Een Nieuwe Wereld uit het Niets
|
|
|
- Patricia Simons
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Een Nieuwe Wereld uit het Niets Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) Masterclass, 16 april 2009 GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
2 De meetkunde van Euclides Van Euclides via Einstein naar Escher Euclides en de klassieke ruimte (ca. 300 vc) Klassieke mechanica (Newton, 1687) Niet-euclidische meetkunde (Bolyai, 1823 en Lobatchewski, 1829) Gekromde ruimten (Gauß, 1827 en Riemann, 1854) Circle Limits I IV (Escher, ) GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
3 De meetkunde van Euclides Euclides, Einstein, Escher GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
4 Euclides Euclides, Einstein en Escher Euclides v. Chr. Papyrus met Elementen (Grieks) GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
5 Einstein Euclides, Einstein en Escher Man van de 20ste eeuw Relativiteitstheorie GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
6 Escher Euclides, Einstein en Escher Zelfportret Circle Limit III GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
7 Euclides, Einstein en Escher Klassieke meetkunde Euclides GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
8 De meetkunde van Euclides Definities, postulaten, proposities Definities van Euclides enkele voorbeelden Definitie (Punt I.1) Een punt is, wat geen deel heeft Definitie (Parallelle lijnen I.23) Parallel zijn lijnen, die in hetzelfde platte vlak gelegen en naar weerszijde tot in het oneindige verlengd, naar geen van beide zijden elkaar ontmoeten GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
9 De meetkunde van Euclides Definities, postulaten, proposities Definities van Euclides enkele voorbeelden Definitie (Punt I.1) Een punt is, wat geen deel heeft Definitie (Parallelle lijnen I.23) Parallel zijn lijnen, die in hetzelfde platte vlak gelegen en naar weerszijde tot in het oneindige verlengd, naar geen van beide zijden elkaar ontmoeten GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
10 De meetkunde van Euclides Postulaten van Euclides Definities, postulaten, proposities Postulaat (I.1) Van een punt naar een ander punt kan een lijn(stuk) worden getrokken Postulaat (I.2) Een lijnstuk kan worden verlengd tot een lijn GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
11 De meetkunde van Euclides Postulaten van Euclides Definities, postulaten, proposities Postulaat (I.1) Van een punt naar een ander punt kan een lijn(stuk) worden getrokken Postulaat (I.2) Een lijnstuk kan worden verlengd tot een lijn GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
12 De meetkunde van Euclides Postulaten van Euclides Definities, postulaten, proposities Postulaat (I.3) Bij een gegeven middelpunt en een gegeven straal kan een cirkel beschreven worden Postulaat (I.4) Alle rechte hoeken zijn aan elkaar gelijk Deze postulaten zijn onafhankelijk GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
13 De meetkunde van Euclides Postulaten van Euclides Definities, postulaten, proposities Postulaat (I.3) Bij een gegeven middelpunt en een gegeven straal kan een cirkel beschreven worden Postulaat (I.4) Alle rechte hoeken zijn aan elkaar gelijk Deze postulaten zijn onafhankelijk GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
14 De meetkunde van Euclides Het parallellenpostulaat Definities, postulaten, proposities Postulaat (I.5, versie van Playfair 1795 na Chr.) Door een gegeven punt buiten een lijn gaat precies één lijn evenwijdig aan die lijn De kwestie: Is dit postulaat onafhankelijk van de eerste vier? GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
15 De meetkunde van Euclides Het parallellenpostulaat Definities, postulaten, proposities Postulaat (I.5, versie van Playfair 1795 na Chr.) Door een gegeven punt buiten een lijn gaat precies één lijn evenwijdig aan die lijn De kwestie: Is dit postulaat onafhankelijk van de eerste vier? GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
16 De meetkunde van Euclides Definities, postulaten, proposities Lijnspiegeling in zijden eenheidsvierkant GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
17 De meetkunde van Euclides Definities, postulaten, proposities Lijnspiegeling in zijden eenheidsvierkant C D B A GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
18 De meetkunde van Euclides Isometrieën: Euclidisch Definities, postulaten, proposities 1 Rotatie en translatie: samenstelling van twee lijnspiegelingen Translatie (verschuiving) Rotatie (draaiing) 2 Isometrie: samenstelling van één, twee of drie lijnspiegelingen. GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
19 De meetkunde van Euclides Isometrieën: Euclidisch Definities, postulaten, proposities 1 Rotatie en translatie: samenstelling van twee lijnspiegelingen Translatie (verschuiving) Rotatie (draaiing) 2 Isometrie: samenstelling van één, twee of drie lijnspiegelingen. GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
20 De meetkunde van Euclides Betegeling via spiegeling (1) Definities, postulaten, proposities C D B A GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
21 De meetkunde van Euclides Betegeling via spiegeling (2) Definities, postulaten, proposities C BC = CB D B A GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
22 De meetkunde van Euclides Betegeling via spiegeling (3) Definities, postulaten, proposities CD = DC C BC = CB? D B AD = DA A AB = BA GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
23 De meetkunde van Euclides Betegeling via spiegeling (4) Definities, postulaten, proposities CD = DC C BC = CB BCD D B AD = DA A AB = BA GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
24 De meetkunde van Euclides Symmetry Work 45 (met tegel) Definities, postulaten, proposities (4 tegels per hoekpunt) Graad 4 GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
25 De meetkunde van Euclides Betegeling met zeshoeken Definities, postulaten, proposities GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
26 De meetkunde van Euclides Betegeling met zeshoeken Definities, postulaten, proposities GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
