VJfël^Btófó^ ministerie variveifccjerert waterstaat. 1988^721 m m. A^tis A.Zwagemaker s Rijswijk : :- augustus 198S C 7898
|
|
- Simona Janssens
- 8 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 ministerie variveifccjerert waterstaat 1988^721 m m ë Öt^mj> VAM ^y^oepmal^ OPIJC^SINGEN VOOR VJfël^Btófó^ WEG." * M A^tis A.Zwagemaker s Rijswijk : : augustus 198S * * * C 7898
2
3 "ONTWERP VAN SUBOPTIMALE OPLOSSNGEN VOOR HET VERHARDINGSONDERHOUD VAN EEN WEG." A.H.A.Zwagemakers TUDelft, Rijkswaterstaat Dienst Informatieverwerking, Rijswijk. augustus 1988
4 INHOUD: Lijst van gebruikte symbolen. Voorwoord. Samenvatting Hoofdstuk 1 Inleiding Rationeel wegonderhoud in het verleden. 1.2 Beoordeling van kwaliteit. 1.3 Kwaliteitsverbetering. 1.4 Rendementsberekeningen. Hoofdstuk 2 Probleem en modelvorming Probleembeschrijving. 2.2 Toestanden en tijd Onderhoudsstrategie. 2.4 Onderhoudseffecten. 2.5 Beperkingen van de oude modelaanpak. 2.6 Nieuwe probleemstelling. Hoofdstuk 3 Nieuwe modelbenadering Projectniveau. 3.2 Stochastisch verloop. 3.3 Rente. 3.4 Alternatieve maatregelen. 3.5 Analyse van kosten. 3.6 Oplossingsmethoden. 3.7 L.P. formulering. 3.8 Een klein voorbeeld. Hoofdstuk 4 Gevoeligheidsanalyse Inleiding. 4.2 Gevoeligheidsanalyse door variatie van kosten. 4.3 Gevoelige maatregelen. 4.4 Gevoeligheid t.a.v de rente. Hoofdstuk 5 Alternatieve maatregelen en strategieën Inleiding 5.2 Alternatieven voor een maatregel. 5.3 Alternatieven voor een reeks van maatregelen (strategie). 5.4 Conclusies met betrekking tot alternatieven. Hoofdstuk Een praktijkvoorbeeld. Inleiding. Invoer. Resultaten: optimale onderhoudsstrategie Optimaal onderhoudsontwerp voor probleem P v Optimaal onderhoudsontwerp voor probleem P x a Optimaal onderhoudsontwerp voor probleem Pjb Optimaal onderhoudsontwerp voor probleem PiC Optimaal onderhoudsontwerp voor probleem P Optimaal onderhoudsontwerp voor probleem P 2 a. Gevoeligheidsanalyse en suboptimale strategieën. 66
5 6.5 Conclusies. Hoofdstuk Literatuur Bijlage 1 Bijlage 2 Bijlage 3 Bijlage 4 Evaluatie. Conclusies. Opmerkingen. Aanbevelingen. Budgetteringsmodel (methode Tolman). Werken met het FMPSpakket. Beslissingsregels voor een praktijkvoorbeeld. Tabellenboek van een praktijkvoorbeeld
6 LIJST VAN GEBRUIKTE SYMBOLEN. c< : discontofactor B Bj B : overall budget in een stationaire keten : annuïteiten budget horend bij toestand i : overall annuïteiten budget gerekend vanaf tijdstip t B n : gerekend overall budget bij de nde iteratiestap in een stationaire keten 6 : verstoringsfactor van de kosten G : prijsgrens K : kosten Ki(m) : kosten van maatregel m toegepast op toestand i K,j : kosten horend bij de overgang van toestand i naar toestand j K (t) : kosten gemaakt in het tde jaar m : een maatregel die ter beschikking staat M : set van beschikbare maatregelen m, Mj N 0,P,Q,R Pij(m) : een voorgeschreven maatregel op toestand i uit de strategie : variabele die een toegestane maatregel op een toestand aangeeft (verband tussen index, toestand en maatregel blijkt uit de tekst) : grootte toestandsruimte : symbolen voor maatregelnamen : overgangskans van toestand i naar toestand j door toepassing van maatregel m p, : kans van optreden van een toestand op tijdstip t Pi : kans van optreden van een toestand in een stationaire keten r : rente in procenten r k : positief rechterlid van de primale toestandsbeperkingen rld. : restlevensduur S : een verzameling van voorgeschreven maatregelen op alle toestanden 1,..,N (strategie) tj : restlevensduur van wegkenmerk i T, : maximale restlevensduur van wegkenmerk i W : contante waarde van de in de toekomst te maken kosten : contante waarde van de in de toekomst te maken kosten berekend vanaf en herleid naar tijdstip t : contante waarde van de kosten voor toestand i W rf Yj : contante waarde van de kosten berekend vanaf en herleid naar tijdstip t horend bij toestand i : saldo horend bij toestand i Y* : berekend saldo in de nde iteratiestap 1
7 VOORWOORD. Dit rapport is tot stand gekomen in het kader van een afstudeerproject onder auspiciën van prof.dr. F.A. Lootsma, aan de faculteit der Technische Wiskunde en Informatica van de TüDelft. Het afstudeerproject werd verricht bij Rijkswaterstaat, Dienst Informatie Verwerking, in opdracht van de Dienst Wegen Waterbouwkunde. Begeleid door ir. T.C.A. Mensch (TCDelft) en ir. M.J.P.H. Waltmans (RWS/DIV) is een wiskundig beslissingsprobleenj uit de wegenbouw in kaart gebracht in overleg met de opdrachtgevers drs. ir. J.H. Geerts en ir J.B.M. van Wieringen (RWS/DWW). Het probleem en de wiskundige aanpak worden in dit verslag beschreven. 2
8 SAMENVATTING. Ten behoeve van rationeel wegbeheer is binnen de Rijkswaterstaat het ontwikkelen van een beslissingsondersteunend systeem onderwerp van studie. Eén van deze studie aktiviteiten resulteerde in 1983 tot een rekenmodel. Met dit rekenmodel werd het mogelijk het minimale budget, nodig voor het verhardingsonderhoud, te bepajen gegeven zekere kwaliteitsrichtlijnen. De beslissingsruimte van dit budgetteringsmodel is beschreven als een Markovproces over een eindige toestandsruimte en in een discrete tijdsruimte. Het model is ontwikkeld voor gebruik op beleidsniveau of netwerkniveau. Op netwerkniveau wordt namelijk de budgettering op langere termijn vastgesteld. Nu is echter de behoefte geconstateerd aan een complementair model voor de korte termijn planning op uitvoerend niveau of projectniveau. Een model waar rekening wordt gehouden met specifieke project omstandigheden zoals rente, uitsluiten of vastleggen van maatregel, enz. Bij het onderhoud van een wegdek gaat het erom zo goedkoop mogelijk het wegdek te verbeteren, zodanig dat het wegdek blijft voldoen aan een aantal eisen met betrekking tot de kwaliteit. Ter verbetering van de kwaliteit staat de wegbeheerder een aantal akties ter beschikking. De vraag is dus wanneer en welke akties uitgevoerd dienen te worden willen de onderhoudskosten zo laag mogelijk zijn. Uitgaande van de beslisruimte van het budgetteringsmodel, is in deze ruimte bij de kosten/batenanalyse een nieuwe maatstaf, relevant voor het projectniveau, gehanteerd. Deze maatstaf is op basis van contante waarden. Dit zijn de toekomstige kosten die herleid zijn naar waarden in de huidige tijd. Een budget wordt verkregen door de contante waarde van de kosten in een annuïteit om te zetten. Analoog met het budgetteringmodel wordt in het model op projectniveau (onderhoudsmodel) dit annuïteitenbudget geminimaliseerd hetgeen equivalent is met het minimaliseren van de contante waarde van de kosten. Een wegbeheerder wil uit alternatieve maatregelen kunnen kiezen, als de 3
