De ruimte in de loop van de tijd
|
|
|
- Pepijn Bogaert
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 De ruimte in de loop van de tijd Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) HOVO, 17 maart 2009 GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
2 Overzicht 1 Inleiding 2 De klassieke ruimte 3 Klassieke mechanica 4 Hyperbolische meetkunde 5 Gekromde ruimten 6 De vierde dimensie 7 Ruimte en tijd in de moderne fysica GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
3 Inleiding Ruimte en tijd: overzicht GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
4 Inleiding Euclides (ca. 300 vc) Euclides v. Chr. Papyrus met Elementen (Grieks) GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
5 Inleiding Einstein ( ) Man van de 20ste eeuw Relativiteitstheorie GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
6 Inleiding Van Euclides naar Einstein De klassieke ruimte (Euclides, ca. 300 vc) Klassieke mechanica (Newton, 1687) Niet-euclidische meetkunde (Bolyai, 1823 en Lobatchewski, 1829) De vierde dimensie Gekromde ruimten (Gauß, 1827 en Riemann, 1854) Ruimtetijd en de relativiteitstheorie (Einstein, 1905 en 1912)... en vele anderen: Kant, Beltrami, Klein, Maxwell, Minkowski, Lorentz, Poincaré, Friedman, Hubble... GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
7 De klassieke ruimte De klassieke ruimte Euclides GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
8 De klassieke ruimte Meetkunde in Babylonië, Egypte en Griekenland Egypte: vooral praktisch (landmeting, piramides, navigatie) Babylonië: praktisch (bouwkunst, astronomie), constructief (rekenmethoden) Griekenland: Praktisch, constructief (inductief) Theoretisch: meetkunde als deductief systeem Thales (ca v. Chr.) Pythagoras (ca v. Chr.) Aristoteles ( v. Chr.) Euclides ( v. Chr) GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
9 De klassieke ruimte Meetkunde in Babylonië, Egypte en Griekenland Egypte: vooral praktisch (landmeting, piramides, navigatie) Babylonië: praktisch (bouwkunst, astronomie), constructief (rekenmethoden) Griekenland: Praktisch, constructief (inductief) Theoretisch: meetkunde als deductief systeem Thales (ca v. Chr.) Pythagoras (ca v. Chr.) Aristoteles ( v. Chr.) Euclides ( v. Chr) GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
10 De klassieke ruimte Meetkunde in Babylonië, Egypte en Griekenland Egypte: vooral praktisch (landmeting, piramides, navigatie) Babylonië: praktisch (bouwkunst, astronomie), constructief (rekenmethoden) Griekenland: Praktisch, constructief (inductief) Theoretisch: meetkunde als deductief systeem Thales (ca v. Chr.) Pythagoras (ca v. Chr.) Aristoteles ( v. Chr.) Euclides ( v. Chr) GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
11 De klassieke ruimte Eratosthenes (ca vc): omtrek aarde Bibliothecaris in Alexandrië Zomersolstitium (zonnewende 21 juni): zon staat loodrecht boven Aswan, en onder hoek van 7, 2 in Alexandrië Alexandrie 7.2 Aswan Omtrek aarde = 360 afstand Alexandrië Aswan, ongeveer 7, stadiën km Werkelijke omtrek: km GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
12 De klassieke ruimte Diameter van de maan Maansverduistering 0 min. 50 min. 200 min. Diameter maan = 1 4 diameter aarde. GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
13 De klassieke ruimte De klassieke ruimte van Euclides Drie dimensies Ingrediënten: punten (0-dimensionaal), lijnen en cirkels (1-dimensionaal), vlakken, boloppervlakken en veelvlakken (2-dimensionaal) Goed voorstelbaar Abstractie van de waarneembare ruimte Strenge opbouw in De Elementen: Definities, Axioma s (postulaten), Stellingen (theorema s) GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
14 De klassieke ruimte Parallellenpostulaat Definitie (Parallelle lijnen I.23) Parallel zijn lijnen, die in hetzelfde platte vlak gelegen en naar weerszijde tot in het oneindige verlengd, naar geen van beide zijden elkaar ontmoeten Postulaat (I.5, versie van Playfair 1795 na Chr.) Door een gegeven punt buiten een lijn gaat precies één lijn evenwijdig aan die lijn GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
15 De klassieke ruimte Parallellenpostulaat Definitie (Parallelle lijnen I.23) Parallel zijn lijnen, die in hetzelfde platte vlak gelegen en naar weerszijde tot in het oneindige verlengd, naar geen van beide zijden elkaar ontmoeten Postulaat (I.5, versie van Playfair 1795 na Chr.) Door een gegeven punt buiten een lijn gaat precies één lijn evenwijdig aan die lijn GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
16 De klassieke ruimte Platonische veelvlakken tetraëder kubus octaëder dodecaëder icosaëder GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
17 De klassieke ruimte Stereografische projectie Cartografie GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
18 De klassieke ruimte Stereografische projectie van veelvlakken GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
19 Klassieke mechanica Klassieke mechanica Newton, Kepler GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
20 Klassieke mechanica Kepler ( ) GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
21 Klassieke mechanica Kepler: Mysterium Cosmographicum (1596) Mercurius Octaëder Venus Icosaëder Aarde Dodecaëder Mars Tetraëder Jupiter Kubus Saturnus "Van deze veelvlakken zijn er precies vijf en vijf zijn er nodig om de zes planeten uit elkaar te houden. Zo werkt God s denken!" GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
22 Klassieke mechanica Newton ( ) GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
23 Klassieke mechanica Newton s mechanica X v O O V Fysische wetten hebben dezelfde vorm in elk inertiaalframe (éénparig bewegend) Gelijktijdigheid is onafhankelijk van het frame (d.w.z., van de waarnemer) GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
24 Klassieke mechanica Newton s mechanica t O O X x vt=x x+vt=0 0 O t O X x (v+v)t =x 0 x Vt =0 x x (x, t) in frame van O (x, t ) in frame van O x = x + Vt t = t Ook: v = v + V GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
25 Hyperbolische meetkunde Hyperbolische meetkunde Gauß, Bolyai en Lobatchewski GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
26 Hyperbolische meetkunde Hyperbolische meetkunde: grondleggers Karl Friedrich Nikolay Ivanovich János Gauss (Duitsland) Lobachevsky (Rusland) Bolyai (Hongarije) (nu: Roemenië) GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
27 Hyperbolische meetkunde Kant s ruimte en Gauss Kant = Euclides + Newton Kant: Onze (euclidische!) ruimte is a priori en synthetisch Gauss: Ik kom meer en meer tot de overtuiging dat de noodzaak van onze meetkunde niet kan worden bewezen. (... ) moet men de Meetkunde niet dezelfde status geven als de Rekenkunde, die waarlijk a priori is, maar als de Mechanica. [Gauss in een brief aan Olbers, 1817] GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
28 Hyperbolische meetkunde Kant s ruimte en Gauss Kant = Euclides + Newton Kant: Onze (euclidische!) ruimte is a priori en synthetisch Gauss: Ik kom meer en meer tot de overtuiging dat de noodzaak van onze meetkunde niet kan worden bewezen. (... ) moet men de Meetkunde niet dezelfde status geven als de Rekenkunde, die waarlijk a priori is, maar als de Mechanica. [Gauss in een brief aan Olbers, 1817] GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
