HBS B 1959 (leerling toen 17 jaar, leraar nu 72 jaar)

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "HBS B 1959 (leerling toen 17 jaar, leraar nu 72 jaar)"

Transcriptie

1 MET DE KENNIS VAN NU is gekeken naar zeven examens wiskunde (B) van de vorige eeuw, met name de analyse, door de ogen van de leraar anno nu die ooit zelf zo'n examen moest doorstaan. Is er veel veranderd wat het niveau, de inhoud, de omvang en de kwaliteit van die examens betreft? Het onderdeel meetkunde is een verhaal aart. Via stereometrie, beschrijvende meetkunde (jaren '50), vectormeetkunde (jaren '70), lineaire vectorruimten ('70), stereometrie ('90), terug naar Planimetrie ('00) en straks van de koordenvierhoeken terug naar de kegelsneden was het (naar mijn idee) een vruchteloze zoektocht naar zinvolle (bruikbare) wiskunde. Met uitzondering van de vectorrekening. Ik heb een aantal examens globaal en vluchtig doorgewerkt. Bij voorbaat mijn excuus voor rekenfouten en slordigheden. HBS B 959 (leerling toen 7 jaar, leraar nu 7 jaar) Trigonometrie oent met een vreselijk moeilijke ogave (vind ik nu nog), waar in één ogave de kennis over een omtrekshoek die de helft is van de bijbehorende boog, de oervlakte van een driehoek o drie manieren en alle somformules (ook voor de tangens) een rol selen. Ook ogave met een koordenvierhoek (met de stelling van Thales), gelijke omtrekshoeken, de sinusregel en wederom een somregel vereist veel inventiviteit en grote formulekennis. Ogave (zou, afgezien van de absolute waarde en de graden i..v. radialen) tegenwoordig gevraagd kunnen worden, is wel een staeling van moeilijkheden. Som b is afhankelijk van a, een onvolkomenheid in meer oude examens. Daar staat wel tegenover dat de leraar een grote vrijheid had om unten toe te kennen voor een redelijk verhaal. Een uitgewerkt correctievoorschrift kende men niet in die tijd. Daarmee valt direct de onevenwichtigheid o. Een examen beginnen met de moeilijkste ogave en eindigen met een makkelijke ogave, is tegenwoordig terecht uit den boze. Algebra oent met een ogave over een sommeerbare meetkundige rij (reeks genoemd). De drie subvragen zijn sterk afhankelijk, aan de algebraïsche vaardigheid worden hoge eisen gesteld (zoals eigenlijk bij alle algebraïsche ogaven in het re-tweedefase tijderk). Ogave heeft logaritmische vergelijkingen met grondtal en grondtal / (daartussen bestaat een verband dat tegenwoordig niet meer behandeld wordt). Tamelijk lastig. Ogave bevat weer volo absoluutstreen. Voor wie het trucje kent is dat een makkelijke ogave. Zeer ovallend is weer de onderlinge afhankelijkheid en staeling van de subvragen. Stereometrie en Beschrijvende Meetkunde zijn onderdelen die het uiterste vergen van het ruimtelijk voorstellingsvermogen. Met name het laatstgenoemde onderdeel (de drie aanzichten van een lichaam in één tekening, seciaal voor technische tekenaars bedoeld en niet o het gymnasium gevraagd) was een berucht struikelblok. Men moet zich wel realiseren dat in de jaren vijftig een sterke voorselectie o begaafdheid heerste. Deze meetkunde examens heb ik niet bekeken, omdat ze gaandeweg steeds minder belangrijk werden. HBS B 97 (leerling toen 7 jaar, leraar nu 60 jaar) Goniometrie en Analytische Meetkunde. Ogave. Zwaarteunt van een driehoek = gemiddelde van de coördinaten; het begri oollijn overviel mij dat was ik na die tijd niet meer tegengekomen in de examens. Hetzelfde voor het 'links en rechts coëfficiënten vergelijken', cirkelbundels en lijnenbundels in ogave die ik kna lastig vond, 4 jaar na dato. Ogave a, over twee goniometrische grafieken die elkaar raken in een gegeven unt, deed denken aan een ogave uit het examen wiskunde B VWO 04 die landelijk slecht gemaakt werd. De ogave uit 97 was nog een stuk zwaarder te verteren. En dat geldt nog sterker voor ogave b, waar een goniometrische ongelijkheid moet worden ogelost met ontbinden en een tekenschema. Dit examen vond ik veel meer in balans dan de oudere examens. Met name afhankelijkheid van de subvragen komt hier niet meer voor. We moeten ons realiseren dat in 97 het formuleblad en de (grafische) rekenmachine nog niet uitgevonden waren en gekunstelde contexten ontbraken. Het hele examen aste o één A4tje. De onderweren zijn wat 'moderner' en herkenbaarder dan die van de oude examens, waardoor het niveau wat beter te vergelijken is met dat uit de recente examens wiskunde B VWO. De conclusie is duidelijk: het technische niveau lag in 97 een stuk hoger dan in 04. Om welke reden of oorzaak dan ook. --

2 HAVO wiskunde 976 (leerling toen 7 jaar, leraar nu 57 jaar, aangenomen dat veel havisten doorstroomden naar 5 en 6 VWO en daarna de lerarenoleiding volgden). Meer dan de helft van de havisten had wiskunde in het akket. Deze HAVO examens zijn in mijn ogen meesterwerkjes van beknotheid en duidelijkheid. Het niveau van de algebra schat ik aanmerkelijk hoger dan het huidige VWO wiskunde B niveau. Weliswaar kwamen rimitiveren en e-machten, evenals tegenwoordig, niet voor o de HAVO uit de jaren '70. Geen formuleblad, geen grafische rekenmachine, geen contexten. Een heel examen (,5 uur, vijf ogaven, 5 subvragen) o één blaadje. Ik heb zeven comlete ogaven bekeken om een goed overzicht te krijgen. Getoetst werden de volgende onderweren: - statistiek/kansrekening (elementair) - algebra/analyse grafieken, differentiëren, vergelijkingen : - gebroken functies - wortelfuncties - goniometrische functies - logaritmische functies - vectorrekening - twee dimensies (inroduct) - drie dimensies (uitroduct, afstands- en hoekberekeningen) - stereometrie (gecombineerd met vectorrekening) O de kwaliteit van de examens HAVO uit die tijd heb ik weinig aan te merken. Een nostalgisch gevoel bekroo me toen ik ze weer eens maakte, bedenkend dat in die jaren een groot gedeelte van alle havisten doorstroomde naar 5 VWO. Veel 50lus wiskundeleraren zullen zo'n route gevolgd hebben. VWO WISKUNDE I 976 (leerling toen 8 jaar, leraar nu 56 jaar) Vijf ogaven, 5 subvragen over de onderweren: - Functieonderzoek - Functiestelsels - Integratietechnieken (o.a. artieel integreren) - Differentiaalvergelijkingen - Goniometrische functies - Kansberekeningen Geen meetkunde (die werd beerkt in wiskunde II getoetst). De moeilijkheidsgraad bij wiskunde I was heel hoog, vergeleken met de huidige examens. Ongeveer 40% van de leerlingen koos dit vak. Gerard Koolstra verbeterde de uitwerking van met name vraag en 4b, waarvoor ik hem dank zeg. VWO WISKUNDE B 996 (leerling toen 8 jaar, leraar nu 6 jaar) Min of meer dezelfde onderweren als bij de wiskunde I, o een duidelijk lager niveau, de kansrekening is naar wiskunde A en wiskunde B geschoven en de stereometrie is weer terug. Zeer uitzonderlijk vind ik vraag 0, waar een raaklijn aan een cilinder moet worden geconstrueerd in de stijl van de Beschrijvende Meetkunde, veertig jaar daarvoor. Heel moeilijk. Die vraag zal maar door weinig leerlingen goed gemaakt zijn. VWO WISKUNDE B, 000 (leerling toen 8 jaar, leraar nu jaar) Deze recente examens heb ik niet meer bekeken, de uitwerkingen daarvan zijn overal o het web te vinden. Meetkunde van de kegelsneden en een exlosie van rijk geïllustreerde contexten samen met het formuleblad. Bij wiskunde A zijn de contexten en de grafische rekenmachine nuttig voor de gamma studies, zegt men. Ik heb daarover een andere mening, zeker wat betreft de grafische rekenmachine. Voor wiskunde B heb ik het nut daarvan nooit begreen. In ieder geval o examens is een overdaad aan rekenmachinegestuurde teksten sterk af te keuren. Men is wat dat betreft in dezelfde valkuil gestat als bij de mislukte rekentoetsen F. Otimaliseringsmodellen en het olossen van vergelijkingen in realistische situaties ('redactiesommen') zijn zeker een otie. --

