Collegeweek 2: De Gulden Snede. Wiskunde door de eeuwen heen, De Gulden Snede

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Collegeweek 2: De Gulden Snede. Wiskunde door de eeuwen heen, De Gulden Snede"

Transcriptie

1 Collegeweek 2: 1

2 Inhoud I. De regelmatige veelvlakken II. Het regelmatig twaalfvlak bij de Grieken III. Van Paciola tot Escher IV. De regelmatige vijfhoek V. Een bijzonder verhoudingsgetal VI. Penrose-betegelingen VII. Constructies van regelmatige veelhoeken VIII. Carl Friedrich Gauss IX. De rij van Fibonacci X. Leonardo van Pisa (Fibonacci) XI. Bifurcaties op een ananas XII. Enige literatuur 2

3 I. De regelmatige veelvlakken De vijf regelmatige veelvlakken worden naar Plato de platonische lichamen genoemd. Het regelmatig twaalfvlak (dodecaëder) is bijzonder vanwege de regelmatige vijfhoeken als zijvlakken. De dodecaëder is duaal met de icosaëder (rolverwisseling hoekpunten en zijvlakken), zoals ook kubus en octaëder duaal zijn, en zoals de tetraëder zelf-duaal is. 3

4 II. Het regelmatig twaalfvlak bij de Grieken (1) Door de eeuwen heen heeft het regelmatig twaalfvlak (dodecaëder) een bijzondere rol gespeeld. Reeds bij de Grieken vertegenwoordigde de dodecaëder het heelal. Hierbinnen bevinden zich de vier elementen, die zijn verbeeld op de volgende dia: Tetraëder = vuur Kubus (hexaëder) = aarde Octaëder = lucht Icosaëder = water Zie de hiernavolgende tekeningen. N.B. Ook bij de Romeinen speelde de dodecaëder een bijzondere rol, gezien de terpvondst. Er zijn in Europa tientallen vergelijkbare Romeinse dodecaëders aangetroffen. Niet waarschijnlijk lijkt dat het hier om gebruiksvoorwerpen gaat. 4

5 II. Het regelmatig twaalfvlak bij de Grieken (2) Deze tekeningen zijn van Johannes Kepler ( ) 5

6 III. Van Paciola tot Escher (1) Fra Luca Paciola (ca ): De divina proportione, over de goddelijke verhouding. Dit boek over de gulden snede werd van illustraties voorzien door Leonardo da Vinci. In het boek geeft Paciola een overzicht van het voorkomen van de gulden snede, steeds in verband met de regelmatige vijfhoek, het regelmatig twaalfvlak of het regelmatig twintigvlak. De belangrijkste eigenschap is: - de diagonaal en de zijde van een regelmatige vijfhoek verhouden zich als de gulden snede 6

7 III. Van Paciola tot Escher (2) Een andere eigenschap: Neem drie rechthoeken waarvan de lengte en de breedte zich verhouden als de gulden snede, plaats deze met hun middelpunten in hetzelfde punt, zodanig dat de lengte-assen van die rechthoeken twee aan twee loodrecht op elkaar staan. Dan zijn hun hoekpunten de hoekpunten van een icosaëder. 7

8 III. Van Paciola tot Escher (3) Leonardo da Vinci ( ) tekende op aanwijzing van Vitruvius een man op basis van de gulden snede. Hij schilderde ook de Mona Lisa. Let hieronder op de (later) getekende gouden rechthoeken. 8

9 III. Van Paciola tot Escher (4) Johannes Kepler ( ) meende dat de Schepper gebruik had gemaakt van de gulden snede. Later kwam hij hier op terug. Hij stelde de banen van de planeten voor op concentrische bollen, die worden gescheiden door de platonische lichamen, van binnenuit octaëder, icosaëder, dodecaëder, tetraëder en kubus. 9

10 III. Van Paciola tot Escher (5) Le Corbusier ( ) ontwierp met de zgn. Modulor, die hij had gebaseerd op de gulden snede. Hierboven zijn Stad voor 3 miljoen. 10

11 III. Van Paciola tot Escher (6) M.C. Escher ( ), Reptielen. De dodeaëder is het hoogste dat kan worden bereikt. 11

12 IV. De regelmatige vijfhoek (1) Een beschouwing van de hoeken leert: - de hoeken van de vijfhoek zijn 108º, - deze worden in elk hoekpunt door de diagonalen in drie gelijke hoeken van 36º verdeeld. Het bewijs hiervan maakt gebruik van verwisselende binnenhoeken en doet verder een beroep op de symmetrie in de figuur. In de figuur komt de gelijkbenige driehoek met een tophoek van 36º in drie formaten voor. Dit is de gouden driehoek. In elke gouden driehoek geldt dezelfde verhouding van lengte en breedte: 12

13 IV. De regelmatige vijfhoek (2) (2a+b) : (a+b) = (a+b) : a (1e) (a+b) : a = a : b (2e) Met andere woorden: a+b is middelevenredig tussen 2a+b en a, en a is middelevenredig tussen a+b en b N.B.1. Eén van deze beide evenredigheden zou al genoeg zijn. N.B.2. Het eerste stuk van de 1e evenredigheid geeft de verhouding van de diagonaal en de zijde van de vijfhoek. De 1e en de 2e evenredigheid zijn beide te herleiden tot: a 2 ab - b 2 = 0 (3e) Hieruit volgt dat a/b = ½ + ½ 5 ( 1,618.). De andere wortel van de 3e vergelijking is negatief en moet daarom vervallen. Het verhoudingsgetal ½ + ½ 5 is de gulden snede. 13

14 V. Een bijzonder verhoudingsgetal (1) De gulden snede is van betekenis vanwege haar voorkomen in de regelmatige vijfhoek. Gezegd wordt, dat een rechthoek waarvan lengte en breedte zich verhouden als de gulden snede, er mooi uitziet. Zie Le Corbusier. De welbekende bankpasjes, creditcards etc hebben alle deze mooie vorm. Ze hebben bovendien dezelfde absolute maten. Opdracht: neem twee van zulke pasjes of cards en leg ze tegen elkaar aan, de ene liggend en de andere staand, met de onderkanten op dezelfde regel. Verbind de beide hoekpunten die het verst van elkaar liggen met elkaar. Zie de volgende dia. Wat valt nu op? Leid vervolgens de vergelijking voor de gulden snede af: (l+b) : l = l : b, en dus l 2 lb b 2 = 0 14

15 V. Een bijzonder verhoudingsgetal (2) 15

16 V. Een bijzonder verhoudingsgetal (3) Je kunt gemakkelijk een rechthoek construeren waarvan de zijden zich verhouden als de gulden snede. N.B. De letter φ is een gebruikelijke aanduiding voor het getal ½ + ½ 5 Vanwege φ 2 φ - 1 = 0 geldt de relatie φ 1 = φ -1 16

17 V. Een bijzonder verhoudingsgetal (4) Uitgaande van een gouden rechthoek kun je er een vierkant afhalen. Dan houd je een (kleinere) gouden rechthoek over. Omgekeerd kun je aan de grootste zijde van een gouden rechthoek een vierkant plakken en zo weer een gouden rechthoek krijgen. Hiermee kan een golden spiral worden geconstrueerd. 17

