HOOFDSTUK 2. Van tekenen naar rekenen

Transcriptie

1 HOOFDSTUK 2 Tant ue l Algèbre et la Géométrie ont été séparées, leurs progrès ont été lents et leurs usages bornés; mais lorsue ces deux sciences se sont réunies, elles se sont prêtées des forces mutuelles et ont marché ensemble d un pas rapide vers la perfection Lagrange Zolang algebra en meetkunde gescheiden waren was hun voortgang traag en hun bruikbaarheid beperkt; maar toen deze wetenschappen bij elkaar gebracht werden hebben ze elkaar versterkt en zijn ze gezamenlijk met snelle tred naar de perfectie gemarcheerd Lagrange In dit hoofdstuk voeren we coördinaten in en leggen we het verband tussen meetkunde en algebra van tekenen naar rekenen. Een punt (x, y) in het vlak wordt vastgelegd twee getallen x, y en andersom. Met die getallen kunnen we berekeningen doen om uiteindelijk terug te komen bij de meetkunde en een uitspraak te doen over het punt (x, y): Meetkunde coördinaten! Algebra berekeningen! Algebra coördinaten! Meetkunde We bouwen een meetkundige rekenmachine om te laten zien dat we meetkundig kunnen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen en worteltrekken. We onderzoeken de coördinaten van snijpunten van lijnen en cirkels om te bewijzen dat we met de meetkundige rekenmachine niets anders kunnen dan de bovengenoemde bewerkingen. Ten slotte wordt als voorbeeld het Delische probleem (verdubbeling van de kubus) vertaald van meetkunde naar algebra en daarmee losgemaakt van de meetkundige context Zijn lengtes van lijnstukken getallen? De tegenstelling tussen de opvattingen van de Grieken en onze moderne kijk op getallen komt mooi tot uitdrukking als het citaat hierboven van de Fransman Lagrange wordt vergeleken met een uitspraak 1 van Aristoteles, een leerling van Plato: OŒk ära Ístin x ällou gënouc metabànta de ixai, o on t gewmetrik n Çrithmhtik >AristotËlhc Het is dus niet toegestaan tijdens een bewijs van de ene op de andere soort [wiskunde] over te gaan, zoals bijvoorbeeld van meetkunde naar arithmetiek Aristoteles De Grieken hebben geworsteld met de vraag of lengtes van lijnstukken wel of niet kunnen worden opgevat als gewone getallen. Eén van de eersten die zich hiermee bezighielden was Pythagoras. Hij is natuurlijk bekend van de naar hem genoemde stelling, maar ook voor zijn werk in de muziekleer en harmonie van klanken. Op basis van die muziekleer definieerde hij gewone getallen als verhoudingen (breuken) van alle natuurlijke getallen. Tijdens het doen van meetkundige constructies vroeg hij zich af of p 2 de lengte van een diagonaal van een eenheidsvierkant wel of geen breuk is. 1 Aristoteles, Analytica posteriora, Boek 1 deel 7. Het Griekse alfabet staat in figuur 1. 25

2 Hoofdstuk 2 F. Het Griekse alfabet 26a Opgave Neem aan dat p een oplossing is van de vergelijking x2 =2, waarbij we deze breuk zo ver hebben vereenvoudigd dat de natuurlijke getallen p en geen gemeenschappelijke delers meer hebben. Gebruik de vergelijking x 2 =2om te laten zien dat p even is. 26b Opgave Schrijf p =2r en laat vervolgens zien dat even is. 26c Opgave Leg uit dat dit in tegenspraak is met onze aannames en dat p 2 dus geen breuk kan zijn. Het kan zijn dat je even moest wennen aan het bewijs in deze opgave. Het type bewijs waarbij je eerst aanneemt dat iets wél waar is, om vervolgens te concluderen dat het níet waar kan zijn heet een bewijs uit het ongerijmde, zie ook appendix B. Getallen die geen breuk zijn noemen we tegenwoordig irrationale getallen. Voor Pythagoras was het een enorme schok dat dit soort dingen bestonden, en een reden voor de Grieken om lengtes van lijnstukken met enig wantrouwen tegemoet te zien. Voortaan mochten lengtes niet worden opgevat als getallen, maar als puur meetkundige objecten. 27 Opgave Laat op soortgelijke wijze zien dat p 3 geen breuk is. 28 Opgave Het getal p 4=2is wél een breuk. Waarom leidt de strategie van de vorige twee opgaven niet tot een tegenspraak? Als bijvoorbeeld de lengte van een zijde gelijk is aan p 2, dan mag je deze lengte niet opvatten als een getal waarmee je algebraïsche manipulaties kunt uitvoeren zoals optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen voordat je hebt gecontroleerd dat deze een meetkundige betekenis 26

