VJfël^Btófó^ ministerie variveifccjerert waterstaat. 1988^721 m m. A^tis A.Zwagemaker s Rijswijk : :- augustus 198S C 7898

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "VJfël^Btófó^ ministerie variveifccjerert waterstaat. 1988^721 m m. A^tis A.Zwagemaker s Rijswijk : :- augustus 198S C 7898"

Transcriptie

1 ministerie variveifccjerert waterstaat 1988^721 m m ë Öt^mj> VAM ^y^oepmal^ OPIJC^SINGEN VOOR VJfël^Btófó^ WEG." * M A^tis A.Zwagemaker s Rijswijk : : augustus 198S * * * C 7898

2

3 "ONTWERP VAN SUBOPTIMALE OPLOSSNGEN VOOR HET VERHARDINGSONDERHOUD VAN EEN WEG." A.H.A.Zwagemakers TUDelft, Rijkswaterstaat Dienst Informatieverwerking, Rijswijk. augustus 1988

4 INHOUD: Lijst van gebruikte symbolen. Voorwoord. Samenvatting Hoofdstuk 1 Inleiding Rationeel wegonderhoud in het verleden. 1.2 Beoordeling van kwaliteit. 1.3 Kwaliteitsverbetering. 1.4 Rendementsberekeningen. Hoofdstuk 2 Probleem en modelvorming Probleembeschrijving. 2.2 Toestanden en tijd Onderhoudsstrategie. 2.4 Onderhoudseffecten. 2.5 Beperkingen van de oude modelaanpak. 2.6 Nieuwe probleemstelling. Hoofdstuk 3 Nieuwe modelbenadering Projectniveau. 3.2 Stochastisch verloop. 3.3 Rente. 3.4 Alternatieve maatregelen. 3.5 Analyse van kosten. 3.6 Oplossingsmethoden. 3.7 L.P. formulering. 3.8 Een klein voorbeeld. Hoofdstuk 4 Gevoeligheidsanalyse Inleiding. 4.2 Gevoeligheidsanalyse door variatie van kosten. 4.3 Gevoelige maatregelen. 4.4 Gevoeligheid t.a.v de rente. Hoofdstuk 5 Alternatieve maatregelen en strategieën Inleiding 5.2 Alternatieven voor een maatregel. 5.3 Alternatieven voor een reeks van maatregelen (strategie). 5.4 Conclusies met betrekking tot alternatieven. Hoofdstuk Een praktijkvoorbeeld. Inleiding. Invoer. Resultaten: optimale onderhoudsstrategie Optimaal onderhoudsontwerp voor probleem P v Optimaal onderhoudsontwerp voor probleem P x a Optimaal onderhoudsontwerp voor probleem Pjb Optimaal onderhoudsontwerp voor probleem PiC Optimaal onderhoudsontwerp voor probleem P Optimaal onderhoudsontwerp voor probleem P 2 a. Gevoeligheidsanalyse en suboptimale strategieën. 66

5 6.5 Conclusies. Hoofdstuk Literatuur Bijlage 1 Bijlage 2 Bijlage 3 Bijlage 4 Evaluatie. Conclusies. Opmerkingen. Aanbevelingen. Budgetteringsmodel (methode Tolman). Werken met het FMPSpakket. Beslissingsregels voor een praktijkvoorbeeld. Tabellenboek van een praktijkvoorbeeld

6 LIJST VAN GEBRUIKTE SYMBOLEN. c< : discontofactor B Bj B : overall budget in een stationaire keten : annuïteiten budget horend bij toestand i : overall annuïteiten budget gerekend vanaf tijdstip t B n : gerekend overall budget bij de nde iteratiestap in een stationaire keten 6 : verstoringsfactor van de kosten G : prijsgrens K : kosten Ki(m) : kosten van maatregel m toegepast op toestand i K,j : kosten horend bij de overgang van toestand i naar toestand j K (t) : kosten gemaakt in het tde jaar m : een maatregel die ter beschikking staat M : set van beschikbare maatregelen m, Mj N 0,P,Q,R Pij(m) : een voorgeschreven maatregel op toestand i uit de strategie : variabele die een toegestane maatregel op een toestand aangeeft (verband tussen index, toestand en maatregel blijkt uit de tekst) : grootte toestandsruimte : symbolen voor maatregelnamen : overgangskans van toestand i naar toestand j door toepassing van maatregel m p, : kans van optreden van een toestand op tijdstip t Pi : kans van optreden van een toestand in een stationaire keten r : rente in procenten r k : positief rechterlid van de primale toestandsbeperkingen rld. : restlevensduur S : een verzameling van voorgeschreven maatregelen op alle toestanden 1,..,N (strategie) tj : restlevensduur van wegkenmerk i T, : maximale restlevensduur van wegkenmerk i W : contante waarde van de in de toekomst te maken kosten : contante waarde van de in de toekomst te maken kosten berekend vanaf en herleid naar tijdstip t : contante waarde van de kosten voor toestand i W rf Yj : contante waarde van de kosten berekend vanaf en herleid naar tijdstip t horend bij toestand i : saldo horend bij toestand i Y* : berekend saldo in de nde iteratiestap 1

7 VOORWOORD. Dit rapport is tot stand gekomen in het kader van een afstudeerproject onder auspiciën van prof.dr. F.A. Lootsma, aan de faculteit der Technische Wiskunde en Informatica van de TüDelft. Het afstudeerproject werd verricht bij Rijkswaterstaat, Dienst Informatie Verwerking, in opdracht van de Dienst Wegen Waterbouwkunde. Begeleid door ir. T.C.A. Mensch (TCDelft) en ir. M.J.P.H. Waltmans (RWS/DIV) is een wiskundig beslissingsprobleenj uit de wegenbouw in kaart gebracht in overleg met de opdrachtgevers drs. ir. J.H. Geerts en ir J.B.M. van Wieringen (RWS/DWW). Het probleem en de wiskundige aanpak worden in dit verslag beschreven. 2

8 SAMENVATTING. Ten behoeve van rationeel wegbeheer is binnen de Rijkswaterstaat het ontwikkelen van een beslissingsondersteunend systeem onderwerp van studie. Eén van deze studie aktiviteiten resulteerde in 1983 tot een rekenmodel. Met dit rekenmodel werd het mogelijk het minimale budget, nodig voor het verhardingsonderhoud, te bepajen gegeven zekere kwaliteitsrichtlijnen. De beslissingsruimte van dit budgetteringsmodel is beschreven als een Markovproces over een eindige toestandsruimte en in een discrete tijdsruimte. Het model is ontwikkeld voor gebruik op beleidsniveau of netwerkniveau. Op netwerkniveau wordt namelijk de budgettering op langere termijn vastgesteld. Nu is echter de behoefte geconstateerd aan een complementair model voor de korte termijn planning op uitvoerend niveau of projectniveau. Een model waar rekening wordt gehouden met specifieke project omstandigheden zoals rente, uitsluiten of vastleggen van maatregel, enz. Bij het onderhoud van een wegdek gaat het erom zo goedkoop mogelijk het wegdek te verbeteren, zodanig dat het wegdek blijft voldoen aan een aantal eisen met betrekking tot de kwaliteit. Ter verbetering van de kwaliteit staat de wegbeheerder een aantal akties ter beschikking. De vraag is dus wanneer en welke akties uitgevoerd dienen te worden willen de onderhoudskosten zo laag mogelijk zijn. Uitgaande van de beslisruimte van het budgetteringsmodel, is in deze ruimte bij de kosten/batenanalyse een nieuwe maatstaf, relevant voor het projectniveau, gehanteerd. Deze maatstaf is op basis van contante waarden. Dit zijn de toekomstige kosten die herleid zijn naar waarden in de huidige tijd. Een budget wordt verkregen door de contante waarde van de kosten in een annuïteit om te zetten. Analoog met het budgetteringmodel wordt in het model op projectniveau (onderhoudsmodel) dit annuïteitenbudget geminimaliseerd hetgeen equivalent is met het minimaliseren van de contante waarde van de kosten. Een wegbeheerder wil uit alternatieve maatregelen kunnen kiezen, als de 3

