Determinisme, Chaos en Toeval

Transcriptie

1 Chaos p.1 Determinisme, Chaos en Toeval Henk Broer Instituut voor Wiskunde en Informatica Rijksuniversiteit Groningen

2 Chaos p.2 Helden - Newton en Laplace - Leibniz en Voltaire - Poincaré en Kolmogorov - Lorenz en May - Hénon en Feigenbaum - Ruelle en Takens broer@math.rug.nl URL: broer

3 Chaos p.3 Newton en Laplace Isaac Newton Pierre-Simon Laplace ( ) ( ) Zonnestelsel deterministisch systeem stabiel en voorspelbaar?

4 Chaos p.4 Leibniz en Voltaire Gottfried Wilhelm Leibniz François-Marie Arouet (Voltaire) ( ) ( ) Beste van alle mogelijke werelden

5 Chaos p.5 Poincaré en Kolmogorov Henri Poincaré Andrey Nikolaevich Kolmogorov ( ) ( ) Orde, complexiteit en toeval

6 Chaos p.6 Edward Lorenz Edward Norton Lorenz ( ) Chaos awakening

7 Chaos p.7 Eéndimensionale dynamica I Lineair / Exponentieel: Gegeven tijds-evolutie gegeven door Dus: x 0,x 1,x 2,x 3,..., reële getallen x 1 = µx 0,x 2 = µx 1,x 3 = µx 2,... lineair x n+1 = µx n ofwel x n = µ n x 0, n = 1,2,3,... ONDERSCHEID DE GEVALLEN: 0 < µ < 1 exponentieel verval 1 < µ exponentiële groei

8 Chaos p.8 Robert May Robert May, Baron May of Oxford (1936- ) Input vanuit de biologie

9 Chaos p.9 Eén-dimensionale dynamica II niet-lineair: Logist populatie-dynamica x n+1 = µx n (1 x n ), 0 x 1 ONDERSCHEID DE GEVALLEN: 0 < µ < 1 aantrekkend evenwicht 0 1 < µ < 3 aantrekkend evenwicht p µ := (µ 1)/µ 3 < µ geen stabiel evenwicht: waarheen gaan de evoluties op den duur? 0 < µ 3 1 : periode 2 attractor Voor grotere waarden µ periode-verdubbelingen CHAOS (= grillig)

10 Chaos p.10 Grafische analyse I Iteratie x n+1 = F(x n ) via de grafiek y = F(x) en de diagonaal y = x Rechter geval: exponentiële groei

11 Chaos p.11 Grafische analyse II y x Toegepast voor F µ (x) := µx(1 x) voor µ < 1, 1 < µ < 3, en 0 < µ 3 1

12 Bifurcatie diagram I x µ Chaos p.12

13 Chaos p.13 Bifurcatie diagram II Instelverschijnselen weggelaten Periodieke windows Oneindig veel periode-verdubbelings rijen Universaliteit (Feigenbaum, Tresser, &c) Chaos (fractale verzameling) Voorspelbaarheid? Wiskundig verbazingwekkend lastig!

14 Chaos p.14 Feigenbaum en Hénon Mitchel Jay Feigenbaum Michel Hénon (1944- ) (1931- ) Structuur in chaos...

15 Chaos p.15 Hénon afbeelding Evolutie (x 0,y 0 ), (x 1,y 1 ), (x 2,y 2 ),..., in (x,y)-vlak gegeven door (x n+1,y n+1 ) = H(x n,y n ) := (1 ax 2 n + y n,bx n ) Hénon attractor H: a = 1.4, b = 0.3 Fractal : de dimensie van H is 1.2 Nabije waarden van a en n = b geven periodieke attractoren, periode-verdubbelingen, &c Logistische familie treedt op als b 0 : (x n+1, 0) = (1 ax 2 n, 0) ook y = 0 Som: Twee versies van de Logistische familie: x n+1 = µx n (1 x n ) of x n+1 = 1 ax 2 n