29 Hyperbolische meetkunde Kant s ruimte en Gauss Kant = Euclides + Newton Kant: Onze (euclidische!) ruimte is a priori en synthetisch Gauss: Ik kom meer en meer tot de overtuiging dat de noodzaak van onze meetkunde niet kan worden bewezen. (... ) moet men de Meetkunde niet dezelfde status geven als de Rekenkunde, die waarlijk a priori is, maar als de Mechanica. [Gauss in een brief aan Olbers, 1817] GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
30 Hyperbolische meetkunde Historie: Gauss De eerste (?) die een niet-euclidische meetkunde niet uitsloot Enkele resultaten op dit terrein Geen publicaties over niet-euclidische meetkunde: Ondertussen zal ik deze uitvoerige onderzoekingen vermoedelijk niet meer tijdens mijn leven publiceren, want ik vrees de schreeuw van de Boeötiers die zou opklinken als ik mijn kijk op deze zaak zou geven [Brief aan Bessel, 1929] GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
31 Hyperbolische meetkunde Historie: Gauss De eerste (?) die een niet-euclidische meetkunde niet uitsloot Enkele resultaten op dit terrein Geen publicaties over niet-euclidische meetkunde: Ondertussen zal ik deze uitvoerige onderzoekingen vermoedelijk niet meer tijdens mijn leven publiceren, want ik vrees de schreeuw van de Boeötiers die zou opklinken als ik mijn kijk op deze zaak zou geven [Brief aan Bessel, 1929] GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
32 Hyperbolische meetkunde Historie: Gauss De eerste (?) die een niet-euclidische meetkunde niet uitsloot Enkele resultaten op dit terrein Geen publicaties over niet-euclidische meetkunde: Ondertussen zal ik deze uitvoerige onderzoekingen vermoedelijk niet meer tijdens mijn leven publiceren, want ik vrees de schreeuw van de Boeötiers die zou opklinken als ik mijn kijk op deze zaak zou geven [Brief aan Bessel, 1929] GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
33 Hyperbolische meetkunde Het Poincaré-model Ultraparallel Parallel Punt: binnen de cirkel C. Lijn: cirkelboog die punten op C verbindt, en C loodrecht snijdt. Horizon: de cirkel C (het oneindige). GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
34 Hyperbolische meetkunde Het Poincaré-model Ultraparallel Parallel Punt: binnen de cirkel C. Lijn: cirkelboog die punten op C verbindt, en C loodrecht snijdt. Horizon: de cirkel C (het oneindige). GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
35 Hyperbolische meetkunde Het Poincaré-model Ultraparallel Parallel Punt: binnen de cirkel C. Lijn: cirkelboog die punten op C verbindt, en C loodrecht snijdt. Horizon: de cirkel C (het oneindige). GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
36 Hyperbolische meetkunde Het Poincaré-model Ultraparallel Parallel Punt: binnen de cirkel C. Lijn: cirkelboog die punten op C verbindt, en C loodrecht snijdt. Horizon: de cirkel C (het oneindige). GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
37 Hyperbolische meetkunde Geodeten in Poincaréschijf GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
38 Hyperbolische meetkunde Geodeten in Poincaréschijf GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
39 Hyperbolische meetkunde Geodeten in Poincaréschijf GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
40 Hyperbolische meetkunde Geodeten in Poincaréschijf GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
41 Hyperbolische meetkunde Geodeten in Poincaréschijf GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
42 Hyperbolische meetkunde Geodeten in Poincaréschijf GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
43 Hyperbolische meetkunde Geodeten in Poincaréschijf GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
44 Hyperbolische meetkunde Geodeten in Poincaréschijf GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
45 Hyperbolische meetkunde Geodeten in Poincaréschijf GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
46 Hyperbolische meetkunde Geodeten in Poincaréschijf GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
47 Hyperbolische meetkunde Geodeten in Poincaréschijf GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
48 Hyperbolische meetkunde Geodeten in Poincaréschijf GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
49 Hyperbolische meetkunde Geodeten in Poincaréschijf GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
50 Hyperbolische meetkunde Geodeten in Poincaréschijf GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
51 Hyperbolische meetkunde Geodeten in Poincaréschijf GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
52 Hyperbolische meetkunde Geodeten in Poincaréschijf GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
53 Hyperbolische meetkunde Geodeten in Poincaréschijf GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
54 Hyperbolische meetkunde Geodeten in Poincaréschijf GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
55 Hyperbolische meetkunde Geodeten in Poincaréschijf GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
56 Hyperbolische meetkunde Geodeten in Poincaréschijf GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
57 Hyperbolische meetkunde Geodeten in Poincaréschijf GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
58 Hyperbolische meetkunde Geodeten in Poincaréschijf GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
59 Hyperbolische meetkunde Geodeten in Poincaréschijf GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
60 Hyperbolische meetkunde Geodeten in Poincaréschijf GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
61 Hyperbolische meetkunde Geodeten in Poincaréschijf GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
62 Hyperbolische meetkunde Geodeten in Poincaréschijf GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
63 Hyperbolische meetkunde Geodeten in Poincaréschijf GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
64 Hyperbolische meetkunde Geodeten in Poincaréschijf GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
65 Hyperbolische meetkunde Geodeten in Poincaréschijf GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
66 Hyperbolische meetkunde Geodeten in Poincaréschijf GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
67 Hyperbolische meetkunde Geodeten in Poincaréschijf GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
68 Hyperbolische meetkunde Het Poincaré-schijfmodel Voldoet aan Postulaten I.1 4 van Euclides. Voldoet niet aan het Parallellenpostulaat. GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
69 Hyperbolische meetkunde Het Poincaré-schijfmodel Voldoet aan Postulaten I.1 4 van Euclides. Voldoet niet aan het Parallellenpostulaat. GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
70 Hyperbolische meetkunde Circle Limit IV (met betegeling) GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
71 Hyperbolische meetkunde Regelmatige hyperbolische veelhoeken GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
72 Hyperbolische meetkunde Regelmatige betegelingen van de Poincaréschijf Zeshoeken met hoeken van 72 o (graad 5) en 60 o (graad 6). GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
73 Hyperbolische meetkunde Betegelingen van de (hyperbolische) ruimte Vier dodecaëders delen een ribbe. GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
74 Gekromde ruimten Gekromde ruimten Gauß en Riemann GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