3 HBS B 959 TRIGONOMETRIE. Van een scherhoekige driehoek ABC is gegeven dat α > β. D is het voetunt van de hoogtelijn o AB, M is het midden van AB en H het hoogteunt. De straal van de omgeschreven cirkel van driehoek ABC is R. (Er is geen tekening bij gegeven). a. Bewijs: HD = Rcos α cos β en DM = Rsin(α β) b. Bereken α en β, als γ = 60 o en HD = DM. C a. x = ACD = HBA = 90 o α; h = hoogtelijn AD. N = middelunt cirkel; ANM = ACB = γ (middelunthoek, omtrekshoek o zelfde boog). AD = b cos α; DB = a cos β; AM = R sin γ. O. driehoek = ½absin γ = ½h c = ½h Rsin γ dus ab R h en tan AD HD HD x dus h DB a cosβ acosβ bcos α ab HD cosαcosβ Rcosαcosβ. h h Verder: DM = AM AD = R sin γ b cos α = R sin (α + β) b cos α. Gebruik nu twee keer de somformules: R sin (α + β) b cos α = R sin α cos β + R cos α sin β R sin β cos α = R sin α cos β R cos α sin β = R sin(α β) A A b α γ x A h D H R a γ N M c x A β B b. HD = DM met α + β = 0 o. Links en rechts delen door R en er komt: cos α cos β = sin α cos β cos α sin β; links en rechts delen door cos α cos β geeft: = tan α tan β met tan β = tan (0 o tan0 tan α tan α α) = met tan α = T tan(0) tan α tan α komt er een vierkantsvergelijking in T: T T geeft T T( T) T T 9 geeft T ( ) T 0 met de olossingen T, en T,6 tan α,6 geeft α 67 o (en β 5 o ). Dit uit een tabellenboekje afgelezen.. Van een driehoek ABC is gegeven dat α = 60 o en β = 0 o. P is een unt van de omgeschreven cirkel van ABC; de unten C en P liggen aan verschillende kanten van AB. De straal van de cirkel is R; hoek ABP = x. (Er is geen tekening bij gegeven). a. Druk PA, PB en PC uit in x en R. B b. P doorloot de boog AB, waaro C niet ligt. Voor welke waarde van x is de som PA + PB + PC maximaal? x P a. In rechthoekige APB is PA = R sin x en PB = R cos x. Verschillende omtrekshoeken zijn gelijk en y = 90 o x. Vanwege sin 0 o = ½ in ABC is AC = R. Voor PC gebruiken we de sinusregel in APC: R PC dus PC = R sin (50 x) = R sin (x + 0). sin 0 sin(50 x) b. Ga over o radialen en differentieer Rsin x + Rcos x + Rsin (x+0) cos x sin x + cos (x + π/6) = 0 met de somregel voor de laatste term: cos x sin x + ½ cos x ½sin x = 0 geeft ( + )cos x = sin x. geeft tan x = ( + )/ met x 5 o. (0,894 rad) 0 A y R R 0 60 x R C --

4 . a. Bereken de extreme waarden van cos x 5 sin x + b. Teken de grafiek van de functie cos x 5 sin x + voor 0 x 60 o. a. Overgaan o radialen. f ' (x) = sin x 5 cos x = 4 sin x cos x 5 cos x = 0 cos x = 0 (of sin x = 5/4, geen ol.) geeft x = ½π of x = ½π. f 9 De extremen zijn: max. 9 en min. f ' x 0 ½π ½π π b. Siegelen van het onder de x-as liggende deel. HBS B 959 ALGEBRA. De oneindige reeks t, t, t, enz. met algemene term t n is convergent, d.w.z. deze oneindige n reeks heeft een som s. Er wordt een nieuwe reeks gevormd: T, T, enz. met T = t t, T = t t 4, T = t 5 t 6 enz. a. Schrijf T n als functie van en n. b. Bewijs dat de oneindige reeks T n convergent is en druk de som S van deze reeks uit in. c. Schets de grafiek van s als functie van voor de waarden van waarvoor de reeks een som heeft. a. Meetkundige reeks met a t en reden r en a s r en voorwaarde dus >. Nieuwe reeks en reden n n n Tn tn tn ( ) ( ) ( ) ( ) met eerste term T ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n onder de voorwaarde >. b. Nieuwe som S met > dus convergent. c. De grafiek van s met > staat hiernaast. (met de GR weliswaar). s -4-

5 . Gegeven: f ( x) log( x 4) log(5 x) a. Voor welke waarden van x bestaat f (x)? b. Los o: f (x) = log 8. c. Voor welke waarde van a heeft de vergelijking f (x) = log a twee gelijke wortels? (N.B.: bedoeld wordt: twee gelijke olossingen) a. f (x) bestaat voor x > 4 en voor x < 5 dus voor: 4 < x < 5. b. f (x) = log( x 4) log log( x 4)(5 x) log8 geeft x x = 0 5 x dus (x + )(x 4) = 0 geeft x = of x = 4. (Beide olossingen voldoen). c. De vergelijking log( x 4)(5 x) log a dus x x + a 0 = 0 heeft twee gelijke olossingen als de discriminant + 4(a 0) = 0 dus als 79 a. 4. a. Voor welke waarden van x geldt: 4 x = x 4? b. Teken voor 6 x + 6 de grafiek van de functie: 4 x x x a. In het algemeen: de vergelijking A = A heeft als olossing: A 0. Dus heeft de gegeven vergelijking 4 x = x 4 als olossing x 4 0. Dit geeft als olossing alle x en alle x. b. Voor x en voor x staat hier de functie: f (x) = x x x = x. Voor x staat er: g (x) = 4 x x x = x + x + 8 Het middenstuk is dus een arabool met to (, ) en snijunt x-as ( ) Snijunt y-as (0, 8). -5-

6 HBS B 97 GONIOMETRIE en ANALYTISCHE MEETKUNDE. Gegeven is de hyerbool met vergelijking xy = 4. a. O de hyerbool ligt een unt P. De lijn OP snijdt de hyerbool behalve in P nog in een unt Q. De lijn door P evenwijdig aan de x-as en de lijn door Q evenwijdig aan de y-as snijden elkaar R. Punt P doorloot de hyerbool. Stel de vergelijking o van de verzameling van de zwaarteunten van de driehoeken PQR. b. Bereken de coördinaten van het unt A waarvoor geldt dat de oollijn van A ten ozichte van de hyerbool samenvalt met de oollijn van A ten ozichte van de arabool met vergelijking y = x. a. Stel x P =. De coördinaten zijn: 4 4 P(, ) Q(, ) Het zwaarteunt Z is het gemiddelde hiervan dus: Voor de coördinaten (x, y) van Z geldt dus Na eliminatie van staat hier de vergelijking x en 4 P(, ) 4 Z(, ) 4 y 4 y oftewel 9x 4 xy. 9 R Q P b. De oollijn van het unt (x A, y A ) t.o.v. de hyerbool xy = 4 is xy A + yx A = 8... () De oollijn van het unt (x A, y A ) t.o.v. de arabool y = x is yy A = x + x A oftewel x yy A = x A geschreven als: xy A yy A = xa y A... () Links en rechts de coëfficiënten in () en () vergelijken levert: x A = y A en xa y A = 8 ; eliminatie hieruit van x A levert: y A = 8 dus ya = en x A = 4. Conclusie: het unt is A( 4, ).. Een stelsel cirkels is gegeven door x + y λx 4λ y = 0 met λ 0. a. Stel de vergelijking o van de verzameling van de middelunten van de cirkels. b. Elk exemlaar van het stelsel snijdt de x-as in O en in een unt A. Bij elk exemlaar van het stelsel behoort een lijn die dat exemlaar in A raakt. Bewijs dat de lijnen door een vast unt gaan en bereken de coördinaten van dat unt. c. Door de waarden λ en λ van λ worden twee cirkels van het stelsel gegeven. Welke betrekking bestaat tussen λ en λ als deze cirkels elkaar loodrecht snijden? a. Kwadraat slitsen: (x λ) λ + (y λ ) 4λ 4 = 0 dus (x λ) + (y λ ) = λ + 4λ 4 Middelunten: M (λ, λ ) liggen o de arabool y = x (behalve O(0, 0)). b. y = 0 geeft x - λx = 0 dus A (λ, 0). RiCo, doe d/dx: dy dy x y dx dx λ 4λ 0 dy dx dy λ x dy λ λ x dus in unt A(λ, 0) dus (λ 0) dx y λ dx 0 λ λ (y 4λ ) λ Raaklijnen: y x gaan alle door (0, ). λ S c. Loodrecht snijdende raaklijnen gaan door de middelunten, M (λ, λ ) en M (λ, λ ) en de stelling van Pythagoras 4 4 levert (λ λ ) (λ λ ) λ 4λ λ 4λ Uitwerken tot λλ 8(λλ ) 0 geeft twee antwoorden: λλ 0 of λλ M M