18 VI. Penrose-betegelingen (1) Aperiodic Penrose tilings De wiskundige Roger Penrose (1931) ontwierp nietperiodieke vlakvullingen (m.a.w. die zich niet herhalen). Hierin is onder meer de gulden snede verwerkt. Zoek de tienhoeken! Literatuur: Marjorie Senechal, Quasicrystals and geometry (1995). 18

19 VI. Penrose-betegelingen (2) Een simpeler Penrose-betegeling Penrose kon uitgaan van eenvoudiger figuren met de gouden driehoek (blauw). De zijdelengtes van de blauwe driehoeken zijn 1, φ en φ [Opdracht: geef de hoeken en de lengtes van de zijden van de rode driehoeken.] Periodieke herhalingen zijn voorkomen door het plaatsen van rode en blauwe driehoeken doordacht af te wisselen. 19

20 VI. Penrose-betegelingen (3) Reeds Kepler tekende verschillende tegelpatronen, waaronder patroon Aa met vijfhoeken (het grootste patroon in de tekening). Dit patroon kon niet regelmatig worden uitgebreid (is onherhaalbaar). De Penrose-betegeling (2) is in essentie een uitbreiding van Aa. 20

21 VI. Penrose-betegelingen (4) In de islamitische kunst komen verspreid vijfhoeken en tienhoeken voor. Niet bekend is of aan de gulden snede een diepere betekenis werd gehecht. Het patroon uit Bagdad ( ) herhaalt zich wel. Het vertoont (enige) gelijkenis met een Penrose-betegeling. 21

22 VI. Penrose-betegelingen (5) De Penrose-betegelingen zijn verwant met de zgn. quasikristallen. Hierbij is er een afwisseling, vergelijkbaar met die bij Penrose. Op de foto is: - wit = Al - blauw = Co - rood = Cu. 22

23 VII. Constructies van regelmatige veelhoeken (1) Met behulp van de gulden snede kun je een regelmatige vijfhoek construeren louter met gebruikmaking van passer en liniaal. Hieronder gebeurt dit in een gegeven cirkel. Er zijn vele methoden om deze constructie uit te voeren. Hier wordt ervoor gekozen een hoek van 72º te construeren. Constructie: construeer een gouden rechthoek, en gebruik de zijden om een gelijkbenige driehoek met tophoek van 36º te construeren. De basishoeken zijn dan 72º. Breng zo n basishoek over naar het middelpunt van de cirkel. Klaar! Opdracht: zoek andere constructies op het internet. Euclides (circa 300 v. Chr.) gaf eveneens een constructie, maar niet de bovenstaande. Euclides vermeed zijdelengtes en hoekgroottes en al helemaal irrationale getallen als ½ + ½ 5. 23

24 VII. Constructies van regelmatige veelhoeken (2) De Grieken kenden dus reeds de constructie van de regelmatige vijfhoek. Daarmee is ook de constructie van de regelmatige tienhoek bekend, de regelmatige twintighoek, enz. Veel bekender, en behorend tot de schoolstof, is de constructie van de regelmatige driehoek en de regelmatige vierhoek. Daarmee ook die van de regelmatige zeshoek, achthoek, twaalfhoek, enz. Eeuwenlang, meer dan tweeduizend jaar, is gezocht naar een constructie van de regelmatige zevenhoek met passer en liniaal. De constructie van de regelmatige negenhoek vergt de trisectie van een hoek van 120º. De trisectie van de hoek is één van de drie grote zgn. Delische problemen. In de 19e eeuw werd met de theorie van Evariste Galois ( ) bewezen dat de trisectie van een hoek in het algemeen niet mogelijk is met passer en liniaal alleen in zeer speciale gevallen is dit mogelijk (hoek van 90 0 verdelen in drie hoeken van 30 0 is mogelijk). We concentreren ons hier op de constructie van een regelmatige n-hoek in geval n een priemgetal is. 24

25 VII. Constructies van regelmatige veelhoeken (3) Carl Friedrich Gauss ( ) loste het probleem van de constructie van een regelmatige p-hoek met p priem, volledig op, en wel in 1796, toen hij nog maar 19 jaar was. Namelijk: een regelmatige p-hoek met p priem, is precies dan construeerbaar met passer en liniaal, als p van de vorm 2 2k + 1 is, d.w.z. een Fermat-priemgetal. k = 0 -> p = 3 k = 1 -> p = 5 k = 2 -> p = 17 k = 3 -> p = 257 k = 4 -> p = Dit zijn allemaal priemgetallen, maar voor k = 5 ontstaat een samengesteld getal: = 641 x Deze ontbinding werd ontdekt door Leonhard Euler ( ); Pierre de Fermat ( ) meende nog dat alle getallen van bovengenoemde vorm priemgetallen waren. Gauss gaf ook daadwerkelijk de constructie van een regelmatige 17-hoek met passer en liniaal. Hij verzocht bovendien dat op zijn grafsteen een regelmatige 17-hoek zou worden gebeiteld. 25

26 VII. Constructies van regelmatige veelhoeken (4) Hoeken van regelmatige n-hoeken die zijn ingeschreven in een cirkel n =.. omtrekshoek middelpuntshoek 3 60º 120º 4 90º 90º 5 108º 72º 6 120º 60º 8 135º 45º º 36º º 30º º 24º Voor al deze hoeken geldt dat de sinus en de cosinus worden berekend uit tweedegraads vergelijkingen. Dit geldt ook als n = 17. Voor n = 7, n = 9, n = 11 e.d. is niet een tweedegraads vergelijking mogelijk. Opdracht: bereken de cosinus van 72º, d.w.z. druk deze uit in breuken en tweedegraads wortels. 26

27 VIII. Carl Friedrich Gauss Geniaal wiskundige, natuurkundige, sterrenkundige, Werkte vanaf 1805 te Göttingen. Legendarisch is zijn oplossing van =., toen hij nog op de lagere school zat. Ontwerper van: - niet-euclidische meetkunde - conforme afbeeldingen - kleinste kwadratenmethode - formule voor de Paasdatum Bewees: - kwadratische reciprociteit - fundamentaalstelling van de algebra Onderzocht: - normale verdeling (Gauss-kromme) - baankrommes van planetoïden 27

28 IX. De rij van Fibonacci (1) In de vijfhoek is er een opvolging van lijnsegmenten b, a, a+b, 2a+b, waarin telkens de volgende term φ maal groter is dan de vorige. Elke term is ook gelijk is aan de som van de beide vorige termen. De volgende term zou zijn 3a + 2b, en deze is ook weer φ maal de voorafgaande term (bewijs dit!). Hier sterk mee verwant is de rij van Fibonacci: f 1, f 2, f 3, f 4,.. =: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, De eerste en de tweede term zijn gelijk aan 1 en elke volgende term is gelijk aan de som van de voorafgaande twee termen. Door de recurrente betrekking f n+2 = f n+1 + f n, samen met de begintermen f 1 = 1 en f 2 = 1, is de rij volledig vastgelegd. Deze rij bezit vele fraaie eigenschappen, zo geldt bijvoorbeeld dat 1 x = 1, 1 x = -1, 2 x = 1, 3 x = -1,.., in formulevorm f n x f n+2 f n+12 = (-1) n+1 Het quotiënt van twee opeenvolgende termen nadert naar φ als n -> Deze eigenschappen moeten natuurlijk nog wel worden bewezen. 28

