Hoofdstuk 16. De vergelijking van Pell De oplossing. Stel dat N N geen kwadraat is. Beschouw de vergelijking. x 2 Ny 2 = 1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Hoofdstuk 16. De vergelijking van Pell De oplossing. Stel dat N N geen kwadraat is. Beschouw de vergelijking. x 2 Ny 2 = 1"

Transcriptie

1 Hoofdstuk 16 De vergelijking van Pell 16.1 De oplossing Stel dat N N geen kwadraat is. Beschouw de vergelijking x Ny = 1 in de onbekenden x, y Z 0. We noemen dit soort vergelijking de vergelijking van Pell. Dit is een voorbeeld van een diophantische vergelijking, dat wil zeggen, een vergelijking waarvan de oplossing in gehele getallen gevraagd wordt. Hoewel er talloze diophantische vergelijkingen zijn, sprongen sommigen er door hun bijzondere eigenschappen al vroeg in de geschiedenis van de getaltheorie uit. Dat de vergelijking van Pell er ook zo één is kunnen we aan een aantal voorbeelden al snel zien. Neem bijvoorbeeld N =. Door proberen vinden we de kleinste oplossing 3 = 1. Verder proberen geeft 1 1 = 1 en mensen met veel geduld of een computer zullen ook nog wel 99 0 = 1 kunnen vinden. Het zal blijken dat de lijst oplossingen oneindig lang is. Nemen we in plaats van N = andere waarden van N dan ontdekken we dat naast de triviale x = 1, y = 0, er altijd oplossingen met x, y > 0 te vinden zijn. Dit feit werd reeds in de oudheid opgemerkt en van bijzonder belang geacht. Soms moeten we erg lang zoeken, zoals bij N = 61. De kleinste oplossing is = 1. Het is duidelijk dat een dergelijke oplossing niet door lukraak zoeken gevonden wordt. In 165 vond de Engelse wiskundige W.Brouncker een oplossingsmethode. Met deze methode vond Brouncker de kleinste niet-triviale oplossing x = , y = voor x 313y = 1! De methode van Brouncker werd beschreven in het boek van J.Wallis over algebra en getaltheorie. Door een misverstand nam Euler aan dat de oplossingsmethode van de Engelse wiskundige John Pell afkomstig was. Sindsdien is Pell s naam aan deze vergelijking blijven kleven, hoewel Pell er niets mee van 148

2 16.1. DE OPLOSSING 149 doen had. Brouncker s methode berust op het gebruik van kettingbreuken. We nemen daarom aan dat de lezer bekend is met de resultaten uit Hoofdstuk 14. Onze eerste stelling laat het verband met kettingbreuken zien, maar dan voor de algemenere vergelijking x Ny = A, waarin A een gegeven geheel getal is. Stelling Zij N N, geen kwadraat en A Z met A < N. Stel dat x, y N een oplossing is van x Ny = A. Dan is x/y een convergent van de kettingbreukontwikkeling van N. Het bewijs maakt gebruik van het feit dat als x Ny klein is in absolute waarde, de breuk x/y een goede benadering is van N. De benadering is zelfs zo goed dat het een convergent van de kettingbreuk van N moet zijn. We laten eerst zien dat x A y. Zou x < A y zijn, dan hebben we de volgende ongelijkheden, x Ny < x A y = (x y A )(x + y A ) < A hetgeen in tegenspraak is met x Ny = A. Dus x A y. Merk op dat x Ny = A impliceert, x y N A x + y N < A x + y A A y A = 1 y Deel aan beide zijden door y en gebruik Stelling om te zien dat x/y een convergent is. Nu we het verband met kettingbreuken geconstateerd hebben, halen we even de notaties rond de kettingbreuk van N boven water, dus we gebruiken weer de tussenwaarden α n en de convergenten p n /q n, zoals in paragraaf 14.. Ook definieren we bij elke α n de standaard vorm α n = P n+ N Q n, zoals in paragraaf??. We hebben de volgende stelling. Stelling Met de notaties uit paragrafen 14. en 14.4 geldt dat voor alle n 0. Uit formule (??) weten we dat Uitwerking hiervan geeft p n Nq n = ( 1) n+1 Q n+1 α n+1 = p n 1 Nq n 1 p n Nq n. ( p n 1 Nq n 1 )(p n + Nq n p n Nq n = p np n 1 + q n q n 1 N + (p n q n 1 p n 1 q n ) N. p n Nqn

3 150 HOOFDSTUK 16. DE VERGELIJKING VAN PELL Omdat p n q n 1 p n 1 q n = ( 1) n+1 volgens Stelling , lezen we af dat p n Nqn = ( 1) n+1 Q n+1. We geven een voorbeeld met N = 3. Eerst de kettingbreukontwikkeling, 3 = = = = = = = = = We hebben nu dezelfde rest als bij de eerste stap en de ontwikkeling herhaalt zich. We zien dat 3 = 4, 1, 3, 1, 8. In het bijzonder zien we: α 0 = 3, α 1 = 4 + 3, α = 3 + 3, α 3 = 3 + 3, α 4 = Daarna α 5 = α 1, α 6 = α, etc. Hieruit lezen we af dat a 0 = 4, a 1 = 1, a = 3, a 3 = 1, a 4 = 8,... en Q 0 = 1, Q 1 =, Q =, Q 3 =, Q 4 = 1,.... Merk op dat de rij Q n periodiek is met periode 4. We zetten de uitkomsten in een tabel samen met n a n p de convergenten. n q n p n 3qn Q n Uit dit voorbeeld lezen wij in elk geval af dat er oneindig veel oplossingen voor x 3y = 1 zijn (evenals voor x 3y = ). Zouden we deze methode voor N = 13 uitvoeren, dan vinden we Q 0 = 1, Q 1 = 4, Q = 3, Q 3 = 3, Q 4 = 4, Q 5 = 1. In dit geval vinden we ook dat p 4 /q 4 = 18/5 en dus volgt uit Stelling?? (of door directe berekening uiteraard) dat = 1. Met andere woorden, er kunnen ook oplossingen van x Ny = 1 voorkomen. Vanwege de periodiciteit van de Q n verwachten we in ons voorbeeld dat Q 10 = 1 en dus p 9 13q9 = 1 (voor de nieuwsgierige lezer: p 9 = 649 en q 9 = 180). En we hebben een oplossing van x 13y = 1. Uit al het bovenstaande kunnen we de volgende stelling afleiden. Stelling Gegeven N N, geen kwadraat, en geef de wijzergetallen van de kettingbreuk van N aan met a 0, a 1,..., a n,... en de convergenten met p n /q n. Stel x, y N. Dan is x, y een oplossing van x Ny = ±1

