De geest terug in de fles!

Transcriptie

1 De geest terug in de fles! Henk Broer NWD is ontmoetingsplaats voor wiskundigen en wiskundeleraren uit het voortgezet onderwijs om de laatste wiskundige ontwikkelingen te proeven en om te horen wat er in het wiskunde-onderwijs leeft Ik groet u allen zeer! Dit is een korte inleiding in het demathematiserings-probleem en de vraag hoe we de geest samen weer in de fles kunnen krijgen. Een bekend probleem? In de wereld is een algemene en enigszins paradoxale demathematisering gaande. Ondanks het feit dat wiskunde een centrale rol speelt in vrijwel alle wetenschappelijke vooruitgang over het hele spectrum van biologie tot natuurkunde en ondanks dat het de basis vormt van de gehele technologie, verdwijnt wiskunde meer en meer uit het oog. Dat geldt voor het rekenen wiskundeonderwijs, voor de rol van wiskunde in het natuurkundeonderwijs, etc. Velen gebruiken de term ouderwetse wiskunde wanneer het gaat om rekenen met getallen en letters, haakjes verdrijven, ontbinden in factoren, functies tekenen, goniometrie, calculus. Naast deze ouderwetse wiskunde, met veel inspiratie uit de klassieke natuurkunde (mechanica, optica), schijnt er nu een nieuw soort wiskunde te bestaan, waarin onder meer gemodelleerd wordt in de aard- en levenswetenschappen en waarin veel wiskunde wordt toegepast via computer tools. Het lijkt net alsof de ouderwetse wiskunde wel kan worden overgeslagen... Recentelijk was ik op het Fields Institute in Toronto, waar cohomologietheorie 1 tot de ouderwetse wiskunde werd gerekend, die echter opnieuw tot leven werd gebracht (awareness) door de snaar theorie. GELOOFT U DAT HET ZO WERKT?? 1 Een onderdeel der Algebraïsche Topologie, gefundeerd midden de vorige eeuw. 1

2 Enkele anecdotes NRC, Volkskrant, Spits, het NOS en het RTL-journaal, etc. staan er tegenwoordig vol van. Er is van alles mis met de taal-, rekenen formulevaardigheden van de hedendaagse scholier. U kent allemaal de anecdotes wel. Rekenen met (decimale) breuken, onbekend zijn met 2 = 2 1, het niet vereenvoudigen log 1, 4, etc. De lijst is eindeloos, bijvoorbeeld over kogelbanen die nog 4 4 slechts verticaal mogen zijn met s = 1 2 at2, zonder een term als v 0 t. Zie ook de rapportages over de TU instaptoetsen. Wat opvalt is dat hier officiële lichamen allerlei strakke regelgeving toe passen. Het is hier niet aan mij om hierover te gaan staan zwarte pieten. Zoals u wellicht bekend doen de universiteiten en het HBO hier ook aan mee. Denk aan de cursussen statistiek met het computer pakket SPSS, waarbij vaak alleen het learn to use geldt in plaats van het use to learn. 2 Ook zag ik een sterrenkunde project langskomen met botsende sterrenstelsels, waar alle gravitatietheorie (met veel wiskunde) geheel uit was verdwenen: het was slechts een run met een beschikbaar computerprogramma. Verder hebben de universiteiten boter op hun hoofd met het afzwakken van het NT profiel als ingangseis. NATUURLIJK MOET VERANTWOORDE ICT WEL!! Attitude Ervaring met studenten leert dat velen geen contact met de wiskunde hebben. Ze hebben geen vat op de formules, geen begrip van achterliggende meetkunde. Het is allemaal op grote afstand gebleven. Ze weten vaak niet hoe hun handen uit de mouwen te steken. Het lijkt alsof ze niet al teveel dingen hebben hoeven leren waar ze geen zin aan hadden, je hoort het over de hele linie, bijvoorbeeld bij formuleren, grammatica, spellen. Rijtjes leren, tafels van vermenigvuldiging, toonladders studeren, gonioformules, is dat allemaal OUDERWETS? Kan dat niet meer over het voetlicht? Ik hoor inderdaad veel dat de hedendaagse leerling dat allemaal ook niet meer wil. Het spreekt tegenwoordig niet meer aan. Het woord LEUK valt daarbij vaak. Natuurlijk kun je die leuke dingen alleen doen als je voldoende van die OUDERWETSE zaken beheerst! 2 In het visiedocument van de vernieuwingscommissie ctwo wordt het tweede gesteld boven het eerste. 2

