1. Voor een interactief tekenprogramma is gewenst dat een gebruiker lijnsegmenten kan aanwijzen.
|
|
- Bart Martens
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 TENTMENOPGVEN Inleiding Technische Toeassingen ècomuter Grahicsè. Voor een interactief tekenrogramma is gewenst dat een gebruiker lijnsegmenten kan aanwijzen. Geef een rocedure om te bealen of een unt x =èx; yè binnen een afstand d van een lijnsegment ligt. Het lijnsegment is gedeænieerd door zijn eindunten =è x ; y èen q =èq x ;q y è. è2 maart 2è. De afstand van het unt x tot het lijnsegment q is de afstand van x tot dat unt van q dat het dichtst bij x ligt. Laat de vector a het verschil tussen de unten q en zijn èa = q, è, en b de vector van unt naar x. Verdelen we het vlak in drie delen door twee lijnen loodrecht oq en door, res q, dan is voor x tussen de lijnen de afstand tot q gelijk aan de afstand tot de loodrechte rojectie van x o q, envoor een x buiten die lijnen is die afstand de afstand van x tot, res. q. Projectie van x o q is het unt y = + ça, waarbij ç zo is dat x, y? a, dus èb, çaè æ a = ofwel ç = b æ a=a æ a: De rojectie y ligt tussen en q als ç ç ç : De afstand is dan èx, yè æ èx, yè = èb, çaè æ èb, çaè = b æ b, 2çb æ a + ç 2 a æ a = b æ b, èb æ aè 2 =a æ a ls ç ç dan is de afstand èx, ; x, è, en als ç ç dan èx, q; x, qè. De functie wordt dan zoiets als: tye Point = record x, y: double end function IPèa,b:Pointè: double; begin IP := a.x*b.x+a.y*b.y end; function distèx,, q: Pointè: double; var ç: double; a; b: Point; begin f a := q, ; b := x, ; nog uitwerken g ç := IPè b, a èèipè a, a è; if çé then dist := sqrtèipè b, b èè else if çé then dist := sqrtèipè x-q, x-q èè else dist := sqrtèipè b, bè-sqrèipè b, a èèèipè a, a èè end; èuitdrukkingen als IPèx-q,x-qè moeten nog nader uitgewerkt worden.è Een andere olossing is een rechthoek te timmeren met q als middellijn en diameter 2d. De hoekunten van deze rechthoek zijn æ d æ a? = a æ a; q æ d æ a? = a æ a, waarin a? =èa y ;,a x è. Deze vector staat loodrecht oa en heeft dezelfde lengte. Het robleem is dan gereduceerd tot: ligt x in deze rechthoek èeen standaard-algoritmeè of in een van de cirkels om en q met straal d. 2. Een Catmull-Rom sline wordt beaald door een reeks van N controle-unten i ;i = ;:::;N. De sline bestaat uit N, 3 segmenten q i ètè, waarbij elk segment gedeænieerd is door: q i ètè = 2 èè,t3 +2t 2, tè i + è3t 3, 5t 2 +2è i+ + è,3t 3 +4t 2 + tè i+2 + èt 3, t 2 è i+3 è:
2 nalyseer de eigenschaen van deze sline: èaè Beaal q i èè; q èè; q i ièè en q èè. Laat zien dat de twee afgeleiden i qèè en i q èè niet i veranderen als alle controle-unten over een vector d worden getransleerd. èbè Geef een kwalitatieve beschrijving van de eigenschaen van de sline. ècè Schets de sline voor de volgende reeks unten: è,è, è,è, è,è, è2, è, è2,è, è3,è. è2 maart 2è. èaè q i èè = i+ ; q i èè = i+2 ; q èè=è i i+2, i è=2; q èè = è i i+3, i+ è=2: ls alle controleunten over een vector d verschoven worden, dan wordt bij de exressie voor q i ètè ookd ogeteld. èlle machten van t vallen weg.è De sline is translatieinvariant. Er geldt: èq dt d iètè+dè =q ètè. i èbè De sline is continu ègeen gatenè: q i èè = q i+ èè: De richting van de sline is continu ègeen knikè: q èè = i q èè. i+ De sline is interolerend: q i èè = i+ ; q i èè = i+2. De invloed van de controle-unten is lokaal: i heeft alleen invloed o q i,3ètè; q i,2ètè; q i,ètè; q i ètè: De sline is translatie-invariant èzie èaè è. De raaklijn in i+ is evenwijdig aan i i+2 Catmull-Rom ècè Voor een interactief sel is gewenst dat botsingen tussen ballen en selers kunnen worden gedetecteerd. Een bal wordt gereresenteerd door een cirkel met straal r en middelunt c =èc x ;c y è, een seler door een rechthoek met middelunt m =èm x ;m y è, breedte w en hoogte h. èaè Stel dat de assen van de rechthoek evenwijdig zijn met de horizontale en verticale as. Geef een rocedure waarin beaald wordt of de bal en de seler overlaen en licht deze toe. èbè Stel dat de as van de rechthoek in de w richting een hoek æ maakt met de horizontale as. Geef een rocedure waarin wederom beaald wordt of de bal en de seler overlaen en licht deze toe. Hoe kan het resultaat van de voorgaande vraag worden hergebruikt? è3 juli 2è.
