Module 4: Verkeer en files

Transcriptie

1 Module 4: Vereer en files UT-erngroep

2 4.0. Inhoudsopgae Hoofdstu Inhoud Pagina 1 Introductie 3 2 Begrippen en grootheden 4 3 Remwegbereeningen 7 4 Intensiteitsmodellen 11 5 Macroscopische modellen 16 6 Filelengte en filezwaarte 21 7 Fileans 24 8 Bijlagen: 26 Fundamenteel diagram Buigpuntbepaling Grafie filelengte Versie 1: augustus UT-erngroep

3 4.1. Introductie De module Vereer en files heeft een beoogde studielast an zo n 20 uur. In deze module staat het begrip modelleren centraal. Uitgaande an enele afspraen oer begrippen en notaties wordt eerst een eenoudig model an een ereersstroom gemaat. Hierbij wordt een aantal aannames gedaan, die later natuurlij oo ter discussie staan; hun effect wordt onderzocht door waarden te laten ariëren. De uitomsten an een doorgereend model moeten getoetst worden aan de realiteit. Zijn deze erg afwijend, dan olgt een bijstelling an het model. Deze an tot stand omen door het model complexer te maen of te onderzoeen hoe de aangenomen waarden an de dierse parameters aangepast zouden moeten worden. Zodoende ontstaat er een soort cyclisch proces met het oogmer om de realiteit zo goed mogelij te beschrijen. Het spreet anzelf dat deze module niet de oplossing an het fileprobleem beat. De werelijheid is namelij zo ingewield dat het ereer niet in een paar ergelijingen an worden erat. Veel, moeilij te modelleren factoren spelen in het ereer een rol, zoals de diersiteit an het wegennet en ereersaanbod, het complexe menselij gedrag en de weersomstandigheden. Desalniettemin is het toch een uitdaging om met de nodige wisundeennis aan de dierse reenmodellen te weren en om bijoorbeeld na te gaan of fileorming of ereersafwieling te beïnloeden is door een aangepast rijgedrag. Voordat je erder gaat, probeer na te gaan wele factoren of grootheden een rol spelen bij het ontstaan an een file. UT-erngroep 3

4 4.2. Begrippen en grootheden Het modelleren an ereereersstromen, waarbij wij ons hier beperen tot autosnelwegen zonder toe- en afritten, an men op twee nieaus beijen: microscopische modellen: deze beschrijen het plaats-tijd gedrag an indiiduele oertuigen op een weg, wele inloed onderinden an andere oertuigen in zijn buurt. macroscopische modellen: deze zien alle oertuigen op een traject eigenlij samen als een geheel en het ereer wordt gerepresenteerd door ariabelen als dichtheid, intensiteit en snelheid. De oertuigen worden beschouwd als een stroom, net als bij water- of luchtstromen. In het erolg, maar oo in de literatuur worden de olgende grootheden gebruit: symbool omschrijing L lengte an een oertuig; uitgedrut in m x(t) plaats an een oertuig op tijdstip t (t) snelheid an een oertuig op tijdstip t; aa uitgedrut in m/s a(t) ersnelling (ertraging) an een oertuig op tijdstip t; uitgedrut in m/s 2 De onderstaande grootheden zijn afhanelij an twee ariabelen, de plaats (x) en de tijd. Een grafische representatie an deze grootheden is dan oo driedimensionaal (met een t-as, x-as en een as oor de grootheid Q,, of. Diwijls fixeren we één ariabele om redenen an ereenoudiging; x wordt aa gefixeerd. symbool omschrijing Q(x,t) intensiteit: aantal oertuigen per tijdseenheid, aa per uur (x,t) dichtheid: aantal oertuigen per lengte-eenheid, aa per m (x,t) gemiddelde snelheid: afgelegde weg per tijdseenheid, aa in m/u We laten de ariabele x weg als de toestand homogeen is en we laten t weg in een stationaire. symbool omschrijing Q max capaciteit: maximale intensiteit file stremmingsdichtheid (jam density), de maximale dichtheid op een rijstroo (dat is wanneer men bumper aan bumper staat) c capaciteitsdichtheid, de dichtheid als Q maximaal is max maximale gemiddelde snelheid capaciteitssnelheid, de snelheid waarbij Q maximaal is. c Om met erschillende oertuigen bereeningen uit te oeren, heeft men het begrip personenauto-equialent (pae) ingeoerd. Zo telt een rachtwagen als 2 à 3 pae. Voor de stremmingsdichtheid op een snelweg hanteert men meestal 160 pae per m per rijstroo. Dus `gebruit een pae ruim 6 m bij stilstand. 4 UT-erngroep

