Het probleem van Hilbert
|
|
|
- Fenna de Wit
- 6 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 René Pannekoek Imperial College (Londen) 31 januari 2014
2 Motto Leopold Kronecker ( )
3 Motto Leopold Kronecker ( ): Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk.
4 Plimpton 322: het begin van de getaltheorie? Babylonisch kleitablet (±1800 v. Chr.) met voorbeelden van de stelling van Pythagoras (in zestigtallig stelsel!).
5 Plimpton 322: het begin van de getaltheorie? Er staan formules op als = ; = ; = (!) en (natuurlijk) = 5 2. De Babyloniërs moeten haast een manier gehad hebben om deze formules te construeren.
6 De Pythagoreïsche vergelijking Met andere woorden, de Babyloniërs konden geheeltallige oplossingen bepalen van de volgende vergelijking x 2 + y 2 = z 2.
7 De Pythagoreïsche vergelijking Met andere woorden, de Babyloniërs konden geheeltallige oplossingen bepalen van de volgende vergelijking x 2 + y 2 = z 2. Vergelijkingen als deze worden tegenwoordig ook wel Diophantische vergelijkingen genoemd, naar Diophantos van Alexandrië (3e eeuw n. Chr.) die er zijn Arithmetica aan wijdde.
8 De Pythagoreïsche vergelijking Met andere woorden, de Babyloniërs konden geheeltallige oplossingen bepalen van de volgende vergelijking x 2 + y 2 = z 2. Vergelijkingen als deze worden tegenwoordig ook wel Diophantische vergelijkingen genoemd, naar Diophantos van Alexandrië (3e eeuw n. Chr.) die er zijn Arithmetica aan wijdde. Diophantische vergelijkingen zijn vergelijkingen met een restrictie op de toegestane oplossingen: men is alleen geïnteresseerd in geheeltallige oplossingen (soms mogen rationale oplossingen ook).
9 Het abominabele getal 17 Volgens Plutarchos verafschuwden de Pythagoreeërs het getal 17. Zij beschouwden het als een omineuze barrière tussen de getallen 16 en 18, die immers in een verhouding van 9 : 8 tot elkaar staan, precies de verhouding van een hele toon in het octaaf.
10 Het abominabele getal 17 Volgens Plutarchos verafschuwden de Pythagoreeërs het getal 17. Zij beschouwden het als een omineuze barrière tussen de getallen 16 en 18, die immers in een verhouding van 9 : 8 tot elkaar staan, precies de verhouding van een hele toon in het octaaf. Bovendien (aldus Plutarchos) zijn 16 en 18 de enige mogelijke oppervlaktes van een rechthoek waarvan omtrek en oppervlakte gelijk zijn...
11 De proef op de som We nemen een rechthoek met zijdelengten a en b.
12 De proef op de som We nemen een rechthoek met zijdelengten a en b. De oppervlakte is ab en de omtrek is a + b + a + b = 2(a + b).
13 De proef op de som We nemen een rechthoek met zijdelengten a en b. De oppervlakte is ab en de omtrek is a + b + a + b = 2(a + b). We willen dus oplossen: ab = 2(a + b) waarbij a en b positieve gehele getallen zijn.
14 De vergelijking ab = 2(a + b) We willen oplossen, in (positieve) gehele getallen a en b: ab = 2(a + b).
15 De vergelijking ab = 2(a + b) We willen oplossen, in (positieve) gehele getallen a en b: ab = 2(a + b). Trek links en rechts 2(a + b) af: ab 2a 2b = 0.
16 De vergelijking ab = 2(a + b) We willen oplossen, in (positieve) gehele getallen a en b: ab = 2(a + b). Trek links en rechts 2(a + b) af: ab 2a 2b = 0. Tel nu links en rechts 4 op: ab 2a 2b + 4 = 4.
17 De vergelijking ab = 2(a + b) We willen oplossen, in (positieve) gehele getallen a en b: ab = 2(a + b). Trek links en rechts 2(a + b) af: ab 2a 2b = 0. Tel nu links en rechts 4 op: ab 2a 2b + 4 = 4. Merk nu op dat het linkerlid kan worden ontbonden! (a 2)(b 2) = ab 2a 2b + 4
18 De vergelijking ab = 2(a + b) We vervangen dus in ab 2a 2b + 4 = 4 het linkerlid
19 De vergelijking ab = 2(a + b) We vervangen dus in ab 2a 2b + 4 = 4 het linkerlid, en krijgen dan (a 2)(b 2) = 4.
20 De vergelijking ab = 2(a + b) We vervangen dus in het linkerlid, en krijgen dan ab 2a 2b + 4 = 4 (a 2)(b 2) = 4. Twee getallen die vermenigvuldigd 4 zijn, dat kunnen er niet zoveel zijn! We hebben 1 4 = 4, 2 2 = 4 en 4 1 = 4.
21 De vergelijking ab = 2(a + b) We vervangen dus in het linkerlid, en krijgen dan ab 2a 2b + 4 = 4 (a 2)(b 2) = 4. Twee getallen die vermenigvuldigd 4 zijn, dat kunnen er niet zoveel zijn! We hebben 1 4 = 4, 2 2 = 4 en 4 1 = 4. (We kunnen negatieve getallen buiten beschouwing laten.)
22 De vergelijking ab = 2(a + b) We vervangen dus in het linkerlid, en krijgen dan ab 2a 2b + 4 = 4 (a 2)(b 2) = 4. Twee getallen die vermenigvuldigd 4 zijn, dat kunnen er niet zoveel zijn! We hebben 1 4 = 4, 2 2 = 4 en 4 1 = 4. (We kunnen negatieve getallen buiten beschouwing laten.) Dus de oplossingen zijn: {a = 3, b = 6}, {a = 4, b = 4} en {a = 6, b = 3}
23 De vergelijking ab = 2(a + b) We hebben bewezen: de enige rechthoeken waarvan de omtrekken gelijk zijn aan de oppervlakten zijn de 4-bij-4 en de 3-bij-6.
24 De vergelijking ab = 2(a + b) We hebben bewezen: de enige rechthoeken waarvan de omtrekken gelijk zijn aan de oppervlakten zijn de 4-bij-4 en de 3-bij-6. (Ook in Italië is 17 een ongeluksgetal: XVII is een anagram van VIXI = ik heb geleefd, een ietwat onheilspellende uitspraak...)
25 Uitdaging aan het publiek: Plutarchos in 3D Variant: hoeveel balken zijn er waarvan de oppervlakte en het volume gelijk zijn?
26 Uitdaging aan het publiek: Plutarchos in 3D Variant: hoeveel balken zijn er waarvan de oppervlakte en het volume gelijk zijn?
27 Uitdaging aan het publiek: Plutarchos in 3D Welke balken hebben oppervlakte = volume? Dan moet er dus gelden: 2bc + 2ac + 2ab = abc,
28 Uitdaging aan het publiek: Plutarchos in 3D Welke balken hebben oppervlakte = volume? Dan moet er dus gelden: 2bc + 2ac + 2ab = abc, oftewel, als we linker- en rechterlid door abc delen: 2 a + 2 b + 2 c = 1. Dat wil zeggen: vind alle drietallen positieve breuken waarvan de teller 2 is en waarvan de som 1 is. (Er zijn 10 oplossingen!)
