Collegeweek 2: De Gulden Snede. Wiskunde door de eeuwen heen, De Gulden Snede

Transcriptie

1 Collegeweek 2: 1

2 Inhoud I. De regelmatige veelvlakken II. Het regelmatig twaalfvlak bij de Grieken III. Van Paciola tot Escher IV. De regelmatige vijfhoek V. Een bijzonder verhoudingsgetal VI. Penrose-betegelingen VII. Constructies van regelmatige veelhoeken VIII. Carl Friedrich Gauss IX. De rij van Fibonacci X. Leonardo van Pisa (Fibonacci) XI. Bifurcaties op een ananas XII. Enige literatuur 2

3 I. De regelmatige veelvlakken De vijf regelmatige veelvlakken worden naar Plato de platonische lichamen genoemd. Het regelmatig twaalfvlak (dodecaëder) is bijzonder vanwege de regelmatige vijfhoeken als zijvlakken. De dodecaëder is duaal met de icosaëder (rolverwisseling hoekpunten en zijvlakken), zoals ook kubus en octaëder duaal zijn, en zoals de tetraëder zelf-duaal is. 3

4 II. Het regelmatig twaalfvlak bij de Grieken (1) Door de eeuwen heen heeft het regelmatig twaalfvlak (dodecaëder) een bijzondere rol gespeeld. Reeds bij de Grieken vertegenwoordigde de dodecaëder het heelal. Hierbinnen bevinden zich de vier elementen, die zijn verbeeld op de volgende dia: Tetraëder = vuur Kubus (hexaëder) = aarde Octaëder = lucht Icosaëder = water Zie de hiernavolgende tekeningen. N.B. Ook bij de Romeinen speelde de dodecaëder een bijzondere rol, gezien de terpvondst. Er zijn in Europa tientallen vergelijkbare Romeinse dodecaëders aangetroffen. Niet waarschijnlijk lijkt dat het hier om gebruiksvoorwerpen gaat. 4

5 II. Het regelmatig twaalfvlak bij de Grieken (2) Deze tekeningen zijn van Johannes Kepler ( ) 5

6 III. Van Paciola tot Escher (1) Fra Luca Paciola (ca ): De divina proportione, over de goddelijke verhouding. Dit boek over de gulden snede werd van illustraties voorzien door Leonardo da Vinci. In het boek geeft Paciola een overzicht van het voorkomen van de gulden snede, steeds in verband met de regelmatige vijfhoek, het regelmatig twaalfvlak of het regelmatig twintigvlak. De belangrijkste eigenschap is: - de diagonaal en de zijde van een regelmatige vijfhoek verhouden zich als de gulden snede 6

7 III. Van Paciola tot Escher (2) Een andere eigenschap: Neem drie rechthoeken waarvan de lengte en de breedte zich verhouden als de gulden snede, plaats deze met hun middelpunten in hetzelfde punt, zodanig dat de lengte-assen van die rechthoeken twee aan twee loodrecht op elkaar staan. Dan zijn hun hoekpunten de hoekpunten van een icosaëder. 7

8 III. Van Paciola tot Escher (3) Leonardo da Vinci ( ) tekende op aanwijzing van Vitruvius een man op basis van de gulden snede. Hij schilderde ook de Mona Lisa. Let hieronder op de (later) getekende gouden rechthoeken. 8

9 III. Van Paciola tot Escher (4) Johannes Kepler ( ) meende dat de Schepper gebruik had gemaakt van de gulden snede. Later kwam hij hier op terug. Hij stelde de banen van de planeten voor op concentrische bollen, die worden gescheiden door de platonische lichamen, van binnenuit octaëder, icosaëder, dodecaëder, tetraëder en kubus. 9

10 III. Van Paciola tot Escher (5) Le Corbusier ( ) ontwierp met de zgn. Modulor, die hij had gebaseerd op de gulden snede. Hierboven zijn Stad voor 3 miljoen. 10