5 In hoofdstu 4.3 en 4.4 gaan we eerst enele bereeningen uitoeren op microscopisch nieau waarin de nadru ligt op de remweg; de modellen op macroscopisch nieau omen later in hoofdstu 4.5 en 4.6 aan bod. De ereersfile is een beend en steeds aer ooromend erschijnsel. Op een doordeweese dag is het normaal dat er ongeeer 50 files zijn met een totale lengte an zo n 200 m; erreweg de meeste daaran staan op autosnelwegen. File is een steeds aer ooromend erschijnsel Fiillebegriippen Laten we eens ijen wele definities oor file gebruit worden: Zie bij.: Wiipedia of de VereersInformatieDienst. Een file is een erzamelbegrip oor drie soorten stagnerend ereer: langzaam rijdend ereer: ereer dat oer ten minste 2 ilometer nergens harder rijdt dan 50 m/u, maar doorgaans wel sneller dan 25 m/u; stilstaand ereer: ereer dat oer ten minste 2 ilometer rijwel oeral minder dan 25 m/u rijdt; langzaam rijdend tot stilstaand ereer: langzaam rijdend ereer oer eelal wat grotere lengte met hierin op sommige stuen stilstaand ereer. Rijswaterstaat hanteert weer een andere definitie, die gebruit wordt oor de dynamische route-informatiepanelen (DRIP). filezwaarte: om files met elaar te ergelijen, introduceert men het begrip filezwaarte. Deze wordt bereend door de lengte an de file in m te ermeniguldigen met de tijdsduur in minuten. UT-erngroep 5

6 Figuur 1: Grafie filelengte Bron : wiipedia, filelengte 20 en 21 juli De grafie toont het erloop an de totale filelengte (in m) op 20 en 21 juli De druste uren zijn de spitsuren met de grootste filelengte. Achter in de bijlage tref je een ergroting an deze figuur aan. 1). Beij boenstaande grafie an de filelengte. a) Hoe wordt de filezwaarte in de figuur weergegeen? b) Wat alt er te zeggen oer de filezwaarte op 20 juli? c) Beschrijf het erschil tussen de ochtend- en aondspits op deze dag. d) Valt er iets te zeggen oer het aantal files? 6 UT-erngroep

7 4.3. Remwegbereeningen Alorens allerlei modellen te bespreen, gaan we eerst proberen zelf een oorstelling te maen. In modellen spelen ele ariabelen een rol, maar we beperen ons eerst tot formules die slechts an één ariabele afhangen Veiilliige affsttand 2). Ga uit an de olgende denbeeldige situatie: Op een weg rijden auto s met een snelheid an 80 m per uur. Alle auto s houden een onderlinge afstand an 45 meter. De lengte an een auto is 4 meter. Per auto is dus 49 meter weg nodig. Langs deze weg staan borden met daarop de test : Houd 2 seconden afstand. a) Maa een schets en onderzoe of de auto s in deze situatie hieraan oldoen. b) Bereen het aantal auto s dat per uur een bepaald punt passeert (= intensiteit). Neem aan dat de remafstand, r, slechts afhanelij is an de snelheid (in de pratij zal dat niet zo zijn, immers weersgesteldheid, reactieermogen an de bestuurder en remracht an de auto zijn niet te onderschatten ariabelen). Dit leidt tot een in de pratij gehanteerde uistregel oor de remweg: 2 r =, met in m/s. 10 Het getal 10 heeft te maen met de wettelij astgestelde minimale remertraging. c) Het getal 10 is de waarde an een ariabele. Wele eenheid heeft die ariabele? 2 seconden afstand: Ten behoee an een eilige afstand begint men te tellen wanneer de oorliggende auto een ast punt passeert (b.. een ereersbord of hectometerpaaltje). Zijn er twee seconden erstreen tussen het passeren an de oorligger en het passeren an de eigen auto, dan wordt er een eilige afstand erondersteld. 3). Hoe meet je (zoiets simpels als) je eigen snelheid in de olgende situatie: je rijdt in een auto met een defecte of ondeugdelije snelheidsmeter op een weg waar de maximumsnelheid 100 m/u is. Verder heb je een horloge (met secondenwijzer) en staan er hectometerpaaltjes langs de weg. 4). Een oertuig heeft op tijdstip t 0 een snelheid 0, en begint eenparig te remmen met een remertraging an a m/s 2. Leid dan af dat de remweg controleer de dimensies a is en UT-erngroep 7

8 2 0 5). De formule s =, un je grafisch inzichtelij maen. In onderstaande 2a grafie, figuur 2, is een in de pratij gebruielije waarde oor de remertraging gebruit. Den na oer de eenheden langs de assen. a) Schat hoeeel meter de remweg erschilt bij 30 m/u en 50 m/u? b) Bereen hoe groot de waarde an de remertraging, a, is, in de grafie. Figuur 2: Grafie remweg-snelheid 8 UT-erngroep