29 Diophantische vergelijkingen: geschiedenis (1/4) Het rundveeprobleem van Archimedes. Dit komt neer op x y 2 = 1 (een zogenaamde Pell-vergelijking). Indirecte aanwijzingen dat de oude Grieken en Indiërs x 2 2y 2 = 1 konden oplossen in gehele getallen. In Diophantos Arithmetica: vooral kwadratische en derdegraadsvergelijkingen. Het porisme van Diophantos: stel een rationaal getal a kan geschreven worden als x 3 y 3, dan kan het ook geschreven worden als z 3 + w 3 (hier zijn x, y, z, w positieve rationale getallen).
30 Diophantische vergelijkingen: geschiedenis (2/4) In China en India (eerste millennium n. Chr.): lineaire Diophantische vergelijkingen zoals ax + by = c. Brahmagupta maakte vooruitgang met Pell-vergelijkingen (x 2 Ny 2 = 1). Bhāskara gaf (veel later) een oplossingsmethode. Leonardo van Pisa ( Fibonacci ): een van de eerste belangrijke Europese wiskundigen sinds de oude Grieken. Gaf een oplossingsmethode voor het stelsel { x = y 2 x 2 5 = z 2 in rationale getallen; dit noemen we tegenwoordig een kromme van geslacht één.
31 Diophantische vergelijkingen: geschiedenis (3/4) Al-Bhagdâdi (13 e eeuw) gaf lijst met 33 onopgeloste problemen, zoals: bewijs dat er geen rechthoekige driehoek is waarvan alle zijden kwadraten zijn. Pièrre de Fermat: bewees dat er geen rechthoekige driehoek bestaat met gehele zijdelengten en waarvan de oppervlakte een kwadraat is. Dit geeft de vergelijking y 2 = x 3 4x. Verder luidt de laatste stelling van Fermat dat x n + y n = z n geen niet-triviale oplossingen heeft voor n 3. Fermat bewees dit alleen voor n = 4, met zijn methode van oneindige afdaling.
32 Diophantische vergelijkingen: geschiedenis (4/4) Leonhard Euler: bewees dat xy(x + y) = a geen rationale oplossingen heeft als a = 1 of a = 3. Euler gaf ook oneindig veel rationale oplossingen van xyz(x + y + z) = a voor een willekeurig rationaal getal a. Lagrange bewees dat elk positief geheel getal a geschreven kan worden als x 2 + y 2 + z 2 + w 2 = a met x, y, z, w gehele getallen.
33 Bewijzen dat een vergelijking geen oplossingen heeft Conclusie: een bonte stoet vergelijkingen, weinig systematiek. Tijd voor een algemene theorie.
34 Bewijzen dat een vergelijking geen oplossingen heeft Conclusie: een bonte stoet vergelijkingen, weinig systematiek. Tijd voor een algemene theorie. De grote vraag in het huidige onderzoek: Hoe bewijs je dat een vergelijking geen oplossingen heeft?
35 Bewijzen dat een vergelijking geen oplossingen heeft Conclusie: een bonte stoet vergelijkingen, weinig systematiek. Tijd voor een algemene theorie. De grote vraag in het huidige onderzoek: Hoe bewijs je dat een vergelijking geen oplossingen heeft? Een even klassiek als krachtig antwoord: kijk naar deling met rest.
36 Een voorbeeld Puzzel. Los op in gehele getallen, of bewijs dat er geen oplossing bestaat: x 3 + y 3 + z 3 = 3101.
37 Een voorbeeld Puzzel. Los op in gehele getallen, of bewijs dat er geen oplossing bestaat: x 3 + y 3 + z 3 = Oplossing. We merken eerst op: als je een derdemacht van een geheel getal deelt door 9, krijg je rest 0, rest 1 of rest 8.
38 Deling met rest De rest na deling door 9 van een geheel getal n is één van de getallen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
39 Deling met rest De rest na deling door 9 van een geheel getal n is één van de getallen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Voorbeelden: 31 = = 31 heeft rest 4 1 = = 1 heeft rest = = 3101 heeft rest 5
40 Deling met rest De rest na deling door 9 van een geheel getal n is één van de getallen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Voorbeelden: 31 = = 31 heeft rest 4 1 = = 1 heeft rest = = 3101 heeft rest 5 Algemeen: als n na deling door 9 rest 0 heeft, kunnen we schrijven: n = 9k (met k weer een geheel getal).
41 Deling met rest De rest na deling door 9 van een geheel getal n is één van de getallen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Voorbeelden: 31 = = 31 heeft rest 4 1 = = 1 heeft rest = = 3101 heeft rest 5 Algemeen: als n na deling door 9 rest 0 heeft, kunnen we schrijven: n = 9k (met k weer een geheel getal). Als n na deling door 9 rest 1 heeft, kunnen we schrijven: n = 9k + 1
42 Deling met rest De rest na deling door 9 van een geheel getal n is één van de getallen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Voorbeelden: 31 = = 31 heeft rest 4 1 = = 1 heeft rest = = 3101 heeft rest 5 Algemeen: als n na deling door 9 rest 0 heeft, kunnen we schrijven: n = 9k (met k weer een geheel getal). Als n na deling door 9 rest 1 heeft, kunnen we schrijven: n = 9k + 1, enzovoort.
43 Rest na deling door 9 van een derdemacht Stel n is een geheel getal. Als we de rest na deling door 9 van n weten, dan weten we ook de rest na deling door 9 van n 3.