16 Chaos p.16 Hénon attractor I y x 1976

17 Chaos p.17 Hénon attractor II Vermoeden: H = W u (p), een opgedikte kromme NB: In geval van een kromme zouden we vinden dim H = 1, terwijl numeriek blijkt dim H = 1.2, Slechts bewezen voor (bepaalde) kleine waarden van b M. Benedicks en L. Carleson, Ann. Math. 133, (1991), Alle bewijzen door verstoring van Logistische familie

18 Chaos p.18 Bakkers transformatie I SPEELGOED-VOORBEELD Evolutie x 0,x 1,x 2,..., wordt gegeven door { x n+1 = B(x n ) = 2x n als 0 x 2 1 2x n 1 als 1 2 < x 1 Uitrekken met factor 2 Als ϕ := 2πx, dan induceert B CONTINUE afbeelding op cirkel: hoekverdubbeling Voor de liefhebbers: het is juist de complexe functie z z 2, beperkt tot de eenheidscirkel

19 Chaos p.19 Bakkers transformatie II y y = B(x) x

20 Chaos p.20 Bakkers transformatie III Getallen 0 x 1 in tweetallig stelsel: 1 x = a a a = a j 2 j j=1 notatie = 0,a 1 a 2 a 3..., waarbij steeds a j = 0 of a j = 1

21 Chaos p.21 Bakkers transformatie IV Voorbeeld: Voor x 0 x 1 x 2 x 4 = 0, = 0, = 0, = 0, Eindige nauwkeurigheid: Verlies aan informatie SLECHTE VOORSPELBAARHEID

22 Chaos p.22 Bakkers transformatie V Voorbeeld: De twee ontwikkelingen x 0 x 0 = 0, = 0, verschillen hoogstens 2 11 Na 10 iteraties verschillen ze aanzienlijk meer Kleine oorzaken GROTE GEVOLGEN Quintessence van CHAOS: - Slechte voorspelbaarheid - Kleine oorzaken grote gevolgen

23 Chaos p.23 Klimaatmodellen I David Ruelle Floris Takens (1935- ) (1940- ) On the nature of turbulence 1971

24 Klimaatmodellen II Gedankenexperiment: vloeistof- of gasstroming verandert van LAMINAIR naar TURBULENT Hoe te verklaren uit zelfde wiskundige beschrijving? Hopf-Landau-Lifschitz-Ruelle-Takens Essentie dynamica in eindig veel vrijheidsgraden Navier-Stokes differentiaalvergelijkingen voor atmosferische en oceanische circulatie, rekening houdend met warmte-transport, geografie, zonnevlekken, etc: Wiskundig onhanteerbaar Vereenvoudigde modellen: Benadering o.m. door - Reductie naar een klein aantal vrijheidsgraden Lorenz 1963 gebruikt 3 vrijheidsgraden - Verschil tussen weer en klimaat - Chaotisch, dus slecht voorspelbaar Chaos p.24

25 Chaos p.25 Klimaatmodellen III Lorenz attractor (1963)

26 Klimaatmodellen IV Links: projecties van attractors Rechts: vermogens-spectra Chaos p.26

27 Boek uit 1974 Chaos p.27

28 Chaos p.28 Klimaatmodellen V Gezocht kwalitatieve modellen voor: Deelsystemen El Niño of Atlantic Multidecadal Oscillation Europa: over 500 jaar warmer of kouder? En over jaar? IJstijden ongeveer elke jaar... Golfstroom: hoe kan deze van richting omkeren? Al Gore: heeft hij gelijk?

29 F (x) = lim h 0 F(x + h) F(x) h Chaos p.29 Crash course Calculus I F(x) y = F(x) x F (x) is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van F in het punt (x,f(x))

30 Chaos p.30 Crash course Calculus II f(x) y = f(x) a x x + h F(x) = x a f(ξ)dξ dan F(x + h) F(x) f(x) h waaruit volgt dat F (x) = f(x)

31 Chaos p.31 Bisschop Berkeley What are these fluxions? The velocities of evanescent increments? And what are these same evanescent increments? They are neither finite quantities, nor quantities infinitely small, nor yet nothing. May we not call them the ghosts of departed quantities? George Berkeley ( )

