Een nieuwe wereld uit het niets

Transcriptie

1 Een nieuwe wereld uit het niets Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) HOVO, 17 april

2 Overzicht ontents 1 Inleiding 1 2 Het parallellenpostulaat en de Elementen van Euclides efinities, postulaten, proposities Kritiek op het parallellenpostulaat Het parallellenpostulaat Saccheri en Legendre Hyperbolische meetkunde Gauss, olyai en Lobatchewski Het eltrami model Het Poincaré-model Riemann, Einstein en de relativiteitstheorie Escher Spiegelingen en betegelingen Inversie etegelingen van het hyperbolische vlak Inleiding Meetkunde in abylonië, Egypte en Griekenland Egypte: vooral praktisch (piramides, navigatie) abylonië: praktisch (bouwkunst, astronomie), constructief (rekenmethoden) Griekenland: Praktisch, constructief (inductief) Theoretisch: meetkunde als deductief systeem Thales (ca v. hr.) Pythagoras (ca v. hr.) ristoteles ( v. hr.) Euclides ( v. hr)

3 2 Het parallellenpostulaat en de Elementen van Euclides Euclides Euclides v. hr. Papyrus met Elementen (Grieks) Euclides: deductief systeem voor de meetkunde Vóór Euclides: Euclides: Veel meetkundige kennis Stellingen met bewijzen (bijv. stellingen van Pythagoras en Thales) 1. efinities 2. Postulaten (xioma s) 3. Proposities (Stellingen) Paradigmawisseling: Van inductief (Egypte, abylonië) naar deductief systeem (ristoteles, Euclides) Euclides: meetkunde van vlak en ruimte 1. Eigenschappen van figuren 2. Gebaseerd op eigenschappen van vlak en ruimte: ongruentie Gelijkvormigheid Evenwijdigheid 2

4 2.1 efinities, postulaten, proposities efinities van Euclides enkele voorbeelden efinitie 1 (Punt I.1). Een punt is, wat geen deel heeft efinitie 2 (Rechte hoek I.10). Wanneer een lijn, op een lijn staande, de aan elkaar grenzende hoeken aan elkaar gelijk maakt, is elk der gelijke hoeken recht en de opstaande lijn heet de loodlijn op die, waarop ze staat efinitie 3 (Parallelle lijnen I.23). Parallel zijn lijnen, die in hetzelfde platte vlak gelegen en naar weerszijde tot in het oneindige verlengd, naar geen van beide zijden elkaar ontmoeten Postulaten van Euclides Postulaat 1 (I.1). Van een punt naar een ander punt kan een lijn worden getrokken Postulaat 2 (I.2). Een lijnstuk kan worden verlengd tot een lijn Postulaten van Euclides Postulaat 3 (I.3). ij een gegeven middelpunt en een gegeven straal kan een cirkel beschreven worden Postulaat 4 (I.4). lle rechte hoeken zijn aan elkaar gelijk eze postulaten zijn onafhankelijk 3

5 Het parallellenpostulaat Postulaat 5 (I.5, versie van Euclides). ls twee lijnen gesneden worden door een derde, en de som van de binnenhoeken aan één kant van de derde lijn is kleiner dan 180 o, dan snijden deze twee lijnen elkaar aan diezelfde kant van de derde lijn Postulaat 6 (I.5, versie van Playfair 1795 na hr.). oor een gegeven punt buiten een lijn gaat precies één lijn evenwijdig aan die lijn 2.2 Kritiek op het parallellenpostulaat E kwestie Is het parallellenpostulaat (PP) te bewijzen uit de overige postulaten? Euclides gebruikte PP zo weinig mogelijk Proclus (Griekenland, na hr.). it (het PP) zou als postulaat verwijderd moeten worden. Want het is een propositie... Kritiek uit het Westen John Wallis ( ): bewees het PP uit de aanname dat er gelijkvormige driehoeken bestaan Giordano Vitale ( ): probeerde te bewijzen dat de equidistant van een lijn een lijn is. H.u.v. het PP (Fout) Girolamo Saccheri, S.J. ( ): Reductio ad absurdum Hypothese van de scherpe (stompe) hoek: de som van de hoeken van een driehoek is kleiner (groter) dan 180 o. Toonde aan dat de hypothese van de stompe hoek leidt tot een tegenspraak (orrect) eweerde dat de hypothese van de scherpe hoek leidt tot een tegenspraak (Fout) Johann Heinrich Lambert ( ): Weerlegde de hypothese van de stompe hoek (orrect) Leidde een aantal (niet-euclidische) stellingen af uit de hypothese van de scherpe hoek (orrect) 4