44 Rest na deling door 9 van een derdemacht Stel n is een geheel getal. Als we de rest na deling door 9 van n weten, dan weten we ook de rest na deling door 9 van n 3. Tabel: n n 3 haakjes wegwerken rest
45 Rest na deling door 9 van een derdemacht Stel n is een geheel getal. Als we de rest na deling door 9 van n weten, dan weten we ook de rest na deling door 9 van n 3. Tabel: n n 3 haakjes wegwerken rest 9k (9k) 3 729k 3
46 Rest na deling door 9 van een derdemacht Stel n is een geheel getal. Als we de rest na deling door 9 van n weten, dan weten we ook de rest na deling door 9 van n 3. Tabel: n n 3 haakjes wegwerken rest 9k (9k) 3 729k 3 0
47 Rest na deling door 9 van een derdemacht Stel n is een geheel getal. Als we de rest na deling door 9 van n weten, dan weten we ook de rest na deling door 9 van n 3. Tabel: n n 3 haakjes wegwerken rest 9k (9k) 3 729k 3 0 9k + 1 (9k + 1) 3 729k k k + 1
48 Rest na deling door 9 van een derdemacht Stel n is een geheel getal. Als we de rest na deling door 9 van n weten, dan weten we ook de rest na deling door 9 van n 3. Tabel: n n 3 haakjes wegwerken rest 9k (9k) 3 729k 3 0 9k + 1 (9k + 1) 3 729k k k + 1 1
49 Rest na deling door 9 van een derdemacht Stel n is een geheel getal. Als we de rest na deling door 9 van n weten, dan weten we ook de rest na deling door 9 van n 3. Tabel: n n 3 haakjes wegwerken rest 9k (9k) 3 729k 3 0 9k + 1 (9k + 1) 3 729k k k k + 2 (9k + 2) 3 729k k k + 8
50 Rest na deling door 9 van een derdemacht Stel n is een geheel getal. Als we de rest na deling door 9 van n weten, dan weten we ook de rest na deling door 9 van n 3. Tabel: n n 3 haakjes wegwerken rest 9k (9k) 3 729k 3 0 9k + 1 (9k + 1) 3 729k k k k + 2 (9k + 2) 3 729k k k + 8 8
51 Rest na deling door 9 van een derdemacht Stel n is een geheel getal. Als we de rest na deling door 9 van n weten, dan weten we ook de rest na deling door 9 van n 3. Tabel: n n 3 haakjes wegwerken rest 9k (9k) 3 729k 3 0 9k + 1 (9k + 1) 3 729k k k k + 2 (9k + 2) 3 729k k k k + 3 (9k + 3) 3 729k k k + 27
52 Rest na deling door 9 van een derdemacht Stel n is een geheel getal. Als we de rest na deling door 9 van n weten, dan weten we ook de rest na deling door 9 van n 3. Tabel: n n 3 haakjes wegwerken rest 9k (9k) 3 729k 3 0 9k + 1 (9k + 1) 3 729k k k k + 2 (9k + 2) 3 729k k k k + 3 (9k + 3) 3 729k k k
53 Rest na deling door 9 van een derdemacht Stel n is een geheel getal. Als we de rest na deling door 9 van n weten, dan weten we ook de rest na deling door 9 van n 3. Tabel: n n 3 haakjes wegwerken rest 9k (9k) 3 729k 3 0 9k + 1 (9k + 1) 3 729k k k k + 2 (9k + 2) 3 729k k k k + 3 (9k + 3) 3 729k k k k + 4 (9k + 4) 3 729k k k k + 5 (9k + 5) 3 729k k k k + 6 (9k + 6) 3 729k k k k + 7 (9k + 7) 3 729k k k k + 8 (9k + 8) 3 729k k k
54 Een voorbeeld Puzzel. Los op in Z, of bewijs dat er geen oplossing bestaat: x 3 + y 3 + z 3 = Oplossing. Een derdemacht levert na deling door 9 altijd rest 0, 1 of 8 op. Het getal 3101 geeft na deling door 9 rest 5. We maken een tabel met resten na deling door 9 :
55 Een voorbeeld Puzzel. Los op in Z, of bewijs dat er geen oplossing bestaat: x 3 + y 3 + z 3 = Oplossing. Een derdemacht levert na deling door 9 altijd rest 0, 1 of 8 op. Het getal 3101 geeft na deling door 9 rest 5. We maken een tabel met resten na deling door 9 : rest van: x 3 y 3 z 3 x 3 + y 3 + z 3 x 3 y 3 z 3 x 3 + y 3 + z 3
56 Een voorbeeld Puzzel. Los op in Z, of bewijs dat er geen oplossing bestaat: x 3 + y 3 + z 3 = Oplossing. Een derdemacht levert na deling door 9 altijd rest 0, 1 of 8 op. Het getal 3101 geeft na deling door 9 rest 5. We maken een tabel met resten na deling door 9 : rest van: x 3 y 3 z 3 x 3 + y 3 + z 3 x 3 y 3 z 3 x 3 + y 3 + z
57 Een voorbeeld Puzzel. Los op in Z, of bewijs dat er geen oplossing bestaat: x 3 + y 3 + z 3 = Oplossing. Een derdemacht levert na deling door 9 altijd rest 0, 1 of 8 op. Het getal 3101 geeft na deling door 9 rest 5. We maken een tabel met resten na deling door 9 : rest van: x 3 y 3 z 3 x 3 + y 3 + z 3 x 3 y 3 z 3 x 3 + y 3 + z
58 Een voorbeeld Puzzel. Los op in Z, of bewijs dat er geen oplossing bestaat: x 3 + y 3 + z 3 = Oplossing. Een derdemacht levert na deling door 9 altijd rest 0, 1 of 8 op. Het getal 3101 geeft na deling door 9 rest 5. We maken een tabel met resten na deling door 9 : rest van: x 3 y 3 z 3 x 3 + y 3 + z 3 x 3 y 3 z 3 x 3 + y 3 + z
59 Een voorbeeld Puzzel. Los op in Z, of bewijs dat er geen oplossing bestaat: x 3 + y 3 + z 3 = Oplossing. Een derdemacht levert na deling door 9 altijd rest 0, 1 of 8 op. Het getal 3101 geeft na deling door 9 rest 5. We maken een tabel met resten na deling door 9 : rest van: x 3 y 3 z 3 x 3 + y 3 + z 3 x 3 y 3 z 3 x 3 + y 3 + z We krijgen nooit 5 als uitkomst. Er zijn dus geen oplossingen!
60 Het voorbeeld van Reichardt en Lind Probleem. Los op in Z, of bewijs dat er geen oplossing bestaat: 2y 2 = x Poging. Laten we eerst eens kijken naar resten na deling door 2. Als x = 1 en y = 0, dan zijn de resten van linkerlid en rechterlid beide gelijk aan 0.
61 Het voorbeeld van Reichardt en Lind Probleem. Los op in Z, of bewijs dat er geen oplossing bestaat: 2y 2 = x Poging. Laten we eerst eens kijken naar resten na deling door 2. Als x = 1 en y = 0, dan zijn de resten van linkerlid en rechterlid beide gelijk aan 0. Deling door 3 dan misschien?
62 Het voorbeeld van Reichardt en Lind Probleem. Los op in Z, of bewijs dat er geen oplossing bestaat: 2y 2 = x Poging. Laten we eerst eens kijken naar resten na deling door 2. Als x = 1 en y = 0, dan zijn de resten van linkerlid en rechterlid beide gelijk aan 0. Deling door 3 dan misschien? Nee: als x = 1 en y = 0, dan zijn de resten van linkerlid en rechterlid beide gelijk aan 2.
63 Het voorbeeld van Reichardt en Lind Probleem. Los op in Z, of bewijs dat er geen oplossing bestaat: 2y 2 = x Poging. Laten we eerst eens kijken naar resten na deling door 2. Als x = 1 en y = 0, dan zijn de resten van linkerlid en rechterlid beide gelijk aan 0. Deling door 3 dan misschien? Nee: als x = 1 en y = 0, dan zijn de resten van linkerlid en rechterlid beide gelijk aan 2. Deling door 4: als x = 1 en y = 0, dan zijn de resten van linkerlid en rechterlid beide gelijk aan 0. Enzovoorts...
64 Het voorbeeld van Reichardt en Lind Probleem. Los op in Z, of bewijs dat er geen oplossing bestaat: 2y 2 = x Poging. We proberen weer een tegenspraak af te leiden door te kijken naar resten na deling door n.
65 Het voorbeeld van Reichardt en Lind Probleem. Los op in Z, of bewijs dat er geen oplossing bestaat: 2y 2 = x Poging. We proberen weer een tegenspraak af te leiden door te kijken naar resten na deling door n. In een tabel: n x y n x y Nog geen tegenspraak in zicht...
66 Het voorbeeld van Reichardt en Lind Probleem. Los op in Z, of bewijs dat er geen oplossing bestaat: 2y 2 = x Poging. We proberen weer een tegenspraak af te leiden door te kijken naar resten na deling door n. In een tabel: n x y n x y Nog geen tegenspraak in zicht... Sterker nog, Reichardt en Lind bewezen dat we die ook niet krijgen, voor geen enkele n....
67 Het voorbeeld van Reichardt en Lind Probleem. Los op in Z, of bewijs dat er geen oplossing bestaat: 2y 2 = x Poging. We proberen weer een tegenspraak af te leiden door te kijken naar resten na deling door n. In een tabel: n x y n x y We krijgen zo dus nooit een tegenspraak. Toch heeft bovenstaande vergelijking geen oplossing in Z!...
