ASO. Bijzondere wetenschappelijke vorming. derde graad LEERPLAN SECUNDAIR ONDERWIJS. derde leerjaar. (vervangt 93251) Vak: AV Wiskunde 16 lt/w

Transcriptie

1 LEERPLAN SECUNDAIR ONDERWIJS Vak: AV Wiskunde 16 lt/w Studierichting: Bijzondere wetenschappelijke vorming Onderwijsvorm: Graad: Leerjaar: ASO derde graad derde leerjaar Leerplannummer: 2007/093 (vervangt 93251) Nummer inspectie: 2007 / 52 // 1 / G / SG / 1 / III3 / / D/ Pedagogische begeleidingsdienst GO! Onderwijs van de Vlaamse Gemeenschap Emile Jacqmainlaan Brussel

2 1 Inhoud Visie...3 Beginsituatie...4 Algemene doelstellingen...5 Leerinhouden / leerplandoelstellingen / Specifieke pedagogisch-didactische wenken Algebra Veeltermen Veeltermvergelijkingen met één onbekende Ongelijkheden van de eerste graad met één onbekende Stelsels van twee vergelijkingen van de eerste graad met twee onbekenden Matrices Determinanten Stelsels van vergelijkingen van de eerste graad Complexe getallen...16 Analyse Reële functies Veeltermfuncties Rationale functies Continuïteit en limieten Afgeleiden Goniometrische functies Cyclometrische functies Exponentiële functies Logaritmische functies Irrationale functies Integralen Rijen en reeksen Goniometrie Georiënteerde hoeken en goniometrische getallen Willekeurige driehoeken De radiaal Formules...38 Vlakke meetkunde Eigenschappen van hoeken Driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek Congruentie en gelijkvormigheid De cirkel Vectoren...45 Ruimtemeetkunde Ruimtemeetkunde Analytische vlakke meetkunde van de tweede graad Stochastiek Algemene telregels Combinatieleer Combinatorische toepassingen Kansrekening Kansvariabelen Speciale kansverdelingen Statistiek in twee veranderlijken...55

3 2 6.8 Toetsen van hypothesen...56 Pedagogisch-didactische wenken...58 Informatie- en communicatietechnologieën (ICT)...58 Begeleid zelfgestuurd leren (BZL)...60 Vakoverschrijdende eindtermen (VOET)...61 Minimale materiële vereisten...62 Evaluatie...63 Bibliografie...65

4 3 VISIE De studierichting Bijzondere Wetenschappelijke Vorming is een volwaardig zevende jaar Algemeen Secundair Onderwijs. Daarnaast kan dit jaar ook beschouwd worden als een voorbereidend jaar met een uitgebreid pakket wiskunde. Het is niet omdat de toelatingsproef voor burgerlijk ingenieur niet meer bestaat, dat deze studierichting geen zin meer zou hebben. Leerlingen die een gedegen voorbereiding wensen op wetenschappelijke richtingen in het hoger onderwijs (master wiskunde, master fysica, master informatica, handelsingenieur, burgerlijk ingenieur, enzovoort) zijn hier aan het juiste adres. Naast een uitgebreid pakket wetenschappen (biologie, chemie, fysica) wordt hier ook een uitgebreid pakket wiskunde aangeboden. Leerlingen die in de tweede en/of derde graad geopteerd hebben voor een minder wetenschappelijke/wiskundige studierichting kunnen hun kennis op deze vakgebieden hier uitbreiden zodat de kans op slagen bij een wetenschappelijke studierichting in het hoger onderwijs aanzienlijk toeneemt. Tevens biedt deze studierichting een aanzienlijke slaagkans bij deelname aan toelatingsexamens voor de Koninklijke Militaire School of bij deelname aan de toelatingsproef voor geneeskunde of tandarts. Naast een gedegen theoretische fundering gaat er uitgebreide aandacht naar het oplossen van oefeningen van alle moeilijkheidsgraden en naar probleemoplossend denken. De onderstaande doelstellingen bieden tevens de flexibiliteit om binnen de lessen de nodige differentiatie aan bod te laten komen. Op die wijze kan aan de verwachtingen van alle leerlingen worden voldaan.