9 gevonden optimale oplossing niet toepasbaar (b)lijkt. Dit kan veroorzaakt worden doordat bijvoorbeeld Er gebrek aan capaciteit is bij de wegenbouwer wegens projecten elders. Een wegbeheerder meerdere aanliggende wegeenheden onder zijn beheer heeft. Deze wegeenheden kunnen in een verschillende conditie verkeren. Door samenvoegen van de wegeenheden tot één onderhoudsproject kan de wegbeheerder een kostenreductie bewerkstelligen. Deze kostenreductie kan leiden tot een andere optimale oplossing. De vraag dient zich aan bij welk prijsniveau een nietoptimale maatregel optimaal wordt. Een wegbeheerder er belang bij heeft, dat hem een werkbare optimale oplossing wordt geboden. Een oplossing die minder fluctuaties vertoont bij geringe prijswijzigingen. De interesse bestaat in een gevoeligheidsanalyse van de kosten. Wiskundig heeft dit tot een L.P.modelformulering geleid. Met behulp van een standaard L.P.pakket wordt het onderhoudsmodel geoptimaliseerd en een postoptimalisatie uitgevoerd. Uit de hierdoor verkregen uitkomsten worden suboptimale maatregelen en strategiën verder uitgewerkt. Met een praktijkvoorbeeld wordt de methode ge'fllusteerd. De opdrachtgever heeft het model aan de hand van de uitkomsten van de praktijkproblemen als heel geloofwaardig beoordeeld. Het model bevestigt de huidige werkwijze van Rijkswaterstaat met betrekking tot het onderhoud van asfaltverhardigen. Het is met het model mogelijk sneller in te spelen op veranderde marktprijzen. De conclusie lijkt gerechtvaardigd dat de L.P. formulering voldoet aan de eisen om tot een beter onderbouwde onderhoudsstrategie te komen. In een redelijke tijd is het mogelijk om een optimale oplossing te vinden samen met een volledige gevoeligheidsanalyse met betrekking tot de kosten coëfficiënten. Indien geïmplementeerd in een database biedt het gegevensbestand dat met het L.P. pakket verkregen wordt, een voldoende basis om aan de wensen van wegbeheerders te voldoen. Bet is behoorlijk goed geslaagd om tot een in de praktijk zeer nuttig en kostenbesparend instrument ter ondersteuning van onderhoudsbeslissingen te komen. 4
10 Hoofdstuk 1 INLEIDING. 1.1 Rationeel wegonderhoud in het verleden. Enige tientallen jaren geleden was het wegenbouvrak vrijwel uitsluitend praktisch gericht. Onderhoudsmaatregelen werden genomen op grond van de ervaring van de wegbeheerder. Men zag toen veel, wat men thans noemt, klein onderhoud. Wat grootschaliger maatregelen, die toen toegepast werden, waren af en toe een oppervlaktebehandeling en soms eea nieuwe deklaag. De beslissingen, tot het nemen van deze maatregelen, waren niet systematisch en de normen werden in feite bepaald door de subjectieve inzichten van de plaatselijke wegbeheerder [8]. Met de explosieve groei van het wegennet steeg de belangstelling voor een meer rationele aanpak van het wegonderhoud. De maaöchappelijke, financiële en technische ontwikkelingen van de laatste jaren versterkten nog deze belangstelling. Iedereen, die thans betrokken is bij het wegbeheer, is doordrongen van de noodzaak om de middelen nodig voor bet onderhoud van wegen zo efficiënt mogelijk te besteden. Om dit te realiseren, is een systematische onderhoudsplanning, gebaseerd op objectieve gegevens onmisbaar. Een dergelijk systeem moet resultaten opleveren die een goede basis vormen voor het nemen van beslissingen op zowel beleids als uitvoerend niveau. Ten behoeve van rationeel wegbeheer is binnen de Rijkswaterstaat het ontwikkelen van een beslissingsondersteunend sys;eem onderwerp van uitgebreide studie. Eén van deze studie aktiviteiten resulteerde in 1983 tot een door T.R.G. Tolman ontwikkeld rekenmodel [3,13]. Met dit rekenmodel werd het mogelijk het minimale budget, nodig voor het verhardingsonder houd, te bepalen, gegeven zekere kwaliteitsrichtlijnen. Dit model van Tolman is ontwikkeld voor gebruik op beleidsniveau of netwerkniveau. Op netwerkniveau wordt namelijk de budgettering op langere termijn (20 jaar) vastgesteld. Het model schiep echter de behoefte aan een complementair model voor de korte termijn planning op uitvoerend niveau of projectniveau [3]. In dit rapport wordt de ontwikkeling beschreven van zo'n model op projectniveau. Een model waar rekening gehouden wordt met de specifieke project omstandigheden zoals rente, uitsluiten of vastleggen van bepaalde maatregelen, enz.
11 1.2 Beoordeling van kwaliteit. Om een minimale kwaliteit te kunnen waarborgen via een rekenmodel, is hel noodzakelijk de kwaliteit te kwantificeren. Er wordt daarom gebruik gemaakt van de relatie tussen kwaliteit en wegkenmerken. Kwaliteit is te verdelen in een aantal kwaliteitsaspecten, zoals veiligheid, comfort en duurzaamheid. De toestand van een weg wordt beschreven door waarderingen toe te kennen aan wegkenmerken. Wegkenmerken zijn onder te verdelen in de volgende schadegroepen [2]: Textuur: dit omvat de kwaliteit van het directe oppervlak (de slijtlaag) van het wegdek met betrekking tot de verhardingssamenstelling en stroefheid. Samenhang: scheurvorming in het oppervlak. Vlakheid: aanwezigheid van oneffenheden en sporen. Draagkracht: de toestand van de fundering of onderlaag van het wegdek. Onder deze schadegroepen vallen o.a. de wegkenmerken: Rafeling, dit is het verdwijnen van de steenslag uit het oppervlak van de verharding. Rafeling valt onder de schadegroep Textuur. Krakelee. dit is een patroon van langs en dwarsscbeuren die een aantal onregelmatige veelhoeken vormen. De oorzaak hiervan is te wijten aan vermoeiings verschijnselen van de ondergrond van de verharding. Krakelee valt onder de schadegroep Samenhang. Spoorvorming, uithollingen in de dwarsrichting veroorzaakt door de regelmatige wieldruk van voertuigen. Langsvlakheid. uithollingen in de lengterichting b.v. ribbelvorming bij verkeerslichten. Langsvlakheid en spoorvorming horen tot de schadegroep vlakheid. Aangezien de draagkracht zeer moeilijk te meten is zijn van deze schadegroep geen bruikbare kenmerken voor de modelvorming voorhanden. Doordat een zware krakelee een indicatie is voor vermoeiing van de ondergrond wordt krakelee wel als kenmerk van de draagkracht gebruikt. De relatie tussen kwaliteitsaspecten en wegkenmerken wordt weergegeven in tabel
12 Bij de wegkenmerken horen schadebeelden. Met behulp van visuele inspectie en metingen, worden voor ieder schadebeeld meetwaarden bepaald. Deze meetwaarden resulteren in een getal, de parameterwaarde, voor he; betreffende kenmerk. Deze parameterwaarden zijn door afspraken vastgelegd. Het verloop van deze parameterwaarde in de tijd is nu van belang. Met behulp van een wiskundige beschrijving (dit heet een gedragsmodel) kan dit verloop bij benadering worden weergegeven. Een voorbeeld van een gedragsmodel van het wegkenmerk spoorvorming wordt gegeven in figuur 1.1. De parameterwaarde is dus een maatstaf voor de kwaliteit. Een hogere parameterwaarde geeft een betere kwaliteit weer van een verharding. Met het voortschrijden van de tijd neemt, door diverse oorzaken, de kwaliteit, dus ook de parameterwaarde af. Ervaring en berekeningen hebben uitgewezen wat de minimum parameterwaarde mag zijn, wil de verharding nog een aanvaardbare kwaliteit hebben. Deze minimum waarde is als norm (of richtlijn) vastgelegd. Wanneer de parameterwaarde deze richtlijn onderschrijdt dient er onderhoud uitgevoerd te worden dat de parameterwaarde weer boven de norm brengt. 1.3 Kwaliteitsverbetering. Ter verbetering van de kwaliteit staan een aantal onderhoudsmaatregelen tot onze beschikking. Deze lopen uiteen van simpele opperviaktebehandelingen, tot verwijderen van de asfaltlaag door bakfrezen of opzagen en vullen met nieuw asfalt [5]. Elke onderhouds maatregel heeft een invloed op een of meer wegkenmerken en zo dus ook op een of meer kwaliteitsaspecten. Bijvoorbeeld een oppervlakte behandeling. Hierbij wordt op het oppervlak van het wegdek een bituumlaag gespoten, waarna er een laag fijn grind overheen wordt gestrooid. Het is duidelijk, dat deze behandeling geen effekt heeft op de draagkracht. Evenzo op de vlakheid omdat de laag te dun is om oneffenheden weg te werken. De meeste invloed heeft deze maatregel op de textuur omdat de nieuwe laag een verandering is van het directe oppervlak van het wegdek. De stroefheid van het wegdek wordt verhoogd en zo dus de veiligheid, een kwaliteitsaspect. Een maatregel verhoogt dus voor één of meer wegkenmerken de parameterwaarde. Het effect van een maatregel op een wegkenmerk wordt weergegeven in het gedragsmodel in figuur1.2. Dit effect komt uiteindelijk neer op het verlengen van de levensduur van de verharding ten aanzien van dat kenmerk. 8