9 Reacttiiettiijjd en wriijjiingscoëffffiiciiëntt Oer de remweg alt olgens Wiipedia nog het olgende te melden: Remweg is de afstand die een oertuig aflegt terwijl er wordt geremd. De remweg is afhanelij an de aanangssnelheid en de remertraging. De remafstand an worden bereend door: het wadraat an de snelheid (in meters per seconde) gedeeld door 2 x de remertraging (in meters per seconde 2 ). De stopafstand is de afstand die een oertuig nodig heeft om tot stilstand te omen anaf het moment dat de bestuurder een geaar waarneemt. Tijdens de reactietijd (meestal wordt uit gegaan an 1 seconde, de zgn. "schriseconde") rijdt het oertuig immers nog gewoon door. De afstand die hierbij wordt afgelegd heet de reactieweg. Reactieweg en remweg samen ormen de stopafstand. In het oorbeeld an een personenauto met een aanangssnelheid an 90 m/uur (25 m/s) moet men bij de remweg dus nog eens 25 meter optellen om de stopafstand te bepalen. Bij motorfietsen is de stopafstand aanmerelij groter. Een getrainde motorrijder bereit een remertraging an 8 à 9 m/s 2, een gemiddelde motorrijder slechts een remertraging an 6 à 7 m/s 2. Men an dus de gewenste afstand tussen twee achter elaar rijdende auto s opsplitsen in twee gedeelten: een reactieafstand en de feitelije remweg. Voor het bepalen an de remweg is de wrijingscoëfficiënt (c) tussen de weg en de banden een belangrije parameter. In onderstaand figuur 3 (hao eindexamen Wi. A an 2003) worden de olgende ariabelen gebruit: 0 : de snelheid in m/s, t reactie : de reactietijd tot het intrappen an de rem in s, c : de wrijingscoëfficiënt tussen de weg en de banden. Figuur 3: Grafische weergae remweg 1 2 Uit figuur 3 olgt de formule oor de remweg: s = 0treactie c Hierin is s de remweg in meters, de snelheid in m/s. UT-erngroep 9

10 6). Wat wordt de formule als je de snelheid in m/u neemt, terwijl je s (m) en t (s) ongewijzigd laat? In boengenoemd examen werden oor een aantal soorten wegde de waarden an c, de wrijingscoëfficiënt, gegeen: droog nieuwe wegde banden beton 0,85 asfalt 0,80 zandweg 0,50 Voor het rijden op asfalt bij drie natte weersgesteldheden werd gegeen oor c: nat asfalt nieuwe banden 1 mm water 0,55 2 mm water 0,45 ijs 0,10 Het is illustratief om de erschillende remwegen te beijen bij erschillende weersgesteldheden op asfalt. In onderstaande grafie is de remweg op asfalt weergegeen oor drie erschillende waarden an c uitgaande an nieuwe banden (resp. c=0,80, 0,55 en 0,10). 7). Vergelij de in figuur 4 gebruite formules met onze formule oor de remweg. Wele reactietijd heeft men in de grafie gehanteerd? Figuur 4: Remweg bij erschillende wrijingscoëfficiënten Zo is al heel snel te zien wele enorme erschillen er bestaan. Neem je b.. een snelheid an x=10 m/s (dus 36 m/u) dan zal er bij droog weer een remweg an 16,25 m ontstaan. Is er daarentegen ijs, dan bedraagt de remafstand bijna ier eer zoeel (maar liefst 60 m; ga na!). 10 UT-erngroep

11 4.4. Intensiteitsmodellen In dit hoofdstu ontwerpen we een microscopisch model oor de intensiteit Q, en gaan we na onder wele condities Q maximaal is; dit maximum wordt de capaciteit genoemd. Er wordt oo reening gehouden met een zeere reactietijd. De 2- secondenregel omt oo nog een aan bod. Er wordt uitgegaan an identiee auto s. 8). Onderzoe hoeeel oertuigen een bepaald punt langs een (snel)weg passeren door op erschillende momenten te meten. Probeer een idee te rijgen wele waarden de ariabele Q (intensiteit per rijstroo) an aannemen (langs de weg, op een iaduct of bij. ia een geschite website). Wat is handig, Q per seconde of Q per uur? Ga er nu an uit dat er sprae is an een stationaire toestand: men rijdt met 2 constante snelheid en houdt als eilige afstand steeds de remafstand 2a aan. 9). T is de tijd, nodig om de eigen lengte L plus de remafstand af te leggen. a) Stel een formule op oor T en controleer de dimensies weer. b) Ga na dat oor de intensiteit Q geldt: omgeeerd eenredig is met T. -1 Q = 1 / T = T. Dat beteent dus dat Q c) Bereen algebraïsch oor wele snelheid dan Q = Q() maximaal is (de capaciteit) en toon aan dat geldt: Q max = (Let weer op de dimensies.) a 2L oor = 2aL d) Wat is de beteenis an Q max? Bereen de capaciteit bij a=8 en L=6. UT-erngroep 11