3 hebben. Voor een vergelijking als p p p 2 3= 6 moet dus om te beginnen worden bewezen dat lijnstukken kunnen worden geconstrueerd met lengte p 2, p 3, p 6 en p 2 p 3. Vervolgens moet worden bewezen dat vierkanten met zijde p 6 en zijde p 2 p 3 dezelfde oppervlakte 6 hebben. In onze moderne tijd zeggen we dat x = p 2 de positieve oplossing is van de vergelijking x 2 =2, y = p 3 van y 2 =3en dus (xy) 2 = x 2 y 2 =6 ) p 2 p 3=xy = p 6 De verplichte omweg via de meetkunde van de Grieken bleek erg vertragend te werken: in de Elementen komt Euclides bij de studie van wortels (Boek X) bijvoorbeeld niet verder dan de constructie van lijnstukken met lengte p p p m ± n. Wij hebben tegenwoordig geen moeite met getallen zoals p 2 of 1+ p 1+ p 5 omdat we ze zien als oplossing van een vergelijking. 29 Opgave Leg uit dat 1+ p 1+ p 5 voldoet aan de vergelijking x =5. Een manier om grip te krijgen op zo n getal is om het te tekenen: het is de x-coördinaat van een snijpunt van de grafiek van y = x met de lijn y =5. Maar om dat te kunnen doen heb je wel coördinaten en een assenstelsel nodig. Deze brug tussen meetkunde en getallen werd geslagen door René Descartes in zijn geschrift La Géometrie (1637). In een volledig leeg vlak bestaat geen voorkeursrichting, en er is ook geen natuurlijke afstandsmaat. Maar zodra twee punten zijn gegeven is het mogelijk om een x-as te definiëren en de afstand tussen de twee punten gelijk te stellen aan 1. Dit levert de punten (0, 0) en (1, 0). Het idee van Descartes was om dit te doen, en ook een y-as te definiëren loodrecht op de x-as. Het resultaat is een naar hem genoemd Cartesisch assenstelsel. In een plat vlak dat is uitgerust met een Cartesisch assenstelsel kun je elk punt coderen door middel van zijn coördinaten: een getallenpaar (x, y) waarbij x het aantal stappen op de x-as voorstelt en y het aantal stappen op de y-as. Het is goed om je te realiseren dat de coördinaten alleen een punt niet vastleggen: je moet weten welk assenstelsel wordt gebruikt. Toen twee teams van ingenieurs van NASA in 1999 met verschillende eenheden voor afstand werkten, leidde dat bijvoorbeeld tot het verbranden van de Mars Climate Orbiter in de dampkring van Mars, een catastrophe van 125 miljoen dollar Wat zijn getallen? De Grieken vonden dat p 2 geen getal is waar gewoon mee gerekend mag worden, tegenwoordig vinden we van wel. Reden om het begrip getal wat beter te bekijken. Natuurlijke getallen De natuurlijke getallen N zijn alle positieve gehele getallen N = {1, 2, 3,...} Dit zijn de eenvoudigste soort getallen, ze heten niet voor niets natuurlijk. Binnen de natuurlijke getallen kun je naar hartelust optellen en vermenigvuldigen: de som en het produkt van elk tweetal natuurlijke getallen is weer een natuurlijk getal. We zeggen ook wel dat N 2 Bron: 27