13 pararoe ter waarde figuur1.1 Gedragmodel van het wegkenmerk spoorvorming waarbij het effect is weergegeven op de parameterwaarde als de maatregel Sanimat wordt uit gevoerd. Deze maatregel wordt uitgevoerd op het moment dat de parameterwaarde onder de normwaarde komt. De parameterwaarde is de resultante van meetwaarden uit schadebeelden. [3]
14 1.4 Rendementsberekeningen. Het zal duidelijk zijn dat onderhoudswerkzaamheden moeten afhangen van rendementen. Dat wil zeggen dat de kosten van een bepaalde onderhoudsmaatregel worden geplaatst tegenover het te bereiken effect Om de kwaliteit van een verharding te verbeteren worden kosten gemaakt. Deze kosten worden niet alleen nu maar ook in de toekomst gemaakt. Hierdoor treedt een waarde verandering op onder invloed van de rente. Daarom dienen deze kosten bij rendementsberekeningen herleid te worden naar een vaste waarde. Een veel gebruikte maatstaf hierbij is de netto contante waarde. Dit is het verschil tussen de contante waarde van de baten en de contante waarden van de kosten. De contante waarde is de waarde van een bedrag op tijdstip i herleid naar nu. Oftewel het bedrag dat we nu moeten uitzetten tegen een vast rente percentage, om op dat tijdstip i een bepaald bedrag te kunnen uitgeven. 10
15 Hoofdstuk 2 PROBLEEM EN MODELVORMING. 2.1 Probleembeschrijving. De verharding van wegen is onderhoudsbehoevend. Een verharding waaraan geen onderhoud gepleegd wordt, neemt geleidelijk in kwaliteit af. De kwaliteit van de verharding wordt beschreven door een aantal kwantificeerbare kenmerken. Voor ieder kenmerk zijn minimale kwaliteitsniveau's vastgesteld. Ter voorkoming van een inferieure kwaliteit, zijn onderhoudsmaatregelen beschikbaar, waarmee één of meer kwaliteitskenmerken kunnen worden verbeterd. De kwaliteit van een verharding kan op verschillende manieren tot uitdrukking worden gebracht, in schadeklasses of in de vorm van restlevensduren. Een globale relatie tussen deze twee is te zien in tabel2.1 en tabel2.2 voor twee verschillende wegkenmerken. Bij de Dienst Weg en waterbouwkunde wordt de kwaliteit van een wegdek uitgedrukt in restlevensduren per wegkenmerk. Omdat restlevensduren op dezelfde schaal uitgedrukt wordt als de tijd en deze voor ieder wegkenmerk gelijk zijn. Dit in tegenstelling tot schadeklassen die voor ieder wegkenmerk verschillend zijn. Er wordt dan in dit verslag gekozen voor een waardering van de kwaliteitskenmerken in restlevensduren. 2.2 Toestand en tijd. De restlevensduren worden naar gehele tijdseenheden afgerond. Negatieve restlevensduren komen niet voor. Door nu een bovengrens aan de restlevensduren te stellen, wordt bereikt dat een verharding slechts in een eindig aantal toestanden kan verkeren. Een toestand i wordt genoteerd als i = (tjjtj,...,^) waarin t ; de restlevensduur is van kenmerk j (tja* l,...,ti; tj» l,...,!^;...; tn= l,...,t n ) Een discretisatie van de tijd wordt verkregen door de verharding slechts op vaste tijdstippen, die één tijdseenheid uit elkaar liggen, te bekijken. Een discretisatie van de effecten wordt verkregen door afronding van de restlevensduren op gehele tijdseenheden. De toestand (ti,...,^) wordt wel het telefoonnummer van de wegeenheid genoemd. In het hiernavolgende wordt een
16 figuur2.1 G/ o baal verband tussen restlevensduren en schadeklassen met betrekking tot het wegkennerk rafeling. Het gebied tussen twee horizonttle lijnen is een schadeklasse, de schadeklasse O ts "geen schade", de schadeklasse 2 is "matigt schade", de schadeklasse 5 betekent "ernstige schide". De norm ligt bij "matige schade" [15]. figaur2.2 Globaal verband tussen restlevensduren en schad e klassen met betrekking tot het wegkennerk spoor diepte. Het gebied tussen twee horizontale lijnen is een schadeklasse, de schadeklasse O is "geen schade", de schadeklasse 2 is "matige schade", schadeklasse 5 betekent "ermtige schade". De norm ligt bij "matige schade" [15]. 12
17 toestand verder aangeduid met i: i * (t{,...,tj) Nu wil t ; zeggen: de restlevensduur van wegkenmeri j voor toestand i. 2.3 Onderhoudsstrategie. De tijdseenheid is voldoende klein (n.1. één jaar) om per tijdseenheid te volstaan met ten hoogste één maatregel. Door nu de pseudomaatregel "niets doen" of "klein onderhoud" te introduceren, kan nu uit de aldus verkregen set beschikbare maatregelen, aan iedere toestand i éér onderhoudsmaatregel dwingend worden voorgeschreven. Zo'n verzameling van voorgeschreven maatregelen op alle toestanden S = (mi,...,m^) heet eer onderhoudsstrategie. 2.4 Onderhoudseffecten. Bij een gekozen strategie S wordt voor eenzelfde toesand i altijd eenzelfde maatregel m t uitgevoerd, onafhankelijk van het tijdstip. Het uitvoeren van een onderhoudsmaatregel leidt tot een verandering van de restlevensduur van één of meer wegkenmerken. Deze verandering kan stochastisch voorgesteld worden. De toestandsovergang van i naar j veroorzaakt door een maatregel m* wordt gekarakteriseerd door de kansfunctie: waarbij: Py( S ) = P [ x = j x _i= i; mj S : de onderhoudsstrategie nij : de onderhoudsmaatregel uit strategie S voor de toestand i x : de toestand op tijdstip n Pij( S ) : de kans van de overgang van toestand i naar toestand j bij strategie S. (2.1) N Nu is py( S ) = 1, voor elke i = 1,...,N Verondersteld wordt verder dat een verandering van toestand i naar toestand j onafhankelijk is van de voorafgaande toestanden. Dus: 13
18 P [ *n=j* I *nl= i, X _ 2 «i _ 2v..,X 0 = ^ S ] = P [ x = j x n _!= i; S ] Hiermee is een Markovproces beschreven over een eindige toestandsruimte 1,...,N en in een discrete tijdsruimte. Indien een Markovproces zeer lang genoeg duurt, mag verondersteld worden dat de kans op het voorkomen van een bepaalde toestand onafhankelijk van de tijd is. Het proces is dan in een stationaire toestand. Gaat men uit van de gemiddelde effecten van iedere onderhoudsmaatregel dan kan men de overgangen deterministisch beschouwen. Overgangen heten deterministisch als bij een toestand i en een strategie S er één, l e 1,...,N is z.d.d p y ( S ) = 1 als j = l (2.2) P,;( S ) 0 j * l Dit kan gebruikt worden als de spreiding van de effecten niet te groot is. 2.5 Beperkingen oude model aanpak. Met de hiervoor beschreven modelvorming heeft Tolman [13] in 1983 een model ontwikkeld om het minimale budget nodig voor het onderhoud van een asfaltverharding, te bepalen. Dit minimale budget wordt bepaald in een deterministisch model waarin de rente niet is opgenomen. Dit omdat er een stationair proces wordt beschouwt. Voor gebruik op projectniveau heeft dit model hierdoor zijn beperkingen. Door een stationair proces (dit is een proces dat reeds zéér lange tijd gaande is) te beschouwen wordt de tijdsfactor niet in ogenschouw genomen. Het budget wordt berekend over een cyclus die in het model optreedt. Ook al duurt het nog tientallen jaren voordat deze cyclus bereikt wordt. Voor de aktuele toestand, dus op korte termijn, biedt dit model dus geen oplossing voor het bepalen van de optimale strategiën die de totaal te maken kosten minimaliseren. 14