5 4 BEGINSITUATIE De leerlingen die kiezen voor de studierichting Bijzondere wetenschappelijke vorming hebben een duidelijke interesse voor wiskunde en wetenschappen en komen uit diverse richtingen van de derde graad ASO/TSO. Deze heterogene groep heeft als gemeenschappelijk kenmerk dat ze zich onvoldoende voorbereid voelen of een te beperkte kennis wiskunde hebben om met succes vervolgstudies in wetenschappelijke - wiskundige richtingen in het hoger onderwijs aan te vatten. Specifiek voor het vak wiskunde betekent dit dat de leerlingen vaak instromen uit studierichtingen met een beperkt aantal uren wiskunde. De leraar zal daarom extra aandacht moeten besteden aan de specifieke beginsituaties van de leerlingen. Belangrijk hierbij is dat de leraar bij de aanvang van elk leerstofonderdeel nagaat wat voor de individuele leerlingen de belangrijkste hiaten zijn. De leerstof sluit aan met de leerinhouden en - doestellingen van het vak wiskunde van de tweede en derde graad ASO/TSO. De belangrijkste leerinhouden worden herhaald en uitgediept om zo de wiskundige kennis van de leerlingen naar een hoger beheersingsniveau te brengen. Van de leerlingen die kiezen voor Bijzondere wetenschappelijke vorming wordt verwacht dat zij voldoende inzet en interesse opbrengen en dat zij bereid zijn om regelmatig en zelfstandig te leren.

6 5 ALGEMENE DOELSTELLINGEN 1 De leerlingen begrijpen en gebruiken wiskundetaal In de eerste plaats moeten de leerlingen de gepaste terminologie en notaties kennen. Naast de kennis ervan moet ernaar gestreefd worden dat deze terminologie en notaties spontaan worden toegepast. Bij wiskundetaal moet ook de nodige aandacht besteed worden aan het verwoorden (met een vloeiende zin) van een in symbolen geformuleerde eigenschap. Omgekeerd moet ook de nodige aandacht besteed worden aan het formuleren met wiskundige symbolen van in woorden geformuleerde eigenschappen. Het gebruik van onder andere kwantoren en elementaire notaties uit de verzamelingenleer kunnen hier zeker aan bod komen. Tenslotte (dit betekent niet dat deze opsomming limitatief is) dient de nodige aandacht besteed te worden aan het correct verwoorden van gebruikte werkwijzen. 2 De leerlingen passen probleemoplossende vaardigheden toe Eén van de vormende-waarde-componenten inherent aan de wiskunde hangt samen met de vaardigheid om opdrachten, opgaven, problemen, vaak vanuit uiteenlopende invalshoeken, te benaderen. Het behoort tot de taak van de leraar, en dit bij vele gelegenheden, die diverse oplossingsmethodes naast elkaar aan te bieden en tegelijk voor- en nadelen ervan tegen elkaar af te wegen. Dit uit zich alvast op het eenvoudigste echelon waar, reeds bij elementaire oefeningen, bestaande rekenregels toelaten om i.p.v. de geijkte volgorde van de bewerkingen, en dit met goed gevolg, alternatieve wegen te kiezen. Men vindt dit tweespoor ook terug bij het uitrekenen van een veranderlijke in een formule, waar nu eens het omvormen van de formule en het berekenen van de overeenstemmende getalwaarde, dan weer het aanvankelijk invullen van de gegeven waarden en het oplossen van de betrokken vergelijking, uitsluitsel geven. Het terrein bij uitstek echter om die geschakeerde benaderingen aan bod te laten komen, ligt vanzelfsprekend in die leerstofonderdelen waar ze als het ware in de leerplaninhouden zijn geïnstitutionaliseerd. We denken aan: de meetkunde in haar totaliteit; de diverse visuele voorstellingen zoals: grafieken, diagrammen, schema's; de verschillende oplossingsmethodes bij stelsels. Kort en bondig denken we aan alle aangereikte hulpmiddelen om gegeven verbale opdrachten te mathematiseren. Ook uit de tegenvoorbeelden kan veel worden opgestoken. Het vooralsnog ontbreken of het totaal onbestaande zijn van rekenregels leiden voorlopig, ofwel definitief, tot welgeteld één correcte berekeningstechniek. Het eerste geeft aanleiding tot het in het vooruitzicht stellen van toekomstige leerstof. Het tweede kan benut worden om verkeerdelijk extrapoleren door de leerlingen van bestaande rekenregels (de macht van een product is het product van de machten, maar dat geldt niet voor een som; het tegengestelde van een som is de som van de tegengestelden, maar dit geldt niet voor een product) tegen te gaan. 3 De leerlingen controleren de resultaten op hun betrouwbaarheid Resultaten in de enge zin van het woord worden nogal eens vereenzelvigd met numerieke uitkomsten of uitgewerkte opdrachten binnen de bewerkingen met lettervormen. Bij het eerste type zijn o.m. de proef op de bewerking, de proef op de vergelijking, het voorafgaandelijk of naderhand schatten van de uitkomsten geijkte hulpmiddelen waarmee de leerlingen reeds voldoende vertrouwd zijn.