3 èaè De cirkel en de rechthoek overlaen elkaar gedeeltelijk als c binnen de rechthoek ligt, of een afstand kleiner dan r tot de rand van de rechthoek heeft. Deze laatste voorwaarde valt uiteen in twee keer vier gevallen: de afstand tot een zijde is kleiner dan r, ofde afstand tot een hoekunt is kleiner dan r. De functie wordt de gedurige or van al deze mogelijkheden: overla := false; overla := overla _ èjc x, m x j éw=2è ^ èjc y, m y j éh=2+rè; overla := overla _ èjc x, m x j éw=2+rè^èjc y, m y j éh=2è; overla := overla _ IPèc, ; c, è érvoor =èmx æ w=2;m y æ h=2è: Een andere olossing is het gevalsonderscheid te verminderen door het unt c eventueel te siegelen in de symmetrieassen van de rechthoek. We krijgen dan: if c x ém x then c x := m x +èm x, c x è; if c y ém y then c y := m y +èm y, c y è; := èm x + w=2;m y + h=2è; overla := èc x é x + r ^ c y é y è _ èc x é x ^ c y é y + rè _ IPèc, ; c, è ér: èbè De vraag kan teruggebracht worden tot het vorige robleem door de rechthoek over æ terug te draaien, en c over,æ te roteren rond m. Dit doen we met c := m + Rè,æèèc, mè, waarin Rè,æè =ç cosèæè sinèæè, sinèæè cosèæè Een andere manier is de cirkel en de rechthoek arallel zo te verschuiven dat m in de oorsrong belandt, en dan c te draaien over,æ: c := Rè,æèèc, mè; m := è; è; en dan èaè toeassen. 4. We beschouwen een Bezier-curve qètè =è, tè 3 + 3è, tè 2 t 2 + 3è, tèt t 3 4 ;t2 ë; ë; met =è; è en 4 =è; è. De curve kan worden vastgelegd door aanvullende voorwaarden. We onderzoeken het eæect van dergelijke voorwaarden o 2 en 3. Geef in alle gevallen een duidelijke toelichting. èaè Beaal alle mogelijke osities van 2 en 3 zodanig dat de curve in de eindunten raakt aan res. de X- en Y-as. èbè Beaal de ositie van 2 en 3 zodanig dat de curve in de eindunten raakt aan res. de X- en Y-as, en dat het unt qè=2è o de oorsrong ligt. ècè Beaal de ositie van 2 en 3 zodanig dat de curve in de eindunten raakt aan res. de X- en Y-as, dat de coordinaten van alle unten van de curve niet negatief zijn en dat het unt qè=2è zo dicht mogelijk bij de oorsrong ligt. è3 juli 2è. èaè De kromme raakt in aan de X-as: de afgeleide is daar 3è 2, è, dus 2 =èæ; è met æ 6=. In 4 is de afgeleide 3è 4, 3 è, en dit is langs de Y-as als 3 =è;æè met æ 6=. èbè ls extra eis krijgen we nu qè=2è = è è=8 = è+3æ; +3æè=8=è; è. Dit geeft æ = æ =,=3. ècè O grond van eis a kunnen we de extra eisen formuleren in termen van æ en æ: qètè:x ç : è, tè 3 + 3è, tè 2 tæ ç ofwel + tè3æ, è ç voor ç t ç qètè:y ç : 3è, tèt 2 æ + t 3 ç ofwel 3æ + tè, 3æè ç voor ç t ç ç :
4 Deze voorwaarden komen neer o æ ç ; æ ç. èvul in t =, resectievelijk t =.è De eis qè=2è zo dicht mogelijk bij è,è betekent è+3æè 2 +è+3æè 2 minimaal. Samen met de andere eisen imliceert dit æ =; æ =. 5. èaè Geef een rocedure om te bealen of een lijnsegment ab, met a =èa x ;a y èenb = èb x ;b y è, en een vierkant ë,; ë æ ë,; ë elkaar geheel of gedeeltelijk overlaen en licht deze toe. èbè We beschouwen nu een willekeurige rechthoek met middelunt m =èm x ;m y è, breedte w en hoogte h, enwaarbij de as in de w richting een hoek æ maakt met de x-as. Geef een rocedure om te bealen of een lijnsegment en een rechthoek elkaar overlaen, waarin het resultaat uit vraag èaè wordt hergebruikt. Transformeer hiertoe de nieuwe situatie naar de uitgangssituatie van vraag èaè. è3 augustus 2è. èzie ook de uitwerking van de oefening van 8 feb 2.è èaè Er zijn twee gevallen: ofwel het hele lijnstuk ligt binnen het vierkant, of het lijnstuk snijdt minstens een van de zijden. Het eerste geval is simel: ja x jç ^ja y jç ^jb x jç ^jb y jç: Merk o dat het niet recies volgens voorgaand onderscheid, maar niet onjuist is om te berekenen: èja x jç ^ja y jçè _ èjb x jç ^jb y jç:è Het tweede geval is iets bewerkelijker: we onderzoeken alleen of ab de zijde è;,èè; è snijdt. Eerst snijden we de lijn door a en b met de lijn x = : Uit ça x +è, çèb x = volgt ç = b x, b x, a x : Het snijunt moet tussen a en b liggen, dus ç ç ç. Verder moet de y,coordinaat tussen en - liggen, dus snijt := è ç ç ç è ^jça y +è, çèb y jç: Voor b x = a x hebben we een uitzondering èdelen door nulè, hier wordt de voorwaarde a x = ^ èa y max b y ç,è ^ èa y min b y ç è: Evenzo voor de andere drie zijden. De voorwaarde wordt dan in geval 2: overla := snijt _ snijt2 _ snijt3 _ snijt4. Om. Gezien dit vraagstuk lijkt het de moeite waard o zoek te gaan naar een algoritme voor "ab snijdt q". èbè Om het algemene geval terug te brengen tot de stituatie in èaè, assen we drie transformaties toe: Verschuif alles over -m. Het middelunt van de rechthoek is nu è,è. Draai alles over,æ. De afmetingen van de rechthoek veranderen hierdoor niet. Verander de schaal o x,as en y,as zodat de rechthoek zijden 2 krijgt. In homogene coordinaten kan de hele oeratie beschreven worden 2=w cos æ sin æ, sin æ cos x,m y Pas deze oeratie toe o a en b. Nu hebben we de situatie als in èaè.