9 gevonden optimale oplossing niet toepasbaar (b)lijkt. Dit kan veroorzaakt worden doordat bijvoorbeeld Er gebrek aan capaciteit is bij de wegenbouwer wegens projecten elders. Een wegbeheerder meerdere aanliggende wegeenheden onder zijn beheer heeft. Deze wegeenheden kunnen in een verschillende conditie verkeren. Door samenvoegen van de wegeenheden tot één onderhoudsproject kan de wegbeheerder een kostenreductie bewerkstelligen. Deze kostenreductie kan leiden tot een andere optimale oplossing. De vraag dient zich aan bij welk prijsniveau een nietoptimale maatregel optimaal wordt. Een wegbeheerder er belang bij heeft, dat hem een werkbare optimale oplossing wordt geboden. Een oplossing die minder fluctuaties vertoont bij geringe prijswijzigingen. De interesse bestaat in een gevoeligheidsanalyse van de kosten. Wiskundig heeft dit tot een L.P.modelformulering geleid. Met behulp van een standaard L.P.pakket wordt het onderhoudsmodel geoptimaliseerd en een postoptimalisatie uitgevoerd. Uit de hierdoor verkregen uitkomsten worden suboptimale maatregelen en strategiën verder uitgewerkt. Met een praktijkvoorbeeld wordt de methode ge'fllusteerd. De opdrachtgever heeft het model aan de hand van de uitkomsten van de praktijkproblemen als heel geloofwaardig beoordeeld. Het model bevestigt de huidige werkwijze van Rijkswaterstaat met betrekking tot het onderhoud van asfaltverhardigen. Het is met het model mogelijk sneller in te spelen op veranderde marktprijzen. De conclusie lijkt gerechtvaardigd dat de L.P. formulering voldoet aan de eisen om tot een beter onderbouwde onderhoudsstrategie te komen. In een redelijke tijd is het mogelijk om een optimale oplossing te vinden samen met een volledige gevoeligheidsanalyse met betrekking tot de kosten coëfficiënten. Indien geïmplementeerd in een database biedt het gegevensbestand dat met het L.P. pakket verkregen wordt, een voldoende basis om aan de wensen van wegbeheerders te voldoen. Bet is behoorlijk goed geslaagd om tot een in de praktijk zeer nuttig en kostenbesparend instrument ter ondersteuning van onderhoudsbeslissingen te komen. 4

10 Hoofdstuk 1 INLEIDING. 1.1 Rationeel wegonderhoud in het verleden. Enige tientallen jaren geleden was het wegenbouvrak vrijwel uitsluitend praktisch gericht. Onderhoudsmaatregelen werden genomen op grond van de ervaring van de wegbeheerder. Men zag toen veel, wat men thans noemt, klein onderhoud. Wat grootschaliger maatregelen, die toen toegepast werden, waren af en toe een oppervlaktebehandeling en soms eea nieuwe deklaag. De beslissingen, tot het nemen van deze maatregelen, waren niet systematisch en de normen werden in feite bepaald door de subjectieve inzichten van de plaatselijke wegbeheerder [8]. Met de explosieve groei van het wegennet steeg de belangstelling voor een meer rationele aanpak van het wegonderhoud. De maaöchappelijke, financiële en technische ontwikkelingen van de laatste jaren versterkten nog deze belangstelling. Iedereen, die thans betrokken is bij het wegbeheer, is doordrongen van de noodzaak om de middelen nodig voor bet onderhoud van wegen zo efficiënt mogelijk te besteden. Om dit te realiseren, is een systematische onderhoudsplanning, gebaseerd op objectieve gegevens onmisbaar. Een dergelijk systeem moet resultaten opleveren die een goede basis vormen voor het nemen van beslissingen op zowel beleids als uitvoerend niveau. Ten behoeve van rationeel wegbeheer is binnen de Rijkswaterstaat het ontwikkelen van een beslissingsondersteunend sys;eem onderwerp van uitgebreide studie. Eén van deze studie aktiviteiten resulteerde in 1983 tot een door T.R.G. Tolman ontwikkeld rekenmodel [3,13]. Met dit rekenmodel werd het mogelijk het minimale budget, nodig voor het verhardingsonder houd, te bepalen, gegeven zekere kwaliteitsrichtlijnen. Dit model van Tolman is ontwikkeld voor gebruik op beleidsniveau of netwerkniveau. Op netwerkniveau wordt namelijk de budgettering op langere termijn (20 jaar) vastgesteld. Het model schiep echter de behoefte aan een complementair model voor de korte termijn planning op uitvoerend niveau of projectniveau [3]. In dit rapport wordt de ontwikkeling beschreven van zo'n model op projectniveau. Een model waar rekening gehouden wordt met de specifieke project omstandigheden zoals rente, uitsluiten of vastleggen van bepaalde maatregelen, enz.

11 1.2 Beoordeling van kwaliteit. Om een minimale kwaliteit te kunnen waarborgen via een rekenmodel, is hel noodzakelijk de kwaliteit te kwantificeren. Er wordt daarom gebruik gemaakt van de relatie tussen kwaliteit en wegkenmerken. Kwaliteit is te verdelen in een aantal kwaliteitsaspecten, zoals veiligheid, comfort en duurzaamheid. De toestand van een weg wordt beschreven door waarderingen toe te kennen aan wegkenmerken. Wegkenmerken zijn onder te verdelen in de volgende schadegroepen [2]: Textuur: dit omvat de kwaliteit van het directe oppervlak (de slijtlaag) van het wegdek met betrekking tot de verhardingssamenstelling en stroefheid. Samenhang: scheurvorming in het oppervlak. Vlakheid: aanwezigheid van oneffenheden en sporen. Draagkracht: de toestand van de fundering of onderlaag van het wegdek. Onder deze schadegroepen vallen o.a. de wegkenmerken: Rafeling, dit is het verdwijnen van de steenslag uit het oppervlak van de verharding. Rafeling valt onder de schadegroep Textuur. Krakelee. dit is een patroon van langs en dwarsscbeuren die een aantal onregelmatige veelhoeken vormen. De oorzaak hiervan is te wijten aan vermoeiings verschijnselen van de ondergrond van de verharding. Krakelee valt onder de schadegroep Samenhang. Spoorvorming, uithollingen in de dwarsrichting veroorzaakt door de regelmatige wieldruk van voertuigen. Langsvlakheid. uithollingen in de lengterichting b.v. ribbelvorming bij verkeerslichten. Langsvlakheid en spoorvorming horen tot de schadegroep vlakheid. Aangezien de draagkracht zeer moeilijk te meten is zijn van deze schadegroep geen bruikbare kenmerken voor de modelvorming voorhanden. Doordat een zware krakelee een indicatie is voor vermoeiing van de ondergrond wordt krakelee wel als kenmerk van de draagkracht gebruikt. De relatie tussen kwaliteitsaspecten en wegkenmerken wordt weergegeven in tabel

12 Bij de wegkenmerken horen schadebeelden. Met behulp van visuele inspectie en metingen, worden voor ieder schadebeeld meetwaarden bepaald. Deze meetwaarden resulteren in een getal, de parameterwaarde, voor he; betreffende kenmerk. Deze parameterwaarden zijn door afspraken vastgelegd. Het verloop van deze parameterwaarde in de tijd is nu van belang. Met behulp van een wiskundige beschrijving (dit heet een gedragsmodel) kan dit verloop bij benadering worden weergegeven. Een voorbeeld van een gedragsmodel van het wegkenmerk spoorvorming wordt gegeven in figuur 1.1. De parameterwaarde is dus een maatstaf voor de kwaliteit. Een hogere parameterwaarde geeft een betere kwaliteit weer van een verharding. Met het voortschrijden van de tijd neemt, door diverse oorzaken, de kwaliteit, dus ook de parameterwaarde af. Ervaring en berekeningen hebben uitgewezen wat de minimum parameterwaarde mag zijn, wil de verharding nog een aanvaardbare kwaliteit hebben. Deze minimum waarde is als norm (of richtlijn) vastgelegd. Wanneer de parameterwaarde deze richtlijn onderschrijdt dient er onderhoud uitgevoerd te worden dat de parameterwaarde weer boven de norm brengt. 1.3 Kwaliteitsverbetering. Ter verbetering van de kwaliteit staan een aantal onderhoudsmaatregelen tot onze beschikking. Deze lopen uiteen van simpele opperviaktebehandelingen, tot verwijderen van de asfaltlaag door bakfrezen of opzagen en vullen met nieuw asfalt [5]. Elke onderhouds maatregel heeft een invloed op een of meer wegkenmerken en zo dus ook op een of meer kwaliteitsaspecten. Bijvoorbeeld een oppervlakte behandeling. Hierbij wordt op het oppervlak van het wegdek een bituumlaag gespoten, waarna er een laag fijn grind overheen wordt gestrooid. Het is duidelijk, dat deze behandeling geen effekt heeft op de draagkracht. Evenzo op de vlakheid omdat de laag te dun is om oneffenheden weg te werken. De meeste invloed heeft deze maatregel op de textuur omdat de nieuwe laag een verandering is van het directe oppervlak van het wegdek. De stroefheid van het wegdek wordt verhoogd en zo dus de veiligheid, een kwaliteitsaspect. Een maatregel verhoogt dus voor één of meer wegkenmerken de parameterwaarde. Het effect van een maatregel op een wegkenmerk wordt weergegeven in het gedragsmodel in figuur1.2. Dit effect komt uiteindelijk neer op het verlengen van de levensduur van de verharding ten aanzien van dat kenmerk. 8

