Kepler s Derde Wet en de Stabiliteit van het Zonnestelsel

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "Kepler s Derde Wet en de Stabiliteit van het Zonnestelsel"

Rudolf van der Woude
6 jaren geleden
Aantal bezoeken:

1 Kepler III p.1 Kepler s Derde Wet en de Stabiliteit van het Zonnestelsel Henk Broer Instituut voor Wiskunde en Informatica Rijksuniversiteit Groningen

2 De Principia Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica Isaac Newton, URL: broer Kepler III p.2

3 Kepler III p.3 Brahe en Kepler Tycho Brahe Johannes Kepler ( ) ( ) Waarneming en berekening aan Zonnestelsel

4 Kepler III p.4 Harmonice Mundi Harmonie in de Kosmos? Pythagoras: kleine natuurlijke getallen in toonsafstanden verhoudingen 1 : 2 octaaf, 2 : 3 kwint, 3 : 4 kwart Harmonie der Sferen...

5 Kepler III p.5 Platonische lichamen - viervlak (tetraëder) vuur - kubus (hexaëder) aarde - achtvlak (octaëder) lucht - twaalfvlak (dedecaëder) æther (= quintessence) - twintigvlak (icosaëder) water Hoogtepunt van de Elementen van Euclides in boek XIII

6 Kepler III p.6 Kepler s wetten I & II Kepler I: Planeetbaan is ellips met Zon in brandpunt Kepler II: Gelijke tijden AB en CD dan gelijke perken

7 Kepler III p.7 Kepler s wet III Kepler ellips: Kepler ellips Afmeting en omloopstijd - halve lange as A - omloopstijd T Dan geldt T 2 = cst. A 3 Kepler vindt dit door bestudering waarnemingen Hieronder als theoretisch resultaat uit wiskundige principes voor bijzonder geval van cirkelbeweging Harmonie: Zie de eenvoudige natuurlijke getallen 2 en 3!

8 Kepler III p.8 Newton en Flamsteed Isaac Newton John Flamsteed ( ) ( ) Universele gravitatie

9 Kepler III p.9 Cirkelbaan in centraal krachtveld Puntmassa m in vlak centraal krachtveld (principe) F = km r 2 e r (1) Cirkelbaan (nu is A = R, de straal) ( ) ( x(t) r(t) = = R y(t) Verband R en T? cos( 2π T t) sin( 2π T t) ) Nu Kepler III als gevolg van mathematische principes!

10 Kepler III p.10 Cirkelbaan in centraal krachtveld (ctd.) y 0 F r x Cirkelbaan in centraal krachtveld F

11 Kepler III p.11 Snelheid cirkelbeweging x (t) = 2πR ( 2π T sin y (t) = 2πR T cos ) T t ) ( 2π T t en Geeft snelheid cirkelbeweging ( ) x (t) v(t) = y = R (t) ( 2π T sin(2π T t) 2π T cos( 2π T t) )

12 Kepler III p.12 Snelheid cirkelbeweging (ctd.) y v 0 x De snelheid v raakt aan de cirkelbaan

13 Kepler III p.13 Middelpuntzoekende versnelling y 0 a x De versnelling a wijst naar het centrum

14 Versnelling en kracht Versnelling cirkelbeweging (= middelpuntzoekend) ( ) ( x (t) ( ) 2π 2 ) a(t) = y = R T cos 2π T t (t) ( ) 2π 2 T sin 2π T t ( ) 2 2π = R e r, vgl. BINAS... (2) T Nog een principe: Newton II F = ma (3) Vgln. (1), (2) en (3) geven inderdaad Kepler III: T 2 = 4π2 k R3 Kepler III p.14

15 Kepler III p.15 Literatuur I 1. Henk Broer, De chaotische schommel, Pythagoras 35(5) 1997, Henk Broer, Computergebruik en demathematisering, Nieuw Archief voor Wiskunde (3) 5/8(3), september 2007, Joost Hulshof, Differentiaalvergelijkingen, oscillaties en planeetbanen (vakantiecursus), Nieuw Archief voor Wiskunde 5/8(4), december 2007, Rainer Kaenders, Dubbelplaneten (vakantiecursus), Nieuw Archief voor Wiskunde 5/8(4), december 2007,

