3 - Babylonische Wiskunde (C-1)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "3 - Babylonische Wiskunde (C-1)"

Transcriptie

1 3 - Babylonische Wiskunde (C-1) De opdracht omschrijving voor dit hoofdstuk bestond uit het volgende: C1 - Maak uit de hoofdstukken 0 t/m 6 van het Zebra-boekje Babylonische Wiskunde 15 van de 62 opgaven. Zorg voor nette uitwerkingen. Kies de 15 verspreid over de 62. C2 - Maak een praktische opdracht voor bijvoorbeeld een 3H/V klas over Babylonische Wiskunde. De praktische opdracht moeten ze in twee klokuren kunnen maken. Maak er ook een beoordelingsin een model bij, zodat de uitvoering van de opdracht door de leerlingen uitmondt cijfer. Algemene info vooraf: Babylonische wiskunde is wiskunde aan de hand van spijkerschrift. De Babyloniërs kenden echter een sexagesimaal getallenstelsel. Dit kunnen wij in onze getalsnotatie herkennen. Denk aan het schrijven van uren: één uur heeft 60 minuten, één minuut 60 seconden, dus één uur heeft 60 a-rá (= maal/keer) 60 seconden is 3600 seconden. Met dit sexagesimaal getallenstelsel drukten zij hun getallen uit in een zestigtalligg positiestelsel.dat houdt in dat de plaats van een symbool van belang is voor de betekenis van het symbool. Hoe het spijkerschrift eruit ziet zien we in bijgevoegde foto en scan. Aan de hand van deze foto/scan gaan we een aantal opdrachten uitvoeren. Geschiedenis van de Wiskunde 27

2 Schrijfwijze van getallen Voor een goede uitvoering is het van belang dat we weten dat de Babyloniërs maar twee symbolen kenden, namelijk het symbool voor 1 (een spijker) en het symbool voor 10 (een wig ). Het symbool voor 1 wordt ook gebruikt voor 60, 60 2, 60 3, enzovoort. Ook wordt dit symbool gebruikt voor getallen als 1/60 1/60 2, 1/60 3, etc. Het symbool voor 10 stelt 10 keer het symbool voor 1 voor. De Babyloniërs maken geen gebruik van een komma en van het getal 0. Uit de context moet duidelijk worden welk getal bedoeld wordt. 3.1 Opgaven Opdracht 2 a) Gebruik de tablet. Vertaal de getallen die achteraan in de eerste kolom staan. Welke regelmaat vertonen die? Dit zijn de getallen 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55. Ofwel de tafel van 5, waarbij de sprongen een regelmaat van 5 vertonen. b) Welk getal zou je op grond van de regelmaat in de eerste elf regels van de kleitablet, achteraan de twaalfde regel (dus bovenaan de tweede kolom van de tekening) verwachten? Het getal 60, want = 60. c) Hoe zit het met de volgende regels? Wat kun je op grond hiervan zeggen over de Babylonische wijze van noteren van getallen? Als je doortelt krijg je de volgende getallen: , 200, 250. In de Babylonische getalsnotatie staat de spijker waarschijnlijk voor zowel het getal één als het getal 60. Dit is denk ik ook de reden dat het Babylonische getalstelsel ook wel een sexagesimaal stelsel genoemd Opdracht 6 Schrijf (in transcriptie) de drieëntwintig uitkomsten van de Babylonische tafel van :03 1:10 1:17 1:24 1:31 1:38 1:45 1:52 1:59 2:06 2:13 2:20 3:30 4:40 5:50 Geschiedenis van de Wiskunde 28

3 3.1.3 Opdracht 8 Schrijf de volgende decimaal genoteerde getallen in sexagesimale vorm: 1651 : 27 x = 27: : 21 X 60² + 4 X = 21:04: : 3 X 60³ + 30 X 60² + 44 X = 3:30:44: Opdracht 13 De regelmaat in de toename van de kwadraten heb je vermoedelijk al eens eerder gezien. Onderstaand wordt het algebraïsch bewijs gegeven dat dit altijd zo blijft doorgaan. ² ² ² ² Geschiedenis van de Wiskunde 29

4 3.1.5 Opdracht 16 Verklaar de rekenwijze van de Babyloniërs aan de hand van de bijgevoegde figuur: Voor het oplossen van een vermenigvuldiging van twee ongelijke getallen werd door de Babyloniërs een kwadratentabel gebruikt. Aan de hand van zowel het vierkant hiernaast als de kwadratentabel hieronder wordt dit verduidelijkt. n n 2 n n 2 n n : : : : : : : : : : : : : :09 8 1: : :04 9 1: : : : :40 Als je bijvoorbeeld 18 x 23 wilt uitrekenen, zoek je de kwadraten van 18, 23 en hun som 41 op in de tabel. Vervolgens trek je de kleinste twee kwadraten af van de grootste en neemt de helft van de uitkomst. Dit is gelijk aan het product van 18 en 23. Geschiedenis van de Wiskunde 30

5 We rekenen dit op de Babylonische manier na: 6:54 = 6x60+54= =414/18 =23. Gevraagd: Oplossing: = = 28: = 5: = 8:49 5: :49 = 14:13 28: 01-14:13 = 13:48 de helft van 13:48 = 6:54 dit is de uitkomst van Laten we dit zien dmv een vierkant met daarin rechthoeken, komen we, als we voor de getallen 18 en 23 de onbekenden a en b nemen, uit op het product ax b (een grijze rechthoek) wat gelijk is aan de helft van het grote vierkant (a + b)² min de beide kleine vierkanten (a 2 en b 2 ). Dit levert de algebraïsche vergelijking op: a ( a + b) 2 a 2 b 2 a b= b 2 a b Ook kunnen we dit als volgt uitrekenen: De grijze rechthoek keer twee = het grote vierkant min de twee witte vierkanten. Of, anders gezegd: 2ab =. Willen we het product ab krijgen dienen we de uitkomst nog door 2 te delen(=halveren). En ook hieruit volgt: ab =. Hiermee zien we dus dat de Babyloniërs gebruik maakten van meetkundige termen: een kwadraat was een vierkant (a x a = a²), een (willekeurig) product een rechthoek (a x b = ab). Hierdoor kunnen we dus de meetkunde gebruiken om de bijzondere regels (denk aan de zogenaamde merkwaardige producten uit de algebra) aanschouwelijk maken. Geschiedenis van de Wiskunde 31

