Wiskunde door de Eeuwen Heen

Transcriptie

1 Wiskunde door de Eeuwen Heen Henk Broer Instituut voor Wiskunde en Informatica Rijksuniversiteit Groningen Wiskunde door de Eeuwen Heen p.1

2 Overzicht Wiskunde door de Eeuwen Heen - Wiskunde in de Oudheid - Het Bewijs - Calculus - Modernere Wiskunde broer@math.rug.nl URL: broer Wiskunde door de Eeuwen Heen p.2

3 Newton & Einstein Isaac Newton Albert Einstein ( ) ( ) Wiskunde Natuurkunde Wiskunde door de Eeuwen Heen p.3

4 Oorsprong van Wiskunde Babylonië, Egypte, Griekenland - Boekhouden (markt) - Landmeten (Nijldelta) - Navigatie (sterrenhemel) - Filosofie (Pythagoras, Plato, Aristoteles) Leidde tot rekenkunde, meetkunde, algebra Wiskunde door de Eeuwen Heen p.4

5 Helden I Euclides Archimedes ( v.chr.) ( v.chr.) De Elementen & Eureka Wiskunde door de Eeuwen Heen p.5

6 De Elementen I - Postulaten: - 1, 2 en 3: bestaan van punten, lijnen en cirkels - 4 alle rechte hoeken zijn gelijk - 5 parallellen -postulaat: Gegeven een rechte en een punt buiten die rechte, dan is er precies één lijn door dat punt evenwijdig aan de gegeven rechte - Onze 2- en 3-dimensionale ruimte - Apex in Boek XIII: de Platonische lichamen Wiskunde door de Eeuwen Heen p.6

7 De Elementen II Propositie XI:18 Gegeven een vlak V en een rechte l met l loodrecht op V. Dan is elk vlak dat l bevat ook loodrecht op V. Waarheid als een kalfje : Neem een boek en zet het met de rug loodrecht op tafel. Ook alle bladzijden staan dan loodrecht op de tafel. De Elementen ordenen deze waarheden systematisch. Wiskunde door de Eeuwen Heen p.7

8 Platonische lichamen I Viervlak en kubus Nog redelijk bekend... Wiskunde door de Eeuwen Heen p.8

9 Platonische lichamen II Achtvlak Diamant... Wiskunde door de Eeuwen Heen p.9

10 Platonische lichamen III Twaalf- en twintigvlak Quintessentia... Wiskunde door de Eeuwen Heen p.10

11 Platonische lichamen IV Romeins ornament en Kepler s Mysterium Cosmographicum... Wiskunde door de Eeuwen Heen p.11

12 Eureka De Wet van Archimedes luidt: De opwaartse kracht die een lichaam in een vloeistof ondervindt is gelijk aan het gewicht van de verplaatste vloeistof. Simon Stevin ( ) verwoordde het zo: Yder stijflichaems swaerheyt is so veel lichter in t water dan in de locht, als de swaerheyt des waters met hem evegroot. Wiskunde door de Eeuwen Heen p.12

13 Cirkels I Plato (Dialogen) Ptolemæus ( Almagest ) ( v.chr.) ( AD) Cirkels, epicykels, deferenten Het Zonnestelsel met de spirograaf Wiskunde door de Eeuwen Heen p.13

14 Rol van het bewijs Een bewijs dient om de toehoorder / lezer te overtuigen - Debat - Rechtspraak - Wetenschap - Wiskunde Zoek naar overeenkomsten en verschillen! Wiskunde door de Eeuwen Heen p.14

15 Stelling van Pythagoras Pythagoras ( v.chr.) Euclides I:47 Wiskunde door de Eeuwen Heen p.15

16 Bewijs Pythagoras Oppervlakten tellen en legpuzzelen Er zijn ca. 300 verschillende bewijzen van deze stelling bekend. Opdracht: Zoek er zelf eentje op en geef uitleg. Wiskunde door de Eeuwen Heen p.16

17 Bisectrices driehoek I Stelling: In elke driehoek gaan de bis(s)ectrices van de hoeken door één punt. Bewijs: Nemen we een driehoek met hoekpunten A, B en C. De zijden van de driehoek heten a, b en c, waarbij a tegenover A ligt, b tegenover B en c tegenover C. Laten de bisectrices door A, B en C respectievelijk d A, d B en d C heten. Wiskunde door de Eeuwen Heen p.17

18 Bisectrices driehoek II C b a A c B Wiskunde door de Eeuwen Heen p.18

19 Bisectrices driehoek III Lemma: De punten op de bisectrice d A zijn precies die, welke evenver van b als van c liggen. Bewijs lemma: De configuratie A met de zijden b en c is spiegelsymmetrisch in d A. qed NB: Het lemma geldt ook voor d B ten opzichte van c en a en voor d C ten opzichte van a en b. Wiskunde door de Eeuwen Heen p.19