27 De meetkunde van Euclides Betegeling met driehoeken Definities, postulaten, proposities GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
28 De meetkunde van Euclides Regelmatige vlakbetegelingen Definities, postulaten, proposities Alleen met regelmatige driehoeken (graad 6, want 6 60 o = 360 o ) vierkanten (graad 4, want 4 90 o = 360 o ) zeshoeken (graad 3, want o = 360 o ) GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
29 De meetkunde van Euclides Circle Limit IV (met betegeling) Definities, postulaten, proposities GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
30 De meetkunde van Euclides Circle Limit IV (met betegeling) Definities, postulaten, proposities GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
31 De meetkunde van Euclides Circle Limit IV (met betegeling) Definities, postulaten, proposities Spiegeling in cirkels? GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
32 De meetkunde van Euclides Definities, postulaten, proposities Hyperbolische meetkunde Gauß, Bolyai en Lobatchewski GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
33 Gauss, Bolyai en Lobatchewski Hyperbolische meetkunde: grondleggers Karl Friedrich Nikolay Ivanovich János Gauss (Duitsland) Lobachevsky (Rusland) Bolyai (Hongarije) (nu: Roemenië) GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
34 Historie: Janos Bolyai Gauss, Bolyai en Lobatchewski Farkas Bolyai (vriend van Gauss) aan zijn zoon János: Je moet deze benadering van de parallellen niet uitproberen. (... ) Ik heb door deze bodemloze nacht gereisd, die alle licht en mijn levensvreugde doofde. János Bolyai aan zijn vader (3 november 1823): Ik heb nu besloten een werk over parallellen te publiceren. (... ) Ondertussen kan ik alleen dit zeggen: Ik heb een wereld uit het niets geschapen. GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
35 Historie: Janos Bolyai Gauss, Bolyai en Lobatchewski Farkas Bolyai (vriend van Gauss) aan zijn zoon János: Je moet deze benadering van de parallellen niet uitproberen. (... ) Ik heb door deze bodemloze nacht gereisd, die alle licht en mijn levensvreugde doofde. János Bolyai aan zijn vader (3 november 1823): Ik heb nu besloten een werk over parallellen te publiceren. (... ) Ondertussen kan ik alleen dit zeggen: Ik heb een wereld uit het niets geschapen. GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
36 Inversie in een cirkel (1) Inversie Spiegeling in een cirkel? Inversie in cirkel C beeldt A ( O) af op A, met OA OA = r 2. Punten op C worden op zichzelf afgebeeld. C O A A r GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
37 Inversie in een cirkel (2) Inversie Stelling (Orthogonale cirkels) Als cirkel C de inversiecirkel C loodrecht snijdt, dan gaat C onder inversie in C in zichzelf over. C A O A r C Laat A punt op C zijn, A tweede snijpunt van OA met C. Dan OA OA = r 2, dus A is beeld van A onder inversie in C. GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
38 Inversie in een cirkel (3) Inversie A O A B B B B Inversie in C beeldt A af op A, en B op B Inversie spiegeling in hyperbolische lijn GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
39 Inversie in een cirkel (3) Inversie A O A B B B B Inversie in C beeldt A af op A, en B op B Inversie spiegeling in hyperbolische lijn GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
40 Inversie in een cirkel (3) Inversie A O A B B B B Inversie in C beeldt A af op A, en B op B Inversie spiegeling in hyperbolische lijn GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
41 d-lijnen in Poincaréschijf Inversie GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
42 d-lijnen in Poincaréschijf Inversie GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
43 d-lijnen in Poincaréschijf Inversie GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
44 d-lijnen in Poincaréschijf Inversie GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
45 d-lijnen in Poincaréschijf Inversie GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
46 d-lijnen in Poincaréschijf Inversie GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
47 d-lijnen in Poincaréschijf Inversie GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
48 d-lijnen in Poincaréschijf Inversie GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
49 d-lijnen in Poincaréschijf Inversie GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
50 d-lijnen in Poincaréschijf Inversie GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
51 d-lijnen in Poincaréschijf Inversie GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
52 d-lijnen in Poincaréschijf Inversie GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
53 d-lijnen in Poincaréschijf Inversie GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
54 d-lijnen in Poincaréschijf Inversie GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
55 d-lijnen in Poincaréschijf Inversie GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
56 d-lijnen in Poincaréschijf Inversie GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
57 d-lijnen in Poincaréschijf Inversie GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
58 d-lijnen in Poincaréschijf Inversie GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
59 d-lijnen in Poincaréschijf Inversie GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
60 d-lijnen in Poincaréschijf Inversie GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
61 d-lijnen in Poincaréschijf Inversie GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
62 d-lijnen in Poincaréschijf Inversie GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
63 d-lijnen in Poincaréschijf Inversie GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
64 d-lijnen in Poincaréschijf Inversie GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
65 d-lijnen in Poincaréschijf Inversie GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
66 d-lijnen in Poincaréschijf Inversie GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
67 d-lijnen in Poincaréschijf Inversie GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
68 d-lijnen in Poincaréschijf Inversie GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
69 d-lijnen in Poincaréschijf Inversie GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