13 pararoe ter waarde figuur1.1 Gedragmodel van het wegkenmerk spoorvorming waarbij het effect is weergegeven op de parameterwaarde als de maatregel Sanimat wordt uit gevoerd. Deze maatregel wordt uitgevoerd op het moment dat de parameterwaarde onder de normwaarde komt. De parameterwaarde is de resultante van meetwaarden uit schadebeelden. [3]

14 1.4 Rendementsberekeningen. Het zal duidelijk zijn dat onderhoudswerkzaamheden moeten afhangen van rendementen. Dat wil zeggen dat de kosten van een bepaalde onderhoudsmaatregel worden geplaatst tegenover het te bereiken effect Om de kwaliteit van een verharding te verbeteren worden kosten gemaakt. Deze kosten worden niet alleen nu maar ook in de toekomst gemaakt. Hierdoor treedt een waarde verandering op onder invloed van de rente. Daarom dienen deze kosten bij rendementsberekeningen herleid te worden naar een vaste waarde. Een veel gebruikte maatstaf hierbij is de netto contante waarde. Dit is het verschil tussen de contante waarde van de baten en de contante waarden van de kosten. De contante waarde is de waarde van een bedrag op tijdstip i herleid naar nu. Oftewel het bedrag dat we nu moeten uitzetten tegen een vast rente percentage, om op dat tijdstip i een bepaald bedrag te kunnen uitgeven. 10

15 Hoofdstuk 2 PROBLEEM EN MODELVORMING. 2.1 Probleembeschrijving. De verharding van wegen is onderhoudsbehoevend. Een verharding waaraan geen onderhoud gepleegd wordt, neemt geleidelijk in kwaliteit af. De kwaliteit van de verharding wordt beschreven door een aantal kwantificeerbare kenmerken. Voor ieder kenmerk zijn minimale kwaliteitsniveau's vastgesteld. Ter voorkoming van een inferieure kwaliteit, zijn onderhoudsmaatregelen beschikbaar, waarmee één of meer kwaliteitskenmerken kunnen worden verbeterd. De kwaliteit van een verharding kan op verschillende manieren tot uitdrukking worden gebracht, in schadeklasses of in de vorm van restlevensduren. Een globale relatie tussen deze twee is te zien in tabel2.1 en tabel2.2 voor twee verschillende wegkenmerken. Bij de Dienst Weg en waterbouwkunde wordt de kwaliteit van een wegdek uitgedrukt in restlevensduren per wegkenmerk. Omdat restlevensduren op dezelfde schaal uitgedrukt wordt als de tijd en deze voor ieder wegkenmerk gelijk zijn. Dit in tegenstelling tot schadeklassen die voor ieder wegkenmerk verschillend zijn. Er wordt dan in dit verslag gekozen voor een waardering van de kwaliteitskenmerken in restlevensduren. 2.2 Toestand en tijd. De restlevensduren worden naar gehele tijdseenheden afgerond. Negatieve restlevensduren komen niet voor. Door nu een bovengrens aan de restlevensduren te stellen, wordt bereikt dat een verharding slechts in een eindig aantal toestanden kan verkeren. Een toestand i wordt genoteerd als i = (tjjtj,...,^) waarin t ; de restlevensduur is van kenmerk j (tja* l,...,ti; tj» l,...,!^;...; tn= l,...,t n ) Een discretisatie van de tijd wordt verkregen door de verharding slechts op vaste tijdstippen, die één tijdseenheid uit elkaar liggen, te bekijken. Een discretisatie van de effecten wordt verkregen door afronding van de restlevensduren op gehele tijdseenheden. De toestand (ti,...,^) wordt wel het telefoonnummer van de wegeenheid genoemd. In het hiernavolgende wordt een

16 figuur2.1 G/ o baal verband tussen restlevensduren en schadeklassen met betrekking tot het wegkennerk rafeling. Het gebied tussen twee horizonttle lijnen is een schadeklasse, de schadeklasse O ts "geen schade", de schadeklasse 2 is "matigt schade", de schadeklasse 5 betekent "ernstige schide". De norm ligt bij "matige schade" [15]. figaur2.2 Globaal verband tussen restlevensduren en schad e klassen met betrekking tot het wegkennerk spoor diepte. Het gebied tussen twee horizontale lijnen is een schadeklasse, de schadeklasse O is "geen schade", de schadeklasse 2 is "matige schade", schadeklasse 5 betekent "ermtige schade". De norm ligt bij "matige schade" [15]. 12

17 toestand verder aangeduid met i: i * (t{,...,tj) Nu wil t ; zeggen: de restlevensduur van wegkenmeri j voor toestand i. 2.3 Onderhoudsstrategie. De tijdseenheid is voldoende klein (n.1. één jaar) om per tijdseenheid te volstaan met ten hoogste één maatregel. Door nu de pseudomaatregel "niets doen" of "klein onderhoud" te introduceren, kan nu uit de aldus verkregen set beschikbare maatregelen, aan iedere toestand i éér onderhoudsmaatregel dwingend worden voorgeschreven. Zo'n verzameling van voorgeschreven maatregelen op alle toestanden S = (mi,...,m^) heet eer onderhoudsstrategie. 2.4 Onderhoudseffecten. Bij een gekozen strategie S wordt voor eenzelfde toesand i altijd eenzelfde maatregel m t uitgevoerd, onafhankelijk van het tijdstip. Het uitvoeren van een onderhoudsmaatregel leidt tot een verandering van de restlevensduur van één of meer wegkenmerken. Deze verandering kan stochastisch voorgesteld worden. De toestandsovergang van i naar j veroorzaakt door een maatregel m* wordt gekarakteriseerd door de kansfunctie: waarbij: Py( S ) = P [ x = j x _i= i; mj S : de onderhoudsstrategie nij : de onderhoudsmaatregel uit strategie S voor de toestand i x : de toestand op tijdstip n Pij( S ) : de kans van de overgang van toestand i naar toestand j bij strategie S. (2.1) N Nu is py( S ) = 1, voor elke i = 1,...,N Verondersteld wordt verder dat een verandering van toestand i naar toestand j onafhankelijk is van de voorafgaande toestanden. Dus: 13

18 P [ *n=j* I *nl= i, X _ 2 «i _ 2v..,X 0 = ^ S ] = P [ x = j x n _!= i; S ] Hiermee is een Markovproces beschreven over een eindige toestandsruimte 1,...,N en in een discrete tijdsruimte. Indien een Markovproces zeer lang genoeg duurt, mag verondersteld worden dat de kans op het voorkomen van een bepaalde toestand onafhankelijk van de tijd is. Het proces is dan in een stationaire toestand. Gaat men uit van de gemiddelde effecten van iedere onderhoudsmaatregel dan kan men de overgangen deterministisch beschouwen. Overgangen heten deterministisch als bij een toestand i en een strategie S er één, l e 1,...,N is z.d.d p y ( S ) = 1 als j = l (2.2) P,;( S ) 0 j * l Dit kan gebruikt worden als de spreiding van de effecten niet te groot is. 2.5 Beperkingen oude model aanpak. Met de hiervoor beschreven modelvorming heeft Tolman [13] in 1983 een model ontwikkeld om het minimale budget nodig voor het onderhoud van een asfaltverharding, te bepalen. Dit minimale budget wordt bepaald in een deterministisch model waarin de rente niet is opgenomen. Dit omdat er een stationair proces wordt beschouwt. Voor gebruik op projectniveau heeft dit model hierdoor zijn beperkingen. Door een stationair proces (dit is een proces dat reeds zéér lange tijd gaande is) te beschouwen wordt de tijdsfactor niet in ogenschouw genomen. Het budget wordt berekend over een cyclus die in het model optreedt. Ook al duurt het nog tientallen jaren voordat deze cyclus bereikt wordt. Voor de aktuele toestand, dus op korte termijn, biedt dit model dus geen oplossing voor het bepalen van de optimale strategiën die de totaal te maken kosten minimaliseren. 14