20 Bisectrices driehoek IV C b a A d A c B Wiskunde door de Eeuwen Heen p.20

21 Bisectrices driehoek V C b a P A c B Wiskunde door de Eeuwen Heen p.21

22 Bisectrices driehoek VI Beschouw nu het snijpunt P van d A en d B. Omdat P op d A ligt heeft P gelijke afstand tot b en c. Omdat P op d B ligt heeft P ook gelijke afstand tot c en a. Kennelijk heeft P ook gelijke afstand tot a en b en dus ligt P ook op d C. Dit bewijst dat P het snijpunt is van alledrie de bisectrices en dus dat deze bisectrices door één punt gaan. QED NB: Er volgt bovendien dat P het middelpunt is van de ingeschreven cirkel. Opdracht: Werk bovenstaande uit voor de middelloodlijnen van een driehoek Wiskunde door de Eeuwen Heen p.22

23 Bisectrices driehoek VI C P b a A c B Wiskunde door de Eeuwen Heen p.23

24 Bisectrices driehoek VII C b a P A c B Wiskunde door de Eeuwen Heen p.24

25 2 is irrationaal I Stelling: 2 is niet te schrijven als een breuk. Bewijs: Dit is een bewijs uit het ongerijmde. We stellen dat 2 = p q, (1) voor gehele getallen p en q, en zullen hieruit een tegenspraak afleiden. Met behulp daarvan zullen we de stelling bewijzen. Eerst dus op weg naar de tegenspraak. Zonder de algemeenheid te schaden mogen we aannemen dat p > 0 en q > 0, en dat ggd(p,q) = 1. Wiskunde door de Eeuwen Heen p.25

26 2 is irrationaal II Uit de formule (1) volgt dat 2 = p2 q 2 (2) waaruit we concluderen dat p 2 een factor 2 bevat. Omdat p 2 een kwadraat is, moet p 2 dan ook een factor 4 bevatten. Hieruit volgt dat p ook een factor 2 moet bevatten. Wiskunde door de Eeuwen Heen p.26

27 2 is irrationaal III Uit de formule (2) volgt verder q 2 = p2 2 en omdat p 2 een factor 4 bevat moet kennelijk q 2 een factor 2 bevatten. Net als boven concluderen we dat ook q een factor 2 bevat. Kennelijk bevatten p en q beide een factor 2, hetgeen in tegenspraak is met de onderstelling dat ggd(p,q) = 1. De tegenspraak betekent dat de onderstelling dat 2 een breuk is, niet houdbaar is. QED Wiskunde door de Eeuwen Heen p.27

28 Binomium van Newton I Merkwaardige producten: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, in het algemeen geldt Stelling (binomium van Newton): ( n (a + b) n = k=0 n k ) a n k b k Het bewijs heeft enige voorbereiding nodig. Wiskunde door de Eeuwen Heen p.28

29 Binomium van Newton II Binomiaalcoëfficiënt ( n k ) = n! k!(n k)! Lemma: ( n l ) + ( n l 1 ) = ( n + 1 l ) Bewijs: ( n l ) + ( n l 1 ) = Wiskunde door de Eeuwen Heen p.29

30 Binomium van Newton III = = n! l!(n l)! + n! (l 1)!(n l + 1)! n! (l 1)!(n l)! ( 1 l + 1 n l + 1 ) = = n! (l 1)!(n l)! (n + 1)! l!(n l + 1)! = ( n + 1 l(n l + 1) ) n + 1 qed l Wiskunde door de Eeuwen Heen p.30

31 Binomium van Newton IV Driehoek van Pascal Hierbij is 0! = 1 Wiskunde door de Eeuwen Heen p.31

32 Binomium van Newton V Bewijs: Gebruik volledige inductie naar n. Voor n = 1 geldt de stelling: (a + b) 1 = a + b. Stel vervolgens dat de stelling waar is voor het getal n (de Inductie Hypothese), dan geldt voor n + 1 : ( ) n (a + b) n+1 = (a + b) (a + b) n IH n = (a + b) a n k b k k ( n k=0 n k ) a n k+1 b k + ( n k=0 n k ) k=0 a n k b k+1 = Wiskunde door de Eeuwen Heen p.32

33 Binomium van Newton VI = = ( n k=0 ( n l=0 = n k n l n+1 l=0 Lemma = ) ) (( a n k+1 b k + a n l+1 b l + n l n+1 l=0 ( ) + ( n + 1 l n+1 l=1 n+1 l=1 ( ( n l 1 ) n l 1 n l 1 )) ) ) a n l+1 b l a n+1 l b l QED a n l+1 b l a n l+1 b l Wiskunde door de Eeuwen Heen p.33