4 16.1. DE OPLOSSING 151 precies dan als er een index n 0 bestaat zó dat a n+1 = [ N] en x = p n, y = q n. In dat geval geldt x Ny = ( 1) n+1. Als zo n n bestaat dan hebben we inderdaad een oplossing. Uit a n+1 = [ N] moet volgen dat α n+1 = [ N] + N en dus Q n+1. Toepassing van Stelling?? geeft p n Nq n = ( 1) n+1. Stel omgekeerd dat x, y een oplossing is. Uit Stelling volgt dat x/y een convergent van de kettingbreuk van N is. Kies n zødat x = p n, y = q n. Uit Stelling?? zien we dat ook Q n+1 = 1 moet gelden. Omdat α n+1 een gereduceerd kwadratisch getal is moet gelden dat P n+1 < N en N P n+1 < Q n+1 = 1. Deze ongelijkheden impliceren dat P n+1 < N < P n Conclusie, P n+1 = [ N] en α n+1 = [ N] + N. Gevolg, a n+1 = [ N]. Ter illustratie, voor N = 61 hebben we de kettingbreuk 61 =, 1, 4, 3, 1,,, 1, 3, 4, 1, 14]. Er geldt, 1, 4, 3, 1,,, 1, 3, 4, 1 = 918/3805 met bijbehorende n = 1 en Q 11 = 1. Gevolg: = 1. Geen we nu verder tot n 1 dan krijgen we p 1 = , q 1 = en Q = 1. We hebben nu een oplossing van x 61y = 1. Dit is tevens de oplossing met kleinst mogelijk y. Het feit dat de vergelijking x Ny = 1 oneindig veel oplossingen heeft is ook op een iets andere (makkelijker) manier te zien als je eenmaal weet dat er één oplossing met y > 0 is. Neem bijvoorbeeld N = en merk op dat de gelijkheid 3 = 1 herschreven kan worden als (3 + )(3 ) = 1. Neem nu aan beide zijden het kwadraat. We vinden (3 + ) (3 ) = 1. Maar nu komt het aardige, er geldt na uitwerking van het kwadraat, (3 + ) = Evenzo, (3 ) = 1 1. Dus, (1+1 )(1 1 ) = 1, hetgeen weer neerkomt op 1 1 = 1. Nemen we in plaats van een kwadraat een derde macht, dan ontdekken we via (3+ ) 3 = 99+0 de oplossing x = 99, y = 0. Door steeds hogere machten te kiezen krijgen we een oneindige rij oplossingen! Bovendien, als we dit proces starten met de kleinste niet-triviale oplossing dan krijgen we zelfs alle oplossingen op deze manier. We formuleren dit als stelling. Stelling Zij (p, q) met p, q Z >0 de oplossing van x Ny = 1 zó dat p + q N minimale waarde heeft. Dan bestaat er bij iedere oplossing x, y N >0 een n N zó dat x + y N = (p + q N) n. Om deze stelling te bewijzen maken we eerst een algemene opmerking. Stel dat u, v Z voldoen aan u Nv = 1 en dat u + v N > 1. Dan ligt u v N, dat gelijk is aan (u + v N) 1, tussen 0 en 1. Optelling van de ongelijkheden u+v N 1 en u v N > 0 impliceert dat u 1 > 0. Optellen van u+v N 1 en u + v N > 1 geeft v > 0. Dus u, v N.

5 15 HOOFDSTUK 16. DE VERGELIJKING VAN PELL Zij nu x, y N een willekeurige oplossing van de vergelijking van Pell. Kies n N zó dat 1 (x + y N)/(p + q N) n < p + q N. Merk op dat (x + y N)/(p + q N) n = (x + y N)(p q N) n = u + v N voor zekere u, v Z. Dit volgt na uitwerking van de n-de macht van p q N. In het bijzonder geldt dat 1 u + v N < p + q N en dat u Nv = 1. Als u + v N precies gelijk is aan 1 dan is onze bewering bewezen. Stel nu dat u+v N > 1. Uit onze algemene opmerking volgt dat u, v N. Het paar u, v is dus een oplossing van onze vergelijking met de eigenschap dat u + v N < p + q N. Dit is in tegenspraak met de minimaliteit van p + q N. Met andere woorden, u + v N > 1 kan niet voorkomen. 16. Enkele toepassingen In Hoofdstuk 1 hebben we het gehad over de driehoeksgetallen als getallen van de vorm n(n + 1)/ en de vierhoeksgetallen, of kwadraten, gegeven door de formule n. Een aardige vraag is de volgende, Vraag Zijn er kwadraten die tevens driehoeksgetal zijn? In iets populairder vorm, stel ik heb een aantal knikkers die ik zowel in een rechthoekig als driehoekig patroon kan neerleggen (zie het plaatje op de kaft van dit boek). Hoeveel knikkers heb ik? Eén oplossing is duidelijk, 1 knikker. Maar dat is een nogal flauwe. we willen graag wat interessantere oplossingen. Een tweede oplossing vinden op de omslag van dit boek. Het plaatje met de knikkers laat zien dat 36 zowel een driehoeksgetal als een kwadraat is. Bestaan er nog meer oplossingen? Hopelijk is het duidelijk dat we hiertoe de diophantische vergelijking m = n(n + 1)/ moeten oplossen. Vermenigvuldig aan beide zijden met 8. We krijgen 8m = 4n + 4n. Tel 1 aan beide zijden op, 1 + 8m = 4n + 4n + 1 = (n + 1), en dus 1 = (n + 1) 8m. We zijn op de vergelijking van Pell met N = 8 terechtgekomen. De kleinste oplossing is = 1, corresponderend met m = 1, onze flauwe oplossing. Alle andere oplossingen krijgen we door de machten van uit te werken. Achtereenvolgens vinden we hiermee, (3 + 8) = (3 + 8) 3 = (3 + 8) 4 =

6 16.. ENKELE TOEPASSINGEN 153 corresponderend met de kwadraten m = 6, 35, 04,... die tevens driehoeksgetal zijn. De conclusie is dat er oneindig veel oplossingen van ons probleem zijn, en ook dat ze een zeer snel groeiende rij van getallen vormen. Voor diegenen die de rij nog wat verder willen voortzetten is hier nog een handige truc. Stel namelijk x n + y n 8 = (3 + 8) n. We interesseren ons voor de waarden van y n. We weten dat voldoet aan een kwadratische vergelijking, (3 + 8) = 6(3 + 8) 1. Vermenigvuldig aan beide zijden met (3 + 8) n, Dit impliceert, (3 + 8) n+ = 6(3 + 8) n+1 (3 + 8) n. x n+ + y n+ 8 = 6(xn+1 + y n+1 8) (xn + y n 8). Door de getallen die voor 8 staan te vergelijken vinden we dat y n+ = 6y n+1 y n. We hebben een zogenaamde recursierelatie voor de getallen y n gevonden, waarmee deze getallen snel uitgerekend kunnen worden. Beginnen we met de waarden y 0 = 0 en y 1 = 1, dan volgen de waarden hierna in rap tempo. 6 = 6 1 0, 35 = 6 6 1, 04 = ,... Een andere toepassing is die op het vermoeden van Hall. Deze gaat over de vraag hoe dicht derdemachten en kwadraten bij elkaar kunnen liggen. Als we namelijk de rij natuurlijke getallen aflopen is het opvallend dat kwadraten en derde machten niet erg dicht bij elkaar liggen. Dit geldt trouwens niet alleen voor kwadraten en derdemachten, maar ook voor willekeurige machten. Over dit gedrag is erg weinig bekend. Zo is er het vermoeden van Catalan uit 1844 dat zegt dat er geen twee opeenvolgende getallen bestaan die beide zuivere macht zijn, behalve 3 en 3. Dit vermoeden werd pas in 00 door Mihailescu opgelost met behulp van methoden uit de algebraische getaltheorie. Veel meer weet men niet. Het is bijvoorbeeld niet bekend hoeveel paren zuivere machten er zijn die twee verschillen, (zoals 5, 3 3 ) of drie (zoals 5 3, ). Om terug te komen op verschillen tussen kwadraten en derde machten, op basis van een groot aantal computerexperimenten formuleerde Hall in 1969 het volgende vermoeden, Vermoeden 16.. (Hall) Er is een constante C > 0 met de volgende eigenschap. Voor elk paar x, y N met x 3 y geldt, x 3 y > Cx 1/.