7 . Voor 0 x π is gegeven: f (x) = cos x + sin x en de functie g (x) met: g( x) f ( x) en g(0) f (0) a. Bewijs dat de grafieken van f en g elkaar raken in een unt met x = π. b. In welk interval zijn de functies f en g beide stijgend? a. g( x) cos x sin x ; g (x) = sin x + ½cos x + C en g (0) = ½ + C = dus C = ½ f ' (π) = g ' (π) geeft: sin π + cos π = cos π sin π geeft 0 + = + 0 en dat klot. f (π) = g (π) geeft: cos π + sin π = sin π + ½cos π ½ geeft + 0 = 0 + ½ ½ en dat klot ook. b. f '(x) > 0 sin x + cos x > 0 sin x + ( sin x) > 0 (sin x ½)(sin x + ) < 0 5 Omdat (sin x + ) > 0 voor alle x, staat hier: sin x < ½ met ol. [0, π) ( π, π]... () 6 6 g '(x) > 0 cos x sin x > 0 cos x sin x cos x > 0 cos x ( + sin x) < 0 Omdat ( + sin x) > 0 voor alle x, staat hier: cos x < 0 met ol. π, π... () 5 De doorsnede van () en () is het interval: π, π 6-7-

8 HAVO 976 '77. Voor elk reëel getal a is gegeven de functie ( ) x a fa x x ax a a. Onderzoek de functie f en teken de grafiek van deze functie. b. Voor welke a heeft de grafiek van f a geen verticale asymtoot? c. Los o: f 4 (x) > f 0 (x) a. f( x) Extremen: x x x Nulunt: x = ; H.A. y = 0; Geen V.A. want D = < 0 ( x x ) (x )( x ) x f( ) 0 ( x x) geeft: x 6x = 0 x = 0 of x = Tekenschema f ` x 0 MIN. MAX. MIN. f ( ) = ; MAX. f (0) = b. De vergelijking x + ax + a = 0 heeft geen olossing als D < 0 dus a 4a < 0 dus 0 < a < 4. c. Ogelost moet worden: x x x 4 x( x 4) ( x 4x 4) x 4x 4 x x 4x 4 x x( x ) x( x ) x( x ) Voor het linkerlid een tekenschema: ** * x 0 De olossing is dus: x < 0 (maar x ). Voor 0 x π zijn gegeven de functies: f ( x) (6sin x) en g( x) cos x a. Los o: f (x) = g(x) b. Teken in één figuur de grafieken van f en g. c. Onderzoek of de grafieken elkaar loodrecht snijden. f (x) a. Kwadrateren geeft 6sin x = 4cos x = 4( sin x) dus 4sin x + 6sin x 4 = 0 sin x + sin x = 0 geeft 5 5 sin x, geeft sin x dus x ( x π vervalt) 6 6 g (x) 5 b. Snijunt: ( π, ) 6 6cos x cos x 5 c. f ( x) f ( π) ( ) 6sin x 6sin x 6 5 g( x) sin x g( π) Het roduct van de r.c. is is dus NIET loodrecht. 6-8-

9 . Gegeven de arabool : y 4y + 4 x = 0 en de lijn k: x 4 λ y 0. a. De lijn k snijdt in de unten A en B. Bereken de lengte van lijnstuk AB. b. De lijn m is evenwijdig aan k en raakt. Stel een vergelijking van m o. c. De cirkel c met middelunt o de y-as raakt in het unt (, 0). Stel een vergelijking van c o. a. : (y ) = x heeft (0, ) als to en de lijn y = als symmetrieas. De snijunten van k en volgen uit: ( λ ) = ( 4 + λ) dus λ + λ = 0 Uit de abc-formule volgt: λ = of λ = ½ met de snijunten A(, 4) en B(4½, ). De lengte AB = ( ) 5 4 b. De vergelijking van lijn m is: y = x + b. Dit invullen in : (y ) = x geeft: ( x + b ) = x geeft 4x b + 8x 4bx 4b = x dus 4x + (6 4b)x + (b ) = 0. Er is srake van raken als D = 0 dus: (6 4b) 6 (b ) = 0 met de olossing: b. 4 Omerking: het gaat iets sneller met de substitutie x = b y = (y ) en y 4y y b = 0 Hierin is D = 9 4 (4 b) = 0 enzovoorts. c. Merk o, dat (, 0) inderdaad een unt van de arabool is, want: (0 ) = 4. De raaklijnvergelijking (*) in het raakunt (x, y ) is: (y )(y ) = x + x met x = en y = 0. Dus is de raaklijnvergelijking: x + y = 0 oftewel: y = ½x + De normaal (loodlijn) in (, 0) heeft als vergelijking: y = x 4; deze snijdt de y-as in M(0, 4). De vergelijking van cirkel c is dus: x + (y + 4) = 0 [ r = + ( 4) = = 0 ] (*) Kan ook ogelost worden via f ( x) x en f( x) x 4 4. Gegeven de functies: f (x) = log(4 x ) en g (x) = log( + x) a. Bereken het domein van f en bereken het domein van g. b. Los o: f (x) g (x) = 0 c. Los o: f (x) + g (x) = a. Df: 4 x > 0 geeft < x < Dg: + x > 0 geeft x > b. f (x) = 0 : 4 x = 0 = geeft x = of x = of g (x) = 0 geeft + x = dus x = c. log(4 x ) + log( + x) = geeft log [(4 x ) ( + x)] = dus (4 x ) ( + x) = = x x x = 8 dus x + x 4x = 0 geeft x(x + x 4) = 0 Ol. x = 0 of x = + 5 of x = 5 (maar de laatste vervalt). 5. Aan een diner nemen 5 echtaren deel. Er zijn 0 briefjes gemaakt waarvan iedere ersoon er één akt. O van die briefjes staat een kruis. Wie een briefje met een kruis akt, moet afwassen. Bereken de kans dat a. twee dames moeten afwassen Antw b. een heer en een dame moeten afwassen Antw c. een echtaar moet afwassen Antw. (dus niet ) -9-

10 6. In R is gegeven de iramide D.OABC met O(0,0,0) A(4,0,0) B(4,6,0) C(0,6,0) en D(0,0,8). P is het midden van de ribbe AD. Verder is gegeven het unt Q(0,0,5). a. Bereken de afstand van P en vlak BCD. b. Vlak V gaat door P en Q en is evenwijdig met CD. V snijdt de ribbe AB in E. Bereken de coördinaten van E. c. O de ribbe AB ligt een unt F. De cosinus van de hoek van lijn OF en lijn CD is 0,. Bereken de coördinaten van F. a. Vectorvoorst. BCD: x 0 0 y 0 λ 0 μ 6 z nbcd 0 4 Vergelijking vlak BCD: 4y + z = 4. Afstand (P, BCD) = 4y z 5 5 P(,0,4) x b. P(,0,4) en Q(0,0,5) geeft v.v. vlak V: y 0 λ μ 0 met nv 0 8 z Vergelijking V: x + 8y + 6z = 0 [ Uitroduct! ] x 4 0 Snijden met AB: 9 9 y 0 geeft = 0 dus en E(4,,0) z c. F(4,, 0) Hoekformule: cosφ 0, [ Inroduct! ] = + 6 geeft = dus F(4,, 0) A P = = 6 D(0,0,8) 5 Q O B 4 C 7. O het domein [0, π] is gegeven de functie: f (x) = ( cos x) ( + cos x) a. Los o: f (x) = b. Onderzoek f en teken de grafiek. c. Voor welke heeft de vergelijking recies twee olossingen o dit domein? a. ( cos x) ( + cos x) = cos x + cos x = geeft cos x cos x = 0 geeft cos x ( cos x) = 0 Olossingen: x = 0, x = ½π, x = ½π, x = π. b. Nulunt cos x = geeft (π, 0) f '(x) = ( + cos x) sin x + ( cos x) sin x = 0 geeft sin x (cos x ) = 0 dus olossingen: x = 0, x= π/, x = π, x = 5π/, x = π. Tekenschema: f ' x 0 π/ π 5π/ π MIN MAX ¼ MIN 0 MAX ¼ MIN 0 = ¼ y = π c. Zie de grafiek, er zijn twee gemeenschaelijke unten als = ¼ en als 0 < <. -0-

