Caspar Bontenbal april 2015 WISKUNDE & KUNST. Eindverslag

Transcriptie

1 Caspar Bontenbal april 2015 WISKUNDE & KUNST Eindverslag

2 Table of Contents Les 1 - Introductie wiskunde & kunst... 2 Opdracht Opdracht Les 2 - Wiskunde met Verve bloemlezing deel Opdracht Opdracht Opdracht Opdracht Opdracht Opdracht Opdracht Opdracht Opdracht Les 3 - Wiskunde met Verve bloemlezing deel Opdracht Opdracht Opdracht Opdracht Opdracht Opdracht Les 4 - Regelmatige en halfregelmatige veelvlakken... 8 Opdracht Opdracht Les 5 - Oppervlakten Opdracht Opdracht Opdracht Opdracht Opdracht Opdracht Les 6 - Onmogelijke figuren en vlakvullingen Opdracht Opdracht Opdracht Opdracht Opdracht Opdracht

3 Les 1 - Introductie wiskunde & kunst Opdracht 1.1 Voor het bewijs van deze stelling heb ik de figuur hiernaast gebruikt. Hier is te zien dat de eerste twee delen even hoog zijn, en dat de twee volgende delen de halve hoogte van het voorgaande deel heeft. Oftewel: De som van de totale reeks wordt: h nn = 2 x 2 nn nn h tttttttttttt = 2 x 2 nn = 4 kk=0 x x Voor het bewijs van deze stelling heb ik de figuur hiernaast gebruikt. Hier is te zien dat vierkant 2 en 3 even breed zijn, en opgeteld even breed als vierkant 1. En de breedte van de totale boom is uiteraard het dubbele van de breedte van de rechtertak. Oftewel: De som van de totale reeks wordt: h nn = 1,5 2 x 2 nn Opdracht 1.2 nn h tttttttttttt = 1,5 2 x 2 nn = 6 kk=0

4 Les 2 - Wiskunde met Verve bloemlezing deel 1 Alle opdrachten in dit hoofdstuk heb ik uitgevoerd in Microsoft Excel. Opdracht 2.1 Het kunstwerk van Ellsworth Kelly heeft een hoogte van 40 pixels en een breedte van 80 pixels. Om erachter de komen hoe hij het gemaakt heeft, heb ik geprobeerd het kunstwerk na te maken in Excel. Zie onderstaande figuur. Ik heb gebruik gemaakt van een normaalverdeling, zie de grafiek aan de rechterkant. De uitkomst van dat getal heb ik vermenigvuldigd met een random getal. Dat levert een getal op tussen de 0 en de 1. Dat getal is afgerond zodat er zwarte en witte pixels verschijnen. Opdracht

5 Opdracht 2.3 Opdracht Opdracht 2.5 In ieder vlak is willekeurig een aantal deelvlakken aangebracht, soms een deelvlak in een deelvlak enz. Ieder vlak of deelvlak is opgevuld met dezelfde zwarte vorm. Of dit kunst is? Ja. Maar ik zou het niet thuis aan de muur willen hebben. Snel verder met de volgende opdracht. Opdracht 2.6

6 Opdracht Opdracht 2.8 Opdracht 2.9 Drie manieren om een wiskundige nieuwjaarswens te maken: 1. Teken in een assenstelsel de volgende punten { (-2,4) (0,0) (-2,7) (1,6) etc.) Door de lijnen te verbinden ontstaat een kerstboom of een vuurpijl. 2. Verzin een formule waar het nieuwe jaartal uitkomt als je er 3112 in stopt. 3. Maak een vergelijking waarvan de oplossing het nieuwe jaartal is, bijvoorbeeld: Los op: y = x 2 35x (oplossing: x=20 of x=15)

7 Les 3 - Wiskunde met Verve bloemlezing deel 2 Opdracht 3.1 De verdeling van het vierkant is als volgt: Deze opdracht is nagenoeg hetzelfde als 2.6 met het verschil dat er nu binair gerekend is. Opdracht 3.2 De som van het totaal is = 136 De som van een reeks is: ½k(k+1) met k is de hoogste waarde van de reeks. In ons geval geldt: k = n 2 Hieruit volgt voor het totale som van het magisch vierkant: ½k(k+1) = ½n 2 (n 2 +1) Aangezien de som van een rij gelijk is aan het totaal gedeeld door het aantal rijen geldt: ½n(n 2 +1) Invullen geeft voor n=16: het tovergetal is 2056 Opdracht Opdracht 3.4 Als je bij alle getallen twee optelt, wordt het tovergetal uiteraard 42. Als je alle getallen met twee vermenigvuldigt, wordt het tovergetal 68. Als je alle getallen kwadrateert, gaat het fout.

