Breuken - Brak - Gebroken. Kettingbreuken

Transcriptie

1 Breuken - Brak - Gebroken Kettingbreuken

2 Voorwoord Kettingbreuken is een boekje dat bedoeld is voor HAVO- en VWO leerlingen met wiskunde in hun profiel. Aan het einde van elk hoofdstuk is een aantal oefeningen opgenomen, om de leerstof beter te begrijpen. Uitwerkingen van de oefeningen staan achterin. Bij dit boekje hoort een website met extra ondersteuning, bereikbaar via menu leerlingen - vaklokalen - wiskunde. Kettingbreuken zijn, zoals de naam al zegt, in de eerste plaats gewoon breuken. Dit zijn getallen van de vorm p q, waarbij p en q gehele getallen zijn (q 0). Onder gehele getallen verstaan we de natuurlijke getallen,2,3,, het getal 0 en de negatieve gehele getallen, 2, 3,. Kettingbreuken is een onderdeel van de getaltheorie. Wie meer wil lezen over getaltheorie raad ik aan: Getaltheorie voor Beginners - Frits Beukers (Epsilon Uitgaven, Utrecht- ISBN: ). In hoofdstuk wordt gekeken naar de decimale ontwikkeling van getallen. Ook worden de breuken met hun eigenschappen nauwkeurig bekeken. De basis wordt gelegd voor de eigenschappen van kettingbreuken. In hoofdstuk 2 worden de eindige kettingbreuken met hun eigenschappen bekeken. Belangrijke zaken als convergenten en kettingbreukalgoritme worden behandeld. Ook volgt er een toepassing bij de oplossing van ax+by = c. In hoofdstuk 3 volgen de oneindige kettingbreuken. Na eigenschappen als benaderingseigenschappen en periodiciteit volgen enkele toepassingen zoals het rekenen aan kalenders, de gulden snede en kettingbreuken met negatieve wijzergetallen. In hoofdstuk 4 staat een toepassing van de kettingbreuken; de vergelijking van Pell. Ten slotte volgen er eindopdrachten waarin o.a. in een computerpracticum gerekend wordt aan kettingbreuken. Mijn dank gaat uit naar prof. dr. Frits Beukers voor de begeleiding bij de totstandkoming van dit boekje. Tevens dank ik NWO voor de gelegenheid via LiO (leraar in onderzoek) dit boekje te schijven Lennart de Jonge Stellendam, juli 2006 i

3 Inhoudsopgave Decimale ontwikkeling. Getallen Periodieke breuken Oefeningen Eindige kettingbreuken 7 2. Representatie Convergenten Euclidisch algoritme en Kettingbreuk algoritme Geheeltallige oplossingen van ax + by = c Oefeningen Oneindige kettingbreuken 7 3. Representatie Benaderingseigenschappen Periodiciteit en symmetrieën Kalender Sectio divina Oefeningen De vergelijking van Pell Diophantische vergelijkingen Pell nader bekeken Knikkers Oefeningen Eindopdrachten De Slag bij Hastings Computer practicum Verder werken Vermoeden van Zaremba Elementaire functies Uitwerkingen van de oefeningen 4 ii

4 Hoofdstuk Decimale ontwikkeling. Getallen Er zijn verschillende manieren om getallen te representeren. Dit boekje gaat over kettingbreuken. Voordat we in detail naar kettingbreuken gaan kijken, richten we ons eerst op decimale breuken. Het huidige systeem om getallen te noteren stamt uit de Indische en Arabische tijd en staat bekend als het decimale systeem. Met bijvoorbeeld 234 bedoelen we het getal Voor 600 werd voor het rekenen met niet-gehele getallen normaal gesproken gewerkt met algemene breuken, gebaseerd op handige noemers. Er waren wel gestandaardiseerde methoden die met 60-tallige breuken werkten, maar over het algemeen was het moeilijk om aan de breuk te zien in hoeverre die het gewenste niet-gehele getal werkelijk benaderde. Decimale breuken werden al wel gebruikt, maar alleen om te kunnen worteltrekken. In het dagelijks leven werkte men niet met decimale breuken. In 586 schreef Simon Stevin zijn beroemde werk De Thiende, waarin hij het algemeen gebruik van breuken op basis van het tientallig stelsel beschreef. Hij gebruikte daarvoor nog niet de notatie met een decimale punt of decimale komma zoals wij dat nu doen, maar een notatie waar achter elk cijfer in een cirkel de (negatieve) macht van 0 kwam te staan die er op dat cijfer van toepassing was. Wat wij nu als 6,87 (d.w.z ) schrijven, schreef Simon Stevin als 6(0)8()7(2). We hebben gezien dat de deling van twee gehele getallen soms een geheel getal oplevert. Meestal is dit echter niet het geval. De breuken 2 = 0,5 en = 0,25698 zijn voorbeelden van gebroken getallen met een eindige decimale ontwikkeling. We kennen ook getallen met een oneindige decimale ontwikkelingen. Het getal pi, π = 3, heeft door de jaren heen vele mensen geboeid. De decimale ontwikkeling van pi is zo willekeurig dat wiskundigen vermoeden dat de decimale ontwikkeling

5 2 HOOFDSTUK. DECIMALE ONTWIKKELING van pi niet te onderscheiden is van een willekeurige rij cijfers. Een eindig rijtje cijfers komt op den duur even vaak in pi voor als dat je zou verwachten in een willekeurige rij. Niemand heeft dit echter tot nu toe kunnen bewijzen. Het onthouden van de eerste zoveel decimalen van pi is een sport op zich. Maar in ons computertijdperk is dit een nogal nutteloze bezigheid geworden. Tegenwoordig tover je met een simpele druk op de knop vele duizenden decimalen op je scherm tevoorschijn. Op het internet vind je verschillende pi-clubs. De leden van de 000-club beweren 000 decimalen van pi uit hun hoofd te kennen. Maar als bewijs hoeven ze slechts duizend of meer decimalen per op te sturen. De tegenhanger van de 000-club is de 2-club, die bestaat uit mensen die beweren niet eens twee decimalen van pi te kunnen onthouden! Als je lid wilt worden van zo n pi-club, dan kan de volgende zin je op weg helpen (tel de letters in de woorden). How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics! Meer informatie over Pi is te lezen in het zebra deeltje over dit onderwerp...2 Periodieke breuken Een eindige decimale breuk is een breuk met als noemer een macht van 0, bijvoorbeeld 0,23 = 23. Decimale breuken worden niet als breuk geschreven 0 3 maar als een rij cijfers. Niet alle breuken zijn als een (volledige) decimale breuk te schrijven. Zo is bijvoorbeeld 3 = 0, We noteren dit als 0, 3. Zo n breuk noemen we een repeterende (decimale) breuk. Elk rationaal getal (een getal van de vorm p q, met q 0) kan als een, al dan niet repeterende, breuk worden geschreven. Op het eerste gezicht zijn niet alle decimale ontwikkelingen van breuken periodiek. Bijvoorbeeld 4 = 0,25. Toch kun je 0,25 zien als een periodieke ontwikkeling, door 4 te schrijven als 0, Je zou kunnen zeggen dat dit getal vanaf de derde decimaal een periodiek aantal nullen heeft. Een ander voorbeeld is 373 = 0, = 0, We zien dat het rijtje getallen steeds wordt herhaald maar pas begint na de eerste twee decimalen 8. We noemen de periode en omdat dit rijtje bestaat uit 6 cijfers zeggen we dat de periodelengte gelijk is aan 6. Dat de decimale ontwikkelingen van een breuk p q niet meteen vanaf het decimaalteken periodiek is (zuiver periodiek) komt omdat de noemer q factoren 2 of 5, of beide bevat. De geschiedenis en de wiskunde van het getal π, F. Beukers, ISBN