4 Hoofdstuk 2 gesloten is onder optelling en vermenigvuldiging. Bovendien voldoen deze operaties aan een aantal wetten: (1) a + b = b + a (2) a b = b a (3) (a + b)+c = a +(b + c) (4) (a b) c = a (b c) (5) a (b + c) =a b + a c Geslotenheid onder aftrekken: gehele getallen Maar hoe zit het dan met de omgekeerde operatie van optellen, namelijk aftrekken? Uiteraard is 5 3 weer een natuurlijk getal, maar 3 5 niet. We kunnen de natuurlijke getallen uitbreiden naar de verzameling Z van gehele getallen Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} Deze verzameling bevat het getal 0 en is wél gesloten onder aftrekken. De rekenregels moeten daarom worden uitgebreid, bijvoorbeeld met de bekende regel dat het produkt van twee negatieve getallen positief is. We gaan hier verder niet op in 3. De Grieken kenden geen negatieve getallen, en ook het getal 0 was hen vreemd. Hoewel wij inmiddels vertrouwd zijn geraakt met negatieve getallen is het toch goed om hier nog even stil te staan bij deze doorbraak. We hebben ons getalbegrip uitgebreid en een nieuw concept omarmd (negatieve getallen) door de focus te leggen op de rekenregels waaraan deze getallen moeten voldoen. De verzameling Z is gesloten onder zowel optellen als aftrekken en de symmetrie tussen optellen en aftrekken is weer hersteld. Geslotenheid onder delen: breuken De natuurlijke en de gehele getallen zijn ook gesloten onder een andere elementaire operatie, namelijk de vermenigvuldiging. Maar hoe zit het met de omgekeerde operatie: delen? Uiteraard is 6/3 weer een geheel getal, maar 5/3 is een breuk. Weer kunnen we onze verzameling getallen uitbreiden en er alle mogelijke breuken bij stoppen. Deze voldoen aan de gebruikelijke rekenregels voor optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen die je kent. We krijgen dan de verzameling van rationale getallen Q, waarbij we de volgende afspraken maken: We delen niet door 0. m Als teller en noemer beide negatief zijn, dan laten we de mintekens weg: n = m n. Als teller óf noemer negatief is, dan zetten we het minteken bij de teller. De noemer is dus altijd een natuurlijk getal. Een breuk zoals vereenvoudigen we altijd tot 5 7, dus we zorgen ervoor dat teller en noemer geen gemeenschappelijke delers meer hebben. Uiteraard moeten de rekenregels weer worden uitgebreid met de nieuwe operatie, we gaan hier verder niet uitvoerig op in. Maar als we dan toch aan het uitbreiden zijn, waarom stoppen we getallen van de vorm p 0 ook niet in Q? Met de gebruikelijke rekenregels zou dit leiden tot de volgende vreemde situatie: 1= 0 0 = = =1+1=2 3 Als je hier meer over wilt weten raad ik het artikel Min maal min is plus aan van Frits Beukers in de Euclides jaargang 81 nr. 4, online beschikbaar via 28