11 III. Van Paciola tot Escher (6) M.C. Escher ( ), Reptielen. De dodeaëder is het hoogste dat kan worden bereikt. 11

12 IV. De regelmatige vijfhoek (1) Een beschouwing van de hoeken leert: - de hoeken van de vijfhoek zijn 108º, - deze worden in elk hoekpunt door de diagonalen in drie gelijke hoeken van 36º verdeeld. Het bewijs hiervan maakt gebruik van verwisselende binnenhoeken en doet verder een beroep op de symmetrie in de figuur. In de figuur komt de gelijkbenige driehoek met een tophoek van 36º in drie formaten voor. Dit is de gouden driehoek. In elke gouden driehoek geldt dezelfde verhouding van lengte en breedte: 12

13 IV. De regelmatige vijfhoek (2) (2a+b) : (a+b) = (a+b) : a (1e) (a+b) : a = a : b (2e) Met andere woorden: a+b is middelevenredig tussen 2a+b en a, en a is middelevenredig tussen a+b en b N.B.1. Eén van deze beide evenredigheden zou al genoeg zijn. N.B.2. Het eerste stuk van de 1e evenredigheid geeft de verhouding van de diagonaal en de zijde van de vijfhoek. De 1e en de 2e evenredigheid zijn beide te herleiden tot: a 2 ab - b 2 = 0 (3e) Hieruit volgt dat a/b = ½ + ½ 5 ( 1,618.). De andere wortel van de 3e vergelijking is negatief en moet daarom vervallen. Het verhoudingsgetal ½ + ½ 5 is de gulden snede. 13

14 V. Een bijzonder verhoudingsgetal (1) De gulden snede is van betekenis vanwege haar voorkomen in de regelmatige vijfhoek. Gezegd wordt, dat een rechthoek waarvan lengte en breedte zich verhouden als de gulden snede, er mooi uitziet. Zie Le Corbusier. De welbekende bankpasjes, creditcards etc hebben alle deze mooie vorm. Ze hebben bovendien dezelfde absolute maten. Opdracht: neem twee van zulke pasjes of cards en leg ze tegen elkaar aan, de ene liggend en de andere staand, met de onderkanten op dezelfde regel. Verbind de beide hoekpunten die het verst van elkaar liggen met elkaar. Zie de volgende dia. Wat valt nu op? Leid vervolgens de vergelijking voor de gulden snede af: (l+b) : l = l : b, en dus l 2 lb b 2 = 0 14

15 V. Een bijzonder verhoudingsgetal (2) 15

16 V. Een bijzonder verhoudingsgetal (3) Je kunt gemakkelijk een rechthoek construeren waarvan de zijden zich verhouden als de gulden snede. N.B. De letter φ is een gebruikelijke aanduiding voor het getal ½ + ½ 5 Vanwege φ 2 φ - 1 = 0 geldt de relatie φ 1 = φ -1 16

17 V. Een bijzonder verhoudingsgetal (4) Uitgaande van een gouden rechthoek kun je er een vierkant afhalen. Dan houd je een (kleinere) gouden rechthoek over. Omgekeerd kun je aan de grootste zijde van een gouden rechthoek een vierkant plakken en zo weer een gouden rechthoek krijgen. Hiermee kan een golden spiral worden geconstrueerd. 17

18 VI. Penrose-betegelingen (1) Aperiodic Penrose tilings De wiskundige Roger Penrose (1931) ontwierp nietperiodieke vlakvullingen (m.a.w. die zich niet herhalen). Hierin is onder meer de gulden snede verwerkt. Zoek de tienhoeken! Literatuur: Marjorie Senechal, Quasicrystals and geometry (1995). 18

19 VI. Penrose-betegelingen (2) Een simpeler Penrose-betegeling Penrose kon uitgaan van eenvoudiger figuren met de gouden driehoek (blauw). De zijdelengtes van de blauwe driehoeken zijn 1, φ en φ [Opdracht: geef de hoeken en de lengtes van de zijden van de rode driehoeken.] Periodieke herhalingen zijn voorkomen door het plaatsen van rode en blauwe driehoeken doordacht af te wisselen. 19