68 Hoe nu verder? Rekenen met deling door rest is dus niet het definitieve antwoord.
69 Hoe nu verder? Rekenen met deling door rest is dus niet het definitieve antwoord. Idee: een methode bedenken die wel altijd werkt!
70 David Hilbert David Hilbert ( ) Für uns gibt es kein Ignorabimus, und meiner Meinung nach auch für die Naturwissenschaft überhaupt nicht. [...] Statt des törichten Ignorabimus heiße im Gegenteil unsere Losung: Wir müssen wissen, Wir werden wissen.
71 Hilberts tiende probleem Op het 2 e Internationale Congres voor Wiskundigen in Parijs in 1900 gaf David Hilbert een voordracht met de eenvoudige titel Mathematische Probleme. Hij besprak 23 problemen die volgens hem in de 20 e eeuw moesten worden opgelost. Probleem 10 Gegeven een Diophantische vergelijking in een willekeurig aantal onbekenden en met geheeltallige coëfficiënten: ontwerp een procedure waardoor in een eindig aantal stappen kan worden vastgesteld of de vergelijking oplosbaar is in gehele getallen.
72 Wir werden nie wissen... Probleem 10 Gegeven een Diophantische vergelijking in een willekeurig aantal onbekenden en met geheeltallige coëfficiënten: ontwerp een procedure waardoor in een eindig aantal stappen kan worden vastgesteld of de vergelijking oplosbaar is in gehele getallen. In 1970 bewees Joeri Matijasevitsj dat zo n procedure niet kan bestaan! Matijasevitsj stelling was de laatste bouwsteen in een langslepende wiskundige ontwikkeling, waaraan eerder Julia Robinson, Martin Davis en Hilary Putnam hadden bijgedragen.
73 Matijasevitsj, Robinson, Davis en Putnam
74 Hoe nú verder? Goed, Hilberts tiende probleem is kennelijk onoplosbaar. Laten we dus een vraag bedenken die wel een antwoord heeft!
75 Hoe nú verder? Goed, Hilberts tiende probleem is kennelijk onoplosbaar. Laten we dus een vraag bedenken die wel een antwoord heeft! Deze misschien? Probleem 10 over Q Gegeven een Diophantische vergelijking in een willekeurig aantal onbekenden en met rationale coëfficiënten: ontwerp een procedure waardoor in een eindig aantal stappen kan worden vastgesteld of de vergelijking oplosbaar is in rationale getallen.
76 Hoe nú verder? Goed, Hilberts tiende probleem is kennelijk onoplosbaar. Laten we dus een vraag bedenken die wel een antwoord heeft! Deze misschien? Probleem 10 over Q Gegeven een Diophantische vergelijking in een willekeurig aantal onbekenden en met rationale coëfficiënten: ontwerp een procedure waardoor in een eindig aantal stappen kan worden vastgesteld of de vergelijking oplosbaar is in rationale getallen. Status van dit probleem: vooralsnog onopgelost.
77 Vergelijkingen in twee variabelen, oplossingen in Q Wat kunnen we wél? Voor Diophantische vergelijkingen in twee variabelen ziet de situatie er aanmerkelijk beter uit dan voor het algemene geval; helemáál als we oplossingen in Q toestaan.
78 Vergelijkingen in twee variabelen, oplossingen in Q Wat kunnen we wél? Voor Diophantische vergelijkingen in twee variabelen ziet de situatie er aanmerkelijk beter uit dan voor het algemene geval; helemáál als we oplossingen in Q toestaan. In de theorie speelt meetkunde een doorslaggevende rol.
79 Huidige stand van zaken Vergelijkingen van het type f (x, y) = 0 worden tegenwoordig opgevat als een kromme. (Teken bijvoorbeeld de oplossingen in R 2.)
80 Huidige stand van zaken Vergelijkingen van het type f (x, y) = 0 worden tegenwoordig opgevat als een kromme. (Teken bijvoorbeeld de oplossingen in R 2.) Ook voor krommen is het antwoord op Hilberts vraag nog niet bekend maar de theorie is inmiddels zo omvangrijk en krachtig dat we de meeste vergelijkingen van bovenstaand type (en met enigszins beschaafde coëfficiënten) wel aan kunnen.
81 Vergelijkingen in twee variabelen, oplossingen in Q Beschouw een Diophantische vergelijking in twee variabelen f (x, y) = 0. Tekent men de oplossingsverzameling in R 2, dan krijgt men een kromme in het vlak ( een impliciet gedefinieerde kromme ).
82 Vergelijkingen in twee variabelen, oplossingen in Q Beschouw een Diophantische vergelijking in twee variabelen f (x, y) = 0. Tekent men de oplossingsverzameling in R 2, dan krijgt men een kromme in het vlak ( een impliciet gedefinieerde kromme ). Hieronder ziet men o.a. y 2 = x 3 en y 2 = x 3 x + 1.
83 Het geslacht van een kromme Meetkundigen delen krommen in naar hun geslacht; dit is een niet-negatief geheel getal, vaak genoteerd als g. De eigenschappen van de vergelijking f (x, y) zijn goed te begrijpen in termen van de g van de bijbehorende kromme.
84 Het geslacht van een kromme Meetkundigen delen krommen in naar hun geslacht; dit is een niet-negatief geheel getal, vaak genoteerd als g. De eigenschappen van de vergelijking f (x, y) zijn goed te begrijpen in termen van de g van de bijbehorende kromme. g g = 0 eigenschappen van de kromme g = 1 g > 1
85 Het geslacht van een kromme Meetkundigen delen krommen in naar hun geslacht; dit is een niet-negatief geheel getal, vaak genoteerd als g. De eigenschappen van de vergelijking f (x, y) zijn goed te begrijpen in termen van de g van de bijbehorende kromme. g g = 0 g = 1 eigenschappen van de kromme al dan niet bestaan van een oplossing is eenvoudig na te gaan (met modulorekenen!); zo ja, dan altijd oneindig veel, en er is een formule die ze allemaal geeft g > 1
86 Het geslacht van een kromme Meetkundigen delen krommen in naar hun geslacht; dit is een niet-negatief geheel getal, vaak genoteerd als g. De eigenschappen van de vergelijking f (x, y) zijn goed te begrijpen in termen van de g van de bijbehorende kromme. g g = 0 g = 1 g > 1 eigenschappen van de kromme al dan niet bestaan van een oplossing is eenvoudig na te gaan (met modulorekenen!); zo ja, dan altijd oneindig veel, en er is een formule die ze allemaal geeft niet altijd gemakkelijk na te gaan of er een oplossing is; zo ja, dan hebben we te maken met een elliptische kromme, waarover zeer uitgebreide theorie bestaat; zijn er oneindig veel oplossingen, dan is er geen formule
87 Het geslacht van een kromme Meetkundigen delen krommen in naar hun geslacht; dit is een niet-negatief geheel getal, vaak genoteerd als g. De eigenschappen van de vergelijking f (x, y) zijn goed te begrijpen in termen van de g van de bijbehorende kromme. g eigenschappen van de kromme g = 0 al dan niet bestaan van een oplossing is eenvoudig na te gaan (met modulorekenen!); zo ja, dan altijd oneindig veel, en er is een formule die ze allemaal geeft g = 1 niet altijd gemakkelijk na te gaan of er een oplossing is; zo ja, dan hebben we te maken met een elliptische kromme, waarover zeer uitgebreide theorie bestaat; zijn er oneindig veel oplossingen, dan is er geen formule g > 1 altijd eindig veel oplossingen (Gerd Faltings, 1983)
88 Toepassing Zij n > 0 een geheel getal. Een vergelijking van de vorm hoort bij een kromme van geslacht ax n + by n = c (1) g = (n 1)(n 2). 2
89 Toepassing Zij n > 0 een geheel getal. Een vergelijking van de vorm hoort bij een kromme van geslacht g = ax n + by n = c (1) (n 1)(n 2). 2 Als n > 3, dan hebben we g > 1, en dus heeft (1) slechts eindig veel oplossingen in rationale getallen en dus ook eindig veel oplossingen in gehele getallen!