5 Om de gewone rekenregels te kunnen behouden staan we dit dus niet toe: delen door nul is flauwekul. We hebben de natuurlijke getallen N (gesloten onder optelling en vermenigvuldiging) uitgebreid tot Z (ook nog gesloten onder aftrekken) en tot Q (ook nog gesloten onder deling): n o N Z Q = p p 2 Z, 2 N Korte uitleg bij de notatie: A B a 2 A betekent dat de verzameling A een deelverzameling is van B betekent dat a een element is van de verzameling A betekent waarvoor geldt De notatie voor Q betekent dus de verzameling van alle getallen p geheel getal is en een natuurlijk getal. waarvoor geldt dat p een Lichamen Optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen zijn elementaire operaties op getallen. Verzamelingen die gesloten zijn onder deze operaties krijgen een aparte naam: we noemen dit lichamen. Definitie 1. Een lichaam L is een verzameling getallen die 0 en 1 bevat en gesloten is onder optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen met de gebruikelijke rekenregels. 30 Opgave Bewijs dat Q, de verzameling van breuken, een lichaam is. Je mag daarbij gebruik maken van de normale rekenregels voor breuken en het feit dat Z gesloten is onder optellen, aftrekken en vermenigvuldigen. De gebruikelijke manier om verder te gaan met het getalsbegrip is om te kijken naar de reële getallen, maar dat hebben we in deze Module niet nodig. In plaats daarvan breiden we de verzameling van rationale getallen uit naar de verzameling van construeerbare getallen. Dit blijkt ook een lichaam te zijn zodat we lengtes van construeerbare lijnstukken naar hartelust mogen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen De meetkundige rekenmachine In deze paragraaf laten we zien dat de Grieken ten onrechte dachten dat je lengtes van lijnstukken (zoals p 2) niet zomaar kunt optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Met behulp van het computerprogramma Geogebra bouwen we een meetkundige rekenmachine die deze operaties uit kan voeren. Nou kunnen lengtes van lijnstukken niet negatief worden, en daarom hebben we het liever over de coördinaten van construeerbare punten. Als een lijnstuk met lengte a kan worden geconstrueerd, kunnen we via de constructie uit opgave 3 dit lijnstuk verplaatsen naar de oorsprong en ook de punten met coördinaten ( a, 0), (a, 0), (0, a) en (0,a) construeren. Definitie 2. Als startverzameling nemen we de punten (0, 0) en (1, 0). De verzameling van coördinaten van construeerbare punten noemen we K. 29

6 Hoofdstuk 2 Optellen in K Als a, b 2 K dan zijn (a, 0) en (0,b) construeerbaar. Via de constructie uit opgave 3 kunnen we een cirkel met middelpunt (a, 0) en straal b snijden met de x-as. Eén van de twee snijpunten is het punt (a + b, 0). Daarom weten we dat a + b 2 K. Aftrekken in K In de laatste stap van de constructie hierboven krijg je twee snijpunten, het andere punt is (a b, 0). Daarom weten we dat a b 2 K. Vermenigvuldigen in K Als a, b 2 K dan zijn (a, 0) en (0,b) construeerbaar. Via evenwijdige lijnen (B5) is het punt (0,ab) construeerbaar, zie figuur 2. Het bewijs loopt via gelijkvormige driehoeken. Daarom weten we dat c = ab 2 K. F. Constructie van ab en a b (links) en p a (rechts). Delen in K Delen het omgekeerde van vermenigvuldigen, ook meetkundig gezien: we gebruiken dezelfde figuur 2 in de omgekeerde volgorde. Als a, c 2 K dan zijn (a, 0) en (0,c) construeerbaar. Via evenwijdige lijnen (B5) is het punt (0,b) construeerbaar, waarbij b = c a. Daarom weten we dat b = c a 2 K. Worteltrekken in K Het is te verwachten dat onze meetkundige rekenmachine meer kan dan allleen +,.,. Het is immers vrij eenvoudig om de diagonaal van een eenheidsvierkant te construeren en deze heeft lengte p 2. Kunnen we misschien elke wortel van een construeerbaar getal construeren? 31 Opgave Stel dat a 2 K, dus (a, 0) is construeerbaar. Construeer een cirkel zoals in figuur 2. Bewijs dat (0, ± p a) de snijpunten zijn van de cirkel met de y-as. De conclusie is dat voor alle a 2 K geldt dat p a 2 K. Hint: gebruik bijvoorbeeld de stelling van Thales en drie keer de stelling van Pythagoras. Conclusie: de verzameling K van coördinaten van construeerbare punten is een lichaam dat gesloten is onder worteltrekken. We hebben nu in theorie een meetkundige rekenmachine gebouwd voor construeerbare coördinaten met de volgende knoppen: +,,,, p die we in de volgende paragraaf in de praktijk zullen brengen. 30