6 3.1.6 Opdracht 17 Op deze wijze berekenen we 33 x 26; Opdracht 23 Welke repeterende decimale breuk hoort bij Dat is: Opdracht 27 a. Bereken de lengte van de diagonaal van een vierkant met zijde 30 in vier decimalen nauwkeurig. b. Laat zien dat het onderste getal dat bij de diagonaal is gegrift, omgerekend in decimalen, dezelfde benadering in 4 decimalen heeft. a. De lengte van de diagonaal is gelijk aan: b. In de onderste regel op de tablet staan in spijkerschrift: vier tientallen, gevolgd door twee eenheden, (=42), daarnaa 2 tientallen gevolgd door 5 eenheden (=25) en sluit af met 3 tientallen en 5 eenhedenn (=35). Omgezet naar nu is dat = 42,4264. Geschiedenis van de Wiskunde 32

7 3.1.9 Opdracht 30 Bestudeer het algoritme en voer stap 3 uit voor het geval 2. Als je dat correct hebt gedaan, vindt je dat (a3)² slechts 2. De derde stap van het algoritme voor het geval 2 gaat als volgt: Deel a2 op A; 2 ligt tussen a2 en A/a Neem het gemiddelde van a2 en. A3 = 1 1 Deze benadering is wat te groot 1 (a3)² = 2 Q.E.D.. In de laatste regel van de tabel zien we dat a3 slechts (=0, ) verschilt van 2. Geschiedenis van de Wiskunde 33

8 Opdracht 35 Stel dat 2 wel gelijk is aan de verhouding van twee gehele getallen. Dus 2 = waarbij de teller t en de noemer n gehele getallen zijn. Veronderstel nu ook dat die breuk niet verder te vereenvoudigen is, dus t en n zijn de kleinste gehele getallen waarvoor de gelijkheid geldt. Bekijk nu het onderstaande vierkant met zijde n; de diagonaal zou volgens de veronderstelling de lengte t hebben. a) Er volgt nu dat ² en dus ook t een even getal moet zijn. Leg uit waarom dit zo is. b) Uit de bewering is a volgt dat de halve diagonaal (=s) ook een geheel getal is. Er volgt echter Uitwerking: ook: 2 =. Waarom is dat zo en waarom is dat in tegenspraak met de veronderstelling die aan het begin is gemaakt? a) ² ² ². Dus t² is even. Omdat een even getal maal een even getal altijd weer even is, is dus ook t even. Immers een even getal maal een even getal levert nooit een oneven getal o, maar altijd een even., 2., 2. Dan geldt dus : Dus is er een getal z, namelijk (a+b) zodat x + y =2z. Dus x + y is even. Ook geldt dat een oneven getal maal een oneven getal een oneven getal oplevert. b) Omdat de diagonalen loodrecht op elkaar staan, geldt dat ² ² ². En dit is n = s 2. Delen we beide zijden door s, dan levert dit op: 2 =. Dit is echter in tegenspraak met de eerste veronderstelling dat de breuk niet verder te vereenvoudigen is. Bij een breuk van de waarde n/s is dit wel zo, en hebben we dus een tegenspraak met onze veronderstelling dat de eerste breuk niet verder te vereenvoudigen is. Geschiedenis van de Wiskunde 34

9 Opdracht 37 Van twee getallen is de som 58 en het product is 741. Bereken die getallen met de Babylonische methode. Voor de oplossing gaan we eerst een vierhoek maximaliseren, dit wordt het een vierkant met zijden 29. (want de som van = 58). Daarnaast moet gelden dat het product van de vermenigvuldiging van de zijden 741 is. Uit deze twee gegevens gaan we nu de vergelijking volgens de Babylonische manier oplossen. We stellen daarbij: 29 29, (met d>0). Het product 741. Hieruit volgt dan: 29² - d² = d²= 741 d² = d² = 100 en d= Het grootste getal is nu dus: = 39 en het kleinste getal is = Opdracht 43 Los op zijn Babylonisch op uit: a) : 12. b) Uitwerking: a) Hieruit volgt: g² - 36 = 925 g² = g² = 961 g = 31 (immers 31² = 961). En dus: 31 6, 25. b) : : , ² , ² ² Nu volgt nog: 34 10, 24. Geschiedenis van de Wiskunde 35

10 Opdracht 52 Vat ² op als een vergelijking met onbekende. De constanten a,b en c stellen positieve getallen voor. a) Druk de oplossing van deze vergelijking uit in a,b en c. Gebruik hierbij dezelfde Babylonische methode als in de vorige twee opgaven. b) Vergelijk het resultaat met de bekende a,b,c-formule voor de algemene oplossing van de tweede-graadsvergelijking. Waarin verschilt het resultaat van vraag a met die formule? Hoe verklaar je dat? Uitwerking: a) Als we beide kanten vermenigvuldigen krijgen we: (ax)² +b(ax) =ac. We stellen nu:. De vergelijking wordt dan:.. Neem vervolgens voor,, : ² ² ². : y = = ², (middels invullen in:. Beide zijden delen door a geeft: ². Indien we vervolgens de teller en noemer nog vermenigvuldigen met 2 en onder de wordtel met 4, dan krijgen we:. b) Bij de Babylonische oplossing krijgen we een oplossing omdat de negatieve getallen ontbreken. In de door ons gebruikte abc-formule wordt onder het wortelteken gerekend met: b² - 4ac. Dit moet ook wel, want de abc-formule geeft de oplossing van de tweedegraadsvergelijking waarvan de algemene formule luidt: ax² + bx + c = 0. In ons voorbeeld wordt de vergelijking: ax² + bx c = 0 opgelost!. Het verschil met de Babylonische formule is daarom het teken. Geschiedenis van de Wiskunde 36

11 Opdracht 53 Los dit bovenstaande Oud-Babylonische vraagstuk op. Als de hoogte met 6 afneemt,en de lengte van de balk blijft gelijk, dan is deze balk over een afstand van verschoven. We krijgen dan dus de vergelijking: Geschiedenis van de Wiskunde 37

12 Opdracht 56 De bovenstaande tekst behandelt de berekening van de oppervlakte van een (gelijkbenig) trapezium. Ga nauwkeurig de (meetkundige) betekenis na van elke stap en controleer de berekening. Hoe zou jij deze oplossing opgeschreven hebben? Stappencontrole: 30 maal 30 = 900 ( =10 * * *60= 15:00) Verschil evenwijdige zijden is : =30, verdeeld over twee driehoeken is per driehoek maal 18 =324 ( 5*60= = 324 (dus 5:24 klopt). 15:00 5:24 = 9:36. (9*60 = = = 64 (= 1:04) 64/2 = 32. Dit vermenigvuldigen met de hoogte (24) geeft een oppervlakte van 768. (= 12*60+48=12:48) Het trapezium wordt verdeeld in een rechthoek, waarvan de breedte 14 is en twee congruente rechthoekige driehoeken. De horizontale zijden van de driehoeken zijn samen = 36. Per driehoek dus een zijde van 18. Toepassing van Pythagoras geeft de hoogte van het trapezium: De oppervlakte van het trapezium berekenen we als volgt: helft van de hoogte maal de som van de evenwijdige zijden. Dat is: Geschiedenis van de Wiskunde 38

