Hoofdstuk 8 Hemelmechanica. Gemaakt als toevoeging op methode Natuurkunde Overal

Transcriptie

1

2 Hoofdstuk 8 Hemelmechanica Gemaakt als toevoeging op methode Natuurkunde Overal

3 8.1 Gravitatie Geocentrisch wereldbeeld - Aarde middelpunt van heelal - Sterren bewegen om de aarde Heliocentrisch wereldbeeld - Zon het middelpunt van het heelal - Alle planeten draaien om de zon in cirkelbaan - Maan draait in cirkelbaan om de aarde - Sterren staan veel verder van de zon

4 Planeten Mercurius Venus Aarde Mars Jupiter Saturnus Uranus Neptunus

5 Afstanden bij hemelmechanica AE = m lichtjaar = m VY Canis Majoris d 13,37AE Stel dat je met een vliegtuig rondom de VY Canis Majoris wil vliegen. Je vliegt met 900km/h. Hoelang doe je er dan over? t = s v = π 13, ,7 900 = h jaar

6 Gravitatiekracht F g = G m 1M 2 r 2 Met: F g de gravitatiekracht in N G de gravitatieconstante: 6, Nm 2 kg 2 m 1 de kleinste massa in kg M 2 de grootste massa in kg r de afstand tussen de zwaartepunten m 1 en M 2 (Binas T7 (constanten)) (Binas T31 (planeten)) (Binas T31 (planeten))

7 Rekenvoorbeeld gravitatiekracht van een blokje Een blokje met een massa van 1 kg ligt op de aarde, zie onderstaande tekening. Bereken de gravitatiekracht en vervolgens de versnelling van het blokje. F g F g M 2

8 Rekenvoorbeeld gravitatiekracht van een blokje Een blokje met een massa van 1 kg ligt op de aarde, zie onderstaande tekening. Bereken de gravitatiekracht en vervolgens de versnelling van het blokje. F g F g = G m 1 M 2 r 2 F g M 2 F g = 6, F g 9,802N 1,0 5, (6, ) 2 a = F g m a = F g m 1 9,802ms 2 = g

9 Gravitatiekracht rond de aarde Een blokje met een massa van 1 kg ligt op de aarde, zie onderstaande tekening. Bereken de gravitatiekracht en vervolgens de versnelling van het blokje. g = 9,83ms 2 F g 2,99 g NL = 9,812ms 2 F z = F g Eigenlijk alleen op oppervlakte van de aarde! F g M 2 3,00 g = 9,79ms 2

10 Gravitatiekracht rond de aarde Een blokje met een massa van 1 kg ligt op de aarde, zie onderstaande tekening. Bereken de gravitatiekracht en vervolgens de versnelling van het blokje. g = 9,83ms 2 F n F g 2,99 g NL = 9,812ms 2 Er is stilstand op oppervlakte: - Geen resulterende kracht - F g wordt opgeheven door F n F res F g M 2 3,00 g = 9,79ms 2

11 Rekenvoorbeeld planeten op een lijn Jupiter draait rond de zon in ongeveer 12 jaar. Mars draait rond de zon in ongeveer 2 jaar. We nemen aan dat de baanvlakken van Jupiter, Mars en de aarde samenvallen. a) Bereken na hoeveel jaar de zon, Jupiter en Mars voor het eerst weer op een lijn staan. b) Bereken de hoek die de lijn zon-jupiter-mars maakt met de lijn zon-aarde.

12 Rekenvoorbeeld planeten op een lijn Jupiter draait rond de zon in ongeveer 12 jaar. Mars draait rond de zon in ongeveer 2 jaar. We nemen aan dat de baanvlakken van Jupiter, Mars en de aarde samenvallen. a) Bereken na hoeveel jaar de zon, Jupiter en Mars voor het eerst weer op een lijn staan. b) Bereken de hoek die de lijn zon-jupiter-mars maakt met de lijn zon-aarde. Z A M J Omlooptijden: T aarde 1jaar T Mars 2jaar T Jupiter 12jaar Eerste keer: t t = t = 0 T Mars T Jupiter Tweede keer: t 1 = T Mars Derde keer: t T Mars 2 = t T Jupiter t T Jupiter t 2,4jaar t 4,8jaar

13 8.2 Banen in een gravitatieveld Spiekbriefje H4: cirkelbewegingen Middelpuntzoekende kracht: F mpz = mv2 Eenparige cirkelbeweging: v = 2πrf Planeetbanen - Zijn ellipsen - Baansnelheid is niet constant r aphelium = punt verst van de zon perihelium = punt dichtst bij de zon

14 Baansnelheid van een planeet F g = F mpz m M G = r 2 G M r 2 = v2 r v 2 G M = r m v2 r Aanname: cirkelvormige planeetbaan, brandpunten zeer zicht bij elkaar v = G M r aphelium = punt verst van de zon Laagste baansnelheid perihelium = punt dichtst bij de zon Hoogste baansnelheid

15 Rekenvoorbeeld massa van de zon De omlooptijd van de aarde is ongeveer 365,25 dagen. a) Bereken de baansnelheid van de aarde. b) Bereken de massa van de zon.

