Slangennest Wiskunde B-dag 2018

Transcriptie

1 Slangennest Wiskunde B-dag 2018

2 2

3 Basisopgaven Opgave 1: Cirkeldekens (a) Het kleinste geschikte cirkelvormige dekentje heeft een diameter van 15 cm. (b) Slangen die voldoende om de kop heen krullen passen nooit op deze wijze onder de deken: (c) Stel de slang ligt met het midden op het middelpunt MM van de cirkel. Stel PP is een punt op de slang. We nemen zonder verlies van algemeenheid aan dat PP op de helft met de kop ligt. De lengte van lijnstuk MMMM is kleiner dan of gelijk aan de lengte van de halve slang: MMMM 7,5, want een lijnstuk is de kortste verbinding tussen twee punten (de slangkronkel tussen MM en PP is een deel van de hele slangkronkel tussen MM en KK; die laatste heeft lengte 7,5 cm, omdat de helft van de slang tussen MM en KK ligt). MMMM is dus kleiner dan de straal en daarmee ligt punt PP dus binnen de cirkel. (d) Stel de gestrekte slang KKKK past in een cirkel met middelpunt MM. Met de driehoeksongelijkheid geldt KKKK + MMMM KKKK = 15 cm. Hieruit volgt dat KKKK 7,5 cm of MMMM 7,5 cm. De punten KK en SS liggen beide in de cirkel dus de straal is tenminste 7,5 cm. Daarmee is de diameter van de cirkel tenminste 15 cm. 3

4 (Extra). We verwachten niet dat leerlingen onderstaande uitwerking vinden. Beoordeel zelf wat hun vindingen waard zijn. Hieronder een geavanceerde uitwerking van het feit dat het nog werkt voor een halve cirkel. De slang past zelfs in iedere houding passen onder een deken in de vorm van een halve cirkelschijf met een straal van 7,5 cm. Positioneringsstrategie: als KK niet op SS valt, dan leg je de deken zo dat KKKK evenwijdig aan de diameterrand van de halve schijf is en deze rand raakt (een steunlijn is voor de slang). Vervolgens spiegel SS en KK in de rand en leg je het middelpunt op het snijpunt van SSKK en KKSS. Bewijs dat het past: Laat RR een raakpunt van de slang aan de rand zijn. Zonder verlies van algemeenheid beschouwen we een punt PP op het slangdeel tussen RR en SS. Er geldt MMMM 1 ( SSSS + 2 PPKK ) 1 ( SSSS + PPPP + 2 RRKK ) = 1 2 ( SSSS + PPPP + RRRR) 7,5 cm. (We gebruiken dat voor ieder tweetal vectoren vv, ww geldt: ½( vv + ww ) 1 vv + ww = 2 1 (vv + ww ) met de driehoeksongelijkheid). Dus PP ligt 2 in de halve cirkel. Vul zelf aan: een positioneringsstrategie voor als de slang wel in zijn eigen staart bijt. Opgave 2: De knikslang onder een rechthoekige deken (a) De knikslang past niet in iedere houding onder de deken van 14 cm bij 5 cm. De gestrekte slang past op zijn best diagonaal, maar de diagonaal is = 221 < 225 = 15 cm. De knikslang past niet in iedere houding onder de deken van 15 cm bij 5 cm. Als de hoek bijvoorbeeld αα = 90 is, dan past het niet: 4

5 De hoogte is 7,5 5,3 cm. 2 (b) In positie 1 neemt de hoogte toe als αα toeneemt. In positie 2 neemt de hoogte af als αα toeneemt. Om de hoogte minimaal te houden moet je dus wisselen bij de hoek waar de hoogte in positie 1 gelijk is aan de hoogte in positie 2. Daar kun je aan rekenen, maar het is zo wel duidelijk dat dat bij 60 is, omdat beide knikken dan een gelijkzijdige driehoek vormen. De zijkant heeft dan een lengte van (c) In positie 3 is de uiterste stand 180 : de gestrekte slang, liggende op de diagonaal. De hoogte ligt al vast op We stellen de breedte van de rechthoek dus op = De breedste knikslang die er dan nog in past in positie 2 bereken je met 2 arcsin De twee helften van de knik liggen precies op de diagonalen. In positie 3 ligt die overgangsknik dus met de linkerhelft horizontaal en past netjes onder de deken. (d) ( 87,8) cm2 16 (e) De gebieden met een pijl kunnen weg. Van de linker driehoek valt de oppervlakte nog te berekenen. De randen van de andere stukken zijn ingewikkelde krommen. Daarvan kunnen leerlingen de oppervlakte eventueel nog schatten. 5