7 6 Bij het tweede type zijn het de "andersom-operaties, die vaak uitsluitsel geven. Bijvoorbeeld: ontbinding in factoren versus uitgebreide distributiviteit, deling van veeltermen versus vermenigvuldiging van veeltermen Resultaten in de ruime zin zijn echter zoveel meer. Ze zijn in wezen elk antwoord op elke gestelde vraag en dus beperkt controle vanwege de leerling zich allerminst tot het hanteren van rekentechnieken. Bij een geleverd bewijs in de meetkunde vergt het de wettiging van elke tussenstap, bij een vraag naar een gebruikte eigenschap dient het antwoord gekozen te worden binnen een passende cluster, bij het uitkiezen van een formule moet het zinvolle ervan nagetrokken worden. Het eerste voorbeeld houdt verband met logisch deduceren, het tweede met het beheersen van wiskundetaal, het derde met het mathematiseren van een begrip. Alle voorbeelden hebben echter te maken met kennis, inzicht en kritische ingesteldheid. 4 De leerlingen leggen een zin voor nauwkeurigheid aan de dag bij het hanteren en het toepassen van de wiskunde Het is vanzelfsprekend dat doorheen het wiskundeonderwijs, waarbij wiskunde bekend staat als een exacte wetenschap, de leerlingen permanent gewezen worden op het belang van nauwkeurig werken. We denken daarbij aan de constructie van meetkundige figuren, maar ook aan het tekenen van bijvoorbeeld functies in de analyse. Maar niet alleen het tekenwerk dient met de nodige nauwkeurigheid te verlopen, ook bij het rekenwerk is dit heel belangrijk. Zo is het bijvoorbeeld heel belangrijk leerlingen te wijzen op problemen die kunnen ontstaan bij het gebruiken van afrondingen bij tussenberekeningen, die in vele gevallen niet echt noodzakelijk zijn. Maar ook bij de opbouw van de theorie speelt nauwkeurigheid een belangrijke rol, niet alleen bij het correcte gebruik van het wiskundig formularium, maar eveneens bij de juiste verwoording ervan. Het is bij dit laatste dat er nogal eens wat durft mis te lopen, vandaar dat dit bijzondere aandacht vraagt. 5 De leerlingen gebruiken informatie- en communicatietechnologie (ICT) om wiskundige informatie te verwerken, berekeningen uit te voeren of wiskundige problemen te onderzoeken Reeds vanaf de eerste graad is ICT (rekentoestel bij berekeningen, computer bij meetkunde) een niet meer weg te denken didactisch hulpmiddel binnen de wiskundeles. Nadien is dit nog uitdrukkelijker het geval, alvast in die situaties waar al te tijdrovende bewerkingen een harmonische ontwikkeling van de theorie in de weg staan. Dit houdt meteen in dat de bediening van de toetsen gelijke tred moet houden met de introductie van nieuwe begrippen en de daaraan gekoppelde nieuwe operaties. Heel uitdrukkelijk dient binnen die context gewezen op de aandacht die leerlingen moeten besteden aan het stelsel van grootheden waarin wordt gewerkt. Uiteindelijk is het de bedoeling dat de leerling ICT ervaart als een machtig hulpmiddel, echter nooit als een doel op zich. Dit betekent dat een al te slaafs gebruik ervan en een al te mechanisch, inzichtloos indrukken van de toetsen moeten ingedijkt worden. 6 De leerlingen analyseren, schematiseren en structureren wiskundige informatie Onze snel evoluerende samenleving noopt tot soepelheid om snel en efficiënt problemen op te lossen. Geïnspireerd door het probleemoplossend denken en door zelfvertrouwen kweekt de leerling vorsingsdrang om complexe problemen op te lossen. Problemen bevatten een reeks gegevens (informatie) en monden uit in een vraag tot oplossing. Teneinde deze oplossing te kunnen bereiken of alleszins na te streven moeten de leerlingen de complexiteit van gegevens kunnen ontwarren (ontleden, analyseren), vanuit deze analyse de gegevens in schema brengen en dit schema inpassen in een passende en verantwoorde structuur.