70 d-lijnen in Poincaréschijf Inversie GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
71 d-lijnen in Poincaréschijf Inversie GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
72 Het Poincaré-model Hyperbolische meetkunde Het Poincaré-model Ultraparallel Parallel Punt: binnen de cirkel C. Lijn: cirkelboog die punten op C verbindt, en C loodrecht snijdt. Horizon: de cirkel C (het oneindige). Hoek tussen lijnen: euclidische hoek tussen euclidische raaklijnen (Conform model) GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
73 Het Poincaré-model Hyperbolische meetkunde Het Poincaré-model Ultraparallel Parallel Punt: binnen de cirkel C. Lijn: cirkelboog die punten op C verbindt, en C loodrecht snijdt. Horizon: de cirkel C (het oneindige). Hoek tussen lijnen: euclidische hoek tussen euclidische raaklijnen (Conform model) GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
74 Het Poincaré-model Hyperbolische meetkunde Het Poincaré-model Ultraparallel Parallel Punt: binnen de cirkel C. Lijn: cirkelboog die punten op C verbindt, en C loodrecht snijdt. Horizon: de cirkel C (het oneindige). Hoek tussen lijnen: euclidische hoek tussen euclidische raaklijnen (Conform model) GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
75 Het Poincaré-model Hyperbolische meetkunde Het Poincaré-model Ultraparallel Parallel Punt: binnen de cirkel C. Lijn: cirkelboog die punten op C verbindt, en C loodrecht snijdt. Horizon: de cirkel C (het oneindige). Hoek tussen lijnen: euclidische hoek tussen euclidische raaklijnen (Conform model) GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
76 Het Poincaré-model Hyperbolische meetkunde Het Poincaré-model Ultraparallel Parallel Punt: binnen de cirkel C. Lijn: cirkelboog die punten op C verbindt, en C loodrecht snijdt. Horizon: de cirkel C (het oneindige). Hoek tussen lijnen: euclidische hoek tussen euclidische raaklijnen (Conform model) GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
77 Het Poincaré-model Postulaten I.1 en I.2 in het Poincaré-model Postulaat (I.1) Van een punt naar een ander punt kan een d-lijn(stuk) worden getrokken Postulaat (I.2) Een d-lijnstuk kan worden verlengd tot een lijn. GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
78 Het Poincaré-schijfmodel Het Poincaré-model Voldoet aan Postulaten I.1 4 van Euclides. Voldoet niet aan het Parallellenpostulaat. GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
79 Het Poincaré-schijfmodel Het Poincaré-model Voldoet aan Postulaten I.1 4 van Euclides. Voldoet niet aan het Parallellenpostulaat. GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
80 Circle Limit IV (met betegeling) Betegelingen van het hyperbolische vlak Hoe zit het met Escher s cirkellimieten? GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
81 Escher s Circle Limit I Betegelingen van het hyperbolische vlak GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
82 Betegelingen van het hyperbolische vlak Regelmatige hyperbolische veelhoeken GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
83 Inversie in zijden moedertegel Betegelingen van het hyperbolische vlak Inversie van moedertegel in zijden. GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
84 Inversie in zijden moedertegel Betegelingen van het hyperbolische vlak Inversie van eerste generatie in zijden moedertegel. GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
85 Inversie in zijden moedertegel Betegelingen van het hyperbolische vlak Zeshoeken met hoeken van 90 0 (graad 4). GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
86 Circle Limit IV (met betegeling) Betegelingen van het hyperbolische vlak GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
87 Betegelingen van het hyperbolische vlak Regelmatige betegelingen van de Poincaréschijf Zeshoeken met hoeken van 72 o (graad 5) en 60 o (graad 6). GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
88 Hyperbolische transformaties Betegelingen van het hyperbolische vlak Hyperbolische transformatie: samenstelling van hyperbolische lijnspiegelingen GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
89 Hyperbolische transformaties Betegelingen van het hyperbolische vlak Hyperbolische transformatie: samenstelling van hyperbolische lijnspiegelingen GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
90 Hyperbolische cirkels (1) Betegelingen van het hyperbolische vlak GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
91 Betegelingen van het hyperbolische vlak Hyperbolische vs. Euclidische Meetkunde GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
92 Hyperbolische metriek Betegelingen van het hyperbolische vlak Euclidische lengte = 2 hyperbolische lengte 1 r 2 GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
93 Betegelingen van het hyperbolische vlak Gekromde ruimten Gauß GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
94 Gauß, Riemann en gekromde ruimten Riemann en de elliptische meetkunde Georg Friedrich Bernhard Jules Henri Poincaré Riemann ( ) Leerling van Gauss Über die Hypothesen welche die Geometrie zugrunde liegen Habilitationsschrift, 1854 GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
95 Gauß, Riemann en gekromde ruimten Riemann en grondslagen van de meetkunde Elliptische meetkunde Positieve kromming Hyperbolische meetkunde Negatieve kromming Som van de hoeken van een driehoek: > 180 o < 180 o Niet-euclidische meetkundes! GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
96 Gauß, Riemann en gekromde ruimten Meten van kromming m.b.v. afstanden 1 Theorema Egregrium van Gauß: Kromming is alleen afhankelijk van afstanden (metriek)... en dus niet van de inbedding in de omliggende ruimte! 2 Trek cirkel met straal r om een punt. Meet de omtrek L(r). Kromming in dat punt: K = 3 π lim 2πr L(r) r 0 r 3 GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
97 Gauß, Riemann en gekromde ruimten Meten van kromming m.b.v. afstanden 1 Theorema Egregrium van Gauß: Kromming is alleen afhankelijk van afstanden (metriek)... en dus niet van de inbedding in de omliggende ruimte! 2 Trek cirkel met straal r om een punt. Meet de omtrek L(r). Kromming in dat punt: K = 3 π lim 2πr L(r) r 0 r 3 GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