12 Inlloed an de reacttiiettiijjd op de iinttensiitteiitt Op grond an het boenstaande ga je het model oor T en Q uitbreiden met de reactietijd. 10). Ga uit an een reactietijd an t seconden. Bereen opnieuw T en Q en bepaal Q max, die nu oo afhangt an de reactietijd: Q max (t). Mer op dat Q max (t) in ergelijing met Q max afgenomen is, want 1 Qmax Q max (t) = = < Q max omdat t > tqmax + t Q max 1 11). Laat zien dat Q max (t=1) geschreen an worden als: ( 2aL a) 2L a. Natuurlij zal oor toenemende reactietijd, T toenemen, waardoor Q en Q max afnemen. We gaan dat nu onderzoeen. 12). Beschouw daartoe de relatiee afname. Neem getallenoorbeelden met t=1; ies eerst a = 2L en dan b. a=l=6. Eentueel unnen er andere waarden oor t genomen worden. Beden nog steeds dat Q = 1 beteent dat er per seconde 1 oertuig passeert, dus 3600 oertuigen per uur. Tot nu toe gingen we uit an een eenparige remertraging. L + f ( ) Een wat algemener model is bij.: T =, met f een zeere functie. 13). We onderzoeen opnieuw hoe Q max an L en f() afhangt. a) Toon aan dat Q max erregen wordt als oldoet aan: L + f ( ) = f '( ) en noem deze optimale snelheid opt. b) 2 Neem oor f() de eerder gebruite remweg 2a met reactietijd t=0 en controleer of Q max = a. 2L 12 UT-erngroep

13 Nogmaalls reacttiiettiijjd,, remweg,, en sttopaffsttand Na een bepaalde reactietijd begint men met remmen. Hoe goed een auto oo remt, hoe hard je het pedaal oo indrut en hoe prima het ABS oo ingrijpt, een auto heeft nu eenmaal een bepaalde afstand nodig om tot stilstand te omen. In onderstaande tabel staan een statistisch astgestelde gemiddelde remweg en stopafstand (bij normaal wegde en goed weer) per snelheid in m/u en m/s gegeen; hierbij is steeds dezelfde reactietijd erondersteld (zie oo bij. in m/u in m/s remweg in m stopafstand in m , , ,7 17, ,2 30, ,8 48, ,3 69, ,9 94, ). Probeer eerst de reactietijd te bepalen en erolgens de hierboen gehanteerde formule die de totale afstand (= stopafstand) geeft als functie an. Soms hanteert men de olgende uistregel oor de remweg: Deel de snelheid in m/u door 2 en erhoog dat met 10%. Als je deze uitomst dan erolgens in m neemt, rijg je de remweg. 15). Laat zien dat deze uistregel oereenomt met een remweg olgens de 2- secondenregel. Wele afwijing heeft de uistregel t.o.. de 2-secondenregel? Stel dat je de uistregel niet oor de remweg, maar oor de stopafstand gebruit met een reactietijd an 1 s en a=8 m/s 2. 16). Dru de stopafstand uit in met in m/u en plot de grafie samen met die an de uistregel s = 0, 55 in een figuur [ 0 80]. (Dit moet onderstaande grafie opleeren.) UT-erngroep 13

14 Figuur 5: Stopafstand en uistregel 17). Wat is de grootste afwijing tussen de uistregel en de formule oor de stopafstand in het domein [ 0 60] ; bij wele snelheid is dat? Mer op dat door de wadratische term in de stopafstand deze anaf 60 m/u steeds erder gaat afwijen an de uistregel; tot ca. 70 m/u is de uistregel een heel redelije benadering. Drute bij Eindhoen op de A2. 14 UT-erngroep

15 Excell--practtiicum In het olgende practicum un je zelf constateren hoe de intensiteit afhangt an een aantal parameters. De drie parameters, waaran je de waarden zelf unt instellen, zijn de remertraging in m/s 2, de reactietijd in s, en de oertuiglengte in m. Verolgens is direct te zien hoe de intensiteit Q erandert. Oo zie je wat de capaciteit Q max wordt. Er worden feitelij twee modellen aan elaar genoopt : oor lage snelheden wordt de stopafstand met wadratische remweg genomen, terwijl oor hogere snelheden de 2-secondenregel gehanteerd wordt. De reden daaran is dat de 2-secondenregel niet zo nodig/geschit is oor een lage snelheid: er zou een iets te grote afstand genomen worden. De snelheid waarbij het ene model in het andere oergaat (het snijpunt), un je trouwens als olgt bereenen: =, waaruit olgt dat t r + = 2, zodat geldt: 1 L L 2a 3,6 t r a 3,6 / 3,6 / 3,6 = 2 r a 3,6(2 t ). Er wordt hierbij wel aangenomen dat t r 2 ; zo niet dan heeft de 2-secondenregel geen zin en olstaat slechts het model met de wadratische remweg. Met a = 6 en t 0, 5 rijg je dan een snelheid an 64,8 m/u. r = Ga nu in het excelprogramma eens bereenen wat er uiteindelij met de capaciteit an een rijstroo gebeurt. Gebrui hieroor het werblad ( combi ), waarin beide remwegmodellen worden gecombineerd. De drie parameters in de gele elden (remertraging, reactietijd en oertuiglengte) un je ariëren. Hiermee zie je oo de grafieen an de intensiteit tegen de snelheid eranderen. Wele inloed hebben de parameters op de intensiteit? UT-erngroep 15