19 Meerdere cycli mogen in dit model niet voorkomen. Doordat het budget berekend wordt als de gemiddelde kosten die in een cyclus gemaakt worden, mag het niet voorkomen dat er een tweede cyclus optreedt. Het zou eventueel voor kunnen komen, dat voor een gedeelte van de toestandsruimte de optimale cyclus niet te bereiken valt omdat de hiervoor benodigde maatregelen niet in het modelinvoer zijn verwerkt. Indien deze tweede cyclus een ander budget tot gevolg heeft, levert dit een tegenstrijdigheid op in zijn oplossingsmethodiek. Alternatieven voor maatregelen in de aanlooproutes kunnen met dit model niet gegeven worden doordat met dit model de financiële concequenties niet berekend kunnen worden. Hooguit kan een alternatief budget en een alternatieve cyclus berekend worden door willekeurig in de optimale cyclus een optimale maatregel expliciet te verwijderen en het model opnieuw door te rekenen om daarmee een nieuwe cyclus en een nieuw budget te bepalen. Op projectniveau dient men echter rekening te houden met aspecten als de aktuele toestand, waardoor een tijdsfactor aanwezig is, en de mogelijkheid van alternatieve maatregelen. 2.6 Nieuwe probleemstelling Kort: beschouw het budgetteringsprobleem voor een optimaal onderhoud van het landelijk wegennet niet meer op netwerkniveau maar op projectniveau. Op netwerkniveau worden de doelstellingen t.a.v. het onderhoud geanalyseerd door inventarisatie van administratieve gegevens afkomstig van het projectniveau en van globale visuele inspecties en metingen. Hier wordt ook de budgettering voor de planning op lange termijn vastgesteld. Het model van Tolman is hierbij een hulpmiddel. Voor een kwantitatieve analyse met behulp van dit model zijn getallen nodig zoals de gemiddelde kosten en de gemiddelde effecten van de onderhoudsmaatregelen. Deze gemiddelden zijn verkregen door bewerking van gegevens op projectniveau. Op het projectniveau wordt het feitelijk onderhoud uitgevoerd. Het tijdstip en soort van onderhoud wordt hier vastgelegd. Er wordt op dit niveau zorggedragen voor de uitvoering van het onderhoud en de effecten van het onderhoud worden hier gecontroleerd. In het model van Tolman is men uitgegaan dat voor alle projecten binnen het beschouwde wegennet, het groot onderhoud samen met het bijbehorend klein 15
20 onderhoud, reeds lange tijd optimaal uitgevoerd worden. Dit is niet het geval. Daarom wil men een complementair model op projecxniveau. 16
21 Hoofdstuk 3 NIEUWE MODEL BENADERING. 3.1 Projectniveau Het onderhoud op projectniveau is gebaseerd op richtlrnen afkomstig van het netwerkniveau, maar tevens op aspekten zoals a) Het stochastisch verloop van de effecten van onderhoudsmaatregelen. b) De kostenanalyse waarin de rente betrokken wordt. * c) De keuze die gemaakt moet kunnen worden uit alternatieve maatregelen, als de gevonden optimale oplossing niet toepasbaar (b)lrit. 3.2 Stochastisch verloop Een maatregel heeft niet altijd het verwachte efrect. Bijvoorbeeld de maatregel "dubbele oppervlak behandeling" kan mislukisn door invloeden van buitenaf. Bijvoorbeeld omdat de ondergrond niet goed droog is geweest toen deze maatregel werd uitgevoerd. Hierdoor is de hechting op de ondergrond van de nieuwe toplaag nadelig beinvloed. De aanname (2.2), dat de effecten deterministisch zijr. is op netwerkniveau geoorloofd, daar hierbij een groot aantal wegeenheden fc beschouwing genomen wordt. Echter op projectniveau heeft men te maken me; een kleine groep van wegeenheden, waarvoor het stochastisch aspect niet gebeel te verwaarlozen is. Vanwege het ontbreken van voldoende gegevens kan bet stochastische model alleen in theorie beschreven worden maar moeten n de voorbeelden de overgangen deterministisch beschouwen. 3.3 Rente Op projectniveau heeft men te maken met een korteternnjp planning. Ook is het uitgavepatroon op projectniveau dusdanig, dat het benutten van de tijdsfactor relevant is. Het uitgavepatroon op netwerkniveau is, wederom door het grote aantal beschouwde wegeenheden, konstant te noemen. Op projectniveau krijgt men echter te maken met piekuitgaven. Door het opnemen van een rente factor in het model, kan dit dit redelijk ondervangen worden.
22 Ook is het van belang de rente op te nemen om de betalingen op de netto contante waarde terug te kunnen brengen. 3.4 Alternatieve maatregelen. Een wegbeheerder wil uit alternatieve maatregelen kunnen kiezen, als de gevonden optimale oplossing niet toepasbaar (b)lijkt. Dit kan veroorzaakt worden doordat bijvoorbeeld 1) Een (of meer) maatregel(en) op dit moment niet toepasbaar zijn doordat de capaciteit van de wegenbouwer door projecten elders niet beschikbaar is. 2) Door meerdere aansluitende wegeenheden met onderling verschillende toestanden, tot één onderhoudsproject te combineren kan de wegbeheerder een lagere prijs bedingen, omdat het onderhoudsproject groter wordt, dus ook aantrekkelijker voor de wegenbouwer wordt. De vraag dient zich aan bij welk prijsniveau een nietoptimale maatregel optimaal wordt. Een gevoeligheids analyse op kosten coëfficiënten van de maatregelen wordt daarom wenselijk geacht. 3) Een wegbeheerder er belang bij heeft, dat hem een werkbare optimale oplossing wordt geboden. Een werkbare oplossing is voor hem o.a een oplossing die weinig fluctuaties vertoont bij geringe prijswijzigingen. Men wil dus liever minder gevoelige maatregelen gebruiken. D.w.z. maatregelen die misschien iets duurder zijn maar op een bredere basis een laag budget (of lage gemiddelde kosten) garanderen. Door een gevoeligheidsanalyse uit te voeren op de kosten van elke toegelaten maatregel afzonderlijk met betrekking tot een bepaalde toestand en zijn invloed op de totale kosten kan aan deze wensen worden voldaan. 3.5 Analyse van kosten. Een veel gebruikte maatstaf bij kosten/batenanalyse is de netto contante waarde. Dit is het verschil tussen de contante waarde van de baten en de contante waarden van de kosten. De contante waarde is de waarde van een bedrag op tijdstip i herleid naar nu. Oftewel het bedrag dat nu uitgezet moet 18