8 7 7 De leerlingen kunnen voorbeelden geven van reële problemen die met behulp van wiskunde kunnen worden opgelost Indien de leraar zorgt voor de behandeling van voldoende problemen uit de realiteit, is het vanzelfsprekend dat de leerlingen deze kunnen aanhalen als voorbeelden van reële problemen die met behulp van wiskunde kunnen opgelost worden. 8 De leerlingen ontwikkelen zelfregulatie: het oriënteren op de probleemstelling, het plannen, het uitvoeren en bewaken van het oplossingsproces Het is logisch dat leerlingen bij het ervaren van moeilijkheden bij het oplossen van wiskundige problemen en het verwerven en verwerken van wiskundige informatie, deze moeilijkheden trachten te overwinnen. Dit vraagt in de meeste gevallen een bijsturing van het leerproces, waarbij de rol van de leraar zeker niet mag onderschat worden. Het optimale niveau is natuurlijk zelfregulatie door de leerlingen, waarbij de ondersteuning door de leraar herleid wordt tot nul. Deze bijsturing van het leerproces is een belangrijke attitude voor de toekomst van de leerlingen, hetzij bij verdere studies, hetzij in het beroepsleven. Daarom verdient deze doelstelling zeker de nodige aandacht. 9 De leerlingen ontwikkelen zelfvertrouwen door succeservaring bij het oplossen van wiskundige problemen Het is vanzelfsprekend dat succeservaring heel belangrijk is in de ontwikkeling van het zelfvertrouwen van de leerlingen. Een leerling die nooit kan volgen en geen enkele vraag kan beantwoorden, zal zich vrij nutteloos en zelfs minderwaardig gaan voelen. Waak echter ook over het feit dat je de leerling niet het gevoel geeft dat je hem alleen aanspreekt met supereenvoudige vragen. Ook dit is niet bevorderlijk voor het zelfvertrouwen. Begeleid de leerlingen tijdens dit groeiproces zo individueel mogelijk. Besteed de nodige aandacht aan het leerproces en niet alleen aan het product. Zorg voor een niet uitsluitend cognitief gericht onderwijs. 10 De leerlingen ontwikkelen bij het aanpakken van problemen zelfstandigheid en doorzettingsvermogen Het verwerven van probleemoplossende vaardigheden is een uitstekende kans om zelfstandigheid en doorzettingsvermogen te verwerven. Leerlingen zelfstandig laten werken biedt ook mogelijkheden tot een gedifferentieerde aanpak, waarbij leerlingen elk op hun niveau kunnen begeleid worden, eventueel kunnen dezelfde oefeningen in een gedifferentieerde vorm aangebracht worden. Dit sluit dan natuurlijk aan bij de vorige eindterm. Je kan ervoor zorgen dat de minder sterke leerling een opgave in kleine stapjes kan doorlopen, daar waar betere leerlingen dezelfde probleemstelling (of een analoge) in een meer open vorm krijgen aangeboden.