16 4.5. Macroscopische modellen We gaan proberen om een model oor een ereersstroom te ontwielen en analyseren het ontstaan en gedrag an schogolen bij stremmingen. Beschouw de olgende drie grootheden: : de gemiddelde snelheid in m/uur, : de dichtheid, in aantal oertuigen per m, Q: de intensiteit, het aantal oertuigen dat een ast punt per uur passeert. 18). Wat alt er te zeggen oer de boen/ondergrenzen an deze ariabelen? (De boengrens oor de dichtheid noemen we de stremmingsdichtheid. ) In het Engels worden oor de maximale waarden an,, en Q meestal gebruit: free speed (u f ), jam density ( j ) en capacity (Q c ). Wanneer we hier oer gemiddelde snelheid spreen, wordt de gemiddelde trajectsnelheid bedoeld (space mean speed of plaatsgemiddelde snelheid), dat wil zeggen de gemiddelde snelheid an alle oertuigen op een astgesteld wega gedurende een bepaalde tijd. Deze snelheid is het harmonisch gemiddelde an de n indiiduele snelheden, in formuleorm: = n. Dit is iets anders dan het 1 (reenundig) gemiddelde an alle snelheden in een tijdsinteral op één punt (time mean speed of tijdsgemiddelde snelheid). Het harmonisch gemiddelde gebrui je bijoorbeeld oo als je bergop met 12 m/u fietst, bergaf met 30 m/u en de gemiddelde snelheid op het hele traject wilt weten. 19). Op een traject passeren 3 auto s met constante snelheid die resp. 60, 90 en 120 m/u rijden. a) Bereen de space mean speed en time mean speed. i = 1 i Fundamentteell diiagram Het fundamenteel diagram of basisdiagram is de benaming an een diagram dat de relatie weergeeft tussen de plaatsgemiddelde snelheid, dichtheid en intensiteit Q an een ereersstroom oer een weg. Het fundamenteel diagram wordt opgesteld als relatie tussen twee an de drie ariabelen, waarbij de waarde an de derde ariabele direct bereend an worden uit een betreing die er tussen de drie ariabelen bestaat. In de ereersstroomtheorie is de fundamentele relatie het erband tussen, en Q. (Zie oo bijlage 1.) 20). a) Leg uit waarom geldt: Q =. Om zicht te rijgen op dit erband beijen we de onderlinge relaties, tussen twee an de drie ariabelen. Laten we eerst het erband tussen de snelheid en de dichtheid eruit lichten. 16 UT-erngroep

17 Figuur 6: Verband dichtheid snelheid Bron: Vereersmodellen, Bart Slingerland. (i.p.. dichtheid wordt ρ gebruit) Het blijt dat de snelheid eerst nagenoeg niet afneemt en dan redelij snel afneemt naarmate toeneemt. Noem max de maximale gemiddelde snelheid en file de stremmingsdichtheid waarbij de snelheid gelij is aan 0. b) Greenshield ontwielde in 1934 een model dat uitgaat an een lineair erband tussen en (de blauwe lijn in fig. 6). Stel de ergelijing an de lijn op, d.w.z. toon aan dat ( ) = max max file = max (1 file ) c) De focus ligt nu op het erband tussen Q en. Bereen oor wele waarde an, Q maximaal is. Concentreer je op de uitersten en bereen erolgens Q max uitgedrut in max en file. Wele waarde oor Q max olgt daaruit? Is die waarde wel reëel? Wat concludeer je? Nu blijft nog het erband tussen Q en oer. d) Bereen Q als functie an en oor wele waarde an Q maximaal is. Wat wordt Q max? e) Ga uit an het wadratisch erband tussen Q en uit de orige raag en laat zien hoe afhangt an Q. Krijg je als Q= Q max dezelfde snelheid als bij raag d)? Vaa wordt de omgeeerde relatie beschouwd, de relatie dus tussen en Q. Een plaatje (uit Wisundige modellen oor fileorming,an D. Roubos) zie je hieronder, figuur 7: UT-erngroep 17

