Moduliruimten van krommen en hun cohomologie
|
|
|
- Nelly Tessa van der Wolf
- 6 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Moduliruimten van krommen en hun cohomologie Carel Faber 30 maart 2015
2 Inhoudsopgave Inleiding Krommen Families van krommen De universele kromme en de moduliruimte Cohomologie Punten tellen Modulaire vormen Een toepassing Het Langlandsprogramma
3 Inleiding De zogeheten moduliruimten van krommen en hun cohomologie vormen mijn belangrijkste onderzoeksonderwerp.
4 Inleiding De zogeheten moduliruimten van krommen en hun cohomologie vormen mijn belangrijkste onderzoeksonderwerp. Dit is een deel van de algebraïsche meetkunde, het gebied binnen de wiskunde dat de meetkunde van oplossingsruimten van systemen van algebraïsche (d.w.z. polynomiale) vergelijkingen bestudeert.
5 Inleiding De zogeheten moduliruimten van krommen en hun cohomologie vormen mijn belangrijkste onderzoeksonderwerp. Dit is een deel van de algebraïsche meetkunde, het gebied binnen de wiskunde dat de meetkunde van oplossingsruimten van systemen van algebraïsche (d.w.z. polynomiale) vergelijkingen bestudeert. Laat ik beginnen met een poging uit te leggen wat de zojuist gebruikte woorden betekenen.
6 Krommen
7 Krommen Krommen zijn eendimensionale oplossingsruimten van systemen van algebraïsche vergelijkingen.
8 Krommen Krommen zijn eendimensionale oplossingsruimten van systemen van algebraïsche vergelijkingen. Krommen spelen een fundamentele rol, bijvoorbeeld omdat elke ruimte opgebouwd kan worden met behulp van krommen.
9 Krommen Krommen zijn eendimensionale oplossingsruimten van systemen van algebraïsche vergelijkingen. Krommen spelen een fundamentele rol, bijvoorbeeld omdat elke ruimte opgebouwd kan worden met behulp van krommen. Voorbeeld: laat n een positief geheel getal zijn. Dan is x n + y n = 1 de vergelijking van een vlakke kromme van graad n, de Fermatkromme.
10 Krommen Krommen zijn eendimensionale oplossingsruimten van systemen van algebraïsche vergelijkingen. Krommen spelen een fundamentele rol, bijvoorbeeld omdat elke ruimte opgebouwd kan worden met behulp van krommen. Voorbeeld: laat n een positief geheel getal zijn. Dan is x n + y n = 1 de vergelijking van een vlakke kromme van graad n, de Fermatkromme. De enige invariant van een kromme is zijn geslacht g, een geheel getal groter dan of gelijk aan nul. De Fermatkromme heeft geslacht g = (n 1)(n 2)/2.
11 Complexe krommen Wanneer men een reële afbeelding maakt van een complexe kromme ziet men een oppervlak; het geslacht van de kromme is het aantal gaten in het oppervlak.
12 Complexe krommen Wanneer men een reële afbeelding maakt van een complexe kromme ziet men een oppervlak; het geslacht van de kromme is het aantal gaten in het oppervlak.
13 Complexe krommen Wanneer men een reële afbeelding maakt van een complexe kromme ziet men een oppervlak; het geslacht van de kromme is het aantal gaten in het oppervlak. Complexe krommen heten wel Riemannoppervlakken.
14 Families van krommen We willen niet alleen individuele krommen bestuderen, maar alle krommen van een bepaald geslacht. We beginnen met het variëren van bepaalde coëfficiënten in een vergelijking.
15 Families van krommen We willen niet alleen individuele krommen bestuderen, maar alle krommen van een bepaald geslacht. We beginnen met het variëren van bepaalde coëfficiënten in een vergelijking. Voorbeeld: De vergelijking y 2 = x(x 1)(x a), waar a een complexe variabele is, representeert oneindig veel krommen van geslacht 1. Dit heet een familie van krommen over een basis.
16 Families van krommen We willen niet alleen individuele krommen bestuderen, maar alle krommen van een bepaald geslacht. We beginnen met het variëren van bepaalde coëfficiënten in een vergelijking. Voorbeeld: De vergelijking y 2 = x(x 1)(x a), waar a een complexe variabele is, representeert oneindig veel krommen van geslacht 1. Dit heet een familie van krommen over een basis. De complexe getallen vormen hier de basis van de familie.
17 De universele kromme Het zou erg mooi zijn als alle families van krommen (van een bepaald geslacht) hun oorsprong zouden vinden in één familie, de universele familie of universele kromme.
18 De universele kromme Het zou erg mooi zijn als alle families van krommen (van een bepaald geslacht) hun oorsprong zouden vinden in één familie, de universele familie of universele kromme. De universele kromme bestaat...
19 De universele kromme Het zou erg mooi zijn als alle families van krommen (van een bepaald geslacht) hun oorsprong zouden vinden in één familie, de universele familie of universele kromme. De universele kromme bestaat doch niet als een gewone oplossingsruimte, maar alleen als stack.
20 De universele kromme Het zou erg mooi zijn als alle families van krommen (van een bepaald geslacht) hun oorsprong zouden vinden in één familie, de universele familie of universele kromme. De universele kromme bestaat doch niet als een gewone oplossingsruimte, maar alleen als stack. De basis van de universele kromme heet de moduliruimte.
21 De universele kromme Het zou erg mooi zijn als alle families van krommen (van een bepaald geslacht) hun oorsprong zouden vinden in één familie, de universele familie of universele kromme. De universele kromme bestaat doch niet als een gewone oplossingsruimte, maar alleen als stack. De basis van de universele kromme heet de moduliruimte. De moduliruimte wordt geconstrueerd met behulp van het Hilbertschema. Er bestaan diverse technieken om de meetkunde van de moduliruimte te bestuderen.
22 Cohomologie De cohomologie van een ruimte vormt een van haar diepste en subtielste invarianten;
23 Cohomologie De cohomologie van een ruimte vormt een van haar diepste en subtielste invarianten; niettemin heeft de cohomologie zeer goede eigenschappen en is zij verbazingwekkend goed berekenbaar.
24 Cohomologie De cohomologie van een ruimte vormt een van haar diepste en subtielste invarianten; niettemin heeft de cohomologie zeer goede eigenschappen en is zij verbazingwekkend goed berekenbaar. Om deze redenen is het een goed idee de cohomologie van moduliruimten van krommen te bestuderen.