9 8 LEERINHOUDEN / LEERPLANDOELSTELLINGEN / SPECIFIEKE PEDAGOGISCH-DIDACTISCHE WENKEN 1 Algebra 1.1 Veeltermen B kunnen veeltermen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en het resultaat herleiden. B kunnen de formules voor de merkwaardige producten ( a+ b) 2 2 2, a b, ( a+ b) 3 3 3, a + b, a 3 b 3 toepassen. B kennen de restregel en kunnen een veelterm delen door ( x a). De leerlingen hebben in de eerste graad al kennisgemaakt met veeltermen met één onbepaalde. Herhaal begrippen zoals graad, volledige veelterm en rangschikken. Vermijd al te moeilijke oefeningen. Het volstaat veeltermen te behandelen met één onbepaalde. Bij het product hoeft ook niet verder gegaan te worden dan een tweeterm vermenigvuldigen met een drieterm. De leerlingen hebben deze merkwaardige producten reeds behandeld in de eerste graad, maar wegens het belang ervan in het vervolg van het wiskundeonderwijs, is het raadzaam deze hier te herhalen. De toepassing ervan, zonder hierbij tot overdreven vormen over te gaan, zou vlot beheerst moeten worden door de leerlingen; en dit in beide richtingen (als uitwerking, maar ook als ontbinding). Het algoritme van Horner volstaat om leerlingen een veelterm te laten delen door ( x a). Een bewijs van de regel van Horner wordt niet verwacht. Vestig bij de leerlingen de aandacht op het begrip getalwaarde van een veelterm, dit is noodzakelijk bij het onderzoek naar de deelbaarheid van een veelterm door ( x a). Overdrijf bij de oefeningen ook niet bij het zoeken naar een deler: zo is bijvoorbeeld een constante term van 48 en een deler van de vorm ( x + 16) totaal zinloos. Er kan bijzondere aandacht besteed worden aan deelbaarheid

10 9 B kunnen een veelterm van ten hoogste graad 4 ontbinden in factoren met behulp van de onderstaande technieken: - een gemeenschappelijke factor buiten haken brengen, - de formule voor het verschil van twee kwadraten toepassen, - een drieterm die een volkomen kwadraat is opsporen, - een deler van de vorm ( x a ) opsporen. - de formule voor de som van twee derdemachten toepassen, - de formule voor het verschil van twee derdemachten toepassen, - een vierterm die een volkomen derdemacht is opsporen, - termen samennemen U kunnen een vergelijking van graad n (n 4) met één onbekende oplossen door deze op nul te herleiden en het linkerlid te ontbinden door ( x 1) en ( x + 1). Belangrijke bedenking bij het ontbinden in factoren is dat dit in het vervolg van het wiskundeonderwijs enkel nog echt terugkomt bij het bepalen van nulwaarden van veeltermfuncties. Ontbinden in factoren is dan ook alleen maar bruikbaar als deze nulwaarden mooi uitkomen. Zo is bijvoorbeeld de uitgewerkte vorm van 24. x. x. x (= 24x 26x + 9x 1) niet ontbindbaar met de hier gekende technieken (bij veeltermfuncties zal ICT gebruikt worden om de nulwaarden van dergelijke veelterm te bepalen). De eerste drie vermelde technieken zijn een herhaling van de eerste graad. Enkel het opsporen van delers van de vorm ( x a) is nieuw. Beperk je tot veeltermen met één onbepaalde. Het is wel zinvol de leerlingen te laten ervaren dat bij de ontbinding irrationale getallen kunnen optreden, denk bijvoorbeeld aan de ontbinding 2 2 van x 5 of 2x 1. Alhoewel veeltermen in één onbepaalde volstaan, is het aangewezen leerlingen veeltermen te laten ontbinden waarbij de coëfficiënten voorgesteld worden door letters. Dit kan beschouwd worden als een toepassing van het ontbinden van veeltermen in factoren. 1.2 Veeltermvergelijkingen met één onbekende B kunnen de gepaste terminologie gebruiken in verband met vergelijkingen, zoals graad van een vergelijking, oplossing, oplossingenverzameling, Breng deze terminologie aan de hand van goed gekozen voorbeelden aan. Gebruik hierbij ook niet steeds x als