18 Figuur 7: Verband intensiteit-snelheid Uit figuur 7 blijt dat het erband tussen en Q niet wadratisch is. Het is dus interessant om op basis an de meetgegeens uit figuur 6 een precieser erband tussen en op te stellen, om daarmee het erband tussen en Q te bepalen. Immers, een adiessnelheid is duidelij te maen aan ele automobilist i.t.t. informatie oer intensiteit an het ereer, zodat de grootst mogelije doorstroming te erwezenlijen alt. Kij nog eens naar de rode cure in figuur 6. Dit lijt op een logistisch erband an 1 het type: = a 1, met 0 < g < 1en a,b> b g 21). Probeer eens om geschite waarden oor a,b, en g te inden, zodat de rode cure redelij benaderd wordt. Ga uit an file = 200 en max = 110. Daarnaast un je gebruien dat in het buigpunt geldt: g 1 = (zie oo bijlage 2). b De rode cure wordt in de pratij niet met een logistische maar aa met een andere functie benaderd, waarbij de snelheid bij toenemende dichtheid eerst constant en maximaal wordt erondersteld en erolgens, anaf een bepaalde dichtheid ( c ) omgeeerd eenredig met de dichtheid, totdat de stremmingsdichtheid is bereit. Het blijt dat met deze benadering het fundamenteel -Q-diagram driehoeig is, zoals de blauwe of zwarte lijn in figuur 8. Figuur 8: Verband dichtheid-intensiteit 18 UT-erngroep

19 22). Als Q max wordt bereit bij capaciteitsdichtheid c, en Q=0 bij =0 en = file, toon dan aan dat Q() in het driehoeige fundamentele diagram wordt beschreen max c met: Q = max op [ 0 c] en Q = ( f ) op [ c file]. f c 23). Dru uit in indien Q oldoet aan boengenoemde beschrijing. 24). Geef een schatting an de capaciteit an de weg in figuur 6 als uitgegaan wordt an een driehoeig fundamenteel -Q-diagram Vereersbehoudwett Danzij de fundamentele relatie Q = en de bijbehorende fundamentele diagrammen unnen we de ereerstoestand beschrijen oor homogeen, stationair ereer. In werelijheid geldt dit natuurlij niet. We willen een dynamische relatie waarin de fundamentele relatie nog steeds geldig is (behouden blijft), maar dan afhanelij an tijd en plaats: Q ( x, t) = ( x, t) ( x, t). Dit leidt tot een model met een partiële differentiaalergelijing die we erder niet gaan afleiden; deze ergelijing wordt de ereersbehoudwet genoemd: ( x,t) t dqe( ) + d ( z,t) z = z( x,t) Hierin is de laatste term, ( x t) z,, de hoeeelheid ereer die de weg oprijdt (negatief dq als er ereer uitstroomt, zoals bij een afrit). De afgeleide e ( ) of Q e '( ) is de d afgeleide in het -Q-diagram. Medio orige eeuw werd oor het eerst het fundamenteel diagram toegepast in de ereersbehoudwet en dit model werd genoemd naar de ontwerpers: Lighthill, Whitham en Richards: het LWR-model. z, en Q e '( ) beend zijn. We unnen oo het model ereenoudigen door geen op- en afritten te z x, t =0 te stellen. Om de differentiaalergelijing analytisch op te lossen moeten ( x t) eronderstellen, dus ( ) Nu wordt misschien oo duidelij waarom een driehoeig -Q-diagram wordt toegepast in de ereersstroomtheorie. 25). Leg uit waarom het aantreelij is uit te gaan an een driehoeig fundamenteel -Q-diagram. UT-erngroep 19

20 Schogollen Een schogolf is een term uit de analyse die wordt gebruit bij partiële differentiaalergelijingen om een plotselinge erandering an de ene toestand in de andere te beschrijen. In het algemeen an een schogolf worden beschreen als een discontinue drugolf. Een schogolf heeft een bepaalde snelheid en an stroomafwaarts (positief) of stroomopwaarts (negatief) oortbewegen. We gaan deze snelheid bereenen en de richting an de schogolf analyseren. Stel dat we op tijdstip t=0 ons op positie x 0 beinden; oor ons uit, stroomafwaarts ( x > x0 ) is de dichtheid 2 en achter ons, stroomopwaarts ( x < x0 ), is de dichtheid 1, met 1 < 2. We rijden dus de drute tegemoet. Zo n oergang tussen twee toestanden wordt een front genoemd. Noem de snelheid an het front 12. Wij beinden ons in het front en ijen naar het ereer oor en achter ons. De intensiteit stroomopwaarts is Q 1 = 11 en stroomafwaarts uiteraard Q 2 = ). a) Wat is de relatiee intensiteit Q 1R die wij, met onze snelheid 12 stroomopwaarts waarnemen en Q 2R, de relatiee intensiteit stroomafwaarts? Nu geldt oo op het front de ereersbehoudwet. Dit beteent dat de beide relatiee intensiteiten gelij moeten zijn, anders zou loaal ereer ontstaan of erdwijnen. b) Bereen de snelheid 12 an het front en dru deze uit in Q en. Omdat 2 > 1 is de noemer an 12 positief dus is richting an de erplaatsing an de schogolf gelij aan het teen an Q 2 -Q 1. c) Leg nu uit waarom een file zich naar achteren erplaatst als het dru is op de weg. 20 UT-erngroep