23 worden tegen een vast rentepercentage, om op da; tijdstip i een bepaald bedrag te kunnen uitgeven. Als nu de kosten K (0> gemaakt worden en in elk volgesd jaar t de kosten K (t) dan is de contante waarde van de kosten: W< 0) = contante waarde nu «K< 0) + ak (1) +..+av'v...= av 0 (3.1) to waarbij r de rente in procenten is en a = (1 + r/100." 1 ; a heet de discontofactor (0 < a < 1). Uit (3.1) leidt men af: W< 0) = K< 0) + a( K M + ak (2) +...+a n 1 K <n) +...) = K< 0) + aw* 1 ' is de contante waarde van de kosten die na dit jaar gemaakt worden herleid naar de waarde van volgend jaar. Oftewel de contante waarde van de kosten die vanaf volgend jaar gemaakt worden als men die volgend jaar contant maakt. Omdat in dit geval er geen baten zijn, is de netto contante waarde gelijk aan de negatieve waarde van de contante waarde van de kosten. Maakt men in elke periode dezelfde kosten K, dan is de contante waarde gelijk aan: W* 0 ' = K + ak + a*k K( 1 + a + a ) = K( 1 a f 1 Bekijkt men K als de onbekende dan wordt dit: K = W< 0) ( 1 o ) K is een equivalent van de gemiddelde kosten. K is dus een equivalent van het budget B. Men noemt K een budget op annuïteitenbasis. Overeenkomstig de probleemstelling in het model van Tolman volgt hieruit onze nieuwe probleemstelling. De oude probleemstelling was namelijk minimaliseer het budget B. Vult men voor het budget de equivalent gemiddelde kosten in dan wordt dit min B «min K = min ( 1 ajw^ = ( 1 a ) min W (0) De nieuwe probleemstelling wordt dus: 19
24 Minimaliseer de contante waarde van de kosten. Of analoog omdat de netto contante waarde gelijk is aan en dus is: min W< 0) = max Maximaliseer de netto contante waarde. Nü en in de toekomst past men bij eenzelfde toestand i altijd dezelfde maatregel m toe en heeft men daardoor altijd dezelfde kansen Pij(m) om in een volgtoestand j uit te komen (m is een maatregel uit de set M van beschikbare maatregelen). De overgang van toestand i naar toestand j leidt altijd, onafhankelijk van het tijdstip waarop, tot de onderhoudskosten K i; (m). Deze onderhoudskosten worden alleen bepaald door de kosten van de genomen maatregel m en is daarom onafhankelijk van de begintoestand i. Indien men nü in toestand i is, kan men voor de verwachting van de contante waarde van de kosten herleid naar nü schrijven: W< 0) = l p 0 { K ij+ o l p jk I K jk + a l p ti { K w +...}}} (3.2) Als men in het pde jaar in toestand i is en dus dezelfde maatregel uitvoert dan is de verwachting van de contante waarde van de kosten herleid naar het pde jaar: W! P) = Pij { Ky+ o l?jk I K it+ a f] p w { K^...}}} (3.3) Dus volgt uit (3.2) en (3.3) Wi 0) = Wi p). Wi (3.4) De contante waarde van de kosten behorend bij een toestand herleid naar het tijdstip waarop men in die toestand verkeert is onafhankelijk van dat tijdstip. Bij een gegeven strategie S kan de volgende balansvergelijking opgesteld worden voor de overgang van toestand i naar toestand j (waarbij een maatregel wordt uitgevoerd direct na het bereiken van de toestand i): 20
Optimalisering en Complexiteit, College 11. Complementaire speling; duale Simplex methode. Han Hoogeveen, Utrecht University
Optimalisering en Complexiteit, College 11 Complementaire speling; duale Simplex methode Han Hoogeveen, Utrecht University Duale probleem (P) (D) min c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 max w 1 b 1 + w 2 b 2 +
Nadere informatieBijlage A Simplex-methode
Dee bijlage hoort bij Beter beslissen, Bijlage A Simplex-methode Verreweg de meeste LP-problemen worden opgelost met behulp van het ogenoemde Simplex-algoritme, in ontwikkeld door G.B. Dantig. De meeste
Nadere informatieUniversiteit Utrecht Faculteit Wiskunde en Informatica. Examen Optimalisering op maandag 18 april 2005, uur.
Universiteit Utrecht Faculteit Wiskunde en Informatica Examen Optimalisering op maandag 18 april 2005, 9.00-12.00 uur. De opgaven dienen duidelijk uitgewerkt te zijn en netjes ingeleverd te worden. Schrijf
Nadere informatieBasiskennis lineaire algebra
Basiskennis lineaire algebra Lineaire algebra is belangrijk als achtergrond voor lineaire programmering, omdat we het probleem kunnen tekenen in de n-dimensionale ruimte, waarbij n gelijk is aan het aantal
Nadere informatieTU/e 2DD50: Wiskunde 2
TU/e 2DD50: Wiskunde 2 Enkele mededelingen Instructies (vandaag, 10:45 12:30) in vier zalen: Zaal Aud 10 Pav b2 Pav m23 Ipo 0.98 voor studenten met achternaam beginnend met letters A tot en met D met letters
Nadere informatieStochastische Modellen in Operations Management (153088)
Stochastische Modellen in Operations Management (153088) S1 S2 X ms X ms R1 S0 240 ms Ack L1 R2 10 ms Internet R3 L2 D0 10 ms D1 D2 Richard Boucherie Stochastische Operations Research TW, Ravelijn H 219
Nadere informatie1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist is. Kruis de juiste bewering aan. (2pt. per juist antwoord).
Tentamen Optimalisering (IN2805-I) Datum: 3 april 2008, 14.00 17.00. Docent: Dr. J.B.M. Melissen Naam: Studienummer: 1 In deze opgave wordt vijftien maal telkens drie beweringen gedaan waarvan er één juist
Nadere informatieTU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1)
TU/e 2DD50: Wiskunde 2 () Tussentoets 26 november, tijdens de instructies Zaal: paviljoen (study hub) Time: 90min Tentamenstof: colleges 4 (LP; Simplex; dualiteit; complementaire slackness) Oude tentamens:
Nadere informatie3 Wat is een stelsel lineaire vergelijkingen?
In deze les bekijken we de situatie waarin er mogelijk meerdere vergelijkingen zijn ( stelsels ) en meerdere variabelen, maar waarin elke vergelijking er relatief eenvoudig uitziet, namelijk lineair is.
Nadere informatieTentamen: Operationele Research 1D (4016)
UITWERKINGEN Tentamen: Operationele Research 1D (4016) Tentamendatum: 12-1-2010 Duur van het tentamen: 3 uur (maximaal) Opgave 1 (15 punten) Beschouw het volgende lineaire programmeringsprobleem P: max
Nadere informatieTU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1)
TU/e 2DD50: Wiskunde 2 (1) Organisatorische informatie Wat Dag Tijd Zaal Docent College Tue 5+6 Aud 6+15 Gerhard Woeginger Thu 1+2 Aud 1+4 Gerhard Woeginger Clicker session Tue 7+8 Aud 6+15 Gerhard Woeginger
Nadere informatie3.2 Vectoren and matrices
we c = 6 c 2 = 62966 c 3 = 32447966 c 4 = 72966 c 5 = 2632833 c 6 = 4947966 Sectie 32 VECTOREN AND MATRICES Maar het is a priori helemaal niet zeker dat het stelsel vergelijkingen dat opgelost moet worden,
Nadere informatieBouw- & Infrapark te Harderwijk KIES*WIJZER*ONDERHOUD 2
Koen Stephan Bouw- & Infrapark te Harderwijk 17-3-2018 KIES*WIJZER*ONDERHOUD 2 Bouw- & Infrapark te Harderwijk (ondergrondse) infra, wegenbouw, grondverzet, verticaal transport, maritiem & offshore Jaarlijks
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 3 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 21 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september 2016 1 / 36 LP: Lineair Programmeren min x 1 2
Nadere informatieTI83-werkblad. Vergelijkingen bij de normale verdeling
TI83-werkblad Vergelijkingen bij de normale verdeling 1. Inleiding Een normale verdeling wordt bepaald door de constanten µ en σ. Dit blijkt uit het voorschrift van de verdelingsfunctie van de normale
Nadere informatieLineaire Algebra (2DD12)
Lineaire Algebra (2DD12) docent: Ruud Pellikaan - Judith Keijsper email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/ ruudp/2dd12.html Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper
Nadere informatieP (X n+1 = j X n = i, X n 1,..., X 0 ) = P (X n+1 = j X n = i). P (X n+1 = j X n = i) MARKOV KETENS. Definitie van Markov keten:
Definitie van Markov keten: MARKOV KETENS Een stochastisch proces {X n, n 0} met toestandsruimte S heet een discrete-tijd Markov keten (DTMC) als voor alle i en j in S geldt P (X n+ = j X n = i, X n,...,
Nadere informatieMARKOV MODEL MET KOSTEN In Markov modellen zijn we vaak geïnteresseerd in kostenberekeningen.