29 IX. De rij van Fibonacci (2) Voor de bepaling van een formule voor de rij van Fibonacci wordt de recurrente betrekking gebruikt als differentievergelijking: stel dat de termen voldoen aan f n = c.x n, dan volgt uit f n+2 = f n+1 + f n dat x 2 x 1 = 0 De oplossing hiervan is x = ½ ± ½ 5 Hieruit volgt dat x = φ of x = -(φ 1) = 1-φ en zodoende geldt f n = c.φ n + d.(1-φ) n Vul twee waarden voor n in om c en d te krijgen: c = 1/ 5 en d = -1/ 5 f n = 1/ 5. (φ n -(1-φ) n ) (*) De eerder genoemde rekenkundige eigenschappen kunnen worden bewezen met behulp van vergelijking (*). Deze eigenschappen kunnen eveneens met volledige inductie worden bewezen. Omdat (1-φ) n naar 0 gaat als n ->, geldt dat f n+1 /f n naar φ nadert als n -> 29

30 IX. De rij van Fibonacci (3) Beroemd zijn de konijnen. Realistisch? 30

31 IX. De rij van Fibonacci (4) Gedicht van Marjolein Kool, uit Wis- en natuurlyriek (2001), geschreven samen met Drs. P. 31

32 IX. De rij van Fibonacci (5) Eenzelfde groeipatroon wordt verondersteld voor sommige bloemen en planten. Realistisch! 32

33 IX. De rij van Fibonacci (6) De rij van Fibonacci als groeipatroon (phyllotaxis). De konijnen, zie het gedicht van Marjolein Kool. De bloemkronen, zie o.a. de zonnebloem. Bij de vorming van nieuwe vertakkingen geldt het groeiproces. Hier ziet men 55 spiralen linksom en 34 spiralen rechtsom. 33

34 IX. De rij van Fibonacci (7) Ter vergelijking een echte zonnebloem. 34

35 IX. De rij van Fibonacci (8) Hiernaast is een Fibonacci-rechthoek getekend. Opdracht: beschrijf het bouwschema. Je kunt hierbij een Fibonacci-spiraal tekenen. Vraag: geef twee verschillen met de golden spiral. Een verwante rij is de Lucas-rij: g 1, g 2, g 3, g 4, =: 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29,.. Ook hiervoor gelden vele bijzondere eigenschappen. Daarnaast gelden er eigenschappen in combinatie met de Fibonacci-rij, zoals f n x g n+1 f n+1 x g n = 2 x (-1) n+1 g n = f n-1 + f n+1 En ook voor de Lucas-rij geldt dat het quotiënt van twee opeenvolgende termen naar φ nadert als n -> Meer in The Fibonacci Quarterly en/of op het internet. 35

36 IX. De rij van Fibonacci (9) In de kansrekening komt zo nu en dan een getal uit de rij van Fibonacci voor. Zo is de kans dat er bij n keer tossen met een munt geen twee maal achtereen een kop zit, gelijk aan f n+2 /2 n Het aantal mogelijkheden om een rechthoek van 2 bij n te beleggen met wit-zwarte dominostenen is f n. Let in de figuur op mogelijkheden tot draaiing over

37 X. Leonardo van Pisa (Fibonacci) Leonardo van Pisa (1170? 1250?). De naam Fibonacci betekent zoon van Bonacci. Zijn vader was koopman en bezocht Arabische landen. In Algerije maakte Leonardo van Pisa kennis met Arabische geschriften. Hij ontsloot Arabische en Griekse wiskunde. Publicatie: Liber abaci (eerste versie 1202). Hij gebruikte de indisch-arabische cijfers, in plaats van de romeinse. Hij liet het getal 0 toe als oplossing van een vergelijking. Hij gebruikte zij het nog alleen in een toepassing (schulden) negatieve getallen. Hij werkte ook met irrationale getallen en gaf hiervoor benaderingen. De naar hem genoemde rij was al vóór hem bekend. 37

38 XI. Bifurcaties op een ananas (1) Heel bekend zijn de groeispiralen op een ananas. Er zijn meerdere spiralen op één ananas. 38

39 XI. Bifurcaties op een ananas (2) Alan Turing ( ) werd beroemd vanwege het kraken van de Enigma-code in de Tweede Wereldoorlog, en door zijn ontwerp van de Turing-machine. Hij beschouwde de phyllotaxis als een dynamisch proces. Dit onderzoek van Turing bleef geruime tijd onontdekt. Later werd door meerdere onderzoekers geprobeerd de phyllotaxis te beschrijven. In 1977 gaf Mitchison een bevredigende beschrijving, inclusief bifurcaties. groeischema van een ananas 39

40 XII. Enige literatuur Algemeen: - H.S.M. Coxeter, Introduction to geometry (1e druk uit 1961). Dit boek is een klassieker. Het geeft een overzicht van alle takken van de meetkunde. Op de gulden snede wordt vrij uitvoerig ingegaan. - Robin Hartshorne, Euclid and beyond (2000). Dit boek behandelt op nauwkeurige wijze de meetkunde van Euclides vanuit een hedendaags gezichtspunt. De bijdrage van Gauss wordt uitvoerig behandeld. Specifiek: - Wim Kleijne en Ton Konings, De gulden snede (1e druk uit 2000). Dit boekje maakt deel uit van de Zebra-reeks voor vwo-leerlingen. Het bevat meerdere vraagstukken. Het Hovo-college is misschien iets vollediger! En verder: - Diverse websites op het internet, met veelal prachtige plaatjes. Men zij echter beducht voor ongecontroleerde beweringen, bijvoorbeeld: de piramiden in Egypte zouden zijn gebouwd met de gulden snede als leidraad, Leonardo da Vinci zou een nazaat zijn van Leonardo van Pisa, en met de Romeinse dodecaëders zou men zaaidata kunnen bepalen. 40

Wiskunde Opdrachten Vlakke figuren

Wiskunde Opdrachten Vlakke figuren Wiskunde Opdrachten Vlakke figuren Opdracht 1. Teken in de figuren hieronder alle symmetrieassen. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. Opdracht 2. A. Welke

Nadere informatie

Het irrationaal getal phi (φ)

Het irrationaal getal phi (φ) Het irrationaal getal phi (φ) De gulden snede Het irrationaal φ is ongeveer 1,6180339887 Dit getal is terug te vinden in veel maten en verhoudingen van lengtes van oude Griekse beeldhouwwerken, architectuur

Nadere informatie

2.5 Regelmatige veelhoeken

2.5 Regelmatige veelhoeken Regelmatige veelhoeken 81 2.5 Regelmatige veelhoeken Een regelmatige veelhoek is een figuur met zijden die allemaal even lang en hoekendieallemaalevengrootzijn. Wezijneraleenpaartegengekomen: de regelmatige

Nadere informatie

Mededelingenblad van de Stichting Ars et Mathesis. redaktieadres Nieuwstraat 6 3743 BLBaarn. Jaargang 7 Nummer 1 Februari 1993

Mededelingenblad van de Stichting Ars et Mathesis. redaktieadres Nieuwstraat 6 3743 BLBaarn. Jaargang 7 Nummer 1 Februari 1993 Mededelingenblad van de Stichting Ars et Mathesis redaktieadres Nieuwstraat 6 3743 BLBaarn Jaargang 7 Nummer 1 Februari 1993 De tentoonstelling Ruimte en Reliëf in Kasteel Groeneveld te Baarn, waar Popke

Nadere informatie

Object 1:

Object 1: Project Wiskunde & Schoonheid Wat is schoonheid? En waarom vinden we bepaalde dingen mooi? Wat is de Gulden Snede? En wat heeft die te maken met de Fibonacci-rij? Wat heeft wiskunde met schoonheid te maken?