19 Meerdere cycli mogen in dit model niet voorkomen. Doordat het budget berekend wordt als de gemiddelde kosten die in een cyclus gemaakt worden, mag het niet voorkomen dat er een tweede cyclus optreedt. Het zou eventueel voor kunnen komen, dat voor een gedeelte van de toestandsruimte de optimale cyclus niet te bereiken valt omdat de hiervoor benodigde maatregelen niet in het modelinvoer zijn verwerkt. Indien deze tweede cyclus een ander budget tot gevolg heeft, levert dit een tegenstrijdigheid op in zijn oplossingsmethodiek. Alternatieven voor maatregelen in de aanlooproutes kunnen met dit model niet gegeven worden doordat met dit model de financiële concequenties niet berekend kunnen worden. Hooguit kan een alternatief budget en een alternatieve cyclus berekend worden door willekeurig in de optimale cyclus een optimale maatregel expliciet te verwijderen en het model opnieuw door te rekenen om daarmee een nieuwe cyclus en een nieuw budget te bepalen. Op projectniveau dient men echter rekening te houden met aspecten als de aktuele toestand, waardoor een tijdsfactor aanwezig is, en de mogelijkheid van alternatieve maatregelen. 2.6 Nieuwe probleemstelling Kort: beschouw het budgetteringsprobleem voor een optimaal onderhoud van het landelijk wegennet niet meer op netwerkniveau maar op projectniveau. Op netwerkniveau worden de doelstellingen t.a.v. het onderhoud geanalyseerd door inventarisatie van administratieve gegevens afkomstig van het projectniveau en van globale visuele inspecties en metingen. Hier wordt ook de budgettering voor de planning op lange termijn vastgesteld. Het model van Tolman is hierbij een hulpmiddel. Voor een kwantitatieve analyse met behulp van dit model zijn getallen nodig zoals de gemiddelde kosten en de gemiddelde effecten van de onderhoudsmaatregelen. Deze gemiddelden zijn verkregen door bewerking van gegevens op projectniveau. Op het projectniveau wordt het feitelijk onderhoud uitgevoerd. Het tijdstip en soort van onderhoud wordt hier vastgelegd. Er wordt op dit niveau zorggedragen voor de uitvoering van het onderhoud en de effecten van het onderhoud worden hier gecontroleerd. In het model van Tolman is men uitgegaan dat voor alle projecten binnen het beschouwde wegennet, het groot onderhoud samen met het bijbehorend klein 15

20 onderhoud, reeds lange tijd optimaal uitgevoerd worden. Dit is niet het geval. Daarom wil men een complementair model op projecxniveau. 16

21 Hoofdstuk 3 NIEUWE MODEL BENADERING. 3.1 Projectniveau Het onderhoud op projectniveau is gebaseerd op richtlrnen afkomstig van het netwerkniveau, maar tevens op aspekten zoals a) Het stochastisch verloop van de effecten van onderhoudsmaatregelen. b) De kostenanalyse waarin de rente betrokken wordt. * c) De keuze die gemaakt moet kunnen worden uit alternatieve maatregelen, als de gevonden optimale oplossing niet toepasbaar (b)lrit. 3.2 Stochastisch verloop Een maatregel heeft niet altijd het verwachte efrect. Bijvoorbeeld de maatregel "dubbele oppervlak behandeling" kan mislukisn door invloeden van buitenaf. Bijvoorbeeld omdat de ondergrond niet goed droog is geweest toen deze maatregel werd uitgevoerd. Hierdoor is de hechting op de ondergrond van de nieuwe toplaag nadelig beinvloed. De aanname (2.2), dat de effecten deterministisch zijr. is op netwerkniveau geoorloofd, daar hierbij een groot aantal wegeenheden fc beschouwing genomen wordt. Echter op projectniveau heeft men te maken me; een kleine groep van wegeenheden, waarvoor het stochastisch aspect niet gebeel te verwaarlozen is. Vanwege het ontbreken van voldoende gegevens kan bet stochastische model alleen in theorie beschreven worden maar moeten n de voorbeelden de overgangen deterministisch beschouwen. 3.3 Rente Op projectniveau heeft men te maken met een korteternnjp planning. Ook is het uitgavepatroon op projectniveau dusdanig, dat het benutten van de tijdsfactor relevant is. Het uitgavepatroon op netwerkniveau is, wederom door het grote aantal beschouwde wegeenheden, konstant te noemen. Op projectniveau krijgt men echter te maken met piekuitgaven. Door het opnemen van een rente factor in het model, kan dit dit redelijk ondervangen worden.

22 Ook is het van belang de rente op te nemen om de betalingen op de netto contante waarde terug te kunnen brengen. 3.4 Alternatieve maatregelen. Een wegbeheerder wil uit alternatieve maatregelen kunnen kiezen, als de gevonden optimale oplossing niet toepasbaar (b)lijkt. Dit kan veroorzaakt worden doordat bijvoorbeeld 1) Een (of meer) maatregel(en) op dit moment niet toepasbaar zijn doordat de capaciteit van de wegenbouwer door projecten elders niet beschikbaar is. 2) Door meerdere aansluitende wegeenheden met onderling verschillende toestanden, tot één onderhoudsproject te combineren kan de wegbeheerder een lagere prijs bedingen, omdat het onderhoudsproject groter wordt, dus ook aantrekkelijker voor de wegenbouwer wordt. De vraag dient zich aan bij welk prijsniveau een nietoptimale maatregel optimaal wordt. Een gevoeligheids analyse op kosten coëfficiënten van de maatregelen wordt daarom wenselijk geacht. 3) Een wegbeheerder er belang bij heeft, dat hem een werkbare optimale oplossing wordt geboden. Een werkbare oplossing is voor hem o.a een oplossing die weinig fluctuaties vertoont bij geringe prijswijzigingen. Men wil dus liever minder gevoelige maatregelen gebruiken. D.w.z. maatregelen die misschien iets duurder zijn maar op een bredere basis een laag budget (of lage gemiddelde kosten) garanderen. Door een gevoeligheidsanalyse uit te voeren op de kosten van elke toegelaten maatregel afzonderlijk met betrekking tot een bepaalde toestand en zijn invloed op de totale kosten kan aan deze wensen worden voldaan. 3.5 Analyse van kosten. Een veel gebruikte maatstaf bij kosten/batenanalyse is de netto contante waarde. Dit is het verschil tussen de contante waarde van de baten en de contante waarden van de kosten. De contante waarde is de waarde van een bedrag op tijdstip i herleid naar nu. Oftewel het bedrag dat nu uitgezet moet 18

23 worden tegen een vast rentepercentage, om op da; tijdstip i een bepaald bedrag te kunnen uitgeven. Als nu de kosten K (0> gemaakt worden en in elk volgesd jaar t de kosten K (t) dan is de contante waarde van de kosten: W< 0) = contante waarde nu «K< 0) + ak (1) +..+av'v...= av 0 (3.1) to waarbij r de rente in procenten is en a = (1 + r/100." 1 ; a heet de discontofactor (0 < a < 1). Uit (3.1) leidt men af: W< 0) = K< 0) + a( K M + ak (2) +...+a n 1 K <n) +...) = K< 0) + aw* 1 ' is de contante waarde van de kosten die na dit jaar gemaakt worden herleid naar de waarde van volgend jaar. Oftewel de contante waarde van de kosten die vanaf volgend jaar gemaakt worden als men die volgend jaar contant maakt. Omdat in dit geval er geen baten zijn, is de netto contante waarde gelijk aan de negatieve waarde van de contante waarde van de kosten. Maakt men in elke periode dezelfde kosten K, dan is de contante waarde gelijk aan: W* 0 ' = K + ak + a*k K( 1 + a + a ) = K( 1 a f 1 Bekijkt men K als de onbekende dan wordt dit: K = W< 0) ( 1 o ) K is een equivalent van de gemiddelde kosten. K is dus een equivalent van het budget B. Men noemt K een budget op annuïteitenbasis. Overeenkomstig de probleemstelling in het model van Tolman volgt hieruit onze nieuwe probleemstelling. De oude probleemstelling was namelijk minimaliseer het budget B. Vult men voor het budget de equivalent gemiddelde kosten in dan wordt dit min B «min K = min ( 1 ajw^ = ( 1 a ) min W (0) De nieuwe probleemstelling wordt dus: 19

24 Minimaliseer de contante waarde van de kosten. Of analoog omdat de netto contante waarde gelijk is aan en dus is: min W< 0) = max Maximaliseer de netto contante waarde. Nü en in de toekomst past men bij eenzelfde toestand i altijd dezelfde maatregel m toe en heeft men daardoor altijd dezelfde kansen Pij(m) om in een volgtoestand j uit te komen (m is een maatregel uit de set M van beschikbare maatregelen). De overgang van toestand i naar toestand j leidt altijd, onafhankelijk van het tijdstip waarop, tot de onderhoudskosten K i; (m). Deze onderhoudskosten worden alleen bepaald door de kosten van de genomen maatregel m en is daarom onafhankelijk van de begintoestand i. Indien men nü in toestand i is, kan men voor de verwachting van de contante waarde van de kosten herleid naar nü schrijven: W< 0) = l p 0 { K ij+ o l p jk I K jk + a l p ti { K w +...}}} (3.2) Als men in het pde jaar in toestand i is en dus dezelfde maatregel uitvoert dan is de verwachting van de contante waarde van de kosten herleid naar het pde jaar: W! P) = Pij { Ky+ o l?jk I K it+ a f] p w { K^...}}} (3.3) Dus volgt uit (3.2) en (3.3) Wi 0) = Wi p). Wi (3.4) De contante waarde van de kosten behorend bij een toestand herleid naar het tijdstip waarop men in die toestand verkeert is onafhankelijk van dat tijdstip. Bij een gegeven strategie S kan de volgende balansvergelijking opgesteld worden voor de overgang van toestand i naar toestand j (waarbij een maatregel wordt uitgevoerd direct na het bereiken van de toestand i): 20