13 Mijn oplossing zou zijn geweest: = 36/2 = 18.Vervolgens de linkerdriehoek onder de rechterdriehoek plaatsen, waardoor de lengte van de evenwijdige boven en onderkant worden: = = 32. Voor de oorspronkelijke driehoek zou ik nog met Pythagoras de derde zijde uitgerekend hebben: a² + b² = c², met de gegevens: 18² + b² = 30² b² = b² = 576 b = Oppervlakte van de rechthoek is dan 24 x 32 = Opdracht 59 Voor een gelijkbenig trapezium met evenwijdige zijden a en b en met basishoeken van 45 is de Babylonische stelling vrij eenvoudig te bewijzen. Denk je in dat je zo n trapezium maakt door een rechthoekige plank aan twee kanten verstek te zagen. Van vier congruente planken die op die manier gezaagd zijn kun je dan een lijst maken voor een vierkant schilderij. Maak een tekening van zo n lijst en teken daarin ook de vier lijnen die de trapeziumvormige onderdelen eerlijk verdelen. Er zijn dan drie vierkanten in je tekening te zien. Gebruik deze vierkanten om te bewijzen dat: ². Uitwerking: 2 ² ² ² ² 1 2 Geschiedenis van de Wiskunde 39

14 3.2 Praktische opdracht Praktische opdracht : 3H/V: BABYLONISCHE WISKUNDE De komende twee klokuren gaan jullie in groepjes van drie aan de slag met een opdracht over de Babylonische wiskunde. Je krijgt hiervoor ook een cijfer. Beschikbare middelen: Boeken uit de mediatheek; Je i-pad, waarmee je dingen op internet kunt opzoeken; Algemene info vooraf: Babylonische wiskunde is wiskunde aan de hand van spijkerschrift. De Babyloniërs kenden echter een ander getallenstelsel dan die wij kennen. Toch is er een link met een specifieke getalsnotatie die wij ook gebruiken. Met het door de Babyloniërs gehanteerde getallenstelsel drukten zij hun getallen uit in positiestelsel.dat houdt in dat de plaats van een symbool van belang is voor de betekenis van het symbool. Hoe het spijkerschrift eruit ziet gaan jullie zelf uitzoeken. Ook gaan jullie een aantal opdrachten uitvoeren, die je met behulp van dit spijkerschrift gaat maken. Resultaat: Van deze opdracht maak een je verslag (in Word), waaraan de volgende eisen worden gesteld: Het verslag heeft een inleiding, waarin je een relatie legt tussen de Babylonische wiskunde en de hedendaagse wiskunde. Ook geef je een uitwerking van de volgende (deel)opdrachten: Opdracht 1: Binnen de Babylonische wiskunde wordt gewerkt met het zgn spijkerschrift. 2 a. Geef mbt foto s en/of symbolen een overzicht van het Babylonische spijkerschrift voor de eerste 59 getallen; 2 b. Schrijf de volgende som op in het Babylonische spijkerschrift: en ook in de transcriptie (als sexagesimaal getal). 4 c. Bereken de volgende sexagesimale getallen: 1:35 2:38 10:34 10:34 1:03+ 1:22+ 5:59+ 5:59- Geschiedenis van de Wiskunde 40

15 Opdracht 2:6 Zoek uit hoe de Babyloniërs de oppervlakte berekenden en geef hiervan een duidelijk voorbeeld, waarbij de Babylonische methode wordt uitgewerkt en daarna omgezet naar de hedendaagse wiskundetaal. Opdracht 3: De Babyloniërs losten al veel meetkundige problemen op met de stelling die later naar een Griekse filosoof/wiskundige werd genoemd. 1 a. Wie was deze Griekse wiskundige; 5 b. Los de volgende opgave op: Een riet staat tegen een wand. Als ik het boveneind 3 el naar beneden schuif, schuift het benedeneind 9 el weg. Hoe lang is het riet en hoe hoog de wand. Bronvermelding; Hier vermeldt je welke bronnen je hebt gebruikt. Let op: alleen volstaat niet. Kopieer de volledige url. Beoordeling: Deze opdracht wordt beoordeeld op: Onderzoeksvaardigheden tijdens de les; Vakinhoudelijke vaardigheden (vaardigheid om wiskundige berekeningen uit te voeren); Verzorging van de verslaglegging; samenwerking; uitvoering van de opdrachten; Bronvermelding en gebruik. We wensen jullie veel succes en plezier met deze praktische opdracht! Mevrouw B. van der Dussen, en de heren P.A. Oosterhuis en H.J. Polman, Docenten Wiskunde van het G-10 College G-10 College Zernikeplein AS GRONINGEN Geschiedenis van de Wiskunde 41

16 G-10 College G-10 College Zernikeplein AS GRONINGEN Beoordelingsmodel wiskunde: praktische opdracht Babylonische Opdracht 1: Binnen de Babylonische wiskunde wordt gewerkt met het zgn spijkerschrift. 3 a. Geef mbt foto s en/of symbolen een overzicht van het Babylonische spijkerschrift voor de eerste 59 getallen: eerste 59 getallen; b. Schrijf de volgende som op in het Babylonische spijkerschrift: en ook in de transcriptie (als sexagesimaal getal (zie c 1)) +. = (2) 1:35 + 1:03 = 2:38 (1) Geschiedenis van de Wiskunde 42

17 4 c. Bereken de volgende sexagesimale getallen: 1:35 2:38 10:34 10:34 1:03+ 1:22+ 5:59+ 5:59-2:38 (1) 4:00(1 ) 16:33 (1) 4:35 (1) Opdracht 2:6 Zoek uit hoe de Babyloniërs de oppervlakte berekenden en geef hiervan een duidelijk voorbeeld, waarbij de Babylonische methode wordt uitgewerkt en daarna omgezet naar de hedendaagse wiskundetaal. Bijvoorbeeld: (2) of of waarbij de berekening (algebraïsch) wordt weergegeven.(4) (zie de uitwerkingen van de opdrachten 16, 27 & 59 van C1). Opdracht 3: De Babyloniërs losten al veel meetkundige problemen op met de stelling die later naar een Griekse filosoof/wiskundige werd genoemd. 1 a. Wie was deze Griekse wiskundige; Antw: Pythagoras (van Samos) 3 b. Los de volgende opgave op: Een riet staat tegen een wand. Als ik het boveneind 3 el naar beneden schuif, schuift het benedeneind 9 el weg. Hoe lang is het riet en hoe hoog de wand. 2 Stel de lengte van het riet op. : 3 9² ² : Verduidelijking met tekening. Geschiedenis van de Wiskunde 43