25 Punten tellen
26 Punten tellen Veel informatie over de cohomologie van een ruimte kan verkregen worden
27 Punten tellen Veel informatie over de cohomologie van een ruimte kan verkregen worden door te tellen hoeveel punten hij heeft over een eindig lichaam (zoals de gehele getallen modulo een priemgetal p).
28 Punten tellen Veel informatie over de cohomologie van een ruimte kan verkregen worden door te tellen hoeveel punten hij heeft over een eindig lichaam (zoals de gehele getallen modulo een priemgetal p). Voorbeeld: Beschouw de kromme x 3 + y 3 = 1. Als we rekenen modulo 7 zijn (2, 0) en (0, 2) punten van de kromme.
29 Punten tellen Veel informatie over de cohomologie van een ruimte kan verkregen worden door te tellen hoeveel punten hij heeft over een eindig lichaam (zoals de gehele getallen modulo een priemgetal p). Voorbeeld: Beschouw de kromme x 3 + y 3 = 1. Als we rekenen modulo 7 zijn (2, 0) en (0, 2) punten van de kromme. Modulo 5 zijn (2, 2) en (3, 4) punten van de kromme.
30 Punten tellen Veel informatie over de cohomologie van een ruimte kan verkregen worden door te tellen hoeveel punten hij heeft over een eindig lichaam (zoals de gehele getallen modulo een priemgetal p). Voorbeeld: Beschouw de kromme x 3 + y 3 = 1. Als we rekenen modulo 7 zijn (2, 0) en (0, 2) punten van de kromme. Modulo 5 zijn (2, 2) en (3, 4) punten van de kromme. Als we de vergelijkingen van een ruimte kennen, is het bepalen van zijn aantal punten modulo p in principe eenvoudig.
31 Krommen tellen
32 Krommen tellen De vergelijkingen van de moduliruimte kennen we niet.
33 Krommen tellen De vergelijkingen van de moduliruimte kennen we niet. Toch kunnen we zijn aantal punten modulo p soms uitrekenen.
34 Krommen tellen De vergelijkingen van de moduliruimte kennen we niet. Toch kunnen we zijn aantal punten modulo p soms uitrekenen. De punten van de moduliruimte corresponderen namelijk met krommen
35 Krommen tellen De vergelijkingen van de moduliruimte kennen we niet. Toch kunnen we zijn aantal punten modulo p soms uitrekenen. De punten van de moduliruimte corresponderen namelijk met krommen (preciezer: isomorfieklassen daarvan).
36 Krommen tellen De vergelijkingen van de moduliruimte kennen we niet. Toch kunnen we zijn aantal punten modulo p soms uitrekenen. De punten van de moduliruimte corresponderen namelijk met krommen (preciezer: isomorfieklassen daarvan). We tellen krommen modulo p, op isomorfie na.
37 Krommen tellen De vergelijkingen van de moduliruimte kennen we niet. Toch kunnen we zijn aantal punten modulo p soms uitrekenen. De punten van de moduliruimte corresponderen namelijk met krommen (preciezer: isomorfieklassen daarvan). We tellen krommen modulo p, op isomorfie na. Een kromme C wordt geteld met een factor 1/N,
38 Krommen tellen De vergelijkingen van de moduliruimte kennen we niet. Toch kunnen we zijn aantal punten modulo p soms uitrekenen. De punten van de moduliruimte corresponderen namelijk met krommen (preciezer: isomorfieklassen daarvan). We tellen krommen modulo p, op isomorfie na. Een kromme C wordt geteld met een factor 1/N, waarbij N het aantal isomorfieën van C modulo p is.
39 Krommen tellen De vergelijkingen van de moduliruimte kennen we niet. Toch kunnen we zijn aantal punten modulo p soms uitrekenen. De punten van de moduliruimte corresponderen namelijk met krommen (preciezer: isomorfieklassen daarvan). We tellen krommen modulo p, op isomorfie na. Een kromme C wordt geteld met een factor 1/N, waarbij N het aantal isomorfieën van C modulo p is. De uitkomst is niettemin een geheel getal.
40 Krommen tellen De vergelijkingen van de moduliruimte kennen we niet. Toch kunnen we zijn aantal punten modulo p soms uitrekenen. De punten van de moduliruimte corresponderen namelijk met krommen (preciezer: isomorfieklassen daarvan). We tellen krommen modulo p, op isomorfie na. Een kromme C wordt geteld met een factor 1/N, waarbij N het aantal isomorfieën van C modulo p is. De uitkomst is niettemin een geheel getal. Het tellen van krommen is tamelijk lastig.
41 Krommen tellen De vergelijkingen van de moduliruimte kennen we niet. Toch kunnen we zijn aantal punten modulo p soms uitrekenen. De punten van de moduliruimte corresponderen namelijk met krommen (preciezer: isomorfieklassen daarvan). We tellen krommen modulo p, op isomorfie na. Een kromme C wordt geteld met een factor 1/N, waarbij N het aantal isomorfieën van C modulo p is. De uitkomst is niettemin een geheel getal. Het tellen van krommen is tamelijk lastig. Voor laag geslacht g is het echter mogelijk.
42 Modulaire vormen
43 Modulaire vormen Het blijkt dat er een sterke samenhang bestaat tussen een deel van de cohomologie van de moduliruimte en de zogeheten modulaire vormen, die in de getaltheorie bestudeerd worden.
44 Modulaire vormen Het blijkt dat er een sterke samenhang bestaat tussen een deel van de cohomologie van de moduliruimte en de zogeheten modulaire vormen, die in de getaltheorie bestudeerd worden. In geslacht 1 zien we de gewone elliptische modulaire vormen.
45 Modulaire vormen Het blijkt dat er een sterke samenhang bestaat tussen een deel van de cohomologie van de moduliruimte en de zogeheten modulaire vormen, die in de getaltheorie bestudeerd worden. In geslacht 1 zien we de gewone elliptische modulaire vormen. In geslacht 2 zien we de zogeheten Siegel modulaire vormen verschijnen.
46 Modulaire vormen Het blijkt dat er een sterke samenhang bestaat tussen een deel van de cohomologie van de moduliruimte en de zogeheten modulaire vormen, die in de getaltheorie bestudeerd worden. In geslacht 1 zien we de gewone elliptische modulaire vormen. In geslacht 2 zien we de zogeheten Siegel modulaire vormen verschijnen. In geslacht 3 zien we voor het eerst de zogeheten Teichmüller modulaire vormen, over welke nog erg weinig bekend is.