Bijlage A Simplex-methode

Bijlage A Simplex-methode Dee bijlage hoort bij Beter beslissen, Bijlage A Simplex-methode Verreweg de meeste LP-problemen worden opgelost met behulp van het ogenoemde Simplex-algoritme, in ontwikkeld door G.B. Dantig. De meeste

Nadere informatie

Stochastische Modellen in Operations Management (153088)

Stochastische Modellen in Operations Management (153088) Stochastische Modellen in Operations Management (153088) S1 S2 X ms X ms R1 S0 240 ms Ack L1 R2 10 ms Internet R3 L2 D0 10 ms D1 D2 Richard Boucherie Stochastische Operations Research TW, Ravelijn H 219

Nadere informatie

TU/e 2DD50: Wiskunde 2

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 TU/e 2DD50: Wiskunde 2 Enkele mededelingen Instructies (vandaag, 10:45 12:30) in vier zalen: Zaal Aud 10 Pav b2 Pav m23 Ipo 0.98 voor studenten met achternaam beginnend met letters A tot en met D met letters

Nadere informatie

1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist is. Kruis de juiste bewering aan. (2pt. per juist antwoord).

1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist is. Kruis de juiste bewering aan. (2pt. per juist antwoord). Tentamen Optimalisering (IN2805-I) Datum: 3 april 2008, 14.00 17.00. Docent: Dr. J.B.M. Melissen Naam: Studienummer: 1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist

Nadere informatie

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1)

TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1) TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1) Organisatorische informatie Wat Dag Tijd Zaal Docent College Tue 5+6 Aud 6+15 Gerhard Woeginger Thu 1+2 Aud 1+4 Gerhard Woeginger Clicker session Tue 7+8 Aud 6+15 Gerhard Woeginger

Nadere informatie

Transport-, Routing- en Schedulingproblemen. Wi4062TU / Wi487TU / a86g. Uitwerkingen 08-04-2005

Transport-, Routing- en Schedulingproblemen. Wi4062TU / Wi487TU / a86g. Uitwerkingen 08-04-2005 Transport-, Routing- en Schedulingproblemen Wi4062TU / Wi487TU / a86g Uitwerkingen 08-04-2005 1 Transportprobleem Onderdeel a Fabriek 1 kan 120 ton staal fabriceren in 40 uur. Voor fabriek 2 is dit 150

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 20 Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 20) Inhoudsopgave Rationale functies. Inleiding....................................2

Nadere informatie

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen

Nadere informatie

Project Management (H 9.8 + H 22 op CD-ROM)

Project Management (H 9.8 + H 22 op CD-ROM) Project Management (H 9.8 + H 22 op CD-ROM) CPM (Critical Path Method) Activiteiten met afhankelijkheden en vaste duur zijn gegeven. CPM bepaalt de minimale doorlooptijd van het project. PERT (Program

Nadere informatie

Publieke Database. Verslag modelleren 4 (2H144) Finbar Bogerd (s474580) & Judy van Sambeek (s476368)

Publieke Database. Verslag modelleren 4 (2H144) Finbar Bogerd (s474580) & Judy van Sambeek (s476368) Publieke Database Verslag modelleren 4 (2H144) Finbar Bogerd (s474580) & Judy van Sambeek (s476368) Technische Universiteit Eindhoven Faculteit: Technische Wiskunde & Informatica 28 augustus 2002 Inhoudsopgave

Nadere informatie

MARKOV MODEL MET KOSTEN In Markov modellen zijn we vaak geïnteresseerd in kostenberekeningen.

MARKOV MODEL MET KOSTEN In Markov modellen zijn we vaak geïnteresseerd in kostenberekeningen. MARKOV MODEL MET KOSTEN In Markov modellen zijn we vaak geïnteresseerd in kostenberekeningen. voorraadmodel: voorraadkosten personeelsplanningmodel: salariskosten machineonderhoudsmodel: reparatiekosten

Nadere informatie

P = LIMIETGEDRAG VAN MARKOV KETENS Limietverdeling van irreducibele, aperiodieke Markov keten:

P = LIMIETGEDRAG VAN MARKOV KETENS Limietverdeling van irreducibele, aperiodieke Markov keten: LIMIETGEDRAG VAN MARKOV KETENS Limietverdeling van irreducibele, aperiodieke Markov keten: Voorbeeld: Zoek de unieke oplossing van het stelsel π = π P waarvoor bovendien geldt dat i S π i = 1. P = 0 1/4

Nadere informatie

S n = tijdstip van de n-de gebeurtenis, T n = S n S n 1 = tijd tussen n-de en (n 1)-de gebeurtenis.

S n = tijdstip van de n-de gebeurtenis, T n = S n S n 1 = tijd tussen n-de en (n 1)-de gebeurtenis. HET POISSON PROCES In veel praktische toepassingen kan het aaankomstproces van personen, orders,..., gemodelleerd worden door een zogenaamd Poisson proces. Definitie van een Poisson proces: Een Poisson

Nadere informatie

1 Vervangingsstrategie auto

1 Vervangingsstrategie auto Transport-, Routing- en Schedulingproblemen Wi4062TU / Wi487TU / a86g Uitwerkingen 28-03-2002 1 Vervangingsstrategie auto Onderdeel a Zij V = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, waarbij knoop i staat voor het einde

Nadere informatie

Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme

Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme Het oplossen van het maximum stroom probleem met behulp van stroomvermeerderende paden werkt, maar het aantal iteraties kan aardig de spuigaten

Nadere informatie

Beveiliging van museum Kempenland

Beveiliging van museum Kempenland Beveiliging van museum Kempenland Irene Man 0721206 Richard Kuijstermans 0720436 31 maart 2011 Inhoudsopgave 1 Probleembeschrijving 3 1.1 Vereenvoudiging van het probleem............... 4 1.1.1 Geheeltallige

Nadere informatie

Beoordeling van investeringsvoorstellen

Beoordeling van investeringsvoorstellen Beoordeling van investeringsvoorstellen C2010 1 Beoordeling van investeringsvoorstellen Ir. drs. M. M. J. Latten 1. Inleiding C2010 3 2. De onderneming C2010 3 3. Investeringen G2010 3 4. Selectiecriteria

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008)

Zomercursus Wiskunde. Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008) Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008) 2 Rechten en vlakken Inleiding In deze module behandelen we de theorie van rechten en vlakken in de driedimensionale

Nadere informatie

H a n d l e i d i n g d o e l m a t i g h e i d s t o e t s M W W +

H a n d l e i d i n g d o e l m a t i g h e i d s t o e t s M W W + H a n d l e i d i n g d o e l m a t i g h e i d s t o e t s M W W + D o e l m a t i g h e i d s t o e t s v o o r g e b i e d e n w a a r v o o r g e e n b o d e m b e h e e r p l a n i s v a s t g e s

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie juli 2008) Rationale functies. Inleiding Functies als f : 5 5, f 2 : 2 3 + 2 f 3 : 32 + 7 4 en f 4 :

Nadere informatie

3 De stelling van Kleene

3 De stelling van Kleene 18 3 De stelling van Kleene Definitie 3.1 Een formele taal heet regulier als hij wordt herkend door een deterministische eindige automaat. Talen van de vorm L(r) met r een reguliere expressie noemen we

Nadere informatie

INLEIDING. Definitie Stochastisch Proces:

INLEIDING. Definitie Stochastisch Proces: Definitie Stochastisch Proces: INLEIDING Verzameling van stochastische variabelen die het gedrag in de tijd beschrijven van een systeem dat onderhevig is aan toeval. Tijdparameter: discreet: {X n, n 0};

Nadere informatie

Zoek de unieke oplossing van het stelsel π = π P waarvoor bovendien geldt dat i S π i = 1.