6 .2. PERIODIEKE BREUKEN 3 De decimalen van een breuk kun je ook zonder rekenmachine bepalen. We laten dit zien aan de hand van 3 7. Stel we schrijven de decimalen van 3 7 als a,a 2,a 3,. Dus 3 7 = 0,a a 2 a 3 Vermenigvuldigen we met 0, dan krijgen we 7 = Ook geldt dat 30 7 = a,a 2 a 3 a 4. Vergelijken we beide uitdrukkingen dan zien we dat a = 4. Laten we het gehele deel weg en vermenigvuldigen de rest 2 7 weer met 0, dan = 20 7 = dus a 2 = 2. Wanneer we dit proces van de ontstane rest vermenigvuldigen met 0 en het gehele deel afsplitsen voortzetten, krijgen we a 3 = 8, a 4 = 5, a 5 = 7 en a 6 =. Nu krijgen we als rest weer 3 7. Het proces begint dan weer opnieuw. De decimale ontwikkeling van 3 7 is dus periodiek en de periode is Stelling.2. Als de noemer van een vereenvoudigde breuk geen factoren 2 of 5 bevat, dan is de decimale ontwikkeling van die breuk zuiver periodiek. Bewijs: Om deze stelling voor alle breuken aan te tonen, gaan we net zo te werk als we met 3 7 gedaan hebben. Alleen nemen we nu p q in plaats van 3 7. p We schrijven: q = 0,a a 2 a 3 met 0 < p < q en 0 a i 9. q bevat geen factoren 2 of 5. Door vermenigvuldiging links en rechts met 0 krijgen we voor 0 a i 9 en 0 < r i < q: 0 p q 0 r q. = a q + r q = a 2 q + r 2 q = a + r q = a 2 + r 2 q De op deze wijze gegenereerde rij a,a 2,a 3, leveren de decimalen van de breuk p q. Omdat 0 < r i < q, voor alle i, moet er op een gegeven moment een r i zijn die al een keer geweest is. Stel r k = r l, met k < l. Dus: 0 p q 0 r q. = a q + r q = a 2 q + r 2 q = a + r q = a 2 + r 2 q 0 r k q = a k + r k q. 0 r l q = a l + r l q

7 4 HOOFDSTUK. DECIMALE ONTWIKKELING Omdat r l = r k zal het rijtje resten r l+,r l+2, hetzelfde zijn als het rijtje resten r k+,r k+2,. Dus de breuk is periodiek met periodelengte m = l k. Om aan te tonen dat de breuk ook zuiver periodiek is, moeten we aantonen dat de rij resten die vooraf gaan aan r k en r l gelijk zijn aan elkaar. Bekijk hiervoor het verschil van 0 r k q = a k + r k q en 0 r l q = a l + r l q. Dan geldt dat 0 (r k r l ) q = a k a l dus een geheel getal. D.w.z. q deelt 0 (r k r l ) en omdat q geen factoren 2 of 5 bevat, deelt q dus r k r l ¾. Hieruit volgt dat r k = r l. Dit wil zeggen dat de voorgangers van r k en r l ook aan elkaar gelijk zijn en daar weer de voorgangers van, etc. Zet dit proces voort tot r m = p. Er geldt dan dat a = a m+ dus de breuk is zuiver periodiek met periode lengte m. We zullen nu preciezer bekijken wat er gebeurt als de noemer wel factoren 2 of 5 bevat. Eerst maar weer een voorbeeld: 3 35 = = 0, Door vermenigvuldiging met 0 ontstaat: = = = 3,74285 en 5 7 is volgens de vorige stelling zuiver periodiek. Delen door 0 geeft links onze oorspronkelijke en rechts verschuift alles plaats naar rechts. Dus 35 is niet zuiver periodiek (gemengd periodiek). Stel de onvereenvoudigbare breuk p q bevat factoren 2 of 5 in de noemer, dus: p 2 a 5 b s voor a,b Z >0. Vermenigvuldig nu met 0 k, waarbij k gelijk is aan de grootste exponent a of b. De factoren 2 of 5 zijn na vereenvoudiging weg uit de noemer. Dat wil zeggen dat de decimale ontwikkeling van 0k p q zuiver periodiek is. Delen we door 0 k dan verschuiven de decimalen van 0k p q naar rechts over een afstand k ten opzichte van het decimaalteken. De ontwikkeling is dus gemengd periodiek. Het op deze manier uitrekenen van de decimalen van een breuk levert nog een aardigheid op. We nemen het getal 7 en bepalen de decimalen van het getal 7. Laten we eens kijken naar de som van de cijfers in de periode. Bij 7 = 0,42857 gaat het dus om = 27. Deze som is ook gelijk aan 4 2 6, waarbij 6 = 7, dus één minder dan de noemer 7. Het blijkt dat S = 4 2 (p ) een formule is om de som van de cijfers in de periode van p te bepalen, wanneer de noemer een priemgetal is met periodelengte p. Zo n formule is handig

8 .2. PERIODIEKE BREUKEN 5 wanneer de periodelengte groot wordt, zoals bij 97 = 0, Het is duidelijk dat het bepalen van de som van de 96 cijfers in de periode niet prettig is om met de hand uit te rekenen. We laten de rekentechniek zien aan de hand van het eenvoudige voorbeeld van 7, zodat we het ook kunnen toepassen op lastigere voorbeelden, zoals 97. De ontwikkeling van de decimalen van 7 ziet er als volgt uit: 0 = = = = = = Tellen we nu de getallen aan de linker- en rechter kant van het =-teken op, dan krijgen we: 0 ( ) = ( ) 7 + ( ) Dus: ( ) 7 = 9 ( ) Nu geldt volgens de somformule van een rekenkundige rij (C.F. Gauss) dat ( ) = Dus we krijgen: ( ) 7 = Tenslotte delen we links en rechts door 7, dan krijgen we: = 9 6 = 27 2 We kunnen dit voor een willekeurig priemgetal p doen, waarvan de periodelengte van p gelijk is aan p. Er volgt dat voor de som S p van de cijfers uit de periode geldt 9(p ) S p = 2 In opgave.3.4 wordt deze formule afgeleid. Controleer nu zelf dat voor 97 geldt = = 432

9 6 HOOFDSTUK. DECIMALE ONTWIKKELING.3 Oefeningen Oefening.3. Schrijf het getal 37,246 als som van machten van 0. Oefening.3.2 Beredeneer waarom 0, een irrationaal getal is. Oefening.3.3 Schrijf elk van de getallen 7, 2 7,, 6 7 valt er op aan de decimalen? als decimale breuk. Wat Oefening.3.4 Schrijf p = 0,a a 2 a 3 a p, met p een willekeurig priemgetal waarvan de periodelengte van p gelijk is aan p. Leidt de formule af voor de som S p van de cijfers in de periode. Oefening.3.5 Welke breuken met noemer 24 geven (na herleiding) een eindig decimale breuk, welke een zuiver repeterende breuk en welke een gemengd repeterende breuk? In de volgende opgave gaan we bewijzen dat het blok steeds herhaald wordt in de decimale ontwikkeling van /7. Oefening.3.6 Bepaal de som van de meetkundige reeks + x + x 2 + x 3 + x 4 +, welke geldt voor alle x R met x <. Bepaal nu de ontwikkeling van, door in de meetkundige reeks beide zijden 0 6 met x te vermenigvuldigen en vervolgens voor x = 0 6 in te vullen. Laat zien dat 7 = en dat dus het blok wordt herhaald. Oefening.3.7 Bepaal het gemiddelde van de cijfers in de periode van p, met p een priemgetal en de lengte van de periode van p gelijk aan p. Oefening.3.8 Onderzoek voor enkele willekeurige priemgetallen p, dus niet met periodelengte p, of het gemiddelde van de cijfers uit de periode van p gelijk is aan het gemiddelde wanneer wel de periodelengte p is.