18 Cijfermatige beoordeling van deze praktische opdracht: Uitvoering van de opdrachten; 20 punten: 13 OB 7 IT Berekening (deelcijfer): Aantal punten/20 x Verslaglegging en samenwerking: (O = 4; V=6; G=8) O / V/ G: Onderzoeksvaardigheden tijdens de les; O / V/ G: Verzorging van de verslaglegging; O / V/ G: samenwerking; O/ V/ G: Bronvermelding en gebruik. Berekening deelcijfer: (O + V+G+V)/4 deelcijfer verslag Bijvoorbeeld: = 24/4 = 6 Berekening eindcijfer: (deelcijfer Uitvoering opdrachten + deelcijfer Verslaglegging)/2 = Eindcijfer Geschiedenis van de Wiskunde 44

Bijlage 1 Rekenen met wortels

Bijlage 1 Rekenen met wortels Bijlage Rekenen met wortels Deze bijlage hoort bij het hoofdstuk Meetkunde en Algebra juli 0 Opgaven gemarkeerd met kunnen worden overgeslagen. Uitgave juli 0 Colofon 0 ctwo Auteurs Aad Goddijn, Leon van

Nadere informatie

ANTWOORDEN blz. 1. d. 345 + 668 = 1013; 61 007 + 50 215 = 111 222; 102 240 30 628 = 71 612; 1 000 000 1 = 999 999

ANTWOORDEN blz. 1. d. 345 + 668 = 1013; 61 007 + 50 215 = 111 222; 102 240 30 628 = 71 612; 1 000 000 1 = 999 999 ANTWOORDEN blz. 3 a. Zeer onwaarschijnlijk Zeer onwaarschijnlijk a. Dan heb je ergens een schuld uitstaan 86 Dan hadden beide een kopie van de kerfstok; om fraude te voorkomen a. MMXII, MCCCXXVII, DLXXXVI,

Nadere informatie

1.1 Rekenen met letters [1]

1.1 Rekenen met letters [1] 1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren

Nadere informatie

2 Meten 2.1 2.1 Kaarten 2.1 2.2 Materialen en technieken 2.3 2.3 Meten en schetsen 2.12 2.4 Praktijkopdrachten 2.16

2 Meten 2.1 2.1 Kaarten 2.1 2.2 Materialen en technieken 2.3 2.3 Meten en schetsen 2.12 2.4 Praktijkopdrachten 2.16 Inhoud Voorwoord v Het metrieke stelsel vii Inhoud ix Trefwoordenlijst x 1 Basis 1.1 1.1 Veel voorkomende berekeningen 1.1 1.2 Van punt tot vlak 1.4 1.3 Oppervlakten berekenen 1.12 1.4 Zelf tekenen 1.16

Nadere informatie

Basisvaardigheden algebra. Willem van Ravenstein. 2012 Den Haag

Basisvaardigheden algebra. Willem van Ravenstein. 2012 Den Haag Basisvaardigheden algebra Willem van Ravenstein 2012 Den Haag 1. Variabelen Rekenenis het werken met getallen. Er zijn vier hoofdbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Verder ken

Nadere informatie

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden 6.0 Voorkennis Kruislings vermenigvuldigen: A C AD BC B D Voorbeeld: 50 0 x 50 0( x ) 50 0x 0 0x 60 x 6 6.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [] a [2] q a q p pq p

Nadere informatie

Babylonische rekenkunst

Babylonische rekenkunst Panama Praktijktip nummer 98 Babylonische rekenkunst M. Kindt Freudenthal Instituut, Universiteit Utrecht Het vak rekenen-wiskunde bestaat al heel lang, wel zo n vierduizend jaar! Dat weten we van de kleitabletten

Nadere informatie

Domein A: Inzicht en handelen

Domein A: Inzicht en handelen Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Preambule Domein A is een overkoepeld domein dat altijd in combinatie met de andere domeinen wordt toegepast (of getoetst). In domein A wordt benoemd: Vaktaal: het

Nadere informatie

6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:

6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER

Nadere informatie

Deel C. Breuken. vermenigvuldigen en delen

Deel C. Breuken. vermenigvuldigen en delen Deel C Breuken vermenigvuldigen en delen - 0 Sprongen op de getallenlijn. De sprongen op de getallenlijn zijn even groot. Schrijf passende breuken of helen bij de deelstreepjes. 0 Welk eindpunt wordt bereikt

Nadere informatie

Babylonische rekenkunst

Babylonische rekenkunst Panama Praktijktip nummer 8 Babylonische rekenkunst M. Kindt Freudenthal Instituut, Universiteit Utrecht Het vak rekenen-wiskunde bestaat al heel lang, wel zo n vierduizend jaar! Dat weten we van de kleitabletten

Nadere informatie

Niveauproef wiskunde voor AAV

Niveauproef wiskunde voor AAV Niveauproef wiskunde voor AAV Waarom? Voor wiskunde zijn er in AAV 3 modules: je legt een niveauproef af, zodat je op het juiste niveau kan starten. Er is de basismodule voor wie de rekenvaardigheden moet

Nadere informatie

1 Coördinaten in het vlak

1 Coördinaten in het vlak Coördinaten in het vlak Verkennen Meetkunde Coördinaten in het vlak Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. (Als je er niet uitkomt, ga je gewoon naar de Uitleg, maar bekijk het probleem

Nadere informatie

Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo

Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Domein A: Inzicht en handelen Subdomein A1: Vaktaal wiskunde 1. vmbo passende vaktaal voor wiskunde herkennen en gebruiken voor het ordenen van het eigen denken

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1998-1999: Tweede ronde De tweede ronde bestaat eveneens uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem is hetzelfde als dat voor de eerste ronde, dwz per goed antwoord krijgt

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: goniometrie en meetkunde 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

7.0 Voorkennis. Definitie = Een afspraak, die niet bewezen hoeft te worden.

7.0 Voorkennis. Definitie = Een afspraak, die niet bewezen hoeft te worden. 7.0 Voorkennis Definitie = Een afspraak, die niet bewezen hoeft te worden. Voorbeeld definitie: Een gestrekte hoek is een hoek van 180 ; Een rechte hoek is een hoek van 90 ; Een parallellogram is een vierhoek

Nadere informatie

1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen

1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen 46 Getallen 1.5 Getaltheorie 1.5.1 Natuurlijke, gehele en rationale getallen De getallen 0,1,2,3,4,... enz. worden de natuurlijke getallen genoemd (de heleverzamelingvanaldezegetallenbijelkaarnoterenwemethetteken:

Nadere informatie

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling Examen Wiskunde: Hoofdstuk 1: Reële getallen: 1.1 Rationale getallen: 1.1.1 Soorten getallen. Een natuurlijk getal is het resultaat van een tellg van een edig aantal dgen. Een geheel getal is het verschil

Nadere informatie

Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren

Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren 141 Eventjes herhalen : Wat is een homothetie? h (o,k) : Een homothetie met centrum o en factor k Het beeld van een punt Z door de homothetie met centrum O en factor

Nadere informatie

Babylonisch rekenen. Jan van de Craats (UvA, OU)

Babylonisch rekenen. Jan van de Craats (UvA, OU) Babylonisch rekenen Jan van de Craats (UvA, OU) De oude Babyloniërs die een kleine vierduizend jaar geleden Mesopotamië (het huidige Irak) bewoonden, moeten keien in de wiskunde zijn geweest. Ze kenden

Nadere informatie

Uitgewerkte oefeningen

Uitgewerkte oefeningen Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4

Nadere informatie

Deze stelling zegt dat je iedere rechthoekige driehoek kunt maken door drie vierkanten met de hoeken tegen elkaar aan te leggen.