20 VI. Penrose-betegelingen (3) Reeds Kepler tekende verschillende tegelpatronen, waaronder patroon Aa met vijfhoeken (het grootste patroon in de tekening). Dit patroon kon niet regelmatig worden uitgebreid (is onherhaalbaar). De Penrose-betegeling (2) is in essentie een uitbreiding van Aa. 20

21 VI. Penrose-betegelingen (4) In de islamitische kunst komen verspreid vijfhoeken en tienhoeken voor. Niet bekend is of aan de gulden snede een diepere betekenis werd gehecht. Het patroon uit Bagdad ( ) herhaalt zich wel. Het vertoont (enige) gelijkenis met een Penrose-betegeling. 21

22 VI. Penrose-betegelingen (5) De Penrose-betegelingen zijn verwant met de zgn. quasikristallen. Hierbij is er een afwisseling, vergelijkbaar met die bij Penrose. Op de foto is: - wit = Al - blauw = Co - rood = Cu. 22

23 VII. Constructies van regelmatige veelhoeken (1) Met behulp van de gulden snede kun je een regelmatige vijfhoek construeren louter met gebruikmaking van passer en liniaal. Hieronder gebeurt dit in een gegeven cirkel. Er zijn vele methoden om deze constructie uit te voeren. Hier wordt ervoor gekozen een hoek van 72º te construeren. Constructie: construeer een gouden rechthoek, en gebruik de zijden om een gelijkbenige driehoek met tophoek van 36º te construeren. De basishoeken zijn dan 72º. Breng zo n basishoek over naar het middelpunt van de cirkel. Klaar! Opdracht: zoek andere constructies op het internet. Euclides (circa 300 v. Chr.) gaf eveneens een constructie, maar niet de bovenstaande. Euclides vermeed zijdelengtes en hoekgroottes en al helemaal irrationale getallen als ½ + ½ 5. 23

24 VII. Constructies van regelmatige veelhoeken (2) De Grieken kenden dus reeds de constructie van de regelmatige vijfhoek. Daarmee is ook de constructie van de regelmatige tienhoek bekend, de regelmatige twintighoek, enz. Veel bekender, en behorend tot de schoolstof, is de constructie van de regelmatige driehoek en de regelmatige vierhoek. Daarmee ook die van de regelmatige zeshoek, achthoek, twaalfhoek, enz. Eeuwenlang, meer dan tweeduizend jaar, is gezocht naar een constructie van de regelmatige zevenhoek met passer en liniaal. De constructie van de regelmatige negenhoek vergt de trisectie van een hoek van 120º. De trisectie van de hoek is één van de drie grote zgn. Delische problemen. In de 19e eeuw werd met de theorie van Evariste Galois ( ) bewezen dat de trisectie van een hoek in het algemeen niet mogelijk is met passer en liniaal alleen in zeer speciale gevallen is dit mogelijk (hoek van 90 0 verdelen in drie hoeken van 30 0 is mogelijk). We concentreren ons hier op de constructie van een regelmatige n-hoek in geval n een priemgetal is. 24

25 VII. Constructies van regelmatige veelhoeken (3) Carl Friedrich Gauss ( ) loste het probleem van de constructie van een regelmatige p-hoek met p priem, volledig op, en wel in 1796, toen hij nog maar 19 jaar was. Namelijk: een regelmatige p-hoek met p priem, is precies dan construeerbaar met passer en liniaal, als p van de vorm 2 2k + 1 is, d.w.z. een Fermat-priemgetal. k = 0 -> p = 3 k = 1 -> p = 5 k = 2 -> p = 17 k = 3 -> p = 257 k = 4 -> p = Dit zijn allemaal priemgetallen, maar voor k = 5 ontstaat een samengesteld getal: = 641 x Deze ontbinding werd ontdekt door Leonhard Euler ( ); Pierre de Fermat ( ) meende nog dat alle getallen van bovengenoemde vorm priemgetallen waren. Gauss gaf ook daadwerkelijk de constructie van een regelmatige 17-hoek met passer en liniaal. Hij verzocht bovendien dat op zijn grafsteen een regelmatige 17-hoek zou worden gebeiteld. 25