10 Hoofdstuk 2 Eindige kettingbreuken 2. Representatie Sinds de oudheid is al bekend dat reële getallen, behalve via hun decimale ontwikkeling, ook via kettingbreuken kunnen worden weergegeven. Met kettingbreuken kan men optimale rationale benaderingen (dus van de vorm p q met q 0) van reële getallen construeren. Evariste Galois (25 oktober 8-3 mei 832) is bekend geworden vanwege zijn wiskundige prestaties op jonge leeftijd. Zijn wiskundeknobbel uitte zich op vijftienjarige leeftijd, toen hij de derde klas van het voorbereidend wetenschappelijk onderwijs moest doubleren. Hij kreeg een wiskundedocent die hem in alle opzichte stimuleerde. Galois verslond zijn wiskundeboeken en las ook al meesterwerken uit die tijd: Legendre s werk over geometrie en Lagrange s boeken over vergelijkingen, functies en analyse. Een jaar te vroeg besloot Galois toelatingsexamen te doen voor de polytechnische school. Hij werd afgewezen omdat zijn wiskundekennis onvoldoende zou zijn! Zo n onrechtvaardigheid voor een wiskundig genie. In maart als 7 jarige scholier - publiceerde Galois zijn eerste artikel in een wiskundig tijdschrift: Bewijs van een theorema over periodiek repeterende breuken. Galois stierf op 20 jarige leeftijd in een duel om een meisje, maar in de nacht voor zijn dood zette hij een revolutionaire theorie op papier, die bekend staat als Galois theorie. Hiernaast staat de brief die Galois vlak voor zijn dood schreef. Links onder het bibliotheekstempel zijn noodkreet: Je n ai pas le temps - maar ik heb geen tijd. 7

11 8 HOOFDSTUK 2. EINDIGE KETTINGBREUKEN Een eindige kettingbreuk is een breuk van de vorm: a 0 + a + a a n met a 0 Z en a,a 2,,a n N. Omdat deze manier van opschrijven onhandig is en veel ruimte kost kiezen we meestal voor [a 0,a,a 2,,a n ]. De getallen a 0,a,a 2,,a n heten de wijzergetallen van de kettingbreuk. Vanzelfsprekend levert berekening van een eindige kettingbreuk een rationaal getal (een breuk) op. Het aardige is dat ook het omgekeerde geldt. Bij elk rationaal getal hoort een kettingbreuk. Hier komen we op terug. De ontwikkeling van een kettingbreuk is bijna uniek. Voorbeeld: [2,3,,,5] = = 2 + = = = = = 89 Maar ook geldt: = [2,3,,,4,], om de eenvoudige reden dat we de 5 van 39 de vorige kettingbreuk ook kunnen schrijven als 5 = 4 +. Op de laatste twee wijzergetallen na zijn de kettingbreukontwikkelingen identiek. Een rationaal getal kan dus op twee manieren geschreven worden als kettingbreuk. Als we eisen dat het laatste wijzergetal groter is dan, dan is de ontwikkeling uniek vastgelegd! Algemeen geldt dat [a 0,a,,a n ] = [a 0,a,,a n,] (zie opgave 2.5.). 2.2 Convergenten We bepalen de kettingbreuk van Eerst bepalen we het gehele deel van de breuk. Daarna schrijven we de rest a b als. Merk op dat a b b a in ligt, dus dat b kan worden. Dus, a altijd tussen 0 en altijd groter is dan, zodat het gehele deel weer afgesplitst

12 2.2. CONVERGENTEN = = = = = = = De 7 wijzergetallen zijn dus = [,,2,2,,3,2]. Als we de kettingbreuk na het derde wijzergetal afbreken krijgen we een benadering van onze breuk 43 84, dus [,,2] = 5 3. We noemen deze breuk de derde convergent van onze breuk. Zo is de vierde convergent [,,2,2] = 2 7. In het algemeen noemen we de breuk p n q n = [a 0,a,a 2,,a n ] de n-de convergent van de breuk a b = [a 0,a,,a n,a n+,,a k ]. De 7 convergenten van zijn dus op rij Het op deze manier uitrekenen van de convergenten is veel werk. Je moet namelijk eerst de gehele kettingbreuk uitrekenen. Een recept om de convergenten uit te rekenen op een eenvoudige manier staat in de volgende stelling (zonder bewijs). Stelling 2.2. Stel a 0 Z en a,a 2, N. Bepaal voor n 2 de getallen p n,q n als volgt, p 2 = 0, p =, p 0 = a 0,, p n = a n p n + p n 2, q 2 =, q = 0, q 0 =,, q n = a n q n + q n 2, Er geldt dus: p n q n = a np n + p n 2 a n q n + q n 2

13 0 HOOFDSTUK 2. EINDIGE KETTINGBREUKEN We kijken nog eens naar de kettingbreuk ontwikkeling van De wijzergetallen zijn [,,2,2,,3,2]. De convergenten kunnen we berekenen met het volgende schema, n a n p n q n De p-waarde in de kolom met n = 6 krijg je door het bijbehorende wijzergetal (2) te vermenigvuldigen met de vorige p-waarde en de daarop voorgaande p- waarde erbij op te tellen. Dus 43 = ofwel p 6 = a 6 p 5 + p 4. Evenzo geldt voor q 6 = 84 = Elke kolom p s en q s ontstaat dus door het wijzergetal met de voorgaande kolom te vermenigvuldigen en de daarop voorgaande kolom erbij op te tellen. We kijken wederom naar het voorbeeld en bekijken twee opeenvolgende convergenten uit de rij. Bijvoorbeeld 5 3 en 2 7. Merk op dat het verschil tussen 5 7 en 3 2 gelijk is aan. Dit is ook zo met bijvoorbeeld 7 37 en Algemeen kunnen we zeggen, Stelling Gegeven de kettingbreuk a b = [a 0,a,,a n ]. Stel dat p n en q n gegeven worden door het schema uit de voorgaande stelling. Dan geldt voor alle 0 < k n dat p k q k+ q k p k+ = ( ) k. Om deze eigenschap in te zien, bekijken we het verschil van twee opeenvolgende convergenten. Na gelijknamig maken volgt, p k q k p k+ q k+ = p kq k+ p k+ q k q k q k+ In de teller staat nu de uitdrukking waarvoor we ons interesseren. Er geldt, p k q k+ q k p k+ = p k (a k+ q k + q k ) q k (a k+ p k + p k ) = = p k q k p k q k = = (p k q k p k q k ) = = ( ) 2 (p k 2 q k p k q k 2 ) =. = ( ) k (p 0 q p q 0 ) = = ( ) k ( a 0) = = ( ) k Hiermee is de stelling bewezen. ¾