11 VWO wiskunde I, 976 (verbeteringen en commentaar van Gerard Koolstra). Gegeven is van [-, 8] naar R de functie f x x + x a. Bewijs dat deze functie in x = 0 niet differentieerbaar is. b. Onderzoek de functie f en teken de grafiek van f. c. Bereken de oervlakte van het vlakdeel ingesloten door de grafiek van f en de x-as. a. In die tijd werd er veel aandacht besteed aan continuïteit, differentieerbaarheid e.d. Voor x 0 geldt dat f (x) = + x = + x Om de differentieerbaarheid in x=0 te onderzoeken is echter de definitie nodig. Bestaat lim h 0 f(0+h) f(0) h? = lim h 0 h+ h f(h) f(0) 0 lim h 0 = lim h h h 0 ( h h Deze limiet bestaat niet, dus de functie is niet differentieerbaar in h. ) h h ) = lim h 0( + b. Een zeer bekende vraag in die tijd. Onderzoek imliceerde in ieder geval: ) tekenschema f(x) [incl. domein] ) tekenschema f (x) ) extremen (incl. randextremen) 4) (verticale en horizontale) asymtoten ) Het domein is hier [-, 8]. f(x)=0 ; x + x = 0 ; x = x ; 7x = 8x ; x = 0 of 8x = 7 x = 0 of x = 7 8 Enkele functiewaarden: f(-) = + =5 f() = - + = f(8) = = -4 f(x) ****** *** / 8 8 ) f (x) = + x = + (voor x 0 ) x f (x)= 0 ; + = 0 ; = ; x = ; x= x f (x) ****** * *** ) Randmaximum: f(-)= 5 Lokaal minimum: f(0)= 0 Lokaal maximum: f()= Randminimum: f(8)= -4 In (0,0) heeft de grafiek een verticale raaklijn 4) Er zijn geen asymtoten Tekening: zie hiernaast. Het bereik is [-4, 5] 7 8 c. O. = ( x + x ) dx 0 omerking: x = = 79 0 = [ x x5 8 ] 0 = = + 79 = Het berekenen (zonder rekenmachine) van ( 7 8 )5 vraagt een verstandige aanak, bijvoorbeeld: ( 7 8 )5 = (( ) ) = ( )5 of ( )5 = ( )5

12 . Gegeven is de differentiaalvergelijking (x + y) d = (x + 4y) dx a. Teken de verzameling van de unten waarin het lijnelement dat aan de differentiaalvergelijking voldoet, een negatieve richtingscoëfficiënt heeft. b. Welke tweedegraadsfunctie voldoet aan de differentiaalvergelijking? c. De lijn l raakt een integraalkromme van de differentiaalvergelijking in het unt P(, ). Bewijs dat P het enige unt van l is waarin l een integraalkromme raakt. a. dy x 4y dx x y De verticale lijnelementen liggen o y = x De horizontale lijnelementen liggen o y = ½x Singuliere unten (0, 0) (, 4) (, 4) Positieve helling + in bijv. (±, 0) en + 4 in (0,±). Negatieve helling: zie de gearceerde gebieden b. y = ax + bx + c met dy = (ax + b) dx substitueren in de d.v. geeft: (x + ax + bx + c) (ax + b) dx = (x + 4(ax + bx + c)) dx Links en rechts de coëfficiënten vergelijken: a x + (4a + ab)x + (b+b + ac)x + bc x + 4ax + 4bx + 4c a = 4a + ab = 4a b+b + ac = 4b bc = 4c Dit levert de olossingen a = of a = en b = c = 0 De olossingskrommen zijn dus y = x en y = x (behalve (0,0)). c. dy dx (,) 6 De lijn door (, ) met r.c. heeft vergelijking: y = x x 4(x) Dit substitueren in de d.v. geeft: x(x) Invullen in geeft y = = ; hieruit volgt dat (, ) het enige raakunt o l is. x 8x 4 8x x. Gegeven is het stelsel functies f ( x) x e x a. Bewijs dat er een unt is waarin de grafieken van alle functies f elkaar raken. b. G is het vlakdeel ingesloten door de x-as, de grafiek van f en de lijn x =. Bereken de inhoud van het lichaam dat ontstaat bij wenteling van G om de x-as. c. Voor welke heeft f een maximum? Gevraagd de verzameling van de unten (x, y ), waarbij y zo'n maximum is met bijbehorende x. a. f (0) = 0 voor alle. Dus gaan alle grafieken door (0, 0). We bealen f '(0): f '(x) = e x x x e x = e x ( x ) = 0 geeft f '(0) = (onafhankelijk van ). De lijn y = x is een gemeenschaelijke raaklijn en het gemeenschaelijke raakunt is (0, 0). b. f (x) = x e x Inhoud = x x f 0 x dx x e dx e π ( ( )) π ( ) π e π( ) (rimitiveren via substitutie x = u en du = x dx) c. Uit f '(x) = 0 volgt: ( x ) = 0 dus x oftewel x --

13 Na substitutie Omerking: x in f (x) volgt voor de verzameling toen: y x xe (met x > 0) Voor > 0 en rechts van een to, voor x is ( x ) negatief, f dus dalend. Voor < 0 en rechts van een to, voor x is ( x ) ositief, f dus stijgend. Voor de verzameling van de MAXIMA (toen) geldt dus de beerking x > 0. (Voor de dalen geldt: x < 0) e 4. In een vaas bevinden zich k rode en n blauwe dobbelstenen. a. Trek aselect uit de vaas een dobbelsteen en wer hiermee. De kans o de kleur rood en de wor 6 is gelijk aan /6. Leg de getrokken dobbelsteen niet terug in de vaas. Trek aselect uit de vaas een tweede dobbelsteen en wer hiermee. Onder voorwaarde dat de eerste dobbelsteen rood was, is de kans o de kleur blauw en de wor 6 gelijk aan /5. Hoeveel dobbelstenen bevonden zich aanvankelijk in de vaas? b. Neem aan dat n = k + 4. Trek aselect zonder teruglegging twee dobbelstenen uit de vaas. De kans dat één van de dobbelstenen rood en de andere blauw is, is groter dan ½. Leg de twee getrokken dobbelstenen terug in de vaas. Trek aselect weer twee dobbelstenen uit de vaas, maar nu met teruglegging. Bereken het minimum van de kans dat één van de dobbelstenen rood en de andere blauw is. a. k rood, n blauw. P(rood en 6) = k geeft k = k + n dus 0k = n... () 6 k n 6 n Daarna: P(blauw en 6) = geeft 5n = 4n + 4k 4 dus 4k = n () nk 6 5 Uit () en () volgt: k = 6 en n = 0; er lagen 6 dobbelstenen in de vaas. b. k rood en k + 4 blauw. Zonder terugleg: P(R,B) + P(B,R) = Dus: 4k + 8k > 4k + 4k + geeft k > 6. kk ( 4) Daarna met terugleg: P(R,B) + P(B,R) = (k 4) De kans P(k) = k(k+4) 4 (k+) = k(k+4) k +4k = (k+) k +4k+4 kk ( 4) (k4)(k) onder de voorwaarde k > 6. = ( k +4k+4 k +4k+4 4 k +4k+4 ) = ( 4 (k+) ) is een stijgende functie voor k>6. De minimumkans doet zich dus voor bij de kleinst mogelijke waarde van k : k=7 (k is geheel): P (7) = 4 = 54 = 77 is het minimum van de kans Voor elke is o <0, π> gegeven de functie f ( x) sin x sin x a. Los o: f (x) f (x) > b. Bereken het bereik van de functie g (x) = f (x) : f (x) c. Voor welke geldt dat de vergelijking f (x) = tan x geen olossingen heeft o <0, π>? --

14 a. sin x sin x sin x sin x... (*) sin x sin x sin x sin x Voor 0 < x < ½π is sin x > 0 en gaat (*) over in: sin x < en dat levert geen olossingen. Voor ½π < x < π is sin x < 0 en gaat (*) over in: sin x > met de olossing: ½π < x < π b. sin x cos x( sin x) cos x( sin x) cos x f (x) : f (x) = gx ( ) met g( x) sin x ( sin x) ( sin x) 0 Dit geeft een maximum / voor x = ½π en twee randminima ½ ; tekenschema's: g ½ / ½ g ' Dus het bereik van g(x) is x 0 ½π π [, ] sin x sin x sin x c. Uit tan x volgt ; omdat cos x 0 (staat in de noemer) mag je hier sin x sin xcos x cos x links en rechts met cos x vermenigvuldigen, zodat er komt: sin x sin x = y = Via een schets van de grafieken h (x) = sin x sin x en y = kunnen we onderzoeken, wanneer er geen olossingen zijn. h ' (x) = 4 sin x cos x cos x = cos x (4sin x ) = 0 /8 MAX. als cos x = 0 dus als x = ½π MIN. /8 als sin x = /4 geeft h (/4) = /6 /4 = /8. Het antwoord o de vraag is dus: voor > en voor < /8 zijn er geen olossingen. -4-