5 6. Gegeven zijn twee lijnstukken ab en cd, met a =è,; è; b =è; è; c =è; è en d =è;,è. Gewenst wordt om de unten b en c van deze lijnstukken met een Bezier-curve qètè =è, tè 3 + 3è, tè 2 t 2 + 3è, tèt t 3 4 ;t2 ë; ë te verbinden, zodanig dat de overgangen tussen de lijnstukken en de curve glad zijn. Beantwoord de volgende vragen en licht het antwoord toe: èaè Beaal alle mogelijke osities van de stuurunten ; 2 ; 3 en 4 en licht dit toe met een schets. èbè Voor welke waarde van de arameter t is de y-coordinaat van de curve maximaal en hoe hangt dit maximum af van de stuurunten? è3 augustus 2è. èaè We nemen qèè = b en qèè = c, dus =è; è en 4 =è; è. Er geldt q èè = 3è 2, è. Voor glad aansluiten in b moet 2, dezelfde richting hebben als b, a, dus 2 =èæ; è met æé. Verder is q èè = 3è 4, 3 è, en d, c moet dezelfde richting hebben, dus 3 =è;æè met æé. èbè De maximale waarde van de y-coordinaat zal lineair afhangen van de controleunten. Onder de in aè behandelde restricties is de y-coordinaat van de curve qètè:y = 3è, tèt 2 æ: De afgeleide hiervan is,3t 2 æ, 6tè, tèæ =3tæè2, 3tè. Dit is nul voor t =en voor t =2=3, alwaar de y-coordinaat zijn maximale waarde 4 æ bereikt. Deze waarde 9 is alleen afhankelijk van 3.
HOEKEN, AFSTANDEN en CIRKELS IN Klas 5N Wiskunde 6 perioden
HOEKEN, AFSTANDEN en CIRKELS IN Klas 5N Wiskunde 6 erioden INHOUD. Het inroduct van vectoren... 3. De normaalvector van een lijn... 3. DE AFSTAND VAN TWEE PUNTEN.... 5. De afstand van een unt tot een lijn...
Nadere informatieEindexamen vwo wiskunde B pilot 2013-I
Eindeamen vwo wiskunde B ilot 0-I Beoordelingsmodel De vergelijking van ntoine maimumscore 4 44 log = 0, dus 0 4,46 T 5,5 44 44 Dit geeft = 4,46, dus T 5,5 = T 5,5 4,46 44 Hieruit volgt T = 5,5+ ( 9,)
Nadere informatie2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax
00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten
Nadere informatiewiskunde B vwo 2019-I
Lijnen door de oorsrong en een cirkel maimumscore 5 Een vergelijking van c is ( ) ( y ) Voor de snijunten geldt + 7 = 5 ( t ) + (t 7) = 5 Herleiden tot 5t 30t+ 5 = 0 Een eacte berekening waaruit volgt
Nadere informatieOEFENTOETS VWO B DEEL 3
OEFENTOETS VWO B DEEL 3 HOOFDSTUK 0 MEETKUNDE MET VECTOREN OPGAVE Gegeven zijn de vectoren a, b en c die vanuit O de hoekpunten van driehoek ABC aanwijzen. Het punt P is het midden van AB, het punt Q is
Nadere informatie2IV10 Oefentoets uitwerking
2IV10 Oefentoets uitwerking Deze oefentoets bestaat uit drie opgaven, waarvoor twee uur beschikbaar is. Bij voldoende resultaat wordt een bonuspunt toegekend voor het tentamen. De opgaven betreffen een
Nadere informatie8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3
8.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 2x y 3 3 3x 2 y 6 2 Het vermenigvuldigen van de vergelijkingen zorgt ervoor dat in de volgende stap de x-en tegen elkaar
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 maandag 20 mei uur
Eamen VWO 2019 tijdvak 1 maandag 20 mei 13.30-16.30 uur wiskunde Dit eamen bestaat uit 15 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 80 unten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel unten met een goed
Nadere informatieEindexamen wiskunde B vwo 2010 - I
Gelijke oppervlakten De parabool met vergelijking y = 4x x2 en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong O en in punt. Zie. y 4 3 2 1-1 O 1 2 3
Nadere informatie2012 I Onafhankelijk van a
0 I Onafhankelijk van a Voor a>0 is gegeven de functie: f a (x) = ( ax) e ax. Toon aan dat F a (x) = x e ax een primitieve functie is van f a (x). De grafiek van f a snijdt de x-as in (/a, 0) en de y-as
Nadere informatieSAMENSTELLEN EN ONTBINDEN VAN SNIJDENDE KRACHTEN
II - 1 HOODSTUK SAMENSTELLEN EN ONTBINDEN VAN SNIJDENDE KRACHTEN Snijdende (of samenlopende) krachten zijn krachten waarvan de werklijnen door één punt gaan..1. Resultante van twee snijdende krachten Het