98 Meten van kromming: boloppervlak Gauß, Riemann en gekromde ruimten r: straal van cirkel op boloppervlak met straal R u = R sin r R u r R Omtrek cirkel: Kromming: L(r) = 2πR sin r R = 2πR( r R r 3 6R ) K = 3 π lim 2πr L(r) r 0 r 3 = 1 R 2 GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
99 Kromming Poincaréschijf Gauß, Riemann en gekromde ruimten Cirkel met straal r heeft omtrek L(r) = 2πR sinh r R Kromming: K = 3 π lim 2πr L(r) r 0 r 3 = 1 R 2 GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
100 Geodeten en kromming Gauß, Riemann en gekromde ruimten Positieve kromming Negatieve kromming GV () Werelden uit het niets Masterclass, 16 april / 49
Een nieuwe wereld uit het niets
Een nieuwe wereld uit het niets Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G.Vegter@math.rug.nl HOVO, 17 april 2007 1 Overzicht ontents 1 Inleiding 1 2 Het parallellenpostulaat en de Elementen
Ruimte en tijd: overzicht
Overzicht Contents 1 Inleiding 1 2 De klassieke ruimte 2 3 Klassieke mechanica 5 4 Hyperbolische meetkunde 7 5 Gekromde ruimten 11 6 De vierde dimensie 13 7 Ruimte en tijd in de moderne fysica 16 1 Inleiding
De ruimte in de loop van de tijd
De ruimte in de loop van de tijd Gert Vegter Instituut voor Wiskunde en Informatica (RUG) G.Vegter@rug.nl www.math.rug.nl/~gert HOVO, 17 maart 2009 GV () De ruimte in de loop van de tijd HOVO, 17/03/2009
Geschiedenis van de niet-euclidische meetkunde als keuzeonderwerp voor vwo-leerlingen. Geschiedenis van de niet-euclidische meetkunde
Geschiedenis van de niet-euclidische meetkunde als keuzeonderwerp voor vwo-leerlingen Geschiedenis van de niet-euclidische meetkunde Aan de hand van inhoud zebra-boekje Ideeën voor onderzoeksopdrachten
Escher in Het Paleis. Wiskundepakket. Oneindigheid
Escher in Het Paleis Wiskundepakket Oneindigheid Oneindigheid Wiskundigen hebben weinig moeite met het begrip oneindigheid. Er zijn bijvoorbeeld oneindig veel getallen, een lijn is oneindig lang en oneindig
27 Macro s voor de schijf van Poincaré
27 Macro s voor de schijf van Poincaré 27.1 Inleiding In het secundair onderwijs zijn leerlingen vertrouwd met de Euclidische meetkunde. In het Euclidisch vlak geldt het beroemde 5 de parallellen postulaat:
Meetkunde en Fysica. Henk Broer. Instituut voor Wiskunde en Informatica Rijksuniversiteit Groningen. Meetkunde en Fysica p.1/22
Meetkunde en Fysica Henk Broer Instituut voor Wiskunde en Informatica Rijksuniversiteit Groningen Meetkunde en Fysica p.1/22 Overzicht Meetkundige aspecten van natuurkunde: - Newton en schalingswetten
Niet-euclidische meetkunde
Keuzeonderdeel Wiskunde D Hans van Ballegooij Maaslandcollege, Oss Dictaat Versie: 20 februari 2013 Hans van Ballegooij Maaslandcollege Oss Inhoudsopgave 1 De elementen van Euclides 1 2 Niet-euclidische
Niet-euclidische meetkunde. Les 3 Meetkunde op de bol
Niet-euclidische meetkunde Les 3 Meetkunde op de bol (Deze les sluit aan bij de paragrafen 2.1 en 2.2 van de tekst Niet-Euclidische meetkunde van de Wageningse Methode) Kun je het vijfde postulaat afleiden
Een vergelijking tussen boldriehoeksmeetkunde en hyperbolische driehoeksmeetkunde
Een vergelijking tussen boldriehoeksmeetkunde en hyperbolische driehoeksmeetkunde A. Vervuurt, P.F. de Haan, W.J. van Krieken Begeleider: Prof. dr. J.P. Hogendijk juni 010 Samenvatting We trekken een vergelijking
Meetkundige Ongelijkheden Groep 2
Meetkundige Ongelijkheden Groep Trainingsweek Juni 009 1 Introductie We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor het gemak laten we de absoluutstrepen weg. De lengte van een lijnstuk XY wordt dus
3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies.
3 Cirkels, Hoeken en Bogen. Inversies. 3.1. Inleiding Het derde college betreft drie onderwerpen (hoeken, bogen en inversies), die in concrete meetkundige situaties vaak optreden. Dit hoofdstuk is bedoeld
Waarom bij de Grieken?
Waarom bij de Grieken? Geografische, staatkundige omstandigheden Handel, contact met volkeren Rijkdom en slavernij, tijd om na te denken 1 Drie perioden 600 voj 400 Oud-Griekse periode (600 323 voj): (Thales,
Analyse met infinitesimalen
Analyse met infinitesimalen Hans Vernaeve Universiteit Gent (Hans Vernaeve) 1 / 15 Infinitesimalen in de 17de en 18de eeuw Infinitesimalen = oneindig kleine getallen. Fysisch hulpmiddel om eigenschappen
Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw)
Samenvatting stellingen uit de meetkunde Moderne Wiskunde voor het VWO (bovenbouw) Meetkunde, Moderne Wiskunde, pagina 1/10 Rechthoekige driehoek In een rechthoekige driehoek is een van de hoeken in 90.
Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen
Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden
De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten
januari 2008 De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten Inleiding Eén van de bekendste meetkundige plaatsen is de middelloodlijn van een lijnstuk. Deze lijn bestaat uit alle punten die gelijke afstand
Vlakke meetkunde. Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting.
Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande hoeken,
Stelling 1.5 Geven isometrieën J 1 en J 2 hetzelfde beeld in drie punten die niet op één lijn liggen, dan zijn ze identiek. Bewijs. De isometrie J 1 2
Lesbrief 8 Isometrieën 1 Inleiding Een één-éénduidige afbeelding van het vlak op zichzelf heet een transformatie van het vlak. Als T 1 en T 2 transformaties zijn, wordt de transformatie T 1 gevolgd door
UNIFORM EINDEXAMEN MULO tevens TOELATINGSEXAMEN VWO/HAVO/NATIN 2009
MINISTERIE VN ONERWIJS EN VOLKSONTWIKKELING EXMENUREU UNIFORM EINEXMEN MULO tevens TOELTINGSEXMEN VWO/HVO/NTIN 009 VK : WISKUNE TUM : VRIJG 0 JULI 009 TIJ : 09.45.45 UUR ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Neem [pr]=[ps] en beschrijf uit r en s twee cirkelbogen met dezelfde straal, die elkaar in c snijden. [cp] is de loodlijn op [ab].
![Neem [pr]=[ps] en beschrijf uit r en s twee cirkelbogen met dezelfde straal, die elkaar in c snijden. [cp] is de loodlijn op [ab].](/thumbs/53/32690877.jpg "Neem [pr]=[ps] en beschrijf uit r en s twee cirkelbogen met dezelfde straal, die elkaar in c snijden. [cp] is de loodlijn op [ab].")