7 Intermezzo: spiralen Theodorus, een wiskundige leermeester van Plato, gebruikte de onderstaande spiraal om wortels van natuurlijke getallen te construeren. Deze spiraal van Theodorus heeft enkele bijzondere eigenschappen, bijvoorbeeld dat lijnen vanuit de p oorsprong nooit exact over elkaar heen lopen, ook niet als je doorgaat met construeren na 17. Een andere beroemde spiraal is de logarithmische spiraal: de enige soort spiraal die er hetzelfde uitziet na herschaling. De spiraal bijvoorbeeld drie keer zo groot maken is hetzelfde als een draaiing om een bepaalde hoek, die afhangt van de precieze spiraal. Voorbeelden van deze spiralen zijn de schelp van een nautilus (schaaldier) en een lagedruksysteem. 31

8 Hoofdstuk 2 Constructieproblemen vertaald naar algebra Elk constructieprobleem kan nu worden vertaald naar algebra: een punt is construeerbaar precies wanneer zijn coördinaten in de getallenverzameling K zitten. 32a Opgave Leg uit dat het getal 32b Opgave Leg uit dat het getal cos 2 17 = p 1+ p 5 uit opgave 29 construeerbaar is. 1+ p p r p p p! 17 construeerbaar is. Dit is de x-coördinaat van een punt van de regelmatige zeventienhoek, die we in de volgende paragraaf met behulp van het programma Geogebra gaan construeren. De beroemde constructieproblemen kunnen als volgt worden vertaald naar algebra: Beroemd probleem 1 (Kwadratuur van de cirkel). Zit p in het lichaam van construeerbare coördinaten K? Beroemd probleem 2 (Regelmatige veelhoeken). Van welke regelmatige veelhoeken zitten de coördinaten van de hoekpunten 4 in het lichaam van construeerbare coördinaten K? Beroemd probleem 3 (Driedeling van een hoek). Laat een construeerbare hoek zijn. Zitten de coördinaten cos 3 en sin 3 in het lichaam van construeerbare coördinaten K? Beroemd probleem 4 (Het Delische probleem verdubbeling van een kubus). Zit 3p 2 in het lichaam van construeerbare coördinaten K? 2.4. Geogebra Het computerprogramma Geogebra is een veelzijdig en gratis programma waar je wiskunde mee kunt doen en eenvoudig tekeningen en applets mee kunt maken. Met name de meetkundige mogelijkheden van het programma sluiten goed aan bij het onderwerp van deze Module: het construeren met passer en liniaal. Er zijn knoppen voor ieder van de spelregels PL1 t/m PL6 en de basisconstructies B1 t/m B6 uit het vorige hoofdstuk. Bovendien is interactief: als je eenmaal een meetkundige constructie hebt gemaakt kun je met punten slepen om te onderzoeken wat de gevolgen zijn. Hebben we een bepaalde constructie eenmaal uitgevoerd en begrepen, dan kan deze dienen als bouwsteen in volgende constructies. In de Elementen gebruikt Euclides dit principe heel strikt: dit boek is een bouwwerk, waarbij eerder bewezen stellingen worden ingezet om nieuwe stellingen te bewijzen. Als iets bewezen is, dan is dat voor de eeuwigheid en Euclides bewijst dan ook nooit twee keer hetzelfde. Ook in Geogebra kun je dit idee mooi uitvoeren: naast de voorgeprogrammeerde basisconstructies kun je als gebruiker ook je eigen knoppen maken via de zogenaamde Macro s. Via uitgedeelde werkbladen en een computerpracticum maak je kennis met (de meetkundige kant van) Geogebra en werken we samen aan nieuwe knoppen voor een meetkundige rekenmachine. 4 De scherpe lezer zal opmerken dat het eigenlijk gaat om de hoek 2 n die construeerbaar moet zijn. De exacte positie van de hoekpunten hangt immers af van de afstand van de hoekpunten tot het middelpunt van de veelhoek. Toch blijkt dit voor de construeerbaarheid uiteindelijk niet uit te maken. 32