11 10 referentieverzameling. B kunnen vergelijkingen van de eerste graad met één onbekende oplossen. B kunnen bij een formule één variabele schrijven in functie van de andere. U kunnen vergelijkingen van de eerste graad bespreken met één onbekende en met één parameter. B kunnen vergelijkingen van de tweede graad met één onbekende oplossen. onbekende in een vergelijking. In de eerste graad is bij het oplossen van vergelijkingen geopteerd voor de balansmethode. Het is geen probleem als hier besloten wordt over te gaan op de overbrengingsregels. Besteed in dat geval wel de nodige aandacht aan het gepast gebruik van de begrippen term, factor, tegengestelde en omgekeerde. De leerlingen moeten inzien dat bij het oplossen van vergelijkingen overgegaan wordt van de gegeven vergelijking naar een vergelijking met dezelfde oplossingen(verzameling). De gelijkwaardigheid van vergelijkingen mag in dit kader behandeld worden, maar is niet essentieel. Met het oog op de lessen fysica en informatica is dit een bijzonder belangrijk onderdeel. Het is belangrijk de leerlingen bij te brengen dat wat laatst opgebouwd is het eerst moet afgebroken worden. De hoofdeigenschap van evenredigheid (die de leerlingen in de eerste graad behandeld hebben) is hier een handig instrument. Hier worden de leerlingen voor het eerst in contact gebracht met het begrip parameter. Het is belangrijk dat de leerlingen begrijpen dat de oplossing afhankelijk is van de waarde van de parameter. De leerlingen worden hier geconfronteerd met de mogelijkheid tot gevalsonderscheiding. Zorg ervoor dat de leerlingen hier een gestructureerde redenering leren opzetten. Vergeet hier ook niet de identieke en de valse vergelijking te behandelen. Het is de bedoeling hier zowel volledige als onvolledige vierkantsvergelijkingen aan bod te laten komen. Breng daarbij steeds alle termen over naar eenzelfde lid (linkerlid?). 2 Het oplossen van x 9 = 0 gebeurt bijvoorbeeld door de 2 bijhorende ontbinding van x 9 uit te voeren. Overdrijf hier wel niet met de moeilijkheidsgraad van de oefeningen. Het moet zo zijn dat het gebruik van ontbinding duidelijk zichtbaar is en eenvoudiger dan het gebruik van de discriminant (zoals 2 2 bijvoorbeeld bij x 9 = 0 of x + 3x = 0).

12 11 B kunnen vraagstukken/problemen oplossen die aanleiding geven tot een vergelijking van de eerste of tweede graad, ook met behulp van ICT. Het ligt in de lijn der verwachtingen dat leerlingen inzien dat het oplossen van sommige vierkantsvergelijkingen terug te brengen is (via ontbinden in factoren) tot het (gekende) oplossen van vergelijkingen van de eerste graad. Deze methode biedt natuurlijk niet altijd een oplossing, vandaar dat een algemene oplossingsmethode aangeboden wordt: het algoritme met de discriminant. Het is niet noodzakelijk dat de formule met de discriminant bewezen wordt. Het opstellen van een vergelijking met gegeven oplossingenverzameling kan hier ook zeer verhelderend werken. Bij het oplossen van vraagstukken ligt de nadruk niet op het technisch rekenwerk met betrekking tot het oplossen van de bekomen vergelijking, maar eerder op het opstellen van de vergelijking en het formuleren van een gepast antwoord (bijvoorbeeld waarom een van de uit de vergelijking gevonden oplossingen toch geen antwoord van het vraagstuk is). B kunnen gemeenschappelijke punten bepalen van een rechte en een parabool en van twee parabolen, eventueel met behulp van ICT. U kunnen tweedegraadsvergelijkingen met één onbekende en met één parameter bespreken U kunnen de formules voor de som en het product van de wortels van een tweedegraadsvergelijking toepassen. Vestig hier de aandacht op het bijzondere geval dat de rechte raakt aan de parabool. Hier kunnen problemen opgelost worden waarbij een raaklijn aan de parabool door een vooraf gegeven punt gaat of een vooraf gegeven richting heeft. We bedoelen hier de studie van het aantal oplossingen in 3 en niet een studie van het teken van de oplossingen. Zorg ervoor dat de discriminant een uitdrukking is van de eerste graad in de parameter. Vestig de aandacht van de leerlingen ook op het geval waarbij 2 de parameter optreedt in de coëfficiënt van x, zodat de graad van de vergelijking eventueel kan verschillen van twee. We verwachten bij de behandeling een bewijs van de formules voor de som en het product van de oplossingen van een vierkantsvergelijking. Vestig de aandacht op het nut van deze formules als