MARKOV MODEL MET KOSTEN In Markov modellen zijn we vaak geïnteresseerd in kostenberekeningen. voorraadmodel: voorraadkosten personeelsplanningmodel: salariskosten machineonderhoudsmodel: reparatiekosten
Nadere informatieUniversiteit Utrecht Departement Informatica. Examen Optimalisering op dinsdag 29 januari 2019, uur.
Universiteit Utrecht Departement Informatica Examen Optimalisering op dinsdag 29 januari 2019, 17.00-20.00 uur. ˆ Mobieltjes UIT en diep weggestopt in je tas. Wanneer je naar de WC wil, dan moet je je
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011)
Katholieke Universiteit Leuven September 20 Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 20) Inhoudsopgave Rationale functies. Inleiding....................................2
Nadere informatieBepaling toezichtvorm gemeente Stein
Bepaling toezichtvorm 2008-2011 gemeente Stein F i n a n c i e e l v e r d i e p i n g s o n d e r z o e k P r o v i n c i e L i m b u r g, juni 2 0 0 8 V e r d i e p i n g s o n d e r z o e k S t e i
Nadere informatie1 Transportproblemen. 1.1 Het standaard transportprobleem
1 Transportproblemen 1.1 Het standaard transportprobleem Dit is het eenvoudigste logistieke model voor ruimtelijk gescheiden vraag en aanbod. Een goed is beschikbaar in gekende hoeveelheden op verscheidene
Nadere informatieP = LIMIETGEDRAG VAN MARKOV KETENS Limietverdeling van irreducibele, aperiodieke Markov keten:
LIMIETGEDRAG VAN MARKOV KETENS Limietverdeling van irreducibele, aperiodieke Markov keten: Voorbeeld: Zoek de unieke oplossing van het stelsel π = π P waarvoor bovendien geldt dat i S π i = 1. P = 0 1/4
Nadere informatieProject Management (H 9.8 + H 22 op CD-ROM)
Project Management (H 9.8 + H 22 op CD-ROM) CPM (Critical Path Method) Activiteiten met afhankelijkheden en vaste duur zijn gegeven. CPM bepaalt de minimale doorlooptijd van het project. PERT (Program
Nadere informatieP (X n+1 = j X n = i, X n 1,..., X 0 ) = P (X n+1 = j X n = i). P (X n+1 = j X n = i) MARKOV KETENS. Definitie van Markov keten:
Definitie van Markov keten: MARKOV KETENS Een stochastisch proces {X n, n 0} met toestandsruimte S heet een discrete-tijd Markov keten (DTMC) als voor alle i en j in S geldt P (X n+1 = j X n = i, X n 1,...,
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 10 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 23 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 23 november 2016 1 / 40 Vraag Ik heb het deeltentamen niet
Nadere informatiel e x e voor alle e E
Geselecteerde uitwerkingen Werkcollege Introduceer beslissingsvariabelen x e met x e = als lijn e in de boom zit en anders x e = 0. De doelfunctie wordt: min e E l e x e Voor elke deelverzameling S V met
Nadere informatieTransport-, Routing- en Schedulingproblemen. Wi4062TU / Wi487TU / a86g. Uitwerkingen 08-04-2005
Transport-, Routing- en Schedulingproblemen Wi4062TU / Wi487TU / a86g Uitwerkingen 08-04-2005 1 Transportprobleem Onderdeel a Fabriek 1 kan 120 ton staal fabriceren in 40 uur. Voor fabriek 2 is dit 150
Nadere informatieZoek de unieke oplossing van het stelsel π = π P waarvoor bovendien geldt dat i S π i = 1.
LIMIETGEDRAG VAN REDUCIBELE MARKOV KETEN In het voorgaande hebben we gezien hoe we de limietverdeling van een irreducibele, aperiodieke Markov keten kunnen berekenen: Voorbeeld 1: Zoek de unieke oplossing
Nadere informatieRekenen aan wortels Werkblad =
Rekenen aan wortels Werkblad 546121 = Vooraf De vragen en opdrachten in dit werkblad die vooraf gegaan worden door, moeten schriftelijk worden beantwoord. Daarbij moet altijd duidelijk zijn hoe de antwoorden
Nadere informatie13 Hidden Markov Modellen.
3 Hidden Markov Modellen. 3. Inleiding. In dit Hoofdstuk bekijken we Markov modellen waarvan we de toestanden niet met zekerheid kunnen waarnemen. In plaats daarvan gaan we ervan uit dat toestand i met
Nadere informatie9. Strategieën en oplossingsmethoden
9. Strategieën en oplossingsmethoden In dit hoofdstuk wordt nog even terug gekeken naar alle voorgaande hoofdstukken. We herhalen globaal de structuren en geven enkele richtlijnen voor het ontwerpen van
Nadere informatieHet oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b
Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008
Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie juli 2008) Rationale functies. Inleiding Functies als f : 5 5, f 2 : 2 3 + 2 f 3 : 32 + 7 4 en f 4 :
Nadere informatieTentamen Optimalisering (IN2520) Datum: 5 november 2004, Docent: Dr. J.B.M. Melissen
Tentamen Optimalisering (IN2520) Datum: 5 november 2004, 14.00 17.00. Docent: Dr. J.B.M. Melissen Veel succes! 1 Deze opgave bestaat uit 15 tweekeuzevragen. Per goed antwoord krijg je 2 punten. a. Dynamisch
Nadere informatieCover Page. The handle holds various files of this Leiden University dissertation
Cover Page The handle http://hdl.handle.net/1887/39637 holds various files of this Leiden University dissertation Author: Smit, Laurens Title: Steady-state analysis of large scale systems : the successive
Nadere informatieT I P S I N V U L L I N G E N H O O G T E T E G E N P R E S T A T I E S B O M +
T I P S I N V U L L I N G E N H O O G T E T E G E N P R E S T A T I E S B O M + A a n l e i d i n g I n d e St a t e nc o m m i s si e v o or R ui m t e e n G r o e n ( n u g e n o em d d e St at e n c
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008
Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.
Nadere informatieHoofdstuk 13: Integer Lineair Programmeren
Hoofdstuk 13: Integer Lineair Programmeren Vandaag: Wat is Integer Lineair Programmeren (ILP)? Relatie tussen ILP en LP Voorbeeld 1: Minimum Spanning Tree (MST) Voorbeeld 2: Travelling Salesman Problem
Nadere informatieNu een leuk stukje wiskunde ter vermaak (hoop ik dan maar). Optellen van oneindig veel getallen
Nu een leuk stukje wiskunde ter vermaak (hoop ik dan maar). Optellen van oneindig veel getallen Ter inleiding: tellen Turven, maar: onhandig bij grote aantallen. Romeinse cijfers: speciale symbolen voor
Nadere informatieS n = tijdstip van de n-de gebeurtenis, T n = S n S n 1 = tijd tussen n-de en (n 1)-de gebeurtenis.
HET POISSON PROCES In veel praktische toepassingen kan het aaankomstproces van personen, orders,..., gemodelleerd worden door een zogenaamd Poisson proces. Definitie van een Poisson proces: Een Poisson
Nadere informatievandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen
Hoofdstuk I Lineaire Algebra Les 1 Stelsels lineaire vergelijkingen Om te beginnen is hier een puzzeltje: vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen over vijf jaar is Annie twee keer zo oud
Nadere informatieEerste orde partiële differentiaalvergelijkingen
Eerste orde partiële differentiaalvergelijkingen Vakgroep Differentiaalvergelijkingen 1995, 2001, 2002 1 Eerste orde golf-vergelijking De vergelijking au x + u t = 0, u = u(x, t), a ɛ IR (1.1) beschrijft
Nadere informatieBegrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme
Begrenzing van het aantal iteraties in het max-flow algoritme Het oplossen van het maximum stroom probleem met behulp van stroomvermeerderende paden werkt, maar het aantal iteraties kan aardig de spuigaten
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008)
Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Rechten en vlakken (versie 14 augustus 2008) 2 Rechten en vlakken Inleiding In deze module behandelen we de theorie van rechten en vlakken in de driedimensionale
Nadere informatieINLEIDING. Definitie Stochastisch Proces:
Definitie Stochastisch Proces: INLEIDING Verzameling van stochastische variabelen die het gedrag in de tijd beschrijven van een systeem dat onderhevig is aan toeval. Tijdparameter: discreet: {X n, n 0};
Nadere informatiemax 5x 1 2x 2 s.t. 2x 1 x 2 10 (P) x 1 + 2x 2 2 x 1, x 2 0
Voorbeeldtentamen Deterministische Modellen in de OR (158075) Opmerking vooraf: Geef bij elke opgave een volledige en duidelijke uitwerking inclusief argumentatie! Gebruik van de rekenmachine is niet toegestaan.
