Krommen tellen: van de Griekse Oudheid tot snaartheorie

Transcriptie

1 Krommen tellen: van de Griekse Oudheid tot snaartheorie Martijn Kool Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht 1/34

2 Introductie Meetkunde Algebraïsche Meetkunde Aftellende Meetkunde Reis: Griekse Oudheid theoretische natuurkunde. Meetkunde: studie van ruimte, vorm en haar eigenschappen. 2/34

3 Introductie Meetkunde Algebraïsche Meetkunde Aftellende Meetkunde Reis: Griekse Oudheid theoretische natuurkunde. Meetkunde: studie van ruimte, vorm en haar eigenschappen. Wat is... afstand, dimensie, een punt, een singulariteit? Oorsprong: Mesopotamië/Egypte 2000 v.chr. 2/34

4 Algebraïsche Meetkunde Algebraïsche Meetkunde: studie van ruimtes gegeven door polynomen. 3/34

5 Algebraïsche Meetkunde Algebraïsche Meetkunde: studie van ruimtes gegeven door polynomen. Polynomen in één variabele x zijn uitdrukkingen zoals x graad 1 x graad 2 x 4 3x graad 4... Polynomen in twee variabelen x, y zijn uitdrukkingen zoals x + y 3 graad 1 xy + x 2 5 graad 2 x 2 y 3 + x 4 2xy graad /34

6 Polynomen in twee variabelen geven krommen in het vlak. Stel (x, y) zijn coördinaten langs x- en y-as in het vlak. 4/34

7 Polynomen in twee variabelen geven krommen in het vlak. Stel (x, y) zijn coördinaten langs x- en y-as in het vlak. Bijvoorbeeld: alle punten (x, y) zodat x y = 0 4/34

8 Bijvoorbeeld: alle punten (x, y) zodat x 2 + y 2 1 = 0 5/34

9 Bijvoorbeeld: alle punten (x, y) zodat y 2 x 3 + x = 0 6/34

10 Bijvoorbeeld: alle punten (x, y) zodat y 2 x 3 x 2 = 0 7/34

11 Bijvoorbeeld: alle punten (x, y) zodat y 2 x 3 x 2 = 0 in (0, 0) is de kromme niet glad : (0, 0) heet een singulariteit hier: (0, 0) heet een knoop. 7/34

12 Polynomen in drie variabelen x, y, z zijn uitdrukkingen zoals x 2 + y + z 3 graad 2 x 2 y 2 xz graad 4 x 5 + y 4 + z xyz graad /34

13 Polynomen in drie variabelen x, y, z zijn uitdrukkingen zoals x 2 + y + z 3 graad 2 x 2 y 2 xz graad 4 x 5 + y 4 + z xyz graad 5... Polynomen in drie variabelen geven oppervlakken in de ruimte. Stel (x, y, z) zijn coördinaten langs de x-, y-, z-as in de ruimte. 8/34

14 Bijvoorbeeld: alle punten (x, y, z) zodat x 2 + y 2 z = 0 9/34

15 Bijvoorbeeld: alle punten (x, y, z) zodat x 2 + y 2 z 2 = 0 (0, 0, 0) is een singulariteit. 10/34

16 Bijvoorbeeld: alle punten (x, y, z) zodat x 3 + y 3 z 3 = 0 Opnieuw: (0, 0, 0) is een singulariteit. 11/34

17 Laatste stelling van Fermat. Stel n = 3, 4, 5,... een geheel getal. Er zijn geen gehele getallen x, y, z = 1, 2, 3,... zodat Vermoeden: P. de Fermat x n + y n = z n. 12/34

18 Laatste stelling van Fermat. Stel n = 3, 4, 5,... een geheel getal. Er zijn geen gehele getallen x, y, z = 1, 2, 3,... zodat Vermoeden: P. de Fermat x n + y n = z n. Bewijs: A. Wiles /34

19 Aftellende meetkunde Aftellende meetkunde: tellen van meetkundige objecten die aan bepaalde voorwaarden voldoen. 13/34

20 Aftellende meetkunde Aftellende meetkunde: tellen van meetkundige objecten die aan bepaalde voorwaarden voldoen. Apollonius van Perga ( v. Chr.) Raakprobleem van Apollonius: Hoeveel cirkels raken drie gegeven cirkels? 13/34

21 14/34

22 14/34

23 Gegeven drie cirkels C 1, C 2, C 3 met straal r 1, r 2, r 3. Een cirkel D is bepaald door: middelpunt (x, y) en straal r > 0. 15/34

24 Gegeven drie cirkels C 1, C 2, C 3 met straal r 1, r 2, r 3. Een cirkel D is bepaald door: middelpunt (x, y) en straal r > 0. De parameterruimte moduliruimte van alle cirkels: M = R R R >0. Stel S 1, S 2, S 3 deelruimten in M van cirkels die C 1, C 2, C 3 raken. 15/34

25 Stel D een cirkel van straal s > r 1 die C 1 van binnen raakt. 16/34

26 Stel D een cirkel van straal s > r 1 die C 1 van binnen raakt. Rol D rond C 1... dit geeft een cirkel in M. 16/34

27 Variëer s... 17/34

28 Variëer s... Stel D een cirkel van straal s > 0 die C 1 van buiten raakt. 17/34

29 Variëer s... 18/34

30 Dus de ruimte S 1 alle cirkels die C 1 van binnen of buiten raken is... 18/34

31 We krijgen S 1, S 2, S 3... Oplossingen van Apollonius probleem: punten die in S 1 en S 2 en S 3 liggen. 18/34

32 Doe dit met vergelijkingen en je krijgt... 8 oplossingen. 19/34

33 Algemeen probleem aftellende meetkunde: beschouw bepaalde meetkundige objecten, leg beperkingen op zodat eindig veel oplossingen, bepaal aantal oplossingen. 20/34