15 VWO Wiskunde B 99 - I Ogave Gegeven is de functie f ( x) x 4 x met x 0. K is de grafiek van f.. Onderzoek f en teken K.. Bereken de oervlakte van de driehoek gevormd door de x-as en de raaklijnen aan K in de unten waar K de x-as snijdt.. V is het vlakdeel begrensd door K en de lijn y =. Bereken in gehelen nauwkeurig de inhoud van Het lichaam dat ontstaat door V te wentelen om de lijn y =.. Nulunten: x 4 x 0 4 x x 6x x 6x 9 x 0x + 9 = (x )(x 9) = 0 Snijunten (, 0) en (9, 0) Extremen: f( x) 0 geeft MIN. f (4) = x Tekenschema: x f '(x) * f (x) 0 VERT HOR MIN.. Raaklijnen: f () vergelijking raaklijn y = x + f (9) vergelijking raaklijn y x Snijunt volgt uit y = x = x 9 dus x = ; snijunt (, ); O. driehoek = ½ 8 = 8.. Grafiek snijden met y = geeft x 4 x = 0 geeft x = 6x snijunten (0, ) en (6, ). Schuif de grafiek omlaag. Dat geeft g (x) = x 4 x wentelend om de x-as. Inhoud is: π ( g( x)) dx π ( x 8x 6 x) dx π x x 8x Ogave Gegeven is de kromme K met x = ln t + en y = ln t met t en t Er zijn drie snijunten van K met de coördinaatassen. 4. Bereken de richtingscoëfficiënten van de raaklijnen in deze snijunten. K heeft een horizontale, een verticale en een scheve asymtoot. 5. Stel een vergelijking o van elk van deze asymtoten. 6. Teken K. 7. Bewijs dat K symmetrisch is ten ozichte van de lijn y = x. 4. x = 0 geeft t + = geeft t = 0 of t = geeft (0, 0) en (0, ln ). y = 0 geeft t = geeft ook nog t = dus (ln, 0) Rico: dy y t t dx x t t geeft rico in (0,0) rico in (ln, 0) en rico / in (0, ln ). 5. t dan x en y ln geeft H.A. y = ln t + dan x ln en y geeft V.A. x = ln t t t ± dan y x = ln(t ) ln(t+) = ln ln ln t t gaat naar 0 dus S.A. y = x

16 7. Merk o, dat voor tegengestelde waarden van t de x en y verwisseld worden: Vervang t door t en er staat: x = ln t + = ln t = ln t ( is de oude y) en y = ln t = ln t + (is de oude x) Waarmee de symmetrie t.o.v. de lijn y = x aangetoond is. Omerking: de grafiek bestaat uit twee stukken: voor t : y = ln + e x en voor t < : y = ln + e x Ogave Van het rechte risma ABC.DEF dat hiernaast getekend is is gegeven: BAC = 90º, AB = 6, AC = 8 en AD = 0. P is het midden van EF. Vlak ACP verdeelt het risma in twee delen. 8. Bereken de verhouding van de inhouden van die twee delen. 9. Een bol raakt vlak ABC en gaat door D, E en F. Bereken de straal van deze bol. 0. Teken in de figuur de lijn door P die lijnstuk AC snijdt en lijn CF kruist o een afstand van. 8. Vlak ACP heeft als snijlijn met vlak EDF de lijn PQ // AC // DF. Inhoud risma ABC.DEF is 8 0 = 40. Inhoud afgeknot risma ABC.QEP is 7/8 / 4 0 = 40. Verhouding is: 40 : (40 40) = 40 : 00 = 7 : 5 9. M ligt o lijn PN // ADEB zo, dat NM = ME. In MPE is hoek P = 90 o, MP = 0 r en PE = + 4 (0 r) + 5 = r dus 00 0r + 5 = 0 geeft r = 6¼. 0. De lijnen door P die CF kruisen o een afstand, raken aan de cilinder met straal die CF als as heeft. In de figuur rechts is driehoek FDE een kwartslag gedraaid om FD. Driehoek FDE ' is dus een arallelrojectie van FDE. C T dus: N 6 r R M 0 F S r Q 8 as = CF U P P ' r = A D E ' R B E Q P De raaklijn vanuit P ' naar raakunt R raakt de cirkel om F met straal en snijdt DF in S. De raaklijn aan de cilinder zal dus in raakvlak PSTU moeten liggen, evenwijdig aan de as CF. Maar ook zal de gezochte lijn in vlak ACPQ moeten liggen (vraag 8) dus is de gezochte lijn de lijn PT. Omerking: de laatste vraag doet sterk denken aan het vak 'Beschrijvende meetkunde' zoals dat o de oude HBS (tot halverwege de jaren zestig) werd bedreven. -6-

17 Ogave 4 Voor - ½ π x ½ π is gegeven:. Los o: f (x) 4 cos x. f( x) cos x dy Verder is gegeven de differentiaalvergelijking y sin x dx. Onderzoek of f (x) een olossing is van de differentiaalvergelijking. Voor een olossingsfunctie g van de differentiaalvergelijking geldt: g (½π) =. Toon aan dat g (½π) een maximum is. 4. Stel een functievoorschrift o van g.. Voor een schetsje van de grafieken moet gezien worden dat cos x tussen en ligt, de noemer + cos x dus tussen 0 en ligt en de breuk dus een minimum ½ heeft voor x = 0. Eerst olossen de vergelijking: 4cos x cos x geeft 4cos x cos x cos x met de olossingen 8 (cos x ) De ongelijkheid heeft dus als olossing π x π π x π x π.. Invullen y cos x en dy sin x sin x in de d.v. geeft: sin x dx ( cos x) ( cos x) ( cos x) en dat klot voor alle x, f (x) is dus een olossing van de differentiaalvergelijking.. Een tekenschema van dy/dx levert nulunten o de lijnen y = 0 (de x-as) en sin x = 0 (de lijnen x = 0, x = ½π, x = π, enz). Steekroefjes links en rechts naast de lijn x = ½π (bijvoorbeeld bij x = ¼π en ¾π) levert het atroon + 0 horend bij een maximum. 4. De d.v. integreren: dy sin x dx geeft y dus C=0 en gx ( ) cos x cos x C invullen geeft = cos π + C y -7-

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 6 januari 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 donderdag 23 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 donderdag 23 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2016 tijdvak 2 donderdag 23 juni 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 16 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 76 unten te behalen. Voor

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 januari Tijd: 9. -. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een berekening

Nadere informatie

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3

8.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 8.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Bereken het snijpunt van 3x + 2y = 6 en -2x + y = 3 2x y 3 3 3x 2 y 6 2 Het vermenigvuldigen van de vergelijkingen zorgt ervoor dat in de volgende stap de x-en tegen elkaar

Nadere informatie

H28 VIERKANTSVERGELIJKINGEN

H28 VIERKANTSVERGELIJKINGEN H8 VIERKANTSVERGELIJKINGEN vwo 8.0 INTRO - - 8. TERUGBLIKKEN 3 a x = 3½ b x + 7 = x + 7 = x + 6 = x Dus x = 3 c x = of x = - d x + 6 = of x + 6 = - x= - of x = -0 e Er is geen olossing, want het kwadraat

Nadere informatie

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a:

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 10.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [1] a [2] q a q p pq p p p a a [3] ( ab) a b [4] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 1 8 : a a : a a a a 3 8 3 83 5 Voorbeeld

Nadere informatie

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten

Nadere informatie

Voorbereidende sessie toelatingsexamen

Voorbereidende sessie toelatingsexamen 1/34 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Veeltermen en analytische meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 29 april 2015 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal

Nadere informatie

Vraag Antwoord Scores. 1 (dus de oppervlakte. van V en de oppervlakte van driehoek OAB zijn gelijk ) 1