75 Gekromde ruimten Riemann en de elliptische meetkunde Georg Friedrich Bernhard Jules Henri Poincaré Riemann ( ) Leerling van Gauss Über die Hypothesen welche die Geometrie zugrunde liegen Habilitationsschrift, 1854 GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
76 Gekromde ruimten Riemann en grondslagen van de meetkunde Elliptische meetkunde Positieve kromming Hyperbolische meetkunde Negatieve kromming Som van de hoeken van een driehoek: > 180 o < 180 o Niet-euclidische meetkundes! GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
77 Gekromde ruimten Meten van kromming m.b.v. afstanden 1 Theorema Egregrium van Gauß: Kromming is alleen afhankelijk van afstanden (metriek)... en dus niet van de inbedding in de omliggende ruimte! 2 Trek cirkel met straal r om een punt. Meet de omtrek L(r). Kromming in dat punt: K = 3 π lim 2πr L(r) r 0 r 3 GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
78 Gekromde ruimten Meten van kromming m.b.v. afstanden 1 Theorema Egregrium van Gauß: Kromming is alleen afhankelijk van afstanden (metriek)... en dus niet van de inbedding in de omliggende ruimte! 2 Trek cirkel met straal r om een punt. Meet de omtrek L(r). Kromming in dat punt: K = 3 π lim 2πr L(r) r 0 r 3 GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
79 Gekromde ruimten Meten van kromming: boloppervlak r: straal van cirkel op boloppervlak met straal R u = R sin r R u r R Omtrek cirkel: Kromming: L(r) = 2πR sin r R = 2πR( r R r 3 6R ) K = 3 π lim 2πr L(r) r 0 r 3 = 1 R 2 GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
80 Gekromde ruimten Kromming Poincaréschijf Cirkel met straal r heeft omtrek L(r) = 2πR sinh r R Kromming: K = 3 π lim 2πr L(r) r 0 r 3 = 1 R 2 GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
81 Gekromde ruimten Geodeten en kromming Positieve kromming Negatieve kromming GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
82 De vierde dimensie De vierde dimensie Gauß en Riemann GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
83 De vierde dimensie Polytopen in 4D (polychoronen) 4-simplex hyperkubus 16-cel 24-cel 120-cel 600-cel GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
84 De vierde dimensie Polytopen in 4D (polychoronen) Nm Volledig V E 2D-vlakken 3D facetten 5 Pentachoron drieh. 5 tetrah. 8 Tesseract vierk. 8 kubussen 16 Hexadecachoron drieh. 16 tetrah. 24 Icositetrachoron drieh. 24 octah. 120 Hecatonicosachoron vijfh. 120 dodecah. 600 Hexacosichoron drieh. 600 tetrah. GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
85 4-simplex (5-cel) De vierde dimensie 5 hoekpunten, ( ( 5 2) = 10 kanten, 5 3) = 10 driehoeken, ) = 5 tetraëders ( 5 4 GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
86 De vierde dimensie Dodecaplex (120-cel) Dodecaëder Dodecaplex Stereografische projectie 2-sfeer R 2 3-sfeer R 3 GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
87 De vierde dimensie Hypercubus (tesseract) Hyperkubus in stereografische projectie S 3 R 3 GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
88 De vierde dimensie Stereografische projectie polychoronen GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
89 Ruimte en tijd in de moderne fysica Ruimte en tijd in de moderne fysica Einstein GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
90 Ruimte en tijd in de moderne fysica Speciale relativiteitstheorie (Einstein, 1905) Gebaseerd op twee principes 1 Equivalentie van (inertiaal)frames Wetten uit de natuurkunde hebben dezelfde vorm in frames die éénparig t.o.v. elkaar bewegen 2 Lichtsnelheid is constant in lege ruimte, onafhankelijk van de waarnemer (niet relatief!) GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
91 Ruimte en tijd in de moderne fysica Einstein s treinexperiment A O B O V Tijd t = 0: O (in trein) passeert O (op perron) met éénparige snelheid V. Waarnemers O en O zien beiden lichtflits uit A en B. 1 O: A en B flitsten gelijktijdig 2 O : A flitste voor B (want verder weg op moment van flitsen) GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
92 Ruimte en tijd in de moderne fysica Lorentz-transformatie Lichtstraal 1 Vertrekt op tijd t = 0 uit (0, 0, 0) 2 Positie (x, y, z) ten tijde t in rust-frame F, correspondeert met positie (x, y, z ) ten tijde t in frame F dat (relatief) éénparig beweegt met snelheid V in de x-richting Dus x 2 + y 2 + z 2 c 2 t 2 = x 2 + y 2 + z 2 c 2 t 2 Lorentz transformatie beeldt voorvallen (x, y, z, t) in F af op voorvallen (x, y, z, t ) in F volgens x = γ (x V t) y = y, z = z γ = 1 1 V 2 /c 2 t = γ(t V c 2 x) GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
93 Ruimte en tijd in de moderne fysica Lorentz-transformatie ct ct x x Plaats-as van F in frame F: t = 0, dus ct = V c x Tijd-as van F in frame F : x = 0, dus x = V c (ct) GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
94 Ruimte en tijd in de moderne fysica Lorentz-transformatie ct ct x x Plaats-as van F in frame F: t = 0, dus ct = V c x Tijd-as van F in frame F : x = 0, dus x = V c (ct) GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
95 Ruimte en tijd in de moderne fysica Relativiteit van de gelijktijdigheid Voorval B is gelijktijdig met voorval A in het groene frame gaat vooraf aan A in het blauwe frame volgt op A in het rode frame GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
96 Ruimte en tijd in de moderne fysica Einstein s treinexperiment (vervolg) Relativiteit van de gelijktijdigheid ct O x A B Gelijktijdigheid alleen vast te stellen in frame van de waarnemer! GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
97 Ruimte en tijd in de moderne fysica Tijddilatatie Bewegende klok ct ct t A t A A x x F: frame waarnemer; F : frame van bewegende klok t A < t A: volgens waarnemer loopt klok te traag (tijddilatatie) t A = t A 1 V 2 /c 2 GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
98 Ruimte en tijd in de moderne fysica Riemann, Einstein en de relativiteitstheorie Gauß/Riemann: afstand en kromming zijn intrinsiek voor het oppervlak (ook voor bolbewoners merkbaar) Einstein: lichtstralen zijn geodeten ( kortste paden ) in een gekromde ruimte-tijd (Algemene relativiteitstheorie, 1915) Ik werk nu alleen nog maar aan het gravitatieprobleem... Eén ding is zeker, dat ik mijzelf nooit eerder in mijn leven zo gekweld heb... Vergeleken met dit probleem is de originele (Speciale) Relativiteitstheorie kinderspel. Albert Einstein Zonsverduistering 1919 (West Afrika): lichte afbuiging van sterrenlicht langs de zon. Bevestiging van Einstein s Algemene Relativiteitstheorie. Paradigmawisseling: de ruimte-tijd is gekromd (gravitatie)! GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
99 Ruimte en tijd in de moderne fysica Riemann, Einstein en de relativiteitstheorie Gauß/Riemann: afstand en kromming zijn intrinsiek voor het oppervlak (ook voor bolbewoners merkbaar) Einstein: lichtstralen zijn geodeten ( kortste paden ) in een gekromde ruimte-tijd (Algemene relativiteitstheorie, 1915) Ik werk nu alleen nog maar aan het gravitatieprobleem... Eén ding is zeker, dat ik mijzelf nooit eerder in mijn leven zo gekweld heb... Vergeleken met dit probleem is de originele (Speciale) Relativiteitstheorie kinderspel. Albert Einstein Zonsverduistering 1919 (West Afrika): lichte afbuiging van sterrenlicht langs de zon. Bevestiging van Einstein s Algemene Relativiteitstheorie. Paradigmawisseling: de ruimte-tijd is gekromd (gravitatie)! GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