26 VII. Constructies van regelmatige veelhoeken (4) Hoeken van regelmatige n-hoeken die zijn ingeschreven in een cirkel n =.. omtrekshoek middelpuntshoek 3 60º 120º 4 90º 90º 5 108º 72º 6 120º 60º 8 135º 45º º 36º º 30º º 24º Voor al deze hoeken geldt dat de sinus en de cosinus worden berekend uit tweedegraads vergelijkingen. Dit geldt ook als n = 17. Voor n = 7, n = 9, n = 11 e.d. is niet een tweedegraads vergelijking mogelijk. Opdracht: bereken de cosinus van 72º, d.w.z. druk deze uit in breuken en tweedegraads wortels. 26

27 VIII. Carl Friedrich Gauss Geniaal wiskundige, natuurkundige, sterrenkundige, Werkte vanaf 1805 te Göttingen. Legendarisch is zijn oplossing van =., toen hij nog op de lagere school zat. Ontwerper van: - niet-euclidische meetkunde - conforme afbeeldingen - kleinste kwadratenmethode - formule voor de Paasdatum Bewees: - kwadratische reciprociteit - fundamentaalstelling van de algebra Onderzocht: - normale verdeling (Gauss-kromme) - baankrommes van planetoïden 27

28 IX. De rij van Fibonacci (1) In de vijfhoek is er een opvolging van lijnsegmenten b, a, a+b, 2a+b, waarin telkens de volgende term φ maal groter is dan de vorige. Elke term is ook gelijk is aan de som van de beide vorige termen. De volgende term zou zijn 3a + 2b, en deze is ook weer φ maal de voorafgaande term (bewijs dit!). Hier sterk mee verwant is de rij van Fibonacci: f 1, f 2, f 3, f 4,.. =: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, De eerste en de tweede term zijn gelijk aan 1 en elke volgende term is gelijk aan de som van de voorafgaande twee termen. Door de recurrente betrekking f n+2 = f n+1 + f n, samen met de begintermen f 1 = 1 en f 2 = 1, is de rij volledig vastgelegd. Deze rij bezit vele fraaie eigenschappen, zo geldt bijvoorbeeld dat 1 x = 1, 1 x = -1, 2 x = 1, 3 x = -1,.., in formulevorm f n x f n+2 f n+12 = (-1) n+1 Het quotiënt van twee opeenvolgende termen nadert naar φ als n -> Deze eigenschappen moeten natuurlijk nog wel worden bewezen. 28

29 IX. De rij van Fibonacci (2) Voor de bepaling van een formule voor de rij van Fibonacci wordt de recurrente betrekking gebruikt als differentievergelijking: stel dat de termen voldoen aan f n = c.x n, dan volgt uit f n+2 = f n+1 + f n dat x 2 x 1 = 0 De oplossing hiervan is x = ½ ± ½ 5 Hieruit volgt dat x = φ of x = -(φ 1) = 1-φ en zodoende geldt f n = c.φ n + d.(1-φ) n Vul twee waarden voor n in om c en d te krijgen: c = 1/ 5 en d = -1/ 5 f n = 1/ 5. (φ n -(1-φ) n ) (*) De eerder genoemde rekenkundige eigenschappen kunnen worden bewezen met behulp van vergelijking (*). Deze eigenschappen kunnen eveneens met volledige inductie worden bewezen. Omdat (1-φ) n naar 0 gaat als n ->, geldt dat f n+1 /f n naar φ nadert als n -> 29

30 IX. De rij van Fibonacci (3) Beroemd zijn de konijnen. Realistisch? 30

31 IX. De rij van Fibonacci (4) Gedicht van Marjolein Kool, uit Wis- en natuurlyriek (2001), geschreven samen met Drs. P. 31

32 IX. De rij van Fibonacci (5) Eenzelfde groeipatroon wordt verondersteld voor sommige bloemen en planten. Realistisch! 32

33 IX. De rij van Fibonacci (6) De rij van Fibonacci als groeipatroon (phyllotaxis). De konijnen, zie het gedicht van Marjolein Kool. De bloemkronen, zie o.a. de zonnebloem. Bij de vorming van nieuwe vertakkingen geldt het groeiproces. Hier ziet men 55 spiralen linksom en 34 spiralen rechtsom. 33