Diophantische vergelijkingen
Diophantische vergelijkingen een onmogelijke uitdaging Frits Beukers Vakantiecursus 2010 Diophantische vergelijkingen Vakantiecursus 2010 1 / 34 Eerste voorbeeld Bedenk twee gehele getallen x en y zó dat
Diophantische vergelijkingen
Diophantische vergelijkingen 1 Wat zijn Diophantische vergelijkingen? Een Diophantische vergelijking is een veeltermvergelijking waarbij zowel de coëfficiënten als de oplossingen gehele getallen moeten
Heron driehoek. 1 Wat is een Heron driehoek? De naam Heron ( Heroon) is bekend van de formule
Heron driehoek 1 Wat is een Heron driehoek? De naam Heron ( Heroon) is bekend van de formule = s(s a)(s b)(s c) met s = a + b + c 2 die gebruikt wordt om de oppervlakte van een driehoek te berekenen in
6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:
![6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:](/thumbs/55/36024360.jpg "6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:")
6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER
6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:
![6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:](/thumbs/101/148944451.jpg "6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:")
6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER
1.1 Rekenen met letters [1]
![1.1 Rekenen met letters [1]](/thumbs/41/22623929.jpg "1.1 Rekenen met letters [1]")
1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren
Gödels Onvolledigheidsstellingen
Gödels Onvolledigheidsstellingen Jaap van Oosten Department Wiskunde, Universiteit Utrecht Symposium A-eskwadraat, 11 december 2014 De Onvolledigheidsstellingen van Gödel zijn verreweg de beroemdste resultaten
The limits of reason
If arithmetic is consistent then it is incomplete Studium Generale Utrecht, 6 april 2005 Wiskunde One of the finest creations of the human mind is mathematics, for not only is it the apotheosis of rational
Diophantische vergelijkingen
Hoofdstuk 17 Diophantische vergelijkingen 17.1 Inleiding Een diophantische vergelijking is een vergelijking van de vorm F ( 1, 2,..., r ) = 0 waarin F een polnoom met gehele coëfficienten is en waarin
Oplossingen van vergelijkingen in rationale getallen
Hoofdstuk VIII Oplossingen van vergelijkingen in rationale getallen Don Zagier Het gebied van de diophantische vergelijkingen, genoemd naar de grote Griekse wiskundige Diophantus, is een van de oudste
Willem van Ravenstein
Willem van Ravenstein 1. Variabelen Rekenen is het werken met getallen. Er zijn vier hoofdbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Verder ken je de bewerkingen machtsverheffen en worteltrekken.
PRIJEN en PRIPRIJEN Werkblad Rationale rechthoekige driehoeken
PRIJEN en PRIPRIJEN Werkblad Rationale rechthoekige driehoeken Vooraf De vragen en opdrachten in dit werkblad die vooraf gegaan worden door, moeten schriftelijk worden beantwoord. Daarbij moet altijd duidelijk
8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde
![8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde](/thumbs/98/138669860.jpg "8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde")
8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde Optellen: 5a + 3b + 2a + 6b = 7a + 9b 1) Alleen gelijksoortige
Algebra groep 2 & 3: Standaardtechnieken kwadratische functies
Algebra groep 2 & 3: Standaardtechnieken kwadratische functies Trainingsweek juni 2008 Kwadraat afsplitsen Een kwadratische functie oftewel tweedegraads polynoom) px) = ax 2 + bx + c a 0) kan in verschillende
Getaltheorie II. ax + by = c, a, b, c Z (1)
Lesbrief 2 Getaltheorie II 1 Lineaire vergelijkingen Een vergelijking van de vorm ax + by = c, a, b, c Z (1) heet een lineaire vergelijking. In de getaltheorie gaat het er slechts om gehele oplossingen
Cover Page. The handle holds various files of this Leiden University dissertation.
Cover Page The handle http://hdl.handle.net/1887/20310 holds various files of this Leiden University dissertation. Author: Jansen, Bas Title: Mersenne primes and class field theory Date: 2012-12-18 Samenvatting
Stelling van Pythagoras
1 of 6 Stelling van Pythagoras Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie De stelling van Pythagoras is een wiskundige stelling die zijn naam dankt aan de Griekse wiskundige Pythagoras. 'Zijn' stelling was overigens
Archimedes en de cirkel
Niveau ooo Archimedes en de cirkel De verhouding tussen de omtrek en de diameter van een cirkel heet π en is ongeveer gelijk aan 3,1415965359. Wat je je misschien niet realiseert is dat daar eigenlijk
Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1
Kettingbreuken Frédéric Guffens 0 april 00 K + E + T + T + I + N + G + B + R + E + U + K + E + N 0 + A + P + R + I + L + 0 + + 0 Wat zijn Kettingbreuken? Een kettingbreuk is een wiskundige uitdrukking
3.1 Kwadratische functies[1]
![3.1 Kwadratische functies[1]](/thumbs/53/33060260.jpg "3.1 Kwadratische functies[1]")
3.1 Kwadratische functies[1] Voorbeeld 1: y = x 2-6 Invullen van x = 2 geeft y = 2 2-6 = -2 In dit voorbeeld is: 2 het origineel; -2 het beeld (of de functiewaarde) y = x 2-6 de formule. Een functie voegt
Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)
Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk
8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde
![8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde](/thumbs/31/15201373.jpg "8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde")
8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde Optellen: 5a + 3b + 2a + 6b = 7a + 9b 1) Alleen gelijksoortige
Vergelijkingen in één onbekende
Module 3 Vergelijkingen in één onbekende 3.1 Lineaire vergelijkingen Dit zijn vergelijkingen die herleid kunnen worden tot de gedaante ax+b = 0 met a,b Ê en a 0 ax+b = 0 ax = b x = b a V = { b } a Voorbeelden
ANTWOORDEN blz. 1. d. 345 + 668 = 1013; 61 007 + 50 215 = 111 222; 102 240 30 628 = 71 612; 1 000 000 1 = 999 999
ANTWOORDEN blz. 3 a. Zeer onwaarschijnlijk Zeer onwaarschijnlijk a. Dan heb je ergens een schuld uitstaan 86 Dan hadden beide een kopie van de kerfstok; om fraude te voorkomen a. MMXII, MCCCXXVII, DLXXXVI,
Ruimtemeetkunde deel 1
Ruimtemeetkunde deel 1 1 Punten We weten reeds dat Π 0 het meetkundig model is voor de vectorruimte R 2. We definiëren nu op dezelfde manier E 0 als meetkundig model voor de vectorruimte R 3. De elementen
Schooljaar: Leerkracht: M. Smet Leervak: Wiskunde Leerplan: D/2002/0279/048
Blz: 1/5 04 09 09 1.1 STELLING VAN PYTHAGORAS ouwregel tot Pythagoras: formulering. 07 09 09 11 09 09 14 09 09 18 09 09 21 09 09 22 09 09 25 09 09 29 09 09 01 10 09 02 10 09 06 10 09 08 10 09 09 10 09
Algoritmen abstract bezien
Algoritmen abstract bezien Jaap van Oosten Department Wiskunde, Universiteit Utrecht Gastcollege bij Programmeren in de Wiskunde, 6 april 2017 Een algoritme is een rekenvoorschrift dat op elk moment van
3 - Babylonische Wiskunde (C-1)
3 - Babylonische Wiskunde (C-1) De opdracht omschrijving voor dit hoofdstuk bestond uit het volgende: C1 - Maak uit de hoofdstukken 0 t/m 6 van het Zebra-boekje Babylonische Wiskunde 15 van de 62 opgaven.