14 2.3. EUCLIDISCH ALGORITME EN KETTINGBREUK ALGORITME 2.3 Euclidisch algoritme en Kettingbreuk algoritme We zagen net dat bij elk rationaal getal een kettingbreuk hoort. Bij de berekening van deze kettingbreuken maken we eigenlijk gebruik van een eeuwenoud algoritme om de grootste gemeenschappelijke deler (de ggd) van twee getallen te berekenen (de grootste gemeenschappelijke deler van twee getallen is het grootste getal, dat beide getallen deelt). Dit algoritme heet het Euclidisch algoritme, genoemd naar de beroemde Griekse wiskundige Euclides. In een van zijn boeken beschrijft Euclides dit algoritme en levert ook een bewijs voor de juistheid. Voorbeeld: Bepaal de ggd van 2 en 8. De getallen 2 en 8 hebben een aantal gemeenschappelijke delers: De delers van 2 zijn:, 2, 3, 4, 6 en 2. De delers van 8 zijn:, 2, 3, 6, 9 en 8. De grootste gemeenschappelijk deler is dus 6. We noteren dan ggd(2,8) = 6 Nog een voorbeeld: De delers van 25 zijn:,5 en 25. De delers van 7 zijn: en 7. Dus ggd(25,7) =. Het opzoeken van de delers van twee getallen en de grootste bepalen is voor kleine getallen nog wel te doen. Voor grote getallen is dit natuurlijk veel moeilijker. Het Euclidisch algoritme biedt dan uitkomst. Enkele observaties. Stel a,b N en a = qb + r met q N en 0 r < b, deling met rest. Merk op dat iedere gemeenschappelijke deler van a en b ook een gemeenschappelijke deler van b en r is. Als namelijk d een deler is van a, notatie: d a, en d b dan volgt uit r = a gb dat d r. Omgekeerd zien we dat iedere gemeenschappelijke deler van b en r ook gemeenschappelijke deler van a en b is. Dus geldt ggd(a,b) = ggd(b,r). We passen dit nu herhaald op ons tweede voorbeeld toe. We vinden, ggd(25,7) = ggd(7,25 3 7) = ggd(7,4) = Iets minder omslachtig opgeschreven, = ggd(4,7 4) = ggd(4,3) = = ggd(3,4 3) = ggd(3,) = = ggd(,3 3 ) = ggd(,0) = 25 = = = = 3

15 2 HOOFDSTUK 2. EINDIGE KETTINGBREUKEN Met behulp van dit algoritme kunnen we een kettingbreuk van 25 7 vinden. Hiervoor herschrijven we de laatste berekeningen. Deel de eerste regel door 7, de tweede door 4 en de laatste door 3, 25 7 = = = + 3 Door deze stappen achter elkaar te zetten zien we dat 25 7 = = = = [3,,,3] We hebben de berekening van de kettingbreuken zoals beschreven in paragraaf 2.2 weer teruggekregen! In het algemeen bepalen we de eindige kettingbreuk van a b met het algoritme van Euclides, met a Z en b N a = a 0 b + r 0 r < b b = a r + r 2 0 r 2 < r r = a 2 r 2 + r 3 0 r 3 < r 2. r k = a k r k waarbij de laatste rest, r k+, gelijk is aan nul. Omdat de resten een dalende rij zijn, dus r > r 2 > r 3 > 0 moet er op een gegeven moment een rest nul zijn. Wij beweren dat de laatste positieve rest, r k, de gevraagde ggd is. Schrijf nu alle delingen met rest als breuken op, a b = a 0 + r b b = a + r 2 r r r = a 2 + r 3 r 2 r 2 r k r k = a k Merk op dat voor elke m > 0 geldt dat r m r m = [a m,a m+,,a k ].. Stelling 2.3. Er zijn x, y Z waarvoor geldt dat ggd(a, b) = ax + by

16 2.3. EUCLIDISCH ALGORITME EN KETTINGBREUK ALGORITME 3 We laten de juistheid van deze stelling zien aan de hand van de breuk = [,,2,2,,3,2]. We schrijven 43 en 84 als lineaire combinatie van zichzelf, 43 = = We voeren nu de deling uit door te constateren dat 84 één keer in 43 past met een rest van 59. We trekken dus de onderste regel één keer van de bovenste regel af. Merk op dat a 0 =. We krijgen dus, 43 = = = Vervolgens past 59 één keer in 84, dus trekken we weer de onderste regel één keer (a = ) af van de regel erboven, 43 = = = = Nu past 25 twee maal (a 2 = 2) in de 59 met een rest van 9 en 9 past twee maal (a 3 = 2) in 25 met een rest van 7, etcetera. We krijgen, 43 = = = = = = = = = Op natuurlijke wijze zien we de wijzergetallen terugkomen in de berekeningen, namelijk het aantal keren dat een regel van de regel erboven wordt afgetrokken. Tevens zien we steeds lineaire combinatie s van 43 en 84. In het bijzonder is in de voorlaatste stap, = , de grootste gemeenschappelijke deler van 43 en 84 af te lezen, namelijk ggd(43,84) =. Dus ggd(43,84) = In het algemeen zien we dat we met dit rekenschema oplossingen hebben gekregen van ggd(a,b) = ax + by.

17 4 HOOFDSTUK 2. EINDIGE KETTINGBREUKEN 2.4 Geheeltallige oplossingen van ax + by = c Het volgende probleem doet zich voor. Je moet 5 euro betalen. Je hebt alleen voldoende munten van 2 euro en briefjes van 5 euro. Op hoeveel verschillende manieren kun je betalen? Dit probleem kun je oplossen door alle mogelijkheden na te gaan. Omdat 5 oneven is, heb je een oneven aantal briefjes van 5 euro nodig. Begin met briefje en ga door totdat het aantal briefjes van 5 een te groot getal oplevert. De oplossingen zijn: munten van 2 euro briefjes van 5 euro Alle mogelijkheden nagaan is vaak niet een efficiënte manier om dit soort problemen op te lossen. Zeker niet wanneer de getallen groter worden en je de oplossingen niet direct ziet. We ontwikkelen een theorie die alle oplossingen genereert. We bekijken de theorie aan de hand van het volgende voorbeeld. Een kleuterleidster wil voor 47 euro nieuwe puzzels kopen voor in de speelhoek. Er zijn twee typen puzzels die voor de kleuters in aanmerking komen. De ene soort, waarbij de kinderen gelijksoortige kaartjes moeten aanwijzen, kosten 8 euro per stuk en de andere soort, een soort legpuzzel, kosten euro per stuk. Hoeveel puzzels van elk soort kan zij kopen zonder geld over te houden? We kunnen het aantal puzzels van 8 euro voorstellen door x en het aantal puzzels van euro door y. Gevraagd wordt dus om de vergelijking 8x + y = 47 op te lossen voor gehele positieve waarden van x en y. Uitgangspunt is de vergelijking: ax + by = c met a,b,c Z, ggd(a,b) = en ggd(c,ggd(a,b)) =. Als de ggd(a,b) c, dan kunnen we de vergelijking herleiden door te delen door de ggd(a,b). Stel dat we nu een oplossing van de vergelijking weten. Bijvoorbeeld x = x en y = y is een oplossing van de vergelijking. Bekijk nu voor iedere gehele waarde van t: x = x + bt, y = y at. Vul dit in (substitueer) in de vergelijking: ax + by = a(x + bt) + b(y at) = ax + abt + by abt = ax + by = c. Dus ook x = x +bt, y = y at is een oplossing van de vergelijking, voor iedere gehele waarde van t. Stel x = x 2, y = y 2 is nog een tweede oplossing van de vergelijking. Nu hebben we: ax + by = c ax 2 + by 2 = c zodat