3 De vraag is inmiddels of het totale pakket nog wel genoeg mensen inspireert om bijvoorbeeld een (harde) bèta-studie of economie te gaan studeren? Of een taal? De geest lijkt uit de fles te zijn ontsnapt. DIT PROBLEEM IS NIET MET BIJSPIJKEREN TE VERHELPEN!! Oorzaken, remedies? Er heerst een welhaast scholastische discussie over oorzaken: het effect van de basisschool, van de basisvorming, van het het nieuwe leren (het studiehuis en de werkstukkencultuur), het heersend gebruik van de grafische rekenmachine, het idee van context naar concept, etc. Zoals u weet adviseren landelijke profiel- en vernieuwingscommissies de minister van OCW. Net als medici in veldhospitalen, hebben ze vaak geen tijd voor een diepgaand diagnostisch onderzoek... Bovenstaande heeft zeer te maken met het heersende maatschappelijke beeld van wiskunde en met dat van geleerdheid en wetenschap überhaupt. Rond 1919, toen de Algemene Relativiteitstheorie werd bevestigd door de afbuiging van sterrelicht door de zwaartekracht van de Zon (Einstein-Eddington), was dat nog voorpaginanieuws in de Engelse en Franse kranten. Vergelijk o.a. het uiterst leesbare [1]. Nu mag Wim T. Schippers bij televisie-shows zoals de Nationale Wetenschapsquiz of Flogiston elke wetenschappelijke uitleg gewoon onderbreken. De vermaakscomponent is immers veel belangrijker dan de inhoud. Wat me opvalt is de VERONTSCHULDIGENDE rol van veel beoefenaars van wiskunde, inclusief wiskundeleraren. Toehoorders doen er ook vaak lacherig over. Wat lijkt te ontbreken is een zeker algemeen respect voor wiskunde en ook aan een zeker zelfrespect bij haar beoefenaren. Dit is een SERIEUS probleem voor NEDERLAND KENNISLAND, zeker in het licht van de komende urenvermindering. Samenwerking voortgezet-hoger onderwijs Op brede schaal is er samenwerking groeiende tussen het voortgezet en het hoger onderwijs, dat laatste inclusief het onderzoek. Deze contacten lopen vaak regionaal, bijvoorbeeld via steunpunten, maar inmiddels ook via samenwerkingen binnen het nieuwe bètavak NLT. Het is de bedoeling dat een en ander landelijk wordt aangestuurd. Op korte termijn zal ook de bijbehorende bij- en nascholing op gang komen in verband met alle vernieuwingen van het curriculum. Hier kunnen en willen de NVvW en het KWG graag een rol 3

4 y F r 0 x Figure 1: Cirkelbaan in een centraal krachtveld F spelen. In feite is er op initiatief van het Voorzittersoverleg Wiskunde een initiatief gaande om landelijk regie te voeren over deze bijscholing, inclusief een goed systeem van certificatie. Ik vond mijn bezoek, vorige week, aan de drie wiskunde-instituten in Canada (PIMS, FIELDS en CRM/IMS) in dit verband erg inspirerend. Daar heerste welhaast een nog groter elan dan hier om in samenwerking tussen ministerie, scholen, de universiteiten en het onderzoek te komen tot kritiek en verbetering van het Highschool curriculum, vooral met betrekking tot de calculus. In Canada lijkt de gemeenschap een grotere invloed op het wiskunde curriculum te willen hebben dan in Nederland. Wellicht dat we hiervan nog wat kunnen leren! Samenwerking met andere disciplines is uiterst belangrijk: denk aan NLT, maar ook aan de verschillende contexten die bij voorkeur uit aangrenzende disciplines zouden moeten komen. Voor Wiskunde zou er bijvoorbeeld op allerlei niveaus een nauwere band met Natuurkunde moeten zijn. Ik vond zelf onderstaand voorbeeld inspirerend en in wezen vergelijkbaar met het Einstein-Eddington verhaal uit 1919, als hierboven genoemd. Kepler, Newton en Flamsteed Voor een cirkelbaan in een Newtoniaans centraal krachtveld leiden we de derde wet van Kepler af. 4

5 y v 0 x Figure 2: De snelheid v raakt aan de cirkel Plaats, snelheid, versnelling Gegeven is een puntmassa ter grootte m dat zich in het (x, y)-vlak beweegt, onderhevig aan de aantrekkingskracht F = km r 2 e r. (1) Hier is r 2 = x 2 + y 2 en is e r de eenheidsraakvector in de radiële richting. Veronderstel dat de puntmassa de cirkelbaan ( ) ( x(t) cos 2π r(t) = = R t ) T y(t) sin 2π t T met straal R doorloopt, geparametriseerd door de tijd t. De beweging is uniform en heeft periode T. Het gaat ons hier om het verband tussen R en T, de zogenaamde derde wet van Kepler. De snelheid van deze beweging wordt verkregen door differentiëren: ( ) ( ẋ(t) 2π 2π sin v(t) = = R t ) T T 2π. ẏ(t) cos Nogmaals differentiëren geeft de centripetale versnelling ( ) ( ẍ(t) ( ) ) 2π 2 a(t) = = R T cos 2π ) t T ÿ(t) 2 = R sin 2π ( 2π T 5 2π T T t T t ( ) 2 2π e r. (2) T