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten Per goed antwoord krijgt hij

Nadere informatie

Griekenland DE DRIEDELING VAN EEN HOEK

Griekenland DE DRIEDELING VAN EEN HOEK Griekenland Zoals Berlinghoff schrijft, was de Griekse wiskunde sterk op de meetkunde gericht. We zullen daarom vooral naar de meetkunde kijken. Eerst zullen we twee van de drie klassieke problemen (Berlinghoff

Nadere informatie

Meetkundige constructies Leerlingmateriaal

Meetkundige constructies Leerlingmateriaal Meetkundige constructies Leerlingmateriaal Nynke Koopmans Roeland Hiele Historical Aspects of Classroom Mathematics Universiteit Utrecht, juni 2013 Inleiding Inleiding Een meetkundige constructie is een

Nadere informatie

Cabri-werkblad Negenpuntscirkel

Cabri-werkblad Negenpuntscirkel Cabri-werkblad Negenpuntscirkel 0. Vooraf - Bij dit werkblad wordt kennis verondersteld van de eigenschappen van parallellogrammen, rechthoekige driehoeken en van de elementaire eigenschappen van de koordenvierhoek.

Nadere informatie

DE GULDEN SNEDE IN WEB DESIGN

DE GULDEN SNEDE IN WEB DESIGN HET NUT VAN DE GULDEN SNEDE IN WEB DESIGN In dit hoorcollege ga ik het hebben over mijn onderzoek naar de gulden snede met betrekking tot web design. De gulden snede fascineert me al van jongs af aan en

Nadere informatie

Escher in Het Paleis. Wiskundepakket. Ruimtelijke figuren

Escher in Het Paleis. Wiskundepakket. Ruimtelijke figuren Escher in Het Paleis Wiskundepakket Ruimtelijke figuren Ruimtelijke figuren Escher maakt in EEN AANTAL prenten gebruik van wiskundig interessante ruimtelijke vormen, zoals Platonische lichamen en Möbiusbanden.

Nadere informatie

Bouwen met veelhoeken

Bouwen met veelhoeken Bouwen met veelhoeken Opdrachtbladen Jantine Bloemhof Inhoud De vormen........................ 1 Veelhoeken samenvoegen: van klein naar groot........... 2 Tegelpatronen....................... 6 Platonische

Nadere informatie

Zoek nu even zelf hoe het verder gaat. Een schematische voorstelling kan hierbij zeker helpen.

Zoek nu even zelf hoe het verder gaat. Een schematische voorstelling kan hierbij zeker helpen. De rij van Fibonacci Leonardo di Pisa (/ ca. 1170, artiestennaam Fibonacci, invoerder van de Indische cijfers in Europa), zat in 1202 met het volgende zware wiskundige probleem: Stel: een boer koopt op

Nadere informatie

Cabri-werkblad. Driehoeken, rechthoeken en vierkanten. 1. Eerst twee macro's

Cabri-werkblad. Driehoeken, rechthoeken en vierkanten. 1. Eerst twee macro's Cabri-werkblad Driehoeken, rechthoeken en vierkanten 1. Eerst twee macro's Bij de opdrachten van dit werkblad zullen we vaak een vierkant nodig hebben waarvan alleen de beide eindpunten van een zijde gegeven

Nadere informatie

Veelvlak. Begrippenlijst

Veelvlak. Begrippenlijst Veelvlakken Tijdens dit project Veelvlakken ga je vooral veel zelf onderzoeken. Je zult veel aan het bouwen zijn met Polydron materiaal. Waarschijnlijk zul je naar aanleiding van je bevindingen zelf vragen

Nadere informatie

Regelmatige en halfregelmatige veelvlakken

Regelmatige en halfregelmatige veelvlakken Regelmatige en halfregelmatige veelvlakken Wiskunde & Cultuur 2-3 W.v.Ravenstein 2010-2011 aangepast Vandaag Platonische lichamen Regelmatig, halfregelmatig en andere naamgeving Waarom zijn er maar 5 Platonische

Nadere informatie

1 De Gulden snede wordt ook wel divina proportione (goddelijke verhouding) of sectione aurea (gouden verdeling) genoemd. Het is eigenlijk één

1 De Gulden snede wordt ook wel divina proportione (goddelijke verhouding) of sectione aurea (gouden verdeling) genoemd. Het is eigenlijk één De Gulden snede Inhoudsopgave 1. De Gulden snede 2. Hoe verkrijg ik de Gulden snede? 3. Pythagoras en het pentagram 4. De vijf regelmatige veelvlakken 5. Fibonacci 6. Leonardo da Vinci en de Gulden snede

Nadere informatie

Over de construeerbaarheid van gehele hoeken

Over de construeerbaarheid van gehele hoeken Over de construeerbaarheid van gehele hoeken Dick Klingens maart 00. Inleiding In de getallentheorie worden algebraïsche getallen gedefinieerd via rationale veeltermen f van de n-de graad in één onbekende:

Nadere informatie

4 - Stelling van Pythagoras

4 - Stelling van Pythagoras 4 - Stelling van Pythagoras De opdracht omschrijving voor dit hoofdstuk bestond uit het volgende: D1 - Maak de 5 opdrachten. Zorg voor nette uitwerkingen. D2 - Maak een powerpoint over de stelling van

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Tweede Ronde e tweede ronde bestaat eveneens uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt (opnieuw) als volgt : een deelnemer start met 0 punten Per goed antwoord

Nadere informatie

Rakende cirkels. Oriëntatie. Keuzeopdracht voor wiskunde

Rakende cirkels. Oriëntatie. Keuzeopdracht voor wiskunde Rakende cirkels Keuzeopdracht voor wiskunde Verrijkende opdracht over construeren en redeneren in figuren Voorkennis: meetkunde: cirkels, raaklijn, loodrecht stand; sinus: waarden voor bekende hoeken als

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2008-2009: tweede ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2008-2009: tweede ronde Vlaamse Wiskunde Olmpiade 008-009: tweede ronde Wat is het voorschrift van deze tweedegraadsfunctie? (0, ) (, ) 0 (A) f() = ( + ) (B) f() = ( + ) + (C) f() = ( ) + (D) f() = ( ) (E) f() = ( ) + In volgend

Nadere informatie

Bij de volgende vragen Bij een regelmatige veelhoek kun je het gemakkelijkst eerst de buitenhoeken berekenen en daarna pas de binnenhoeken.