7 154 HOOFDSTUK 16. DE VERGELIJKING VAN PELL Om een idee te geven hoe scherp deze grens is geven we op de volgende bladzij een tabel van alle x met 1 < x < waarvoor een y bestaat zó dat 0 < x 3 y < x. Deze tabel is in 1998 samengesteld door N.Elkies. De bijbehorende waarden van y staan niet in de tabel omdat ze op het laatst nogal groot worden. Men kan de y berekenen door het dichtstbijzijnde gehele getal rond x 1.5 te nemen. Dat de tabel met x tot gaat is niet alleen een kwestie van veel rekenkracht geweest, maar ook van bewonderenswaardige ingenieusiteit van Elkies om überhaupt zo ver te komen. We moeten er trouwens aan toevoegen, dat ondertussen Jiménez, Herranz en Sáez in 00 met een andere slimme methode nog eens tien voorbeelden hebben gevonden. Gewapend met deze methode en een geduldige computer heeft Johan Bosman, een Utrechtse student, daar nog stuks aan toegevoegd. We zien in de tabel dat paren x, y met 0 < x 3 y < x dun gezaaid zijn. Het was daarom verrassend dat in 1980 Danilov een constructie gaf waarmee paren x, y met kleine x 3 y geconstrueerd kunnen worden. We geven hier een verfijning van A.Schinzel waarmee we een oneindige rij paren x n, y n kunnen aangeven zó dat x 3 n yn 54 xn 5 als n. 5 Omdat 54/(5 5) < 1 vinden op deze wijze oneindig veel paren x, y met x 3 y < x. We beginnen met de identiteit ( 5 + (u 3) ) 3 (u + 1)(u 9u + 19) = (u 11) Deze is niet zomaar uit de lucht gegrepen. Er zit zelfs een boeiend verhaal achter, maar daarmee wil ik de lezer op dit punt niet in de war brengen. In ieder geval zien we een kwadraat en een derdemacht in deze formule optreden. Kies nu u Z zó dat u + 1 = 15v voor zekere v Z en u 3 (mod 5). Kies vervolgens x = 1 + (u 3) /5 en y = v(u 9u + 19). Dan volgt uit de identiteit dat x 3 y = (u 11). 15 Omdat x, y geheel zijn, is 15 deler van u 11. Bovendien x 3 y x = u (u 3) als u. Het enige dat we moeten laten zien is dat er oneindig veel keuzen voor u zijn die aan alle eisen voldoen. We hebben er in ieder geval één, namelijk u = 68. De bijbehorende v is 61 en we krijgen x = 93844, y = , welke in ons lijstje boven voorkomt. De eis dat u + 1 = 15v is een vergelijking van Pell (daar is ie!). We kunnen oneindig veel oplossingen van u 15v = 1 produceren door de oneven machten van uit te werken. Voor elke oplossing geldt dat u 1 (mod 5). Dus u ±1 (mod 5) en door het teken van u goed te kiezen kunnen we ervoor zorgen dat ook aan u 3 (mod 5) is voldaan.

8 16.. ENKELE TOEPASSINGEN 155 Een voorbeeld, er geldt x x 3 y x 3 y / x ( ) 3 = Verder geldt (mod 5). Dus we kunnen u = nemen. De bijbehorende waarde van x is Deze waarde kunnen we inderdaad in onze tabel terugvinden. Met deze constructie hebben we onze oneindige rij paren x, y gevonden. Ter afsluiting, men gelooft niet dat bovenstaand vermoeden van Hall waar is. Het is zeer waarschijnlijk dat de volgende zwakkere versie wel waar is, Vermoeden (Hall, gewijzigd) Bij elke ϵ > 0 is een constante C(ϵ) > 0 met de volgende eigenschap. Voor elk paar x, y N met x 3 y geldt, x 3 y > C(ϵ)x 1/ ϵ. Dit is de versie die we tegenwoordig in de literatuur tegenkomen. subtiele verschillen met de oorspronkelijke versie. Let op de

9 156 HOOFDSTUK 16. DE VERGELIJKING VAN PELL De derde toepassing is meer van folkloristische waarde. Het gaat om het runderprobleem van Archimedes. In de vorm van een epigram schetst Archimedes hoeveel runderen Apollo, de god van de zon, heeft. Ze komen in vier verschillende kleuren voor, wit, zwart, gevlekt en geel. Zij W, X, Y, Z het aantal stieren van deze respectievelijke kleur en w, x, y, z het aantal koeien. Verder is gegeven dat W = (1/ + 1/3)X + Z X = (1/4 + 1/5)Y + Z Y = (1/6 + 1/)W + Z w = (1/3 + 1/4)(X + x) x = (1/4 + 1/5)(Y + y) y = (1/5 + 1/6)(Z + z) z = (1/6 + 1/)(W + w) Bovendien is W +X een kwadraat en Y +Z een driehoeksgetal (dat wil zeggen van de vorm n(n + 1)/. Oplossing van de zeven lineaire vergelijkingen via standaard eliminatie leert ons dat er k N bestaat zó dat W = k X = k Y = k Z = k w = 06360k x = k y = k z = k De voorwaarde dat W +X en kwadraat is impliceert dat k een kwadraat is. Omdat = volgt hieruit dat er een t N is zó dat k = t /4 = t. De conditie Y + Z = n(n + 1)/ impliceert t = n(n + 1)/ Vermenigvuldig beide zijden met 8 en tel er 1 bij op, 4n + 4n + 1 = (n + 1) = t + 1. Met andere woorden, we hebben de Pell vergelijking u t = 1. We weten dat er oneindig veel oplossingen zijn. De kleinste oplossing heeft echter een u met cijfers. Geen wonder dat niemand in Archimedes tijd er uit kon komen! 16.3 Een miraculeuze formule Op een enkele plek in dit boek hebben we de naam Dirichlet en de analytische getaltheorie al laten vallen. Hoewel het grootste deel van deze theorie zich buiten het bestek van dit boek afspeelt, bestaat er een opmerkelijke consequentie van de analytische getaltheorie die ik de lezer niet wil onthouden. Een gevolg van