Nadere informatieUitwerking Tweede Quiz Speltheorie,
Uitwerking Tweede Quiz Speltheorie, 28-11-2012 Attentie! Maak van de onderstaande drie opgaven er slechts twee naar eigen keuze! Opgave 1 [50 pt]. Van het tweepersoons nulsomspel met de 2 4-uitbetalingsmatrix
Nadere informatieBekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:
Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x
Nadere informatieAlgemene escalatieberekening
Algemene escalatieberekening G5010 1 Algemene escalatieberekening Redactiecommissie 1. Inleiding G5010 3 2. Uitgangspunten voor de escalatieberekening G5010 3 3. Berekening kostenescalatie G5010 4 4. Enkele
Nadere informatieBijlage 1 Toelichting kwantitatieve analyse ACM van de loterijmarkt
Bijlage 1 Toelichting kwantitatieve analyse ACM van de loterijmarkt 1 Aanpak analyse van de loterijmarkt 1. In het kader van de voorgenomen fusie tussen SENS (o.a. Staatsloterij en Miljoenenspel) en SNS
Nadere informatieLineaire programmering
Lineaire programmering Hans Maassen kort naar Inleiding Besliskunde van J. Potters [Pot]. en Methods of Mathematical Economics van J. Franklin [Fra]. Lineaire programmering is het bepalen van het maximum
Nadere informatie3 De stelling van Kleene
18 3 De stelling van Kleene Definitie 3.1 Een formele taal heet regulier als hij wordt herkend door een deterministische eindige automaat. Talen van de vorm L(r) met r een reguliere expressie noemen we
Nadere informatieMARKOV KETENS, OF: WAT IS DE KANS DAT MEVROUW DE VRIES NAT ZAL WORDEN?
MARKOV KETENS, OF: WAT IS DE KANS DAT MEVROUW DE VRIES NAT ZAL WORDEN? KARMA DAJANI In deze lezing gaan we over een bijzonder model in kansrekening spreken Maar eerst een paar woorden vooraf Wat doen we
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 3 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 21 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 21 september 2016 1 / 36 LP: Lineair Programmeren min x 1 2
Nadere informatieRanglijst woongebied land van matena 1 januari 2019
Toelichting Ranglijst woongebied land van matena 1 januari 2019 Hieronder treft u de geanonimiseerde ranglijst per 1 januari 2019 aan voor het woongebied van Land van Matena. Het betreft een momentopname.
Nadere informatieKettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1
Kettingbreuken Frédéric Guffens 0 april 00 K + E + T + T + I + N + G + B + R + E + U + K + E + N 0 + A + P + R + I + L + 0 + + 0 Wat zijn Kettingbreuken? Een kettingbreuk is een wiskundige uitdrukking
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 5 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 12 oktober 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 12 oktober 2016 1 / 31 Dualiteit Dualiteit: Elk LP probleem heeft
Nadere informatieUniversiteit Utrecht Departement Informatica
Universiteit Utrecht Departement Informatica Uitwerking Tussentoets Optimalisering 20 december 206 Opgave. Beschouw het volgende lineair programmeringsprobleem: (P) Minimaliseer z = x 2x 2 + x 3 2x 4 o.v.
Nadere informatieTU/e 2DD50: Wiskunde 2
TU/e 2DD50: Wiskunde 2 Enkele mededelingen Tussentoets: 26 november, tijdens de instructies Tentamenstof: LP; Simplex; dualiteit (= colleges 1 4) Bij de tussentoets mag een eenvoudige (niet programmeerbare)
Nadere informatieL i mb u r g s e L a n d m a r k s
L i mb u r g s e L a n d m a r k s P r o g r a m m a I n v e s t e r e n i n S t ed e n e n D o r p e n, l i j n 2 ; D e L i m b u r g s e I d e n t i t e i t v e r s i e 1. 0 D o c u m e n t h i s t o
Nadere informatieBeoordeling van investeringsvoorstellen
Beoordeling van investeringsvoorstellen C2010 1 Beoordeling van investeringsvoorstellen Ir. drs. M. M. J. Latten 1. Inleiding C2010 3 2. De onderneming C2010 3 3. Investeringen G2010 3 4. Selectiecriteria
Nadere informatieWiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014
Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen 3 december 04 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato: 4pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes
Nadere informatieMARKOV MODEL MET KOSTEN In Markov modellen zijn we vaak geïnteresseerd in kostenberekeningen.
MARKOV MODEL MET KOSTEN In Markov modellen zijn we vaak geïnteresseerd in kostenberekeningen. voorraadmodel: voorraadkosten personeelsplanningmodel: salariskosten machineonderhoudsmodel: reparatiekosten
Nadere informatieAanvullingen bij Hoofdstuk 8
Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los
Nadere informatieR e g i o M i d d e n -L i m b u r g O o s t. G r e n z e l o o s w o n e n i n M i d d e n -L i m b u r g R e g i o n a l e W o o n v i s i e
R e g i o M i d d e n -L i m b u r g O o s t G r e n z e l o o s w o n e n i n M i d d e n -L i m b u r g R e g i o n a l e W o o n v i s i e 4 o k t o b e r 2 0 0 6 P r o j e c t n r. 2 9 5 7. 7 2 B o
Nadere informatieRuimtewiskunde. college. Stelsels lineaire vergelijkingen. Vandaag UNIVERSITEIT TWENTE. Stelsels lineaire vergelijkingen.