Deze stelling zegt dat je iedere rechthoekige driehoek kunt maken door drie vierkanten met de hoeken tegen elkaar aan te leggen. Meetkunde Inleiding We beginnen met het doorlezen van alle theorie uit hoofdstuk 3 van het boek. Daar staan een aantal algemene regels goed uitgelegd. Waar je nog wat extra uitleg over nodig hebt, is de

Nadere informatie

Rekenen en wiskunde ( bb kb gl/tl )

Rekenen en wiskunde ( bb kb gl/tl ) Tussendoelen Rekenen en wiskunde Rekenen en wiskunde ( bb kb gl/tl ) vmbo = Basis Inzicht en handelen Vaktaal wiskunde Vaktaal wiskunde gebruiken voor het ordenen van het eigen denken en voor uitleg aan

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Extra oefening - Basis B-a 5x + 6 7x + e 4x + 6 x + 6 x + 3x + 6 4 x 3x 5 x 4 : dus x x 5 : 3 dus x 5 b 9x + 0 34 + x f 8x + 5x + 38 8x + 0 34 3x + 38 8x 4 3x 6 x 4 : 8 dus x 3 x 6 : 3 dus x c 4x + 9 7x

Nadere informatie

Thema: Stelling van Pythagoras vmbo-kgt12

Thema: Stelling van Pythagoras vmbo-kgt12 Auteur VO-content Laatst gewijzigd 12 August 2016 Licentie CC Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie Webadres http://maken.wikiwijs.nl/57157 Dit lesmateriaal is gemaakt met Wikiwijsleermiddelenplein.

Nadere informatie

HANDMATIG WORTELTREKKEN

HANDMATIG WORTELTREKKEN HANDMATIG WORTELTREKKEN Kelly Vankriekelsvenne & Julie Vanmarsenille Doelstellingen: Na deze workshop moeten jullie in staat zijn om: Het algoritme voor handmatig wortels te trekken toe te passen. De stappen

Nadere informatie

Toelichting op de werkwijzer

Toelichting op de werkwijzer Toelichting op de werkwijzer NEDERLANDSE W I S K U N D E OLYMPIADE Birgit van Dalen, Quintijn Puite De opgaven voor de training komen uit het boekje De Nederlandse Wiskunde Olympiade 100 opgaven met hints,

Nadere informatie

5.1 Herleiden [1] Herhaling haakjes wegwerken: a(b + c) = ab + ac (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (ab) 2 = a 2 b 2

5.1 Herleiden [1] Herhaling haakjes wegwerken: a(b + c) = ab + ac (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (ab) 2 = a 2 b 2 Herhaling haakjes wegwerken: a(b + c) = ab + ac (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (ab) = a b 5.1 Herleiden [1] Voorbeeld 1: (a + 5)(a 6) (a + 5)(-a + 7) = a 6a + 5a 30 ( a + 14a 5a + 35) = a 6a + 5a 30

Nadere informatie

4 - Stelling van Pythagoras

4 - Stelling van Pythagoras 4 - Stelling van Pythagoras De opdracht omschrijving voor dit hoofdstuk bestond uit het volgende: D1 - Maak de 5 opdrachten. Zorg voor nette uitwerkingen. D2 - Maak een powerpoint over de stelling van

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 97-9: Tweede Ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw is een officiële foreign coordinator voor de welbekende AHSME-competitie (Annual High School Mathematics Examination - USA en

Nadere informatie

44 De stelling van Pythagoras

44 De stelling van Pythagoras 44 De stelling van Pythagoras Verkennen Pythagoras Uitleg Je kunt nu lezen wat de stelling van Pythagoras is. In de applet kun je de twee rode punten verschuiven. Opgave 1 a) Verschuif in de applet punt

Nadere informatie

HANDMATIG WORTELTREKKEN

HANDMATIG WORTELTREKKEN HANDMATIG WORTELTREKKEN 1. INLEIDING Boer Jaak bezit een vierkant stuk grond (oppervlakte = 169 m²). Hij wil heel graag een hek zetten langs één kant van dat stuk grond. Hij heeft vroeger niet zo goed

Nadere informatie

2.9 Stelling van Pythagoras

2.9 Stelling van Pythagoras Auteur hannie janssen Laatst gewijzigd 24 March 2016 Licentie CC Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie Webadres http://maken.wikiwijs.nl/74171 Dit lesmateriaal is gemaakt met Wikiwijs Maken

Nadere informatie

Hoofdstuk 3: De stelling van Pythagoras

Hoofdstuk 3: De stelling van Pythagoras Hoofdstuk 3: De stelling van Pythagoras Benamingen afspraken ( boek pag 53) - 49 We spreken van een rechthoekige driehoek als... We zeggen dat in de rechthoekige ABC de grootte van de hoek A 90 o is We

Nadere informatie

inhoudsopgave januari 2005 handleiding algebra 2

inhoudsopgave januari 2005 handleiding algebra 2 handleiding algebra inhoudsopgave Inhoudsopgave 2 De grote lijn 3 Bespreking per paragraaf 1 Routes in een rooster 4 2 Oppervlakte in een rooster 4 3 Producten 4 4 Onderzoek 5 Tijdpad 9 Materialen voor

Nadere informatie

PARATE KENNIS & VAARDIGHEDEN WISKUNDE 1 STE JAAR 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE. a) Begrippen uit de getallenleer ...

PARATE KENNIS & VAARDIGHEDEN WISKUNDE 1 STE JAAR 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE. a) Begrippen uit de getallenleer ... PARATE KENNIS & VAARDIGHEDEN WISKUNDE 1 STE JAAR 1. TAALVAARDIGHEID BINNEN WISKUNDE a) Begrippen uit de getallenleer Bewerking optelling aftrekking vermenigvuldiging Symbool deling : kwadratering... machtsverheffing...