47 Recente resultaten Recent heb ik in samenwerking met anderen nieuwe Teichmüller modulaire vormen gevonden.
48 Recente resultaten Recent heb ik in samenwerking met anderen nieuwe Teichmüller modulaire vormen gevonden. We hebben ook laten zien dat het deel van de cohomologie van de moduliruimte dat bij zo n Teichmüller modulaire vorm hoort
49 Recente resultaten Recent heb ik in samenwerking met anderen nieuwe Teichmüller modulaire vormen gevonden. We hebben ook laten zien dat het deel van de cohomologie van de moduliruimte dat bij zo n Teichmüller modulaire vorm hoort verschillende dimensies kan hebben:
50 Recente resultaten Recent heb ik in samenwerking met anderen nieuwe Teichmüller modulaire vormen gevonden. We hebben ook laten zien dat het deel van de cohomologie van de moduliruimte dat bij zo n Teichmüller modulaire vorm hoort verschillende dimensies kan hebben: bijvoorbeeld 4, 6, of 8.
51 Recente resultaten Recent heb ik in samenwerking met anderen nieuwe Teichmüller modulaire vormen gevonden. We hebben ook laten zien dat het deel van de cohomologie van de moduliruimte dat bij zo n Teichmüller modulaire vorm hoort verschillende dimensies kan hebben: bijvoorbeeld 4, 6, of 8. Een belangrijke vraag is of we deze dimensies op de een of andere manier kunnen begrenzen.
52 Een toepassing Wiles bewees in 1994 (gedeeltelijk samen met Taylor) dat veel krommen van geslacht 1 modulair zijn, d.w.z. dat ze bepaald worden door een moduliruimte, of ook door een modulaire vorm.
53 Een toepassing Wiles bewees in 1994 (gedeeltelijk samen met Taylor) dat veel krommen van geslacht 1 modulair zijn, d.w.z. dat ze bepaald worden door een moduliruimte, of ook door een modulaire vorm. Dit resultaat was de laatste stap in het bewijs (na 357 jaar) van de Laatste Stelling van Fermat.
54 Een toepassing Wiles bewees in 1994 (gedeeltelijk samen met Taylor) dat veel krommen van geslacht 1 modulair zijn, d.w.z. dat ze bepaald worden door een moduliruimte, of ook door een modulaire vorm. Dit resultaat was de laatste stap in het bewijs (na 357 jaar) van de Laatste Stelling van Fermat. De stelling zegt dat de vergelijking x n + y n = 1
55 Een toepassing Wiles bewees in 1994 (gedeeltelijk samen met Taylor) dat veel krommen van geslacht 1 modulair zijn, d.w.z. dat ze bepaald worden door een moduliruimte, of ook door een modulaire vorm. Dit resultaat was de laatste stap in het bewijs (na 357 jaar) van de Laatste Stelling van Fermat. De stelling zegt dat de vergelijking x n + y n = 1 voor n 3 geen rationale oplossingen heeft met xy 0.
56 Het Langlandsprogramma De stelling van Wiles wordt vaak beschouwd als een van de belangrijkste resultaten tot nu toe binnen het grote (en grootse) Langlandsprogramma.
57 Het Langlandsprogramma De stelling van Wiles wordt vaak beschouwd als een van de belangrijkste resultaten tot nu toe binnen het grote (en grootse) Langlandsprogramma. Het Langlandsprogramma speelt een prominente rol in de Nederlandse Wetenschapsagenda (KNAW, 2011) en het visiedocument van het Platform Wiskunde Nederland (2014).
58 Het Langlandsprogramma De stelling van Wiles wordt vaak beschouwd als een van de belangrijkste resultaten tot nu toe binnen het grote (en grootse) Langlandsprogramma. Het Langlandsprogramma speelt een prominente rol in de Nederlandse Wetenschapsagenda (KNAW, 2011) en het visiedocument van het Platform Wiskunde Nederland (2014). Mijn onderzoek kan gezien worden als de eerste stappen op weg naar het Langlandsprogramma voor de moduliruimten van krommen.
59 Meer over modulaire vormen Klassiek is een modulaire vorm een holomorfe functie f op het bovenhalfvlak H = {z C : Im z > 0}
60 Meer over modulaire vormen Klassiek is een modulaire vorm een holomorfe functie f op het bovenhalfvlak H = {z C : Im z > 0} met veel symmetrie: er bestaat een geheel getal k zodat ( ) az + b f = (cz + d) k f (z) cz + d
61 Meer over modulaire vormen Klassiek is een modulaire vorm een holomorfe functie f op het bovenhalfvlak H = {z C : Im z > 0} met veel symmetrie: er bestaat een geheel getal k zodat ( ) az + b f = (cz + d) k f (z) cz + d ( ) a b voor alle z H en alle SL(2, Z). c d
62 Meer over modulaire vormen Klassiek is een modulaire vorm een holomorfe functie f op het bovenhalfvlak H = {z C : Im z > 0} met veel symmetrie: er bestaat een geheel getal k zodat ( ) az + b f = (cz + d) k f (z) cz + d ( ) a b voor alle z H en alle SL(2, Z). In het bijzonder c d geldt f (z) = ( 1) k f (z), dus we nemen k even,
63 Meer over modulaire vormen Klassiek is een modulaire vorm een holomorfe functie f op het bovenhalfvlak H = {z C : Im z > 0} met veel symmetrie: er bestaat een geheel getal k zodat ( ) az + b f = (cz + d) k f (z) cz + d ( ) a b voor alle z H en alle SL(2, Z). In het bijzonder c d geldt f (z) = ( 1) k f (z), dus we nemen k even, en f (z + 1) = f (z).
64 Dus f kan geschreven worden als een functie van q = exp(2πiz), die ook bij q = 0 holomorf moet zijn: f (q) = a n q n. n=0
65 Dus f kan geschreven worden als een functie van q = exp(2πiz), die ook bij q = 0 holomorf moet zijn: f (q) = a n q n. n=0 Als a 0 nul is, heet f een spitsenvorm (van gewicht k voor SL(2, Z)).