Zoek de unieke oplossing van het stelsel π = π P waarvoor bovendien geldt dat i S π i = 1. LIMIETGEDRAG VAN REDUCIBELE MARKOV KETEN In het voorgaande hebben we gezien hoe we de limietverdeling van een irreducibele, aperiodieke Markov keten kunnen berekenen: Voorbeeld 1: Zoek de unieke oplossing

Nadere informatie

Herziening van de huidige definitie van de Maatregeltoets

Herziening van de huidige definitie van de Maatregeltoets Herziening van de huidige definitie van de Maatregeltoets ing. E.H.L. van Wissen Grontmij Nederland B.V. R. Gravesteijn Grontmij Nederland B.V. ir. L. van Hoogevest Grontmij Nederland B.V. Samenvatting

Nadere informatie

Bijlage 1 Toelichting kwantitatieve analyse ACM van de loterijmarkt

Bijlage 1 Toelichting kwantitatieve analyse ACM van de loterijmarkt Bijlage 1 Toelichting kwantitatieve analyse ACM van de loterijmarkt 1 Aanpak analyse van de loterijmarkt 1. In het kader van de voorgenomen fusie tussen SENS (o.a. Staatsloterij en Miljoenenspel) en SNS

Nadere informatie

Basiskennistoets wiskunde

Basiskennistoets wiskunde Lkr.: R. De Wever Geen rekendoos toegelaten Basiskennistoets wiskunde Klas: 6 WEWI 1 september 015 0 Vraag 1: Een lokaal extremum (minimum of maximum) wordt bereikt door een functie wanneer de eerste afgeleide

Nadere informatie

Machten, exponenten en logaritmen

Machten, exponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen 3 december 04 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato: 4pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

9. Strategieën en oplossingsmethoden

9. Strategieën en oplossingsmethoden 9. Strategieën en oplossingsmethoden In dit hoofdstuk wordt nog even terug gekeken naar alle voorgaande hoofdstukken. We herhalen globaal de structuren en geven enkele richtlijnen voor het ontwerpen van

Nadere informatie

Algemene escalatieberekening

Algemene escalatieberekening Algemene escalatieberekening G5010 1 Algemene escalatieberekening Redactiecommissie 1. Inleiding G5010 3 2. Uitgangspunten voor de escalatieberekening G5010 3 3. Berekening kostenescalatie G5010 4 4. Enkele

Nadere informatie

HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE

HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE 1 DOEL VAN REGRESSIE ANALYSE De relatie te bestuderen tussen een response variabele en een verzameling verklarende variabelen 1. LINEAIRE REGRESSIE Veronderstel dat gegevens

Nadere informatie

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1 Kettingbreuken Frédéric Guffens 0 april 00 K + E + T + T + I + N + G + B + R + E + U + K + E + N 0 + A + P + R + I + L + 0 + + 0 Wat zijn Kettingbreuken? Een kettingbreuk is een wiskundige uitdrukking

Nadere informatie

AAN: de raad van de gemeente Ferwerderadiel. Sector : lll Nr. : 10/27.14 Onderwerp : Vaststellen wegenbeheerplan 2014-2018. Ferwert, 22 mei 2014

AAN: de raad van de gemeente Ferwerderadiel. Sector : lll Nr. : 10/27.14 Onderwerp : Vaststellen wegenbeheerplan 2014-2018. Ferwert, 22 mei 2014 AAN: de raad van de gemeente Ferwerderadiel Sector : lll Nr. : 10/27.14 Onderwerp : Vaststellen wegenbeheerplan 2014-2018 Ferwert, 22 mei 2014 Op 6 juni 2013 heeft uw raad besloten om een krediet van 11.800,-

Nadere informatie

Toepassingen op differentievergelijkingen

Toepassingen op differentievergelijkingen Toepassingen op differentievergelijkingen We beschouwen lineaire differentievergelijkingen of lineaire recurrente betrekkingen van de vorm a 0 y k+n + a y k+n + + a n y k+ + a n y k = z k, k = 0,,, Hierbij

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los

Nadere informatie

Handleiding Kostentool Stille Wegdekken

Handleiding Kostentool Stille Wegdekken Handleiding Kostentool Stille Wegdekken 1 Inleiding De kostentool Stille Wegdekken is bedoeld voor wegbeheerders om snel een indicatie te krijgen wat de toepassing van stille wegdekken voor financiële

Nadere informatie

NETWERKEN VAN WACHTRIJEN

NETWERKEN VAN WACHTRIJEN NETWERKEN VAN WACHTRIJEN Tot nog toe keken we naar wachtrijmodellen bestaande uit 1 station. Klanten komen aan bij het station,... staan (al dan niet) een tijdje in de wachtrij,... worden bediend door

Nadere informatie

Stelsels van vergelijkingen

Stelsels van vergelijkingen Module 5 Stelsels van vergelijkingen 5.1 Definitie en voorbeelden Een verzameling van vergelijkingen in een aantal onbekenden waarvan men de gemeenschappelijke oplossing(en) zoekt, noemt men een stelsel

Nadere informatie

Bilineaire Vormen. Hoofdstuk 9

Bilineaire Vormen. Hoofdstuk 9 Hoofdstuk 9 Bilineaire Vormen In dit hoofdstuk beschouwen we bilineaire vormen op een vectorruimte V nader. Dat doen we onder andere om in het volgende hoofdstuk de begrippen afstand en lengte in een vectorruimte

Nadere informatie

BESLISKUNDE 2 L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN

BESLISKUNDE 2 L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN BESLISKUNDE L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN Voorwoord Dit vak is een voortzetting van het tweedejaarscollege Besliskunde. Een aantal andere mathematische beslissingsproblemen komt aan de orde en

Nadere informatie

Normale Verdeling Inleiding

Normale Verdeling Inleiding Normale Verdeling Inleiding Wisnet-hbo update maart 2010 1 De Normale verdeling De Normale Verdeling beschrijft het gedrag van een continue kansvariabele x. Om kansen te berekenen, moet de dichtheidsfunctie

Nadere informatie

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 2009 c Swier Garst - RGO Middelharnis 2 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

R e s u l t a a t g e r i c h t h e i d e n c o m p e t e n t i e m a n a g e m e n t b i j d r i e o v e r h e i d s o r g a n i s a t i e s

R e s u l t a a t g e r i c h t h e i d e n c o m p e t e n t i e m a n a g e m e n t b i j d r i e o v e r h e i d s o r g a n i s a t i e s R e s u l t a a t g e r i c h t h e i d e n c o m p e t e n t i e m a n a g e m e n t b i j d r i e o v e r h e i d s o r g a n i s a t i e s O p le i d i n g: M a s t e r P u b l i c M a n a g e m e n

Nadere informatie

Drukkerij Van de Sande Ambachtshof 1, 2632 BB Nootdorp

Drukkerij Van de Sande Ambachtshof 1, 2632 BB Nootdorp Dij V S Amcf, 2632 BB N Dij V S - SD - S Pi - Bc.l Hii - Iiw - H Cll - D Ec - Fmiliijf - Mw 200 Amcf - T mi - Omij - Gmlij cii Dllli Aciii - P P: w,, wii - P: iil,, i, l - Af P: ij, ill, w, c, zi Oz l

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Beknopte uitwerking Examen Neurale Netwerken (2L490) d.d. 11-8-2004.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Beknopte uitwerking Examen Neurale Netwerken (2L490) d.d. 11-8-2004. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Beknopte uitwerking Eamen Neurale Netwerken (2L490) d.d. 11-8-2004. 1. Beschouw de volgende configuratie in het platte vlak. l 1 l 2

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: gemiddelden, ongelijkheden enz 23/5/2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: gemiddelden, ongelijkheden enz 23/5/2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: gemiddelden, ongelijkheden enz 23/5/2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Kengetallen. E-5 MPR-Kwaliteit. Inleiding. MPR 24 uur. 4 Betekenis van MPR 24 uur

Kengetallen. E-5 MPR-Kwaliteit. Inleiding. MPR 24 uur. 4 Betekenis van MPR 24 uur Kengetallen E-5 MPR-Kwaliteit Inleiding Via Melkproductieregistratie (MPR) worden gegevens over de melk-, vet en eiwitproductie van de veestapel verzameld. Deze gegevens zijn de basis van managementinformatie

Nadere informatie

Rekenen met cijfers en letters

Rekenen met cijfers en letters Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 009 c Swier Garst - RGO Middelharnis Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

Kengetallen. E-13 Voortplanting

Kengetallen. E-13 Voortplanting Kengetallen E-13 Voortplanting Inleiding Op melkveebedrijven wordt jaarlijks een aanzienlijke schade geleden als gevolg van een niet optimale tussenkalftijd en een voortijdige afvoer van koeien die niet

Nadere informatie

0.97 0.03 0 0 0.008 0.982 0.01 0 0.02 0 0.975 0.005 0.01 0 0 0.99

0.97 0.03 0 0 0.008 0.982 0.01 0 0.02 0 0.975 0.005 0.01 0 0 0.99 COHORTE MODELLEN Markov ketens worden vaak gebruikt bij de bestudering van een groep van personen of objecten. We spreken dan meestal over Cohorte modellen. Een voorbeeld van zo n situatie is het personeelsplanning

Nadere informatie

Presentatie en gebruik van productgegevens. Suskasten en het bouwbesluit

Presentatie en gebruik van productgegevens. Suskasten en het bouwbesluit Presentatie en gebruik van productgegevens Suskasten en het bouwbesluit In Nederland wordt tot nu toe de akoestische prestatie van geluidgedempte ventilatievoorzieningen (suskasten) gegeven door de geluidisolatie

