 1), (3, 3, 1, 1, 1, 1), (3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1), (9), (7, 1, 1), (5, 3, 1), (5, 1, 1, 1, 1), (3, 3, 3), (3, 3, 1, 1, 1), (3, 1, 1, 1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1), (7, 1), (5, 3), (5, 1, 1, 1), (3, 3, 1, 1), (3, 1, 1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1), (7), (5, 1, 1), (3, 3, 1), (3, 1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1), (5, 1), (3, 3), (3, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1, 1, 1) (5), (3, 1, 1), (1, 1, 1, 1, 1), (3, 1), (1, 1, 1, 1), (3), (1,1, 1), (1,1), (1). n aantal verschillende partities in alleen oneven getallen