6 Proposities zonder parallellenpostulaat (2) Stelling 1 (ongruentiegeval ZHZ Propositie I.4). Twee driehoeken zijn congruent als twee zijden van de eerste driehoek even lang zijn als twee zijden van de andere driehoek en de ingesloten hoeken even groot zijn F E F F E ewijs zonder parallellenpostulaat E Proposities zonder parallellenpostulaat (2) Stelling 2 (Propositie I.6). Een buitenhoek is groter dan elk van de niet-aanliggende binnenhoeken 5

7 Z [1cm] Z > en Z > Z [1cm] : midden van E Z [1cm] E: zó dat midden is van E E [1cm] = E E Z [1cm] us: = E < Z 6

8 E [1cm] ewijs zonder parallellenpostulaat Z (gebruik ZHZ) 2.3 Het parallellenpostulaat Stellingen equivalent met het parallellenpostulaat (1) Stelling 3 (I.29). ls twee evenwijdige lijnen worden gesneden door een derde, dan zijn de verwisselende binnenhoeken gelijk Z Stelling 4 (I.32a). e buitenhoek van een driehoek is gelijk aan de som van de nietaanliggende binnenhoeken Stellingen equivalent met het parallellenpostulaat (2) Stelling 5 (I.32b). e som van de hoeken van een driehoek is 180 o 2.4 Saccheri en Legendre Girolamo Saccheri, S.J. ( ) Kritiek op Euclides parallellenpostulaat 7

9 Poging parallellenpostulaat te bewijzen uit de overige postulaten Saccheri vierhoek (1) Euclide b Omni Naevo Vindicatus (Euclides van elke smet bevrijd) Vele pogingen het PP te bewijzen uit overige postulaten Poging Saccheri: bewijs uit het ongerijmde Stelling 6 (Saccheri). Laat en gelijke lengte hebben en loodrecht staan op, zó dat en aan dezelfde kant van liggen. ls we trekken, dan zijn de hoeken bij en gelijk ewijs zonder parallellenpostulaat Saccheri vierhoek (2) Stelling 7 (Saccheri). Laat en gelijke lengte hebben en loodrecht staan op, zó dat en aan dezelfde kant van liggen. ls we trekken, dan zijn de hoeken bij en gelijk 8

10 F E F E F E F E 9

11 F E F E ewijs zonder parallellenpostulaat (gebruik ZHZ) Stellingen van Saccheri, bewijs zonder PP Stelling 8 (rie musketiersstelling). ls er een Saccheri-vierhoek is met scherpe/rechte/stompe tophoeken, dan heeft elke Saccheri-vierhoek is met scherpe/rechte/stompe tophoeken Stelling 9. ij een gegeven driehoek is een Saccheri-vierhoek te construeren waarvan de som van de tophoeken gelijk is aan de som van de hoeken van de driehoek Stelling 10 (Saccheri-Legendre). e som van de hoeken van een driehoek is niet groter dan 180 o Saccheri s fout Voorwaarde: alleen bewijzen zonder gebruik te maken van het Parallellenpostulaat Hypothese van de stompe hoek: e tophoeken van een Saccheri-vierhoek zijn groter dan een rechte hoek. Leidt tot een tegenspraak (correct) Hypothese van de scherpe hoek: e tophoeken van een Saccheri-vierhoek zijn kleiner dan een rechte hoek. Saccheri s "bewijs" uit het ongerijmde: Hieruit volgt een tegenspraak (niet correct), dus zijn de tophoeken van elke Saccheri-vierhoek recht "Gevolg": de som van de hoeken van een driehoek is 180 o, en daaruit volgt het Parallellenpostulaat 10