inhoudsopgave januari 2005 handleiding algebra 2
handleiding algebra inhoudsopgave Inhoudsopgave 2 De grote lijn 3 Bespreking per paragraaf 1 Routes in een rooster 4 2 Oppervlakte in een rooster 4 3 Producten 4 4 Onderzoek 5 Tijdpad 9 Materialen voor
eerste en laatste cijfers Jaap Top
eerste en laatste cijfers Jaap Top JBI-RuG & DIAMANT j.top@rug.nl 3-10 april 2013 (Collegecarrousel, Groningen) 1 laatste, eerste?! over getallen 2,..., 101,..., 2014,...... laatste cijfers hiervan: 2,...,
handleiding ontbinden
handleiding ontbinden inhoudsopgave inhoudsopgave de grote lijn 3 Bespreking per paragraaf 4 Applets 4 1 met gegeven product 4 ontbinden van getallen 4 3 vergelijkingen 5 4 onderzoek 6 tijdpad 9 materialen
Bijzondere kettingbreuken
Hoofdstuk 15 Bijzondere kettingbreuken 15.1 Kwadratische getallen In het vorige hoofdstuk hebben we gezien dat 2 = 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2,.... Men kan zich afvragen waarom we vanaf zeker moment alleen maar
Voorbereidende sessie toelatingsexamen
1/7 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Algebra en meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 25 april 2018 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal beschikbaar
Het oplossen van kwadratische vergelijkingen met de abc-formule
Het oplossen van kwadratische vergelijkingen met de abc-formule door Pierre van Arkel Dit verslag is een voorbeeld hoe bij wiskunde een verslag er uit moet zien. Elk schriftelijk verslag heeft een titelblad.
Diophantische vergelijkingen in het kerstpakket
Diophantische vergelijkingen in het kerstpakket Benne de Weger b.m.m.d.weger@tue.nl Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven versie.0, 3 december 00 De TU/e viert een feestje
3.0 Voorkennis. y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x.
3.0 Voorkennis y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. y = -4x + 8 kan herschreven worden als y + 4x = 8 Dit is een lineaire vergelijking met twee variabelen. Als je
Hoofdstuk 16. De vergelijking van Pell De oplossing. Stel dat N N geen kwadraat is. Beschouw de vergelijking. x 2 Ny 2 = 1
Hoofdstuk 16 De vergelijking van Pell 16.1 De oplossing Stel dat N N geen kwadraat is. Beschouw de vergelijking x Ny = 1 in de onbekenden x, y Z 0. We noemen dit soort vergelijking de vergelijking van
klas 3 havo Checklist HAVO klas 3.pdf
Checklist 3 HAVO wiskunde klas 3 havo Checklist HAVO klas 3.pdf 1. Hoofdstuk 1 - lineaire problemen Ik weet dat de formule y = a x + b hoort bij de grafiek hiernaast. Ik kan bij een lineaire formule de
Polynomen. + 5x + 5 \ 3 x 1 = S(x) 2x x. 3x x 3x 2 + 2
Lesbrief 3 Polynomen 1 Polynomen van één variabele Elke functie van de vorm P () = a n n + a n 1 n 1 + + a 1 + a 0, (a n 0), heet een polynoom of veelterm in de variabele. Het getal n heet de graad van
Opgeloste en onopgeloste mysteries in de getaltheorie
Opgeloste en onopgeloste mysteries in de getaltheorie Jan De Beule, Tom De Medts en Jeroen Demeyer Voorwoord 1 Voorwoord Beste leerling, Deze nota s zijn bedoeld als begeleiding bij 6 lesuren Opgeloste
Hilberts panoramisch uitzicht op de wiskunde: verscheidenheid en unificatie. Karim Zahidi
Hilberts panoramisch uitzicht op de wiskunde: verscheidenheid en unificatie Overzicht Inleiding 1 Inleiding 2 3 4 5 Biografische schets 1862: geboorte te Köningsberg 1880-1885: studeert aan de universiteit
Moduliruimten van krommen en hun cohomologie
Moduliruimten van krommen en hun cohomologie Carel Faber 30 maart 2015 Inhoudsopgave Inleiding Krommen Families van krommen De universele kromme en de moduliruimte Cohomologie Punten tellen Modulaire vormen
3.1 Haakjes wegwerken [1]
![3.1 Haakjes wegwerken [1]](/thumbs/53/31611347.jpg "3.1 Haakjes wegwerken [1]")
3.1 Haakjes wegwerken [1] Oppervlakte rechthoek (Manier 1): Opp. = l b = (a + b) c = (a + b)c Oppervlakte rechthoek (Manier 2): Opp. = Opp. Groen + Opp. Rood = l b + l b = a c + b c = ac + bc We hebben
ProefToelatingstoets Wiskunde B
Uitwerking ProefToelatingstoets Wiskunde B Hulpmiddelen :tentamenpapier,kladpapier, een eenvoudige rekenmachine (dus geen grafische of programmeerbare rekenmachine) De te bepalen punten per opgave staan
6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden
6.0 Voorkennis Kruislings vermenigvuldigen: A C AD BC B D Voorbeeld: 50 0 x 50 0( x ) 50 0x 0 0x 60 x 6 6.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [] a [2] q a q p pq p
Eigenschap (Principe van welordening) Elke niet-lege deelverzameling V N bevat een kleinste element.