100 Ruimte en tijd in de moderne fysica Riemann, Einstein en de relativiteitstheorie Gauß/Riemann: afstand en kromming zijn intrinsiek voor het oppervlak (ook voor bolbewoners merkbaar) Einstein: lichtstralen zijn geodeten ( kortste paden ) in een gekromde ruimte-tijd (Algemene relativiteitstheorie, 1915) Ik werk nu alleen nog maar aan het gravitatieprobleem... Eén ding is zeker, dat ik mijzelf nooit eerder in mijn leven zo gekweld heb... Vergeleken met dit probleem is de originele (Speciale) Relativiteitstheorie kinderspel. Albert Einstein Zonsverduistering 1919 (West Afrika): lichte afbuiging van sterrenlicht langs de zon. Bevestiging van Einstein s Algemene Relativiteitstheorie. Paradigmawisseling: de ruimte-tijd is gekromd (gravitatie)! GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
101 Ruimte en tijd in de moderne fysica Riemann, Einstein en de relativiteitstheorie Gauß/Riemann: afstand en kromming zijn intrinsiek voor het oppervlak (ook voor bolbewoners merkbaar) Einstein: lichtstralen zijn geodeten ( kortste paden ) in een gekromde ruimte-tijd (Algemene relativiteitstheorie, 1915) Ik werk nu alleen nog maar aan het gravitatieprobleem... Eén ding is zeker, dat ik mijzelf nooit eerder in mijn leven zo gekweld heb... Vergeleken met dit probleem is de originele (Speciale) Relativiteitstheorie kinderspel. Albert Einstein Zonsverduistering 1919 (West Afrika): lichte afbuiging van sterrenlicht langs de zon. Bevestiging van Einstein s Algemene Relativiteitstheorie. Paradigmawisseling: de ruimte-tijd is gekromd (gravitatie)! GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
102 Ruimte en tijd in de moderne fysica Riemann, Einstein en de relativiteitstheorie Gauß/Riemann: afstand en kromming zijn intrinsiek voor het oppervlak (ook voor bolbewoners merkbaar) Einstein: lichtstralen zijn geodeten ( kortste paden ) in een gekromde ruimte-tijd (Algemene relativiteitstheorie, 1915) Ik werk nu alleen nog maar aan het gravitatieprobleem... Eén ding is zeker, dat ik mijzelf nooit eerder in mijn leven zo gekweld heb... Vergeleken met dit probleem is de originele (Speciale) Relativiteitstheorie kinderspel. Albert Einstein Zonsverduistering 1919 (West Afrika): lichte afbuiging van sterrenlicht langs de zon. Bevestiging van Einstein s Algemene Relativiteitstheorie. Paradigmawisseling: de ruimte-tijd is gekromd (gravitatie)! GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
103 Ruimte en tijd in de moderne fysica Kromming Ruimtetijd GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
104 Ruimte en tijd in de moderne fysica Kromming Ruimtetijd GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
105 Ruimte en tijd in de moderne fysica Kromming Ruimtetijd GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
106 Ruimte en tijd in de moderne fysica Kromming Ruimtetijd GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
107 Ruimte en tijd in de moderne fysica Kromming Ruimtetijd GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
108 Ruimte en tijd in de moderne fysica Kromming Ruimtetijd GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
109 Ruimte en tijd in de moderne fysica Kromming Ruimtetijd Mass grips space by telling it how to curve, space grips mass by telling it how to move John Wheeler, 1998 GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
110 Ruimte en tijd in de moderne fysica Hoe ziet de ruimte(tijd) eruit? Euclidische periodiciteit (kromming nul)? GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
111 Ruimte en tijd in de moderne fysica Hoe ziet de ruimte(tijd) eruit? Hyperbolische periodiciteit (negatieve kromming)? GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
112 Ruimte en tijd in de moderne fysica Kromming van het universum? ϱ: gemiddelde dichtheid van het universum H: constante van Hubble (expansie-fractie van het universum; 7% per miljard jaar) G: gravitatieconstante (Newton) ϱ > 3H2 : Elliptisch universum 8πG ϱ = 3H2 : Plat universum 8πG ϱ < 3H2 : Hyperbolisch universum 8πG Echter: gewone materie draagt slechts 30% bij aan ϱ. Zoektocht naar donkere materie en donkere energie duurt voort! GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
113 Ruimte en tijd in de moderne fysica Samenvatting: paradigmawisselingen in ruimtebegrip Euclides: (oneindige) platte ruimte Newton: klassieke mechanica in Euclidische ruimte Lobatchevski/Bolyai: niet-euclidische meetkunde mogelijk Gauß/Riemann: gekromde ruimten Einstein: gekromde ruimte-tijd (Relativiteitstheorie) GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/ / 62
Ruimte en tijd: overzicht
Overzicht Contents 1 Inleiding 1 2 De klassieke ruimte 2 3 Klassieke mechanica 5 4 Hyperbolische meetkunde 7 5 Gekromde ruimten 11 6 De vierde dimensie 13 7 Ruimte en tijd in de moderne fysica 16 1 Inleiding
Een Nieuwe Wereld uit het Niets
Een Nieuwe Wereld uit het Niets Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G.Vegter@math.rug.nl www.math.rug.nl/~gert Masterclass, 16 april 2009 GV () Werelden uit het niets Masterclass,
Een nieuwe wereld uit het niets
Een nieuwe wereld uit het niets Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G.Vegter@math.rug.nl HOVO, 17 april 2007 1 Overzicht ontents 1 Inleiding 1 2 Het parallellenpostulaat en de Elementen
Meetkunde en Fysica. Henk Broer. Instituut voor Wiskunde en Informatica Rijksuniversiteit Groningen. Meetkunde en Fysica p.1/22
Meetkunde en Fysica Henk Broer Instituut voor Wiskunde en Informatica Rijksuniversiteit Groningen Meetkunde en Fysica p.1/22 Overzicht Meetkundige aspecten van natuurkunde: - Newton en schalingswetten
Geschiedenis van de niet-euclidische meetkunde als keuzeonderwerp voor vwo-leerlingen. Geschiedenis van de niet-euclidische meetkunde
Geschiedenis van de niet-euclidische meetkunde als keuzeonderwerp voor vwo-leerlingen Geschiedenis van de niet-euclidische meetkunde Aan de hand van inhoud zebra-boekje Ideeën voor onderzoeksopdrachten
Einstein, Euclides van de Fysica Door Prof. Henri Verschelde
Einstein, Euclides van de Fysica Door Prof. Henri Verschelde Albert Einstein en Euclides Geboren te Ulm op 14 maart 1879 Als kind geinteresseerd in Wiskunde en wetenschappen:magneten,electromotoren, wiskundige
relativiteitstheorie
Algemene relativiteitstheorie HOVO cursus Jo van den Brand Les 3: 19 november 2015 Copyright (C) Vrije Universiteit 2015 Inhoud Speciale relativiteitstheorie Inertiaalsystemen Bewegende waarnemers Relativiteitsprincipe
Niet-euclidische meetkunde
Keuzeonderdeel Wiskunde D Hans van Ballegooij Maaslandcollege, Oss Dictaat Versie: 20 februari 2013 Hans van Ballegooij Maaslandcollege Oss Inhoudsopgave 1 De elementen van Euclides 1 2 Niet-euclidische
Escher in Het Paleis. Wiskundepakket. Oneindigheid
Escher in Het Paleis Wiskundepakket Oneindigheid Oneindigheid Wiskundigen hebben weinig moeite met het begrip oneindigheid. Er zijn bijvoorbeeld oneindig veel getallen, een lijn is oneindig lang en oneindig
Algemene relativiteitstheorie
Algemene relativiteitstheorie en hoe u die zelf had kunnen bedenken. HOVO Utrecht les 3 en 4: Covariant differentiëren en kromming Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist g 00 Programma
Algemene relativiteitstheorie
Algemene relativiteitstheorie en hoe u die zelf had kunnen bedenken. HOVO Utrecht les 3 en 4: Covariant differentiëren en kromming Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Programma 1 1.
Gravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW cursus Jo van den Brand & Mark Beker Metrische tensor: 6 oktober 009 Einsteins sommatieconventie Vector en 1-vorm geven een scalar Sommatie inde is een dummy inde, want uiteindelijk
Een hecatonicosachoron op het Kottenpark
Een hecatonicosachoron op het Kottenpark Afgeknotte Hecatonicosachoron Deze schaduw van deze 4-dimensionale polytoop bestaat uit 120 afgeknotte dodecaëders en 600 tetraëders Gebouwd op 30 januari 2010
De Cantitruncated 600 cel
De Cantitruncated 600 cel Afgeknotte icosahedrische prismatohexacosihecatonicosachoron Paul van de Veen info@vandeveen.nl januari 2013 I. De 5 Platonische lichamen In één dimensie bestaan alleen maar lijnen.
Een Rombicosidodecahedrische diprismatohexacosihecatonicosachoron op het Kottenpark
Een Rombicosidodecahedrische diprismatohexacosihecatonicosachoron op het Kottenpark Deze Rombicosidodecahedrische diprismatohexacosihecatonicosachoron werd op 5 februari 2011 gebouwd door: Ninouk Akkerman,
Afgeknotte dodecahedrische diprismatohexacosihecatonicosachoron
Afgeknotte dodecahedrische diprismatohexacosihecatonicosachoron Deze Afgeknotte dodecahedrische diprismatohexacosihecatonicosachoron werd op 3 en 4 februari 2012 gebouwd door: Jeffrey Hubert, Gijs Beernink,
Algemene relativiteitstheorie
Algemene relativiteitstheorie HOVO cursus Jo van den Brand Les 1: 5 november 015 Copyright (C) Vrije Universiteit 015 Overzicht Docent informatie Jo van den Brand, Gideon Koekoek Email: jo@nikhef.nl, gkoekoek@gmail.com
Algemene relativiteitstheorie
Algemene relativiteitstheorie en hoe u die zelf had kunnen bedenken. HOVO Utrecht les 1 en 2: Klassieke gravitatie, geodeten Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Programma 1 1. Kepler
Algemene relativiteitstheorie
Algemene relativiteitstheorie en hoe u die zelf had kunnen bedenken. HOVO Utrecht les 1 en 2: Klassieke gravitatie, geodeten Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Programma 1 1. Kepler
Algemene relativiteitstheorie
Algemene relativiteitstheorie HOVO cursus Jo van den Brand Les 1: 5 november 015 Copyright (C) Vrije Universiteit 015 Overzicht Docent informatie Jo van den Brand, Gideon Koekoek Email: jo@nikhef.nl, gkoekoek@gmail.com
Gravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW Cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Speciale relativiteitstheorie: september 015 Copyright (C) Vrije Universiteit 009 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica
Gravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW Cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Speciale relativiteitstheorie: 30 september 013 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica Galileo, Newton Lagrange formalisme
Analyse met infinitesimalen
Analyse met infinitesimalen Hans Vernaeve Universiteit Gent (Hans Vernaeve) 1 / 15 Infinitesimalen in de 17de en 18de eeuw Infinitesimalen = oneindig kleine getallen. Fysisch hulpmiddel om eigenschappen
27 Macro s voor de schijf van Poincaré
27 Macro s voor de schijf van Poincaré 27.1 Inleiding In het secundair onderwijs zijn leerlingen vertrouwd met de Euclidische meetkunde. In het Euclidisch vlak geldt het beroemde 5 de parallellen postulaat:
Kepler s Derde Wet en de Stabiliteit van het Zonnestelsel
Kepler III p.1 Kepler s Derde Wet en de Stabiliteit van het Zonnestelsel Henk Broer Instituut voor Wiskunde en Informatica Rijksuniversiteit Groningen De Principia Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica
Relativiteit. Relativistische Mechanica 1
Relativiteit University Physics Hoofdstuk 37 Relativistische Mechanica 1 Relativiteit beweging voorwerp in 2 verschillende inertiaal stelsels l relateren Galileo Galileïsche transformatie 2 Transformatie
Waarom bij de Grieken?
Waarom bij de Grieken? Geografische, staatkundige omstandigheden Handel, contact met volkeren Rijkdom en slavernij, tijd om na te denken 1 Drie perioden 600 voj 400 Oud-Griekse periode (600 323 voj): (Thales,
Platonische lichamen en andere reguliere polytopen
Platonische lichamen en andere reguliere polytopen Bernd Souvignier Voorjaar 005 Inhoud De platonische lichamen. Reguliere veelhoeken.......................... Reguliere veelvlakken.........................
Wiskunde door de Eeuwen Heen
Wiskunde door de Eeuwen Heen Henk Broer Instituut voor Wiskunde en Informatica Rijksuniversiteit Groningen Wiskunde door de Eeuwen Heen p.1 Overzicht Wiskunde door de Eeuwen Heen - Wiskunde in de Oudheid
Een ander zijvlak is het regelmatige vijfhoek met aantal zijden P=5. Hierbij moeten Q=3 zijvlakken samenkomen in een hoekpunt van het veelvlak.