8 Opdracht 3.5 Een tovervierkant van 7x7: Opdracht De tweede was iets lastiger, maar je kunt uitrekenen dat het middelste getal 80 / 5 moet zijn.

9 Les 4 - Regelmatige en halfregelmatige veelvlakken Opdracht 4.1 Zie onderstaand schema: T H O D I Aantal grensvlakken G Aantal hoekpunten H Aantal ribben R Orde van de zijde P Orde hoekpunt Q de formule van Euler: R + 2 = G + H Dus: H = R G +2 Dus: R = G + H 2 Ja, de formule klopt in alle gevallen. Bij opdracht b krijg je de volgende figuren (zelf getekend): Als je in de tabel kijkt naar de inverse ofwel de duale van de icosaëder {3,5}, dan vindt je de dodecaëder {5,3}. Idem voor de tetraëder {3,3}: dat blijft een tetraëder {3,3}.

10 Opdracht c: Om een ruimtefiguur te krijgen moet er ruimte overblijven om van een combinatie van veelhoeken een ruimtefiguur te maken, zie bijvoorbeeld de dodecaëder hiernaast. Bij een hoekpunt kunnen alleen maar de volgende veelhoeken samenkomen (omdat de som van de hoeken weer 360 moet zijn): driehoek ( 360 ), vierkant360, 3 4 vijfhoek Een zeshoek kan alleen gebruikt worden in combinatie met andere veelhoeken waardoor een halfregelmatige veelvlakken ontstaan. Opdracht 4.2 Naam Vlakken Figuur Kuboctaëder 14 A Icosidodecaëder 32 D Afgeknotte tetraëder 8 M Afgeknotte kubus 14 E Afgeknotte octaëder 14 H Afgeknotte dodecaëder 32 F Afgeknotte icosaëder 32 G Romboëdrische kuboctaëder 26 K Afgeknotte kuboctaëder 26 B Romboëdrische icosidodecaëder 62 L Afgeknotte icosidodecaëder 62 C Stompe hexaëder 38 J Stompe dodecaëder 92 I

11 Les 5 - Oppervlakten Opdracht 5.1 H G F I E J D A B C Aangezien de oppervlakte van alle driehoeken hetzelfde is, geldt: OO ddddddddhoooooo = tttttttttttt oooooooooooooooooooooo aaaaaaaaaaaa ddddddddhoooooooooo = = 8 Verder geldt: AAAA = FFFF BBBB = GGGG CCCC = HHHH DDDD = IIII EEEE = JJJJ Berekening: CCCC = AAAA 2 + CCCC 2 = 8 2 AAAA = OO AAAAAA 2 AAAA = 6 IIII = AAAA = 8 6 = 2

12 AAAA = OO AAAAAA 2 = 5 1 AAAA 3 BBBB = CCCC AAAA = AAAA = OO AAAAAA 2 AAAA = 3 Dus: AAAA = FFFF = BBBB = GGGG = CCCC = IIII = 2 DDDD = IIII = 3 EEEE = AAAA = 3 K J I H L M G N F E A B C D Stel dat het vierkant in 3-en en 4-en is verdeeld en de lengte van de zijdes 240 zijn, dan geldt: OO ddddddddhoooooo = tttttttttttt oooooooooooooooooooooo = = 4800 aaaaaaaaaaaa ddddddddhoooooooooo 12 DDDD = AAAA 2 + AAAA 2 = AAAA = OO AAAAAA 2 AAAA = 200 KKKK = AAAA AAAA = 40