12 Vooravond van de hyperbolische meetkunde Het parallellenpostulaat houdt (voorlopig?) de status van Postulaat ls er een driehoek is waarvan de som van de hoeken gelijk is aan 180 o, dan is de som van de hoeken van elke driehoek gelijk aan 180 o, en dan geldt het Parallellenpostulaat ls er een driehoek is met hoekensom kleiner dan 180 o, dan is de som van de hoeken van elke driehoek kleiner dan 180 o, en dan geldt het Parallellenpostulaat niet 3 Hyperbolische meetkunde 3.1 Gauss, olyai en Lobatchewski Hyperbolische meetkunde: grondleggers Karl Friedrich Nikolay Ivanovich János Gauss (uitsland) Lobachevsky (Rusland) olyai (Hongarije) (nu: Roemenië)

13 Hyperbolische meetkunde: eer van het nageslacht Gauss (runswick) Lobachevsky (Kazan) olyai (Tsjechië) Kant s ruimte en Gauss Kant = Euclides + Newton Kant: Onze (euclidische!) ruimte is a priori en synthetisch Gauss: Ik kom meer en meer tot de overtuiging dat de noodzaak van onze meetkunde niet kan worden bewezen. (... ) moet men de Meetkunde niet dezelfde status geven als de Rekenkunde, die waarlijk a priori is, maar als de Mechanica. [Gauss in een brief aan Olbers, 1817] Historie: Gauss e eerste (?) die een niet-euclidische meetkunde niet uitsloot Enkele resultaten op dit terrein Geen publicaties over niet-euclidische meetkunde: Ondertussen zal ik deze uitvoerige onderzoekingen vermoedelijk niet meer tijdens mijn leven publiceren, want ik vrees de schreeuw van de oeötiers die zou opklinken als ik mijn kijk op deze zaak zou geven [rief aan essel, 1929] Historie: Lobachevsky Was met Janos olyai de eerste die aantoonde dat een niet-euclidische meetkunde tegenspraakvrij is. Publicatie in 1829 in de oodschapper van Kazan gebleven. Lange tijd onopgemerkt 12

14 Historie: Janos olyai Farkas olyai (vriend van Gauss) aan zijn zoon János: Je moet deze benadering van de parallellen niet uitproberen. (... ) Ik heb door deze bodemloze nacht gereisd, die alle licht en mijn levensvreugde doofde. János olyai aan zijn vader (3 november 1823): Ik heb nu besloten een werk over parallellen te publiceren. (... ) Ondertussen kan ik alleen dit zeggen: Ik heb een wereld uit het niets geschapen. Toonde onafhankelijk van Lobachevsky aan dat een niet-euclidische meetkunde tegenspraakvrij is. Publicatie in 1831, als appendix in vader s boek Reactie van Gauss op het werk van Janos olyai: it werk te prijzen zou betekenen dat ik mijzelf prijs. Want de hele inhoud van het werk komt bijna exact overeen met mijn eigen gedachten, die mij de laatste dertig jaar bezig houden. [rief van Gauss aan Farkas olyai, 1832] 3.2 Het eltrami model eltrami model van de hyperbolische meetkunde Punt: binnen de cirkel Lijn: open lijnstuk dat punten op verbindt Horizon: de cirkel (het oneindige) Voldoet aan Postulaten I.1 4 van Euclides. Voldoet niet aan het Parallellenpostulaat. Hoek- en afstandmeting zijn lastig. 13

15 3.3 Het Poincaré-model Het Poincaré-model Ultraparallel Parallel Punt: binnen de cirkel. Lijn: cirkelboog die punten op verbindt, en loodrecht snijdt. Horizon: de cirkel (het oneindige). Hoek tussen lijnen: euclidische hoek tussen euclidische raaklijnen (onform model) fstand: evenredig met euclidische afstand tot Het Poincaré-schijfmodel Voldoet aan Postulaten I.1 4 van Euclides. Voldoet niet aan het Parallellenpostulaat. Postulaten I.1 en I.2 Postulaat 7 (I.1). Van een punt naar een ander punt kan een lijn worden getrokken 14