66 Dus f kan geschreven worden als een functie van q = exp(2πiz), die ook bij q = 0 holomorf moet zijn: f (q) = a n q n. n=0 Als a 0 nul is, heet f een spitsenvorm (van gewicht k voor SL(2, Z)). Bekende voorbeelden van modulaire vormen zijn de Eisensteinreeksen E k voor k 4: E k (q) = 1 2k B k σ k 1 (n)q n n=1
67 Dus f kan geschreven worden als een functie van q = exp(2πiz), die ook bij q = 0 holomorf moet zijn: f (q) = a n q n. n=0 Als a 0 nul is, heet f een spitsenvorm (van gewicht k voor SL(2, Z)). Bekende voorbeelden van modulaire vormen zijn de Eisensteinreeksen E k voor k 4: E k (q) = 1 2k B k en de discriminantspitsenvorm (q) = n=1 σ k 1 (n)q n n=1 τ(n)q n = q (1 q n ) 24 n=1 van gewicht 12 met zijn Jacobi-produktontwikkeling.
68 De ring k M k van modulaire vormen is gelijk aan C[E 4, E 6 ] and het ideaal k S k van spitsenvormen wordt voortgebracht door.
69 De ring k M k van modulaire vormen is gelijk aan C[E 4, E 6 ] and het ideaal k S k van spitsenvormen wordt voortgebracht door. Er bestaan natuurlijke Hecke operatoren T n op M k voor alle positieve gehele getallen n, die met elkaar commuteren en S k behouden. Bovendien heeft S k een basis van simultane eigenvormen. De T n -eigenwaarden van een genormaliseerde eigenvorm zijn gelijk aan zijn Fouriercoëfficienten.
70 De ring k M k van modulaire vormen is gelijk aan C[E 4, E 6 ] and het ideaal k S k van spitsenvormen wordt voortgebracht door. Er bestaan natuurlijke Hecke operatoren T n op M k voor alle positieve gehele getallen n, die met elkaar commuteren en S k behouden. Bovendien heeft S k een basis van simultane eigenvormen. De T n -eigenwaarden van een genormaliseerde eigenvorm zijn gelijk aan zijn Fouriercoëfficienten. De modulaire vormen die door Wiles e.a. aan elliptische krommen over Q toegevoegd worden zijn overigens eigenvormen van gewicht 2 voor ondergroepen Γ 0 (N) van SL(2, Z).
71 Een modulaire vorm van gewicht k kan ook gezien worden als een snede over de moduliruimte van elliptische krommen van de k-de macht van een natuurlijke lijnbundel.
72 Een modulaire vorm van gewicht k kan ook gezien worden als een snede over de moduliruimte van elliptische krommen van de k-de macht van een natuurlijke lijnbundel. Over de moduliruimten van krommen van geslacht g 2 en van abelse variëteiten van dimensie g leven natuurlijke vectorbundels van rang g.
73 Een modulaire vorm van gewicht k kan ook gezien worden als een snede over de moduliruimte van elliptische krommen van de k-de macht van een natuurlijke lijnbundel. Over de moduliruimten van krommen van geslacht g 2 en van abelse variëteiten van dimensie g leven natuurlijke vectorbundels van rang g. We hebben nu andere Schurfunctoren dan alleen de machten van de determinant. De sneden over de moduliruimte van krommen heten Teichmüller modulaire vormen (i.h.a. vectorwaardig).
74 Een modulaire vorm van gewicht k kan ook gezien worden als een snede over de moduliruimte van elliptische krommen van de k-de macht van een natuurlijke lijnbundel. Over de moduliruimten van krommen van geslacht g 2 en van abelse variëteiten van dimensie g leven natuurlijke vectorbundels van rang g. We hebben nu andere Schurfunctoren dan alleen de machten van de determinant. De sneden over de moduliruimte van krommen heten Teichmüller modulaire vormen (i.h.a. vectorwaardig). Voor g 3 vinden we sneden die niet van de moduliruimten van abelse variëteiten komen.
Krommen tellen: van de Griekse Oudheid tot snaartheorie
Krommen tellen: van de Griekse Oudheid tot snaartheorie Martijn Kool Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht 1/34 Introductie Meetkunde Algebraïsche Meetkunde Aftellende Meetkunde Reis: Griekse Oudheid
Cover Page. The handle holds various files of this Leiden University dissertation.
Cover Page The handle http://hdl.handle.net/1887/62814 holds various files of this Leiden University dissertation. Author: Martindale, C.R. Title: Isogeny graphs, modular polynomials, and applications
Snel en exact rekenen in getaltheorie en computeralgebra door middel van benaderingen
Snel en exact rekenen in getaltheorie en computeralgebra door middel van benaderingen Bas Edixhoven Universiteit Leiden 2010/10/25, KNAW Bas Edixhoven (Universiteit Leiden) Getaltheorie en computeralgebra
Expliciete berekeningen met modulaire Galoisrepresentaties
Samenvatting Expliciete berekeningen met modulaire Galoisrepresentaties De tekst van deze samenvatting is gebaseerd op het door de auteur geschreven populairwetenschappelijke artikel [8]. Galoistheorie
Diophantische vergelijkingen
Diophantische vergelijkingen een onmogelijke uitdaging Frits Beukers Vakantiecursus 2010 Diophantische vergelijkingen Vakantiecursus 2010 1 / 34 Eerste voorbeeld Bedenk twee gehele getallen x en y zó dat
Het tellen van krommen op het product van twee projectieve lijnen over een eindig lichaam
Het tellen van krommen op het product van twee projectieve lijnen over een eindig lichaam Bas van Rooij 4155572 Begeleider: Prof. dr. C.F. Faber Universiteit Utrecht 17 juni 2016 Inhoudsopgave 1 Introductie
Elliptische krommen en hun topologische aspecten
Elliptische krommen en hun topologische aspecten René Pannekoek 25 januari 2011 Dit is een korte introductie tot elliptische krommen voor het bachelorseminarium van de Universiteit Leiden. De bespreking
Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) 22 januari, 2015
Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) januari, 5 In deze uitwerkingen is hier en daar een berekening weggelaten (bijvoorbeeld het bepalen van de kern van een matrix) die uiteraard op het tentamen
Oplossingen van vergelijkingen in rationale getallen
Hoofdstuk VIII Oplossingen van vergelijkingen in rationale getallen Don Zagier Het gebied van de diophantische vergelijkingen, genoemd naar de grote Griekse wiskundige Diophantus, is een van de oudste
Hoofdstuk 1. Inleiding. Lichamen
Hoofdstuk 1 Lichamen Inleiding In Lineaire Algebra 1 en 2 heb je al kennis gemaakt met de twee belangrijkste begrippen uit de lineaire algebra: vectorruimte en lineaire afbeelding. In dit hoofdstuk gaan
Samenvatting behorende bij het proefschrift Modular Forms of Weight One Over Finite Fields
Samenvatting behorende bij het proefschrift Modular Forms of Weight One Over Finite Fields van Gabor Wiese. In deze samenvatting zal ik eerst een zo begrijpelijk mogelijke, elementaire inleiding geven
Stratifications on moduli spaces of abelian varieties and Deligne-Lusztig varieties
UvA-DARE (Digital Academic Repository) Stratifications on moduli spaces of abelian varieties and Deligne-Lusztig varieties Hoeve, M.C. Link to publication Citation for published version (APA): Hoeve, M.