16 Kepler III p.16 Galileïsche manen Jupiter Io, Europa, Ganymedes en Callisto

17 Kepler III p.17 Galileïsche manen Jupiter (ctd.) Merk op: bijna cirkels. Omloopstijden ongeveer Io: 2 dagen, Europa: 4 dagen, Ganymedes: 1 week, Callisto: 2 weken Geldt hiervoor Kepler III? Check Flamsteed: JA

18 Kepler III p.18 Universele gravitatie Klassiek standpunt: alleen de Zon trekt aan de planeten alles valt naar het centrum van de toenmalige wereld Flamsteed: ook Jupiter trekt zijn manen aan Hierna postuleert Newton de formule F = km 1m 2 r 2 e r tussen elk tweetal (punt-) massa s m 1 en m 2 op afstand r Toen pas universele gravitatie...

19 Kepler III p.19 Conclusies Gedaan is het met die ordelijke ellipsen! Jupiter stoort de baan van de Aarde om de Zon, enzovoorts Storingsrekening is het gevolg: woeste berekeningen aan Maanbaan Sterbedekkingen belangrijk voor lengtebepaling op zee Cruciaal experiment Flamsteed Vergelijk Eddington bij de Zonsverduistering in 1919 (check Algemene Relativiteitstheorie) Drie lichamen al heel lastig! CHAOS Van Poincaré naar speelgoedmodel Hénon-Heiles

20 Kepler III p.20 Hénon-Heiles 1964 Poincaré sectie Co-existentie van (multi-) periodiciteit en chaos 4-dimensionale meetkunde...

21 Hénon-Heiles II Gekoppelde oscillatoren x y = V x = V y met potentiele energie V (x,y) = 1 2 (x2 + y 2 + 2x 2 y 3 2y3 ) totale energie E = 2 1 ( (x ) 2 + (y ) 2) + V (x,y), behouden Via x = u en y = v naar 4D fase-ruimte R 4 = {x,y,u,v} Energie hyperoppervlak x 2 + y 2 + u 2 + v 2 + 2x 2 y 2 3 y3 = E 3-dimensionale sfeer S 3 R 4 Kepler III p.21

22 Kepler III p.22 Hénon-Heiles III Meetkunde van S 3 R 3 { } 2-dimensionale torus T 2 S 3 de vereniging van twee volle tori, geplakt langs gemeenschappelijke rand Poincaré sectie is dwars op zulke 2-tori

23 Verder... Henri Poincaré Jacques Laskar Stabiliteit Zonnestelsel multi-periodiek of chaotisch? Op welke termijn? Jacques Laskar Observatoire de Paris: voor berekeningen aan Newtoniaanse vergelijkingen Problemen te verwachten over jaar Er is (veel) meer... Kepler III p.23

24 Kepler III p.24 Literatuur II - M. Caspar, Johannes Kepler, Stuttgartt H.F. Cohen, De Herschepping van de Wereld, Uitgeverij Bert Bakker E.J. Dijksterhuis, De Mechanisering van het Wereldbeeld, Meulenhof A. Koestler, The Sleepwalkers, Hutchinson 1959; Danube Edition 1968, 2nd edition N.P. Landsman, Requiem voor Newton, Uitgeverij Contact R.S. Westfall, Never at Rest. A biography of Isaac Newton, Cambridge University Press 1980.

25 Kepler III p.25 Literatuur III - H.W. Broer en F. Takens, Dynamical Systems and Chaos, Epsilon-Uitgaven 2008 (to appear). - H.-O. Peitgen, H. Juergens en D. Saupe, Chaos and Fractals, New Frontiers of Science, Springer-Verlag 1992.

Vergelijkbare documenten

Kepler s Derde Wet en de Stabiliteit van het Zonnestelsel

Kepler III p.1 Kepler s Derde Wet en de Stabiliteit van het Zonnestelsel Henk Broer Instituut voor Wiskunde en Informatica Rijksuniversiteit Groningen De Principia Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica