Een les wiskunde: hoe Kepler naar de wereld keek (voorbeeldles voortgezet onderwijs)

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Een les wiskunde: hoe Kepler naar de wereld keek (voorbeeldles voortgezet onderwijs)"

Transcriptie

1 Een les wiskunde: hoe Kepler naar de wereld keek (voorbeeldles voortgezet onderwijs) Ab van der Roest Dit materiaal is onderdeel van het compendium christelijk leraarschap dat samengesteld is door het lectoraat Christelijk leraarschap van Driestar hogeschool. Zie ook Samenvatting Deze voorbeeldles komt uit het boek Venster op de hemel. Christelijk leraarschap in de lespraktijk. In dit boek wordt geprobeerd om leraren ertoe aan te zetten om vanuit de schoolvakken verbindingen te leggen met het christelijk geloof. Deze les is een wiskundeles die geschikt is voor de bovenbouw van het vwo. De les gaat over vijfvlakken aan de hand van Kepler. Bronvermelding Mackay, E. (2014 Apeldoorn) Venster op de hemel. Christelijk leraarschap in de lespraktijk. Thema * Inspiratiebronnen Gebruik ** Handen Plaatsingsdatum 2014 Gerelateerde artikelen n.v.t. Trefwoorden Voorbeeldles, venster op de hemel, voortgezet onderwijs, wiskunde * In het compendium wordt al het materiaal verdeeld over de acht thema s van christelijk leraarschap: onderwijs, inspiratiebronnen, leraar, leerling, leerstof, didactiek, schoolteam, leidinggevenden. ** Het materiaal kan gebruikt worden als onderbouwing en visievorming (hoofd), bezinning en reflectie (hart) of biedt concrete handreikingen en voorbeelden (handen).

2 2. Een les wiskunde: hoe Kepler naar de wereld keek Ab van der Roest 1. Inleiding: Hoe Kepler naar de wereld keek, een lesidee voor wiskunde Ik ga een wiskundeles geven aan 5 vwo (wisd). Ik doe dit vandaag anders dan anders. Ik wil enkele inspiratiebronnen gebruiken die het uitgangspunt van deze les vormen. Binnen de christelijke geloofstraditie werd en wordt door velen gezegd dat we God mogen leren kennen uit Zijn woord en uit de natuur. Dit statement ontleen ik aan een boek van Van Berkel. Hierin wordt deze gedachte prachtig verwoord: Het begon met Augustinus. Het was deze kerkvader die voor het eerst de gedachte onder woorden bracht dat de wereld om ons heen een boek is waaruit we iets kunnen leren over God. Er zijn, zo legt hij in zijn commentaar op Psalm 45 uit, twee boeken waaruit men kan leren wat God wil. Aan de ene kant is er de Heilige Schrift, waaruit men het kan horen (de meeste mensen lazen de Bijbelboeken niet zelf, maar luisterden naar iemand die ze voorlas). Aan de andere kant is er de hele wereld (orbis terrarum), waarin iedereen het kan zien. In het eerste boek lezen alleen zij die de letters kennen, in de hele wereld leest ook elke ongeletterde bron: K. van Berkel, Citaten uit het boek der natuur, Amsterdam Zie 127 Een venster_bw.indd :49

3 Daarnaast gaf Augustinus vorm aan een gedachte die al veel ouder was. In het Oude Testament komen verschillende passages voor die uitdrukking geven aan de idee dat de natuur een betekenis heeft en dus met andere betekenisdragers vergeleken kan worden. De natuur draagt als het ware tekenen in zich van God. Het is de kunst om door goed te kijken deze tekenen te verstaan. Deze twee bronnen vormen de inspiratiebron van deze les. We hopen op een totaal andere manier dan we vanuit het boek gewend zijn naar de wiskunde te gaan kijken. We richten ons vanuit deze bronnen op de geschiedenis van de wiskunde. Het wereldbeeld van Kepler 128 Een venster_bw.indd :49

4 2. Het wereldbeeld van Kepler Bovenstaande afbeelding heeft me, om verschillende redenen, altijd geboeid. Je ziet er de zogeheten platonische lichamen op. De tekening als geheel vormt het wereldbeeld van de natuurkundige Kepler. Wat zien we hier precies? Ik citeer Stafleu: Hij vroeg zich af waarom er precies zes planeten waren en waarom ze de door Copernicus gevonden baanstralen bezaten. In 1596 meende Kepler het antwoord gevonden te hebben: de structuur van het zonnestelsel wordt bepaald door de vijf regelmatige veelvlakken. In Plato s tijd was bewezen dat er precies vijf van zulke veelvlakken bestonden, met respectievelijk 4, 6, 8, 12 en 20 zijvlakken. Als deze nu zo in elkaar gepast worden dat de omgeschreven bol van het ene lichaam tevens de ingeschreven bol van het volgende lichaam vormt, kan men in en om de vijf lichamen zes bollen construeren. Als op elke bol een planeet wordt gedacht (met de zon in het centrum), verklaart dit volgens Kepler waarom er zes planeten zijn Vragen De lessenserie begint met het presenteren van bovenstaande afbeelding. Dit gaat gepaard met de vraag: Wat zie je? De halve bol, de kubus en de piramide worden snel herkend. Dan stopt het. Totdat ik de opdracht geef om ook de tekst eens te 54. bron: D. Stafleu, En toch beweegt zij: geschiedenis van de natuurkunde van Pythagoras tot Newton, Meppel Een venster_bw.indd :49

5 lezen. We richten ons op het planetarium en van daaruit kijken we naar de hemellichamen. Op dat moment gebeurt er iets. De platonische lichamen, die strikt wiskundig zijn, krijgen een extra betekenis. Voor Plato en Kepler hadden zij een bijzondere betekenis. Welke betekenis is dat? Deze vraag wordt een wezenlijk deel van de les. De leerlingen krijgen de opdracht om op internet op te zoeken welke betekenis Plato en Kepler aan deze lichamen gaven. Deze opdracht moeten de leerlingen uitvoeren voordat we de problematiek wiskundig gaan bespreken. Op deze manier bereik ik dat de lichamen een extra dimensie krijgen. De leerlingen gaan, naar ik hoop, ontdekken dat deze lichamen naast een wiskundige betekenis vanwege hun unieke karakter ook een diepere betekenis hebben. Een goede beschrijving staat bijvoorbeeld bij de site van een volkssterrenwacht. 55 Uiteraard vormt dit ook onderdeel van het reflectieverslag dat ze moeten maken. Kunnen we de natuur op deze manier beschrijven? De moderne mens doet dat niet, maar is het opmerkelijk dat de wetenschappers van toen het wel deden? Kunnen we in de wetenschap nog steeds ruimte maken voor God, die hemel en aarde geschapen heeft? Zijn er wetenschappers die nog steeds als gelovigen bekendstaan? Komt dit ook tot uiting in hun werk? Ik stel deze vragen en we praten erover door. Uiteindelijk komen we bij de meer wiskundige betekenis van de platonische lichamen. Er zijn precies vijf platonische lichamen. Dit is voor de leerlingen eenvoudig na te gaan, nadat we gedefinieerd hebben wat we verstaan onder een platonisch lichaam: Een platonisch lichaam is een regelmatig veelvlak waarvan de Een venster_bw.indd :49

6 zijvlakken congruente regelmatige veelhoeken zijn. Bovendien zijn alle hoeken tussen de vlakken onderling gelijk. We kennen de tetraëder, kubus, octaëder, dodecaëder en de icosaëder. Nadat de leerlingen de veelvlakken getekend hebben, moeten ze uitleggen dat er precies vijf zijn. Een vijfvlak De leerlingen maken ook een overzicht van het aantal hoekpunten, ribben en zijvlakken. Hieraan koppel ik dan het begrip duale, het verwisselen van vlakken en hoekpunten, en de formule van Euler (H-R+V=2, dat wil zeggen, het aantal hoekpunten aantal ribben + aantal vlakken = 2). Een leuke opdracht is ook om de veelvlakken als regelmatige vlakke graaf te tekenen; de hoekpunten van het lichaam zijn de punten van de graaf en 131 Een venster_bw.indd :49

7 de ribben zijn de lijnen. In een vlakke graaf snijden de lijnen elkaar niet. Er ontstaan mooie tekeningen, zoals hiernaast. Naast deze opdracht krijgen de leerlingen de opdracht om de straal van de ingeschreven en de omgeschreven bol van de tetraëder, de kubus en de octaëder te bepalen. Wanneer deze overzichtelijk zijn weergegeven, moeten de onderlinge afstanden van de planeten opgezocht worden. Aan de hand hiervan kunnen de berekeningen van Kepler gecontroleerd worden. Dit is een lastig gedeelte. Leerlingen moeten doorsnedes tekenen, met vlakke meetkunde komen ze dan een heel eind. De controle op het idee van Kepler is dan het laatste deel van de opdracht. Het blijkt dat de foutmarge niet zo groot is. 4. Tot slot De leerlingen hebben vanuit oude bronnen, waarin de natuur werd gezien als boek der schepping en als betekenisdrager, kennisgemaakt met een hoofdstuk uit de geschiedenis van de fysica. Ze zijn onder de indruk geraakt van de wijze waarop Kepler heeft nagedacht over de schepping. De diepere kern van zijn model verwijst naar God als Schepper van deze werkelijkheid. De les gaf aanleiding tot nadenken over de verhouding tussen wetenschap en geloof. Kun je als belijdend christen en wetenschapper deze beide gebieden met elkaar verbinden of zijn zij niet te combineren? Ze maken kennis met het denken over het christelijke wereldbeeld en leren om hun eigen mening over de problematiek te geven. De leerlingen vinden het een goede opdracht. Ze waarderen het dat we op een totaal andere manier naar de wiskunde kijken en 132 Een venster_bw.indd :49

8 dat we de wiskunde kunnen toepassen op de klassieke manier van Kepler. Ook hebben ze veel waardering voor wat Kepler al kon. De geschiedenis komt tot leven. Meerdere vensters gaan open: niet alleen het venster van de geschiedenis van de wiskunde, maar ook het venster van de hemel. Beide gebieden hebben veel meer met elkaar te maken dan menig leerling en wetenschapper denkt! 133 Een venster_bw.indd :49

Een muziekles over Haydns Schöpfung (voorbeeldles basisschool)

Een muziekles over Haydns Schöpfung (voorbeeldles basisschool) Een muziekles over Haydns Schöpfung (voorbeeldles basisschool) Paul Knöps Dit materiaal is onderdeel van het compendium christelijk leraarschap dat samengesteld is door het lectoraat Christelijk leraarschap

Nadere informatie

Een les rekenen / wiskunde: ontdekkingen aan de schaduw (voorbeeldles hoger onderwijs)

Een les rekenen / wiskunde: ontdekkingen aan de schaduw (voorbeeldles hoger onderwijs) Een les rekenen / wiskunde: ontdekkingen aan de schaduw (voorbeeldles hoger onderwijs) Nico den Besten Dit materiaal is onderdeel van het compendium christelijk leraarschap dat samengesteld is door het

Nadere informatie

Een les scheikunde: de stof water geeft een venster op de hemel (voorbeeldles voortgezet onderwijs)

Een les scheikunde: de stof water geeft een venster op de hemel (voorbeeldles voortgezet onderwijs) Een les scheikunde: de stof water geeft een venster op de hemel (voorbeeldles voortgezet onderwijs) Han Vuik Dit materiaal is onderdeel van het compendium christelijk leraarschap dat samengesteld is door

Nadere informatie

Laat idealen de lesinhoud bepalen

Laat idealen de lesinhoud bepalen Laat idealen de lesinhoud bepalen Laura Boele-de Bruin Dit materiaal is onderdeel van het compendium christelijk leraarschap dat samengesteld is door het lectoraat Christelijk leraarschap van Driestar

Nadere informatie

Een les rekenen: de maten van de ark (voorbeeldles basisschool)

Een les rekenen: de maten van de ark (voorbeeldles basisschool) Een les rekenen: de maten van de ark (voorbeeldles basisschool) Paul Knöps Dit materiaal is onderdeel van het compendium christelijk leraarschap dat samengesteld is door het lectoraat Christelijk leraarschap

Nadere informatie

Een leesles over een prentenboek (voorbeeldles basisschool)

Een leesles over een prentenboek (voorbeeldles basisschool) Een leesles over een prentenboek (voorbeeldles basisschool) Arja Breugem-Mackay Dit materiaal is onderdeel van het compendium christelijk leraarschap dat samengesteld is door het lectoraat Christelijk

Nadere informatie

Het Woord aan het woord

Het Woord aan het woord Het Woord aan het woord Jan Proos Dit materiaal is onderdeel van het compendium christelijk leraarschap dat samengesteld is door het lectoraat Christelijk leraarschap van Driestar hogeschool. Zie ook www.christelijkleraarschap.nl.

Nadere informatie

Spreken over de Triniteit

Spreken over de Triniteit Spreken over de Triniteit Jan Proos Dit materiaal is onderdeel van het compendium christelijk leraarschap dat samengesteld is door het lectoraat Christelijk leraarschap van Driestar hogeschool. Zie ook

Nadere informatie

Veelvlak. Begrippenlijst

Veelvlak. Begrippenlijst Veelvlakken Tijdens dit project Veelvlakken ga je vooral veel zelf onderzoeken. Je zult veel aan het bouwen zijn met Polydron materiaal. Waarschijnlijk zul je naar aanleiding van je bevindingen zelf vragen

Nadere informatie

Identiteit en verlegenheid bij vaksecties

Identiteit en verlegenheid bij vaksecties Identiteit en verlegenheid bij vaksecties Dick Janse Dit materiaal is onderdeel van het compendium christelijk leraarschap dat samengesteld is door het lectoraat Christelijk leraarschap van Driestar hogeschool.

Nadere informatie

Handreiking voor het organiseren van een teambijeenkomst

Handreiking voor het organiseren van een teambijeenkomst Handreiking voor het organiseren van een Laura Boele-de Bruin Dit materiaal is onderdeel van het compendium christelijk leraarschap dat samengesteld is door het lectoraat Christelijk leraarschap van Driestar

Nadere informatie

Onderwijs is leven wekken

Onderwijs is leven wekken Onderwijs is leven wekken Drs. H. (Henk) Vermeulen Dit materiaal is onderdeel van het compendium over christelijk leraarschap, van het lectoraat Christelijk leraarschap van Driestar hogeschool. Zie ook

Nadere informatie

Christelijk onderwijs in Israël

Christelijk onderwijs in Israël Christelijk onderwijs in Israël Lisa Bos, Arianne van der Pligt, Liesbeth Verdoold Dit materiaal is onderdeel van het compendium christelijk leraarschap dat samengesteld is door het lectoraat Christelijk

Nadere informatie

Een les over taal, rekenen en filosofie: als er geen tijd meer is (voorbeeldles basisschool)

Een les over taal, rekenen en filosofie: als er geen tijd meer is (voorbeeldles basisschool) Een les over taal, rekenen en filosofie: als er geen tijd meer is (voorbeeldles basisschool) Ewald Kloosterman Dit materiaal is onderdeel van het compendium christelijk leraarschap dat samengesteld is

Nadere informatie

Een les cuma: de Verlichting tussen licht en donker (voorbeeldles hoger onderwijs)

Een les cuma: de Verlichting tussen licht en donker (voorbeeldles hoger onderwijs) Een les cuma: de Verlichting tussen licht en donker (voorbeeldles hoger onderwijs) Ewald Mackay Dit materiaal is onderdeel van het compendium christelijk leraarschap dat samengesteld is door het lectoraat

Nadere informatie

Regelmatige en halfregelmatige veelvlakken

Regelmatige en halfregelmatige veelvlakken Regelmatige en halfregelmatige veelvlakken Wiskunde & Cultuur 2-3 W.v.Ravenstein 2010-2011 aangepast Vandaag Platonische lichamen Regelmatig, halfregelmatig en andere naamgeving Waarom zijn er maar 5 Platonische

Nadere informatie

Een les maatschappijleer: omhoogkijken (voorbeeldles voortgezet onderwijs)

Een les maatschappijleer: omhoogkijken (voorbeeldles voortgezet onderwijs) Een les maatschappijleer: omhoogkijken (voorbeeldles voortgezet onderwijs) Henk Vermeulen Dit materiaal is onderdeel van het compendium christelijk leraarschap dat samengesteld is door het lectoraat Christelijk

Nadere informatie

Ontmoeten is gewoon doen

Ontmoeten is gewoon doen Ontmoeten is gewoon doen Aris de Pater Dit materiaal is onderdeel van het compendium over christelijk leraarschap, van het lectoraat Christelijk leraarschap van Driestar hogeschool. Zie ook www.christelijkleraarschap.nl.

Nadere informatie

Delen als Tobit. Jan Proos

Delen als Tobit. Jan Proos Delen als Tobit Jan Proos Dit materiaal is onderdeel van het compendium christelijk leraarschap dat samengesteld is door het lectoraat Christelijk leraarschap van Driestar hogeschool. Zie ook www.christelijkleraarschap.nl.

Nadere informatie

(Samen)werken aan christelijk leraarschap

(Samen)werken aan christelijk leraarschap (Samen)werken aan christelijk leraarschap Laura Boele de Bruin MSc Dit materiaal is onderdeel van het compendium over christelijk leraarschap, van het lectoraat Christelijk leraarschap van Driestar hogeschool.

Nadere informatie

Een pleidooi voor aandachtig, innerlijk onderwijs aan de hand van twee gedichten van Ida Gerhardt. Bronvermelding

Een pleidooi voor aandachtig, innerlijk onderwijs aan de hand van twee gedichten van Ida Gerhardt. Bronvermelding Geopend dagpauwoog Dr. Ewald Mackay Dit materiaal is onderdeel van het compendium over christelijk leraarschap, van het lectoraat Christelijk leraarschap van Driestar hogeschool. Zie ook www.christelijkleraarschap.nl.

Nadere informatie

Land van de duizend bronnen

Land van de duizend bronnen Land van de duizend bronnen Henk Vermeulen Dit materiaal is onderdeel van het compendium christelijk leraarschap dat samengesteld is door het lectoraat Christelijk leraarschap van Driestar hogeschool.

Nadere informatie

Escher in Het Paleis. Wiskundepakket. Ruimtelijke figuren

Escher in Het Paleis. Wiskundepakket. Ruimtelijke figuren Escher in Het Paleis Wiskundepakket Ruimtelijke figuren Ruimtelijke figuren Escher maakt in EEN AANTAL prenten gebruik van wiskundig interessante ruimtelijke vormen, zoals Platonische lichamen en Möbiusbanden.

Nadere informatie

Waarom geef ik straf?

Waarom geef ik straf? Waarom geef ik straf? Leunis van Klinken Dit materiaal is onderdeel van het compendium christelijk leraarschap dat samengesteld is door het lectoraat Christelijk leraarschap van Driestar hogeschool. Zie

Nadere informatie

Hoe beoordeel je een onderwijskundig concept?

Hoe beoordeel je een onderwijskundig concept? Hoe beoordeel je een onderwijskundig concept? Bram de Muynck en Evert Roeleveld Dit materiaal is onderdeel van het compendium christelijk leraarschap dat samengesteld is door het lectoraat Christelijk

Nadere informatie

Het nut van herhaling

Het nut van herhaling Het nut van herhaling Jan Proos Dit materiaal is onderdeel van het compendium christelijk leraarschap dat samengesteld is door het lectoraat Christelijk leraarschap van Driestar hogeschool. Zie ook www.christelijkleraarschap.nl.

Nadere informatie

Een les Nederlands: het romantisch verlangen als venster op de hemel (voorbeeldles voortgezet onderwijs)

Een les Nederlands: het romantisch verlangen als venster op de hemel (voorbeeldles voortgezet onderwijs) Een les Nederlands: het romantisch verlangen als venster op de hemel (voorbeeldles voortgezet onderwijs) Gert van de Wege Dit materiaal is onderdeel van het compendium christelijk leraarschap dat samengesteld

Nadere informatie

Een leerplan, meer dan uittreksel van de wetenschap

Een leerplan, meer dan uittreksel van de wetenschap Een leerplan, meer dan uittreksel van de wetenschap D.H. Janse Dit materiaal is onderdeel van het compendium over christelijk leraarschap, van het lectoraat Christelijk leraarschap van Driestar hogeschool.

Nadere informatie

Christendom voor beginners

Christendom voor beginners Christendom voor beginners Jan Proos Dit materiaal is onderdeel van het compendium christelijk leraarschap dat samengesteld is door het lectoraat Christelijk leraarschap van Driestar hogeschool. Zie ook

Nadere informatie

Gezag dat je hebt en moet krijgen

Gezag dat je hebt en moet krijgen Gezag dat je hebt en moet krijgen Bram de Muynck Dit materiaal is onderdeel van het compendium christelijk leraarschap dat samengesteld is door het lectoraat Christelijk leraarschap van Driestar hogeschool.

Nadere informatie

Tool - Vragenlijst - Wat maakt christelijk onderwijs christelijk

Tool - Vragenlijst - Wat maakt christelijk onderwijs christelijk Tool - Vragenlijst - Wat maakt christelijk onderwijs christelijk D. Janse Dit materiaal is onderdeel van het compendium christelijk leraarschap dat samengesteld is door het lectoraat Christelijk leraarschap

Nadere informatie

De dagopening: een deur naar betekenissen

De dagopening: een deur naar betekenissen De dagopening: een deur naar betekenissen Bram de Muynck Samenvatting Een artikel over de geschiedenis en de functie van de dagopening in het onderwijs. Bronvermelding Muynck, Bram de (2016). De dagopening:

Nadere informatie

Christelijke onderwijspraktijken in verschillende landen

Christelijke onderwijspraktijken in verschillende landen Christelijke onderwijspraktijken in verschillende landen Willemieke Reijnhoudt-Klein, Marike Spruyt-de Kloe, Bram de Muynck Dit materiaal is onderdeel van het compendium christelijk leraarschap dat samengesteld

Nadere informatie

Gids zijn in een meetcultuur

Gids zijn in een meetcultuur Gids zijn in een meetcultuur Bram de Muynck Dit materiaal is onderdeel van het compendium over christelijk leraarschap, van het lectoraat Christelijk leraarschap van Driestar hogeschool. Zie ook www.christelijkleraarschap.nl.

Nadere informatie

Het functioneringsgesprek als stimulans in de beroepsidentiteit

Het functioneringsgesprek als stimulans in de beroepsidentiteit Het functioneringsgesprek als stimulans in de beroepsidentiteit A.J. Verwijs Dit materiaal is onderdeel van het compendium over christelijk leraarschap, van het lectoraat Christelijk leraarschap van Driestar

Nadere informatie

Bijbelstudie op school

Bijbelstudie op school Bijbelstudie op school Henk Westerink Dit materiaal is onderdeel van het compendium christelijk leraarschap dat samengesteld is door het lectoraat Christelijk leraarschap van Driestar hogeschool. Zie ook

Nadere informatie

Caspar Bontenbal april 2015 WISKUNDE & KUNST. Eindverslag

Caspar Bontenbal april 2015 WISKUNDE & KUNST. Eindverslag Caspar Bontenbal 0903785 24 april 2015 WISKUNDE & KUNST Eindverslag Table of Contents Les 1 - Introductie wiskunde & kunst... 2 Opdracht 1.1... 2 Opdracht 1.2... 2 Les 2 - Wiskunde met Verve bloemlezing

Nadere informatie

Een les biologie levende cellen onder de microscoop (voorbeeldles voortgezet onderwijs)

Een les biologie levende cellen onder de microscoop (voorbeeldles voortgezet onderwijs) Een les biologie levende cellen onder de microscoop (voorbeeldles voortgezet onderwijs) Dick Janse Dit materiaal is onderdeel van het compendium christelijk leraarschap dat samengesteld is door het lectoraat

Nadere informatie

http://www.kidzlab.nl/index2.php?option=com_content&task=vi...

http://www.kidzlab.nl/index2.php?option=com_content&task=vi... Veelvlakken De perfecte vorm Plato was een grote denker in de tijd van de Oude Grieken. Hij was een van de eerste die de regelmatige veelvlakken heel bijzonder vond. Hij hield ervan omdat ze zulke mooie,

Nadere informatie

De kracht van goede voorbeelden

De kracht van goede voorbeelden De kracht van goede voorbeelden Jan Proos Dit materiaal is onderdeel van het compendium christelijk leraarschap dat samengesteld is door het lectoraat Christelijk leraarschap van Driestar hogeschool. Zie

Nadere informatie

Een vakoverstijgende les over de ijsvogel (voorbeeldles basisschool)

Een vakoverstijgende les over de ijsvogel (voorbeeldles basisschool) Een vakoverstijgende les over de ijsvogel (voorbeeldles basisschool) Anne Margriet Holster Dit materiaal is onderdeel van het compendium christelijk leraarschap dat samengesteld is door het lectoraat Christelijk

Nadere informatie

Regelmaat in de ruimte

Regelmaat in de ruimte Regelmaat in de ruimte . Regelmaat in de ruimte A.K. van der Vegt VSSD iv VSSD Eerste druk 1991, tweede druk 2002 Uitgave van: VSSD Leeghwaterstraat 42, 2628 CA Delft, The Netherlands tel. +31 15 27 82124,

Nadere informatie

Een les kunstbeschouwing: kunst als hemelvenster (voorbeeldles hoger onderwijs)

Een les kunstbeschouwing: kunst als hemelvenster (voorbeeldles hoger onderwijs) Een les kunstbeschouwing: kunst als hemelvenster (voorbeeldles hoger onderwijs) Winnie Verbeek Dit materiaal is onderdeel van het compendium christelijk leraarschap dat samengesteld is door het lectoraat

Nadere informatie

[Deze tekst komt ongeveer overeen met hoofdstukken 1 en 2 van het boekje Regelmaat in de Ruimte door A. K. van der Vegt]

[Deze tekst komt ongeveer overeen met hoofdstukken 1 en 2 van het boekje Regelmaat in de Ruimte door A. K. van der Vegt] [Deze tekst komt ongeveer overeen met hoofdstukken 1 en 2 van het boekje Regelmaat in de Ruimte door A. K. van der Vegt] Inleiding 1.1. Waar gaat het over? Vraag je aan iemand om een veelvlak te noemen,

Nadere informatie

Twee willen. Jan Proos

Twee willen. Jan Proos Twee willen Jan Proos Dit materiaal is onderdeel van het compendium christelijk leraarschap dat samengesteld is door het lectoraat Christelijk leraarschap van Driestar hogeschool. Zie ook www.christelijkleraarschap.nl.

Nadere informatie

Een les geschiedenis: de gedenkbalk (voorbeeldles voortgezet onderwijs)

Een les geschiedenis: de gedenkbalk (voorbeeldles voortgezet onderwijs) Een les geschiedenis: de gedenkbalk (voorbeeldles voortgezet onderwijs) Ewald Mackay Dit materiaal is onderdeel van het compendium christelijk leraarschap dat samengesteld is door het lectoraat Christelijk

Nadere informatie

Over de basis van het geluk

Over de basis van het geluk Over de basis van het geluk Jan Proos Dit materiaal is onderdeel van het compendium christelijk leraarschap dat samengesteld is door het lectoraat Christelijk leraarschap van Driestar hogeschool. Zie ook

Nadere informatie

Veelvlakken kleuren. Dion Gijswijt

Veelvlakken kleuren. Dion Gijswijt Stel, je wilt de zijvlakken van een veelvlak kleuren, en wel zo dat aangrenzende veelvlakken verschillende kleur krijgen. Hoeveel kleuren heb je dan minimaal nodig? Veelvlakken kleuren Dion Gijswijt De

Nadere informatie

Een hecatonicosachoron op het Kottenpark

Een hecatonicosachoron op het Kottenpark Een hecatonicosachoron op het Kottenpark Afgeknotte Hecatonicosachoron Deze schaduw van deze 4-dimensionale polytoop bestaat uit 120 afgeknotte dodecaëders en 600 tetraëders Gebouwd op 30 januari 2010

Nadere informatie

Een les pedagogiek: leren vol betekenis (voorbeeldles hoger onderwijs)

Een les pedagogiek: leren vol betekenis (voorbeeldles hoger onderwijs) Een les pedagogiek: leren vol betekenis (voorbeeldles hoger onderwijs) Arry Kraai Dit materiaal is onderdeel van het compendium christelijk leraarschap dat samengesteld is door het lectoraat Christelijk

Nadere informatie

EEN PEDAGOGISCHE CANON VOOR CHRISTELIJKE LERAREN

EEN PEDAGOGISCHE CANON VOOR CHRISTELIJKE LERAREN EEN PEDAGOGISCHE CANON VOOR CHRISTELIJKE LERAREN Dr. Leunis van Klinken & Dr. Ewald Mackay Met medewerking van Dr. Otto Willem Dubois en Drs. Henk Vermeulen Inleiding Kader Binnen het Lectoraat Christelijk

Nadere informatie

Steekkaart: nummer 5W

Steekkaart: nummer 5W Steekkaart: nummer 5W Onderwerp Ruimtefiguren herkennen in voorwerpen in de klas en hun eigenschappen benoemen Leeftijd/Doelgroep 5 e leerjaar Leergebied Wiskunde Organisatie Tijdsduur 50 minuten Beschrijving

Nadere informatie

Analytische Meetkunde

Analytische Meetkunde Analytische Meetkunde Meetkunde met Geogebra en vergelijkingen van lijnen 2 Inhoudsopgave Achtergrondinformatie... 4 Meetkunde met Geogebra... 6 Stelling van Thales...... 7 3 Achtergrondinformatie Auteurs

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 199 1994 : Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten

Nadere informatie

Het sterven van Monnica

Het sterven van Monnica Het sterven van Monnica Jan Proos Dit materiaal is onderdeel van het compendium christelijk leraarschap dat samengesteld is door het lectoraat Christelijk leraarschap van Driestar hogeschool. Zie ook www.christelijkleraarschap.nl.

Nadere informatie

Een kwekeling-in-nood ontdekt de schoolmeesterintuïtie

Een kwekeling-in-nood ontdekt de schoolmeesterintuïtie Een kwekeling-in-nood ontdekt de schoolmeesterintuïtie Ewald Mackay Samenvatting Een artikel over schoolmeester/kinderboekenschrijver W.G. van de Hulst (1897-1963). Bronvermelding Mackay, Ewald (2016).

Nadere informatie

Ook doden kunnen weer leven

Ook doden kunnen weer leven Ook doden kunnen weer leven Jan Proos Dit materiaal is onderdeel van het compendium christelijk leraarschap dat samengesteld is door het lectoraat Christelijk leraarschap van Driestar hogeschool. Zie ook

Nadere informatie

Houd de groep erbij! Jan Proos

Houd de groep erbij! Jan Proos Houd de groep erbij! Jan Proos Dit materiaal is onderdeel van het compendium christelijk leraarschap dat samengesteld is door het lectoraat Christelijk leraarschap van Driestar hogeschool. Zie ook www.christelijkleraarschap.nl.

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : eerste ronde 1 Vlaamse Wiskunde Olmpiade 2006-2007: eerste ronde 1 Hoeveel punten kunnen een rechthoek en een cirkel maimaal gemeen hebben? (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8 (E) 10 2 Van de volgende drie uitspraken R : 2 = R

Nadere informatie

Handig met getallen 4 (HMG4), onderdeel Meetkunde

Handig met getallen 4 (HMG4), onderdeel Meetkunde Handig met getallen 4 (HMG4), onderdeel Meetkunde Erratum Meetkunde Je vindt hier de correcties voor Handig met getallen 4 (ISBN: 978 94 90681 005). Deze correcties zijn ook bedoeld voor het Rekenwerkboek

Nadere informatie

WETENSCHAPPEN oefeningen perspectief OEFENING 5. Arnout Van Vaerenbergh

WETENSCHAPPEN oefeningen perspectief OEFENING 5. Arnout Van Vaerenbergh WETENSCHAPPEN oefeningen perspectief OEFENING 5 Arnout Van Vaerenbergh vorige oefening: 1/ contextsimulatie - Muziekles van Vermeer 2/ exacte input - objecten tekenen in perspectief 3/ exacte output -

Nadere informatie

VOORAF. Een volledige versie is aan te kopen via

VOORAF. Een volledige versie is aan te kopen via CABRI 3D VOORAF De laatste jaren zijn enkele programma s voor ruimtemeetkunde op de softwaremarkt verschenen. Ook Cabri, waarvan het programma voor vlakke meetkunde al bestaat uit het DOS-tijdperk van

Nadere informatie

Homogene groepen, de balk

Homogene groepen, de balk Volgende week mag je zelf een les van ongeveer 20 minuten geven aan je medeleerlingen over de balk, cilinder of kegel. Een goede les bevat veel leerlingactiviteit. Zorg er dus voor dat je je leerlingen

Nadere informatie

Dimensies. een ruimtelijke tocht langs onbekende assen. Anne Lotte van der Kooi Jesse Krijthe Roderik Vogels Onder begeleiding van Aad Goddijn

Dimensies. een ruimtelijke tocht langs onbekende assen. Anne Lotte van der Kooi Jesse Krijthe Roderik Vogels Onder begeleiding van Aad Goddijn Dimensies een ruimtelijke tocht langs onbekende assen Anne Lotte van der Kooi Jesse Krijthe Roderik Vogels Onder begeleiding van Aad Goddijn Junior College Utrecht, Januari 7 Inhoud. Abstract.... Inleiding...5.

Nadere informatie

Willem-Jan van der Zanden

Willem-Jan van der Zanden Enkele praktische zaken: Altijd meenemen een schrift met ruitjespapier (1 cm of 0,5 cm) of losse blaadjes in een map. Bij voorkeur een groot schrift (A4); Geodriehoek: Deze kun je kopen in de winkel. Koop

Nadere informatie

Meten en Meetkunde 3. Doelgroep Meten en Meetkunde 3. Omschrijving Meten en Meetkunde 3

Meten en Meetkunde 3. Doelgroep Meten en Meetkunde 3. Omschrijving Meten en Meetkunde 3 Meten en Meetkunde 3 Meten en Meetkunde 3 besteedt aandacht aan het onderhouden en uitbreiden van de basisvaardigheden van het rekenen met maten, oppervlaktes en inhouden, coördinaten en assenstelsels,

Nadere informatie

Platonische transformatiegroepen

Platonische transformatiegroepen Platonische transformatiegroepen Luc Van den Broeck 8 augustus 2015 Samenvatting In dit document worden de transformatiegroepen van de platonische lichamen bestudeerd. Zonder te vervallen in algebraïsche

Nadere informatie

Inleiding in de Filosofie & de Ethiek

Inleiding in de Filosofie & de Ethiek Inleiding in de Filosofie & de Ethiek 1e Bijeenkomst 5 september 2006 Prof. Dr. Hub Zwart Afdeling Filosofie & Wetenschapstudies h.zwart@science.ru.nl http://www.filosofie.science.ru.nl Wat is filosofie?

Nadere informatie

Ontdek Polydron en Polydron Frameworks

Ontdek Polydron en Polydron Frameworks Ontdek Polydron en Polydron Frameworks Bob Ansell Contactgegevens Polydron Site E,Lakeside Business Park Broadway Lane South Cerney Cirencester Gloucestershire GL7 5XL Tel: +44 (0)1285 863980 Email: headoffice@polydron.com

Nadere informatie

B136. BIJLAGE H De verbinding met het 'On-eindige' vanuit het twaalf-, het ruitendertig- en het twintig-vlak. Het twaalfvlak of dodecaëder

B136. BIJLAGE H De verbinding met het 'On-eindige' vanuit het twaalf-, het ruitendertig- en het twintig-vlak. Het twaalfvlak of dodecaëder B136 De verbinding met het 'On-eindige' vanuit het twaalf-, het ruitendertig- en het twintig-vlak Het twaalfvlak of dodecaëder Een dodecaëder ligt besloten tussen 6 paren van evenwijdige vlakken. Als die

Nadere informatie

1 Junior Wiskunde Olympiade 2006-2007: eerste ronde

1 Junior Wiskunde Olympiade 2006-2007: eerste ronde 1 Junior Wiskunde Olympiade 2006-2007: eerste ronde 1 Welke ongelijkheid is juist? (A) 3 5 < 2 6 (C) 5 6 < 3 (B) 3 7 < 2 (D) 5 7 < 2 10 (E) 5 < 6 7 2 Hoeveel vierkante meter is 1600 vierkante centimeter?

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 99 99 : Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten Per

Nadere informatie

De Cantitruncated 600 cel

De Cantitruncated 600 cel De Cantitruncated 600 cel Afgeknotte icosahedrische prismatohexacosihecatonicosachoron Paul van de Veen info@vandeveen.nl januari 2013 I. De 5 Platonische lichamen In één dimensie bestaan alleen maar lijnen.

Nadere informatie

Motieven 1: Een wereld

Motieven 1: Een wereld Motieven 1: Een wereld Doelstellingen: Doel eerste subthema Een wereld om vrij te zijn De catechisanten leren inzien dat vrijheid in Bijbelse zin bij het leven van mensen hoort en ze vormen een mening

Nadere informatie

Dag van de wiskunde. Ideeën voor de klaspraktijk. Kortrijk 26 november Spreker: E. Jennekens

Dag van de wiskunde. Ideeën voor de klaspraktijk. Kortrijk 26 november Spreker: E. Jennekens Dag van de wiskunde Kortrijk 26 november 2009 Ideeën voor de klaspraktijk Spreker: E. Jennekens 1. De provincie West-Vlaanderen is 3144 km² groot. Kun je de hele wereldbevolking, 6,7 miljard, verwelkomen

Nadere informatie

Figuur 3 PYTHAGORAS SEPTEMBER 2016

Figuur 3 PYTHAGORAS SEPTEMBER 2016 In het juninummer zagen we hoe we met behulp van de piramidemethode en invarianten ruimtelijke figuren binnenstebuiten kunnen keren. Aan de invarianten stelden we voorwaarden, zoals dat alle vlakken zoveel

Nadere informatie

Domein A: Inzicht en handelen

Domein A: Inzicht en handelen Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Preambule Domein A is een overkoepeld domein dat altijd in combinatie met de andere domeinen wordt toegepast (of getoetst). In domein A wordt benoemd: Vaktaal: het

Nadere informatie

1 Junior Wiskunde Olympiade : tweede ronde

1 Junior Wiskunde Olympiade : tweede ronde 1 Junior Wiskunde Olympiade 200-2005: tweede ronde De tweede ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een blanco antwoord

Nadere informatie

Meetkundige Ongelijkheden Groep 2

Meetkundige Ongelijkheden Groep 2 Meetkundige Ongelijkheden Groep Trainingsweek Juni 009 1 Introductie We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor het gemak laten we de absoluutstrepen weg. De lengte van een lijnstuk XY wordt dus

Nadere informatie

Voetbal(len) in de wiskundeles

Voetbal(len) in de wiskundeles Voetbal(len) in de wiskundeles Item 1 --- Shot op doel Opdracht : a) figuur links boven (keeper op midden van de doellijn) Welke speler (B of D) maakt de grootste kans om te scoren? b) figuur rechtsboven

Nadere informatie

Meten en Meetkunde 3. Doelgroep Meten en Meetkunde 3. Omschrijving Meten en Meetkunde 3

Meten en Meetkunde 3. Doelgroep Meten en Meetkunde 3. Omschrijving Meten en Meetkunde 3 Meten en Meetkunde 3 Meten en Meetkunde 3 besteedt aandacht aan het onderhouden en uitbreiden van de basisvaardigheden van het rekenen met maten, oppervlaktes en inhouden, coördinaten en assenstelsels,

Nadere informatie

Bouwen met veelhoeken

Bouwen met veelhoeken Bouwen met veelhoeken Opdrachtbladen Jantine Bloemhof Inhoud De vormen........................ 1 Veelhoeken samenvoegen: van klein naar groot........... 2 Tegelpatronen....................... 6 Platonische

Nadere informatie

Gods Woord lezen in Christus door de Geest

Gods Woord lezen in Christus door de Geest Gods Woord lezen in Christus door de Geest GKV Enschede-Noord Een boekje om er nog eens bij te pakken! Een BOEK? Uiterlijk wijkt de Bijbel niet veel af van een gewoon boek, een roman. Maar, zodra je Gods

Nadere informatie

Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo

Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Domein A: Inzicht en handelen Subdomein A1: Vaktaal wiskunde 1. vmbo passende vaktaal voor wiskunde herkennen en gebruiken voor het ordenen van het eigen denken

Nadere informatie

Meetkundige constructies Leerlingmateriaal

Meetkundige constructies Leerlingmateriaal Meetkundige constructies Leerlingmateriaal Nynke Koopmans Roeland Hiele Historical Aspects of Classroom Mathematics Universiteit Utrecht, juni 2013 Inleiding Inleiding Een meetkundige constructie is een

Nadere informatie

GELOOF EN WETENSCHAP. Modellen over de relatie tussen geloof en (natuur)wetenschap in historisch perspectief.

GELOOF EN WETENSCHAP. Modellen over de relatie tussen geloof en (natuur)wetenschap in historisch perspectief. GELOOF EN WETENSCHAP Modellen over de relatie tussen geloof en (natuur)wetenschap in historisch perspectief. 1. HET HARMONIEMODEL De leer van de twee boeken Het Ptolemaeïsche of Aristotelische wereldbeeld

Nadere informatie

5 Les 4 De Eulerkarakteristiek. CC Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie.

5 Les 4 De Eulerkarakteristiek. CC Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie. Auteur Its Academy Laatst gewijzigd Licentie Webadres 30 November 2014 CC Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie http://maken.wikiwijs.nl/46255 Dit lesmateriaal is gemaakt met Wikiwijs Maken

Nadere informatie

geloof en wetenschap Prof.dr. Cees Dekker Kavli Institute of NanoScience Delft http://www.mb.tn.tudelft.nl

geloof en wetenschap Prof.dr. Cees Dekker Kavli Institute of NanoScience Delft http://www.mb.tn.tudelft.nl geloof en wetenschap Prof.dr. Cees Dekker Kavli Institute of NanoScience Delft http://www.mb.tn.tudelft.nl Utrecht, 16-6-2006 1. Is het waar, dat recente vondsten in de wetenschap Godsgeloof verzwakken?

Nadere informatie

Meetkundige ongelijkheden Groep A

Meetkundige ongelijkheden Groep A Meetkundige ongelijkheden Groep A Oppervlakteformules, sinus- & cosinusregel, de ongelijkheid van Euler Trainingsweek, juni 011 1 Oppervlakteformules We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1989-1990: Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1989-1990: Tweede Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 989-990: Tweede Ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw is een officiële foreign coordinator voor de welbekende AHSME-competitie (American High School Mathematics Examination -

Nadere informatie

1 Introductie. 2 Oppervlakteformules

1 Introductie. 2 Oppervlakteformules Introductie We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor het gemak laten we de absoluutstrepen weg. De lengte van een lijnstuk XY wordt dus ook weergegeven met XY. Verder zullen we de volgende notatie

Nadere informatie

PROJECT 5L7 SCHOOLJAAR 2003-2004. WISKUNDE OP HET INTERNET Een concrete werkopdracht.

PROJECT 5L7 SCHOOLJAAR 2003-2004. WISKUNDE OP HET INTERNET Een concrete werkopdracht. PROJECT 5L7 SCHOOLJAAR 2003-2004 WISKUNDE OP HET INTERNET Een concrete werkopdracht. Hieronder staan een aantal opdrachten die je leren wiskunde te ontdekken op het internet. Het is de bedoeling in een

Nadere informatie

Kennismakingsvragen:

Kennismakingsvragen: Kennismakingsvragen: 1. Als je op een onbewoond eiland belandde, welke 3 dingen zou je dan in ieder geval bij je willen hebben? 2. Wat is je vroegste jeugdherinnering? 3. Wat heeft je doen besluiten om

Nadere informatie

1 Junior Wiskunde Olympiade 2010-2011: tweede ronde

1 Junior Wiskunde Olympiade 2010-2011: tweede ronde 1 Junior Wiskunde Olympiade 2010-2011: tweede ronde 1. Het quotiënt 28 is gelijk aan 82 (A) 2 0 () 2 1 (C) 2 2 (D) 2 3 (E) 2 4 2. Het resultaat van de vermenigvuldiging 1 3 5 7 9 2011 eindigt op het cijfer

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 24 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 24 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen HAVO 009 tijdvak woensdag 4 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 9 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Efficientie in de ruimte - leerlingmateriaal

Efficientie in de ruimte - leerlingmateriaal Junior College Utrecht Efficientie in de ruimte - leerlingmateriaal Versie 2 September 2012 Een project (ruimte-)meetkunde voor vwo-leerlingen Geschreven voor het Koningin Wilhelmina College Culemborg

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten Per goed antwoord krijgt hij

Nadere informatie

WISKUNDE-ESTAFETTE Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500

WISKUNDE-ESTAFETTE Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500 WISKUNDE-ESTFETTE 2014 60 Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 00 1 (20 punten) Gegeven zijn drie aan elkaar rakende cirkels met straal 1. Hoe groot is de (donkergrijze) oppervlakte

Nadere informatie

2. Antwoorden meetkunde

2. Antwoorden meetkunde 2. Antwoorden meetkunde In dit hoofdstuk zijn de antwoorden op de opgaven over Meetkunde opgenomen. Ze zijn kort en bondig per paragraaf gerangschikt. Dat betekent dat de antwoorden geen uitgebreide uitleg

Nadere informatie

Inhoud. Blok I Toen. Blok III Straks. Blok II Nu

Inhoud. Blok I Toen. Blok III Straks. Blok II Nu Inhoud Blok I Toen 1 Op weg naar 8 2 Een nieuwe tijd 17 3 Goed nieuws 23 4 Jezus kijkt anders 31 5 Jezus dient 39 6 Jezus geeft onverdiende liefde 44 Blok III Straks 15 Zuchten 100 16 Een blik in de hemel

Nadere informatie