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen VWO 2010 tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen. Voor elk
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen VWO 0 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieVlaamse Wiskunde Olympiade 2007-2008: tweede ronde
Vlaamse Wiskunde lmpiade 2007-2008: tweede ronde 1 Jef mit cola met whisk in de verhouding 1 : In whisk zit 40% alcohol Wat is het alcoholpercentage van de mi? () 1, (B) 20 (C) 25 () 0 (E) 5 2 ver jaar
Nadere informatiey = 25 x y = 25 x y = 25 x 2 is het functievoorschrift dat bij de bovenste
Hoofdstuk A: Integralen. I-. Hiernaast is een cirkel getekend met de oorsrong als middelunt en met een straal 5. Als je in de getekende driehoek de stelling van Pythagoras toeast, krijg je: + y = 5. Kwadrateren
Nadere informatieopdrachten bij hoofdstuk 7 Lijnen cirkels als PDF
lijnen en cirkels opdrachten bij hoofdstuk 7 Lijnen cirkels als PDF 0. voorkennis De vergelijking ax+by=c Stelsels lineaire vergelijkingen De algemene vorm van een lineaire vergelijkingen met de variabele
Nadere informatieSamenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Voorkennis Stelling van
Samenvatting wiskunde havo 4 hoofdstuk 5,7,8 en vaardigheden 3 en 4 en havo 5 hoofdstuk 3 en 5 Hoofdstuk 5 afstanden en hoeken Stelling van Kan alleen bij rechthoekige driehoeken pythagoras a 2 + b 2 =
Nadere informatiewiskunde B vwo 2016-II
Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande
Nadere informatieOefeningen analytische meetkunde
Oefeningen analytische meetkunde ) orte herhaling. Zij gegeven twee vectoren P en Q. Bewijs dat de loodrechte projectie P' van P op Q gegeven wordt door: PQQ P'. Q. De cirkel c y 4y wordt gespiegeld om
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 donderdag 23 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen VWO 2016 tijdvak 2 donderdag 23 juni 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 16 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 76 unten te behalen. Voor
Nadere informatiewiskunde B vwo 2016-I
wiskunde vwo 06-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte
Nadere informatieIJkingstoets burgerlijk ingenieur-architect juli 2018: feedback deel wiskunde
IJkingstoets burgerlijk ingenieur-architect, feedback deel wiskunde, juli 8 - reeks IJkingstoets burgerlijk ingenieur-architect juli 8: feedback deel wiskunde Positionering ten ozichte van andere deelnemers
Nadere informatieEen symmetrische gebroken functie
Een symmetrische gebroken functie De functie f is gegeven door f( x) e x. 3p Bereken exact voor welke waarden van x geldt: f( x). 00 F( x) xln( e x) is een primitieve van f( x) e x. 4p Toon dit aan. Het
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VW 06 tijdvak woensdag 8 mei 3:30-6:30 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. it eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VW 06 tijdvak woensdag 8 mei 3:30-6:30 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. it eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat
Nadere informatieAchter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Eamen VW 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) chter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen bestaat uit 8 vragen. Voor dit eamen
Nadere informatieExamen VWO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)
Wiskunde B, (nieuwe stijl) Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Vrijdag 4 mei 3.30 6.30 uur 0 0 Voor dit examen zijn maximaal 86 punten te behalen; het examen bestaat uit 8 vragen.
Nadere informatiewiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Eamen VWO 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30 uur - 6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen
Nadere informatieOEFENOPGAVEN BIJ HET TENTAMEN ANALYSE 1 (COLLEGE NAJAAR 2006). (z + 2i) 4 = 16. y 4y + 5y = 0 y(0) = 1, y (0) = 2. { 1 + xc 1 voor x > 0.