34 Algemeen probleem aftellende meetkunde: beschouw bepaalde meetkundige objecten, leg beperkingen op zodat eindig veel oplossingen, bepaal aantal oplossingen. Ruimte van alle objecten: de parameterruimte of moduliruimte M. Bijv. in Apollonius probleem: M = R R R >0. Meestal is M niet zo makkelijk... 20/34

35 Voorbeeld: 6 stokken (gelijke lengte) verbonden aan scharnierpunt. De stokken kunnen vrij bewegen rond scharnierpunt. Stel M = ruimte van alle toestanden van dit object. 21/34

36 Voorbeeld: 6 stokken (gelijke lengte) verbonden aan scharnierpunt. De stokken kunnen vrij bewegen rond scharnierpunt. Stel M = ruimte van alle toestanden van dit object. Kleine lettertjes : alleen gebalanceerde toestanden (i.e. zwaartepunt = scharnierpunt), op coördinatentransformatie na. Stelling. M is 6-dimensionale ruimte met 10 singulariteiten. 21/34

37 Maar het wordt erger... dit waren makkelijke moduliruimten... 22/34

38 Maar het wordt erger... dit waren makkelijke moduliruimten... Wet van Murphy. [R. Vakil, 2004] De meeste moduliruimten (in algebraïsche meetkunde) bevatten alle singulariteiten die bestaan. Bijv. De moduliruimte M van alle algebraïsche oppervlakken voldoet hieraan. 22/34

39 Terug naar krommen C in het vlak gegeven door polynomen f (x, y)... Stel f (x, y) heeft graad d. Vraag. Hoeveel krommen van graad d gaan door d2 +3d 2 punten? 23/34

40 Terug naar krommen C in het vlak gegeven door polynomen f (x, y)... Stel f (x, y) heeft graad d. Vraag. Hoeveel krommen van graad d gaan door d2 +3d 2 punten? Antwoord. 1. Bijv. d = 1: 1 lijn door 2 punten. Bijv. d = 2: 1 kegelsnede door 5 punten. 23/34

41 24/34

42 24/34

43 24/34

44 24/34

45 24/34

46 Bepaling van Severi-graden. Hoeveel krommen van graad d met δ knopen gaan door d2 +3d 2 δ punten? Dit aantal N d,δ heet de Severi-graad. 25/34

47 Bepaling van Severi-graden. Hoeveel krommen van graad d met δ knopen gaan door d2 +3d 2 δ punten? Dit aantal N d,δ heet de Severi-graad. Bijv. d = 2, δ = 1: hoeveel krommen van graad 2 met 1 knoop gaan door 4 punten? Dan: C is een vereniging van twee lijnen bijv. f (x, y) = xy. 25/34

48 26/34

49 26/34

50 26/34

51 Antwoord. N 2,1 = 3. 19e eeuw: N d,δ bepaald voor δ = 1, 2, 3 en alle d. Bijv. N 3,1 = 12, N 4,2 = 675, N 5,3 = 7915,... Algemene d, δ? Meer dan een eeuw later... 26/34

52 Snaartheorie Twee successen in de theoretische natuurkunde: 27/34

53 Snaartheorie Twee successen in de theoretische natuurkunde: (1) Algemene relativiteitstheorie Gedragingen ruimte-tijd rond massieve objecten. Natuurkunde op grote schaal. 27/34

54 (2) Quantummechanica Beschrijving van elementaire deeltjes. Natuurkunde op kleine schaal. 28/34

55 Deze theoriee n gaan niet samen. Problemen wanneer beide theoriee n nodig zijn. Bijv. zwarte gaten, vroege heelal, etc. 29/34

56 Deze theoriee n gaan niet samen. Problemen wanneer beide theoriee n nodig zijn. Bijv. zwarte gaten, vroege heelal, etc. Nieuwe theorie ( 1960): Snaartheorie: alles is opgebouwd uit extreem kleine trillende snaartjes. 29/34

57 Beweging puntdeeltjes versus beweging snaartjes: bijv. Feynman-diagram. 30/34

58 Beweging puntdeeltjes versus beweging snaartjes: bijv. Snaardiagram. Probleem: om snaartjes quantummechanisch te beschrijven heb je 6 extra ruimtedimensies nodig. 30/34

59 Extra ruimtedimensies zitten opgerold in een Calabi-Yau variëteit. Bestaat dit ook echt in de natuur? Geen idee... 31/34

60 Extra ruimtedimensies zitten opgerold in een Calabi-Yau variëteit. Bestaat dit ook echt in de natuur? Geen idee maar er bestaan heel veel Calabi-Yau variëteiten in de wiskunde! 31/34

61 Terug naar aftellende meetkunde/severi-graden... Vervang: krommen gegeven door polynomen over reële getallen door 32/34

62 Terug naar aftellende meetkunde/severi-graden... Vervang: krommen gegeven door polynomen over reële getallen door krommen gegeven door polynomen over complexe getallen krommen in het vlak krommen in een Calabi-Yau variëteit. 32/34

63 aantal krommen = aantal snaardiagrammen = Gromov-Witten invarianten 33/34

64 M. Kontsevich (1994): in bepaalde gevallen: Gromov-Witten invarianten = Severi-graden. 34/34

65 M. Kontsevich (1994): in bepaalde gevallen: Gromov-Witten invarianten = Severi-graden. Gevolg: nieuwe methoden om Severi-graden te berekenen voor δ > 3! Snaartheorie leidde tot veel nieuwe ontdekkingen in algebraïsche/aftellende meetkunde! 34/34