6 Opgave 3: Schuiven met waaierdekens voor knikslangen Er zijn hier veel mogelijkheden, dus ter eigen beoordeling! Bijvoorbeeld: je kunt taartpunten van 10 aanhouden. De rechter helften leg je precies op elkaar. Dan krijg je de volgende deken Een mooi inzicht: met nog kleinere hoeken 90, nn kun je willekeurig dicht bij een kwart nn cirkel plus een streepje komen, wat het beginpunt van de volgende opgave is. Opgave 4: Dekens met een streepje voor (a) Bij hoeken groter dan 90 leg je de helft van de slang onder het streepje. Bij hoeken niet groter dan 90 past de knik in de kwartcirkel. (b) Neem een taartpunt van hoek 180 nn graden en voeg nn 1 streepjes toe als volgt: Op deze wijze kun je dekens maken met willekeurig klein oppervlak. Opgave 5: Tetraslangen (a) Zie hieronder de vier mogelijke houdingen (b) Als deken bijvoorbeeld (er zijn ook andere opties): Het kan niet kleiner, omdat de gestrekte slang en het vierkant eronder moeten passen. 6

7 (c) Hieronder de acht houdingen: Een zo klein mogelijke deken is bijvoorbeeld (er zijn ook andere mogelijkheden) De redenering dat het niet kleiner kan is wat lastiger hier. We beargumenteren dat er naast de vijf blokjes voor de gestrekte slang nog tenminste vier blokjes nodig zijn. Houding a en g kunnen maar voor 2 overlappen, dus dat levert 3 extra blokjes op. Er zijn grofweg twee mogelijkheden om a en g te combineren: Je g dan nog naar links of rechts verschuiven ten opzichte van a, maar dat maakt voor het vervolg niet uit. In geval 1 zie je dat je een extra blokje nodig hebt om houding f kwijt te kunnen. En in geval 2 heb je een extra hokje nodig voor houding e. Conclusie: je hebt tenminste hokjes nodig. (d) (Extra) Er zijn 18 mogelijke houdingen 7

8 Een kleinst mogelijke deken is (er zijn meer mogelijkheden): Redeneren dat het niet kan met minder dan 12 hokjes, is een wat lang verhaal. We schetsen hier een aanpak. De houdingen a en k kun je grofweg op vier zinnige manieren combineren (je kunt k nog naar links schuiven maar dat maakt voor de volgende redeneringen niet uit): Met combinaties zoals 1, waarbij er geen overlap is, heb je al zes hokjes extra, dus daar hoef je niet verder naar te kijken. Bij combi 2 zie je dat houding j je dwingt een extra hokje toe te voegen. Waar je j ook plaatst, houding e zal je dwingen nog een hokje toe te voegen en dan zit je ook op +6. Bij combi 3 dwingt houding j een hokje extra af en vervolgens leidt houding g ook tot tenminste +1 en wederom zit je op +6. Bij combi 4 leidt r tot +2 en tot slot e tot nog +1. (e) Bijvoorbeeld: met de dubbelgevouwen slang (2 8) heb je minstens vier extra hokjes nodig (f) De deken heeft een L-vorm, waarbij je onderscheid maakt tussen even en oneven lengtes nn. De oppervlakte is dan nn + nn 1 = 3nn 1 nn 2, respectievelijk nn + = 3nn (g) (Extra) We verwachten dat het werk van de studenten hier erg uiteen loopt (als ze er al aan toekomen). Ter eigen beoordeling. Opgave 6: Een deken voor alle houdingen (a) Omdat KKKK niet groter is dan de lengte van het deel van de slang van KK tot NN; en evenzo voor NNNN. De som KKKK + NNNN is dus niet groter dan de lengte van de slangdelen van KK tot NN en van NN tot SS. Maar die delen zijn samen natuurlijk de gehele slang en dus 15 cm. (Deze redenering komt ook bij opgave 1c al aan de 8

9 orde). (b) Nee, dat kan niet. Spiegel punt BB en het stuk slang van het randpunt CC naar punt BB in lijn ll. Het punt BB is de gespiegelde van punt BB in lijn ll. Lijnstuk AABB is niet langer dan kronkelend langs de slang van AA naar CC naar BB. Kronkelend van AA naar CC naar BB leg je de lengte van de slang af, dus AABB 15. De lengte van AABB kunnen we berekenen met de stelling van Pythagoras: = = 233. Maar 233 > 15 en dat is in tegenspraak met het bovenstaande. (c) De basis (zijde van de driehoek) is 2 7,5 = 5 3. Dus de oppervlakte van de ruit is 3 7,5 5 3 = Kies een punt FF waar de slang en BBBB `raken. Laat loodlijnen vanuit FF neer op de driehoeks-zijden BBBB en CCCC. Spiegel GG in BBBB. Je ziet dan mooi dat HHGG gelijk is aan 9

10 de hoogte 7 1. Het staartdeel MMMM moet meer dan GGGG en FFFF overbruggen. Maar 2 GGGG + FFFF = HHGG = 7 1, dus DDDD wordt hooguit getoucheerd. 2 (Extra) Ja, dat kan. Je kunt een driehoekje, met basis evenwijdig aan AAAA, van de top afhalen. De hoogte van dat driehoekje is tenminste Het bewijs hiervan is pittig. We verwachten dat de leerlingen misschien proefondervindelijk erachter komen dat er een driehoekje af kan daar, maar niet de exacte hoogte kunnen berekenen. 10