Bij de volgende vragen Bij een regelmatige veelhoek kun je het gemakkelijkst eerst de buitenhoeken berekenen en daarna pas de binnenhoeken. Rood-wit-blauw werkblad 1 Bij het hele werkblad: Alle rode getallen zijn deelbaar door hetzelfde getal. Elk wit getal is gelijk aan een rood getal + 1, elk blauw getal aan een rood getal + 2 Russisch vermenigvuldigen

Nadere informatie

Heilige Geometrie. Gulden Snede-verhouding weergegeven in een tekening.

Heilige Geometrie. Gulden Snede-verhouding weergegeven in een tekening. Heilige Geometrie De Heilige geometrie is een soort van paraplu waaronder onder andere de Gulden Snede valt, die ik hier ga uitleggen. Het is een verhouding. Een verhouding die de blauwdruk vormt voor

Nadere informatie

Lijnen van betekenis meetkunde in 2hv

Lijnen van betekenis meetkunde in 2hv Lijnen van betekenis meetkunde in 2hv Docentenhandleiding bij de DWO-module Lijnen van betekenis Deze handleiding bevat tips voor de docent bij het gebruiken van de module Lijnen van betekenis, een module

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2009-2010: tweede ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2009-2010: tweede ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade 009-00: tweede ronde Welke van de volgende vergelijkingen heeft als oplossing precies alle gehele veelvouden van π? () sinx = 0 (B) cos x = 0 (C) sinx = 0 (D) cosx = 0 (E) sinx

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 995 996 : Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 30 punten

Nadere informatie

Kopieer- en werkbladen: de reeks van Fibonacci

Kopieer- en werkbladen: de reeks van Fibonacci 1 1 3,14 4 Kopieer- en werkbladen: de reeks van Fibonacci Grote Rekendag 26 www.rekenweb.nl 71 1 1 3,14 4 72 www.rekenweb.nl Grote Rekendag 26 1 1 3,14 4 Het konijnenprobleem Een familie konijnen kan heel

Nadere informatie

1 - Geschiedenis van de Algebra

1 - Geschiedenis van de Algebra 1 - Geschiedenis van de Algebra De opdracht omschrijving voor dit hoofdstuk bestond uit het volgende: A1 - Maak 5 van de 19 opdrachten. Zorg voor nette uitwerkingen. Kies de 5 verspreid over de 19. A2

Nadere informatie

gelijkvormigheid handleiding inhoudsopgave 1 de grote lijn 2 applets 3 bespreking per paragraaf 4 tijdsplan 5 materialen voor een klassengesprek

gelijkvormigheid handleiding inhoudsopgave 1 de grote lijn 2 applets 3 bespreking per paragraaf 4 tijdsplan 5 materialen voor een klassengesprek gelijkvormigheid inhoudsopgave 1 de grote lijn 2 applets 3 bespreking per paragraaf 4 tijdsplan 5 materialen voor een klassengesprek gelijkvormigheid gelijkvormigheid 1 de grote lijn hoofdlijn de zijlijn

Nadere informatie

handleiding pagina s 1005 tot 1015 1 Handleiding 1.2 Huistaken nihil 2 Werkboek 3 Posters 4 Scheurblokken bladzijden 122, 147, 150 en 156 5 Cd-rom

handleiding pagina s 1005 tot 1015 1 Handleiding 1.2 Huistaken nihil 2 Werkboek 3 Posters 4 Scheurblokken bladzijden 122, 147, 150 en 156 5 Cd-rom week 32 les 2 toets en foutenanalyse handleiding pagina s 1005 tot 1015 nuttige informatie 1 Handleiding 11 Kopieerbladen pagina 812: gelijkvormig / vervormen pagina 813: patronen pagina 814: kubus pagina

Nadere informatie

Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen)

Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen) Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen) Beschouw de 4 termen: x y, x, 6, 9x Voor welke waarden van x en y vormen deze termen een rekenkundige rij? x 9x x, 6, 9 x : RR 6 0x x 0,9 0,9 y ;,9 ; 6 ; 8,,

Nadere informatie

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde Overzicht eigenschappen en formules meetkunde xioma s Rechten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken 5 e cirkel 6 Veelhoeken 7 nalytische meetkunde Op de volgende bladzijden vind je de eigenschappen en formules

Nadere informatie

ZESDE KLAS MEETKUNDE

ZESDE KLAS MEETKUNDE ZESDE KLAS MEETKUNDE maandag 1. Het vierkant. Eigenschappen. 2. Vierkanten tekenen met passer en lat vanuit zeshoek 3. Vierkanten tekenen met passer en lat binnen cirkel 4. Vierkanten tekenen met passer

Nadere informatie

Heron driehoek. 1 Wat is een Heron driehoek? De naam Heron ( Heroon) is bekend van de formule

Heron driehoek. 1 Wat is een Heron driehoek? De naam Heron ( Heroon) is bekend van de formule Heron driehoek 1 Wat is een Heron driehoek? De naam Heron ( Heroon) is bekend van de formule = s(s a)(s b)(s c) met s = a + b + c 2 die gebruikt wordt om de oppervlakte van een driehoek te berekenen in

Nadere informatie

Een les wiskunde: hoe Kepler naar de wereld keek (voorbeeldles voortgezet onderwijs)

Een les wiskunde: hoe Kepler naar de wereld keek (voorbeeldles voortgezet onderwijs) Een les wiskunde: hoe Kepler naar de wereld keek (voorbeeldles voortgezet onderwijs) Ab van der Roest Dit materiaal is onderdeel van het compendium christelijk leraarschap dat samengesteld is door het

Nadere informatie

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden 6.0 Voorkennis Kruislings vermenigvuldigen: A C AD BC B D Voorbeeld: 50 0 x 50 0( x ) 50 0x 0 0x 60 x 6 6.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [] a [2] q a q p pq p

Nadere informatie

De constructie van een raaklijn aan een cirkel is, op basis van deze stelling, niet zo erg moeilijk meer.

De constructie van een raaklijn aan een cirkel is, op basis van deze stelling, niet zo erg moeilijk meer. Cabri-werkblad Raaklijnen Raaklijnen aan een cirkel Definitie Een raaklijn aan een cirkel is een rechte lijn die precies één punt (het raakpunt) met de cirkel gemeenschappelijk heeft. Stelling De raaklijn

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 000-00: Eerste ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een blanco antwoord

Nadere informatie

1 Junior Wiskunde Olympiade : eerste ronde

1 Junior Wiskunde Olympiade : eerste ronde Junior Wiskunde Olympiade 009-00: eerste ronde Van een rechthoek is de lengte het dubbel van de breedte Als de oppervlakte cm bedraagt, hoe lang is dan de langste zijde? (A) cm (B) cm (C) cm (D) 8 cm (E)

Nadere informatie

Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren

Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren 141 Eventjes herhalen : Wat is een homothetie? h (o,k) : Een homothetie met centrum o en factor k Het beeld van een punt Z door de homothetie met centrum O en factor

Nadere informatie

WISKUNDE-ESTAFETTE Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500

WISKUNDE-ESTAFETTE Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500 WISKUNDE-ESTFETTE 2014 60 Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 00 1 (20 punten) Gegeven zijn drie aan elkaar rakende cirkels met straal 1. Hoe groot is de (donkergrijze) oppervlakte

Nadere informatie

Les 20: gelijknamige breuken, gelijkwaardige breuken en breuken vereenvoudigen

Les 20: gelijknamige breuken, gelijkwaardige breuken en breuken vereenvoudigen Getallenkennis Target 1 Les 1: getalbegrip to 10 000 000 wb. p. 1+2, sb 1 Les 5: kommagetallen tot 0,001 wb. p. 8-9, sb 5 Les 12: breuken vergelijken en sorteren wb. p. 15-16, sb 10 Les 13: breuk als operator,getal,verhouding,

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1989-1990: Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1989-1990: Tweede Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 989-990: Tweede Ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw is een officiële foreign coordinator voor de welbekende AHSME-competitie (American High School Mathematics Examination -

Nadere informatie

1 Junior Wiskunde Olympiade : eerste ronde

1 Junior Wiskunde Olympiade : eerste ronde 1 Junior Wiskunde Olympiade 2005-2006: eerste ronde 1 Vier van de volgende figuren zijn het beeld van minstens één andere figuur door een draaiing in het vlak Voor één figuur is dit niet het geval Welke?

Nadere informatie

Hoofdstuk 3: De stelling van Pythagoras

Hoofdstuk 3: De stelling van Pythagoras Hoofdstuk 3: De stelling van Pythagoras Benamingen afspraken ( boek pag 53) - 49 We spreken van een rechthoekige driehoek als... We zeggen dat in de rechthoekige ABC de grootte van de hoek A 90 o is We

Nadere informatie

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1) Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk

Nadere informatie

Caspar Bontenbal april 2015 WISKUNDE & KUNST. Eindverslag

Caspar Bontenbal april 2015 WISKUNDE & KUNST. Eindverslag Caspar Bontenbal 0903785 24 april 2015 WISKUNDE & KUNST Eindverslag Table of Contents Les 1 - Introductie wiskunde & kunst... 2 Opdracht 1.1... 2 Opdracht 1.2... 2 Les 2 - Wiskunde met Verve bloemlezing

Nadere informatie

Naam:... Nr... SPRONG 5. a Kleur het juiste percentage van de figuren en vul in hoeveel percent er overblijft.

Naam:... Nr... SPRONG 5. a Kleur het juiste percentage van de figuren en vul in hoeveel percent er overblijft. Naam:... Nr.... SPRONG 5 G G 1 Percenten T a Kleur het juiste percentage van de figuren en vul in hoeveel percent er overblijft. Kleur 20 % blauw. 25 % maak je geel. 50 % krijgt een groene kleur. Er blijft

Nadere informatie

Euclidische meetkunde: passer en liniaal vs. vouwen Wat is er allemaal (on)mogelijk?

Euclidische meetkunde: passer en liniaal vs. vouwen Wat is er allemaal (on)mogelijk? Euclidische meetkunde: passer en liniaal vs. vouwen Wat is er allemaal (on)mogelijk? 28-6-2014 Universiteit Utrecht Jeroen Nagtegaal (0441872) 2 INHOUDSOPGAVE 0. INLEIDING... 4 HOE MOET JE DIT BOEKJE LEZEN?...

Nadere informatie

Construeer telkens twee hoeken waarvan de cosinus of sinus gegeven is. Teken voor elke opgave een andere goniometrische cirkel.

Construeer telkens twee hoeken waarvan de cosinus of sinus gegeven is. Teken voor elke opgave een andere goniometrische cirkel. Herhalingsoefeningen Driehoeksmeting Van de opgaven die geel gemarkeerd zijn, vind je achteraan de oplossingen. De oplossingen van de andere mag je steeds afgeven of er vragen over stellen. Oef 1 Construeer

Nadere informatie

MEETKUNDE 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN

MEETKUNDE 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN een rechte lijn A het punt A a de rechte a een kromme lijn of een kromme een gebroken lijn a A b a B het lijnstuk [AB] evenwijdige rechten a // b een plat oppervlak of een

Nadere informatie

1. Het getal 200 9 = 1800 is even. De andere antwoorden zijn oneven: 2009, 2 + 0 + 0 + 9 = 11, 200 9 = 191, 200 + 9 = 209.

1. Het getal 200 9 = 1800 is even. De andere antwoorden zijn oneven: 2009, 2 + 0 + 0 + 9 = 11, 200 9 = 191, 200 + 9 = 209. 1. Het getal 200 9 = 1800 is even. De andere antwoorden zijn oneven: 2009, 2 + 0 + 0 + 9 = 11, 200 9 = 191, 200 + 9 = 209. Kangoeroewedstrijd editie Wallabie: jaargang 2009, probleem 1; Kangoeroewedstrijd

Nadere informatie

Leve de Wiskunde! 2011 W I N G O! Uw Wingo-master van vandaag: Jan Brandts Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam

Leve de Wiskunde! 2011 W I N G O! Uw Wingo-master van vandaag: Jan Brandts Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam Leve de Wiskunde! 2011 W I N G O! Uw Wingo-master van vandaag: Jan Brandts Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam W I N G O = W I S K U N D E - B I N G O W I N G O 17 15 π

Nadere informatie

Penrose-betegelingen met Cabri Geometry

Penrose-betegelingen met Cabri Geometry [1] Er bestaan veelhoeken waarmee geen regelmatige betegelingen (vlakverdelingen) [1,2] gemaakt kunnen worden. Bekende veelhoeken met die eigenschap zijn de zogenoemde Penrose-tegels, naar Roger Penrose

Nadere informatie

Hoofdstuk 4: Meetkunde

Hoofdstuk 4: Meetkunde Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde Getallen Assenstelsel Lineair

Nadere informatie

Novum, wiskunde LTP leerjaar 1. Wiskunde, LTP leerjaar 1. Vak: Wiskunde Leerjaar: 1 Onderwerp: In de Ruimte H1 Kerndoel(en):

Novum, wiskunde LTP leerjaar 1. Wiskunde, LTP leerjaar 1. Vak: Wiskunde Leerjaar: 1 Onderwerp: In de Ruimte H1 Kerndoel(en): Wiskunde, LTP leerjaar 1 Onderwerp: In de Ruimte H1 26 De leerling leert te werken met platte en ruimtelijke vormen en structuren, leert daarvan afbeeldingen te maken en deze te interpreteren, en leert

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2005-2006: eerste ronde 1 11 3 11 = () 11 2 3 () 11 5 6 () 11 1 12 11 1 4 11 1 6 2 ls a en b twee verschillende reële getallen verschillend van 0 zijn en 1 x + 1 b = 1, dan

Nadere informatie

MEETKUNDE 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN

MEETKUNDE 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN 120 PUNTEN, LIJNEN EN VLAKKEN een rechte lijn A het punt A a de rechte a een kromme lijn of een kromme een gebroken lijn a A b a B het lijnstuk [AB] evenwijdige rechten a // b een plat oppervlak of een

Nadere informatie

Constructies met passer en liniaal. Een wiskunde-d module geschreven door Luuk Hoevenaars van de Hogeschool Utrecht

Constructies met passer en liniaal. Een wiskunde-d module geschreven door Luuk Hoevenaars van de Hogeschool Utrecht Constructies met passer en liniaal Een wiskunde-d module geschreven door Luuk Hoevenaars van de Hogeschool Utrecht 1 Inleiding Voor je ligt een Wiskunde D module over vier beroemde problemen uit de Griekse