13 AAAA = OO AAAAAA 2 = 192 AAAA AAAA = AAAA DDDD = 48 AAAA = OO AAAAAA 2 AAAA = 150 LLLL = AAAA AAAA KKKK = 50 CCCC = OO AAAAAA 2 AAAA = 128 BBBB = DDDD CCCC AAAA = 64 AAAA = OO AAAAAA 2 AAAA = 75 NNNN = AAAA AAAA LLLL KKKK = 75 Conclusie (zie figuur): a = 48, b = 64, c = 128, d = 75, e = 75, f = 50, g = 40. Opdracht 5.2? Stel dat de zijde 10 cm is. Dan is de oppervlakte van het vierkant 100 cm 2. Het overlappende gedeelte is de helft, dus 50 cm 2. De oppervlakte van de totale cirkel wordt dan: 4 x 50 cm 2 = 200 cm 2. Met de formule voor de oppervlakte van de cirkel vinden we de straal: rr = AA ππ = 200 ππ = 7,979 cm2 Opdracht 5.3 Na veel proberen, googelen en navraag bij klasgenoten lijkt het me dat deze opdracht onmogelijk is... En anders hoor ik de oplossing graag.

14 Opdracht 5.4 #2 #6 #5 #3 #7 #8 #4 #1 De lengte (lange kant) van rechthoek #2 is gelijk aan de breedte (korte kant) van rechthoek #1. De breedte van rechthoek #2 is gelijk aan de helft van de lengte van rechthoek #1. En dit geldt ook voor alle volgende rechthoeken #3, #4, #5, #6, #7, Opdracht 5.5

15 Opdracht 5.6 D C S A B Dat is eenvoudig. De oppervlakte van ΔABD = oppervlakte ΔABC (zelfde basis, zelfde hoogte). Aangezien de basis en de hoogte van beide driehoeken hetzelfde zijn en aangezien beide driehoeken het gele vlak gemeenschappelijk hebben, volgt daaruit dat de oppervlakten van driehoek ASD en driehoek BSC hetzelfde zijn.

16 Les 6 - Onmogelijke figuren en vlakvullingen Opdracht 6.1 Bij deze opdracht ben ik begonnen vanuit het midden met de donkerrode lijnen. Daarna de rode lijnen, de oranje lijnen en de gele tussenlijntjes. De dieptewerking komt er pas goed in als de vlakken gearceerd worden met schaduw. Opdracht 6.2 Deze is stukken lastiger.

17 Opdracht 6.3 Schatting werkelijke vierhoek: het wordt een trapezium met onderkant 1 meter, hoogte 2 meter en bovenkant is ook 2 meter. 2 m 3 m De werkelijke berekende afmetingen (uitgaand van een vierkant van 1x1 m): Met GeoGebra getekend en berekend kom je uit op een trapeziumvormige figuur met afmetingen 1 m breed aan de onderkant, 2 meter breed aan de bovenkant en een hoogte van 3 meter. De vertekening heb ik dus behoorlijk anders ingeschat.

18 Opdracht 6.4 Soorten symmetrie: Draaisymmetrie en lijnsymmetrie; 2. Schuifsymmetrie en draaisymmetrie; 3. Schuifsymmetrie; 4. Schuifsymmetrie. Opdracht 6.5

19 Met een beetje fantasie kun je hierin een pistool herkennen. Opdracht 6.6 Op internet zijn fantastische werkbladen te vinden die direct gebruikt kunnen worden. Zie hiervoor bijvoorbeeld de werkbladen van de Wageningse Methode. Mijn eigen werkblad:

20 Werkblad symmetrie Naam: Klas: Bekijk de plaatjes hieronder. Wat valt je op? Pak een spiegeltje. Waar moet je het spiegeltje zetten om in het spiegelbeeld weer hetzelfde plaatje te zien? Teken daar een lijn. Wat je nu gezien hebt noemen we symmetrie. Teken zelf een dier dat ook symmetrisch is. Controleer jezelf met het spiegeltje. Je ziet hierboven twee figuren die ook symmetrisch moeten zijn. Maak de figuren af. Bekijk de plaatjes hieronder. Zijn ze allemaal symmetrisch? Wat klopt er niet? Ontwerp zelf een tuin die helemaal symmetrisch is.