Nadere informatie

pythagoras handleiding inhoudsopgave 1 de grote lijn 2 applets 3 bespreking per paragraaf 4 tijdsplan 5 materialen voor een klassengesprek pythagoras

pythagoras handleiding inhoudsopgave 1 de grote lijn 2 applets 3 bespreking per paragraaf 4 tijdsplan 5 materialen voor een klassengesprek pythagoras inhoudsopgave 1 de grote lijn applets 3 bespreking per paragraaf 4 tijdsplan 5 materialen voor een klassengesprek 1 de grote lijn hoofdlijn de zijlijn De oppervlakte van rechthoekige driehoeken. Van een

Nadere informatie

3.1 Haakjes wegwerken [1]

3.1 Haakjes wegwerken [1] 3.1 Haakjes wegwerken [1] Oppervlakte rechthoek (Manier 1): Opp. = l b = (a + b) c = (a + b)c Oppervlakte rechthoek (Manier 2): Opp. = Opp. Groen + Opp. Rood = l b + l b = a c + b c = ac + bc We hebben

Nadere informatie

4 A: = 10 B: 4 C: 8 D: 8

4 A: = 10 B: 4 C: 8 D: 8 Hoofdstuk OPPERVLAKTE VWO 0 INTRO A: + 6 = 0 B: C: 8 D: 8 DE OPPERVLAKTE VAN EEN PARALLELLOGRAM Als voorbeeld de oppervlakte van D: De donkerblauwe rechthoek heeft oppervlakte 5 = 0 Daar gaan twee halve

Nadere informatie

Vlakke Meetkunde. Les 1 Congruentie en gelijkvormig

Vlakke Meetkunde. Les 1 Congruentie en gelijkvormig Vlakke Meetkunde Les 1 Congruentie en gelijkvormig (Deze les sluit aan bij het paragraaf 1 van Vlakke Meetkunde van de Wageningse Methode. Vlakke Meetkunde kun je downloaden vanaf de site van de Open Universiteit.

Nadere informatie

Aanvullende tekst bij hoofdstuk 1

Aanvullende tekst bij hoofdstuk 1 Aanvullende tekst bij hoofdstuk 1 Wortels uit willekeurige getallen In paragraaf 1.3.5 hebben we het worteltrekalgoritme besproken. Dat deden we aan de hand van de relatie tussen de (van tevoren gegeven)

Nadere informatie

2004 Gemeenschappelijke proef Algebra - Analyse - Meetkunde - Driehoeksmeting 14 vragen - 2:30 uur Reeks 1 Notatie: tan x is de tangens van de hoek x, cot x is de cotangens van de hoek x Vraag 1 In een

Nadere informatie

Dossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra

Dossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra Dossier 4 VECTOREN bouwstenen van de lineaire algebra Dr. Luc Gheysens 1 Coördinaat van een vector In het vlak π 0 is het punt O de oorsprong en de punten E 1 en E 2 zijn zodanig gekozen dat OE 1 OE 2

Nadere informatie

opdracht 1 opdracht 2. opdracht 3 1 Parabolen herkennen Algebra Anders Parabolen uitwerkingen 1 Versie DD 2014 x y toename

opdracht 1 opdracht 2. opdracht 3 1 Parabolen herkennen Algebra Anders Parabolen uitwerkingen 1 Versie DD 2014 x y toename Algebra Anders Parabolen uitwerkingen 1 Versie DD 014 1 Parabolen herkennen opdracht 1. x - -1 0 1 3 y 4 1 0 1 4 9-3 -1 + 1 + 3 +5 toename tt + + + + a) + b) De toename is steeds een nieuwe rand. De randen

Nadere informatie

Analytische Meetkunde

Analytische Meetkunde Analytische Meetkunde Meetkunde met Geogebra en vergelijkingen van lijnen 2 Inhoudsopgave Achtergrondinformatie... 4 Meetkunde met Geogebra... 6 Stelling van Thales...... 7 3 Achtergrondinformatie Auteurs

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 21 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 21 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VWO 07 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 4 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 7 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten

Nadere informatie

1.1 Lineaire vergelijkingen [1]

1.1 Lineaire vergelijkingen [1] 1.1 Lineaire vergelijkingen [1] Voorbeeld: Los de vergelijking 4x + 3 = 2x + 11 op. Om deze vergelijking op te lossen moet nu een x gevonden worden zodat 4x + 3 gelijk wordt aan 2x + 11. = x kg = 1 kg

Nadere informatie

Oefeningen in verband met tweedegraadsvergelijkingen

Oefeningen in verband met tweedegraadsvergelijkingen Oefeningen in verband met tweedegraadsvergelijkingen l. e omtrek van een rechthoek is 8 m en de diagonaal 10 m. Welke afmetingen heeft deze rechthoek?. Bereken x zodat de opp van de rechthoek even groot

Nadere informatie

Hoofdstuk 4: Meetkunde

Hoofdstuk 4: Meetkunde Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde Getallen Assenstelsel Lineair

Nadere informatie

Een bekende eigenschap van de middens van de zijden van een driehoek is de volgende.

Een bekende eigenschap van de middens van de zijden van een driehoek is de volgende. Cabri-werkblad Rond het zwaartepunt van een driehoek Een bekende eigenschap van de middens van de zijden van een driehoek is de volgende. Stelling De verbindingslijn van de middens van twee zijden van

Nadere informatie

gelijkvormigheid handleiding inhoudsopgave 1 de grote lijn 2 applets 3 bespreking per paragraaf 4 tijdsplan 5 materialen voor een klassengesprek

gelijkvormigheid handleiding inhoudsopgave 1 de grote lijn 2 applets 3 bespreking per paragraaf 4 tijdsplan 5 materialen voor een klassengesprek gelijkvormigheid inhoudsopgave 1 de grote lijn 2 applets 3 bespreking per paragraaf 4 tijdsplan 5 materialen voor een klassengesprek gelijkvormigheid gelijkvormigheid 1 de grote lijn hoofdlijn de zijlijn

Nadere informatie

oefenbundeltje voor het vijfde leerjaar

oefenbundeltje voor het vijfde leerjaar oefenbundeltje voor het vijfde leerjaar bevat: werkbladen uit de map van Wibbel bij Rekensprong Plus, aansluitend bij de wiskundeopdrachten op de poster; de correctiesleutel bij deze werkbladen. Meer informatie

Nadere informatie

Stelling van Pythagoras

Stelling van Pythagoras 1 of 6 Stelling van Pythagoras Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie De stelling van Pythagoras is een wiskundige stelling die zijn naam dankt aan de Griekse wiskundige Pythagoras. 'Zijn' stelling was overigens

Nadere informatie

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4 Vaardigheden Wiskunde klas Inhoudsopgave. Breuken. Gelijksoortige termen samennemen. Rekenen met machten. Rekenen met wortels. Algebraïsche producten 6. Ontbinden in factoren 6 7. Eerstegraads vergelijkingen

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-a Hester houdt e 5,00 3 e,85 3 e 3,9 5 e 5,00 e 3,70 e 6,58 5 e,7 over. b e 5,00 3 (e,85 e 3,9) 5 e 5,00 3 e 5, 5 e 5,00 e 0,8 5 e,7 V-a 6 3 5 36 9 5 7 b 9 (5 ) 5 9 (5 ) 5 9 5 c 0 3 6 5 000

Nadere informatie

INDITHOOFDSTUKgaan jullie kennismaken met het cartesisch assenstelsel.