Nadere informatie

Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A

Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A Omtrek en oppervlakte (1) Werkblad 1 Van een rechthoek die mooi in het rooster past zijn lengte en breedte hele getallen. Lengte en breedte zijn samen gelijk

Nadere informatie

Regelmaat in de ruimte

Regelmaat in de ruimte Regelmaat in de ruimte . Regelmaat in de ruimte A.K. van der Vegt VSSD iv VSSD Eerste druk 1991, tweede druk 2002 Uitgave van: VSSD Leeghwaterstraat 42, 2628 CA Delft, The Netherlands tel. +31 15 27 82124,

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 : Som Hoekgrootten van een veelhoek (boek pag 34)

Hoofdstuk 2 : Som Hoekgrootten van een veelhoek (boek pag 34) - 39- Hoofdstuk 2 : Som Hoekgrootten van een veelhoek (boek pag 34) Som hoekgrootten van een driehoek ( boek pag 35) Stelling: Voor ABC geldt: A ˆ + Bˆ + Cˆ = 180 o Bewijs: Trek door het punt A een rechte

Nadere informatie

handleiding pagina s 965 tot Handleiding 1.2 Huistaken nihil 2 Werkboek 3 Posters 4 Scheurblokken bladzijden 117, 123, 129, 140 en Cd-rom

handleiding pagina s 965 tot Handleiding 1.2 Huistaken nihil 2 Werkboek 3 Posters 4 Scheurblokken bladzijden 117, 123, 129, 140 en Cd-rom week 32 les 2 toets en foutenanalyse handleiding pagina s 95 tot 974 nuttige informatie 1 Handleiding 1.1 Kopieerbladen pagina 444: tangram pagina 754: puzzel geometrische figuren pagina 837: diverse gezichtspunten

Nadere informatie

Pienter 1ASO Extra oefeningen hoofdstuk 7

Pienter 1ASO Extra oefeningen hoofdstuk 7 Extra oefeningen hoofdstuk 7: Vlakke figuren 1 Teken binnen een cirkel met straal 6 cm een tweede cirkel met straal 2 cm. Wat is de kleinste en wat is de grootst mogelijke afstand tussen beide middelpunten?

Nadere informatie

PARATE KENNIS & VAARDIGHEDEN WISKUNDE 1 STE JAAR 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE. a) Begrippen uit de getallenleer ...

PARATE KENNIS & VAARDIGHEDEN WISKUNDE 1 STE JAAR 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE. a) Begrippen uit de getallenleer ... PARATE KENNIS & VAARDIGHEDEN WISKUNDE 1 STE JAAR 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE a) Begrippen uit de getallenleer Bewerking optelling aftrekking vermenigvuldiging Symbool deling : kwadratering... machtsverheffing...

Nadere informatie

1 Junior Wiskunde Olympiade : tweede ronde

1 Junior Wiskunde Olympiade : tweede ronde 1 Junior Wiskunde Olympiade 005-006: tweede ronde Volgende benaderingen kunnen nuttig zijn bij het oplossen van sommige vragen 1,1 1,71 5,61 π,116 1 ls a a 17 a m = a 006, met a R + \{0, 1}, dan is m gelijk

Nadere informatie

Junior Wiskunde Olympiade : eerste ronde

Junior Wiskunde Olympiade : eerste ronde Junior Wiskunde lympiade 200-20: eerste ronde. Waaraan is xyz + xyz + xyz gelijk? () 3xyz () 27xyz () x 3 y 3 z 3 () 3x 3 y 3 z 3 () 27x 3 y 3 z 3 2. Welke van volgende ongelijkheden is waar? () 2 > 0,5

Nadere informatie

Uitgewerkte oefeningen

Uitgewerkte oefeningen Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4

Nadere informatie

De Cantitruncated 600 cel

De Cantitruncated 600 cel De Cantitruncated 600 cel Afgeknotte icosahedrische prismatohexacosihecatonicosachoron Paul van de Veen info@vandeveen.nl januari 2013 I. De 5 Platonische lichamen In één dimensie bestaan alleen maar lijnen.

Nadere informatie

1 Junior Wiskunde Olympiade 2010-2011: tweede ronde

1 Junior Wiskunde Olympiade 2010-2011: tweede ronde 1 Junior Wiskunde Olympiade 2010-2011: tweede ronde 1. Het quotiënt 28 is gelijk aan 82 (A) 2 0 () 2 1 (C) 2 2 (D) 2 3 (E) 2 4 2. Het resultaat van de vermenigvuldiging 1 3 5 7 9 2011 eindigt op het cijfer

Nadere informatie

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1 Kettingbreuken Frédéric Guffens 0 april 00 K + E + T + T + I + N + G + B + R + E + U + K + E + N 0 + A + P + R + I + L + 0 + + 0 Wat zijn Kettingbreuken? Een kettingbreuk is een wiskundige uitdrukking

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2009-2010: eerste ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 2009-2010: eerste ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade 009-00: eerste ronde Hoeveel is 5 % van 5 % van? (A) 6 (C) 5 (D) 5 (E) 65 Wat is de ribbe van een kubus als zijn volume 5 is? (A) 5 5 (C) 5 (D) 5 (E) 5 De oplossingen van de

Nadere informatie

Gecijferdheid periode D Bijeenkomst 2 Hand-out: Meetkundige begrippen en vormen. Instap. Een opgave uit de oefentoets:

Gecijferdheid periode D Bijeenkomst 2 Hand-out: Meetkundige begrippen en vormen. Instap. Een opgave uit de oefentoets: Gecijferdheid periode D Bijeenkomst 2 Hand-out: Meetkundige begrippen en vormen Instap Een opgave uit de oefentoets: Van welke verpakkingen is de vorm een prisma? A. Pak spaghetti blikje chocomel doosje

Nadere informatie

1 Junior Wiskunde Olympiade : tweede ronde

1 Junior Wiskunde Olympiade : tweede ronde 1 Junior Wiskunde Olympiade 200-2005: tweede ronde De tweede ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een blanco antwoord

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 199 1994 : Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten

Nadere informatie

Werkblad Cabri Jr. Vierkanten

Werkblad Cabri Jr. Vierkanten Werkblad Cabri Jr. Vierkanten Doel Allereerst leren we hierin dat er een verschil is tussen het "tekenen" van een vierkant en het "construeren" van een vierkant. Vervolgens bekijken we enkele eigenschappen

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: goniometrie en meetkunde 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

http://www.kidzlab.nl/index2.php?option=com_content&task=vi...

http://www.kidzlab.nl/index2.php?option=com_content&task=vi... Veelvlakken De perfecte vorm Plato was een grote denker in de tijd van de Oude Grieken. Hij was een van de eerste die de regelmatige veelvlakken heel bijzonder vond. Hij hield ervan omdat ze zulke mooie,

Nadere informatie

Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde

Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade 00-0: eerste ronde. e uitdrukking a b 4 is gelijk aan () ab () ab () ab 6 () ab 8 (E) ab 6. e uitdrukking (a b) is gelijk aan () a b () (b a) () a + b ab () a + b + ab (E) (a

Nadere informatie

oefenbundeltje voor het vijfde leerjaar

oefenbundeltje voor het vijfde leerjaar oefenbundeltje voor het vijfde leerjaar bevat: werkbladen uit de map van Wibbel bij Rekensprong Plus, aansluitend bij de wiskundeopdrachten op de poster; de correctiesleutel bij deze werkbladen. Meer informatie

