Waarom bij de Grieken?

Transcriptie

1 Waarom bij de Grieken? Geografische, staatkundige omstandigheden Handel, contact met volkeren Rijkdom en slavernij, tijd om na te denken 1

2 Drie perioden 600 voj 400 Oud-Griekse periode ( voj): (Thales, Pythagoras, Plato, Aristoteles) Hellenistische periode ( voj): Euclides Romeinse periode (200 voj 400): Ptolemaeus (vnl sterrenkunde), Pappos, Diophantos. 2

3 Redeneren, logica Socrates Aristoteles: Alle mensen zijn sterfelijk. Socrates is een mens. Dus Socrates is sterfelijk. Chrysippus: Modus ponens, modus tollens,... Logica beoefend tijdens middeleeuwen, opleving bij Leibniz, verdieping in 20e eeuw. 3

4 Opbouw Elementen De Elementen bestaan uit 13 boeken Boek I VI: planimetrie, incl verhoudingen (V, VI) Boek VII IX: rekenkunde Boek X: rationale getallen Boek XI XIII: ruimtemeetkunde (incl inhouden, regelmatige veelvlakken) 4

5 23 definities 1. Een punt is wat geen deel heeft. 2. Een lijn is een breedteloze lengte. 3. De uiteinden van een lijn zijn punten. 4. Een rechte lijn is een [lijn] die gelijk ligt met de punten erop. 5. Een vlak is, wat alleen lengte en breedte heeft. 6. De uiteinden van een vlak zijn lijnen. 7. Een plat vlak is [een vlak] dat gelijk ligt met de lijnen erop. 5

6 15. Een cirkel is een vlakke figuur, omvat door een lijn, zodanig dat alle rechten die van één der binnen deze figuur gelegen punten tot deze lijn neerdalen, gelijk zijn. 23. Parallel zijn lijnen, die in hetzelfde platte vlak gelegen en naar weerszijden tot in het oneindige verlengd, naar geen van beide zijden elkaar ontmoeten.

7 5 postulaten: I III I. Laat geëist worden van elk punt naar elk (punt) een rechte lijn [lijnstuk] te trekken. (Elk tweetal punten kan door middel van één lijnstuk verbonden worden.) II. En een beëindigde rechte samenhangend in een rechte lijn te verlengen lijnstuk verlengd tot lijnstuk]. (Elk lijnstuk kan verlengd worden; er bestaan dus onbegrensde rechte lijnen.) III. En dat met elk middelpunt en elke afstand een cirkel beschreven wordt. (Bestaan van cirkels en dat een cirkel bepaald is door middelpunt en straal.) 6

8 5 postulaten: IV, V IV. En dat alle rechte hoeken aan elkaar gelijk zijn. V. (het parallellenpostulaat) En dat, als een rechte die twee rechten treft, de binnenhoeken aan dezelfde kant kleiner dan twee rechte (hoeken) maakt, de twee rechten, tot in het oneindige verlengd, elkaarontmoeten aan de kant waar de hoeken zijn die kleiner zijn dan twee rechte (hoeken). 7

9 Algemene inzichten 1. Dingen, gelijk aan hetzelfde, zijn ook aan elkaar gelijk. 2. En als men bij gelijke dingen gelijke voegt, zijn de totalen gelijk. 3. En als men van gelijke dingen gelijke afneemt, zijn de resten gelijk. 7. En dingen die op elkaar passen, zijn gelijk. 8. En het geheel is groter dan het deel. 8

10 Boek I: Propositie 1 Propositie I. Op een gegeven lijnstuk AB een gelijkzijdige driehoek te construeren. Bewijs. Beschrijf de cirkels (A, AB) (dwz middelpunt A, straal AB) en (B, BA). C A B Bepaal het snijpunt C en trek AC en BC. Dan is ABC een gelijkzijdige driehoek met AB als één der zijden. 9

11 Boek I: Propositie 4 Propositie 4. Twee driehoeken zijn congruent als zij twee zijden en de ingesloten hoek gelijk hebben. Deze propositie (het bekende congruentiegeval ZHZ) bewijst Euclides door de ene driehoek te verplaatsen zó dat hij precies de andere bedekt. A α C C A α B B 10