INDITHOOFDSTUKgaan jullie kennismaken met het cartesisch assenstelsel. Hoofdstuk 5 Het Assenstelsel 5.1 Het Assenstelsel INDITHOOFDSTUKgaan jullie kennismaken met het cartesisch assenstelsel. Dit assenstelsel is een idee van de Franse filosoof en wiskundige René Descartes(1596-1650).

Nadere informatie

wiskunde C pilot vwo 2017-I

wiskunde C pilot vwo 2017-I wiskunde C pilot vwo 207-I De formule van Riegel en kilometertijden maximumscore 3 4 minuten en 52 seconden komt overeen met 292 seconden,07 0000 T2 = 292 2223 (seconden) (of nauwkeuriger) 500 Dat is 37

Nadere informatie

Vergelijkingen met één onbekende

Vergelijkingen met één onbekende - 89 - Hoofdstuk 3: ergelijkingen met één onbekende Opgave boek pag 67 nr. 5: Los op in R a. 3 ( + ) 4 7.................. {... }... proef : 1 e lid :... e lid :... b. ( 3 ) + 7 5 ( )........................

Nadere informatie

WISKUNDE-ESTAFETTE KUN 2003 60 Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500

WISKUNDE-ESTAFETTE KUN 2003 60 Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500 WISKUNDE-ESTAFETTE KUN 2003 60 Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500 1 (20 punten) Gekleurde sokken Op de planeet Swift B6 wonen de Houyhnhnms. Ze lijken sprekend op paarden;

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2010 tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Rekenen met cijfers en letters

Rekenen met cijfers en letters Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 009 c Swier Garst - RGO Middelharnis Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

7 a patroonnummer a patroonnummer a h = z

7 a patroonnummer a patroonnummer a h = z Hoofdstuk 3 FORMULES 3.1 PATRONEN EN FORMULES 3 a 10 22 c? d De beweringen a b = b a en a + b = b + a zijn juist. e 15 a 12 a 18 a f a + 8 10 + a a + 14 b zijde vierkant 3 4 5 6 7 aantal gekleurde hokjes

Nadere informatie

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden 4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In

Nadere informatie

1. A De derde donderdag is veertien dagen na de eerste., dus de derde donderdag is op zijn vroegst op 15 maart.

1. A De derde donderdag is veertien dagen na de eerste., dus de derde donderdag is op zijn vroegst op 15 maart. Uitwerkingen wizprof 2014 1. A De derde donderdag is veertien dagen na de eerste., dus de derde donderdag is op zijn vroegst op 15 maart. 2. A 75 km = 75000 m;. 3. C 2013, 2012, 2011 en 2010 hebben de

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 000-00: Eerste ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een blanco antwoord

Nadere informatie

Domeinbeschrijving rekenen

Domeinbeschrijving rekenen Domeinbeschrijving rekenen Discussiestuk ten dienste van de Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Rekenen en Taal auteur: Jan van de Craats 11 december 2007 Inleiding Dit document bevat een beschrijving van

Nadere informatie

handleiding ontbinden

handleiding ontbinden handleiding ontbinden inhoudsopgave inhoudsopgave de grote lijn 3 Bespreking per paragraaf 4 Applets 4 1 met gegeven product 4 ontbinden van getallen 4 3 vergelijkingen 5 4 onderzoek 6 tijdpad 9 materialen

Nadere informatie

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 2009 c Swier Garst - RGO Middelharnis 2 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 januari Tijd: 9. -. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een berekening

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 maandag 15 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 maandag 15 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 017 tijdvak 1 maandag 15 mei 13:30-16:30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 14 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 69 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

tafel, inclusief de speelruimte, te plaatsen, volgens het advies van de leverancier afgerond 31 m 2 is.

tafel, inclusief de speelruimte, te plaatsen, volgens het advies van de leverancier afgerond 31 m 2 is. Tafeltennistafel Op de foto hiernaast staat een betonnen tafeltennistafel voor buiten. De tafel bestaat uit 2 onderdelen: een cilindervormige poot en een blad dat hierop bevestigd is. Het massieve blad

Nadere informatie

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden 4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In

Nadere informatie

wizprof 2013 21 maart 2013 Veel succes en vooral veel plezier.!! je hebt 75 minuten de tijd rekenmachine is niet toegestaan

wizprof 2013 21 maart 2013 Veel succes en vooral veel plezier.!! je hebt 75 minuten de tijd rekenmachine is niet toegestaan www.zwijsen.nl www.e-nemo.nl 21 maart 2013 www.education.ti.com Veel succes en vooral veel plezier.!! Stichting Wiskunde Kangoeroe www.smart.be www.rekenzeker.nl www.sanderspuzzelboeken.nl www.schoolsupport.nl

Nadere informatie

1 Meetkunde en Algebra

1 Meetkunde en Algebra 1 Meetkunde en Algebra Het eerste deel van dit hoofdstuk is een bewerking van Meetkunde met coördinaten, Blok Redeneren met vormen, getallen en formules van Aad Goddijn ten behoeve van het nieuwe programma

Nadere informatie

Extra oefeningen hoofdstuk 12: Omtrek - Oppervlakte - Inhoud

Extra oefeningen hoofdstuk 12: Omtrek - Oppervlakte - Inhoud Extra oefeningen hoofdstuk 12: Omtrek - Oppervlakte - Inhoud 1 Een optische illusie? Welk gebied heeft de grootste oppervlakte: het gele of het donkergroene? Doe eerst een schatting en maak daarna de nodige

Nadere informatie

wiskunde B vwo 2017-II

wiskunde B vwo 2017-II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Hierbij geven we de antwoorden en bewijzen we meteen ook hoe de constanten kunnen bepaald worden.