Nadere informatie

Handig met getallen 4 (HMG4), onderdeel Meetkunde

Handig met getallen 4 (HMG4), onderdeel Meetkunde Handig met getallen 4 (HMG4), onderdeel Meetkunde Erratum Meetkunde Je vindt hier de correcties voor Handig met getallen 4 (ISBN: 978 94 90681 005). Deze correcties zijn ook bedoeld voor het Rekenwerkboek

Nadere informatie

Meetkundige Ongelijkheden Groep 2

Meetkundige Ongelijkheden Groep 2 Meetkundige Ongelijkheden Groep Trainingsweek Juni 009 1 Introductie We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor het gemak laten we de absoluutstrepen weg. De lengte van een lijnstuk XY wordt dus

Nadere informatie

HP Prime: Meetkunde App

HP Prime: Meetkunde App HP Prime Graphing Calculator HP Prime: Meetkunde App Meer over de HP Prime te weten komen: http://www.hp-prime.nl De Meetkunde-App op de HP Prime Meetkunde is een van de oudste wetenschappen op aarde,

Nadere informatie

5.0 INTRO. Hoofdstuk 5 DE RUIMTE IN

5.0 INTRO. Hoofdstuk 5 DE RUIMTE IN 93 5.0 INTRO 1 Op het werkblad vind je vier bouwplaten. Knip ze uit en zet ze in elkaar. Je krijgt drie piramides en een kubusvormige doos zonder deksel. a De drie piramides passen precies in de doos.

Nadere informatie

Stelling 1.5 Geven isometrieën J 1 en J 2 hetzelfde beeld in drie punten die niet op één lijn liggen, dan zijn ze identiek. Bewijs. De isometrie J 1 2

Stelling 1.5 Geven isometrieën J 1 en J 2 hetzelfde beeld in drie punten die niet op één lijn liggen, dan zijn ze identiek. Bewijs. De isometrie J 1 2 Lesbrief 8 Isometrieën 1 Inleiding Een één-éénduidige afbeelding van het vlak op zichzelf heet een transformatie van het vlak. Als T 1 en T 2 transformaties zijn, wordt de transformatie T 1 gevolgd door

Nadere informatie

Henrik Bastijns en Joachim Nelis 22-4-2014

Henrik Bastijns en Joachim Nelis 22-4-2014 HEILIGE DRIEVULDIGHEIDSCOLLEGE Onderzoeksopdracht Stelling van Ptolemaeus Henrik Bastijns en Joachim Nelis 22-4-2014 Inhoudstafel Historische achtergrond Bewijs van de stelling van Ptolemaeus Toepassingen

Nadere informatie

Pappus van Alexandrië, Verzamelwerk, Boek VII.

Pappus van Alexandrië, Verzamelwerk, Boek VII. Pappus van Alexandrië, Verzamelwerk, Boek VII. Pappus van Alexandrië leefde omstreeks 250 na Christus. Hij schreef een groot Wiskundig Verzamelwerk ( Mathematical Collection, Collectio ) in 8 boeken, waarvan

Nadere informatie

Atheneum Wispelberg - Wispelbergstraat 2-9000 Gent Bijlage - Leerfiche (3 e jaar 5u wiskunde): Meetkunde overzicht

Atheneum Wispelberg - Wispelbergstraat 2-9000 Gent Bijlage - Leerfiche (3 e jaar 5u wiskunde): Meetkunde overzicht Hoofdstuk 1 : Hoeken -1 - Complementaire hoeken ( boek pag 7) Twee hoeken zijn complementair als... van hun hoekgrootten... is. Supplementaire hoeken ( boek pag 7) Twee hoeken noemen we supplementair als...

Nadere informatie

De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten

De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten januari 2008 De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten Inleiding Eén van de bekendste meetkundige plaatsen is de middelloodlijn van een lijnstuk. Deze lijn bestaat uit alle punten die gelijke afstand

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1993-1994 : Tweede Ronde De Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw is een officiële foreign coordinator voor de welbekende AHSME-competitie (American High School Mathematics Examination

Nadere informatie

Analytische Meetkunde

Analytische Meetkunde Analytische Meetkunde Meetkunde met Geogebra en vergelijkingen van lijnen 2 Inhoudsopgave Achtergrondinformatie... 4 Meetkunde met Geogebra... 6 Stelling van Thales...... 7 3 Achtergrondinformatie Auteurs

Nadere informatie

Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo

Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Domein A: Inzicht en handelen Subdomein A1: Vaktaal wiskunde 1. vmbo passende vaktaal voor wiskunde herkennen en gebruiken voor het ordenen van het eigen denken

Nadere informatie

1 Coördinaten in het vlak

1 Coördinaten in het vlak Coördinaten in het vlak Verkennen Meetkunde Coördinaten in het vlak Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. (Als je er niet uitkomt, ga je gewoon naar de Uitleg, maar bekijk het probleem

Nadere informatie

Stelling van Pythagoras

Stelling van Pythagoras 1 of 6 Stelling van Pythagoras Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie De stelling van Pythagoras is een wiskundige stelling die zijn naam dankt aan de Griekse wiskundige Pythagoras. 'Zijn' stelling was overigens

Nadere informatie

13 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde.

13 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde. 13 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1999-000: Tweede ronde De tweede ronde bestaat eveneens uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem is hetzelfde als dat voor de eerste ronde, dwz per goed antwoord krijgt

Nadere informatie

Selecties uit de Elementen van Euclides, Boek 1

Selecties uit de Elementen van Euclides, Boek 1 Selecties uit de Elementen van Euclides, Boek 1 (Woorden tussen haakjes en voetnoten zijn door de vertaler J.P.H. toegevoegd, en ook enkele Griekse worden die in het hedendaagse Engels voortleven.) 1.

Nadere informatie

Wiskundig vouwen. Philippe Cara. Vrije Universiteit Brussel. Nationale Wiskunde Dagen. Noordwijkerhout, 28 januari / 61

Wiskundig vouwen. Philippe Cara. Vrije Universiteit Brussel. Nationale Wiskunde Dagen. Noordwijkerhout, 28 januari / 61 Wiskundig vouwen Philippe Cara Vrije Universiteit Brussel pcara@vub.ac.be Nationale Wiskunde Dagen Noordwijkerhout, 28 januari 2011 1 / 61 ORIGAMI! ORIGAMI = kunst van het papiervouwen China, 1ste of 2de

Nadere informatie

1 Junior Wiskunde Olympiade : eerste ronde

1 Junior Wiskunde Olympiade : eerste ronde 1 Junior Wiskunde Olympiade 2008-2009: eerste ronde 1 Hoeveel is 2 5 7? (A) 10 21 (B) 25 7 (C) 7 10 (D) 1 15 (E) 29 21 2 Welke van volgende sommen is gelijk aan 10? (A), + 5,555 (B) 2,222 + 6,666 (C),

Nadere informatie

Domein A: Inzicht en handelen

Domein A: Inzicht en handelen Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Preambule Domein A is een overkoepeld domein dat altijd in combinatie met de andere domeinen wordt toegepast (of getoetst). In domein A wordt benoemd: Vaktaal: het

Nadere informatie