10 16.3. EEN MIRACULEUZE FORMULE 15 de zogenaamde klassenaantal formule van Dirichlet is namelijk een analytische formule voor een oplossing van de vergelijking van Pell. Kies een priemgetal p 1 (mod 4). Bepaal het product Dan geldt a = 1 (p 1)/ ) ( sin πm. p p m=1 Stelling (Dirichlet) De getallen x = a 1/a en y = (a + 1/a)/ p zijn geheel, en bovendien, x py = 4. Bij p = 13 vinden we bijvoorbeeld a = en a 1/a = 3 en (a + 1/a)/ 13 = 1. Merk op, = 4. Bij p = 61 vinden we, a = en x = 39, y = 5. Inderdaad geldt = 4. Soms vinden we ook even getallen, zoals bij p = 3. Dan x = 1, y =. In dat geval 1 3 = 4 en dus, = 1. In dat laatste geval hebben we dus ook een oplossing voor onze vergelijking van Pell met 1 aan de rechterkant, waaruit we een oplossing met rechts een 1 kunnen afleiden. In het geval dat x, y uit bovenstaande berekening oneven uitvallen, zal blijken dat de getallen a 3 1/a 3 en (a 3 + 1/a 3 )/ p even zijn. In het geval p = 61 vinden we a 3 = en daaruit, x = 59436, y = 610. Dit geeft aanleiding tot = 1 Voor de aardigheid hebben we ook Brouncker s p = 313 geprobeerd en vonden x = en y = Dat wil zeggen, na deling van x, y door, = 1 Voor samengestelde getallen N 1 (mod 4) bestaan er ook dergelijke, maar iets ingewikkelder, formules. Het zal echter duidelijk zijn dat dit soort formules niet erg geschikt is om werkelijk oplossingen van Pell s vergelijking te bepalen. Daarvoor is de kettingbreukmethode veel beter. Het is alleen opmerkelijk dat er analytische formules bestaan die een oplossing van een diophantische vergelijking geven. Men zou willen dat dit ook vaker bij andere diophantische vergelijkingen dan die van Pell optreedt. Helaas is dit echter vrijwel vrijwel nooit het geval.

Kettingbreuken Frits Beukers. Masterclass Kettingbreuken Utrecht, 14 en 15 oktober 2011

Kettingbreuken Frits Beukers. Masterclass Kettingbreuken Utrecht, 14 en 15 oktober 2011 Kettingbreuken Frits Beukers Masterclass Kettingbreuken Utrecht, 4 en 5 oktober 20 INHOUDSOPGAVE Inhoudsopgave Inleiding 2 Wat is een kettingbreuk? 3 Eerste eigenschappen 3 4 Kettingbreuken van rationale

Nadere informatie

Diophantische vergelijkingen

Diophantische vergelijkingen Diophantische vergelijkingen 1 Wat zijn Diophantische vergelijkingen? Een Diophantische vergelijking is een veeltermvergelijking waarbij zowel de coëfficiënten als de oplossingen gehele getallen moeten

Nadere informatie

1 Kettingbreuken van rationale getallen

1 Kettingbreuken van rationale getallen Kettingbreuken van rationale getallen Laten we eens starten met een breuk bijvoorbeeld 37/3 Laten we hier ons kettingbreuk algoritme op los, We concluderen hieruit dat 37 3 3 + 3 + + 37 3 + + + hetgeen

Nadere informatie

7.1 Het aantal inverteerbare restklassen

7.1 Het aantal inverteerbare restklassen Hoofdstuk 7 Congruenties in actie 7.1 Het aantal inverteerbare restklassen We pakken hier de vraag op waarmee we in het vorige hoofdstuk geëindigd zijn, namelijk hoeveel inverteerbare restklassen modulo

Nadere informatie

Hoofdstuk 6. Congruentierekening. 6.1 Congruenties

Hoofdstuk 6. Congruentierekening. 6.1 Congruenties Hoofdstuk 6 Congruentierekening 6.1 Congruenties We hebben waarschijnlijk allemaal wel eens opgemerkt dat bij vermenigvuldigen van twee getallen de laatste cijfers als het ware meevermenigvuldigen. Stel

Nadere informatie

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1)

Getaltheorie I. c = c 1 = 1 c (1) Lesbrief 1 Getaltheorie I De getaltheorie houdt zich bezig met het onderzoek van eigenschappen van gehele getallen, en meer in het bijzonder, van natuurlijke getallen. In de getaltheorie is het gebruikelijk

Nadere informatie

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1 Kettingbreuken Frédéric Guffens 0 april 00 K + E + T + T + I + N + G + B + R + E + U + K + E + N 0 + A + P + R + I + L + 0 + + 0 Wat zijn Kettingbreuken? Een kettingbreuk is een wiskundige uitdrukking

Nadere informatie

Oplossing van opgave 6 en van de kerstbonusopgave.

Oplossing van opgave 6 en van de kerstbonusopgave. Oplossing van opgave 6 en van de kerstbonusopgave. Opgave 6 Lesbrief, opgave 4.5 De getallen m en n zijn verschillende positieve gehele getallen zo, dat de laatste drie cijfers van 1978 m en 1978 n overeenstemmen.

Nadere informatie

Heron driehoek. 1 Wat is een Heron driehoek? De naam Heron ( Heroon) is bekend van de formule

Heron driehoek. 1 Wat is een Heron driehoek? De naam Heron ( Heroon) is bekend van de formule Heron driehoek 1 Wat is een Heron driehoek? De naam Heron ( Heroon) is bekend van de formule = s(s a)(s b)(s c) met s = a + b + c 2 die gebruikt wordt om de oppervlakte van een driehoek te berekenen in

Nadere informatie

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal

Nadere informatie

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht.

Oefening 4.3. Zoek een positief natuurlijk getal zodanig dat de helft een kwadraat is, een derde is een derdemacht en een vijfde is een vijfdemacht. 4 Modulair rekenen Oefening 4.1. Merk op dat 2 5 9 2 = 2592. Bestaat er een ander getal van de vorm 25ab dat gelijk is aan 2 5 a b? (Met 25ab bedoelen we een getal waarvan a het cijfer voor de tientallen

Nadere informatie

7 a patroonnummer a patroonnummer a h = z

7 a patroonnummer a patroonnummer a h = z Hoofdstuk 3 FORMULES 3.1 PATRONEN EN FORMULES 3 a 10 22 c? d De beweringen a b = b a en a + b = b + a zijn juist. e 15 a 12 a 18 a f a + 8 10 + a a + 14 b zijde vierkant 3 4 5 6 7 aantal gekleurde hokjes

Nadere informatie

We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen.

We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. II.2 Gehele getallen We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. Axioma s voor Z De gegevens zijn: (a) een verzameling Z; (b) elementen 0 en 1 in Z; (c) een afbeelding +: Z Z Z, de optelling;

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen Algebra 3 8 juni 2017, 14:00 17:00

Uitwerkingen tentamen Algebra 3 8 juni 2017, 14:00 17:00 Uitwerkingen tentamen Algebra 3 8 juni 207, 4:00 7:00 Je mocht zoals gezegd niet zonder uitleg naar opgaven verwijzen. Sommige berekeningen zijn hier weggelaten. Die moest je op je tentamen wel laten zien.

Nadere informatie

Het probleem van Hilbert

Het probleem van Hilbert René Pannekoek Imperial College (Londen) 31 januari 2014 Motto Leopold Kronecker (1823-1891) Motto Leopold Kronecker (1823-1891): Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk.