Hierbij geven we de antwoorden en bewijzen we meteen ook hoe de constanten kunnen bepaald worden. WISKUNDE IS (EEN BEETJE) OORLOG Onder dit motto nodigde de VVWL alle wiskundeleraren uit Vlaanderen en Nederland uit om deel te nemen aan een wiskundewedstrijd. De tien vragen van de eerste editie, waarbij

Nadere informatie

META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen

META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen In welke volgorde moet ik uitwerken? */@ Welke (reken)regels moet ik hier gebruiken? */@ Welke algemene vorm hoort erbij? ** Hoe ziet de bijbehorende grafiek

Nadere informatie

Rekenen aan wortels Werkblad =

Rekenen aan wortels Werkblad = Rekenen aan wortels Werkblad 546121 = Vooraf De vragen en opdrachten in dit werkblad die vooraf gegaan worden door, moeten schriftelijk worden beantwoord. Daarbij moet altijd duidelijk zijn hoe de antwoorden

Nadere informatie

2.1 Kennismaken met breuken. 2.1.1 Deel van geheel. Opdracht 1 Welk deel van deze cirkel is zwart ingekleurd?

2.1 Kennismaken met breuken. 2.1.1 Deel van geheel. Opdracht 1 Welk deel van deze cirkel is zwart ingekleurd? Oefenopdrachten hoofdstuk Gebroken getallen RekenWijzer, oefenopdrachten hoofdstuk Gebroken getallen. Kennismaken met breuken.. eel van geheel Opdracht Welk deel van deze cirkel is zwart ingekleurd? deel

Nadere informatie

15 a De rechthoeken zijn 1 bij 6 lucifers, of 2 bij 5 lucifers, of 3 bij 4 lucifers. Zie figuur: Hoofdstuk 21 OPPERVLAKTE HAVO 21.

15 a De rechthoeken zijn 1 bij 6 lucifers, of 2 bij 5 lucifers, of 3 bij 4 lucifers. Zie figuur: Hoofdstuk 21 OPPERVLAKTE HAVO 21. Hoofdstuk 1 OPPERVLAKTE HAVO 1.1 INTRO 15 a De rechthoeken zijn 1 bij 6 lucifers, of bij 5 lucifers, of 3 bij 4 lucifers. Zie figuur: 1 Oppervlakte snelweg = 0 km 18 m = 0.000 m 18 m = 360.000 m. Zijde

Nadere informatie

De kandidaten: jullie taak is het maken van de opdrachten, opzoeken van theorie en het zoeken naar de mol.

De kandidaten: jullie taak is het maken van de opdrachten, opzoeken van theorie en het zoeken naar de mol. Dossieropdracht 4 Wie is de mol? Opdracht Je gaat het spel Wie is de mol? spelen. Dit doe je in een groep van circa acht personen, die wordt gemaakt door de docent. In je groep moet je acht vragen beantwoorden

Nadere informatie

Heron driehoek. 1 Wat is een Heron driehoek? De naam Heron ( Heroon) is bekend van de formule

Heron driehoek. 1 Wat is een Heron driehoek? De naam Heron ( Heroon) is bekend van de formule Heron driehoek 1 Wat is een Heron driehoek? De naam Heron ( Heroon) is bekend van de formule = s(s a)(s b)(s c) met s = a + b + c 2 die gebruikt wordt om de oppervlakte van een driehoek te berekenen in

Nadere informatie

Wiskunde Leerjaar 2 - Periode 1 Meetkunde

Wiskunde Leerjaar 2 - Periode 1 Meetkunde Wiskunde Leerjaar 2 - Periode 1 Meetkunde Vierhoeken Vierkant Rechthoek Parallellogram Ruit Trapezium Vlieger Vierhoek 1. Vierkant zijde zijde Een vierkant is een vierhoek met vier rechte hoeken én vier

Nadere informatie

klas 3 havo Checklist HAVO klas 3.pdf

klas 3 havo Checklist HAVO klas 3.pdf Checklist 3 HAVO wiskunde klas 3 havo Checklist HAVO klas 3.pdf 1. Hoofdstuk 1 - lineaire problemen Ik weet dat de formule y = a x + b hoort bij de grafiek hiernaast. Ik kan bij een lineaire formule de

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 995 996 : Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 30 punten

Nadere informatie

3.1 Soorten hoeken [1]

3.1 Soorten hoeken [1] 3.1 Soorten hoeken [1] Let op: Een lijn heeft geen eindpunt; Een halve lijn heeft één eindpunt Een lijnstuk heeft twee eindpunten; Het plaatje is een bovenaanzicht; De persoon kan het gedeelte binnen de

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde. 1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Tweede Ronde e tweede ronde bestaat eveneens uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt (opnieuw) als volgt : een deelnemer start met 0 punten Per goed antwoord

Nadere informatie

4.1 Rekenen met wortels [1]

4.1 Rekenen met wortels [1] 4.1 Rekenen met wortels [1] Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B 3) A 2 A Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.1 Rekenen met wortels [1] Voorbeeld 3:

Nadere informatie

1. rechthoek. 2. vierkant. 3. driehoek.

1. rechthoek. 2. vierkant. 3. driehoek. Bij het uitrekenen van een lengte, een oppervlakte of een inhoud moet je altijd het volgende opschrijven: de formule - de tussenstap - het antwoord - de eenheid. 1. rechthoek. Kenmerken: alle hoeken zijn

Nadere informatie

1. REGELS VAN DEELBAARHEID.

1. REGELS VAN DEELBAARHEID. REKENEN VIJFDE KLAS Luc Cielen 1. REGELS VAN DEELBAARHEID. Deelbaarheid door 10, 100, 1000 10: het laatste cijfer (= cijfer van de eenheden) is 0 100: laatste twee cijfers zijn 0 (cijfers van de eenheden

Nadere informatie

De 10 e editie havo-vwo OB

De 10 e editie havo-vwo OB De 10 e editie havo-vwo OB Presentatie havo/vwo onderbouw 10 e editie 1 HAVO/VWO 1 VWO 2 HAVO 2 HAVO/VWO 2 VWO De delen 10 e editie onderbouw 3 HAVO deel 1 3 HAVO deel 2 3 VWO deel 1 3 VWO deel 2 Presentatie

Nadere informatie

Algebra leren met deti-89

Algebra leren met deti-89 Algebra leren met deti-89 Werkgroep T 3 -symposium Leuven 24-25 augustus 2001 Doel Reflecteren op het leren van algebra in een computeralgebra-omgeving, en in het bijzonder op het omgaan met variabelen

Nadere informatie

2 Lijnen en hoeken. De lijn

2 Lijnen en hoeken. De lijn 1 Inleiding In het woord meetkunde zitten twee woorden verborgen: meten en kunnen. Deze periode gaat dan ook over het kunnen meten. Meetkunde is een oeroude kennis die al duizenden jaren geleden voorkwam

Nadere informatie

Ook de volledige spiraal van de stroken van lengte 1, 3, 5,, 99 past precies in een rechthoek.

Ook de volledige spiraal van de stroken van lengte 1, 3, 5,, 99 past precies in een rechthoek. Een spiraal In deze opgave bekijken we rechthoekige stroken van breedte en oneven lengte:, 3, 5,..., 99. Door deze stroken op een bepaalde manier aan elkaar te leggen, maken we een spiraal. In figuur is

Nadere informatie