18 2.4. GEHEELTALLIGE OPLOSSINGEN VAN AX + BY = C 5 a(x 2 x ) = b(y y 2 ), dus b a(x 2 x ). Er is dus een t met bt = x 2 x, zodat at = y y 2. Elke tweede oplossing van de vergelijking wordt dus gevonden uit x = x + bt, y = y at. We hebben nu bewezen: Stelling 2.4. Als x, y een oplossing is van de vergelijking ax + by = c, dan is de algemene oplossing van die vergelijking x = x + bt, y = y at. De oplossing x, y heet een particuliere oplossing van de vergelijking. De vraag is nu hoe men aan een particuliere oplossing komt. Hier kunnen we handig gebruik maken van kettingbreuken. Stel a b = [a 0,a,a 2,,a n ] = p n q n. Dus p n = a en q n = b. In paragraaf 2.2 hebben we afgeleid, dat p k q k+ p k+ q k = ( ) k. Kies nu k = n dan p n q n p n q n = ( ) n = ( ) n, dus p n q n p n q n = ( ) n Stel nu dat x = ( ) n q n en y = ( ) n p n. Substitueer in de vergelijking geeft, ax + by = p n ( ) n q n + q n ( ) n p n = ( ) n (p n q n q n p n ) = ( ) 2n = Hieruit volgt de volgende stelling. Stelling x = ( ) n q n, y = ( ) n p n is een oplossing van de vergelijking ax + by =, waarbij p n q n de (n )-de benaderende breuk is van a b. cx, cy is dan een particuliere oplossing van de vergelijking ax + by = c. De theorie om het probleem van de kleuterleidster op te lossen is hiermee ontwikkeld. We zoeken positieve geheeltallige oplossingen van de vergelijking 8x+y = 47. We zoeken eerst een particuliere oplossing door 8x+y = op te lossen. Dit doen we door de kettingbreuk ontwikkeling van 8 op te schrijven. 8 = = = = Dus = [0,,2,,2] en n = 5. De 4-de benadering van is dus [0,,2,] = = 3 4. Dus p n = 3 en q n = 4. Dit wil zeggen dat, + 2 +

19 6 HOOFDSTUK 2. EINDIGE KETTINGBREUKEN x = ( ) n q n = ( ) 5 4 = 4 y = ( ) n p n = ( ) 4 3 = 3 een oplossing is van 8x + y =. We vinden dus de algemene oplossing: x = t y = t Je wilt natuurlijk dat x > 0, dus moet gelden t > Je wilt ook dat y > 0 dus dat t < Voor de positieve oplossingen geldt dus dat 668 < t < Dus t = 52,53,54,55, 56. De bijbehorende aantallen puzzels van 8 en euro staan in de tabel, t = x = y = De kleuterleidster kan dus 5 verschillende combinaties aantallen puzzels kopen, zonder geld over te houden. 2.5 Oefeningen Oefening 2.5. Laat zien dat voor a 0 Z en alle a i N, i geldt dat [a 0,a,,a n ] = [a 0,a,,a n,] Oefening Bepaal de kettingbreukontwikkeling van: Oefening Bepaal van bovenstaande breuken alle convergenten Oefening Bepaal alle positieve gehele oplossingen x en y van de vergelijking 3 x + 33 y = 22 Oefening Bepaal alle positieve gehele oplossingen x en y van 7x + 27y = 37 Oefening Bepaal alle positieve gehele oplossingen x en y van 26x 000y = 4600

20 Hoofdstuk 3 Oneindige kettingbreuken 3. Representatie Kettingbreuken worden pas echt interessant als ze oneindig lang zijn. Oneindige kettingbreuken horen bij irrationale getallen. Dit zijn getallen die niet als breuk zijn te schrijven, zoals bijvoorbeeld π, e, 2, , etc. We beginnen met een voorbeeld, de kettingbreukontwikkeling van π. Voor zijn kettingbreuk hebben we allereerst de decimalen van π nodig. Hier zijn de eerste 0: π = 3, We splitsen π in zijn gehele deel en de rest tussen 0 en. π = 3 + 0, De rest 0, schrijven we als 7, en van het getal in de noemer nemen we weer het gehele deel en de rest: π = , De rest 0, schrijven we als 5, en van het getal in de noemer nemen we het gehele deel en de rest: π = , We kunnen zo lang doorgaan als we willen en krijgen de oneindige kettingbreukontwikkeling van π. Zet dit zelf nog een aantal stappen voort. Ter controle enkele wijzergetallen: π = [3,7,5,,292,,,, 2,,3,,4, ] Algemeen kunnen we het volgende rekenschema opstellen. Kies een irrationaal getal α. We noteren het gehele deel van α als α (dus bijvoorbeeld 3,45 = 3). Verder geldt voor de resten de notatie {α} = α α. 7

21 8 HOOFDSTUK 3. ONEINDIGE KETTINGBREUKEN Noem α 0 = α, dan zijn de wijzergetallen, a 0 = α 0, α = /{α 0 } a = α, α 2 = /{α } a 2 = α 2, α 3 = /{α 2 }. a n = α n, α n+ = /{α n }. Omdat voor de resten geldt 0 {α i } < voor elke i 0 zien we dat α i+ > en dus dat a i+ N. Na de n-de stap zien we dat α = [a 0,a,a 2,,a n,α n ] Als α n = 0 voor een bepaalde waarde van n, dan is α rationaal. Omdat α irrationaal is, concluderen we dat {α n } > 0 voor alle n. Dit betekent dat het algoritme oneindig lang doorgaat, want we kunnen steeds weer α n+ = /{α n } nemen. We krijgen dus de oneindig lange kettingbreuk α = [a 0,a,a 2,,a n, ] Enkele voorbeelden: 2 = [,2,2,2,2,2,2, 2, 2,2,2,2,2, 2, 2, ] 3 = [,,2,,2,,2,, 2,,2,,2,, 2, ] 7 = [4,8,8,8,8,8,8, 8, 8,8,8,8,8, 8, 8, ] = [,,,,,,,,,,,,,,,, ] 2 π = [3,7,5,,292,,,, 2,, 3,,4, ] e = [2,,2,,,4,,, 6,,,8,,, 0, ] 3.2 Benaderingseigenschappen Kettingbreuken geven een alternatieve manier om reële getallen weer te geven. Deze manier van noteren is compleet anders dan de decimale ontwikkeling. Vanzelfsprekend is het gemakkelijker om voor het optellen en vermenigvuldigen de decimale notatie te gebruiken. Maar kettingbreuken hebben een aantrekkelijke eigenschap. Als voorbeeld bekijken we de kettingbreuk ontwikkeling van π en breken deze af voor 292, [3,7,5,] = 355 3, π = 0, De vierde kettingbreuk benadering van π geeft dus een benadering met een precisie van 6 cijfers.