Diophantische vergelijkingen
Diophantische vergelijkingen 1 Wat zijn Diophantische vergelijkingen? Een Diophantische vergelijking is een veeltermvergelijking waarbij zowel de coëfficiënten als de oplossingen gehele getallen moeten
Friedrich Hirzebruch. 17 oktober mei Max Planck Institute for Mathematics, Bonn
Friedrich Hirzebruch 17 oktober 1927 27 mei 2012 Max Planck Institute for Mathematics, Bonn 34 levensberichten en herdenkingen 2013 Levensbericht door S.J. Edixhoven en A.J.H.M. van de Ven Friedrich (Fritz)
Elliptische krommen en digitale handtekeningen in Bitcoin
Elliptische krommen en digitale handtekeningen in Bitcoin Bas Edixhoven Universiteit Leiden KNAW Bitcoin symposium Deze aantekeningen zal ik op mijn homepage plaatsen. Bas Edixhoven (Universiteit Leiden)
Discrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma
Discrete Wiskunde 2WC15, Lente 2010 Jan Draisma Voorwoord Dit zijn aantekeningen voor het vak Discrete Wiskunde (2WC15), gegeven in het lentesemester van 2010. Dit vak bestaat uit twee delen: algoritmische
Cover Page. The handle holds various files of this Leiden University dissertation
Cover Page The handle http://hdl.handle.net/887/25833 holds various files of this Leiden University dissertation Author: Palenstijn, Willem Jan Title: Radicals in Arithmetic Issue Date: 204-05-22 Samenvatting
ARITHMETIC GEOMETRY, BAS EDIXHOVEN MOTIVES: COMPUTATIONAL ASPECTS. Overzicht van de presentatie: 1. Context en relevantie van het onderzoek;
ARITHMETIC GEOMETRY, MOTIVES: COMPUTATIONAL ASPECTS BAS EDIXHOVEN Overzicht van de presentatie: 1. Context en relevantie van het onderzoek; 2. Onderzoeksmethode; 3. Besteding van de subsidie; 4. Conclusies.
Classificatie van algebraïsche oppervlakken die invariant zijn onder S 3. door Ruben Meuwese
Classificatie van algebraïsche oppervlakken die invariant zijn onder S 3. door Ruben Meuwese 1 Introductie van algebraïsche oppervlakken. Een algebraïsche oppervlak in R 3 wordt gegeven door een polynoom
Polynomen. + 5x + 5 \ 3 x 1 = S(x) 2x x. 3x x 3x 2 + 2
Lesbrief 3 Polynomen 1 Polynomen van één variabele Elke functie van de vorm P () = a n n + a n 1 n 1 + + a 1 + a 0, (a n 0), heet een polynoom of veelterm in de variabele. Het getal n heet de graad van
Rationale punten op elliptische krommen
Rationale punten op elliptische krommen Anne Barten 6 juli 2015 Bachelorscriptie Begeleiding: dr. S. R. Dahmen Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica
Tentamen Lineaire Algebra 1 (Wiskundigen)
Tentamen Lineaire Algebra Wiskundigen Donderdag, 23 januari 24,.-3. Geen rekenmachines. Motiveer elk antwoord.. Voor alle reële getallen a definiëren we de matrix C a als a C a = a 2. a Verder definiëren
De vervloekte kromme. René Schoof
Cursed curve Roma, October 2018 De vervloekte kromme René Schoof De wat oudere Ajax-fan kent de vervloekte kromme eigenlijk al jaren. Dat is de Feyenoordspeler Willem van Hanegem. Van Hanegem had de bijnaam
Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A
Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A Jaap van Oosten 2007-2008 1 Kardinaliteiten Opgave 1.1. Bewijs, dat R N = R. Opgave 1.2. Laat Cont de verzameling continue functies R R zijn. a) Laat zien dat
Samenvatting. Oppervlakken
Samenvatting Deze samenvatting probeert aan lezers die niet bekend zijn met wiskunde een indruk te geven van waar dit proefschrift over gaat. Soms zullen er ook technische termen gebruikt worden (vaak
Wiskundige beweringen en hun bewijzen
Wiskundige beweringen en hun bewijzen Analyse (en feitelijk de gehele wiskunde) gaat over het bewijzen van beweringen (proposities), d.w.z. uitspraken waaraan de karakterisering waar of onwaar toegekend
Discrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma
Discrete Wiskunde 2WC15, Lente 2010 Jan Draisma HOOFDSTUK 2 Gröbnerbases 1. Vragen We hebben gezien dat de studie van stelsels polynoomvergelijkingen in meerdere variabelen op natuurlijke manier leidt
Hoofdstuk 12. Sommen van kwadraten. 12.1 Sommen van twee kwadraten
Hoofdstuk 12 Sommen van kwadraten 12.1 Sommen van twee kwadraten In Hoofdstuk 11 hebben we gezien dat als p een oneven priemdeler van a 2 + b 2 is, en p deelt niet zowel a als b, dan is p gelijk aan 1
7.1 Het aantal inverteerbare restklassen
Hoofdstuk 7 Congruenties in actie 7.1 Het aantal inverteerbare restklassen We pakken hier de vraag op waarmee we in het vorige hoofdstuk geëindigd zijn, namelijk hoeveel inverteerbare restklassen modulo
2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s.
Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Om technische redenen wordt
Stelsels Vergelijkingen
Hoofdstuk 5 Stelsels Vergelijkingen Eén van de motiverende toepassingen van de lineaire algebra is het bepalen van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen. De belangrijkste techniek bestaat uit
Aanvullingen bij Hoofdstuk 8
Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 11 J.Keijsper
Discrete Wiskunde 2WC15, Lente Jan Draisma
Discrete Wiskunde 2WC15, Lente 2010 Jan Draisma HOOFDSTUK 3 De Nullstellensatz 1. De zwakke Nullstellensatz Stelling 1.1. Zij K een algebraïsch gesloten lichaam en zij I een ideaal in K[x] = K[x 1,...,
Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte
Getallenleer Inleiding op codeertheorie Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal
Nu een leuk stukje wiskunde ter vermaak (hoop ik dan maar). Optellen van oneindig veel getallen
Nu een leuk stukje wiskunde ter vermaak (hoop ik dan maar). Optellen van oneindig veel getallen Ter inleiding: tellen Turven, maar: onhandig bij grote aantallen. Romeinse cijfers: speciale symbolen voor
Het vermoeden van Birch en Swinnerton-Dyer
K. S. Baak Het vermoeden van Birch en Swinnerton-Dyer Bachelorscriptie Scriptiebegeleider: dr. P. J. Bruin juni 2016 Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden Notatie (i) We gebruiken de notatie N voor
Weil pairing and the Drinfeld modular curve van der Heiden, Gerrit
Weil pairing and the Drinfeld modular curve van der Heiden, Gerrit IMPORTANT NOTE: You are advised to consult the publisher's version (publisher's PDF) if you wish to cite from it. Please check the document
Het inzicht van Galois
Het inzicht van Galois 1. Oplosbaarheid Kun je de nulpunten vinden van de polynoom x 5x + 6? Ongetwijfeld. Met onderbouw wiskunde is het al vrij eenvoudig om erachter te komen dat en 3 beiden nulpunten
Het probleem van Hilbert
René Pannekoek Imperial College (Londen) 31 januari 2014 Motto Leopold Kronecker (1823-1891) Motto Leopold Kronecker (1823-1891): Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk.
1 Tropische Meetkunde In Perspectief, 21 maart 2014 Jan Draisma, TU Eindhoven
1 Tropische Meetkunde In Perspectief, 21 maart 2014 Jan Draisma, TU Eindhoven Tropische getallen 2 Twee operaties R := R { } a b := min{a, b} a b := a + b het tropische semilichaam (alternatief: max en
Voorstel voor de inhoud van de cursus Algebra in het programma: Bachelor Wiskunde
Voorstel voor de inhoud van de cursus Algebra in het programma: Bachelor Wiskunde Aantal uren: A: 30, B:15 of A: 22,5, B: 22,5 1 Hermann Weyl introduceerde het woord coördinatiseren voor één van de basishandelingen
Samenvatting van. door Maarten Solleveld
Samenvatting van Periodic cyclic homology of affine Hecke algebras door Maarten Solleveld De afgelopen jaren is mij vaak gevraagd wat ik nou eigenlijk onderzoek. Op deze vraag heb ik inmiddels een voorraadje
Schoolagenda 5e jaar, 8 wekelijkse lestijden
Leerkracht: Koen De Naeghel Schooljaar: 2012-2013 Klas: 5aLWi8, 5aWWi8 Aantal taken: 19 Aantal repetities: 14 Schoolagenda 5e jaar, 8 wekelijkse lestijden Taken Eerste trimester: 11 taken indienen op taak
5 Eenvoudige complexe functies
5 Eenvoudige complexe functies Bij complexe functies is zowel het domein als het beeld een deelverzameling van. Toch kan men in eenvoudige gevallen het domein en het beeld in één vlak weergeven. 5.1 Functies
Definitie 5.1. Cyclische groepen zijn groepen voortgebracht door 1 element.
Hoofdstuk 5 Cyclische groepen 5.1 Definitie Definitie 5.1. Cyclische groepen zijn groepen voortgebracht door 1 element. Als G wordt voortgebracht door a en a n = e, dan noteren we de groep als C n = a.
Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1
Kettingbreuken Frédéric Guffens 0 april 00 K + E + T + T + I + N + G + B + R + E + U + K + E + N 0 + A + P + R + I + L + 0 + + 0 Wat zijn Kettingbreuken? Een kettingbreuk is een wiskundige uitdrukking
1 Complexe getallen in de vorm a + bi
Paragraaf in de vorm a + bi XX Complex getal Instap Los de vergelijkingen op. a x + = 7 d x + 4 = 3 b 2x = 5 e x 2 = 6 c x 2 = 3 f x 2 = - Welke vergelijkingen hebben een natuurlijk getal als oplossing?...
Algebraïsche meetkunde. Jaap Top
Algebraïsche meetkunde Jaap Top JBI-RuG & DIAMANT j.top@rug.nl 21 maart 2014 (DESDA symposium, Nijmegen) 1 Een definitie (wikipedia): 2 Vandaag drie voorbeelden van toepassingen. 3 Voorbeeld 1: (meetkunde
boek Getallen 2009, errata (8 oktober 2011)
boek Getallen 009, errata (8 oktober 0) De toren van Hanoi 6 0 van a naar b } van a naar b }. 8 6 en x / B } en x / B }. - zonodig zo nodig De natuurlijke getallen 3 - vermenigvuldigeing vermenigvuldiging
Tentamen lineaire algebra 2 17 januari 2014, 10:00 13:00 zalen 174, 312, 412, 401, 402
Tentamen lineaire algebra 2 17 januari 214, 1: 13: zalen 174, 312, 412, 41, 42 Dit zijn geen complete uitwerkingen. Er is dus geen garantie dat het overschrijven met andere getallen voldoende is voor huiswerk
Meetkunde en lineaire algebra
Meetkunde en lineaire algebra Daan Pape Universiteit Gent 7 juni 2012 1 1 Möbius transformaties De mobiustransformatie wordt gegeven door: z az + b cz + d (1) Als we weten dat het drietal (x 1, x 2, x
3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies.