Hoofdstuk 2 De regels van het spel 2.1 De gehele getallen Grof gezegd kunnen we de (elementaire) getaltheorie omschrijven als de wiskunde van de getallen 1, 2, 3, 4,... die we ook de natuurlijke getallen
Voorbereidende sessie toelatingsexamen
1/34 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Veeltermen en analytische meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 29 april 2015 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal
Bewijzen onder leiding van Ludolph van Ceulen
Bewijzen onder leiding van Ludolph van Ceulen 1540 1610 Margot Rijnierse Inleiding In de tijd van Ludolph van Ceulen hadden de meetkundige geleerden belangstelling voor de geschriften van de oude Grieken,
Wat is wiskunde? college door Jan Hogendijk, 12 september 2016
Wat is wiskunde? college door Jan Hogendijk, 12 september 2016 Wiskunde is een wetenschap waarin precies geredeneerd wordt over getallen, figuren in de ruimte, of formele structuren in het algemeen. In
VWO finales. versie 1. 28 oktober 2012
VWO finales versie 1 28 oktober 2012 1 1 inleiding De finale van de VWO en de meeste internationale olympiades bestaan uit het bewijzen van vragen. Dit is iets wat men niet meer leert op school en waarbij
Noordhoff Uitgevers bv
Voorkennis V-a Hester houdt e 5,00 3 e,85 3 e 3,9 5 e 5,00 e 3,70 e 6,58 5 e,7 over. b e 5,00 3 (e,85 e 3,9) 5 e 5,00 3 e 5, 5 e 5,00 e 0,8 5 e,7 V-a 6 3 5 36 9 5 7 b 9 (5 ) 5 9 (5 ) 5 9 5 c 0 3 6 5 000
5.1 Herleiden [1] Herhaling haakjes wegwerken: a(b + c) = ab + ac (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (ab) 2 = a 2 b 2
![5.1 Herleiden [1] Herhaling haakjes wegwerken: a(b + c) = ab + ac (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (ab) 2 = a 2 b 2](/thumbs/72/66414323.jpg "5.1 Herleiden [1] Herhaling haakjes wegwerken: a(b + c) = ab + ac (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (ab) 2 = a 2 b 2")
Herhaling haakjes wegwerken: a(b + c) = ab + ac (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (ab) = a b 5.1 Herleiden [1] Voorbeeld 1: (a + 5)(a 6) (a + 5)(-a + 7) = a 6a + 5a 30 ( a + 14a 5a + 35) = a 6a + 5a 30
Geldwisselprobleem van Frobenius
Geldwisselprobleem van Frobenius Karin van de Meeberg en Dieuwertje Ewalts 12 december 2001 1 Inhoudsopgave 1 Inleiding 3 2 Afspraken 3 3 Is er wel zo n g? 3 4 Eén waarde 4 5 Twee waarden 4 6 Lampenalgoritme
Vergelijkingen met breuken
Vergelijkingen met breuken WISNET-HBO update juli 2013 De bedoeling van deze les is het doorwerken van begin tot einde met behulp van pen en papier. 1 Oplossen van gebroken vergelijkingen Kijk ook nog
META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen
META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen In welke volgorde moet ik uitwerken? */@ Welke (reken)regels moet ik hier gebruiken? */@ Welke algemene vorm hoort erbij? ** Hoe ziet de bijbehorende grafiek
Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek
Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de
3 Wat is een stelsel lineaire vergelijkingen?
In deze les bekijken we de situatie waarin er mogelijk meerdere vergelijkingen zijn ( stelsels ) en meerdere variabelen, maar waarin elke vergelijking er relatief eenvoudig uitziet, namelijk lineair is.
De spiritualiteit van getallen van 1 tot oneindig
De spiritualiteit van getallen van 1 tot oneindig Niet: Sacred geometry en esoteric mathematics Evenmin: Bach en het getal.. B A C H 2 1 3 8 Witteman (2014): 2 x 1 x 3 x 8 = 48 Van Merwijk ( 19): 2 x (1
Hoofdstuk 12. Sommen van kwadraten. 12.1 Sommen van twee kwadraten
Hoofdstuk 12 Sommen van kwadraten 12.1 Sommen van twee kwadraten In Hoofdstuk 11 hebben we gezien dat als p een oneven priemdeler van a 2 + b 2 is, en p deelt niet zowel a als b, dan is p gelijk aan 1
WERKBOEK REKENVAARDIGHEID. Voeding en Diëtetiek
WERKBOEK REKENVAARDIGHEID Voeding en Diëtetiek 11 INHOUDSOPGAVE ACHTERGROND 3 1. Elementaire bewerkingen 4 2. Voorrangsregels (bewerkingsvolgorde) 8 3. Bewerkingen met machten 11 4. Rekenen met breuken
De stelling van Pythagoras en de laatste stelling van Fermat
De stelling van Pythagoras en de laatste stelling van Fermat In de eerste lezing van deze cyclus heeft Professor Icke het belang van wiskundige formules benadrukt. Formules zijn echter niet het wezen van
Pythagoreïsche drietallen Guy Van Leemput, Sint-Jozefcollege te Turnhout, België
Pythagoreïsche drietallen Guy Van Leemput, Sint-Jozefcollege te Turnhout, België Toelichtingen: Wat op de volgende bladzijden volgt is een werktekst met antwoorden rond het zoeken van rechthoekige driehoeken
Breuken - Brak - Gebroken. Kettingbreuken
Breuken - Brak - Gebroken Kettingbreuken Voorwoord Kettingbreuken is een boekje dat bedoeld is voor HAVO- en VWO leerlingen met wiskunde in hun profiel. Aan het einde van elk hoofdstuk is een aantal oefeningen
1.1 Lineaire vergelijkingen [1]
![1.1 Lineaire vergelijkingen [1]](/thumbs/62/47724253.jpg "1.1 Lineaire vergelijkingen [1]")
1.1 Lineaire vergelijkingen [1] Voorbeeld: Los de vergelijking 4x + 3 = 2x + 11 op. Om deze vergelijking op te lossen moet nu een x gevonden worden zodat 4x + 3 gelijk wordt aan 2x + 11. = x kg = 1 kg
Hierbij geven we de antwoorden en bewijzen we meteen ook hoe de constanten kunnen bepaald worden.
WISKUNDE IS (EEN BEETJE) OORLOG Onder dit motto nodigde de VVWL alle wiskundeleraren uit Vlaanderen en Nederland uit om deel te nemen aan een wiskundewedstrijd. De tien vragen van de eerste editie, waarbij
Inleiding tot de Problem Solving - deel 1: Combinatoriek en getaltheorie
Inleiding tot de Problem Solving - deel 1: Combinatoriek en getaltheorie Jan Vonk 1 oktober 2008 1 Combinatoriek Inleiding Een gebied dat vandaag de dag haast niet onderschat kan worden binnen de wiskunde
tripels van Pythagoras Jaap Top
tripels van Pythagoras Jaap Top BI-RuG & DIAMANT 9 en 10 en 11 april 2019 (collegecarrousel, Groningen) 1 Over natuurlijke getallen en Pythagoras: c b a a 2 + b 2 = c 2 2 Oplossingen in natuurlijke getallen
Elliptische krommen en hun topologische aspecten
Elliptische krommen en hun topologische aspecten René Pannekoek 25 januari 2011 Dit is een korte introductie tot elliptische krommen voor het bachelorseminarium van de Universiteit Leiden. De bespreking
Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4
Vaardigheden Wiskunde klas Inhoudsopgave. Breuken. Gelijksoortige termen samennemen. Rekenen met machten. Rekenen met wortels. Algebraïsche producten 6. Ontbinden in factoren 6 7. Eerstegraads vergelijkingen
Basisvaardigheden algebra. Willem van Ravenstein. 2012 Den Haag
Basisvaardigheden algebra Willem van Ravenstein 2012 Den Haag 1. Variabelen Rekenenis het werken met getallen. Er zijn vier hoofdbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Verder ken
III.2 De ordening op R en ongelijkheden
III.2 De ordening op R en ongelijkheden In de vorige paragraaf hebben we axioma s gegeven voor de optelling en vermenigvuldiging in R, maar om R vast te leggen moeten we ook ongelijkheden in R beschouwen.
Diophantische vergelijkingen Een onmogelijke uitdaging
Diophantische vergelijkingen Een onmogelijke uitdaging Frits Beukers 8 juni 2010 1 Wat is het probleem? Wetende, mijn beste vriend Dionysius, dat jij ernaar verlangt om problemen in de getallen te onderzoeken,
Analytische Meetkunde
Analytische Meetkunde Meetkunde met Geogebra en vergelijkingen van lijnen 2 Inhoudsopgave Achtergrondinformatie... 4 Meetkunde met Geogebra... 6 Stelling van Thales...... 7 3 Achtergrondinformatie Auteurs
De constructie van een raaklijn aan een cirkel is, op basis van deze stelling, niet zo erg moeilijk meer.