Nadere informatie

Hoofdstuk 12. Sommen van kwadraten. 12.1 Sommen van twee kwadraten

Hoofdstuk 12. Sommen van kwadraten. 12.1 Sommen van twee kwadraten Hoofdstuk 12 Sommen van kwadraten 12.1 Sommen van twee kwadraten In Hoofdstuk 11 hebben we gezien dat als p een oneven priemdeler van a 2 + b 2 is, en p deelt niet zowel a als b, dan is p gelijk aan 1

Nadere informatie

Getaltheorie II. ax + by = c, a, b, c Z (1)

Getaltheorie II. ax + by = c, a, b, c Z (1) Lesbrief 2 Getaltheorie II 1 Lineaire vergelijkingen Een vergelijking van de vorm ax + by = c, a, b, c Z (1) heet een lineaire vergelijking. In de getaltheorie gaat het er slechts om gehele oplossingen

Nadere informatie

Cover Page. The handle holds various files of this Leiden University dissertation.

Cover Page. The handle  holds various files of this Leiden University dissertation. Cover Page The handle http://hdl.handle.net/1887/20310 holds various files of this Leiden University dissertation. Author: Jansen, Bas Title: Mersenne primes and class field theory Date: 2012-12-18 Samenvatting

Nadere informatie

Priemontbinding en ggd s

Priemontbinding en ggd s Hoofdstuk 3 Priemontbinding en ggd s 3.1 Priemgetallen Een getal > 1 dat alleen 1 en zichzelf als positieve deler heeft noemen we een priemgetal. De rij priemgetallen begint als volgt, 2, 3, 5, 7, 11,

Nadere informatie

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s.

2 n 1. OPGAVEN 1 Hoeveel cijfers heeft het grootste bekende Mersenne-priemgetal? Met dit getal vult men 320 krantenpagina s. Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Om technische redenen wordt

Nadere informatie

DRIEHOEKSGETALLEN GETALLENRIJEN AFLEVERING 3. som

DRIEHOEKSGETALLEN GETALLENRIJEN AFLEVERING 3. som GETALLENRIJEN AFLEVERING In deze jaargang van Pythagoras staan getallenrijen centraal. Deze aflevering gaat over de rij,, 6, 0,, 2,... Dit zijn de zogeheten driehoeksgetallen. Ze vormen een interessante

Nadere informatie

Hoofdstuk 4. Delers. 4.1 Delers (op)tellen

Hoofdstuk 4. Delers. 4.1 Delers (op)tellen Hoofdstuk 4 Delers 4. Delers (op)tellen Ieder getal heeft zijn delers. Van oudsher heeft het onvoorspelbare gedrag van delers van getallen een aantrekkingskracht uitgeoefend op mensen. Zozeer zelfs dat

Nadere informatie

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte

Getallenleer Inleiding op codeertheorie. Cursus voor de vrije ruimte Getallenleer Inleiding op codeertheorie Liliane Van Maldeghem Hendrik Van Maldeghem Cursus voor de vrije ruimte 2 Hoofdstuk 1 Getallenleer 1.1 Priemgetallen 1.1.1 Definitie en eigenschappen Een priemgetal

Nadere informatie

Opgeloste en onopgeloste mysteries in de getaltheorie

Opgeloste en onopgeloste mysteries in de getaltheorie Opgeloste en onopgeloste mysteries in de getaltheorie Jan De Beule, Tom De Medts en Jeroen Demeyer Voorwoord 1 Voorwoord Beste leerling, Deze nota s zijn bedoeld als begeleiding bij 6 lesuren Opgeloste

Nadere informatie

Over de construeerbaarheid van gehele hoeken

Over de construeerbaarheid van gehele hoeken Over de construeerbaarheid van gehele hoeken Dick Klingens maart 00. Inleiding In de getallentheorie worden algebraïsche getallen gedefinieerd via rationale veeltermen f van de n-de graad in één onbekende:

Nadere informatie

1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen

1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen 46 Getallen 1.5 Getaltheorie 1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen De getallen 0,1,2,3,4,... enz. worden de natuurlijke getallen genoemd (de heleverzamelingvanaldezegetallenbijelkaarnoterenwemethetteken:

Nadere informatie

Het doel van dit Hoofdstuk is een inleiding te geven in de theorie van kettingbreuken,

Het doel van dit Hoofdstuk is een inleiding te geven in de theorie van kettingbreuken, Kettingbreuken Het doel van dit Hoofdstuk is een inleiding te geven in de theorie van kettingbreuken en enkele toepassingen daarvan te geven.. Eindige kettingbreuken Een aardige manier om kettingbreuken

Nadere informatie

Hoofdstuk 1. Inleiding. Lichamen

Hoofdstuk 1. Inleiding. Lichamen Hoofdstuk 1 Lichamen Inleiding In Lineaire Algebra 1 en 2 heb je al kennis gemaakt met de twee belangrijkste begrippen uit de lineaire algebra: vectorruimte en lineaire afbeelding. In dit hoofdstuk gaan

Nadere informatie

Aanvullende tekst bij hoofdstuk 1

Aanvullende tekst bij hoofdstuk 1 Aanvullende tekst bij hoofdstuk 1 Wortels uit willekeurige getallen In paragraaf 1.3.5 hebben we het worteltrekalgoritme besproken. Dat deden we aan de hand van de relatie tussen de (van tevoren gegeven)

Nadere informatie

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b

Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen

Nadere informatie

RSA. F.A. Grootjen. 8 maart 2002

RSA. F.A. Grootjen. 8 maart 2002 RSA F.A. Grootjen 8 maart 2002 1 Delers Eerst wat terminologie over gehele getallen. We zeggen a deelt b (of a is een deler van b) als b = qa voor een of ander geheel getal q. In plaats van a deelt b schrijven

Nadere informatie

Breuken - Brak - Gebroken. Kettingbreuken

Breuken - Brak - Gebroken. Kettingbreuken Breuken - Brak - Gebroken Kettingbreuken Voorwoord Kettingbreuken is een boekje dat bedoeld is voor HAVO- en VWO leerlingen met wiskunde in hun profiel. Aan het einde van elk hoofdstuk is een aantal oefeningen

Nadere informatie

Nulpunten op een lijn?

Nulpunten op een lijn? Nulpunten op een lijn? Jan van de Craats leadtekst Het belangrijkste open probleem in de wiskunde is het vermoeden van Riemann. Het is één van de millennium problems waarmee je een miljoen dollar kunt

Nadere informatie

OVER IRRATIONALE GETALLEN EN MACHTEN VAN π

OVER IRRATIONALE GETALLEN EN MACHTEN VAN π OVER IRRATIONALE GETALLEN EN MACHTEN VAN π KOEN DE NAEGHEL Samenvatting. In deze nota buigen we ons over de vraag of een macht van π een irrationaal getal is. De aangereikte opbouw en bewijsmethoden zijn

Nadere informatie

Getallen, 2e druk, extra opgaven

Getallen, 2e druk, extra opgaven Getallen, 2e druk, extra opgaven Frans Keune november 2010 De tweede druk bevat 74 nieuwe opgaven. De nummering van de opgaven van de eerste druk is in de tweede druk dezelfde: nieuwe opgaven staan in