34 Gulden snede Gulden of goddelijke VERHOUDING: leidt tot vierkantvergelijking 1 : x = x : (1 + x), (3) x 2 x 1 = 0, wortels x 1,2 = 1 2 (1 ± 5) Komt uit de oudheid, opleving in Renaissance. Heeft te maken met onder andere (later meer hierover): - Middelevenredigheid (zie (3)) - De regelmatige 5- en de Platonische lichamen - Construeerbaarheid! Later meer! Wiskunde door de Eeuwen Heen p.34

35 Helden II La Meccanica é il paradiso delle scienze matematiche, perché con quella si viene al frutto matematico Opkomst van de Calculus: Leonardo da Vinci ( ) Johannes Kepler ( ), Galileo Galilei ( ), Christiaan Huygens ( ), Isaac Newton ( ), George Wilhelm Leibniz ( ), Johann Bernoulli ( ) (en zijn rijke familie) Zie ook latere voordrachten. Wiskunde door de Eeuwen Heen p.35

36 Huygens I Horologium Oscillatorium 1673 (tevens Slag bij Kijkduin) Wiskunde door de Eeuwen Heen p.36

37 Huygens II Slingertouw wikkelt af langs cycloïdale wangen en massa volgt cycloïdale baan geeft isochronie (motivatie: lengtebepaling op Zee) Wiskunde door de Eeuwen Heen p.37

38 Getallen Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk. Leopold Kronecker ( ) Toch waren negatieve getallen ooit een probleem en zo ook het getal 0 En wat te denken van de regel MIN x MIN = PLUS? Complexe getallen gebouwd rond een getal i, zodanig dat i 2 = 1 De letter i is de beginletter van IMAGINAIR Later meer hierover Wiskunde door de Eeuwen Heen p.38

39 Paradigma-veranderingen I Niet-Euclidische meetkunde: Het parallelen-axioma van Euclides is onafhankelijk modellen van Beltrami-Klein, Lobatschevsky, Poincaré, Riemann... Later meer hierover; gedenk ook Maurits Escher Klassieke constructie-problemen: Kwadratuur cirkel, verdubbeling kubus, trisectie hoek... onmogelijkheid ervan via algebraïsche methoden van Abel, Galois... Wiskunde door de Eeuwen Heen p.39

40 Paradigma-veranderingen II Nils Henrik Abel Évariste Galois ( ) ( ) Wiskunde door de Eeuwen Heen p.40

41 Paradigma-veranderingen III Vier dimensies: Hamilton s quaternionen {1, i, j en k}, Minkowski s ruimte-tijd (x, y, z, ict) Ideeën gebruikt door Maxwell, Lorentz, Einstein,... Grondslagen van de Wiskunde: Oneindige verzamelingen, formalisering van Wiskunde Hilbert, Brouwer, Gödel... Wiskunde door de Eeuwen Heen p.41

42 Paradigma-veranderingen IV Luitzen Egbertus Jan Brouwer ( ) Wiskunde door de Eeuwen Heen p.42

43 Meetkunde en Mathematische Fysica Euler, Gauss, Riemann, Maxwell, Lorentz, Poincaré, Einstein,... Differentiaalmeetkunde = meetkunde x calculus: Zwaartekracht kromt de ruimtetijd (Zonsverduisteringsexpeditie Eddington 1919) Quantumvelden- en Snaartheorie: meetkunde, algebraïsche topologie, etc. gebruikt algebraïsche Wiskunde door de Eeuwen Heen p.43

44 Meetkunde en topologie II Voorbeeld Algebraïsche Topologie Waarom zijn deze beide oppervlakken verschillend? Recent in dimensie 3: Poincaré vermoeden opgelost door Grigori Perelman (St. Petersburg, ) Wiskunde door de Eeuwen Heen p.44

45 Dynamische Systemen & Chaos Newton, Laplace, Poincaré, Smale, Thom, Lorenz, May, Hénon, Yorke, Feigenbaum,... Onvoorspelbaarheid van deterministische systemen Treedt reeds op bij de schommel! Ook in meteorologie (weer en klimaat) en levenswetenschappen (epidemiën) Pioniers Lorenz, May, Hénon en Feigenbaum geen wiskundigen... Later meer hierover Wiskunde door de Eeuwen Heen p.45

46 Progamma cursus 2. De gulden snede. M.C. van Hoorn 3. Complexe getallen. J. Top 4. Het grote belang van de differentiaal- en integraalrekening. H.W. Broer 5. De formule van Euler voor veelvlakken. M.C. van Hoorn 6. Meteorologisch onderzoek en chaos. H.W. Broer 7. Niet-euclidische meetkunde versus Kant. De vierde dimensie. G. Vegter 8. Het wiskundeonderwijs. M.C. van Hoorn Wiskunde door de Eeuwen Heen p.46

47 Volgens M.C. Escher ( ) Circle Limit III Wiskunde door de Eeuwen Heen p.47