Vraag Antwoord Scores. 1 (dus de oppervlakte. van V en de oppervlakte van driehoek OAB zijn gelijk ) 1 Beoordelingsmodel Vraag Antwoord Scores Gelijke oervlakte maximumscore f' ( x) = x x = geeft x = Dit geeft x = ( ) ( ) f = = (dus de coördinaten van T zijn ( ) maximumscore 6 De oervlakte van V is ( )

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: juli 00 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een berekening

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 22 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 0 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 3 juni 4 Tijd: 4. - 7. uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een redenering,

Nadere informatie

Examen havo wiskunde B 2016-I (oefenexamen)

Examen havo wiskunde B 2016-I (oefenexamen) Examen havo wiskunde B 06-I (oefenexamen) De rechte van Euler Gegeven is cirkel c met middelpunt (, ) p Stel een vergelijking op van c. De punten B(, 0) en ( 4, 0) M die door het punt A( 0, 4) C liggen

Nadere informatie

11.1 De parabool [1]

11.1 De parabool [1] 11.1 De parabool [1] Algemeen: Het punt F heet het brandpunt van de parabool. De lijn l heet de richtlijn van de parabool. De afstand van F tot l heet de parameter van de parabool. Defintie van een parabool:

Nadere informatie

4 a x x + 36 = 16 x x + 20 = 0 b x x + 20 = (x + 2)(x + 10) c x = -2 of x = -10

4 a x x + 36 = 16 x x + 20 = 0 b x x + 20 = (x + 2)(x + 10) c x = -2 of x = -10 H8 VIERKANTSVERGELIJKINGEN VWO 8.0 INTRO - - 8. TERUGBLIKKEN a x = b x + 7 = x + 7 = x + 6 = x x = c x = of x = - d x + 6 = of x + 6 = - x = - of x = -0 e Er is geen olossing, want het kwadraat van een

Nadere informatie

Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen)

Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen) Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen) Beschouw de 4 termen: x y, x, 6, 9x Voor welke waarden van x en y vormen deze termen een rekenkundige rij? x 9x x, 6, 9 x : RR 6 0x x 0,9 0,9 y ;,9 ; 6 ; 8,,

Nadere informatie

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden 4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 maandag 15 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 maandag 15 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 017 tijdvak 1 maandag 15 mei 13:30-16:30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 14 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 69 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B 2013-I

Eindexamen vwo wiskunde B 2013-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Hoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen

Hoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen Hoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen Les 0 (Extra) Aant. Voorkennis: Hoeken en afstanden Theorie A: Sinus, Cosinus en tangens O RHZ tan A = A RHZ O RHZ sin A = SZ A RHZ cos A = SZ Afspraak: Graden afronden

Nadere informatie

2010-II bij vraag 1. Vooraf: De stelling van de constante (omtreks)hoek.

2010-II bij vraag 1. Vooraf: De stelling van de constante (omtreks)hoek. 200-II bij vraag Vooraf: De stelling van de constante (omtreks)hoek. Een applet (animatie) hierover is te vinden op bijvoorbeeld: http://home.planet.nl/~hietb062/java3.htm#constantehoek De punten P op

Nadere informatie

Samenvatting Wiskunde B

Samenvatting Wiskunde B Bereken: Bereken algebraisch: Bereken eact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte opties. Kies op een eamen in dit geval voor berekenen

Nadere informatie

9.1 Vergelijkingen van lijnen[1]

9.1 Vergelijkingen van lijnen[1] 9.1 Vergelijkingen van lijnen[1] y = -4x + 8 is de vergelijking van een lijn. Hier wordt y uitgedrukt in x. Algemeen: Van de lijn y = ax + b is de richtingscoëfficiënt a en het snijpunt met de y-as (0,

Nadere informatie

2012 I Onafhankelijk van a

2012 I Onafhankelijk van a 0 I Onafhankelijk van a Voor a>0 is gegeven de functie: f a (x) = ( ax) e ax. Toon aan dat F a (x) = x e ax een primitieve functie is van f a (x). De grafiek van f a snijdt de x-as in (/a, 0) en de y-as

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B vwo II

Eindexamen wiskunde B vwo II Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde Overzicht eigenschappen en formules meetkunde xioma s Rechten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken 5 e cirkel 6 Veelhoeken 7 nalytische meetkunde Op de volgende bladzijden vind je de eigenschappen en formules

Nadere informatie

3 Hoeken en afstanden

3 Hoeken en afstanden Domein Meetkunde havo B 3 Hoeken en afstanden Inhoud 3.1 Cirkels en hun middelpunt 3.2 Snijden en raken 3.3 Raaklijnen en hoeken 3.4 Afstanden berekenen 3.5 Overzicht In opdracht van: Commissie Toekomst

Nadere informatie

2004 Gemeenschappelijke proef Algebra - Analyse - Meetkunde - Driehoeksmeting 14 vragen - 2:30 uur Reeks 1 Notatie: tan x is de tangens van de hoek x, cot x is de cotangens van de hoek x Vraag 1 In een

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de

Nadere informatie

2.0 Voorkennis. Herhaling merkwaardige producten: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2

2.0 Voorkennis. Herhaling merkwaardige producten: (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B)(A B) = A 2 B 2 .0 Voorkennis Herhaling merkwaardige producten: (A + B) = A + AB + B (A B) = A AB + B (A + B)(A B) = A B Voorbeeld 1: (5a) (a -3b) = 5a (4a 1ab + 9b ) = 5a 4a + 1ab 9b = 1a + 1ab 9b Voorbeeld : 4(x 7)

Nadere informatie

WISKUNDE 5 PERIODEN. DATUM : 4 juni 2010. Formuleboekje voor de Europese scholen Niet-programmeerbare, niet-grafische rekenmachine

WISKUNDE 5 PERIODEN. DATUM : 4 juni 2010. Formuleboekje voor de Europese scholen Niet-programmeerbare, niet-grafische rekenmachine EUROPEES BACCALAUREAAT 2010 WISKUNDE 5 PERIODEN DATUM : 4 juni 2010 DUUR VAN HET EXAMEN : 4 uur (240 minuten) TOEGESTANE HULPMIDDELEN : Formuleboekje voor de Europese scholen Niet-programmeerbare, niet-grafische

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 21 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 21 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VWO 07 tijdvak woensdag juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 4 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 7 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Uitgewerkte oefeningen

Uitgewerkte oefeningen Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4

Nadere informatie

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 2 woensdag 19 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 0 tijdvak woensdag 9 juni.0-6.0 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Voorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie

Voorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

2 1 e x. Vraag 1. Bereken exact voor welke x geldt: f (x) < 0,01. De vergelijking oplossen:

2 1 e x. Vraag 1. Bereken exact voor welke x geldt: f (x) < 0,01. De vergelijking oplossen: 0-II De functie f( ) e Vraag. Bereken eact voor welke geldt: f () < 0,0. De vergelijking oplossen: 0-II De functie f( ) e Vraag. Bereken eact voor welke geldt: f () < 0,0. De vergelijking oplossen: e 00

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO 2014

Correctievoorschrift VWO 2014 Correctievoorschrift VWO 0 tijdvak wiskunde B Het correctievoorschrift bestaat uit: Regels voor de beoordeling Algemene regels Vaksecifieke regels Beoordelingsmodel 5 Inzenden scores Regels voor de beoordeling

Nadere informatie

Checklist Wiskunde B HAVO HML

Checklist Wiskunde B HAVO HML Checklist Wiskunde B HAVO 4 2014-2015 HML 1 Hoofdstuk 1 Lineaire vergelijkingen en lineaire ongelijkheden oplossen. Wanneer klapt het teken om? Haakjes en breuken wegwerken. Ontbinden in factoren: x buiten

Nadere informatie

vwo A deel 4 13 Mathematische statistiek 14 Algebraïsche vaardigheden 15 Toetsen van hypothesen 16 Toepassingen van de differentiaalrekening

vwo A deel 4 13 Mathematische statistiek 14 Algebraïsche vaardigheden 15 Toetsen van hypothesen 16 Toepassingen van de differentiaalrekening vwo A deel 4 13 Mathematische statistiek 13.1 Kansberekeningen 13.2 Kansmodellen 13.3 De normale verdeling 13.4 De n -wet 13.5 Discrete en continue verdelingen 13.6 Diagnostische toets 14 Algebraïsche

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO 2013

Correctievoorschrift VWO 2013 Correctievoorschrift VWO 03 tijdvak wiskunde B B Het correctievoorschrift bestaat uit: Regels voor de beoordeling Algemene regels 3 Vaksecifieke regels 4 Beoordelingsmodel 5 Inzenden scores Regels voor

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 8 juli 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: goniometrie en meetkunde 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2005-I