Nadere informatie

Diophantische vergelijkingen in het kerstpakket

Diophantische vergelijkingen in het kerstpakket Diophantische vergelijkingen in het kerstpakket Benne de Weger b.m.m.d.weger@tue.nl Faculteit Wiskunde en Informatica Technische Universiteit Eindhoven versie.0, 3 december 00 De TU/e viert een feestje

Nadere informatie

OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN

OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN OPLOSSINGEN VAN DE OEFENINGEN 1.3.1. Er zijn 42 mogelijke vercijferingen. 2.3.4. De uitkomsten zijn 0, 4 en 4 1 = 4. 2.3.6. Omdat 10 = 1 in Z 9 vinden we dat x = c 0 +... + c m = c 0 +... + c m. Het getal

Nadere informatie

Public Key Cryptography. Wieb Bosma

Public Key Cryptography. Wieb Bosma Public Key Cryptography de wiskunde van het perfecte kopje koffie Wieb Bosma Radboud Universiteit Nijmegen Bachelordag 2 april 2011 Nijmegen, 6 november 2010 0 Nijmegen, 6 november 2010 1 cryptografie

Nadere informatie

6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:

6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER

Nadere informatie

handleiding formules

handleiding formules handleiding formules inhoudsopgave inhoudsopgave 2 de grote lijn 3 bespreking per paragraaf 4 applets 4 1 rekenen en formules 4 2 formules maken 4 3 de distributiewet 5 4 onderzoek 5 tijdpad 6 materialen

Nadere informatie

Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge. Roland van der Veen

Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge. Roland van der Veen Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge Roland van der Veen Modulorekenen Twee getallen a en b zijn gelijk modulo p als ze een veelvoud van p verschillen. Notatie: a = b mod p Bijvoorbeeld:

Nadere informatie

De partitieformule van Euler

De partitieformule van Euler De partitieformule van Euler Een kennismaking met zuivere wiskunde J.H. Aalberts-Bakker 29 augustus 2008 Doctoraalscriptie wiskunde, variant Communicatie en Educatie Afstudeerdocent: Dr. H. Finkelnberg

Nadere informatie

Volledige inductie. Hoofdstuk 7. Van een deelverzameling V van de verzameling N van alle natuurlijke getallen veronderstellen.

Volledige inductie. Hoofdstuk 7. Van een deelverzameling V van de verzameling N van alle natuurlijke getallen veronderstellen. Hoofdstuk 7 Volledige inductie Van een deelverzameling V van de verzameling N van alle natuurlijke getallen veronderstellen we het volgende: (i) 0 V (ii) k N k V k + 1 V Dan is V = N. Men ziet dit als

Nadere informatie

Bewijs door inductie

Bewijs door inductie Bewijs door inductie 1 Bewijs door inductie Vaak bestaat een probleem erin aan te tonen dat een bepaalde eigenschap geldt voor elk natuurlijk getal. Als je wilt weten of iets waar is voor alle natuurlijke

Nadere informatie

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet

Nadere informatie

Priemgetallen en de rij van Fibonacci, Vier artikelen voor het tijdschrift Pythagoras

Priemgetallen en de rij van Fibonacci, Vier artikelen voor het tijdschrift Pythagoras Priemgetallen en de rij van Fibonacci, Vier artikelen voor het tijdschrift Pythagoras Bart Zevenhek 0 februari 008 Samenvatting In deze vier artikelen wordt ingegaan op enkele getaltheoretische eigenschappen

Nadere informatie

Finaletraining Nederlandse Wiskunde Olympiade

Finaletraining Nederlandse Wiskunde Olympiade NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Finaletraining Nederlandse Wiskunde Olympiade Met uitwerkingen Birgit van Dalen, Julian Lyczak, Quintijn Puite Dit trainingsmateriaal is deels gebaseerd op materiaal

Nadere informatie

Rekenen aan wortels Werkblad =

Rekenen aan wortels Werkblad = Rekenen aan wortels Werkblad 546121 = Vooraf De vragen en opdrachten in dit werkblad die vooraf gegaan worden door, moeten schriftelijk worden beantwoord. Daarbij moet altijd duidelijk zijn hoe de antwoorden

Nadere informatie

Cabri-werkblad. Driehoeken, rechthoeken en vierkanten. 1. Eerst twee macro's

Cabri-werkblad. Driehoeken, rechthoeken en vierkanten. 1. Eerst twee macro's Cabri-werkblad Driehoeken, rechthoeken en vierkanten 1. Eerst twee macro's Bij de opdrachten van dit werkblad zullen we vaak een vierkant nodig hebben waarvan alleen de beide eindpunten van een zijde gegeven

Nadere informatie

Basiskennis lineaire algebra

Basiskennis lineaire algebra Basiskennis lineaire algebra Lineaire algebra is belangrijk als achtergrond voor lineaire programmering, omdat we het probleem kunnen tekenen in de n-dimensionale ruimte, waarbij n gelijk is aan het aantal

Nadere informatie

Lineaire algebra 1 najaar Complexe getallen

Lineaire algebra 1 najaar Complexe getallen Lineaire algebra 1 najaar 2008 Complexe getallen Iedereen weet, dat kwadraten van getallen positieve getallen zijn. Dat is vaak erg praktisch, we weten bijvoorbeeld dat de functie f(x) := x 2 + 1 steeds

Nadere informatie

Getaltheorie groep 3: Primitieve wortels

Getaltheorie groep 3: Primitieve wortels Getaltheorie groep 3: Primitieve wortels Trainingsweek juni 2008 Inleiding Voor a relatief priem met m hebben we de orde van a modulo m gedefinieerd als ord m (a) = min { n Z + a n 1 (mod m) }. De verzameling

Nadere informatie

In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4:

In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel van rekenregel 4: Katern 4 Bewijsmethoden Inhoudsopgave 1 Bewijs uit het ongerijmde 1 2 Extremenprincipe 4 3 Ladenprincipe 8 1 Bewijs uit het ongerijmde In Katern 2 hebben we de volgende rekenregel bewezen, als onderdeel

Nadere informatie

PRIJEN en PRIPRIJEN Werkblad Rationale rechthoekige driehoeken

PRIJEN en PRIPRIJEN Werkblad Rationale rechthoekige driehoeken PRIJEN en PRIPRIJEN Werkblad Rationale rechthoekige driehoeken Vooraf De vragen en opdrachten in dit werkblad die vooraf gegaan worden door, moeten schriftelijk worden beantwoord. Daarbij moet altijd duidelijk

Nadere informatie

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft: Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x

Nadere informatie

III.2 De ordening op R en ongelijkheden

III.2 De ordening op R en ongelijkheden III.2 De ordening op R en ongelijkheden In de vorige paragraaf hebben we axioma s gegeven voor de optelling en vermenigvuldiging in R, maar om R vast te leggen moeten we ook ongelijkheden in R beschouwen.