Met a en b als middelpunt en met straal groter dan de helft van [ab] trekt men met dezelfde straal twee cirkelbogen, die elkaar snijden in c en d; cd is de middelloodlijn en m het midden van [ab] Neem
De arbelos. 1 Definitie
De arbelos 1 Definitie De arbelos is een meetkundige figuur die bestaat uit drie aan elkaar rakende halve cirkels. De raakpunten liggen op een lijn. In onderstaande tekening is de arbelos de paarse figuur.
relativiteitstheorie
Algemene relativiteitstheorie HOVO cursus Jo van den Brand Les 3: 19 november 2015 Copyright (C) Vrije Universiteit 2015 Inhoud Speciale relativiteitstheorie Inertiaalsystemen Bewegende waarnemers Relativiteitsprincipe
Laat men ook transversalen toe buiten de driehoek, dan behoren bij één waarde van v 1 telkens twee transversalen l 1 en l 2. Men kan ze onderscheiden
Lesbrief 6 Meetkunde 1 Hoektransversalen in een driehoek ABC is een driehoek. Een lijn l door een hoekpunt A van de driehoek heet een hoektransversaal van A. We zullen onderzoeken onder welke voorwaarden
Hoofdstuk 8 : De Cirkel
- 163 - Hoofdstuk 8 : De Cirkel Eventjes herhalen!!!! De cirkel met middelpunt O en straal r is de vlakke figuur die de verzameling is van alle punten die op een afstand r van O liggen. De schijf met middelpunt
Meetkundige constructies Leerlingmateriaal
Meetkundige constructies Leerlingmateriaal Nynke Koopmans Roeland Hiele Historical Aspects of Classroom Mathematics Universiteit Utrecht, juni 2013 Inleiding Inleiding Een meetkundige constructie is een
héöéäëåéçéå=~äë=ãééíâìåçáöé=éä~~íëéå=ãéí=`~äêá= = hçéå=píìäéåë= = = = = = = =
héöéäëåéçéå~äëãééíâìåçáöééä~~íëéåãéí`~äêá hçéåpíìäéåë De algemene vergelijking van een kegelsnede is van de vorm : 2 2 ax by 2cxy 2dx 2ey f 0 met a, b, c, d, e, f + + + + +. Indien je vijf punten van een
OEFENTOETS VWO B DEEL 3
OEFENTOETS VWO B DEEL 3 HOOFDSTUK 0 MEETKUNDE MET VECTOREN OPGAVE Gegeven zijn de vectoren a, b en c die vanuit O de hoekpunten van driehoek ABC aanwijzen. Het punt P is het midden van AB, het punt Q is
9.0 Voorkennis [1] Definitie bissectrice: De bissectrice van een hoek is de lijn die de hoek middendoor deelt. Willem-Jan van der Zanden
![9.0 Voorkennis [1] Definitie bissectrice: De bissectrice van een hoek is de lijn die de hoek middendoor deelt. Willem-Jan van der Zanden](/thumbs/93/111797186.jpg "9.0 Voorkennis [1] Definitie bissectrice: De bissectrice van een hoek is de lijn die de hoek middendoor deelt. Willem-Jan van der Zanden")
9.0 Voorkennis [1] Definitie middelloodlijn: De middelloodlijn van een lijnstuk is de lijn door het midden van dat lijnstuk die loodrecht op dat lijnstuk staat. Definitie bissectrice: De bissectrice van
1 Introductie. 2 Oppervlakteformules
Introductie We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor het gemak laten we de absoluutstrepen weg. De lengte van een lijnstuk XY wordt dus ook weergegeven met XY. Verder zullen we de volgende notatie
Overzicht eigenschappen en formules meetkunde
Overzicht eigenschappen en formules meetkunde xioma s Rechten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken 5 e cirkel 6 Veelhoeken 7 nalytische meetkunde Op de volgende bladzijden vind je de eigenschappen en formules
Inversie. Hector Mommaerts
Inversie Hector Mommaerts 2 Hoofdstuk 1 Definities en constructies 1.1 Definitie We weten hoe we een punt moeten spiegelen rond een rechte. We gaan nu kijken hoe we een punt spiegelen rond een cirkel.
12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1]
![12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1]](/thumbs/56/38183601.jpg "12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1]")
12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1] Stelling van de constante hoek: Voor de punten C en D op dezelfde cirkelboog AB geldt: ACB = ADB. Omgekeerde stelling van de constante hoek: Als punt D aan dezelfde
Hoofdstuk 1 LIJNEN IN. Klas 5N Wiskunde 6 perioden
Hoofdstuk LIJNEN IN Klas N Wiskunde 6 perioden . DE VECTORVOORSTELLING VAN EEN LIJN VOORBEELD. Gegeven zijn de punten P (, ) en Q (, 8 ). Gevraagd: de vectorvoorstelling van de lijn k door P en Q. Methode:
E = mc². E = mc² E = mc² E = mc². E = mc² E = mc² E = mc²
E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² De boom en het stokje staan loodrecht op de grond in het park. De boom is 3 en het stokje 1. Hoe lang is de schaduw van het stokje
Meetkunde. Trainingsweekend 23 25 januari 2009. 1 Gerichte hoeken. gerichte hoeken, driehoeksongelijkheid, Ravi
Meetkunde gerichte hoeken, driehoeksongelijkheid, Ravi Trainingsweekend 23 25 januari 2009 Als je een meetkundig probleem aan het oplossen bent, stuit je vaak op verschillende oplossingen voor de verschillende
Voorkennis meetkunde (tweede graad)
Voorkennis meetkunde (tweede graad) 1. Vlakke meetkunde Lengten van de zijden en grootte van de hoeken van driehoeken en vierhoeken - De som van de hoeken van een driehoek is 180 - Bij een rechthoekige
De constructie van een raaklijn aan een cirkel is, op basis van deze stelling, niet zo erg moeilijk meer.
Cabri-werkblad Raaklijnen Raaklijnen aan een cirkel Definitie Een raaklijn aan een cirkel is een rechte lijn die precies één punt (het raakpunt) met de cirkel gemeenschappelijk heeft. Stelling De raaklijn
Antwoordmodel - Vlakke figuren
Antwoordmodel - Vlakke figuren Vraag 1 Verbind de termen met de juiste definities. Middelloodlijn Gaat door het midden van een lijnstuk en staat er loodrecht op. Bissectrice Deelt een hoek middendoor.