9 Geogebra werkblad: de meetkundige rekenmachine Ga naar de volgende website en download de webstart versie van het programma geogebra Je ziet twee vensters: links het algebra venster waarin de namen en eigenschappen van getekende objecten staan en rechts het tekenvenster. Bovenin staat een knoppenbalk met daarin de meetkundige gereedschappen gesorteerd op type: punten, lijnen, veelhoeken, cirkels en transformaties. Onder elk icoontje zijn weer andere tools te vinden van hetzelfde type via het kleine driehoekje. Dit zijn alle tools: Icoon nummer 5 is bijvoorbeeld het snijpunt van twee objecten, nummer 8 de middelloodlijn van een lijnstuk enzovoorts. Zodra je een knop hebt geselecteerd kun je naast de knoppenbalk lezen wat voor input Geogebra van je verwacht. Opdracht 1: de omgeschreven cirkel van een driehoek In deze Geogebra-opdracht maak je een nieuwe Macro een nieuw stuk gereedschap in Geogebra en onderzoek je eigenschappen van de omgeschreven cirkel van een driehoek. 1 Geogebra opdracht Teken een driehoek 4ABC met behulp van het icoontje. Construeer met behulp van middelloodlijnen de omgeschreven cirkel van 4ABC. Geogebra werkt met onafhankelijke en afhankelijke objecten. In de constructie die je zojuist hebt gemaakt zijn de hoekpunten van de driehoek onafhankelijk je kunt ze verplaatsen door met het pijltjesicoon erop te klikken en de andere objecten zijn afhankelijk: ze veranderen automatisch mee. 33

10 Hoofdstuk 2 2 Geogebra opdracht Sleep met de hoekpunten van de driehoek. Voor welke bijzondere driehoeken ligt het middelpunt van de omgeschreven cirkel op één van de zijden? En waar op de zijde kan dit middelpunt liggen? De knoppen van geogebra zijn natuurlijk handig, maar soms niet voldoende: als je een bepaalde basisconstructie vaak moet uitvoeren is het prettig om zelf een nieuwe knop te kunnen toevoegen. 3 Geogebra opdracht Maak via het menu Macro s een nieuwe Macro aan, die als beginobject de drie hoekpunten van de driehoek heeft en als eindobject de omgeschreven cirkel. Geef de nieuwe knop een naam, begin weer met een schoon geogebra-blad en probeer hem eens uit! 4 Geogebra opdracht Wat gebeurt er met de omgeschreven cirkel als de drie punten (bijna) op één lijn liggen? Inleveropdracht: de meetkundige rekenmachine Teken op een willekeurige plek een lijnstuk, waarvan we de eindpunten A en B lengte de lengte a noemen. In het algebra venster aan de linkerkant zie je deze punten en het lijnstuk als het goed is verschijnen. Teken daaronder een kleiner lijnstuk met eindpunten C en D en lengte b. Teken daaronder een nieuw punt P. 5 Geogebra opdracht Construeer het punt (a, 0) en het punt (0,b). Om de lijnstukken naar de oorsprong te verplaatsen kan het icoontje handig zijn. Gebruik vervolgens de constructie van paragraaf 2.3 om een lijnstuk met lengte a + b te construeren. Gebruik ten slotte het icoontje. Klik op het punt P en kijk in het Algebra venster aan de linkerkant zien hoe het lijnstuk met lengte a + b heet. Die naam typ je in. Het resultaat is als het goed is een lijnstuk met lengte a + b en punt P als één van de eindpunten. De oorsprong heeft nu waarschijnlijk een naam gekregen, zeg punt E. Ga naar het Algebra venster en vervang nu eerst in alle definities waar het punt E in voorkomt deze door (0, 0). Dus Segment[E,F] wordt Segment[(0,0),F] etcetera. Maak een nieuwe macro (knop) in geogebra met als input de punten A, B, C, D, P en als output het lijnstuk met lengte a + b en eindpunt P (haal de coördinaatassen weg bij de input). Je kunt in het menu Macro s beheren en opslaan als klein bestandje met extensie.ggt. Deze bestanden zetten we neer op een centrale plek zodat we ze kunnen uitwisselen. 34