OEFENOPGAVEN BIJ HET TENTAMEN ANALYSE (COLLEGE NAJAAR 6).. Bepaal alle oplossingen van de vergelijking (z + i) 4 = 6 in het complee vlak. a. Schrijf het getal i in poolcoördinaten. b. Bereken de rechthoekige
Nadere informatieEindexamen wiskunde B pilot havo II
Mosselen Driehoeksmosselen (zie de foto) kunnen een bijdrage leveren aan de vermindering van de hoeveelheid algen in het water. Zij filteren het water. De hoeveelheid gefilterd water in ml/uur noemen we
Nadere informatieď ď ď Ľ ť ď ť á ď ŕ í ŕ ď ť ŕť ť Ú ŕ í ď Ú é í éé Ľ í ť éé ŕ ď í ď í ŕ Ú Ť ť ť ť Ť ť ď í í ď ť Ô Ô í í ť éé í í ď Ť Ľ ď ď ď ť ď í ť ď ď ď í ŕ ŕ ŕ í ť á ť ť Ĺ ď ŕ ď á ť ď ď í ŕ ť ď ď ŕ ť ŕ ťí ď č Ô Ľ ŕ
Nadere informatieIJkingstoets burgerlijk ingenieur-architect juli 2018: feedback deel wiskunde
IJkingstoets burgerlijk ingenieur-architect juli 8: feedback deel wiskunde Positionering ten ozichte van andere deelnemers In totaal namen studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur-architect
Nadere informatieParagraaf 10.1 : Vectoren en lijnen
Hoofdstuk 10 Meetkunde met Vectoren (V5 Wis B) Pagina 1 van 13 Paragraaf 10.1 : Vectoren en lijnen Les 1 : Vectoren tekenen Definities Vector x = ( a ) wil zeggen a naar rechts en b omhoog. b Je kunt vectoren
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VWO 203 tijdvak woensdag 22 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 78 punten te behalen. Voor elk
Nadere informatieEindexamen vwo wiskunde B pilot 2013-I
Eindeamen vwo wiskunde pilot 03-I Formules Goniometrie sin( t u) sintcosu costsinu sin( t u) sintcosu costsinu cos( t u) costcosu sintsinu cos( t u) costcosu sintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos t sin
Nadere informatieOEFENPROEFWERK VWO B DEEL 2
OEFENPROEFWERK VWO B DEEL HOOFDSTUK 8 MEETKUNDE MET COÖRDINATEN OPGAVE Gegeven zijn de punten A( p,0), B(0, p), C(4 p, 0) en D(0, q ). De lijn k gaat door A en B, de lijn l gaat door C en D. a Voor welke
Nadere informatieEindexamen vwo wiskunde B 2013-I
Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande
Nadere informatieLaat men ook transversalen toe buiten de driehoek, dan behoren bij één waarde van v 1 telkens twee transversalen l 1 en l 2. Men kan ze onderscheiden
Lesbrief 6 Meetkunde 1 Hoektransversalen in een driehoek ABC is een driehoek. Een lijn l door een hoekpunt A van de driehoek heet een hoektransversaal van A. We zullen onderzoeken onder welke voorwaarden
Nadere informatieCorrectievoorschrift VWO. Wiskunde B (oude stijl) Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs. Tijdvak CV20 Begin
Wiskunde B (oude stijl) Correctievoorschrift VWO Voorbereidend Wetenschaelijk Onderwijs 0 0 Tijdvak 0000 CV0 Begin Regels voor de beoordeling Het werk van de kandidaten wordt beoordeeld met inachtneming
Nadere informatieEindexamen wiskunde B vwo II
Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande
Nadere informatie11.1 De parabool [1]
11.1 De parabool [1] Algemeen: Het punt F heet het brandpunt van de parabool. De lijn l heet de richtlijn van de parabool. De afstand van F tot l heet de parameter van de parabool. Defintie van een parabool:
Nadere informatie9.1 Vergelijkingen van lijnen[1]
9.1 Vergelijkingen van lijnen[1] y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. Algemeen: Van de lijn y = ax + b is de richtingscoëfficiënt a en het snijpunt met de y-as (0,
Nadere informatieH28 VIERKANTSVERGELIJKINGEN
H8 VIERKANTSVERGELIJKINGEN vwo 8.0 INTRO - - 8. TERUGBLIKKEN 3 a x = 3½ b x + 7 = x + 7 = x + 6 = x Dus x = 3 c x = of x = - d x + 6 = of x + 6 = - x= - of x = -0 e Er is geen olossing, want het kwadraat
Nadere informatie2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak. Veronderstel dat een kromme in het vlak gegeven is door een parametervoorstelling
TU/e technische universiteit eindhoven Kromming Extra leerstof bij het vak Wiskunde voor Bouwkunde (DB00) 1 Inleiding De begrippen kromming en kromtestraal worden in het boek Calculus behandeld in hoofdstuk
Nadere informatieExamen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 22 juni uur
Examen HAVO 011 tijdvak woensdag juni 13.30-16.30 uur wiskunde B (pilot) Dit examen bestaat uit 19 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten
Nadere informatieBal in de sloot. Hierbij zijn x en f ( x ) in centimeters. Zie figuur 2.
Bal in de sloot Een bal met een straal van cm komt in een figuur sloot terecht en blijft drijven. Het laagste punt van de bal bevindt zich h cm onder het wateroppervlak. In figuur zie je een doorsnede
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade : Eerste ronde.