Praktische-opdracht door een scholier 1498 woorden 6 juni 2003 6,5 134 keer beoordeeld Vak Wiskunde Deelvraag 1: Wat is de definitie van een Platonische Lichaam / Platonisch Veelvlak? De definitie: Een
Speciale relativiteitstheorie
Speciale relativiteitstheorie en hoe u die zelf had kunnen bedenken. HOVO Utrecht Les 3 en 4: Lorentz Transformatie en Mechanica Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Programma 1 1.
Speciale relativiteitstheorie
Speciale relativiteitstheorie De drie vragen van Einstein Wat is licht? Wat is massa? Wat is tijd? In 1905, Einstein was toen 26 jaar! Klassiek: wat is licht? Licht is een golf, die naar alle kanten door
Prof.dr. A. Achterberg, IMAPP
Prof.dr. A. Achterberg, IMAPP www.astro.ru.nl/~achterb/ Waarnemingen die de basis vormen van het Oerknalmodel - Vluchtsnelheid verre sterrenstelsels - Kosmische Achtergrondstraling - Voorwereldlijke Nucleosynthese
Wat is wiskunde? college door Jan Hogendijk, 12 september 2016
Wat is wiskunde? college door Jan Hogendijk, 12 september 2016 Wiskunde is een wetenschap waarin precies geredeneerd wordt over getallen, figuren in de ruimte, of formele structuren in het algemeen. In
Het Quantum Universum. Cygnus Gymnasium
Het Quantum Universum Cygnus Gymnasium 2014-2015 Wat gaan we doen? Fundamentele natuurkunde op de allerkleinste en de allergrootste schaal. Groepsproject als eindopdracht: 1) Bedenk een fundamentele wetenschappelijk
Escher en de wiskunde van betegelingen
Escher en de wiskunde van betegelingen Gert Heckman IMAPP, Radboud Universiteit, Nijmegen G.Heckman@math.ru.nl 12 november 2012 1 Euclidische meetkunde De Euclidische meetkunde bestudeert configuraties
Niet-euclidische meetkunde. Les 3 Meetkunde op de bol
Niet-euclidische meetkunde Les 3 Meetkunde op de bol (Deze les sluit aan bij de paragrafen 2.1 en 2.2 van de tekst Niet-Euclidische meetkunde van de Wageningse Methode) Kun je het vijfde postulaat afleiden
Kepler s Derde Wet en de Stabiliteit van het Zonnestelsel
Kepler III p.1 Kepler s Derde Wet en de Stabiliteit van het Zonnestelsel Henk Broer Instituut voor Wiskunde en Informatica Rijksuniversiteit Groningen De Principia Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica
Relativiteitstheorie met de computer
Relativiteitstheorie met de computer Jan Mooij Mendelcollege Haarlem Met een serie eenvoudige grafiekjes wordt de (speciale) relativiteitstheorie verduidelijkt. In vijf stappen naar de tweelingparadox!
Wiskunde voor relativiteitstheorie
Wiskunde voor relativiteitstheorie HOVO Utrecht Les 1: Goniometrie en vectoren Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Overzicht colleges 1. College 1 1. Goniometrie 2. Vectoren 2. College
Dimensies. een ruimtelijke tocht langs onbekende assen. Anne Lotte van der Kooi Jesse Krijthe Roderik Vogels Onder begeleiding van Aad Goddijn
Dimensies een ruimtelijke tocht langs onbekende assen Anne Lotte van der Kooi Jesse Krijthe Roderik Vogels Onder begeleiding van Aad Goddijn Junior College Utrecht, Januari 7 Inhoud. Abstract.... Inleiding...5.
Tweede Bijeenkomst: Zoektocht naar het Verborgen Hemelbeeld. Rond de Waterput donderdag 31 oktober 2013 Allan R. de Monchy
Tweede Bijeenkomst: Zoektocht naar het Verborgen Hemelbeeld Rond de Waterput donderdag 31 oktober 2013 Allan R. de Monchy Twee bijeenkomsten: Donderdag 17 oktober 2013: Historische ontwikkelingen van Astrologie.
Gravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Sferische oplossingen: 10 November 2015 Copyright (C) Vrije Universiteit 2009 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica
Een les wiskunde: hoe Kepler naar de wereld keek (voorbeeldles voortgezet onderwijs)
Een les wiskunde: hoe Kepler naar de wereld keek (voorbeeldles voortgezet onderwijs) Ab van der Roest Dit materiaal is onderdeel van het compendium christelijk leraarschap dat samengesteld is door het
Speciale relativiteitstheorie
Speciale relativiteitstheorie en hoe u die zelf had kunnen bedenken. HOVO Utrecht Les 1 en 2: Elektromagnetisme en licht Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Overzicht Les 1 en 2: Elektromagnetisme
Gravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW cursus Jo van den Brand & Mark Beker Einsteinvergelijkingen: 7 oktober 009 Traagheid van gasdruk SRT: hoe hoger de gasdruk, des te moeilijker is het om het gas te versnellen
Inleiding in de Filosofie & de Ethiek
Inleiding in de Filosofie & de Ethiek 1e Bijeenkomst 5 september 2006 Prof. Dr. Hub Zwart Afdeling Filosofie & Wetenschapstudies h.zwart@science.ru.nl http://www.filosofie.science.ru.nl Wat is filosofie?
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde
1 Vlaamse Wiskunde Olmpiade 2006-2007: eerste ronde 1 Hoeveel punten kunnen een rechthoek en een cirkel maimaal gemeen hebben? (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8 (E) 10 2 Van de volgende drie uitspraken R : 2 = R
Gravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW Cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Speciale relativiteitstheorie: 29 September 2015 Copyright (C) Vrije Universiteit 2009 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica
12 Bewijzen in de vlakke meetkunde
ewijzen in de vlakke meetkunde bladzijde 54 a ' b Gegeven: e gelijkzijdige driehoek met zijn omgeschreven cirkel. unt ligt op de kortste boog en ligt op het verlengde van zo, dat =. riehoek is gelijkzijdig.
experimenteren met Zwarte Gaten Eigenschappen van Zwarte Gaten tot nu HOVO2016, Utrecht 15 Juli 2016 Speciale RelativiteitsTheorie
experimenteren met Zwarte Gaten II Zwarte Gaten en de Algemene RelativiteitsTheorie Eigenschappen van Zwarte Gaten tot nu massa-concentratie, gekenmerkt vanaf afstand door een horizon waar ontsnappingsnelheid
Passer en liniaalconstructies WIM CORNELISSEN DAG VAN GEOGEBRA VLAANDEREN SINT-BARBARACOLLEGE GENT - 28 MEI 2011
Passer en liniaalconstructies WIM CORNELISSEN (WIM@CORNELISSEN.BE) DAG VAN GEOGEBRA VLAANDEREN SINT-BARBARACOLLEGE GENT - 28 MEI 2011 1. Inleiding De presentatie draait rond de website www.cornelissen.be/passerliniaal.