12 Boek I: Propositie 47 (Pythagoras) Propositie 47 (Stelling van Pythagoras) In een rechthoekige driehoek is het vierkant op de hypothenusa gelijk aan de som van de vierkanten op de rechthoekszijden. H K C G F A B D E Een vierkant is een vierhoek waarvan alle zijden gelijk en alle hoeken recht zijn. 11

13 Propositie 47: bewijs Bewijs. Beschrijf vierkanten op de drie zijden. Trek BK en CD, alsmede CQ loodrecht op AB. H G K C F A P B D Q E We laten zien O(APQD) = O(ACHK) en dat O(BPQE) = O(BFGC). Er geldt O(APQD) = AD AP = 2 O(CAD). Door rotatie over 90 gaat driehoek CAD over in driehoek KAB. Dus O(CAD) = O(KAB). Er geldt 2 O(KAB) = KA AC = O(ACHK). 12

14 Samen: O(AP QD) = O(ACHK). H G K C F A P B D Q E Net zo, via de driehoeken CBE en FBA: Blijkbaar O(BPQE) = O(BFGC). O(ADEB) = O(ADQP) + O(BPQE) = O(ACHK) + O(BFGC)

15 13

16 Constructieproblemen Problemen vnl uit 5e eeuw voj. Drijfveer voor verdieping meetkunde. De verdubbeling van de kubus De driedeling van de hoek De kwadratuur van de cirkel Oplossingen (negatief): 19e eeuw! 14

17 Spelregels constructies 1. Door 2 punten uit config. rechte tekenen. 2. Cirkel tekenen: middelpunt = punt uit configuratie, straal = afstand 2 punten uit configuratie. 3. Snijpunt 2 rechten uit configuratie toevoegen. 4. Snijpunten rechte en cirkel toevoegen. 5. Snijpunten 2 cirkels toevoegen. 15

18 Hilbert Doorstart axioma s Euclides, in 5 nieuwe groepen Axiome der Verknüpfung Axiome der Anordnung Axiome der Kongruenz Axiome der Parallelen Axiome der Stetigkeit 16

19 Onderlinge relaties I 1,2 Twee (verschillende) punten bepalen precies één lijn. I 3,4,5 Elke lijn bevat minstens 2 punten. Er zijn minstens drie punten die niet op één lijn liggen. Drie punten die niet op dezelfde lijn liggen, bepalen precies één vlak. Elk vlak bevat minstens één punt. I 6 Als twee punten van een lijn tot een vlak behoren, dan behoren alle punten van de lijn tot het vlak. I 7 Als twee vlakken een punt gemeen hebben, dan hebben ze minstens nog een tweede punt gemeen. I 8 Er zijn minstens vier punten die niet in een zelfde vlak liggen. 17

20 Liggen tussen II 1 Als punt C tussen de punten A en B ligt, dan zijn A, B en C verschillende punten op dezelfde lijn en dan ligt C ook tussen B en A. II 2 Voor elk tweetal punten A en B is er minstens één punt C op de lijn AB die tussen A en B ligt. II 3 Van elk drietal punten op een lijn, ligt er precies één tussen de beide andere. II 4 A, B en C zijn niet in een zelfde vlak gelegen punten zijn. De lijn l ligt in het vlak door A, B, C, maar bevat geen van deze drie punten. 18

21 C l A B Als l het interval AB in een punt snijdt, dan bevat l een punt van het interval AC of van het interval BC.

22 Hilberts Parallellenpostulaat Def: Twee rechten heten parallel als ze in één vlak liggen en elkaar niet snijden. Axioma: Is A een punt buiten de rechte l, dan is er in het door l en A bepaalde vlak hooguit één rechte door A en parallel met l. Equivalent: als twee rechten in een vlak een derde rechte uit dat vlak niet treffen, dan zijn ze parallel. 19

23 Modellen Hilbert toont consistentie van de axioma s aan mbv constructie van een meetkunde:...wollen wir aus den reellen Zahlen ein System von Dingen bilden, in dem sämtliche Axiome der fünf Gruppen erfüllt sind. Gebaseerd op aritmetiek Punt: geordend paar getallen (a, b) Rechte: verhouding (p : q : r), p, q niet beide 0 Incidentie: pa + qb + r = 0 E.d. Axioma s verifiëren...conclusie: reële getallen consistent impliceert axioma s consistent 20