13 12 controlemiddel of als middel om de oplossingen op zicht te bepalen. Besteed ook aandacht aan het bijzondere geval waarbij de discriminant gelijk is aan nul. 1.3 Ongelijkheden van de eerste graad met één onbekende B kunnen bij wiskundige uitspraken in de vorm van een ongelijkheid bepalen of de uitspraak waar of onwaar is en kennen de betekenis van de logische of, logische en en logische negatie. B kunnen de gepaste terminologie gebruiken in verband met ongelijkheden, zoals graad van een ongelijkheid, oplossing, interval, oplossingenverzameling, referentieverzameling. B kunnen ongelijkheden van de eerste graad en de tweede graad met één onbekende oplossen en de oplossingenverzameling grafisch voorstellen. Zoals de doelstelling zegt is het enkel de bedoeling uitspraken te behandelen in de vorm van een ongelijkheid. Besteed hierbij vooral aandacht aan en. Bespreek in dit verband ook de negatie van < en >. Ook de eigenschappen waarbij een nieuwe ongelijkheid bekomen wordt als bijvoorbeeld beide leden met eenzelfde getal vermeerderd of vermenigvuldigd worden kunnen hier aan bod komen (dit zijn eigenschappen in verband met de verenigbaarheid van ongelijkheden met de hoofdbewerkingen in 3). Deze eigenschappen kunnen ook symbolisch geformuleerd worden. Er dient opgemerkt te worden dat de leerlingen in de eerste graad geen ongelijkheden met onbekenden behandeld hebben. Het beschouwen van een ongelijkheid zoals x 5 leidt tot een interval waarvan een van de grenzen oneigenlijk is. Bij ongelijkheden komt voor het eerst het begrip oplossingenverzameling echt tot zijn recht, vermits er nu meer dan één oplossing is. De grafische voorstelling van de oplossingenverzameling kan gebruikt worden om: één of meer elementen (oplossingen) aan te duiden en/of op te noemen,

14 13 U kunnen ongelijkheden bespreken van de eerste graad en de tweede graad met één onbekende en één parameter. B kunnen vraagstukken oplossen die te herleiden zijn tot ongelijkheden van de eerste graad met één onbekende. indien mogelijk (als het bestaat) het grootste en/of het kleinste element te bepalen. Men kan ook eerst de oplossingenverzameling grafisch voorstellen en daaruit de internotatie afleiden. Hier gelden analoge opmerkingen als bij Hier gelden analoge opmerkingen als bij Stelsels van twee vergelijkingen van de eerste graad met twee onbekenden B kunnen een stelsel van twee vergelijkingen van de eerste graad met twee onbekenden grafisch oplossen. B kunnen een stelsel van twee vergelijkingen van de eerste graad met twee onbekenden oplossen met behulp van de substitutiemethode en de combinatiemethode. B kunnen vraagstukken oplossen die aanleiding geven tot een stelsel van twee vergelijkingen van de eerste Het is belangrijk hier de drie mogelijke gevallen te beschouwen: snijdende rechten, strikt evenwijdige rechten en samenvallende rechten. Het spreekt voor zich dat hier ICT kan ingeschakeld worden. De nadruk ligt hier op de verschillende gevallen bij het oplossen van een stelsel en niet op technisch rekenwerk. Vestig hierbij ook de aandacht op het feit dat de oplossingenverzameling van het stelsel de doorsnede is van de oplossingenverzamelingen van de vergelijkingen die optreden in het stelsel. Het kan leerzaam zijn om bij het oplossen van een stelsel, hetzij bij de substitutiemethode hetzij bij de combinatiemethode, bij elke stap een grafische voorstelling van de situatie te maken. Vanzelfsprekend is het niet de bedoeling dit manueel door de leerlingen te laten uitvoeren, maar hier wel gebruik te maken van ICT. Bij het oplossen van vraagstukken ligt de nadruk niet op het technisch rekenwerk met betrekking tot het oplossen van het