22 3.2. BENADERINGSEIGENSCHAPPEN 9 Daarentegen geven de eerste vier decimalen van π = 3, een benadering tot op drie decimalen! Het zijn juist deze goede benaderingseigenschappen die kettingbreuken zo interessant maken. We bekijken de benaderingen van 2. De kettingbreukontwikkeling van 2 had de makkelijk te onthouden vorm [,2,2,2,2,2,2, ]. De convergenten berekenen we met het volgende schema: a n p n q n Nu volgt dat: = 0, = 0, = 0, = 0, = 0, Het lijkt alsof de convergenten in een hoog tempo naar 2 convergeren. Bovendien lijken ze afwisselend groter en kleiner dan 2 te zijn. We kunnen ons afvragen of andere breuken dan de convergenten, ook zo n goede benadering geven van een irrationaal getal. Stel we willen 2 benaderen door zo n breuk. Kies een willekeurige noemer, bijvoorbeeld 00. Bepaal nu de teller p zo dat de breuk p 00 zo dicht mogelijk bij 2 ligt, dus p = 4. Nu is = 0, Duidelijk een slechtere benadering dan 2, waarvan teller en noemer veel kleiner zijn dan 4 en 00. Kettingbreukbenaderingen zijn de beste benaderingen van irrationale getallen. De benaderingen van irrationale getallen α door breuken p q worden dus weergegeven door: α p q De absolute waarde strepen zorgen ervoor dat er alleen naar de positieve afwijkingen wordt gekeken. De benaderingen liggen afwisselend boven- en onder de werkelijke waarde. Merk op dat voor alle convergenten geldt dat α p q < q 2

23 20 HOOFDSTUK 3. ONEINDIGE KETTINGBREUKEN 3.3 Periodiciteit en symmetrieën Een aantal irrationale getallen heeft een kettingbreukontwikkeling met een opvallend patroon erin. Dat geldt met name voor getallen van de vorm N, waarbij N een natuurlijk getal is, dat geen kwadraat is. Enkele voorbeelden met hun wijzergetallen: 2 = [,2,2,2,2,2,2,2,2, 2, 2, 2,2,2,2, ] 3 = [3,,,,,6,,,,, 6,,,,,6, ] 4 = [3,,2,,6,,2,,6,, 2,,6, ] 9 = [4,2,,3,,2,8,2,, 3,, 2,8, ] 3 = [5,,,3,5,3,,,0,,,3, 5, 3,,,0, ] 52 = [7,4,,2,,4,4, 4,,2,,4, 4, ] In deze voorbeelden vallen drie regelmatigheden op: Na het eerste wijzergetal is de rij wijzergetallen periodiek. Zo is het periodieke blok bij 4 gelijk aan,2,,6 en bij 3 is dat,,3,5,3,,,0. Het laatste wijzergetal van het periodieke blok is twee maal zo groot als het eerste wijzergetal. Als we van het periodieke blok het laatste getal weglaten, vormen de overgebleven wijzergetallen een palindroom. Bijvoorbeeld de getallen, 2, bij 4 en 2,,3,,2 bij 9. We bekijken deze eigenschappen aan de hand van 52. De wijzergetallen kunnen we natuurlijk met een rekenmachine achterhalen, zoals we eerder deden met π, maar we kunnen dit ook doen door exact te rekenen. We maken eerst een afschatting van ligt tussen 7 en 8 in. Dus de kettingbreuk begint met 52 = 7 + ( 52 7) Vervolgens bepalen we de inverse van de rest 52 7 en splitsen het gehele deel weer af: = = = We maken hier gebruik van het wegwerken van wortels uit de noemer door middel van vermenigvuldiging met =. Deze is zo gekozen dat er in de noemer een uitdrukking van de vorm (a + b)(a b) = a 2 b 2 ontstaat. Het gehele deel achterhalen we doordat 4 < < 5.

24 3.3. PERIODICITEIT EN SYMMETRIEËN 2 Dit proces herhalen we met de ontstane resten. We krijgen achtereenvolgens: = = = = = = 3( ) = = = 9( ) = = = 4( ) = = = 9( ) = = = 3( ) = = Deze rest 52 7 is precies de rest waar we in de eerste stap mee zijn begonnen. Dat betekent dat we vanaf nu steeds hetzelfde rijtje resten zullen tegenkomen. Hiermee zullen dus ook de gevonden wijzergetallen periodiek terugkeren! We hebben de periodiciteit van 52 vastgesteld. Merk op dat alle resten van de vorm N P Q zijn. We generaliseren dit voorbeeld. We willen de periodiciteit van N, N N en geen kwadraat, aantonen. Het is voldoende te laten zien dat er maar eindig veel resten mogelijk zijn. Dan zal namelijk bij een oneindige voortzetting van het bepalen van de resten, in ieder geval dezelfde rest een keer terug keren! We beweren dat elke rest van de vorm N P Q is, met 0 < P < N en Q is een deler van N P 2. Dit is zeker waar voor de eerste rest, N P. Maar als we van één rest weten dat hij deze vorm heeft, dan weten we het van de volgende rest ook, immers, Q = Q( N + P) N + P N P N P N P 2 = Q = a + Q Hierin is Q = N P 2 Q. Dus is ook Q natuurlijk een deler van N P 2. Verder verschillen P en P een Q-voud. Dus deelt Q ook N P 2. Omdat we de resten positief kozen, geldt ook dat P < N. Hieruit volgt dat er maar eindig veel kwadraten van N kunnen worden afgetrokken! Omdat N geen kwadraat is, zal N P 2 0 dus het proces gaat oneindig lang door. Hiermee is de periodiciteit van N aangetoond. In verband met het volgende hoofdstuk, de vergelijking van Pell, vermelden we nog een belangrijk eigenschap (zonder bewijs).