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2005-I Eindexamen wiskunde B- vwo 005-I 4 Beoordelingsmodel Inademen Maximumscore,5t, 6( e ), 4,5t (: e 0,90) beschrijven hoe de oplossing van deze vergelijking (met de GR) kan worden gevonden t 0,9 ( t 0,9)

Nadere informatie

4.1 Rekenen met wortels [1]

4.1 Rekenen met wortels [1] 4.1 Rekenen met wortels [1] Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B 3) A 2 A Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.1 Rekenen met wortels [1] Voorbeeld 3:

Nadere informatie

3 Hoeken en afstanden

3 Hoeken en afstanden Domein Meetkunde havo B 3 Hoeken en afstanden Inhoud 3. Cirkels en hun middelpunt 3. Snijden en raken 3.3 Raaklijnen en hoeken 3.4 Afstanden berekenen 3.5 Overzicht In opdracht van: Commissie Toekomst

Nadere informatie

begin van document Eindtermen vwo wiskunde B (CE) gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie

begin van document Eindtermen vwo wiskunde B (CE) gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie begin van document Eindtermen vwo wiskunde (CE) gekoppeld aan delen en hoofdstukken uit Moderne wiskunde 9e editie Domein Subdomein in CE moet in SE Vaardigheden 1: Informatievaardigheden X X : Onderzoeksvaardigheden

Nadere informatie

Laat men ook transversalen toe buiten de driehoek, dan behoren bij één waarde van v 1 telkens twee transversalen l 1 en l 2. Men kan ze onderscheiden

Laat men ook transversalen toe buiten de driehoek, dan behoren bij één waarde van v 1 telkens twee transversalen l 1 en l 2. Men kan ze onderscheiden Lesbrief 6 Meetkunde 1 Hoektransversalen in een driehoek ABC is een driehoek. Een lijn l door een hoekpunt A van de driehoek heet een hoektransversaal van A. We zullen onderzoeken onder welke voorwaarden

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO 2014

Correctievoorschrift VWO 2014 Correctievoorschrift VWO 04 tijdvak wiskunde B (ilot) Het correctievoorschrift bestaat uit: Regels voor de beoordeling Algemene regels Vaksecifieke regels 4 Beoordelingsmodel 5 Inzenden scores Regels voor

Nadere informatie

Paragraaf 2.1 : Snelheden (en helling)

Paragraaf 2.1 : Snelheden (en helling) Hoofdstuk De afgeleide functie (V4 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf.1 : Snelheden (en helling) Les 1 Benadering van de helling tussen twee punten Definities Differentiequotiënt = { Gemiddelde helling }

Nadere informatie

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

wiskunde B Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Eamen VWO 04 tijdvak dinsdag 0 mei 3.30 uur - 6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen. Dit eamen

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO

Correctievoorschrift VWO Correctievoorschrift VWO tijdvak wiskunde B Het correctievoorschrift bestaat uit: Regels voor de beoordeling Algemene regels Vaksecifieke regels Beoordelingsmodel 5 Inzenden scores Regels voor de beoordeling

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO 2016

Correctievoorschrift VWO 2016 Correctievoorschrift VWO 06 tijdvak wiskunde B Het correctievoorschrift bestaat uit: Regels voor de beoordeling Algemene regels 3 Vaksecifieke regels 4 Beoordelingsmodel 5 Inzenden scores Regels voor de

Nadere informatie

Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B...

Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B... Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B 0. voorkennis In klas 3 heb je hoofdstuk 10 over algebraische vaardigheden gedaan. Hieronder zie je daarvan een

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) wiskunde B, (nieuwe stijl) Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Woensdag 3 juni 3.30 6.30 uur 0 04 Voor dit examen zijn maximaal 87 punten te behalen; het examen bestaat uit 9 vragen.

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VWO 0 tijdvak woensdag 8 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 8 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Correctievoorschrift VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) wiskunde B, (nieuwe stijl) Correctievoorschrift VWO Voorbereidend Wetenschaelijk Onderwijs 0 04 Tijdvak inzenden scores Verwerk de scores van de alfabetisch eerste vijf kandidaten er school in het rogramma

Nadere informatie

Paragraaf 4.1 : Gelijkvormigheid

Paragraaf 4.1 : Gelijkvormigheid Hoofdstuk 4 Meetkunde (V4 Wis B) Pagina 1 van 8 Paragraaf 4.1 : Gelijkvormigheid Les 1 : Gelijkvormigheid Definities sin( A) = Overstaande Schuine cos( A) = Aanliggende Schuine = O S = A S tan( A) = Overstaande

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B 2014-I

Eindexamen vwo wiskunde B 2014-I Eindexamen vwo wiskunde B 04-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte

Nadere informatie

dx; (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [0, a]: dx te berekenen.(oef cursus) Gegeven is de bepaalde integraal I n = π

dx; (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [0, a]: dx te berekenen.(oef cursus) Gegeven is de bepaalde integraal I n = π Analyse. (i) Bereken A = π sin d; +cos 2 (ii) * Bewijs dat voor elke f, continu ondersteld in [, a]: a f()d = a f(a )d (iii) Gebruik (i) en (ii) om de integraal J = π sin d te berekenen.(oef +cos 2 cursus)

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

1.1 Definities en benamingen 9 Oefeningen Cirkel door drie punten 13 Oefeningen 14

1.1 Definities en benamingen 9 Oefeningen Cirkel door drie punten 13 Oefeningen 14 INHOUD 1 De cirkel 9 1.1 Definities en benamingen 9 Oefeningen 11 1.2 Cirkel door drie punten 13 Oefeningen 14 1.3 Onderlinge ligging van een rechte en een cirkel 20 1.3.1 Aantal snijpunten van een rechte

Nadere informatie

Leerplandoelstelling Delta Nova 4 hoofdstukken en paragrafen. I Meetkunde. M1 B Bewijzen dat door drie niet-collineaire punten juist één cirkel gaat.

Leerplandoelstelling Delta Nova 4 hoofdstukken en paragrafen. I Meetkunde. M1 B Bewijzen dat door drie niet-collineaire punten juist één cirkel gaat. Het gevolgde leerplan is D/2002/0279/047. In de onderstaande tabel vind je een overzicht van de doelstellingen en waar ze in Delta Nova 4a en 4b (leerweg 5) terug te vinden zijn. B = basisdoelstelling

Nadere informatie

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 203 tijdvak woensdag 22 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 9 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden 6.0 Voorkennis Kruislings vermenigvuldigen: A C AD BC B D Voorbeeld: 50 0 x 50 0( x ) 50 0x 0 0x 60 x 6 6.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [] a [2] q a q p pq p

Nadere informatie

WISKUNDE 5 PERIODEN. DATUM : 5 juni 2008 ( s morgens) Niet-programmeerbare, niet-grafische rekenmachine

WISKUNDE 5 PERIODEN. DATUM : 5 juni 2008 ( s morgens) Niet-programmeerbare, niet-grafische rekenmachine EUROPEES BACCALAUREAAT 2008 WISKUNDE 5 PERIODEN DATUM : 5 juni 2008 ( s morgens) DUUR VAN HET EXAMEN : 4 uur (240 minuten) TOEGESTANE HULPMIDDELEN Formuleboekje voor de Europese scholen Niet-programmeerbare,

Nadere informatie

12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1]

12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1] 12.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken [1] Stelling van de constante hoek: Voor de punten C en D op dezelfde cirkelboog AB geldt: ACB = ADB. Omgekeerde stelling van de constante hoek: Als punt D aan dezelfde

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2010 tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: functieverloop 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 31 mei uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 31 mei uur wiskunde B,2 Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Dinsdag 3 mei 3.30 6.30 uur 20 05 Voor dit examen zijn maximaal 89 punten te behalen; het examen bestaat uit 20 vragen. Voor elk

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 18 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 06 tijdvak woensdag 8 mei 3:30-6:30 uur wiskunde ij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. it eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat

Nadere informatie

15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [1]

15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [1] 15.1 Oppervlakten en afstanden bij grafieken [1] Bereken: Bereken algebraisch: Bereken exact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte

Nadere informatie

Definitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt. x 1 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt:

Definitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt. x 1 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt: Definitie: Een functie f heeft een absoluut maximum f(x 0 ) in het punt x 0 Domein(f) als voor alle x Domein(f) geldt: f(x) f(x 0 ). Een functie f heeft een absoluut minimum f(x 1 ) in het punt x 1 Domein(f)

Nadere informatie

voorkennis wiskunde voor Farmaceutische wetenschappen en Biomedische wetenschappen

voorkennis wiskunde voor Farmaceutische wetenschappen en Biomedische wetenschappen Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