Nadere informatie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De

Nadere informatie

Hoofdstuk 18. Het abc-vermoeden Introductie

Hoofdstuk 18. Het abc-vermoeden Introductie Hoofdstuk 18 Het abc-vermoeden 18.1 Introductie In de gehele getallen zijn optelling en vermenigvuldiging de belangrijkste bewerkingen. Als we echter uitsluitend naar de optelstructuur van de gehele getallen

Nadere informatie

Pythagoreïsche drietallen Guy Van Leemput, Sint-Jozefcollege te Turnhout, België

Pythagoreïsche drietallen Guy Van Leemput, Sint-Jozefcollege te Turnhout, België Pythagoreïsche drietallen Guy Van Leemput, Sint-Jozefcollege te Turnhout, België Toelichtingen: Wat op de volgende bladzijden volgt is een werktekst met antwoorden rond het zoeken van rechthoekige driehoeken

Nadere informatie

vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen

vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen Hoofdstuk I Lineaire Algebra Les 1 Stelsels lineaire vergelijkingen Om te beginnen is hier een puzzeltje: vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen over vijf jaar is Annie twee keer zo oud

Nadere informatie

Elliptische krommen en hun topologische aspecten

Elliptische krommen en hun topologische aspecten Elliptische krommen en hun topologische aspecten René Pannekoek 25 januari 2011 Dit is een korte introductie tot elliptische krommen voor het bachelorseminarium van de Universiteit Leiden. De bespreking

Nadere informatie

Uitwerkingen van de opgaven uit Pi

Uitwerkingen van de opgaven uit Pi Uitwerkingen van de opgaven uit Pi Frits Beukers January 3, 2006 Opgave 2.3. Bedoeling van deze opgave is dat we alleen een schatting geven op grond van de gevonden tabel. Er worden geen bewijzen of precieze

Nadere informatie

Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A

Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A Jaap van Oosten 2007-2008 1 Kardinaliteiten Opgave 1.1. Bewijs, dat R N = R. Opgave 1.2. Laat Cont de verzameling continue functies R R zijn. a) Laat zien dat

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

Het eenzame vierkant van Khajuraho!

Het eenzame vierkant van Khajuraho! Het eenzame vierkant van Khajuraho! Stephan Berendonk 19-12-2006 ii Contents 1 De Lo Shu vii 2 Het vierkant van Khajuraho xi iv Contents Voorwoord Het stuk is vooral gericht op middelbare scholieren, die

Nadere informatie

Nu een leuk stukje wiskunde ter vermaak (hoop ik dan maar). Optellen van oneindig veel getallen

Nu een leuk stukje wiskunde ter vermaak (hoop ik dan maar). Optellen van oneindig veel getallen Nu een leuk stukje wiskunde ter vermaak (hoop ik dan maar). Optellen van oneindig veel getallen Ter inleiding: tellen Turven, maar: onhandig bij grote aantallen. Romeinse cijfers: speciale symbolen voor

Nadere informatie

META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen

META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen In welke volgorde moet ik uitwerken? */@ Welke (reken)regels moet ik hier gebruiken? */@ Welke algemene vorm hoort erbij? ** Hoe ziet de bijbehorende grafiek

Nadere informatie

Complexe e-macht en complexe polynomen

Complexe e-macht en complexe polynomen Aanvulling Complexe e-macht en complexe polynomen Dit stuk is een uitbreiding van Appendix I, Complex Numbers De complexe e-macht wordt ingevoerd en het onderwerp polynomen wordt in samenhang met nulpunten

Nadere informatie

Uitwerking Puzzel 93-1, Doelloos

Uitwerking Puzzel 93-1, Doelloos Uitwerking Puzzel 93-1, Doelloos Wobien Doyer Lieke de Rooij Volgens de titel is deze puzzel zonder doel, dus zonder bekende toepassing. Het doel is echter nul en dat is zeker in de wiskunde niet niks.

Nadere informatie

Polynomen. + 5x + 5 \ 3 x 1 = S(x) 2x x. 3x x 3x 2 + 2

Polynomen. + 5x + 5 \ 3 x 1 = S(x) 2x x. 3x x 3x 2 + 2 Lesbrief 3 Polynomen 1 Polynomen van één variabele Elke functie van de vorm P () = a n n + a n 1 n 1 + + a 1 + a 0, (a n 0), heet een polynoom of veelterm in de variabele. Het getal n heet de graad van

Nadere informatie

Diophantische vergelijkingen

Diophantische vergelijkingen Diophantische vergelijkingen een onmogelijke uitdaging Frits Beukers Vakantiecursus 2010 Diophantische vergelijkingen Vakantiecursus 2010 1 / 34 Eerste voorbeeld Bedenk twee gehele getallen x en y zó dat

Nadere informatie

WISKUNDE-ESTAFETTE Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500

WISKUNDE-ESTAFETTE Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500 WISKUNDE-ESTAFETTE 2012 60 Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500 1 (20 punten) Optellen De som van twee getallen van twee cijfers is een getal van drie cijfers (geen van deze

Nadere informatie

Spookgetallen. Jan van de Craats en Janina Müttel

Spookgetallen. Jan van de Craats en Janina Müttel Spookgetallen Jan van de Craats en Janina Müttel leadtekst In de serie Open Problemen deze keer drie beroemde onopgeloste raadsels. Je kunt er geen miljoen dollar mee winnen, maar wel onsterfelijke roem.

Nadere informatie

V.4 Eigenschappen van continue functies

V.4 Eigenschappen van continue functies V.4 Eigenschappen van continue functies We bestuderen een paar belangrijke stellingen over continue functies. Maxima en minima De stelling over continue functies die we in deze paragraaf bewijzen zegt

Nadere informatie

Mathematical Modelling

Mathematical Modelling Mathematical Modelling Ruud van Damme Creation date: 21-08-08 Overzicht 1 Inleiding 2 Overzicht 1 Inleiding 2 Bijeenkomsten Vrijdagmiddagen: 13:45 17:30 (tijden in benadering) 13:45-14:15: nabespreken

Nadere informatie

Opmerking. TI1300 Redeneren en Logica. Met voorbeelden kun je niks bewijzen. Directe en indirecte bewijzen

Opmerking. TI1300 Redeneren en Logica. Met voorbeelden kun je niks bewijzen. Directe en indirecte bewijzen Opmerking TI1300 Redeneren en Logica College 2: Bewijstechnieken Tomas Klos Algoritmiek Groep Voor alle duidelijkheid: Het is verre van triviaal om definities te leren hanteren, beweringen op te lossen,

Nadere informatie

De n-dimensionale ruimte Arjen Stolk

De n-dimensionale ruimte Arjen Stolk De n-dimensionale ruimte Arjen Stolk In het vorige college hebben jullie gezien wat R 2 (het vlak) is. Een vector v R 2 is een paar v = (x,y) van reële getallen. Voor vectoren v = (a,b) en w = (c,d) in

Nadere informatie

Basisvaardigheden algebra. Willem van Ravenstein. 2012 Den Haag

Basisvaardigheden algebra. Willem van Ravenstein. 2012 Den Haag Basisvaardigheden algebra Willem van Ravenstein 2012 Den Haag 1. Variabelen Rekenenis het werken met getallen. Er zijn vier hoofdbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Verder ken

Nadere informatie

Bij de volgende vragen Bij een regelmatige veelhoek kun je het gemakkelijkst eerst de buitenhoeken berekenen en daarna pas de binnenhoeken.