college 4 collegejaar college build slides Vandaag : : : : 16-17 4 29 maart 217 38 1 2 3.16-17[4] 1 vandaag Vectoren De notatie (x 1, x 2,..., x n ) wordt gebruikt voor het punt P met coördinaten (x 1,
Nadere informatieVragen die je wilt beantwoorden zijn:
Net als bij een discrete-tijd Markov keten is men bij de bestudering van een continue-tijd Markov keten zowel geïnteresseerd in het korte-termijn gedrag als in het lange-termijn gedrag. Vragen die je wilt
Nadere informatie1 Vervangingsstrategie auto
Transport-, Routing- en Schedulingproblemen Wi4062TU / Wi487TU / a86g Uitwerkingen 28-03-2002 1 Vervangingsstrategie auto Onderdeel a Zij V = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, waarbij knoop i staat voor het einde
Nadere informatieHOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE
HOOFDSTUK VII REGRESSIE ANALYSE 1 DOEL VAN REGRESSIE ANALYSE De relatie te bestuderen tussen een response variabele en een verzameling verklarende variabelen 1. LINEAIRE REGRESSIE Veronderstel dat gegevens
Nadere informatieTaak 2: LP: simplex en sensitiviteitsanalyse Voorbeeld uitwerking
Taak 2: LP: simplex en sensitiviteitsanalyse Voorbeeld uitwerking. Sensitiviteitsanalyse (a) Als de prijs van legering 5 daalt, kan het voordeliger worden om gebruik te maken van deze legering. Als de
Nadere informatieSamenvatting. A. van Leeuwenhoeklaan MA Bilthoven Postbus BA Bilthoven KvK Utrecht T
A. van Leeuwenhoeklaan 9 3721 MA Bilthoven Postbus 1 3720 BA Bilthoven www.rivm.nl KvK Utrecht 30276683 T 030 274 91 11 info@rivm.nl Uw kenmerk Gevoeligheid van de gesommeerde depositiebijdrage onder 0,05
Nadere informatieVersie: 24 mei Beheerplan Wegen Waterland
Versie: 24 mei 2012 Beheerplan Wegen Waterland 2013 2017 Inhoudsopgaven 1. Inleiding 3 2. Kaders en wetgeving 4 2.1. Wetgeving 4 2.2. Richtlijnen 4 3. Huidige situatie 5 3.1. Areaal 5 3.2. Globale visuele
Nadere informatieWe zullen in deze les kijken hoe we netwerken kunnen analyseren, om bijvoorbeeld de volgende vragen te kunnen beantwoorden:
Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 24 Les 5 Proces analyse Veel processen laten zich door netwerken beschrijven, waarin een aantal knopen acties aangeeft en opdrachten langs verbindingen tussen de
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 5 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 2 oktober 206 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 2 oktober 206 / 3 Dualiteit Dualiteit: Elk LP probleem heeft een
Nadere informatieB e l e i d s k a d e r K e r k e n, K l o o s t e r s e n a n d e r e r e l i g i e u z e g e b o u w e n
B e l e i d s k a d e r K e r k e n, K l o o s t e r s e n a n d e r e r e l i g i e u z e g e b o u w e n I n é é n d a g k a n r e l i g i e u s e r f g o e d v a n m e e r d e r e g e n e r a t i e
Nadere informatieBeveiliging van museum Kempenland
Beveiliging van museum Kempenland Irene Man 0721206 Richard Kuijstermans 0720436 31 maart 2011 Inhoudsopgave 1 Probleembeschrijving 3 1.1 Vereenvoudiging van het probleem............... 4 1.1.1 Geheeltallige
Nadere informatieBasiskennistoets wiskunde
Lkr.: R. De Wever Geen rekendoos toegelaten Basiskennistoets wiskunde Klas: 6 WEWI 1 september 015 0 Vraag 1: Een lokaal extremum (minimum of maximum) wordt bereikt door een functie wanneer de eerste afgeleide
Nadere informatieH a n d l e i d i n g d o e l m a t i g h e i d s t o e t s M W W +
H a n d l e i d i n g d o e l m a t i g h e i d s t o e t s M W W + D o e l m a t i g h e i d s t o e t s v o o r g e b i e d e n w a a r v o o r g e e n b o d e m b e h e e r p l a n i s v a s t g e s
Nadere informatiePublieke Database. Verslag modelleren 4 (2H144) Finbar Bogerd (s474580) & Judy van Sambeek (s476368)
Publieke Database Verslag modelleren 4 (2H144) Finbar Bogerd (s474580) & Judy van Sambeek (s476368) Technische Universiteit Eindhoven Faculteit: Technische Wiskunde & Informatica 28 augustus 2002 Inhoudsopgave
Nadere informatieNormering en schaallengte
Bron: www.citogroep.nl Welk cijfer krijg ik met mijn score? Als je weet welke score je ongeveer hebt gehaald, weet je nog niet welk cijfer je hebt. Voor het merendeel van de scores wordt het cijfer bepaald
Nadere informatieH O E D U U R I S L I M B U R G?
H O E D U U R I S L I M B U R G? N AD E R E I N F O R M A T I E S T A T E N C O M M I S S I E S OV E R O N D E R AN D E R E A F V A L S T O F F E N H E F F I N G E N I N L I M B U R G 1 6 a u g u s t u
Nadere informatieToegepaste Wiskunde 2: Het Kalman-filter
Toegepaste Wiskunde 2: Het Kalman-filter 25 februari, 2008 Hans Maassen 1. Inleiding Het Kalman filter schat de toestand van een systeem op basis van een reeks, door ruis verstoorde waarnemingen. Een meer
Nadere informatieNormale Verdeling Inleiding
Normale Verdeling Inleiding Wisnet-hbo update maart 2010 1 De Normale verdeling De Normale Verdeling beschrijft het gedrag van een continue kansvariabele x. Om kansen te berekenen, moet de dichtheidsfunctie
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper
Nadere informatieD-dag 2014 Vrijeschool Zutphen VO. D -DAG 13 februari 2014: 1+ 1 = 2. (en hoe nu verder?) 1 = 2en hoe nu verder?
D -DAG 13 februari 2014: 1+ 1 = 2 (en hoe nu verder?) 1 = 2en hoe nu verder? 1 Inleiding Snel machtsverheffen Stel je voor dat je 7 25 moet uitrekenen. Je weet dat machtsverheffen herhaald vermenigvuldigen
Nadere informatieMachten, exponenten en logaritmen
Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde
Nadere informatieUitwerkingen Rekenen met cijfers en letters
Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 2009 c Swier Garst - RGO Middelharnis 2 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................
Nadere informatieHerziening van de huidige definitie van de Maatregeltoets
Herziening van de huidige definitie van de Maatregeltoets ing. E.H.L. van Wissen Grontmij Nederland B.V. R. Gravesteijn Grontmij Nederland B.V. ir. L. van Hoogevest Grontmij Nederland B.V. Samenvatting
Nadere informatieExamenvragen Toegepast Operationeel Onderzoek (D0178a)
Examenvragen Toegepast Operationeel Onderzoek 2006-2007 (D0178a) Tijdstip: Vrijdag 24 augustus 2007 09.00-13.00 uur Het examen is open boek. Er zijn vier opgaven. Achter de opgaven zitten de bladzijden
Nadere informatieIJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica september 2018: algemene feedback
IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica september 8 - reeks - p. IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica september 8: algemene feedback Positionering ten opzichte van andere deelnemers In totaal namen
Nadere informatieSommige praktische IP problemen kunnen worden geformuleerd als optimalisering op een netwerk.
Netwerkanalyse (H3) Sommige praktische IP problemen kunnen worden geformuleerd als optimalisering op een netwerk. Deze problemen kunnen vaak als continu LP probleem worden opgelost. Door de speciale structuur
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 2 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 14 september 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 14 september 2016 1 / 30 Modelleren van LP en ILP problemen
Nadere informatieExamenvragen Hogere Wiskunde I
1 Examenvragen Hogere Wiskunde I Vraag 1. Zij a R willekeurig. Gegeven is dat voor alle r, s Q geldt dat a r+s = a r a s. Bewijs dat voor alle x, y R geldt dat a x+y = a x a y. Vraag 2. Gegeven 2 functies
Nadere informatieRekenen met cijfers en letters
Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 009 c Swier Garst - RGO Middelharnis Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................
Nadere informatieDe studie van vlakke krommen gegeven in parametervorm. Lieve Lemmens en Andy Snoecx
De studie van vlakke krommen gegeven in parametervorm Doelstellingen Lieve Lemmens en An Snoecx Deze tekst stelt een voorbeeld van de analyse van een kromme met de Texas TI-NSpire (en/of computersoftware)
Nadere informatieLineaire dv van orde 2 met constante coefficienten
Lineaire dv van orde 2 met constante coefficienten Homogene vergelijkingen We bekijken eerst homogene vergelijkingen van orde twee met constante coefficienten, d.w.z. dv s van de vorm a 0 y + a 1 y + a
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Module 1 Algebraïsch rekenen (versie 22 augustus 2011)
Katholieke Universiteit Leuven September 011 Module 1 Algebraïsch rekenen (versie augustus 011) Inhoudsopgave 1 Rekenen met haakjes 1.1 Uitwerken van haakjes en ontbinden in factoren............. 1. De
Nadere informatieTW2020 Optimalisering
TW2020 Optimalisering Hoorcollege 9 Leo van Iersel Technische Universiteit Delft 16 november 2016 Leo van Iersel (TUD) TW2020 Optimalisering 16 november 2016 1 / 28 Vandaag Integer Linear Programming (ILP)
Nadere informatieTransport-, Routing- en Schedulingproblemen. Wi4062TU / Wi487TU / a86g. Uitwerkingen
Transport-, Routing- en Schedulingproblemen Wi4062TU / Wi487TU / a86g Uitwerkingen 28-03-2003 1 Docenten Onderdeel a Er zijn 6 vakken V 1, V 2,..., V 6. Vak V j heeft een vraag b j = 1, voor j = 1, 2,...,
Nadere informatie