21 4.6. Filelengte en filezwaarte Soms worden speciale files genoemd: Op 8 februari 1999 werd de druste ochtendspits nu toe genoteerd. Op het hoogtepunt stond er 975 m aan files, eroorzaat door gladheid door een di pa sneeuw en erdeeld oer 72 files. Ter ergelijing: op een gemiddelde werdag staat er op de rijswegen ongeeer 200 m file op het hoogtepunt an de ochtendspits. Op 25 noember 2005 werd de druste aondspits gemeld: om uur stond er maar liefst 802 m aan files; pas de olgende ochtend om 5.20 uur waren deze opgelost. In de NRC an 27 augustus 1998 was het olgende te lezen: De landelije cijfers bieden echter ooralsnog weinig hoop. Vorig jaar jaar stonden er in Nederland files met een totale lengte an ilometer. Dat is ruim anderhalf eer de aardbol rond, een nieuw record. Het leeuwendeel an die files stond in de Randstad en betrof personenauto's - 80 procent (de rest is rachtereer). Het ost de samenleing een liee duit. Particulieren, bedrijen en de oerheid erloren in 1997 in totaal miljoen gulden door ertraging in de file, zo bereende de Adiesdienst Vereer en Veroer. Het aantal auto's in den lande nadert intussen de zes miljoen. Laten we eens proberen een model an de lengte an een file in de tijd te maen. Feitelij is het een discreet en geen continu model. In het discrete geal zouden we met differentieergelijingen unnen weren. Een continu model leidt tot een differentiaalergelijing, zoals in het orige hoofdstu is beschreen. Een model an een filelengte zou aan de olgende ijf eisen unnen oldoen: 1. Op tijdstip t = t 0 ontstaat er op een rijstroo een bloade (ongelu, geantelde rachtwagen). 2. Er ontstaat een toenemend stijgende rij oertuigen. 3. De file bereit zijn maximum op t = t1 ; op dat moment wordt de ple an het ongeal rij gegeen. 4. De file lost anaf t = t1 sneller op dan dat hij tot t = t1 aangroeit. 5. Op tijdstip t = t2 is de file opgelost. Een mogelije schets an een filelengte F, waarbij op de horizontale as de tijd in uren en op de erticale as de filelengte in m gegeen zijn, ziet er bij. zo uit: UT-erngroep 21

22 Figuur 11: Een mogelije schets an de filelengte 27). In de olgende ragen ga je onderzoeen of een gegeen functie F aan boenstaande ijf oorwaarden oldoet. at c( t t0) e als t0 t t1 bt F( t) = d( t2 t) e als t1 t t2 0 elders Hierin zijn a, b en c positiee constanten, a b, en oldoet d aan een bepaalde betreing omdat F continu ( doorlopend ) is. a) Waarom moet gelden a b en aan wele oorwaarde moet d oldoen? b) Het is duidelij dat F t ) = F( t ) 0, dus aan de 1 e en 5 e oorwaarde is ( 0 2 = oldaan. Om de mate an stijgen en dalen te beijen, ga je nu de functie F differentiëren. Geef de formule an F '( t). c) Toon de 2 e en 3 e oorwaarde aan. Wele oorwaarde doe je eerst? d) Resteert nog de 4 e oorwaarde. Hoe zou je dat wisundig unnen ertalen? e) Probeer zelf een tweedegraadsfunctie te bepalen die oo aan boenstaande ijf oorwaarden oldoet. 28). Zoals eerder ermeld in wordt onder het begrip filezwaarte erstaan de gemiddelde filelengte (in m) ermeniguldigd met de duur an de file (in minuten). In onderstaande tabel is de totale filezwaarte te zien, dat is de som an de totale filezwaarte an de files in 2006 op genoemde locaties: 22 UT-erngroep

23 weg locatie Tot. filezwaarte 1 A4 Zoeterwoude-Rijndij A10 Coenplein A2 Hedel A12 Driebergen A12 Nieuwerbrug A1 Muiden A9 Velsen A12 Nieuwerbrug A9 Holendrecht A13 Kleinpolderplein Bron : a) Beden een formule oor de totale filezwaarte Z; beden zelf wele ariabelen je zou iezen. UT-erngroep 23