16 Rekenvoorbeeld massa van de zon De omlooptijd van de aarde is ongeveer 365,25 dagen. a) Bereken de baansnelheid van de aarde. b) Bereken de massa van de zon. v = 2πr T = 2π 1, , , m/s v 2 = G M r M = v2 r G = 2, , , , kg

17 Derde wet van Kepler v 2 G M = r v = 2πr T 4π 2 r 2 T 2 4π 2 r 3 T 2 G M = r = G M Aanname: cirkelvormige planeetbaan, brandpunten zeer zicht bij elkaar r 3 T 2 = G M 4π 2 Met: r de afstand tussen de zwaartepunten m 1 en M 2 T de omlooptijd in s G de gravitatieconstante: 6, Nm 2 kg 2 M de grootste massa in kg (Binas T31 (planeten)) (Binas T31 (planeten)) (Binas T7 (constanten)) (Binas T31 (planeten))

18 Rekenvoorbeeld beredeneren met verhoudingen Rond de aarde bewegen 2 satellieten. We nemen aan dat deze een perfecte cirkelbeweging om de aarde maken. De verhouding van de baanstralen van beide satellieten is: r A = 25. r B 1 a) Beredeneer hoe groot de verhouding v A is. v B b) Beredeneer hoe groot de verhouding T A is. T B

19 Rekenvoorbeeld beredeneren met verhoudingen Rond de aarde bewegen 2 satellieten. We nemen aan dat deze een perfecte cirkelbeweging om de aarde maken. De verhouding van de baanstralen van beide satellieten is: r A = 25. r B 1 a) Beredeneer hoe groot de verhouding v A is. v B b) Beredeneer hoe groot de verhouding T A is. T B v 2 = G M r v A 2 = v B 2 = G M r A G M r B 2 v A 2 v = B G M r A G M r B = r B r A = 1 25 v A v B = 1 5

20 Rekenvoorbeeld beredeneren met verhoudingen Rond de aarde bewegen 2 satellieten. We nemen aan dat deze een perfecte cirkelbeweging om de aarde maken. De verhouding van de baanstralen van beide satellieten is: r A = 25. r B 1 a) Beredeneer hoe groot de verhouding v A is. v B b) Beredeneer hoe groot de verhouding T A is. T B v = 2πr T Of met Keppler: r A 3 2 T A 3 r B T B 2 = G M 4π 2 = G M 4π 2 T A = 2πr A v A T B = 2πr B v B r A 3 3 T A 2 = r B T B 2 T A T B = T A 2 2 T = r 3 A 3 = 25 B r B 1 2πr A v A 2πr B v B = 3 r A v A v B r B = 25r B 1 5 v B v B = 125 r B 1 T A = 25 T 3 = 125 B 1

21 E z (J) F z (N) 8.3 Gravitatie-energie Spiekbriefje H6: Energie Kinetische energie: E k = 1 2 mv2 Zwaarte energie: E z = mgh Veerenergie: E v = 1 2 Cu2 WBE: E voor = E na h(m) W = F z h = ΔE z F z is constant! h(m)

22 E g (J) F g (N) Gravitatie-energie in het heelal F g = G m M r 2 W = F g dr = E g,b E g,a E g = G m M r R A R A r(m) r(m) W g is positief als een massa naar de planeet toe beweegt.

23 Rekenvoorbeeld baansnelheid van Mercurius In het perihelium van Mercurius is de baanstaal m en in het aphelium is de baanstraal 69, m. De baansnelheid in het aphelium is gelijk aan 39,8m/s. Bereken de baansnelheid van Mercurius in de het perihelium.

24 Rekenvoorbeeld baansnelheid van Mercurius In het perihelium van Mercurius is de baanstaal m en in het aphelium is de baanstraal 69, m. De baansnelheid in het aphelium is gelijk aan 39,8km/s. Bereken de baansnelheid van Mercurius in de het perihelium. WBE: E perihelium = E aphelium E g,p + E k,p = E g,a + E k,a G m M r p mv p 2 = G m M r a mv a 2 G M r p v p 2 = G M r a v a 2 1 v p = 2 6, , , (39, ) , , v p 2 = G M r a v a 2 + G M r p v p = 2G M r a + v a 2 + 2G M r p 60km/s

25 Ontsnappingssnelheid = de snelheid dat een voorwerp dat zich op een afstand r van de planeet bevindt moet hebben om uit het gravitatieveld te komen Je vertrekt op het aardoppervlak en wil uit het gravitatieveld van de aarde komen. Neem aan dat je snelheid buiten het gravitatieveld gelijk is aan 0. Geef de formule voor de ontsnappingssnelheid. WBE: E aarde = E oneindig ver van aarde E g,a + E k,a = E g,o + E k,o E g,a + E k,a = G m M A r A mv o 2 = 0 v o 2 = 2G M r A v o = 2G M A r A

26 Zwarte gaten Kan ontstaan door een enorme sterexplosie. Als de massa groot genoeg is ontstaat er in de kern een zwart gat: - Binnenin is de dichtheid oneindig groot - Ontsnappingssnelheid binnen de kern is groter dan lichtsnelheid - Ook licht kan dus niet ontsnappen - Dus de kern is zwart - De straal R waarin de ontsnappingssnelheid gelijk is aan de lichtsnelheid, heet de waarnemingshorizon.

27 Rekenvoorbeeld waarnemingshorizon Bereken de waarnemingshorizon van een zwart gat met een massa van 22 zonmassa s in drie significantie cijfers. v o = 2G M R v o 2 = 2G M R R = 2G M v 0 2 = 2G M c 2 = 2 6, , , , m

28 8.4 Toepassingen in de ruimtevaart Open banen - E tot = E g + E k 0 - Komen soms voor bij kometen die langs de zon scheren en voorbij het oneindige komen. - Hyperbolen (E tot > 0) - Parabolen (E tot = 0) Gesloten banen - E tot = E g + E k < 0 - Voorwerp is gebonden aan de zon. - Ellips - Cirkel

29 Rekenvoorbeeld polaire satelliet = satelliet die om de polen beweegt terwijl de aarde ronddraait. De Landsat 7 is een bekende polaire satelliet die 15 april 1999 werd gelanceerd door NASA. Deze satelliet bevindt zich circa 700km boven het aardoppervlak. Bereken de hoek α waarover de aarde is gedraaid bij één omlooptijd van de Satelliet. 700km α

30 Rekenvoorbeeld polaire satelliet De Landsat 7 is een bekende polaire satelliet die 15 april 1999 werd gelanceerd door NASA. Deze satelliet bevindt zich circa 700km boven het aardoppervlak. Bereken de hoek α waarover de aarde is gedraaid bij één omlooptijd van de Satelliet. 700km Keppler 6, G M 2 4π 2 = r3 T 2 5, π 2 = (6, ) 3 T 2 T 5925s 1,65h α α = T sat T aarde 360 α = 1, ,8 23,93 Siderische omlooptijd (Binas T31)

31 Siderische omlooptijd De aarde draait om zijn eigen as (eens per 24h) én om de zon (eens per 365 dagen) in dezelfde richting. Stel je voor dat de aarde in één dag om de zon draait: Als jij op de rode pijl staat, zie je dan de gehele dag de zon. Jij telt zelf 0 dagen, terwijl er in werkelijkheid 1 omloop is geweest. ZON In werkelijkheid tel jij dus 365 dagen, terwijl er 366 waren. Siderische omlooptijd: T sid ,93h 366

32 Rekenvoorbeeld geostationaire satelliet = satelliet die stilstaat boven de aarde. Een geostationaire satelliet beweegt rondom de evenaar. Bereken in 3 significante cijfers nauwkeurig op welke hoogte h deze satelliet zich altijd moet bevinden van de aarde. h

33 Rekenvoorbeeld geostationaire satelliet = satelliet die stilstaat boven de aarde. Een geostationaire satelliet beweegt rondom de evenaar. Bereken in 3 significante cijfers nauwkeurig op welke hoogte h deze satelliet zich altijd moet bevinden van de aarde. T sat = T aarde = 23,93h G M 2 4π 2 = r3 T 2 r = 3 GM 2 T 2 4π 2 h r = 3 6, , , π 2 r m h r r aarde = , h 35,8km

34 Transferbanen De baansnelheid van de lage baan bedraagt v 1 = 7, m/s. Voor de totale energie in de ellipsvormige baan geldt: E tot = G mm 2a Met a = 24, m. a) Bereken de snelheidstoename Δv 1,2 die de satelliet nodig heeft om in de ellipsbaan te komen. b) Bereken de snelheidstoename Δv 2,3 die de satelliet nodig heeft om in de geostationaire baan te komen. c) Bereken de totale energie die de satelliet met m = 250kg moet hebben aan brandstof als deze uit de lage baan vertrekt. Δv 1,2 W = ΔE k Δv 2, km W = ΔE g r 1 400km r 2

35 Transferbanen De baansnelheid van de lage baan bedraagt v 1 = 7, m/s. Voor de totale energie in de ellipsvormige baan geldt: E tot = G mm 2a Met a = 24, m. a) Bereken de snelheidstoename Δv 1,2 die de satelliet nodig heeft om in de ellipsbaan te komen. W = ΔE k Δv 2, km W = ΔE g r 1 r 2 v 1 7,67km/s v 2,max 10,07km/s a = 24, m E tot = E g + E k E k = E tot E g 1 2 mv 2 2,max = G mm mm G 2a r 1 400km G = 6, Nm 2 kg 2 M A = 5, kg r A = 6, m v 2,max = G M A a + 2G M A r A ,07km/s Δv 1,2 2,40km/s Δv 1,2 = v 2,max v 1 = 10,07 7,67 2,40km/s

36 Transferbanen De baansnelheid van de lage baan bedraagt v 1 = 7, m/s. Voor de totale energie in de ellipsvormige baan geldt: E tot = G mm 2a Met a = 24, m. b) Bereken de snelheidstoename Δv 2,3 die de satelliet nodig heeft om in de geostationaire baan te komen. E tot = E g + E k E k = E tot E g 1 2 mv 2 2,min = G mm 2a G mm r 2 W = ΔE k Δv 2, km W = ΔE g r 1 400km r 2 v 1 7,67km/s v 2,max 10,07km/s v 2,min 1,62km/s a = 24, m G = 6, Nm 2 kg 2 M A = 5, kg r A = 6, m v 2,min = G M A a + 2G M A r A + 3, ,62km/s Δv 1,2 2,40km/s

37 Transferbanen De baansnelheid van de lage baan bedraagt v 1 = 7, m/s. Voor de totale energie in de ellipsvormige baan geldt: E tot = G mm 2a Met a = 24, m. b) Bereken de snelheidstoename Δv 2,3 die de satelliet nodig heeft om in de geostationaire baan te komen. cirkelbanen F mpz = F g mv2 = G mm r r 2 v 2 = GM r GM 2 v 3 2 v = r 2 r 1 = v 1 GM r 3 = r 1 v 2 r 1 3,34km/s 2 r 1 Δv 2,3 = v 3 v 2,min = 3,34 1,62 1,72km/s Δv 1,2 W = ΔE k Δv 2, km W = ΔE g r 2 r 1 400km 2,40km/s v 1 7,67km/s v 2,max 10,07km/s v 2,min 1,62km/s v 3 3,34km/s a = 24, m G = 6, Nm 2 kg 2 M A = 5, kg r A = 6, m

38 Transferbanen De baansnelheid van de lage baan bedraagt v 1 = 7, m/s. Voor de totale energie in de ellipsvormige baan geldt: E tot = G mm 2a Met a = 24, m. c) Bereken de totale energie die de satelliet met m = 250kg moet hebben aan brandstof als deze uit de lage baan vertrekt. E tot = ΔE k,1,2 + ΔE k,2,3 E tot = 1 2 mδv 1, mδv 2 2,3 W = ΔE k 1,72km/s Δv 2, km W = ΔE g r 2 r 1 400km v 1 7,67km/s v 2,max 10,07km/s v 2,min 1,62km/s v 3 3,34km/s a = 24, m G = 6, Nm 2 kg 2 M A = 5, kg r A = 6, m m = 250kg E tot = 1 2 m(v 2 2,max v 2 1 ) m(v 3 2 v 2,min ) E tot 6, J 2 Δv 1,2 2,40km/s

39 Transferbanen De baansnelheid van de lage baan bedraagt v 1 = 7, m/s. Voor de totale energie in de ellipsvormige baan geldt: E tot = G mm 2a Met a = 24, m. c) Bereken de totale energie die de satelliet met m = 250kg moet hebben aan brandstof als deze uit de lage baan vertrekt. E tot = ΔE g + ΔE k E tot = G mm + G mm + 1 r 2 r 1 2 mv mv 1 2 E tot = 0, , , E tot 6, J Δv 1,2 W = ΔE k 1,72km/s Δv 2, km W = ΔE g r 2 r 1 400km 2,40km/s v 1 7,67km/s v 2,max 10,07km/s v 2,min 1,62km/s v 3 3,34km/s a = 24, m G = 6, Nm 2 kg 2 M A = 5, kg r A = 6, m m = 250kg