1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1998-1999: Eerste ronde De eerste ronde bestaat uit 30 meerkeuzevragen Het quoteringssysteem werkt als volgt: per goed antwoord krijgt de deelnemer 5 punten, een blanco antwoord
Nadere informatieVoorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen)
Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen) Beschouw de 4 termen: x y, x, 6, 9x Voor welke waarden van x en y vormen deze termen een rekenkundige rij? x 9x x, 6, 9 x : RR 6 0x x 0,9 0,9 y ;,9 ; 6 ; 8,,
Nadere informatieAan de gang. Wiskunde B-dag 2015, vrijdag 13 november, 9:00u-16:00u
Aan de gang Wiskunde B-dag 2015, vrijdag 13 november, 9:00u-16:00u Verkenning 1 (Piano) Je moet een zware piano verschuiven door een 1 meter brede gang met een rechte hoek er in. In de figuur hierboven
Nadere informatieAchter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.
Eamen VW 08 tijdvak maandag 4 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen bestaat
Nadere informatie2) Kegelsneden (in basisvorm)
) Kegelsneden (in sisvorm) In dit hoofdstuk werken we ltijd in een Euclidisch geijkt ssenstelsel. ) De rool Definitie De rool is de meetkundige lts vn de unten wrvoor de fstnd tot een gegeven unt F gelijk
Nadere informatieIJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 29 juni Nummer vragenreeks: 1
IJkingstoets Wiskunde-Informatica-Fysica 29 juni 206 Nummer vragenreeks: IJkingstoets wiskunde-informatica-fysica 29 juni 206 - reeks - p. /0 Oefening Welke studierichting wil je graag volgen? (vraag
Nadere informatieEindexamen vwo wiskunde B pilot 2014-I
Eindeamen vwo wiskunde B pilot 04-I Formules Goniometrie sin( tu) sintcosu costsinu sin( tu) sintcosu costsinu cos( tu) costcosusintsinu cos( tu) costcosusintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos tsin t cos
Nadere informatie2 Kromming van een geparametriseerde kromme in het vlak
Kromming Extra leerstof bij het vak Wiskunde voor Bouwkunde (DB00) 1 Inleiding De begrippen kromming en kromtestraal worden in het boek Calculus behandeld in hoofdstuk 11. Daar worden deze begrippen echter
Nadere informatieE = mc². E = mc² E = mc² E = mc². E = mc² E = mc² E = mc²
E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² E = mc² De boom en het stokje staan loodrecht op de grond in het park. De boom is 3 en het stokje 1. Hoe lang is de schaduw van het stokje
Nadere informatieAnalytische Meetkunde. Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde
Analytische Meetkunde Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde . VECTOREN EN RECHTEN.. Vectoren... Het vectorbegrip De verzameling punten van het vlak noteren we door π. Kies in het vlak π een vast
Nadere informatieHoofdstuk 6 : Projectie en Stelling van Thales
Hoofdstuk 6 : Projectie en Stelling van Thales - 127 1. Projectie op een rechte (boek pag 175) x en y zijn twee... rechten. We trekken door het punt A een evenwijdige rechte met de rechte y en noemen het
Nadere informatieEindexamen wiskunde B1-2 vwo 2002-I
Uit de kust Een kustlijn bestaat uit drie rechte stukken AB, BC en CD, die hoeken van 90 met elkaar maken. De lengte van elk recht stuk is 4 kilometer. Zie figuur. In de figuur zijn twee stippellijnen
Nadere informatieOefenexamen wiskunde vmbo-tl Onderwerp: meetkunde H2 H6 H8 Antwoorden: achterin dit boekje
Oefenexamen wiskunde vmbo-tl Onderwerp: meetkunde H2 H6 H8 Antwoorden: achterin dit boekje Indien van toepassing: schrijf je berekening op. Tekening altijd met geodriehoek en potlood. Omtrek rechthoek
Nadere informatiewiskunde B vwo 2018-I
Formules Goniometrie sin( tu) sin( t)cos( u) cos( t)sin( u) sin( tu) sin( t)cos( u) cos( t)sin( u) cos( tu) cos( t)cos( u) sin( t)sin( u) cos( tu) cos( t)cos( u) sin( t)sin( u) sin( t) sin( t)cos( t) cos(
Nadere informatieUitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek
Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de
Nadere informatieEindexamen vwo wiskunde B 2014-I
Eindexamen vwo wiskunde B 04-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte
Nadere informatieCorrectievoorschrift VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)
wiskunde B, (nieuwe stijl) Correctievoorschrift VWO Voorbereidend Wetenschaelijk Onderwijs 0 04 Tijdvak inzenden scores Verwerk de scores van de alfabetisch eerste vijf kandidaten er school in het rogramma
Nadere informatied. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut.
Hoofdstuk A: Goniometrische functies. I-. a. De grafiek staat hiernaast. De periode is ongeveer,6 uur. b. De grafiek snijden met y = levert bijvoorbeeld x,00 en x,8. Het verschil is ongeveer,7 uur en dat
Nadere informatieWiskunde D Online uitwerking 4 VWO blok 6 les 4
Wiskunde Online uitwerking 4 VWO blok 6 les 4 Paragraaf 4 Het inproduct om hoeken te berekenen Opgave a e hoek is kleiner dan 4, want het dak zelf staat onder een hoek van 45, en de kilgoot loopt schuin
Nadere informatieb 2c c 2b b c 3 3. b) De drie hoogtelijnen in een driehoek zijn concurrent. Hun snijpunt heet het hoogtepunt H van de driehoek.