Cabri-werkblad Raaklijnen Raaklijnen aan een cirkel Definitie Een raaklijn aan een cirkel is een rechte lijn die precies één punt (het raakpunt) met de cirkel gemeenschappelijk heeft. Stelling De raaklijn
DE STELLING VAN NAPOLEON
www.raves.nl ton@raves.nl DE STELLING VAN NAPOLEON LUIDT: Als men aan de drie zijden van een willekeurige driehoek ABC gelijkzijdige driehoeken legt dan vormen de zwaartepunten van die drie gelijkzijdige
Hoofdstuk 6. Congruentierekening. 6.1 Congruenties
Hoofdstuk 6 Congruentierekening 6.1 Congruenties We hebben waarschijnlijk allemaal wel eens opgemerkt dat bij vermenigvuldigen van twee getallen de laatste cijfers als het ware meevermenigvuldigen. Stel
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.
Vlaamse Wiskunde Olympiade 995 996 : Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 30 punten
20 De leerling leert alleen en in samenwerking met anderen in praktische situaties wiskunde te herkennen en te gebruiken om problemen op te lossen
Onderwerp: Kwadraten en Wortels H1 19 De leerling leert passende wiskundetaal te gebruiken voor het ordenen van het eigen denken en voor uitleg aan anderen, en leert de wiskundetaal van anderen te begrijpen.
Getaltheorie door de eeuwen heen. Jaap Top
Getaltheorie door de eeuwen heen Jaap Top IWI-RuG & DIAMANT j.top@rug.nl 7 april 2009 (HOVO, Groningen) 1 In de biografie Gauss zum Gedächtnis (1862, door de Duitse geoloog Wolfgang Sartorius von Waltershausen)
Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge. Roland van der Veen
Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge Roland van der Veen Modulorekenen Twee getallen a en b zijn gelijk modulo p als ze een veelvoud van p verschillen. Notatie: a = b mod p Bijvoorbeeld:
Noordhoff Uitgevers bv
Voorkennis V-a Hester houdt e 5,00 3 e,85 3 e 3,9 = e 5,00 e 3,70 e,58 = e,7 over. b e 5,00 3 (e,85 + e 3,9) = e 5,00 3 e 5, = e 5,00 e 0,8 = e,7 V-a 3 = 3 9 = 7 b 9 (5 ) = 9 (5 ) = 9 = c 0 3 = 000 3 =
1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.
1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;
Dan komt er informatie over de aantallen koeien. Over de witte koeien zien we in regels dit w = ( 1 / / 4
Dan komt er informatie over de aantallen koeien. Over de witte koeien zien we in regels 7 9 dit w = ( / 3 + / 4 )(Z + z), in regels 0 staat over de zwarte koeien dit z = ( / 4 + / 5 )(* + g), over de gevlekte
Wanneer zijn veelvouden van proniks proniks?
1 Uitwerking puzzel 92-1 Wanneer zijn veelvouden van proniks proniks? Harm Bakker noemde het: pro-niks voor-niks De puzzel was voor een groot deel afkomstig van Frits Göbel. Een pronik is een getal dat
1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.
1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;
Steunpunt TU/e-Fontys
Steunpunt TU/e-Fontys Activiteiten en ervaringen 5 Hans Sterk (sterk@win.tue.nl) Where innovation starts Inhoud 2/17 Steunpunt Wiskunde D Cursussen voor docenten Complexe getallen (Analytische) Meetkunde
Samenvatting Wiskunde Aantal onderwerpen
Samenvatting Wiskunde Aantal onderwerpen Samenvatting door een scholier 2378 woorden 4 juni 2005 5,1 222 keer beoordeeld Vak Wiskunde Gelijkvormigheid Bij vergroten of verkleinen van een figuur worden
Rekenen en wiskunde ( bb kb gl/tl )
Tussendoelen Rekenen en wiskunde Rekenen en wiskunde ( bb kb gl/tl ) vmbo = Basis Inzicht en handelen Vaktaal wiskunde Vaktaal wiskunde gebruiken voor het ordenen van het eigen denken en voor uitleg aan
Getallen, 2e druk, extra opgaven
Getallen, 2e druk, extra opgaven Frans Keune november 2010 De tweede druk bevat 74 nieuwe opgaven. De nummering van de opgaven van de eerste druk is in de tweede druk dezelfde: nieuwe opgaven staan in
OVER IRRATIONALE GETALLEN EN MACHTEN VAN π
OVER IRRATIONALE GETALLEN EN MACHTEN VAN π KOEN DE NAEGHEL Samenvatting. In deze nota buigen we ons over de vraag of een macht van π een irrationaal getal is. De aangereikte opbouw en bewijsmethoden zijn
Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo
Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Domein A: Inzicht en handelen Subdomein A1: Vaktaal wiskunde 1. vmbo passende vaktaal voor wiskunde herkennen en gebruiken voor het ordenen van het eigen denken
Lesbrief GeoGebra. 1. Even kennismaken met GeoGebra (GG)
Lesbrief GeoGebra Inhoud: 1. Even kennismaken met GeoGebra 2. Meetkunde: 2.1 Punten, lijnen, figuren maken 2.2 Loodlijn, deellijn, middelloodlijn maken 2.3 Probleem M1: De rechte van Euler 2.4 Probleem
Opmerking. TI1300 Redeneren en Logica. Met voorbeelden kun je niks bewijzen. Directe en indirecte bewijzen
Opmerking TI1300 Redeneren en Logica College 2: Bewijstechnieken Tomas Klos Algoritmiek Groep Voor alle duidelijkheid: Het is verre van triviaal om definities te leren hanteren, beweringen op te lossen,
Meetkundige ongelijkheden Groep A
Meetkundige ongelijkheden Groep A Oppervlakteformules, sinus- & cosinusregel, de ongelijkheid van Euler Trainingsweek, juni 011 1 Oppervlakteformules We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor
De arbelos. 1 Definitie
De arbelos 1 Definitie De arbelos is een meetkundige figuur die bestaat uit drie aan elkaar rakende halve cirkels. De raakpunten liggen op een lijn. In onderstaande tekening is de arbelos de paarse figuur.
Vergelijkingen en hun oplossingen
Vergelijkingen en hun oplossingen + 3 = 5 is een voorbeeld van een wiskundige vergelijking: er komt een = teken in voor, en een onbekende of variabele: in dit geval de letter. Alleen als we voor de variabele
1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen
46 Getallen 1.5 Getaltheorie 1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen De getallen 0,1,2,3,4,... enz. worden de natuurlijke getallen genoemd (de heleverzamelingvanaldezegetallenbijelkaarnoterenwemethetteken:
Rekenen met cijfers en letters
Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 009 c Swier Garst - RGO Middelharnis Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters, stelsels. 16 september dr.
Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters, stelsels 16 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating)
Conflictmeetkunde, dominante termen, GGD s en = 1.
Conflictmeetkunde, dominante termen, GGD s en + =. Jan Stienstra Mathematisch Instituut, Universiteit Utrecht Nationale Wiskunde Dagen, 8+9 januari Samenvatting We laten zien hoe het platte plaatje van