3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3.1. Inleiding Het derde college betreft drie onderwerpen (hoeken, bogen en inversies), die in concrete meetkundige situaties vaak optreden. Dit hoofdstuk is bedoeld
Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde
Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Ik heb de vragen die in de nota s staan en de vragen van de samenvattingen samengebracht in deze tekst en voorzien van hints
Diophantische vergelijkingen
Hoofdstuk 17 Diophantische vergelijkingen 17.1 Inleiding Een diophantische vergelijking is een vergelijking van de vorm F ( 1, 2,..., r ) = 0 waarin F een polnoom met gehele coëfficienten is en waarin
Getallen, 2e druk, extra opgaven
Getallen, 2e druk, extra opgaven Frans Keune november 2010 De tweede druk bevat 74 nieuwe opgaven. De nummering van de opgaven van de eerste druk is in de tweede druk dezelfde: nieuwe opgaven staan in
Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid
Hoofdstuk 3 Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid 31 Diagonaliseerbaarheid Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit
De wiskunde achter de Bitcoin
De wiskunde achter de Bitcoin Bas Edixhoven Universiteit Leiden NWD, Noordwijkerhout, 2015/01/31 Deze aantekeningen zal ik op mijn homepage plaatsen. Bas Edixhoven (Universiteit Leiden) De wiskunde achter
Irrationaliteit en transcendentie
Hoofdstuk 9 Irrationaliteit en transcendentie 9. Irrationale getallen In dit hoofdstuk zullen we aannemen dat de lezer weet wat reële getallen zijn, hoewel dat misschien niet helemaal gerechtvaardigd is.
Grafieken van veeltermfuncties
(HOOFDSTUK 43, uit College Mathematics, door Frank Ayres, Jr. and Philip A. Schmidt, Schaum s Series, McGraw-Hill, New York; dit is de voorbereiding voor een uit te geven Nederlandse vertaling). Grafieken
Algebra. Oefeningen op hoofdstuk Groepentheorie Cayleytabellen van groepen van orde Cyclische groepen
Oefeningen op hoofdstuk 5 Algebra 5.2 Groepentheorie 5.2.1 Cayleytabellen van groepen van orde 8 Oefening 5.1. Stel de Cayleytabel op voor de groep van de symmetrieën van een vierkant. Bewijs dat deze
Over de construeerbaarheid van gehele hoeken
Over de construeerbaarheid van gehele hoeken Dick Klingens maart 00. Inleiding In de getallentheorie worden algebraïsche getallen gedefinieerd via rationale veeltermen f van de n-de graad in één onbekende:
Ruimtemeetkunde deel 1
Ruimtemeetkunde deel 1 1 Punten We weten reeds dat Π 0 het meetkundig model is voor de vectorruimte R 2. We definiëren nu op dezelfde manier E 0 als meetkundig model voor de vectorruimte R 3. De elementen
Universiteit Gent. Academiejaar Discrete Wiskunde. 1ste kandidatuur Informatica. Collegenota s. Prof. Dr.
Universiteit Gent Academiejaar 2001 2002 Discrete Wiskunde 1ste kandidatuur Informatica Collegenota s Prof. Dr. Frank De Clerck Herhalingsoefeningen 1. Bepaal het quotiënt en de rest van de deling van
Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding
Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Theorie vraag Zij A een m n-matrix. Geef het verband tussen de formule voor de dimensie d van een niet-strijdig stelsel, d = n rang (A) (zie
4 Positieve en niet-negatieve lineaire algebra
4 Positieve en niet-negatieve lineaire algebra Positieve en niet-negatieve matrices komen veel voor binnen de stochastiek (zoals de PageRank matrix) en de mathematische fysica: temperatuur, dichtheid,
Tentamen Analyse 4. Maandag 16 juni 2008, uur
Tentamen Analyse 4 Maandag 16 juni 2008, 14-17 uur Vermeld uw naam (met voornaam en voorletters) en uw studentnummer. Er zijn geen hulpmiddelen toegestaan. Dit tentamen bestaat uit zes opgaven. Vergeet
Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge. Roland van der Veen
Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge Roland van der Veen Modulorekenen Twee getallen a en b zijn gelijk modulo p als ze een veelvoud van p verschillen. Notatie: a = b mod p Bijvoorbeeld:
f : z z 2 + c. x n = 1 2 z n dan krijgen we z n+1 = z 2 n + a 2 a2 4 De parameter c correspondeert dus met a middels c = a 2 a2 4
Juliaverzamelingen en de Mandelbrotverzameling In de eerste twee colleges hebben we gezien hoe het itereren van een eenvoudige afbeelding tot ingewikkelde verschijnselen leidt. Nu gaan we dit soort afbeeldingen
Ter Leering ende Vermaeck
Ter Leering ende Vermaeck 15 december 2011 1 Caleidoscoop 1. Geef een relatie op Z die niet reflexief of symmetrisch is, maar wel transitief. 2. Geef een relatie op Z die niet symmetrisch is, maar wel
Groepen, ringen en velden
Groepen, ringen en velden Groep Een groep G is een verzameling van elementen en een binaire operator met volgende eigenschappen: 1. closure (gesloten): als a en b tot G behoren, doet a b dat ook. 2. associativiteit:
Examen Complexe Analyse (September 2008)
Examen Complexe Analyse (September 2008) De examenvragen vind je op het einde van dit documentje. Omdat het hier over weinig studenten gaat, heb ik geen puntenverdeling meegegeven. Vraag. Je had eerst
extra sommen bij Numerieke lineaire algebra
extra sommen bij Numerieke lineaire algebra 31 oktober 2012 1. Stel, we willen met een rekenapparaat (dat arithmetische bewerkingen uitvoert met een relatieve nauwkeurigheid ξ, ξ ξ) voor twee getallen
Quantum theorie voor Wiskundigen. Velden en Wegen in de Wiskunde
Quantum theorie voor Wiskundigen door Peter Bongaarts (Rotterdam) bij het afscheidssymposium Velden en Wegen in de Wiskunde voor Henk Pijls Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam,
Fractale dimensie. Eline Sommereyns 6wwIi nr.9
Fractale dimensie Eline Sommereyns 6wwIi nr.9 Inhoudstabel Inleiding... 3 Gehele dimensie... 4 Begrip dimensie... 4 Lengte, breedte, hoogte... 4 Tijd-ruimte... 4 Fractale dimensie... 5 Fractalen... 5 Wat?...
Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 15 december 2008, uur.
Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 5 december 8, 5.5-8. uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen
V Kegelsneden en Kwadratische Vormen in R. IV.0 Inleiding
V Kegelsneden en Kwadratische Vormen in R IV.0 Inleiding V. Homogene kwadratische vormen Een vorm als H (, ) = 5 4 + 8 heet een homogene kwadratische vorm naar de twee variabelen en. Een vorm als K (,
Hoofdstuk 3. Equivalentierelaties. 3.1 Modulo Rekenen
Hoofdstuk 3 Equivalentierelaties SCHAUM 2.8: Equivalence Relations Twee belangrijke voorbeelden van equivalentierelaties in de informatica: resten (modulo rekenen) en cardinaliteit (aftelbaarheid). 3.1
Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B =
Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, 215 Deze uitwerkingen zijn niet volledig, maar geven het idee van elke opgave aan. Voor een volledige oplossing moet alles ook nog duidelijk uitgewerkt
Complexe eigenwaarden
Complexe eigenwaarden Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen Een consequentie
De Riemann-hypothese
De Riemann-hypothese Lars van den Berg 3 september 202 Laat ik je gelijk enthousiast maken om dit stukje te lezen: wie de Riemannhypothese oplost wint een miljoen. Wel zijn er waarschijnlijk eenvoudigere
Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7
Hoofdstuk 7 Jordan normaalvorm Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit hoofdstuk buigen we ons over de vraag of er
Een korte beschrijving van de inhoud
Een korte beschrijving van de inhoud Lineaire algebra maakt een betrekkelijk eenvoudige behandeling van de meetkunde in een vlak of de ruimte mogelijk. Omgekeerd illustreren meetkundige toepassingen op
Bijzondere getallen. Oneindig (als getal) TomVerhoeff. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica
Bijzondere getallen Oneindig (als getal) TomVerhoeff Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica T.Verhoeff@TUE.NL http://www.win.tue.nl/~wstomv/ Oneindig ... Oneindig 2 Top tien
Ontwerp van Algoritmen: opgaven weken 3 en 4
0 Ontwerp van Algoritmen: opgaven weken 3 en 4 Voor alle volgende opgaven over programmaatjes geldt de spelregel: formuleer altijd eerst alle bewijsverplichtingen. selectie 45. (tail distribution)(prima
Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A Met beknopte uitwerking
Tentamen Grondslagen van de Wiskunde A Met beknopte uitwerking 10 december 2013, 09:30 12:30 Dit tentamen bevat 5 opgaven; zie ook de ommezijde. Alle opgaven tellen even zwaar (10 punten); je cijfer is
Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 2 13 januari 2017, 10:00 13:00
Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 3 januari 07, 0:00 3:00 Hint: Alle karakteristiek polynomen die je nodig zou kunnen hebben, hebben gehele nulpunten. Als dat niet het geval lijkt, dan heb je dus
Coördinatiseringen. Definitie 1. Stel dat B = {b 1,..., b n } een basis is van een vectorruimte V en dat v V. iedere vector v V :
Coördinatiseringen Het rekenen met vectoren in R n gaat erg gemakkelijk De coördinaten bieden de mogelijkheid om handig te rekenen (vegen Het is nu ook mogelijk om coördinaten in te voeren voor vectoren
Eigenwaarden en eigenvectoren
Eigwaard eigvector Als A e vierkante matrix is, dan heet e vector x e eigvector van A als Ax e veelvoud van x is : Definitie Stel dat A e (n n-matrix is E vector x R n met x o heet e eigvector van A als
De 15-stelling. Dennis Buijsman 23 augustus Begeleiding: S. R. Dahmen
De 15-stelling Dennis Buijsman 23 augustus 2015 Begeleiding: S. R. Dahmen Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica Universiteit van Amsterdam
Conflictmeetkunde, dominante termen, GGD s en = 1.
Conflictmeetkunde, dominante termen, GGD s en + =. Jan Stienstra Mathematisch Instituut, Universiteit Utrecht Nationale Wiskunde Dagen, 8+9 januari Samenvatting We laten zien hoe het platte plaatje van
RESULTATEN BEVRAGING ASO
Pagina 1 van 5 (34 scholen hebben de bevraging ingevuld) 1 Overzicht studierichtingen en complementaire uren Ingericht Alleen 6 uur Zowel 6 als 8 uur Andere (*) ECWI 33 23 4 6 GRWI 9 2 6 1 LAWI 27 8 13
Steunpunt TU/e-Fontys
Steunpunt TU/e-Fontys Activiteiten en ervaringen 5 Hans Sterk (sterk@win.tue.nl) Where innovation starts Inhoud 2/17 Steunpunt Wiskunde D Cursussen voor docenten Complexe getallen (Analytische) Meetkunde
Examen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit (13:30-17:30)
Examen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit 2016-2017 (13:30-17:30) 1 Deel gesloten boek (theorie) (5.5pt) - indienen voor 14u30 (0.5pt) Geef de kleinste kwadratenoplossing van het stelsel AX = d,
Het karakteristieke polynoom
Hoofdstuk 6 Het karakteristieke polynoom We herhalen eerst kort de definities van eigenwaarde en eigenvector, nu in een algemene vectorruimte Definitie 6 Een eigenvector voor een lineaire transformatie
We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen.
II.2 Gehele getallen We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. Axioma s voor Z De gegevens zijn: (a) een verzameling Z; (b) elementen 0 en 1 in Z; (c) een afbeelding +: Z Z Z, de optelling;
6 Ringen, lichamen, velden
6 Ringen, lichamen, velden 6.1 Polynomen over F p : irreducibiliteit en factorisatie Oefening 6.1. Bewijs dat x 2 + 2x + 2 irreducibel is in Z 3 [x]. Oplossing 6.1 Aangezien de veelterm van graad 3 is,
Projectieve Vlakken en Codes
Projectieve Vlakken en Codes 1. De Fanocode Foutdetecterende en foutverbeterende codes. Anna en Bart doen mee aan een spelprogramma voor koppels. De ene helft van de deelnemers krijgt elk een kaart waarop
6. Lineaire operatoren
6. Lineaire operatoren Dit hoofdstukje is een generalisatie van hoofdstuk 2. De meeste dingen die we in hoofdstuk 2 met de R n deden, gaan we nu uitbreiden tot andere lineaire ruimten Definitie. Een lineaire
Tentamen Analyse 4 (wi2602) 17 juni 2011, uur. ) (1 gratis)) Deel 2: opgaven 2b, 4ab, 5, 6 (normering: 2 + (
TU Delft Mekelweg 4 Faculteit EWI, DIAM 68 CD Delft Tentamen Analyse 4 (wi6) 7 juni, 4-7 uur Het tentamen bestaat uit twee delen: Deel : opgaven, a, 3ab, 4c (normering: + + ( + ) + + ( gratis)) Deel :