32 Chaos p.32 Kracht en beweging Beschouw x als 1-dimensionale positie variabele, met v(t) = x (t) = a(t) = x (t) = d x(t) snelheid dt d2 dt2x(t) versnelling Newton II: F = ma 2 e orde differentiaalvergelijking: Gezocht oplossingen x = x(t) denk aan OSCILLATIES F(x) = mx

33 Chaos p.33 Veer I Toepassing op VEER terugdrijvende kracht volgens Hooke F(x) = kx Geeft mx = kx

34 Chaos p.34 Veer II Gezocht FUNCTIE x = x(t) zodat mx (t) = kx(t) Algemene OPLOSSING (noem ω = k/m): x(t) = R cos(ωt + φ) waarbij Periode x(0) = R cosφ en x (0) = ωr sin φ P = 2π ω (ISOCHRONIE)

35 Chaos p.35 Veer en Slinger 1. Veer: x = ω 2 x Hooke + Newton II: ω 2 = k/m 2. Slinger: x = ω 2 sin x Newton II: ω 2 = g/l Overeenkomst: OSCILLATIE voor kleine waarden van (x,x ) benadering sin x x : kleine oscillaties slinger

36 Chaos p.36 Galileï en Huygens Galileo Galileï Christiaan Huygens ( ) ( ) Isochronie en andere zaken MATHEMATISERING van het wereldbeeld

37 Chaos p.37 Determinisme Noem y = x Gegeven algemene oscillator vectorveld x = F(x) x = y y = F(x) Determinisme: gegeven heden (x(0), y(0)) ligt hele toekomst (x(t),y(t)),t > 0 vast als integraalkromme in (x, y)-fasevlak

38 Chaos p.38 Lijnelementenveld Elimineer de tijd t door y dy x = dt = dy dx dt dx LIJNELEMENTENVELD ydy + F(x)dx = 0 ( ) Bewijs: dy dx = y x = F(x) y

39 Energiebehoud STELLING: Stel H(x,y) = 2 1y2 + V (x), waarbij dv dx (x) = F(x). Dan zijn de niveaukrommen H(x,y) = c de integraalkrommen van ydy + F(x)dx = 0 1. BEWIJS: Substitueer 1 2 y2 + V (x) = c in ( ) 2. VEER: V (x) = 1 2 ω2 x 2 integraalkrommen 1 2 y ω2 x 2 = c (c = 1 2 ω2 R 2 0, ellipsen!) 3. SLINGER: V (x) = ω 2 cosx integraalkrommen 1 2 y2 ω 2 cosx = c (c ω 2 ) 4. Niet-lineariteit SLINGER: periode varieert met amplitudo (anisochronie) Chaos p.39

40 Chaos p.40 Veer V (x) = 1 2 x2 y x x Harmonische oscillaties

41 Chaos p.41 Slinger I V (x) = cos x x y x Oscilleren of over de kop slaan

42 Chaos p.42 Slinger II x x t t (a) (b) y x

43 Chaos p.43 Slinger III y x

44 Chaos p.44 Conservatieve chaos Santiago de Compostela en chaos Laat staan Zonnestelsel...

45 Chaos p.45 Dissipatieve chaos Motto: Hénon everywhere

46 Chaos p.46 Basin-grenzen I Chaos ook wegens gecompliceerde basin-grenzen strange repellors Newton algorithme voor nulpunten z 3 1 in complexe vlak 3 attractoren met fractale basin-grenzen alleen bestaande uit drielandenpunten Julia verzameling (figuur hieronder) Dobbelsteen: deterministisch (sic) met veel vrijheidsgraden en 6 attractoren

47 Chaos p.47 Basin-grenzen II Basin-grenzen bestaat uit drielandenpunten L.E.J. Brouwer still going strong

48 Chaos p.48 Toeval Bestaat ook ECHT toeval? Denk aan: Het leven zelf... Atmosferische circulatie (het weer) Harde bollen gas Quantum fysica

49 Chaos p.49 Literatuur - H.F. Cohen, De Herschepping van de Wereld, Uitgeverij Bert Bakker E.J. Dijksterhuis, De Mechanisering van het Wereldbeeld, Meulenhof N.P. Landsman, Requiem voor Newton, Uitgeverij Contact R.S. Westfall, Never at Rest. A biography of Isaac Newton, Cambridge University Press 1980.