1. Orthogonale Hyperbolen

1. Orthogonale Hyperbolen . Orthogonale Hyperbolen a + b In dit hoofdstuk wordt de grafiek van functies van de vorm y besproken. Functies c + d van deze vorm noemen we gebroken lineaire functies. De grafieken van dit soort functies

Nadere informatie

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012

Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B 11 juni 2012 Centrale Commissie Voortentamen Wiskunde Uitwerkingen Voortentamen Wiskunde B juni 22 Voorlopige versie 6 juni 22 Opgave a f (x) = x2 x 5, dus f (x) = 2 2 x 5x. Dit geeft f (x) = 2 2 2x3. f (x) = 2 2 2x3

Nadere informatie

sin( α + π) = sin( α) O (sin( x ) cos( x )) = sin ( x ) 2sin( x )cos( x ) + cos ( x ) = sin ( x ) + cos ( x ) 2sin( x )cos( x ) = 1 2sin( x )cos( x )

sin( α + π) = sin( α) O (sin( x ) cos( x )) = sin ( x ) 2sin( x )cos( x ) + cos ( x ) = sin ( x ) + cos ( x ) 2sin( x )cos( x ) = 1 2sin( x )cos( x ) G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg / spiegelen in de y -as y = sin( x f ( x = sin( x f ( x = sin( x heeft dezelfde grafiek als y = sin( x. spiegelen in de y -as y = cos( x g(

Nadere informatie

3.1 Kwadratische functies[1]

3.1 Kwadratische functies[1] 3.1 Kwadratische functies[1] Voorbeeld 1: y = x 2-6 Invullen van x = 2 geeft y = 2 2-6 = -2 In dit voorbeeld is: 2 het origineel; -2 het beeld (of de functiewaarde) y = x 2-6 de formule. Een functie voegt

Nadere informatie

12. Uitwerkingen van de opgaven

12. Uitwerkingen van de opgaven 12. Uitwerkingen van de opgaven 12.1. Uitwerkingen opgaven van hoofdstuk 3 Opgave 3.1 3,87 0,152 641, 2 Bereken met behulp van Maxima: 2,13 7,29 78 0,62 45 (%i1) 3.87*0.152*641.2/(2.13*7.29*78*0.62*45);

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B 1 vwo I

Eindexamen wiskunde B 1 vwo I Eindeamen wiskunde B vwo - I Beoordelingsmodel Wisselingen in rijtjes ko en munt maimumscore Er zijn rijtjes met wisselingen, rijtjes met wisseling, rijtjes met wisselingen en rijtjes met 3 wisselingen

Nadere informatie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Analyse A, deeltentamen Uitwerkingen maandag 1 november 2010, 9 11 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan

Nadere informatie

De parabool en de cirkel raken elkaar in de oorsprong; bepaal ook de coördinaten van de overige snijpunten A 1 en A 2.

De parabool en de cirkel raken elkaar in de oorsprong; bepaal ook de coördinaten van de overige snijpunten A 1 en A 2. BURGERLIJK INGENIEUR-ARCHITECT - 5 SEPTEMBER 2002 BLZ 1/10 1. We beschouwen de cirkel met vergelijking x 2 + y 2 2ry = 0 en de parabool met vergelijking y = ax 2. Hierbij zijn r en a parameters waarvoor

Nadere informatie

Vectoranalyse voor TG

Vectoranalyse voor TG college 4 en raakvlakken collegejaar : 16-17 college : 4 build : 19 september 2016 slides : 30 Vandaag Snowdon Mountain Railway (Wales) 1 De richtingsafgeleide 2 aan een grafiek 3 Differentieerbaarheid

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 22 juni uur

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 22 juni uur Examen HAVO 011 tijdvak woensdag juni 13.30-16.30 uur wiskunde B (pilot) Dit examen bestaat uit 19 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2005-I

Eindexamen wiskunde B1-2 vwo 2005-I Inademen Bij controlemetingen aan de ademhaling wordt men gevraagd om diep uit te ademen en vervolgens gedurende vijf seconden zo diep mogelijk in te ademen. Tijdens het inademen is de hoeveelheid verse

Nadere informatie

Voorkennis wiskunde voor Bio-ingenieurswetenschappen

Voorkennis wiskunde voor Bio-ingenieurswetenschappen Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2. tijdvak 1 dinsdag 2 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B1,2. tijdvak 1 dinsdag 2 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. amen VWO 2009 tijdvak dinsdag 2 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B,2 Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 9 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 80 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Extra oefeningen: de cirkel

Extra oefeningen: de cirkel Extra oefeningen: de cirkel 1. Gegeven een cirkel met middelpunt M en straal r 5 cm en. De lengte van de raaklijnstukken PA PB uit een punt P aan deze cirkel bedraagt 1 cm. Bereken de afstand PM. () PAM

Nadere informatie

1 Analytische meetkunde

1 Analytische meetkunde Domein Meetkunde havo B Analytische meetkunde Inhoud.. Coördinaten in het vlak.. Vergelijkingen van lijnen.3. Vergelijkingen van cirkels.4. Snijden.5. Overzicht In opdracht van: Commissie Toekomst Wiskunde

Nadere informatie

Examen HAVO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen HAVO. Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) Examen HAVO Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs Tijdvak 2 Woensdag 19 juni 13.30 16.30 uur 20 02 Voor dit examen zijn maximaal 85 punten te behalen; het examen bestaat uit

Nadere informatie

Hoofdstuk 4: Meetkunde

Hoofdstuk 4: Meetkunde Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde Getallen Assenstelsel Lineair

Nadere informatie

Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen

Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen Lijst van formules en verwijzingen naar definities/stellingen die in het examen vwo wiskunde B wordt opgenomen Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden

Nadere informatie

Een symmetrische gebroken functie

Een symmetrische gebroken functie Een symmetrische gebroken functie De functie f is gegeven door f( x) e x. 3p Bereken exact voor welke waarden van x geldt: f( x). 00 F( x) xln( e x) is een primitieve van f( x) e x. 4p Toon dit aan. Het

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 25 mei uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 25 mei uur Wiskunde B Profi Eamen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Donderdag 25 mei 3.30 6.30 uur 20 00 Dit eamen bestaat uit 7 vragen. Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel punten met een

Nadere informatie

Over de construeerbaarheid van gehele hoeken

Over de construeerbaarheid van gehele hoeken Over de construeerbaarheid van gehele hoeken Dick Klingens maart 00. Inleiding In de getallentheorie worden algebraïsche getallen gedefinieerd via rationale veeltermen f van de n-de graad in één onbekende:

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen januari 4 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt 3pt pt pt pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met of onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut.

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut. Hoofdstuk A: Goniometrische functies. I-. a. De grafiek staat hiernaast. De periode is ongeveer,6 uur. b. De grafiek snijden met y = levert bijvoorbeeld x,00 en x,8. Het verschil is ongeveer,7 uur en dat

Nadere informatie

Gebruik de applet om de vragen te beantwoorden. Beweeg punt P over de cirkel.

Gebruik de applet om de vragen te beantwoorden. Beweeg punt P over de cirkel. Raaklijnen Verkennen Raaklijnen Inleiding Verkennen Gebruik de applet om de vragen te beantwoorden. Beweeg punt P over de cirkel. Uitleg Raaklijnen Uitleg Opgave 1 Bekijk de Uitleg. a) Wat is de vergelijking

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B 1-2 vwo I

Eindexamen wiskunde B 1-2 vwo I Eindexamen wiskunde B - vwo - I Beoordelingsmodel Oppervlakte en inhoud bij f(x) = e x maximumscore e Lijn AB heeft richtingscoëfficiënt = (e ) Voor lijn AB geldt de formule y = (e ) x + De oppervlakte

Nadere informatie

Bal in de sloot. Hierbij zijn x en f ( x ) in centimeters. Zie figuur 2.

Bal in de sloot. Hierbij zijn x en f ( x ) in centimeters. Zie figuur 2. Bal in de sloot Een bal met een straal van cm komt in een figuur sloot terecht en blijft drijven. Het laagste punt van de bal bevindt zich h cm onder het wateroppervlak. In figuur zie je een doorsnede

Nadere informatie

Correctievoorschrift VWO. Wiskunde B Profi (oude stijl) Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs. Tijdvak 1

Correctievoorschrift VWO. Wiskunde B Profi (oude stijl) Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs. Tijdvak 1 Wiskunde B Profi (oude stijl) Correctievoorschrift VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs 0 0 ijdvak 0006 CV7 Begin Regels voor de beoordeling Het werk van de kandidaten wordt beoordeeld met inachtneming

Nadere informatie