24 4.7. Fileans Ter afsluiting an deze module nog iets oor ansen op files. Er zijn dus eel factoren, die de ans op het ontstaan an een file beïnloeden. We noemen er een paar: remans p r, die de noodzaa an het remmen aangeeft (en die is weer afhanelij an de afstand tot een eentuele oorligger), met 0 < p r < 1 waarbij p r = 1 daadwerelij remmen beteent. rijgedrag g : 0 < g < 1; hierbij beteent g = 0 : zeer sociaal gedrag en g = 1 olstret asociaal rijgedrag (maximum) toegestane snelheid wegintensiteit / doorstroming an het ereer Q weersgesteldheid w ; 0 < w < 1 met w = 0 : goed weer, en w = 1 : slecht weer. In tabelorm: 29). Enele (dimensieloze) modellen worden hieronder gegeen. Q P = g w pr Qmax max P = Q Q max 2gw ariabele eenheid minimum maximum p r g m / u Q tg / u w tg / m g 2Q max 1 w p P = pr g + 3( + 1) Q max max r 200 a) Onderzoe de inloed an de erschillende (on)zinnige factoren op de fileans P; neem ooral de uiterste waarden an de parameters. b) Verzin zelf een formule oor P. Beden eerst hoe ster je bepaalde parameters laat meewegen. Uit gegeens blijt bij. dat files ooral ontstaan door oerolle wegen; 20% an alle files wordt eroorzaat door een ongelu en slechts 7% is te wijten aan wegwerzaamheden. Laten we last but not least niet alleen naar het toegenomen aantal files ijen (waaran de definitie weliswaar in de loop der jaren opgeret is), maar toch ooral naar de indruweende afname an het aantal ereersslachtoffers. Zo waren er in 1972 ongeeer 3200 ereersslachtoffers, terwijl er in 2006 slechts 881 doden te betreuren waren; in onderstaande grafie is heel goed te zien hoe ondans de toegenomen mobiliteit en groei an het autopar toch het aantal ongeallen met dodelije afloop door tal an maatregelen (gordels, dodehoespiegels, anti-alcohol 24 UT-erngroep

25 campagnes, ) spectaculair erminderd is. Niet dat we daarom maar files op de oop toe moeten nemen daar alt nog het nodige aan te onderzoeen maar wel dat we, als het om zaen als filebestrijding en ereerseiligheid gaat, toch ooral de laatste als prioriteit moeten aanmeren. Figuur 12: Ontwielingen tussen 1961 en 2002 UT-erngroep 25

26 4.8. Bijlagen Biijjllage 1 Figuur 13: De drie gerelateerde fundamentele diagrammen Door de relatie q = u an op een diagram telens de derde grootheid geonden worden. Op het q-u en het -q diagram wordt de derde grootheid als een hoe oorgesteld. De intensiteit in het -u diagram is een opperlate. De die zwarte lijn op de diagrammen, is de erzameling an alle mogelije stationaire ereerstoestanden. Een dergelij fundamenteel diagram is geldig oor een bepaalde weg en wordt anuit waarnemingen opgesteld. Het stationaire en homogene ereer beindt zich dus altijd in een toestand die zich op de zwarte lijn beindt. In het algemeen wordt uitgegaan an een concaaf -q diagram. Enele speciale toestandspunten erdienen extra aandacht: Volledig rij ereer Wanneer oertuigen niet gehinderd worden door ander ereer, rijden ze met een maximale snelheid u f (free speed). Deze snelheid is afhanelij an de ontwerpsnelheid an de weg en de geldende snelheidsbeperingen. Op dat moment zal de intensiteit en de dichtheid nagenoeg nul zijn. Verzadigd ereer Op een erzadigde weg is de intensiteit en de snelheid nul. De oertuigen staan er in een rij met een maximale dichtheid file (jam density). Capaciteitsereer De capaciteit an een weg wordt gegeen door de maximale intensiteit q c of Q max. Op dat moment is er een bijhorende capaciteitssnelheid u c en een capaciteitsdichtheid c. De capaciteit an een weg wordt dus niet bereit bij de maximale snelheid u f. Bron: 26 UT-erngroep

27 Biijjllage met We bepalen het buigpunt an de logistische romme ( ) = a + 1 b g 0 < g < 1 en a,b>0. 2 d De tweede afgeleide 2 d g ln g. (Schrijf moet 0 zijn. Mer op dat de afgeleide an g als e-macht: ln( g ) e = 1 a ( ) = a 1 = = ( 1 + ) 1 1 a a a b g. + b g 1 + b g ' = d d = a ( 1 + b g ) 2 b g ln g = is dus een dalende functie an. 2 d '' = 2 d 2 ab ln = = ab g g ab g ln g ( 1 + b g ) 2 g gelij is aan ln g e en gebrui de ettingregel.) (n.b. ln g < 0 ). ; ' < ln g g ( 1 + b g ) ab g ln g 2( 1 + b g ) b g ln 4 ( 1 + b g ) 2 ( 1 + b g ) [ 1 + b g 2b g ] ab ln g g [ 1 b g ] = 4 ( 1 + b g ) ( 1 + b g ) 3 '' = 0 als g 1 =. In het buigpunt an geldt dus: b g 1 log b ln b = log = = b log g ln. g '' wisselt bij deze an teen, an naar +; gaat dus an toenemend naar afnemend dalend. g. = Biijjllage 3 Figuur 14: Grafie filelengte Bron : wiipedia, filelengte 20 en 21 juli UT-erngroep 27