Een series colleges over de Speciale Relativiteit theorie van Einstein, uitgebreid met onderwerpen uit de Klassieke Mechanica Prof.dr. S.
Speciale relativiteit Een series colleges over de Speciale Relativiteit theorie van Einstein, uitgebreid met onderwerpen uit de Klassieke Mechanica Prof.dr. S. Bentvelsen 1 Even voorstellen S. Bentvelsen
Gravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW Cursus Jo van den Brand & Jeroen Meidam Speciale relativiteitstheorie: 1 en 8 oktober 2012 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica Galileo, Newton Lagrange formalisme
Wiskunde voor relativiteitstheorie
Wiskunde voor relativiteitstheorie Utrecht Les : Goniometrie en vectoren Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist verzicht colleges. College. Goniometrie 2. Vectoren 2. College 2. Matrixen
Honderd jaar algemene relativiteitstheorie
Honderd jaar algemene relativiteitstheorie Chris Van Den Broeck Nikhef open dag, 04/10/2015 Proloog: speciale relativiteitstheorie 1887: Een experiment van Michelson en Morley toont aan dat snelheid van
Kepler s Derde Wet en de Stabiliteit van het Zonnestelsel
Kepler s Derde Wet en de Stabiliteit van het Zonnestelsel Henk Broer Johann Bernoulli Instituut voor Wiskunde en Informatica Rijksuniversiteit Groningen Summary i. Stability of solar system ii. Chaos versus
Tijd & causaliteit Relativiteitstheorie Pijl van de tijd Samenvatting. Tijd in de fysica. Paul Koerber
Tijd in de fysica Paul Koerber Postdoctoraal Onderzoeker FWO Instituut voor Theoretische Fysica, K.U.Leuven Kunsthumaniora Brussel, 2 maart 2011 1 / 16 Wat is tijd? Een coördinaat om de positie van een
Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen
Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden
Speciale relativiteitstheorie: de basisconcepten in een notedop
Speciale relativiteitstheorie: de basisconcepten in een notedop Speciale relativiteitstheorie:... 1 de basisconcepten in een notedop... 1 1. Klassieke Relativiteit... 1 1.1 Twee waarnemers zien een verschillende
De Codes van da Vinci, Bach, pi, en Co
1 De Codes van da Vinci, Bach, pi, en Co wiskunde Personalia: naam 3. 141 Stelling D. G. A. Huylebrouck Bewijs 3 voornamen, voor de punt cijfer 3 en "." a1, b, c3, Huylebrouck 141. D. G. A. Huylebrouck
Speciale relativiteitstheorie
Speciale relativiteitstheorie en hoe u die zelf had kunnen bedenken. Utrecht Les 1 en 2: Elektromagnetisme en licht Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Overzicht Les 1 en 2: Elektromagnetisme
Een vergelijking tussen boldriehoeksmeetkunde en hyperbolische driehoeksmeetkunde
Een vergelijking tussen boldriehoeksmeetkunde en hyperbolische driehoeksmeetkunde A. Vervuurt, P.F. de Haan, W.J. van Krieken Begeleider: Prof. dr. J.P. Hogendijk juni 010 Samenvatting We trekken een vergelijking
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde.
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Tweede Ronde e tweede ronde bestaat eveneens uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt (opnieuw) als volgt : een deelnemer start met 0 punten Per goed antwoord
2 Wiskunde. 2.1 Bolmeetkunde
1 Inleiding Een centraal probleem in de moderne theoretische natuurkunde is het verenigen van quantumtheorie en zwaartekracht. Een mogelijke aanpak is holografie, bedacht door onze Nobelprijswinnaar Gerard
Stelling van Pythagoras
1 of 6 Stelling van Pythagoras Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie De stelling van Pythagoras is een wiskundige stelling die zijn naam dankt aan de Griekse wiskundige Pythagoras. 'Zijn' stelling was overigens
Gravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW Cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Speciale relativiteitstheorie: 8 oktober 013 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica Galileo, Newton Lagrange formalisme
Gravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen ART: 3 November 2015 Copyright (C) Vrije Universiteit 2009 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica Galileo, Newton Lagrange
Gravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW Cursus Jo van den Brand & Joris van Heijningen Speciale relativiteitstheorie: 7 oktober 2013 Inhoud Inleiding Overzicht Klassieke mechanica Galileo, Newton Lagrange formalisme
Presentatie Wiskunde Escher
Presentatie Wiskunde Escher Presentatie door M. 2448 woorden 14 januari 2017 4,8 9 keer beoordeeld Vak Wiskunde Maurits Cornelis Escher Goeiemorgen! Iedereen heeft het waarschijnlijk wel eens meegemaakt:
Elementaire Deeltjesfysica
Elementaire Deeltjesfysica FEW Cursus Jo van den Brand 10 November, 2009 Structuur der Materie Inhoud Inleiding Deeltjes Interacties Relativistische kinematica Lorentz transformaties Viervectoren Energie
Einstein (2) op aardoppervlak. versnelling van 10m/s 2. waar het foton zich bevindt a) t = 0 b) t = 1 s c) t = 2 s op t=0,t=1s en t=2s A B C A B
Einstein (2) In het vorig artikeltje zijn helaas de tekeningen, behorende bij bijlage 4,"weggevallen".Omdat het de illustratie betrof van de "eenvoudige" bewijsvoering van de kromming der lichtstralen
15-12-2015 ONS VERANDERENDE WERELDBEELD
15-12-2015 ONS VERANDERENDE WERELDBEELD 1 15-12-2015 ONS VERANDERENDE WERELDBEELD 2 MENSEN WILLEN STRUCTUREN ZIEN 15-12-2015 ONS VERANDERENDE WERELDBEELD 3 DE MENS BEGON TE BESCHRIJVEN WAT HIJ AAN DE HEMEL
Vlakke meetkunde. Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting.
Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande hoeken,
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 199 1994 : Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten
Afstanden in de sterrenkunde
Afstanden in de sterrenkunde Inleiding. In de sterrenkunde bestaat een fundamenteel probleem; we kunnen misschien wel heel precies waarnemen waar een object aan de hemel staat, maar hoe kunnen we achterhalen
Escher in Het Paleis. Wiskundepakket. Ruimtelijke figuren
Escher in Het Paleis Wiskundepakket Ruimtelijke figuren Ruimtelijke figuren Escher maakt in EEN AANTAL prenten gebruik van wiskundig interessante ruimtelijke vormen, zoals Platonische lichamen en Möbiusbanden.