25 22 HOOFDSTUK 3. ONEINDIGE KETTINGBREUKEN Eigenschap 3.3. Als N N en N is geen kwadraat, dan heeft de kettingbreuk van N de gedaante N = [a0,a,a 2,,a n,2a 0 ] met a 0 = N. Bovendien geldt [a,a 2,,a n ] = [a n,,a 2,a ]. 3.4 Kalender Zo n 2000 jaar geleden veranderde Julius Caesar de Egyptische kalender die uitging van een jaar van precies 365 dagen. De Juliaanse kalender bestond uit een periode (cyclus) van 46 dagen, namelijk 3 jaren van 365 dagen en jaar van 366 dagen, een schrikkeljaar. Het jaar bestond dus gemiddeld uit 365,25 dagen, een aardige benadering van het tropisch jaar, de gemiddelde omlooptijd van de aarde rond de zon. In ons tijdperk, AD 2000 duurt een tropisch jaar 365, dagen. Ter vergelijking: 2000 jaar geleden duurde het tropisch jaar 20 seconden korter. Julius Caesar De Gregoriaanse kalender werd in 582 ingevoerd door paus Gregorius XIII. De oude Juliaanse kalender was gaan achterlopen op de situatie in de natuur. Elke duizend jaar loopt de Juliaanse kalender ongeveer 7,8 dagen voor. Om deze afwijking te corrigeren werd het systeem van schrikkeljaren aangepast, zodat elk jaartal dat deelbaar was door 00 voortaan geen schrikkeljaar is, behalve als het ook deelbaar is door 400. Dat betekent dat bijvoorbeeld 600, 2000 en 2400 schrikkeljaren zijn, maar 700, 800, 900, 200, 2200 en 2300 niet. Het gemiddelde Gregoriaanse jaar duurt hierdoor 365, 2425 dagen. Per 000 jaar worden er daardoor gemiddeld 7,5 dagen gecorrigeerd. Ook besliste de paus dat er tien dagen geschrapt zouden worden. Het gevolg van de Gregoriaanse wijzigingen was ondermeer dat de dagen tussen 4 oktober 582 en 5 oktober 582 nooit hebben bestaan. Een ander gevolg was dat er in Europa gedurende lange periode twee kalenders hebben bestaan. In protestante landen voelde men er niet veel voor de plannen van de paus zomaar over te nemen. Uiteindelijk gingen in 700 de meeste Nederlandse gewesten, Denemarken en Zwitserland over op de Gregoriaanse kalender. Engeland volgde pas in 752 en Zweden nog een jaar later. We kunnen ons afvragen of er niet betere kalenders zijn dan de Juliaanse- of Gregoriaanse kalender. We hebben te maken met een cyclus, waarvan sommige jaren schrikkeljaren zijn, terwijl het gemiddelde jaar zo nauwkeurig mogelijk de omlooptijd van de aarde rond de zon (het tropisch jaar) moet benaderen. De periode lengte moet kort zijn of gemakkelijk in gebruik. Bijvoorbeeld de cyclus van 4 jaar van de Juliaanse kalender en de 400 jarige cyclus van de Gregoriaanse

26 3.4. KALENDER 23 kalender zijn gemakkelijk in gebruik, maar de Hebreeuwse 9 jarige cyclus niet. Je hebt dan een rekenmachine nodig om de schrikkeljaren uit te rekenen. We nemen een cyclus van q jaren met daarin p schrikkeljaren. Dan zijn er gedurende cyclus 365q + p dagen verstreken. Dat wil zeggen dat de gemiddelde lengte van een jaar komt op: 365q + p q = p q We zijn dus op zoek naar de best mogelijke breuk p q die het getal α = 0, benadert. Hiervoor zijn bijvoorbeeld de convergenten van de kettingbreuk ontwikkeling van α geschikt. We krijgen De bijbehorende rij convergenten zijn 0, = p = q 4, p 2 = 7 q 2 29, p 3 = 8 q 3 33, p 4 = 3 q 4 28, p 5 = 63 q De eerste breukbenadering hoort bij het 4 jarige cyclus systeem met schrikkeldag van de Juliaanse kalender. De overige benaderingen zijn weliswaar nauwkeuriger, maar lastiger om mee te rekenen, hoewel een 33 jarige periode met 8 schrikkeljaren een serieuze optie is geweest. Een dergelijke kalender is inderdaad nauwkeuriger dan de tegenwoordige Gregoriaanse kalender, maar minder nauwkeurig dan bijvoorbeeld de kalender met een 500 jarige cyclus die hierna wordt besproken. We bekijken cycles van enkele jaren lang. Neem q = 00q, waarbij q een geheel getal is tussen de en de 9 zijn. We benaderen nu α = 00α = 24,29878 met convergenten. De kettingbreuk ontwikkeling wordt: De eerste vier convergenten zijn: α = [24,4,,,4, ] p = 97 q 4, p 2 = 2 q 2 5, p 3 = 28 q 3 9, p 4 = 993 q 4 4 We zien drie kandidaten voor de kalender. De eerste correspondeert met onze Gregoriaanse kalender. Deze is gebaseerd op een 400 jarige cycle met 97 schrikkeljaren; namelijk alle jaren deelbaar door 4 (hier zijn er 00 van), behalve de honderdvouden 00, 200 en 300. De volgende benadering 2 5 hoort bij een cyclus van 500 jaar met daarin 2 schrikkeljaren. Bij deze kalender is elk jaar dat je kunt delen door 4 een schrikkeljaar, behalve als het deelbaar is door 00 met de uitzondering dat jaren deelbaar door 500 die wel weer schrikkeljaren zijn. Dit systeem is net zo simpel

27 24 HOOFDSTUK 3. ONEINDIGE KETTINGBREUKEN als de Gregoriaanse kalender, maar veel nauwkeuriger. De Gregoriaanse kalender is 26 seconde langer dan een tropisch jaar; een fout van dag elke 3320 jaar. De kalender met een cyclus van 500 jaar is 7 seconde korter dan een tropisch jaar; een fout van dag elke 503 jaar. De paus had dit niet door! De laatste breukbenadering is een kalender met een cyclus van 900 jaar met 28 schrikkeljaren. Er zijn echter 7 uitzonderingen op de 4 jarige schrikkel- regel (28 = ), waardoor deze kalender onnodig ingewikkeld wordt en dus niet handig is. 3.5 Sectio divina De gulden snede, ook bekend onder de namen gulden verhouding, gulden nummer, gulden getal of sectio divina, is een irrationaal getal, ongeveer, Dit getal geeft een verhouding weer die veelvuldig in de natuur wordt aangetroffen. Daarnaast wordt deze verhouding in de klassieke architectuur gezien als de meest aangename, bijvoorbeeld bij de bouw van het theater van Epidaurus (Griekenland). Dit theater is een reusachtige schelp dat tegen de flank van een heuvel ligt. Gebouwd in de vierde eeuw voor Christus door de architect Polycletus de Jongere uit Argos volgens zuiver wiskundige principes. Het biedt plaats aan 4000 toeschouwers en de akoestiek is fantastisch! Er zijn 55 rijen zitplaatsen: 34 onder het middenpad (diazoma), verdeeld in 2 sectoren, en 2 rijen boven de diazoma, verdeeld in 22 sectoren. Merk op dat 34 2 = 55 34,6, de gulden snede. Euclides heeft aangegeven hoe een lijnstuk verdeelt dient te worden om de gulden snede te krijgen, deel een lijn of lengte zodanig in twee ongelijke delen, dat de verhouding van het kleine tot het grote dezelfde is als die van het grote deel tot het geheel. Neem lijnstuk AB met daarop een punt S. Noem AS = a en BS = b. Kies punt S zo, dat a b = a + b a De verhouding a b wordt aangegeven met de Griekse letter φ, het zogenaamde gulden getal. Hieruit volgt dat A a S b B φ = a b = a + b a = + b a = + φ Vervangen we nu aan de rechterzijde van φ = + φ telkens φ door + φ, dan