Olossingen ewijs de volgende stellingen: a) De drie zwaartelijnen in een driehoek zijn concurrent Hun snijunt heet het zwaarteunt Z van de driehoek We stellen b en c met b c b De middens zijn M c M en
Nadere informatieEindexamen wiskunde B vwo 2010 - I
Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande
Nadere informatie14.0 Voorkennis. sin sin sin. Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel:
14.0 Voorkennis Sinusregel: In elke ABC geldt de sinusregel: a b c sin sin sin Voorbeeld 1: Gegeven is ΔABC met c = 1, α = 54 en β = 6 Bereken a in twee decimalen nauwkeurig. a c sin sin a 1 sin54 sin64
Nadere informatieVoorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 20 juni uur
Wiskunde B Profi (oude stijl) Eamen VW Voorbereidend Wetenschappelijk nderwijs Tijdvak 2 Woensdag 20 juni 3.30 6.30 uur 20 0 Voor dit eamen zijn maimaal 78 punten te behalen; het eamen bestaat uit 4 vragen.
Nadere informatiewiskunde B havo 2019-I
Formule van Wilson maximumscore Uitgaande van gelijke temperatuur en diepte wordt het verschil in snelheid dus bepaald door het verschil in zoutgehalte Er geldt: v =,9( 7 5),9( 5) Het gevraagde verschil
Nadere informatieIJkingstoets burgerlijk ingenieur augustus 2019: algemene feedback
IJkingstoets burgerlijk ingenieur augustus 19: algemene feedback Positionering ten ozichte van andere deelnemers In totaal namen 57 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur die aangeboden
Nadere informatieHoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen
Hoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen Les 0 (Extra) Aant. Voorkennis: Hoeken en afstanden Theorie A: Sinus, Cosinus en tangens O RHZ tan A = A RHZ O RHZ sin A = SZ A RHZ cos A = SZ Afspraak: Graden afronden
Nadere informatiewiskunde B pilot vwo 2016-II
wiskunde B pilot vwo 06-II De derde macht maximumscore Er moet dan gelden f( gx ( )) x( g( f( x)) f gx ( x ) ( x ) x) ( ( )) + + + f( gx ( )) x+ x(dus g is de inverse functie van f ) Spiegeling van het
Nadere informatie4 a x x + 36 = 16 x x + 20 = 0 b x x + 20 = (x + 2)(x + 10) c x = -2 of x = -10
H8 VIERKANTSVERGELIJKINGEN VWO 8.0 INTRO - - 8. TERUGBLIKKEN a x = b x + 7 = x + 7 = x + 6 = x x = c x = of x = - d x + 6 = of x + 6 = - x = - of x = -0 e Er is geen olossing, want het kwadraat van een
Nadere informatieEindexamen vwo wiskunde B pilot 2014-I
Bal in de sloot maximumscore 4 De gevraagde inhoud I is ( ) h ( ) π f( x) dx= π ( x x )dx h 0 0 h π f( x) dx 0 Een rimitieve van x x is x x I = π( h h ) = π h ( h) maximumscore Er moet gelden πh ( h) =
Nadere informatieWiskunde D-dag Vrijeschool Zutphen VO donderdag 18 februari, 12:30u 16:30u. Aan de gang
Wiskunde D-dag 2016 Vrijeschool Zutphen VO donderdag 18 februari, 12:30u 16:30u Aan de gang Verkenning 1 piano Je moet een zware piano verschuiven door een 1 meter brede gang met een rechte hoek er in.
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen VW 2019 tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 17 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatie1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1985-1986: Tweede Ronde.
1 Vlmse Wiskunde Olymide 1985-1986: Tweede Ronde De tweede ronde bestt uit 30 meerkeuzevrgen Het quoteringssysteem werkt ls volgt : een deelnemer strt met 30 unten Per goed ntwoord krijgt hij of zij 4
Nadere informatieTentamen Wiskunde B CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE. Datum: 19 december Aantal opgaven: 5
CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Datum: 19 december 2018 Tijd: 13.30 16.30 uur Aantal opgaven: 5 Tentamen Wiskunde B Lees onderstaande aanwijzingen s.v.p. goed door voordat u met het tentamen begint.