11 6 Geogebra opdracht Doe hetzelfde als in de vorige opdracht, maar nu voor een lijnstuk met lengte a dat je in het begin a>bhad gekozen.. b. Let op 7 Geogebra opdracht Doe hetzelfde als in de vorige opdrachten, maar nu voor een lijnstuk met lengte ab. Gebruik de bijbehorende constructie uit paragraaf Geogebra opdracht Doe hetzelfde als in de vorige opdrachten, maar nu voor een lijnstuk met lengte a b. Gebruik de bijbehorende constructie uit paragraaf Geogebra opdracht Doe hetzelfde als in de vorige opdrachten, maar nu voor een lijnstuk met lengte p a. Gebruik de bijbehorende constructie uit paragraaf 2.3. Als het goed is hebben we nu een aantal macrobestanden waarmee we de operaties +, meetkundig kunnen uitvoeren.,,, p De eerste wiskundige die na de Grieken een nieuwe regelmatige veelhoek construeerde was Karl Friedrich Gauss. Toen hij in 1799 achttien jaar oud was gebruikte hij complexe getallen en algebra om te bewijzen dat cos 2 17 = p p r p p p! Geogebra opdracht (Eindopdracht) Leg uit waarom de regelmatige 17-hoek construeerbaar is met passer en liniaal. Construeer met behulp van de macro s in geogebra een regelmatige 17-hoek en treed in de voetsporen van Gauss. 35

12 Hoofdstuk 2 Samenvatting H2 Door het invoeren van een assenstelsel konden we praten over de verzameling van coördinaten van construeerbare punten K. Dit is een verzameling van getallen, waardoor constructieproblemen kunnen worden vertaald naar algebra. We hebben op een nieuwe manier naar getallen gekeken: het zijn verzamelingen die gesloten onder operaties zoals +,,, met de gebruikelijke rekenregels. Een verzameling die 0 en 1 bevat en gesloten is onder al deze operaties heet een lichaam. De verzameling K bleek een lichaam te zijn dat ook nog eens gesloten is onder worteltrekken. In het volgende hoofdstuk bewijzen we dat K het kleinste lichaam is met deze eigenschap. operaties p gesloten onder operaties N Z Q K We hebben in geogebra een meetkundige rekenmachine gemaakt waarmee de operaties + p kunnen worden uitgevoerd. Rond het jaar 1800 ontdekte Gauss via algebra dat één van de punten van een regelmatige zeventienhoek als x-coördinaat heeft cos 2 17 = p p r p p p! 17 Met deze informatie en de meetkundige rekenmachine hebben we in navolging van Gauss een regelmatige zeventienhoek geconstrueerd. De beroemde constructieproblemen kunnen als volgt worden vertaald naar algebra: Beroemd probleem 1 (Kwadratuur van de cirkel). Zit p in het lichaam van construeerbare coördinaten K? Beroemd probleem 2 (Regelmatige veelhoeken). Van welke regelmatige veelhoeken zitten de coördinaten van de hoekpunten in het lichaam van construeerbare coördinaten K? Beroemd probleem 3 (Driedeling van een hoek). Laat een construeerbare hoek zijn. Zitten de coördinaten cos 3 en sin 3 in het lichaam van construeerbare coördinaten K? Beroemd probleem 4 (Het Delische probleem verdubbeling van een kubus). Zit 3p 2 in het lichaam van construeerbare coördinaten K? 36