16 Postulaat 8 (I.2). Een lijnstuk kan worden verlengd tot een lijn. irkels in de Poincaréschijf Postulaat 9 (I.3). ij een gegeven middelpunt en een gegeven straal kan een cirkel beschreven worden. Hyperbolische cirkel: Ronde (euclidische) cirkel, met verschoven middelpunt. 15

17 Van eltrami naar Poincaré (Klein) 16

18 3.4 Riemann, Einstein en de relativiteitstheorie Riemann en de elliptische meetkunde lle geodeten hebben twee snijpunten Georg Friedrich ernhard Riemann ( ) Leerling van Gauss Habilitationss- Über die Hypothesen welche die Geometrie zugrunde liegen chrift, 1854 Riemann en grondslagen van de meetkunde Elliptische meetkunde Positieve kromming Hyperbolische meetkunde Negatieve kromming Som van de hoeken van een driehoek: > 180 o < 180 o Niet-euclidische meetkundes! Riemann, Einstein en de relativiteitstheorie Riemann: kromming en geodeten zijn intrinsiek voor het oppervlak (ook voor bolbewoners merkbaar) Einstein: lichtstralen zijn geodeten in een gekromde ruimte-tijd (lgemene relativiteitstheorie, 1915) 17

19 Zonsverduistering 1919 (West frika): lichte afbuiging van sterrenlicht langs de zon. evestiging van Einstein lgemene Relativiteitstheorie. Paradigmawisseling: ruimte en tijd zijn gekromd! 18

20 4 Escher ircle Limit III ircle Limit IV (met betegeling) 19

21 Symmetry Work 45 20

22 4.1 Spiegelingen en betegelingen Lijnspiegeling in zijden eenheidsvierkant etegeling via lijnspiegeling 21

23 = etegeling met zeshoeken (1) etegeling met zeshoeken (2) 22

24 Regelmatige vlakbetegelingen lleen met regelmatige driehoeken (graad 6, want 6 60 o = 360 o ) vierkanten (graad 4, want 4 90 o = 360 o ) zeshoeken (graad 3, want o = 360 o ) 23

25 4.2 Inversie Inversie in een cirkel (1) Spiegeling in hyperbolische lijn? Inversie in cirkel beeldt ( O) af op, met O O = r 2. Punten op worden op zichzelf afgebeeld. O r Inversie in een cirkel (2) Stelling 11 (Orthogonale cirkels). ls cirkel de inversiecirkel loodrecht snijdt, dan gaat onder inversie in in zichzelf over. O r Laat punt op zijn, tweede snijpunt van O met. an O O = r 2, dus is beeld van onder inversie in. 24

26 Een stelling uit de vlakke meetkunde O O M P O O = OP 2 O O = O O Inversie in een cirkel (3) O [1cm] Inversie in beeldt af op, en op Inversie spiegeling in hyperbolische lijn 25

27 4.3 etegelingen van het hyperbolische vlak ircle Limit IV (met betegeling) Hoe zit het met Escher s cirkellimieten? Inversie in zijden moedertegel Inversie van moedertegel in zijden. Inversie van eerste generatie in zijden moedertegel. Zeshoeken met hoeken van 90 0 (graad 4). ircle Limit IV (met betegeling) 26

28 Regelmatige betegelingen van de Poincaréschijf Zeshoeken met hoeken van 72 o (graad 5) en 60 o (graad 6). anbevolen literatuur 1. Jeremy Gray: Ideas of Space. Euclidean, Non-Euclidean and Relativistic, larendon Press, Oxford, 1979 Toegankelijk 2. Robin Hartshorne: Geometry: Euclid and beyond, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer Verlag, New York, 2000 Iets lastiger 3. H.S.M. oxeter: Introduction to Geometry, Wiley, New York,