STELLINGEN & BEWIJZEN 5VWO wiskunde B 1 e versie
STELLINGEN & BEWIJZEN 5VWO wiskunde B 1 e versie Euclides van Alexandrië (ca. 265-200 v.chr.) Thales van Milete (ca. 624 v.chr. - 547 v.chr.) INHOUDSOPGAVE Algemene begrippen..blz. 1-3 - Stelling en bewijs
Hoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen
Hoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen Les 0 (Extra) Aant. Voorkennis: Hoeken en afstanden Theorie A: Sinus, Cosinus en tangens O RHZ tan A = A RHZ O RHZ sin A = SZ A RHZ cos A = SZ Afspraak: Graden afronden
4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden
4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In
Spelen met passer en liniaal - werkboek
Spelen met passer en liniaal - werkboek Basisconstructie 1: het midden van een lijnstuk (de middelloodlijn) Gegeven: lijnstuk AB. Gevraagd: het midden van lijnstuk AB. Instructie Teken (A, r) en (B, r)
Origami Meetkunde. Peter Lombaers en Jan-Willem Tel 26 mei 2011
Origami Meetkunde Peter Lombaers en Jan-Willem Tel 26 mei 2011 Samenvatting In dit dictaat beschouwen we een manier om hoeken en afstanden te construeren: origami. We vergelijken het met het construeren
Wiskunde voor relativiteitstheorie
Wiskunde voor relativiteitstheorie HOVO Utrecht Les 1: Goniometrie en vectoren Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Overzicht colleges 1. College 1 1. Goniometrie 2. Vectoren 2. College
Stelling van Pythagoras
1 of 6 Stelling van Pythagoras Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie De stelling van Pythagoras is een wiskundige stelling die zijn naam dankt aan de Griekse wiskundige Pythagoras. 'Zijn' stelling was overigens
14.0 Voorkennis. sin sin sin. Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel:
14.0 Voorkennis Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel: a b c sin sin sin Voorbeeld 1: Gegeven is ΔABC met c = 1, α = 54 en β = 6 Bereken a in twee decimalen nauwkeurig. a c sin sin a 1 sin54 sin64
Vlaamse Wiskunde Olympiade 2007-2008: tweede ronde
Vlaamse Wiskunde lmpiade 2007-2008: tweede ronde 1 Jef mit cola met whisk in de verhouding 1 : In whisk zit 40% alcohol Wat is het alcoholpercentage van de mi? () 1, (B) 20 (C) 25 () 0 (E) 5 2 ver jaar
Passermeetkunde een bewijs van de stelling van Mohr-Mascheroni. Mascheroni DICK KLINGENS. aaaaa
- 1 Passermeetkunde een bewijs van de stelling van Mohr-Mascheroni Mascheroni DICK KLINGENS 1. Probleemstelling Stelling. Iedere constructie in het euclidische vlak die met passer en liniaal mogelijk is,
UNIFORM EINDEXAMEN MULO tevens TOELATINGSEXAMEN VWO/HAVO/NATIN 2009
MINISTERIE VN ONERWIJS EN VOLKSONTWIKKELING EXMENUREU UNIFORM EINEXMEN MULO tevens TOELTINGSEXMEN VWO/HVO/NTIN 009 VK : WISKUNE TUM : VRIJG 0 JULI 009 TIJ : 09.45.45 UUR ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden
4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In
11.1 De parabool [1]
![11.1 De parabool [1]](/thumbs/51/28339750.jpg "11.1 De parabool [1]")
11.1 De parabool [1] Algemeen: Het punt F heet het brandpunt van de parabool. De lijn l heet de richtlijn van de parabool. De afstand van F tot l heet de parameter van de parabool. Defintie van een parabool:
Wiskunde 1b Oppervlakte
PROFESSIONELE BACHELOR IN HET ONDERWIJS SECUNDAIR ONDERWIJS Auteur: Greet Verhelst, Eddy Greunlinx Lector: Academiejaar 2016-2017 Inhoudsopgave 1 Veelhoekig gebied... 4 2 van een veelhoekig gebied...
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1995-1996 : Tweede Ronde.
Vlaamse Wiskunde Olympiade 995-996 : Tweede Ronde De tweede ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten
INHOUDSTABEL. 1. TRANSFORMATIES (fiche 1) SYMMETRIE (fiche 2) MERKWAARDIGE LIJNEN IN EEN DRIEHOEK (fiche 3)...6
INHOUDSTBEL 1. TRNSFORMTIES (fiche 1)...3 2. SYMMETRIE (fiche 2)...4 3. MERKWRDIGE LIJNEN IN EEN DRIEHOEK (fiche 3)...6 4. VLKKE FIGUREN: DRIEHOEKEN (fiche 4)...7 5. VLKKE FIGUREN: BIJZONDERE VIERHOEKEN
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde.
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1996 1997: Eerste Ronde De eerste ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten Per goed antwoord krijgt hij
De Stelling van Pascal Inhoud
De Stelling van Pascal Inhoud 1 Inleiding De stelling van Pascal voor een cirkel en ellips 3 De stelling van Pascal voor hyperbolen en parabolen 4 De stelling van Pappus 5 Een bewijs van Jan van IJzeren
Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 20 mei 13.30-16.30 uur
Eamen HAV 2015 1 tijdvak 1 woensdag 20 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B (pilot) Dit eamen bestaat uit 16 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten
Samenvatting VWO wiskunde B H04 Meetkunde
Samenvatting VWO wiskunde B H04 Meetkunde Getal & Ruimte editie 11 Goniometrie in rechthoekige driehoeken Stap 1: Zoek de rechthoekige driehoeken Figuur 1: Ga na dat in dit voorbeeld alleen ADC en DBC
Hoofdstuk 2 : VLAKKE FIGUREN
1 / 6 H2 Vlakke figuren Hoofdstuk 2 : VLAKKE FIGUREN 1. Wat moet ik leren? (handboek p. 46-74) 2.1 Herkennen van vlakke figuren In verband met een veelhoek: a) een veelhoek op de juiste wijze benoemen.
Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 20 juni uur
Wiskunde B Profi (oude stijl) Eamen VW Voorbereidend Wetenschappelijk nderwijs Tijdvak 2 Woensdag 20 juni 3.30 6.30 uur 20 0 Voor dit eamen zijn maimaal 78 punten te behalen; het eamen bestaat uit 4 vragen.
Driehoeksongelijkheid en Ravi (groep 1)
Driehoeksongelijkheid en Ravi (groep 1) Trainingsdag 3, april 009 Driehoeksongelijkheid Driehoeksongelijkheid Voor drie punten in het vlak A, B en C geldt altijd dat AC + CB AB. Gelijkheid geldt precies
Algemene relativiteitstheorie
Algemene relativiteitstheorie en hoe u die zelf had kunnen bedenken. HOVO Utrecht les 3 en 4: Covariant differentiëren en kromming Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Programma 1 1.
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Tweede Ronde.
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1993-1994 : Tweede Ronde De Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw is een officiële foreign coordinator voor de welbekende AHSME-competitie (American High School Mathematics Examination
ICT-LEERLIJN (met GeoGebra) Luc Gheysens WISKUNDIGE COMPETENTIES
ICT-LEERLIJN (met GeoGebra) Luc Gheysens www.gnomon.bloggen.be WISKUNDIGE COMPETENTIES 1 Wiskundig denken 2 Wiskundige problemen aanpakken en oplossen 3 Wiskundig modelleren 4 Wiskundig argumenteren 5
Soorten lijnen. Soorten rechten
Soorten lijnen ik zeg ik teken ik noteer ik weet een punt A A een rechte a a Een rechte heeft geen begin- en eindpunt. een halfrechte [A een halfrechte heeft B] een beginpunt of een eindpunt een lijnstuk
Hoofdstuk 1 Spiegelen in lijn en in cirkel. Eigenschappen.
Hoofdstuk 1 Spiegelen in lijn en in cirkel. Eigenschappen. Jakob Steiner (Utzenstorf (kanton Bern), 18 maart 1796 - Bern, 1 april 1863) was een Zwitsers wiskundige. Hij wordt beschouwd als een van de belangrijkste
Algemene relativiteitstheorie
Algemene relativiteitstheorie en hoe u die zelf had kunnen bedenken. HOVO Utrecht les 3 en 4: Covariant differentiëren en kromming Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist g 00 Programma
WISKUNDE 5 PERIODEN. DATUM : 4 juni 2010. Formuleboekje voor de Europese scholen Niet-programmeerbare, niet-grafische rekenmachine
EUROPEES BACCALAUREAAT 2010 WISKUNDE 5 PERIODEN DATUM : 4 juni 2010 DUUR VAN HET EXAMEN : 4 uur (240 minuten) TOEGESTANE HULPMIDDELEN : Formuleboekje voor de Europese scholen Niet-programmeerbare, niet-grafische
Vl. M. Nadruk verboden 1
Vl. M. Nadruk verboden 1 Opgaven 1. Hoeveel graden, minuten en seconden zijn gelijk aan rechte hoek? van een rechte hoek resp van een 2. Als = 25 13 36, = 37 40 56, = 80 12 8 en = 12 36 25, hoe groot is
Bewijzen onder leiding van Ludolph van Ceulen
Bewijzen onder leiding van Ludolph van Ceulen 1540 1610 Margot Rijnierse Inleiding In de tijd van Ludolph van Ceulen hadden de meetkundige geleerden belangstelling voor de geschriften van de oude Grieken,
Wiskunde oefentoets hoofdstuk 10: Meetkundige berekeningen
Wiskunde oefentoets hoofdstuk 0: Meetkundige berekeningen Iedere antwoord dient gemotiveerd te worden, anders worden er geen punten toegekend. Gebruik van grafische rekenmachine is toegestaan. Succes!
1 Het midden van een lijnstuk
Inleiding Deze basisconstructies worden aan de leerlingen gegeven in de vorm van werkbladen voor zelfstandig werken. Met behulp van een beginschets van de gegevens en de constructiebeschrijving maken de
P is nu het punt waarvan de x-coördinaat gelijk is aan die van het punt X en waarvan de y-coördinaat gelijk is aan AB (inclusief het teken).
Inhoud 1. Sinus-functie 1 2. Cosinus-functie 3 3. Tangens-functie 5 4. Eigenschappen 4.1. Verband tussen goniometrische verhoudingen en goniometrische functies 8 4.2. Enkele eigenschappen van de sinus-functie
Wiskunde voor relativiteitstheorie
Wiskunde voor relativiteitstheorie Utrecht Les : Goniometrie en vectoren Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist verzicht colleges. College. Goniometrie 2. Vectoren 2. College 2. Matrixen
Cabri-werkblad Negenpuntscirkel
Cabri-werkblad Negenpuntscirkel 0. Vooraf - Bij dit werkblad wordt kennis verondersteld van de eigenschappen van parallellogrammen, rechthoekige driehoeken en van de elementaire eigenschappen van de koordenvierhoek.
Voorbereidende sessie toelatingsexamen
1/7 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Algebra en meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 25 april 2018 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal beschikbaar
12 Bewijzen in de vlakke meetkunde
ewijzen in de vlakke meetkunde bladzijde 54 a ' b Gegeven: e gelijkzijdige driehoek met zijn omgeschreven cirkel. unt ligt op de kortste boog en ligt op het verlengde van zo, dat =. riehoek is gelijkzijdig.
Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 8 juli 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een
Einstein, Euclides van de Fysica Door Prof. Henri Verschelde
Einstein, Euclides van de Fysica Door Prof. Henri Verschelde Albert Einstein en Euclides Geboren te Ulm op 14 maart 1879 Als kind geinteresseerd in Wiskunde en wetenschappen:magneten,electromotoren, wiskundige
Niet-euclidische meetkunde
Keuzeonderdeel Wiskunde D Hans van Ballegooij Maaslandcollege, Oss Dictaat Versie: 15 februari 2013 Een Wiskunde D-module voor HAVO/VWO 5 leerlingen die: Meer willen weten over Niet-euclidische meetkunde
2 Wiskunde. 2.1 Bolmeetkunde
1 Inleiding Een centraal probleem in de moderne theoretische natuurkunde is het verenigen van quantumtheorie en zwaartekracht. Een mogelijke aanpak is holografie, bedacht door onze Nobelprijswinnaar Gerard
UNIFORM EINDEXAMEN MULO 2011
MINISTERIE VN ONDERWIJS EN VOLKSONTWIKKELING EXMENUREU VK : WISKUNDE - DTUM: VRIJDG 08 JULI 0 TIJD : 09.0.0 UUR DEZE TK ESTT UIT 5 ITEMS. UNIFORM EINDEXMEN MULO 0 INDIEN NIET NDERS VERMELD, IS ELKE VRIELE
De Codes van da Vinci, Bach, pi, en Co
1 De Codes van da Vinci, Bach, pi, en Co wiskunde Personalia: naam 3. 141 Stelling D. G. A. Huylebrouck Bewijs 3 voornamen, voor de punt cijfer 3 en "." a1, b, c3, Huylebrouck 141. D. G. A. Huylebrouck
Tweepuntsperspectief I
1 G Tweepuntsperspectief I 1. We verlaten even het perspectief en bekijken een vierkant ABCD op ware grootte. M is het middelpunt van het vierkant. PQ is een horizontale lijn door M. Zeg dat P en Q de
2004 Gemeenschappelijke proef Algebra - Analyse - Meetkunde - Driehoeksmeting 14 vragen - 2:30 uur Reeks 1 Notatie: tan x is de tangens van de hoek x, cot x is de cotangens van de hoek x Vraag 1 In een
UNIFORM EINDEXAMEN MULO tevens TOELATINGSEXAMEN VWO/HAVO/NATIN 2007
MINISTERIE VN ONERWIJS EN VOLKSONTWIKKELING EXMENUREU UNIFORM EINEXMEN MULO tevens TOELTINGSEXMEN VWO/HVO/NTIN 007 VK : WISKUNE TUM: WOENSG 04 JULI 007 TIJ : 09.45.5 UUR (TOELTING VWO/HVO/NTIN) 09.45.45
Presentatie Wiskunde Escher
Presentatie Wiskunde Escher Presentatie door M. 2448 woorden 14 januari 2017 4,8 9 keer beoordeeld Vak Wiskunde Maurits Cornelis Escher Goeiemorgen! Iedereen heeft het waarschijnlijk wel eens meegemaakt:
Basisconstructies, de werkbladen 1 Het midden van een lijnstuk
Basisconstructies, de werkbladen 1 Het midden van een lijnstuk Basisconstructie 1 Het lijnstuk AB Neem vanuit A een afstand tussen de benen van de passer die wat groter is dan van A tot het geschatte midden
Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 21 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VWO 07 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 4 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 7 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Extra oefeningen: de cirkel
Extra oefeningen: de cirkel 1. Gegeven een cirkel met middelpunt M en straal r 5 cm en. De lengte van de raaklijnstukken PA PB uit een punt P aan deze cirkel bedraagt 1 cm. Bereken de afstand PM. () PAM
Taalbeleid in wiskunde Transformaties van het vlak
Taalbeleid in wiskunde Transformaties van het vlak Leerplan: Doelgroep: Beginsituatie: Wiskunde 1 ste graad A-stroom 2 de leerjaar A De leerlingen hebben alle transformaties van het vlak (spiegeling, puntspiegeling,
CEVA-DRIEHOEKEN. Eindwerk wiskunde 2010. Heilige-Drievuldigheidscollege 6WeWIi. Soetemans Dokus
CEVA-DRIEHOEKEN Eindwerk wiskunde 010 Heilige-Drievuldigheidscollege 6WeWIi Soetemans Dokus Inhoud 1. Inleiding... 4 1.1. Info over Giovanni Ceva... 4 1.. Wat zijn Ceva-driehoeken?... 4 1.3. Enkele voorbeelden...
Ellips-constructies met Cabri
Ellips-constructies met Cabri 0. Inleiding De meest gebruikte definitie van de ellips luidt: Een ellips is de verzameling van punten () waarvoor de som van de afstanden tot twee vaste punten (F 1 en F,
Voorbereidende sessie toelatingsexamen
1/34 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Veeltermen en analytische meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 29 april 2015 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal
wiskunde B vwo 2017-II
Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande
Escher en de wiskunde van betegelingen
Escher en de wiskunde van betegelingen Gert Heckman IMAPP, Radboud Universiteit, Nijmegen G.Heckman@math.ru.nl 12 november 2012 1 Euclidische meetkunde De Euclidische meetkunde bestudeert configuraties
Gecijferdheid periode D Bijeenkomst 2 Hand-out: Meetkundige begrippen en vormen. Instap. Een opgave uit de oefentoets:
Gecijferdheid periode D Bijeenkomst 2 Hand-out: Meetkundige begrippen en vormen Instap Een opgave uit de oefentoets: Van welke verpakkingen is de vorm een prisma? A. Pak spaghetti blikje chocomel doosje
EEN OUDE STELLING UIT DE MEETKUNDE
www.raves.nl ton@raves.nl EEN OUDE STELLING UIT DE MEETKUNDE LUIDT: Als drie cirkels elkaar onderling snijden, dan zullen de drie koorden (*) ofwel precies in e e n punt snijden, ofwel evenwijdig zijn
Vlakke Meetkunde. Les 1 Congruentie en gelijkvormig
Vlakke Meetkunde Les 1 Congruentie en gelijkvormig (Deze les sluit aan bij het paragraaf 1 van Vlakke Meetkunde van de Wageningse Methode. Vlakke Meetkunde kun je downloaden vanaf de site van de Open Universiteit.