Nadere informatieWISKUNDE 5 PERIODEN. DATUM : 4 juni 2010. Formuleboekje voor de Europese scholen Niet-programmeerbare, niet-grafische rekenmachine
EUROPEES BACCALAUREAAT 2010 WISKUNDE 5 PERIODEN DATUM : 4 juni 2010 DUUR VAN HET EXAMEN : 4 uur (240 minuten) TOEGESTANE HULPMIDDELEN : Formuleboekje voor de Europese scholen Niet-programmeerbare, niet-grafische
Nadere informatieIJkingstoets september 2015: statistisch rapport
IJkingstoets burgerlijk ingenieur 4 september 05 - reeks - p. IJkingstoets september 05: statistisch rapport In totaal namen 33 studenten deel aan deze toets. Hiervan waren er 06 geslaagd. Verdeling van
Nadere informatieIJkingstoets september 2015: statistisch rapport
IJkingstoets burgerlijk ingenieur 4 september 05 - reeks 4 - p. IJkingstoets september 05: statistisch rapport In totaal namen 33 studenten deel aan deze toets. Hiervan waren er 06 geslaagd. Verdeling
Nadere informatieSlangennest Wiskunde B-dag 2018
Slangennest Wiskunde B-dag 2018 2 Basisopgaven Opgave 1: Cirkeldekens (a) Het kleinste geschikte cirkelvormige dekentje heeft een diameter van 15 cm. (b) Slangen die voldoende om de kop heen krullen passen
Nadere informatieDe Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten
januari 2008 De Cirkel van Apollonius en Isodynamische Punten Inleiding Eén van de bekendste meetkundige plaatsen is de middelloodlijn van een lijnstuk. Deze lijn bestaat uit alle punten die gelijke afstand
Nadere informatieTentamen 2IV10 Computergrafiek
Tentamen IV Computergrafiek 8 augustus 8, 4:-7: uur Dit tentamen bestaat uit vier vragen met in totaal 5 deelvragen. Elke deelvraag weegt even zwaar. In alle gevallen geldt: LICHT UW ANTWOORD TOE. Gebruik
Nadere informatieExamen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Examen VWO 203 tijdvak woensdag 22 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 9 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieDe arbelos. 1 Definitie
De arbelos 1 Definitie De arbelos is een meetkundige figuur die bestaat uit drie aan elkaar rakende halve cirkels. De raakpunten liggen op een lijn. In onderstaande tekening is de arbelos de paarse figuur.
Nadere informatieBewerkingen met krachten
21 Bewerkingen met krachten Opgeloste Vraagstukken 2.1. Bepaal het moment van de kracht van 2N uir Fig. 2-3 rond het punt O. Laat de loodrechte OD neer vanuit O op de rechte waarlangs de kracht van 2N
Nadere informatieUitgewerkte oefeningen
Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4
Nadere informatieIjkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 15 september 2014: algemene feedback
IJkingstoets 5 september 04 - reeks - p. /0 Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 5 september 04: algemene feedback In totaal namen 5 studenten deel aan deze ijkingstoets industrieel
Nadere informatieExamen HAVO. wiskunde B. tijdvak 1 donderdag 9 mei uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Eamen HVO 09 tijdvak donderdag 9 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 8 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 78 punten te behalen. Voor elk vraagnummer
Nadere informatieVlakke meetkunde. Module 6. 6.1 Geijkte rechte. 6.1.1 Afstand tussen twee punten. 6.1.2 Midden van een lijnstuk
Module 6 Vlakke meetkunde 6. Geijkte rechte Beschouw een rechte L en kies op deze rechte een punt o als oorsprong en een punt e als eenheidspunt. Indien men aan o en e respectievelijk de getallen 0 en
Nadere informatieIjkingstoets industrieel ingenieur UGent/VUB, september 2015
IJkingstoets 4 september 05 - reeks - p. /0 Ijkingstoets industrieel ingenieur UGent/VUB, september 05 Oefening De evolutie van een bepaalde radioactieve stof in de tijd volgt het wiskundig model N (t)
Nadere informatieEindexamen vwo wiskunde B pilot II
Formules Goniometrie sin( tu) sintcosu costsinu sin( tu) sintcosu costsinu cos( tu) costcosu sintsinu cos( tu) costcosu sintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos tsin t cos t11 sin t www - 1 - Een regenton
Nadere informatieGebruik de applet om de vragen te beantwoorden. Beweeg punt P over de cirkel.
Raaklijnen Verkennen Raaklijnen Inleiding Verkennen Gebruik de applet om de vragen te beantwoorden. Beweeg punt P over de cirkel. Uitleg Raaklijnen Uitleg Opgave 1 Bekijk de Uitleg. a) Wat is de vergelijking
Nadere informatieWiskunde oefentoets hoofdstuk 10: Meetkundige berekeningen
Wiskunde oefentoets hoofdstuk 0: Meetkundige berekeningen Iedere antwoord dient gemotiveerd te worden, anders worden er geen punten toegekend. Gebruik van grafische rekenmachine is toegestaan. Succes!
Nadere informatieHoofdstuk 2 : VLAKKE FIGUREN
1 / 6 H2 Vlakke figuren Hoofdstuk 2 : VLAKKE FIGUREN 1. Wat moet ik leren? (handboek p. 46-74) 2.1 Herkennen van vlakke figuren In verband met een veelhoek: a) een veelhoek op de juiste wijze benoemen.
Nadere informatieUitwerkingen voorbeeldtentamen 2 Wiskunde B 2018
Uitwerkingen voorbeeldtentamen 2 Wiskunde B 2018 Vraag 1a 4 punten Voor geldt: ( )( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) Alternatief: ( )( ) Vraag 1b 4 punten Voor geldt: met geeft, en ook. De perforatie van zowel
Nadere informatieIJkingstoets burgerlijk ingenieur augustus 2019: algemene feedback
IJkingstoets burgerlijk ingenieur augustus 19: algemene feedback Positionering ten ozichte van andere deelnemers In totaal namen 57 studenten deel aan de ijkingstoets burgerlijk ingenieur die aangeboden
Nadere informatie