24 Axioma s: een spel? Het parallellenpostulaat vervangen: andere meetkunden. Sowieso axioma s variëren. Hyperbolische meetkunde (Gauss, Bolyai, Lobachevsky); Vervang parallellenpostulaat door ontkenning Elliptische meetkunde en andere (Riemann) Weerlegging van Kant: Euclidische meetkunde inherent in de structuur van onze geest 21

25 Hyperbolische meetkunde Axioma: Er zijn: rechte l, punt P niet op l, zodat minstens 2 verschillende rechten parallel met l door P gaan Gevolg: eigenschap voor alle niet-incidente paren punt, rechte Gevolg: som hoeken driehoek < 180 graden Gevolg: gelijkvormige driehoeken zijn congruent 22

26 Hyperbolische meetkunde: model A l Model van Klein Punten: binnengebied vaste cirkel Rechten: koorde zonder eindpunten Incidentie, tussen: voor de hand liggend Parallel: geen punten gemeen Aldus: hyperbolische meetkunde deel van Euclidische. Gevolg: consistentie. 23

27 Poincaré model O l Punten: binnengebied vaste cirkel Rechten: koorden door middelpunt Cirkelbogen loodrecht op rand Parallel: geen punten gemeen Voordeel: hoeken meten is makkelijk Weer: Euclidische meetkunde consistent dan ook hyperbolische meetkunde 24

28 Elliptische meetkunde Hier verandert meer dan 1 axioma Geen parallelle rechten Axioma s tussen moeten weg Model: Boloppervlak met punt: paar antipodale punten rechte: grote cirkel modulo antipodale punten 25

29 Kleins visie Kleins visie verbindt meetkunde met algebra (groepen). Meetkunde is de studie van eigenschappen van figuren die invariant blijven onder een of andere groep van transformaties. Euclidische meetkunde orthogonale afbeeldingen, translaties, gelijkvormigheidstransformaties 26

30 Riemannse meetkunde Manifold: zonder verwijzing naar omliggende ruimte Kromming 27

31 Gaten in fundering Paradoxen: Cantor: vraag naar de machtigheid van de verzameling van alle verzamelingen. Russell: Verzameling van alle verzamelingen die zichzelf niet als element bevatten. Kapper knipt precies die dorpsgenoten die zichzelf niet knippen. Begrip verzameling preciseren met...axioma s 28

32 Wiskundige standaard: noodzaak hechtere fundering Zermelo besloot zaken hecht te funderen, mede door Hilberts meetkundeaxioma s. O.a. keuzeaxioma: Gegeven een verzameling S van verzamelingen. Dan is het mogelijk uit elk van die verzamelingen een element te kiezen. Er is een keuzefunctie f met f(x) x voor alle x S. Daarnaast voor de hand liggender axioma s, o.a.: Extensionaliteit: S T en T S S = T Machtsverzameling: S een verzameling, dan P(S) een verzameling. 29

33 Keuze-axioma: voorbeeld f rijcontinu te a: a n a dan f(a n ) f(a) f niet continu te a, dan f niet rij-continu te a. f niet continu te a: kies voor elke n een a n, a n a < 1/n en f(a n ) f(a) ε Keuze-axioma : elke verzameling is te welordenen. In o.a. algebra, topologie: Lemma van Zorn 30

34 Andere gebieden: topologie Meetkunde zonder maat, rubbermeetkunde Open en gesloten Verenigingen en doorsneden. Scheidingsaxioma (Hausdorff) Topologische classificatie oppervlakken 31

35 Standaard: mooi? Er zijn oneindig veel priemgetallen. Fermat getallen F n = 2 2n + 1 Recursie: Π n 1 k=0 F k = F n 2 De F n s zijn relatief priem Oneindig veel F n s, dus oneindig veel priemen 32

36 Huidige standaard Zijn alle bewijzen even goed? Computerbewijzen: vierkleurenprobleem Lange bewijzen andere aanpak: intuïtionisme 33

37 Huidige standaard: tijdschriften editors Tijdschriften met refereeing systeem peer review 34