28 3.6. OEFENINGEN 25 krijgen we de kettingbreukontwikkeling, φ = Dus φ = [,,,,,,,,,,,, ]. Wanneer we de convergenten berekenen met behulp van p m = a mp m + p m 2 q m a m q m + q m 2 krijgen we de tabel, a m p m q m De teller en noemers van de convergenten zijn precies de getallen uit de rij van Fibonacci. Ook herkennen we de verhoudingen en 34 uit het theater van Epidaurus in Griekenland. De waarde van φ wordt dus benaderd door de verhouding van twee opeenvolgende getallen in de rij van Fibonacci. Overigens kunnen we met behulp van bijvoorbeeld de ABC-formule ook de gulden verhouding achterhalen. Immers, uit φ = + φ volgt de vierkantsvergelijking φ 2 φ = 0, met de positieve oplossing φ = + 5, Ofwel, φ = = [,,,,,,, ] 3.6 Oefeningen Oefening 3.6. Bepaal de eerste 0 convergenten van Laat zien dat inderdaad voor elke convergent p q geldt dat, α p q < q 2 Oefening Langzaam ontstaat er in de Gregoriaanse kalender een fout. Met af en toe een correctie wordt deze fout gecorrigeerd. Hiervoor bekijken we langere cycles met lengten van 400 jaar, q = 400q. Bereken met behulp van kettingbreuken wanneer er een schrikkeljaar komt te vervallen. Oefening φ, de gulden snede verhouding is ook als volgt te construeren:

29 26 HOOFDSTUK 3. ONEINDIGE KETTINGBREUKEN Neem een vierkant ABCD met zijde. Kies E op het midden van AB. Teken een cirkel met middelpunt E en straat EC. Laat G het snijpunt zijn van de cirkel met het verlengde van AB. Toon aan dat geldt: AB BG = φ. D C Oefening Welke (irrationale) getallen horen bij de volgende kettingbreuken: [,,2,,2,,2,,2, ] [,2,,2,,2,,2, ] [0,,0,5,0,5,0, 5,0, ] [2,,,,4,,,,4,,,, 4, ] Oefening Ontwikkel in kettingbreuken: 2, 28 Oefening Ontwikkel in kettingbreuken: a 2 +, a 2 + a, waarin a een willekeurig positief geheel getal is. (Hint: gebruik de methode uit paragraaf 3.3) Oefening Gegeven is de vergelijking: 55x 2 25x + 7 = 0. Bepaal de kettingbreukontwikkeling van de positieve oplossing van deze vergelijking. Oefening Gegeven is de vergelijking: bx 2 abx a = 0, waarbij a en b natuurlijke getallen zijn. Bepaal de kettingbreukontwikkeling van de positieve oplossing van deze vergelijking. Oefening In de kettingbreukontwikkeling van het getal e zit een regelmaat. Onderzoek een soortgelijke regelmaat in de kettingbreukontwikkeling van e 2, e en ek + e k. A E B G

30 Hoofdstuk 4 De vergelijking van Pell 4. Diophantische vergelijkingen In Hoofdstuk 2 hebben we oplossingen bepaald van de vergelijking ax+by = c. Deze vergelijking is een voorbeeld van een Diophantische vergelijking. Een Diophantische vergelijking is een vergelijking in meerdere variabelen, waarvan de oplossingen gehele getallen moeten zijn. Het type vergelijking is genoemd naar de Griekse wiskundige Diophantus van Alexandrië. Hij leefde in de derde eeuw n.c. en schreef onder andere de Arithmetica, een boekwerk waarin een grote verzameling Diophantische vergelijkingen worden beschreven en opgelost. Over Diophantus zelf weten we bijna niets, alleen stond in een Griekse Anthologie van Metrodorus uit de zesde eeuw de volgende opmerking: Zijn jeugd maakte een zesde van zijn leven uit; na een verder twaalfde kreeg hij een baard; na een verder zevende trouwde hij en zijn zoon werd 5 jaar daarna geboren; de zoon werd maar half zo oud als zijn vader en de vader overleed vier jaar na de zoon. Dit voorbeeld geeft aanleiding tot een Diophantische vergelijking in variabele van graad. Een beetje flauw om op te lossen. Andere voorbeelden van Diophantische vergelijkingen zijn: x 2y = : Het aantal gehele oplossingen (x,y) van deze vergelijking is oneindig. Voorbeelden van oplossingen zijn (3, ), (5, 2), x n + y n = z n. Voor n = 2 zijn de gehele oplossingen de Pythagorese drietallen, hiervan zijn er oneindig veel. Voorbeelden zijn (3, 4, 5), (5, 2, 3),. Voor n > 2 zegt de laatste stelling van Fermat dat er geen gehele getallen (x,y,z) bestaan die aan de vergelijking voldoen. x 2 Ny 2 =. Deze vergelijking staat bekend als de vergelijking van Pell, door Euler abusievelijk toegewezen aan de Engelse wiskundige John Pell (6-685). De vergelijking is reeds eeuwen daarvoor uitvoerig bestudeerd door Indische wiskundigen. Fermat bewees dat deze vergelijking altijd een oplossing heeft, behalve wanneer N een kwadraat is. De 27

31 28 HOOFDSTUK 4. DE VERGELIJKING VAN PELL oplossing is te vinden in een eindig aantal stappen door met behulp van kettingbreuken een benadering van N te zoeken. 4.2 Pell nader bekeken We bekijken een Diophantische vergelijking die er door zijn bijzondere eigenschappen al vroeg in de geschiedenis uitsprong. Stel dat N N geen kwadraat is. De vergelijking van Pell wordt gegeven door, x 2 Ny 2 = waarbij x,y Z 0. Neem bijvoorbeeld N = 2. We willen dus gehele positieve oplossingen vinden van de vergelijking x 2 2y 2 =. Door enig proberen vinden we een oplossing (7,2), immers =. Met enig geduld of een computer vind je ook =. Het zal blijken dat de lijst oplossingen oneindig lang is! Wanneer we in plaats van N = 2 een andere waarde van N nemen, dan zijn er steeds oplossingen te vinden, natuurlijk andere dan de triviale oplossing x =, y = 0. Dit werd reeds in de oudheid ontdekt en men vond het blijkbaar erg belangrijk. Soms moeten we wel lang zoeken naar oplossingen, bijvoorbeeld bij N = 6. De kleinste oplossing is =. Het is duidelijk dat een dergelijke oplossing niet gevonden is door zomaar lukraak te proberen. In 657 vond de Engelse wiskundige W. Brouncker een oplossingsmethode. Met deze oplossingsmethode vond hij bijvoorbeeld de kleinste niet triviale oplossing voor de vergelijking x 2 33y 2 = : x = y = Een spectaculair resultaat! We bekijken de methode van Brouncker, die gebruik maakt van kettingbreuken. De volgende stelling zegt dat er in ieder geval één oplossing bestaat. Wanneer we de kleinste niet triviale oplossing van de vergelijking van Pell hebben, kunnen we de volledige oplossingsverzameling bepalen. Stelling 4.2. Stel N N en N is geen kwadraat. Dan bestaan er x,y Z >0 zó dat x 2 Ny 2 =. Voor N = 2,3 is de stelling zeker waar, want = en =. We kunnen dus aannemen dat N > 4. We bekijken de kettingbreukontwikkeling van N. Deze is periodiek en zoals we eerder gezien hebben wordt deze gegeven door, N = [a0,a,a 2,,a r,2a 0 ], met a 0 = N. We nemen het eerste wijzergetal en het periodieke deel van de wijzergetallen, m.u.v. het laatste, en noemen de convergent p q, dus p q = [a 0,a,a 2,,a r ]