Bewijzen en toegiften
Bewijzen en toegiften 1 Het bewijs van Mermin voor het optellen van snelheden W op een perron ziet W in een treinwagon passeren met snelheid v. W schiet een kogel af met snelheid u en stuurt tegelijkertijd
Docentencursus relativiteitstheorie
Docentencursus relativiteitstheorie Uitwerkingen opgaven bijeenkomst 1, "Waarom relativiteit?" 18 september 2013 De opgaven die met een "L" zijn aangegeven, zijn op leerlingenniveau dit zijn dus opgaven
de Leuke En Uitdagende Wiskunde VEELVLAKKEN SAMENSTELLING: H. de Leuw
SAMENSTELLING: H. de Leuw 1. VEELHOEKEN. Een veelvlak is een lichaam dat wordt begrensd door vlakke veelhoeken. Zo zijn balken en piramides wel veelvlakken, maar cilinders en bollen niet. Een veelhoek
Henk meet: A. Coördinaattijd in het stelsel van de trein. B. Coördinaattijd in het stelsel van het perron. C. Eigentijd. D.
Henk en Ingrid zitten in een trein die met constante snelheid een station passeert. Aan de uiteinden van het perron staan twee gesynchroniseerde stationsklokken. Bij passage van de klokken leest Henk de
Een Overzicht. KA Koekelberg - VUB wiskak@yahoo.com. Geschiedenis van de Wiskunde: Een Overzicht. Dr Didier Deses. Inleiding.
Geschiedenis KA Koekelberg - VUB wiskak@yahoo.com Oorspronkelijke bedoeling: 5de GL/HUW Vandaag: geschiedenis Niet objectief : eigen nadrukken geschiedenis mythologie Wiskunde in het ASO: Toepassingen
Higgs-deeltje. Peter Renaud Heideheeren. Inhoud
Higgs-deeltje Peter Renaud Heideheeren Inhoud 1. Onze fysische werkelijkheid 2. Newton Einstein - Bohr 3. Kwantumveldentheorie 4. Higgs-deeltjes en Higgs-veld 3 oktober 2012 Heideheeren 2 1 Plato De dingen
Speciale relativiteitstheorie
Speciale relativiteitstheorie en hoe u die zelf had kunnen bedenken. HOVO Utrecht Les 5 en 6: Tensor Formulering Elektromagnetisme Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Programma 1 1.
Extra oefenmateriaal H10 Kegelsneden
Deel 1 Extra oefenmateriaal H10 Kegelsneden 1. Bereken de inhoud van de volgende twee afgeknotte figuren. 2. Hiernaast zie je een afgeknot zeszijdig prisma. Het grondvlak is een regelmatige zeshoek met
Geschiedenis van de wetenschap
Geschiedenis van de wetenschap Hans Vanlanduyt Geschiedenis van de wetenschap Academia Press P. Van Duyseplein 8 9000 Gent Tel. 09 233 80 88 Info@academiapress.be www.academiapress.be Uitgeverij Academia
Regelmatige en halfregelmatige veelvlakken
Regelmatige en halfregelmatige veelvlakken Wiskunde & Cultuur 2-3 W.v.Ravenstein 2010-2011 aangepast Vandaag Platonische lichamen Regelmatig, halfregelmatig en andere naamgeving Waarom zijn er maar 5 Platonische
Deeltjes en velden. HOVO Cursus. Jo van den Brand 3 oktober
Deeltjes en velden HOVO Cursus Jo van den Brand 3 oktober 013 jo@nikhef.nl Docent informatie Overzicht Jo van den Brand & Gideon Koekoek Email: jo@nikhef.nl en gkoekoek@gmail.com 060 539 484 / 00 59 000
Emmy Noether, de miskende wetenschapper
Inleiding en relevantie Emmy Noether (1882 1935) was een briljant wiskundige, zij creëerde een van de pijlers van de fysica: de definitie van referentiekaders waarbinnen energie- en impuls-behoud kan worden
8 Relativistische sterren
8 RELATIVISTISCHE STERREN 156 8 Relativistische sterren 8.1 Schwarzschild metriek Om de kracht van ART te waarderen, gaan we in dit hoofdstuk kijken naar de meest eenvoudige metriek naast de Minkowski
Meetkundige constructies Leerlingmateriaal
Meetkundige constructies Leerlingmateriaal Nynke Koopmans Roeland Hiele Historical Aspects of Classroom Mathematics Universiteit Utrecht, juni 2013 Inleiding Inleiding Een meetkundige constructie is een
Gravitatie en kosmologie
Gravitatie en kosmologie FEW cursus Jo van den Brand & Jeroen Meidam Les 1: 3 september 2012 Overzicht Docent informatie Jo van den Brand, Jeroen Meidam Email: jo@nikhef.nl, j.meidam@nikhef.nl 0620 539
Inleiding Astrofysica Tentamen 2009/2010: antwoorden
Inleiding Astrofysica Tentamen 2009/200: antwoorden December 2, 2009. Begrippen, vergelijkingen, astronomische getallen a. Zie Kutner 0.3 b. Zie Kutner 23.5 c. Zie Kutner 4.2.6 d. Zie Kutner 6.5 e. Zie
Ruimtemeetkunde deel II. Cursus voor Latijn-Wiskunde, Wetenschappen-Wiskunde en Economie-Wiskunde
Ruimtemeetkunde deel II Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor Latijn-Wiskunde, Wetenschappen-Wiskunde en Economie-Wiskunde 2 Hoofdstuk 1 De reële euclidische ruimte 1.1 De euclidische
Paragraaf 4.1 : Gelijkvormigheid
Hoofdstuk 4 Meetkunde (V4 Wis B) Pagina 1 van 8 Paragraaf 4.1 : Gelijkvormigheid Les 1 : Gelijkvormigheid Definities sin( A) = Overstaande Schuine cos( A) = Aanliggende Schuine = O S = A S tan( A) = Overstaande
1 Junior Wiskunde Olympiade : tweede ronde
1 Junior Wiskunde Olympiade 005-006: tweede ronde Volgende benaderingen kunnen nuttig zijn bij het oplossen van sommige vragen 1,1 1,71 5,61 π,116 1 ls a a 17 a m = a 006, met a R + \{0, 1}, dan is m gelijk
Hoofdstuk 8 Hemelmechanica. Gemaakt als toevoeging op methode Natuurkunde Overal
Hoofdstuk 8 Hemelmechanica Gemaakt als toevoeging op methode Natuurkunde Overal 8.1 Gravitatie Geocentrisch wereldbeeld - Aarde middelpunt van heelal - Sterren bewegen om de aarde Heliocentrisch wereldbeeld
Veelvlak. Begrippenlijst
Veelvlakken Tijdens dit project Veelvlakken ga je vooral veel zelf onderzoeken. Je zult veel aan het bouwen zijn met Polydron materiaal. Waarschijnlijk zul je naar aanleiding van je bevindingen zelf vragen
Relativiteitstheorie van Einstein: Differentiaal Meetkunde
Relativiteitstheorie van Einstein: Differentiaal Meetkunde Relativiteitstheorie van Einstein: Differentiaal Meetkunde... 1 1. Inleiding.... Meetkunde en gekromde oppervlakken....1 Gekromde oppervlakken