34 IX. De rij van Fibonacci (7) Ter vergelijking een echte zonnebloem. 34

35 IX. De rij van Fibonacci (8) Hiernaast is een Fibonacci-rechthoek getekend. Opdracht: beschrijf het bouwschema. Je kunt hierbij een Fibonacci-spiraal tekenen. Vraag: geef twee verschillen met de golden spiral. Een verwante rij is de Lucas-rij: g 1, g 2, g 3, g 4, =: 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29,.. Ook hiervoor gelden vele bijzondere eigenschappen. Daarnaast gelden er eigenschappen in combinatie met de Fibonacci-rij, zoals f n x g n+1 f n+1 x g n = 2 x (-1) n+1 g n = f n-1 + f n+1 En ook voor de Lucas-rij geldt dat het quotiënt van twee opeenvolgende termen naar φ nadert als n -> Meer in The Fibonacci Quarterly en/of op het internet. 35

36 IX. De rij van Fibonacci (9) In de kansrekening komt zo nu en dan een getal uit de rij van Fibonacci voor. Zo is de kans dat er bij n keer tossen met een munt geen twee maal achtereen een kop zit, gelijk aan f n+2 /2 n Het aantal mogelijkheden om een rechthoek van 2 bij n te beleggen met wit-zwarte dominostenen is f n. Let in de figuur op mogelijkheden tot draaiing over

37 X. Leonardo van Pisa (Fibonacci) Leonardo van Pisa (1170? 1250?). De naam Fibonacci betekent zoon van Bonacci. Zijn vader was koopman en bezocht Arabische landen. In Algerije maakte Leonardo van Pisa kennis met Arabische geschriften. Hij ontsloot Arabische en Griekse wiskunde. Publicatie: Liber abaci (eerste versie 1202). Hij gebruikte de indisch-arabische cijfers, in plaats van de romeinse. Hij liet het getal 0 toe als oplossing van een vergelijking. Hij gebruikte zij het nog alleen in een toepassing (schulden) negatieve getallen. Hij werkte ook met irrationale getallen en gaf hiervoor benaderingen. De naar hem genoemde rij was al vóór hem bekend. 37

38 XI. Bifurcaties op een ananas (1) Heel bekend zijn de groeispiralen op een ananas. Er zijn meerdere spiralen op één ananas. 38

39 XI. Bifurcaties op een ananas (2) Alan Turing ( ) werd beroemd vanwege het kraken van de Enigma-code in de Tweede Wereldoorlog, en door zijn ontwerp van de Turing-machine. Hij beschouwde de phyllotaxis als een dynamisch proces. Dit onderzoek van Turing bleef geruime tijd onontdekt. Later werd door meerdere onderzoekers geprobeerd de phyllotaxis te beschrijven. In 1977 gaf Mitchison een bevredigende beschrijving, inclusief bifurcaties. groeischema van een ananas 39

40 XII. Enige literatuur Algemeen: - H.S.M. Coxeter, Introduction to geometry (1e druk uit 1961). Dit boek is een klassieker. Het geeft een overzicht van alle takken van de meetkunde. Op de gulden snede wordt vrij uitvoerig ingegaan. - Robin Hartshorne, Euclid and beyond (2000). Dit boek behandelt op nauwkeurige wijze de meetkunde van Euclides vanuit een hedendaags gezichtspunt. De bijdrage van Gauss wordt uitvoerig behandeld. Specifiek: - Wim Kleijne en Ton Konings, De gulden snede (1e druk uit 2000). Dit boekje maakt deel uit van de Zebra-reeks voor vwo-leerlingen. Het bevat meerdere vraagstukken. Het Hovo-college is misschien iets vollediger! En verder: - Diverse websites op het internet, met veelal prachtige plaatjes. Men zij echter beducht voor ongecontroleerde beweringen, bijvoorbeeld: de piramiden in Egypte zouden zijn gebouwd met de gulden snede als leidraad, Leonardo da Vinci zou een nazaat zijn van Leonardo van Pisa, en met de Romeinse dodecaëders zou men zaaidata kunnen bepalen. 40