6 y a 0 x Newton en Kepler Figure 3: De versnelling a wijst naar het centrum Deze versnelling (2) wordt gegeven door de centrale kracht (1), via de tweede wet van Newton: F = ma. (3) Combinatie van de vergelijkingen (1), (2) en (3) geeft nu het gezochte verband tussen R en T : T 2 = 4π2 k R3, (4) hetgeen juist de derde wet van Kepler is voor dit geval. Universele gravitatie en chaos Uit deze berekening moge duidelijk zijn dat de inverse kwadraatwet (1) voor centrale krachtvelden equivalent is met Kepler III. Newton heeft begin jaren 1680 de astronoom John Flamsteed laten checken in hoeverre Kepler III ook geldt voor de satellieten van Jupiter. Na een bevestigend antwoord durfde hij de UNIVERSELE gravitatiewet te poneren, dat is de generalisatie van (1) naar elk tweetal lichamen; wij kennen het resultaat nu als de eerste wet van Newton. Voor meer details zie [2], pp. 408 ff. Newton had onmiddellijk in de gaten dat door de onderlinge interactie der planeten de ellipsbanen (Kepler I) flink verstoord worden: dit soort berekeningen bezorgde hem hoofdpijn. 3 Inmiddels wordt door velen geloofd dat het 3 N. rekende ook driftig aan de Maanbaan. 6

7 Zonnestelsel als geheel een chaotisch systeem is, hetgeen duidelijk merkbaar zal worden op een termijn van, zeg, jaren. In termen van de leeftijd van het heelal is dit een redelijk nabije toekomst, al zal het onze tijd wel duren. Als gezegd vind ik dit voorbeeld inspirerend en in zekere zin vergelijkbaar met het Einstein-Eddington verhaal, dat bovendien binnen het bereik van de VWO stof lijkt te liggen. Dit soort ontwikkelingen is van alle tijden en vaak speelt wiskunde er een centrale rol in. Heilswens Ik wens u allen een goede, geïnspireerde en enthousiaste deelname aan de NWD13. Opmerkingen 1. De eerste wet van Kepler luidt dat elke planeet in een ellipsbaan draait, met de Zon in een der brandpunten. Kepler s tweede wet zegt dat de voerstraal die Zon en planeet verbindt, in gelijke tijdsintervallen gelijke oppervlakten (perken) beschrijft. In het geval de ellips een cirkel is, vallen beide brandpunten samen met het middelpunt van de cirkel en is de beweging van de planeet uniform. 2. Jupiter heeft vier zichtbare satellieten: Callisto (omloopstijd ca. 2 weken), Ganymedes (ca. 1 week), Europa (ca. 4 dagen), Io (ca. 2 dagen). De banen van deze satellieten zijn bijna cirkelvormig. Is het denkbaar dat leerlingen in een project observaties doen aan dit geheel? 3. In het algemeen geldt Kepler III waarbij in (4) de straal R vervangen wordt door de halve lange as a van de ellipsbaan (volgens Kepler I). Het verband tussen de halve korte as b en a wordt gegeven door b = a 1 e 2, waarin e de excentriciteit is van de ellips: voor cirkels geldt dat e = 0 en dus b = a = R. De excentriciteit verschilt echter per planeet, dus voor b geldt geen universele wetmatigheid als Kepler III. 4. Het feit dat in zijn derde wet de natuurlijke getallen 2 en 3 een belangrijke rol spelen, heeft Kepler ertoe geïnspireerd zijn boek Harmonia Mundi te schrijven. 7

8 5. Op de NWD13 worden tot de onverwachte ontwikkelingen in de 20ste eeuwse wiskunde gerekend de onderwerpen Categoriën en Functoren, Chaos en Onvoorspelbaarheid, Nonstandaardanalyse en Gödel s Onvolledigheidsstelling. Cohomologietheorietheorie als onderdeel van de Algebraïsche Topologie hoort hier eigenlijk ook toe en nog veel meer. References [1] S. Rispens, Einstein in Nederland, een intellectuele biografie, Ambo/Antos, 2006 [2] R.S. Westfall, Never at Rest, Cambridge University Press,