Nadere informatie

Lineaire dv van orde 2 met constante coefficienten

Lineaire dv van orde 2 met constante coefficienten Lineaire dv van orde 2 met constante coefficienten Homogene vergelijkingen We bekijken eerst homogene vergelijkingen van orde twee met constante coefficienten, d.w.z. dv s van de vorm a 0 y + a 1 y + a

Nadere informatie

Branch-and-Bound en Cutting Planes

Branch-and-Bound en Cutting Planes Branch-and-Bound en Cutting Planes Vandaag: Er is nog geen algoritme om ILP s in polynomiale tijd op te lossen. Twee opties: 1 Exponentiëel algoritme dat optimale oplossing geeft 2 Polynomiaal algoritme

Nadere informatie

Nu een leuk stukje wiskunde ter vermaak (hoop ik dan maar). Optellen van oneindig veel getallen

Nu een leuk stukje wiskunde ter vermaak (hoop ik dan maar). Optellen van oneindig veel getallen Nu een leuk stukje wiskunde ter vermaak (hoop ik dan maar). Optellen van oneindig veel getallen Ter inleiding: tellen Turven, maar: onhandig bij grote aantallen. Romeinse cijfers: speciale symbolen voor

Nadere informatie

Wiskunnend Wiske. 5. Goochelende getallen. Wat ik ga studeren? Wiskunde natuurlijk!

Wiskunnend Wiske. 5. Goochelende getallen. Wat ik ga studeren? Wiskunde natuurlijk! Wat ik ga studeren? Wiskunde natuurlijk! Wiskunnend Wiske 5. Goochelende getallen c 2010, Standaard Uitgeverij, Antwerpen, België voor alle afbeeldingen van groot Wiske Opdracht 5 Vele goochelaars gebruiken

Nadere informatie

Akoestische achteruitgang stille wegdekken afhankelijk van verkeersintensiteit!!

Akoestische achteruitgang stille wegdekken afhankelijk van verkeersintensiteit!! Akoestische achteruitgang stille wegdekken afhankelijk van verkeersintensiteit!! Christiaan Tollenaar M+P Leo Visser Provincie Noord-Holland Samenvatting Dat stil asfalt na verloop van tijd steeds meer

Nadere informatie

Normering en schaallengte

Normering en schaallengte Bron: www.citogroep.nl Welk cijfer krijg ik met mijn score? Als je weet welke score je ongeveer hebt gehaald, weet je nog niet welk cijfer je hebt. Voor het merendeel van de scores wordt het cijfer bepaald

Nadere informatie

Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor. Opgedragen aan Th. J. Dekker. H. W. Lenstra, Jr.

Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor. Opgedragen aan Th. J. Dekker. H. W. Lenstra, Jr. Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor Opgedragen aan Th. J. Dekker H. W. Lenstra, Jr. Uit de lineaire algebra is bekend dat het aantal oplossingen van een systeem lineaire vergelijkingen gelijk

Nadere informatie

Uitwerkingen hoofdstuk K deel A3 Grafen en Matrices

Uitwerkingen hoofdstuk K deel A3 Grafen en Matrices 1 Uitwerkingen hoofdstuk K deel A3 Grafen en Matrices 1. Er zijn 3. 2. 1 = 6 rondritten mogelijk. Iedere keer 2 ritten met dezelfde lengte wege de mogelijkheid de omgekeerde richting. b. De kortste ritten

Nadere informatie

GEDRAGSBEiNVLOEDING VAN VERKEERSDEELNEMERS: VERKEERSREGELS, VOORLICHTING EN OPLEIDING

GEDRAGSBEiNVLOEDING VAN VERKEERSDEELNEMERS: VERKEERSREGELS, VOORLICHTING EN OPLEIDING GEDRAGSBEiNVLOEDING VAN VERKEERSDEELNEMERS: VERKEERSREGELS, VOORLICHTING EN OPLEIDING Bijdrage symposium Sociale Verkeerskunde, Groningen - Haren, 27-29 november 1974. In: Michon, J.A. & Van der Molen,

Nadere informatie

Hoofdstuk 9 - Lineair Programmeren Twee variabelen

Hoofdstuk 9 - Lineair Programmeren Twee variabelen Hoofdstuk 9 - Lineair Programmeren Twee variabelen bladzijde a Twee ons bonbons kost, euro. Er blijft,, =, euro over. Doris kan daarvan, = ons drop kopen., b d is het aantal ons gemengde drop (, euro per

Nadere informatie

Gegevens invullen in HOOFDLETTERS en LEESBAAR, aub. Belgische Olympiades in de Informatica (duur : maximum 1u15 )

Gegevens invullen in HOOFDLETTERS en LEESBAAR, aub. Belgische Olympiades in de Informatica (duur : maximum 1u15 ) OI 2010 Finale 12 Mei 2010 Gegevens invullen in HOOFDLETTERS en LEESBAAR, aub VOORNAAM :....................................................... NAAM :..............................................................

Nadere informatie

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk

Vlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk Module 6 Vlakke meetkunde 6. Geijkte rechte Beschouw een rechte L en kies op deze rechte een punt o als oorsprong en een punt e als eenheidspunt. Indien men aan o en e respectievelijk de getallen 0 en

Nadere informatie

Domein A: Inzicht en handelen

Domein A: Inzicht en handelen Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Preambule Domein A is een overkoepeld domein dat altijd in combinatie met de andere domeinen wordt toegepast (of getoetst). In domein A wordt benoemd: Vaktaal: het

Nadere informatie

Wegonderzoek volgens de Wegenscanners

Wegonderzoek volgens de Wegenscanners Wegonderzoek volgens de Wegenscanners De Wegenscanners willen informatie over de weg verbeteren. Daarbij maken we gebruik van onze visie: onderzoek van globaal naar detailniveau en koppel daarbij puntinformatie

Nadere informatie

2.1 Twee gekoppelde oscillatoren zonder aandrijving

2.1 Twee gekoppelde oscillatoren zonder aandrijving Hoofdstuk Twee gekoppelde oscillatoren.1 Twee gekoppelde oscillatoren zonder aandrijving We beschouwen als voorbeeld van een systeem van puntmassa s die gekoppeld zijn aan elkaar en aan twee vaste wanden

Nadere informatie

Beheerplan onderhoud wegen

Beheerplan onderhoud wegen Beheerplan onderhoud wegen 1. Areaal verhardingen Het areaal verhardingen dat de gemeente Sluis in beheer heeft ligt voor het grootste deel binnen de bebouwde kom. Uit de database van het beheerprogramma

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

. Dan geldt P(B) = a. 1 4. d. 3 8

. Dan geldt P(B) = a. 1 4. d. 3 8 Tentamen Statistische methoden 4052STAMEY juli 203, 9:00 2:00 Studienummers: Vult u alstublieft op het meerkeuzevragenformulier uw Delftse studienummer in (tbv automatische verwerking); en op het open

Nadere informatie

Monitoraatssessie Wiskunde

Monitoraatssessie Wiskunde Monitoraatssessie Wiskunde 1 Overzicht van de cursus Er zijn drie grote blokken, telkens voorafgegaan door de rekentechnieken die voor dat deel nodig zullen zijn. Exponentiële en logaritmische functies;

Nadere informatie

Digitale systemen. Hoofdstuk 6. 6.1 De digitale regelaar

Digitale systemen. Hoofdstuk 6. 6.1 De digitale regelaar Hoofdstuk 6 Digitale systemen Doelstellingen 1. Weten dat digitale systemen andere stabiliteitsvoorwaarden hebben In deze tijd van digitalisatie is het gebruik van computers in regelkringen alom.denk maar

Nadere informatie

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien:

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien: Van de opgaven met een letter en dus zonder nummer staat het antwoord achterin. De vragen met een nummer behoren tot het huiswerk. Spieken achterin helpt je niets in het beter snappen... 1 Stelling van

Nadere informatie

Toepassingen op discrete dynamische systemen

Toepassingen op discrete dynamische systemen Toepassingen op discrete dynamische systemen Een discreet dynamisch systeem is een proces van de vorm x k+ Ax k k met A een vierkante matrix Een Markov-proces is een speciaal geval van een discreet dynamisch

Nadere informatie

Vergelijking ijkingen vleugelinstrumenten (jaren 1941, '43, '47 en '48)

Vergelijking ijkingen vleugelinstrumenten (jaren 1941, '43, '47 en '48) Vergelijking ijkingen vleugelinstrumenten (jaren 1941, '43, '47 en '48) door Ir. W. Tops april 1949 Ministerie van Verkeer en Waterstaat Directoraat-Generaal Rijkswaterstaat Directie Oost-Nederland Bibliotheek

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-a Als x = 0,6 is de totale breedte 5,6 meter. De totale oppervlakte is 3 5,6 = 67, m. b De lengte is meter, de totale breedte is 5 + x meter, dus voor de oppervlakte geldt A = (5 + x). Dus