Bij de volgende vragen Bij een regelmatige veelhoek kun je het gemakkelijkst eerst de buitenhoeken berekenen en daarna pas de binnenhoeken. Rood-wit-blauw werkblad 1 Bij het hele werkblad: Alle rode getallen zijn deelbaar door hetzelfde getal. Elk wit getal is gelijk aan een rood getal + 1, elk blauw getal aan een rood getal + 2 Russisch vermenigvuldigen

Nadere informatie

Combinatoriek groep 2

Combinatoriek groep 2 Combinatoriek groep 2 Recursie Trainingsdag 3, 2 april 2009 Homogene lineaire recurrente betrekkingen We kunnen een rij getallen a 0, a 1, a 2,... op twee manieren definiëren: direct of recursief. Een

Nadere informatie

FLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j

FLIPIT 5. (a i,j + a j,i )d i d j = d j + 0 = e d. i<j FLIPIT JAAP TOP Een netwerk bestaat uit een eindig aantal punten, waarbij voor elk tweetal ervan gegeven is of er wel of niet een verbinding is tussen deze twee. De punten waarmee een gegeven punt van

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 1 Algebraïsch rekenen (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 1 Algebraïsch rekenen (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 011 Module 1 Algebraïsch rekenen (versie augustus 011) Inhoudsopgave 1 Rekenen met haakjes 1.1 Uitwerken van haakjes en ontbinden in factoren............. 1. De

Nadere informatie

De telduivel. Een slaapverwekkende opdracht voor iedereen die van wiskunde durft te dromen

De telduivel. Een slaapverwekkende opdracht voor iedereen die van wiskunde durft te dromen De telduivel Een slaapverwekkende opdracht voor iedereen die van wiskunde durft te dromen Een praktische opdracht voor leerlingen van 5VWO met wiskunde B DE TELDUIVEL Inleiding Wiskunde? Hou op zeg! Voor

Nadere informatie

Aanvulling bij de cursus Calculus 1. Complexe getallen

Aanvulling bij de cursus Calculus 1. Complexe getallen Aanvulling bij de cursus Calculus 1 Complexe getallen A.C.M. Ran In dit dictaat worden complexe getallen behandeld. Ook in het Calculusboek van Adams kun je iets over complexe getallen lezen, namelijk

Nadere informatie

Aanvulling aansluitingscursus wiskunde. A.C.M. Ran

Aanvulling aansluitingscursus wiskunde. A.C.M. Ran Aanvulling aansluitingscursus wiskunde A.C.M. Ran 1 In dit dictaat worden twee onderwerpen behandeld die niet in het boek voor de Aansluitingscursus staan. Die onderwerpen zijn: complexe getallen en volledige

Nadere informatie

1.3 Rekenen met pijlen

1.3 Rekenen met pijlen 14 Getallen 1.3 Rekenen met pijlen 1.3.1 Het optellen van pijlen Jeweetnuwatdegetallenlijnisendat0nochpositiefnochnegatiefis. Wezullen nu een soort rekenen met pijlen gaan invoeren. We spreken af dat bij

Nadere informatie

Constructie der p-adische getallen

Constructie der p-adische getallen Constructie der p-adische getallen Pim van der Hoorn Marcel de Reus 4 februari 2008 Voorwoord Deze tekst is geschreven als opdracht bij de cursus Kaleidoscoop 2007 2008 aan de Universiteit Utrecht. De

Nadere informatie

6 Ringen, lichamen, velden

6 Ringen, lichamen, velden 6 Ringen, lichamen, velden 6.1 Polynomen over F p : irreducibiliteit en factorisatie Oefening 6.1. Bewijs dat x 2 + 2x + 2 irreducibel is in Z 3 [x]. Oplossing 6.1 Aangezien de veelterm van graad 3 is,

Nadere informatie

II.3 Equivalentierelaties en quotiënten

II.3 Equivalentierelaties en quotiënten II.3 Equivalentierelaties en quotiënten Een belangrijk begrip in de wiskunde is het begrip relatie. Een relatie op een verzameling is een verband tussen twee elementen uit die verzameling waarbij de volgorde

Nadere informatie

4 + 3i 4 3i (7 + 24i)(4 3i) 4 + 3i

4 + 3i 4 3i (7 + 24i)(4 3i) 4 + 3i COMPLEXE GETALLEN Invoering van de complexe getallen Definitie Optellen en vermenigvuldigen Delen De complexe getallen zijn al behoorlijk oud; in de zestiende eeuw doken ze op bij het oplossen van algebraïsche

Nadere informatie

7.0 Voorkennis. Definitie = Een afspraak, die niet bewezen hoeft te worden.

7.0 Voorkennis. Definitie = Een afspraak, die niet bewezen hoeft te worden. 7.0 Voorkennis Definitie = Een afspraak, die niet bewezen hoeft te worden. Voorbeeld definitie: Een gestrekte hoek is een hoek van 180 ; Een rechte hoek is een hoek van 90 ; Een parallellogram is een vierhoek

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

Het naaldenexperiment van Buffon

Het naaldenexperiment van Buffon Het naaldenexperiment van Buffon (Ph. Cara, 3 april 2015) 1 Definitie en korte geschiedenis van π Reeds in 400 v.chr. stelde de Griek Hippocrates vast dat de verhouding tussen de oppervlakte van een cirkelschijf

Nadere informatie

1.1 Rekenen met letters [1]

1.1 Rekenen met letters [1] 1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren

Nadere informatie

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden 6.0 Voorkennis Kruislings vermenigvuldigen: A C AD BC B D Voorbeeld: 50 0 x 50 0( x ) 50 0x 0 0x 60 x 6 6.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [] a [2] q a q p pq p

Nadere informatie

Groepen, ringen en velden

Groepen, ringen en velden Groepen, ringen en velden Groep Een groep G is een verzameling van elementen en een binaire operator met volgende eigenschappen: 1. closure (gesloten): als a en b tot G behoren, doet a b dat ook. 2. associativiteit:

Nadere informatie

a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n.

a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. . Oefen opgaven Opgave... Gegeven zijn de lijnen l : 2 + λ m : 2 2 + λ 3 n : 3 6 4 + λ 3 6 4 a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. b) Bepaal de afstand tussen die lijn

Nadere informatie

Kopieer- en werkbladen: getallen onderzoeken

Kopieer- en werkbladen: getallen onderzoeken 1 1 3,14 4 Kopieer- en werkbladen: getallen onderzoeken Grote Rekendag 26 www.rekenweb.nl 45 1 1 3,14 4 46 www.rekenweb.nl Grote Rekendag 26 1 1 3,14 4 1: Goochelen met getallen: even en oneven Je hebt

Nadere informatie

Fibonacci op de universiteit

Fibonacci op de universiteit Fibonacci op de universiteit Bart Zevenhek January 16, 2008 De rij van Fibonacci: een manier om mijlen om te rekenen naar kilometers. De rij van Fibonacci: een manier om mijlen om te rekenen naar kilometers.

Nadere informatie

Vereenvoudigen van samengestelde wortels

Vereenvoudigen van samengestelde wortels Vereenvoudigen van samengestelde wortels Niels Wardenier 85 Studierichting: Wiskunde Titel: Vereenvoudigen van samengestelde wortels Begeleider: Prof. Dr. F. Beukers september 0 Inhoudsopgave Inleiding

Nadere informatie