Nadere informatie

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7 Hoofdstuk 7 Jordan normaalvorm Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit hoofdstuk buigen we ons over de vraag of er

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening (2WS2), Vrijdag 24 januari 24, om 9:-2:. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen van de opgaven

Nadere informatie

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht. 4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 = 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen

Nadere informatie

dochandl4vmbo_kader_netwerk3e.doc Deel 4 vmbo kader Inhoud deel 4 Wolters-Noordhoff bv

dochandl4vmbo_kader_netwerk3e.doc Deel 4 vmbo kader Inhoud deel 4 Wolters-Noordhoff bv Deel 4 vmbo kader Inhoud deel 4 Hoofdstuk 1 Rekenen Hoofdstuk 2 Lineaire verbanden Hoofdstuk 3 Vlakke meetkunde Hoofdstuk 4 Machtsverbanden Hoofdstuk 5 Statistiek Hoofdstuk 6 Ruimtemeetkunde Hoofdstuk

Nadere informatie

Chapter 4: Continuous-time Markov Chains (Part I)

Chapter 4: Continuous-time Markov Chains (Part I) Stochastic Operations Research I (2014/2015) Selection of exercises from book and previous exams. Chapter 4: Continuous-time Markov Chains (Part I) 1.1 Book pp 179 185 These are useful exercises to learn

Nadere informatie

Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen.

Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen. Netwerkdiagram voor een project. AOA: Activities On Arrows - activiteiten op de pijlen. Opmerking vooraf. Een netwerk is een structuur die is opgebouwd met pijlen en knooppunten. Bij het opstellen van

Nadere informatie

Controle: Bekijk nu of aan het evenwicht wordt voldaan voor het deel BC, daarvoor zijn immers alle scharnierkracten bekend

Controle: Bekijk nu of aan het evenwicht wordt voldaan voor het deel BC, daarvoor zijn immers alle scharnierkracten bekend Hints/procedures voor het examen 4Q130 dd 25-11-99 ( Aan het einde van dit document staan antwoorden) Opgave 1 Beschouwing vooraf: De constructie bestaat uit twee delen; elk deel afzonderlijk vrijgemaakt

Nadere informatie

Examen PC 2 Financiële Rekenkunde

Examen PC 2 Financiële Rekenkunde Examen PC 2 Financiële Rekenkunde Instructieblad Examen : Professional Controller 2 leergang 8 Vak : Financiële Rekenkunde Datum : 18 december 2014 Tijd : 14.00 15.30 uur Deze aanwijzingen goed lezen voor

Nadere informatie

Onderneming en omgeving - Economisch gereedschap

Onderneming en omgeving - Economisch gereedschap Onderneming en omgeving - Economisch gereedschap 1 Rekenen met procenten, basispunten en procentpunten... 1 2 Werken met indexcijfers... 3 3 Grafieken maken en lezen... 5 4a Tweedegraads functie: de parabool...

Nadere informatie

8. Complexiteit van algoritmen:

8. Complexiteit van algoritmen: 8. Complexiteit van algoritmen: Voorbeeld: Een gevaarlijk spel 1 Spelboom voor het wespenspel 2 8.1 Complexiteit 4 8.2 NP-problemen 6 8.3 De oplossing 7 8.4 Een vuistregel 8 In dit hoofdstuk wordt het

Nadere informatie

OPERATIONS RESEARCH TECHNIEKEN L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN

OPERATIONS RESEARCH TECHNIEKEN L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN OPERATIONS RESEARCH TECHNIEKEN L.C.M. KALLENBERG UNIVERSITEIT LEIDEN VOORJAAR 2003 Inhoudsopgave 1 Inleiding 1 1.1 Wat is Operations Research?.............................. 1 1.2 Overzicht van de te behandelen

Nadere informatie

Overgangsverschijnselen

Overgangsverschijnselen Hoofdstuk 5 Overgangsverschijnselen Doelstellingen 1. Overgangsverschijnselen van RC en RL ketens kunnen uitleggen waarbij de wiskundige afleiding van ondergeschikt belang is Als we een condensator of

Nadere informatie

x = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1

x = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1 WIS9 9 Matrixrekening 9 Vergelijkingen Stelsels lineaire vergelijkingen Een stelsel van m lineaire vergelijkingen in de n onbekenden x, x 2,, x n is een stelsel vergelijkingen van de vorm We kunnen dit

Nadere informatie

Overzicht. 1. Definities. 2. Basisalgoritme. 3. Label setting methoden. 4. Label correcting methoden. 5. Ondergrenzen. 6.

Overzicht. 1. Definities. 2. Basisalgoritme. 3. Label setting methoden. 4. Label correcting methoden. 5. Ondergrenzen. 6. Overzicht 1. Definities 2. Basisalgoritme 3. Label setting methoden 4. Label correcting methoden 5. Ondergrenzen 6. Resultaten Kortste Pad Probleem 1 Definities Een graaf G = (V, E) bestaat uit een verzameling

Nadere informatie

Voorburg, 21 januari 197~ Stichting Wetenschappelijk Onderzoek Verkeersveiligheid SWOV

Voorburg, 21 januari 197~ Stichting Wetenschappelijk Onderzoek Verkeersveiligheid SWOV CONSULT aan Rijkswaterstaat MOGELIJKE VERMINDERING VAN HET BENZINEVERBRUIK DOOR DE INSTELLING VAN SNELHEIDSBEPERKINGEN R-7~-3 Voorburg, 21 januari 197~ Stichting Wetenschappelijk Onderzoek Verkeersveiligheid

Nadere informatie

Meer informatie over asfalt, voor- en nadelen kan u raadplegen op onze partnersite:

Meer informatie over asfalt, voor- en nadelen kan u raadplegen op onze partnersite: Wegen, opritten, parkings in asfalt Op volgende pagina een korte samenvatting vanwege het Opzoekingscentrum voor de Wegenbouw aangaande de soorten asfalt, de samenstelling van asfaltverhardingen, de verwerking

Nadere informatie

BEDRIJFSWETENSCHAPPEN. 2. De investeringsbeslissing en de verantwoording ervan

BEDRIJFSWETENSCHAPPEN. 2. De investeringsbeslissing en de verantwoording ervan BEDRIJFSWETENSCHAPPEN Hoofdstuk 2: INVESTERINGSANALYSE 1. Toepasbare beoordelingsmethodes 1.1. Pay-back 1.2. Return on investment 1.3. Internal rate of return 1.4. Net present value 2. De investeringsbeslissing

Nadere informatie

R-89-25 Ir. A. Dijkstra Leidschendam, 1989 Stichting Wetenschappelijk Onderzoek Verkeersveiligheid SWOV

R-89-25 Ir. A. Dijkstra Leidschendam, 1989 Stichting Wetenschappelijk Onderzoek Verkeersveiligheid SWOV SCHEIDING VAN VERKEERSSOORTEN IN FLEVOLAND Begeleidende notitie bij het rapport van Th. Michels & E. Meijer. Scheiding van verkeerssoorten in Flevoland; criteria en prioriteitsstelling voor scheiding van

Nadere informatie

College 3. Opgaven. Opgave 2

College 3. Opgaven. Opgave 2 College 3 Opgaven Opgave 2 Tabel bij opgave 2 Schepen Marg. kosten Totale kosten Tot. opbr. Marg. opbr. Netto opbr. 3 200 600 900 900 300 4 200 800 1600 700 800 5 200 1000 2000 300 1000 6 200 1200 2100

Nadere informatie

Module 3 Uitwerkingen van de opdrachten

Module 3 Uitwerkingen van de opdrachten Module 3 Uitwerkingen van de opdrachten Opdracht 1 a De trekkracht volgt uit: F t A f s 10 100 235 235000 N 235 kn b De kracht kan als volgt worden bepaald: 1 l l l E l F E A F EA l 2,1 10 5 10 100 10/2000

Nadere informatie

Een model voor een lift

Een model voor een lift Een model voor een lift 2 de Leergang Wiskunde schooljaar 213/14 2 Inhoudsopgave Achtergrondinformatie... 4 Inleiding... 5 Model 1, oriëntatie... 7 Model 1... 9 Model 2, oriëntatie... 11 Model 2... 13

Nadere informatie

Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS04), woensdag 30 juni 2010, van 9.00 12.00 uur.

Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS04), woensdag 30 juni 2010, van 9.00 12.00 uur. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening en Statistiek (WS4), woensdag 3 juni, van 9.. uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen van de

Nadere informatie

2. Het benaderen van nulpunten

2. Het benaderen van nulpunten Het benaderen van nulpunten Benaderen van vierkantswortels Als we met een numerieke rekenmachine benadering, 7 =,64575 7 berekenen, krijgen we als resultaat een Het numeriek benaderen kan met een recursieve

Nadere informatie