15 14 graad met twee onbekenden, eventueel met behulp van ICT. B kunnen gemeenschappelijke punten van de grafiek van eerstegraadsfuncties bepalen, eventueel met behulp van ICT. bekomen stelsel, maar eerder op het opstellen van het stelsel en het formuleren van een gepast antwoord. Vandaar dat hier zeker functioneel gebruik kan gemaakt worden van ICT. Een bijzondere toepassing van stelsels van twee vergelijkingen van de eerste graad met twee onbekenden is het bepalen van eventuele gemeenschappelijke punten van de grafiek van eerstegraadsfuncties. Dit komt eigenlijk reeds aan bod bij de bovenstaande paragrafen. Besteed echter de nodige aandacht aan de verschillende mogelijkheden: snijpunt, strikt evenwijdig, samenvallend. 1.5 Matrices B kennen de definitie van een matrix, de bijhorende terminologie en notaties en kunnen deze gebruiken. B kennen een rijmatrix, een kolommatrix, een vierkante matrix, een driehoeksmatrix, een diagonaalmatrix, de eenheidsmatrix, de nulmatrix. B kunnen matrices optellen, vermenigvuldigen met een reëel getal, vermenigvuldigen, transponeren. B kennen de eigenschappen die van de verzameling van de matrices voorzien van de optelling en van de vermenigvuldiging met een scalair een vectorruimte maken. U kennen de definitie van de rang van een matrix in functie van het aantal onafhankelijke rijen of kolommen. B kennen de eigenschappen in verband met de vermenigvuldiging en het transponeren. Een matrix kan eenvoudigweg worden gedefinieerd als een rechthoekige tabel reële getallen. Motiverende voorbeelden hiervoor zijn te vinden in talloze praktische toepassingen, maar ook in de methode van Gauss Jordan bij het oplossen van stelsels vergelijkingen van de eerste graad. De begrippen reguliere matrix en rang van een matrix worden gedefinieerd met behulp van het aantal onafhankelijke rij- en kolomvectoren of met behulp van determinanten. In elk geval zal het verband tussen beide benaderingen worden belicht. De vermenigvuldigingsgroep van de reguliere matrices van de 2e orde als bespreking van structuren ligt voor de hand.

16 15 B kunnen met behulp van ICT vraagstukken oplossen die aanleiding geven tot een migratiematrix of een Lesliematrix en hierbij een eventuele evenwichtstoestand bepalen. 1.6 Determinanten B kennen de definitie van een determinant, de gepaste terminologie en notaties en kunnen deze gebruiken. B kunnen een determinant berekenen. B kennen de eigenschappen in verband met determinanten en kunnen deze toepassen bij het berekenen van determinanten. U kunnen de vergelijking van een rechte in het vlak opstellen en de oppervlakte van een parallellogram bepalen. B kennen de definitie van een reguliere matrix en kunnen met behulp van de adjunct-matrix de inverse matrix berekenen. De gebruikelijke eigenschappen van determinanten dienen geïllustreerd en enkel eventueel te worden bewezen voor orde hoogstens 3. Het moet de leerlingen duidelijk worden gemaakt dat deze eigenschappen nuttig en zelfs noodzakelijk zijn om determinanten op een gemakkelijke of zinvolle manier te ontwikkelen. Vooral bij determinanten met orde groter dan 3 komt dit tot uiting. Ook bij het bespreken van stelsels zal het nodig zijn op deze manier determinanten te ontwikkelen aangezien de bekomen determinant dient te worden ontbonden in factoren. Te ver doorgedreven oefeningen zijn zeker niet aangewezen. 1.7 Stelsels van vergelijkingen van de eerste graad B kennen de nodige terminologie en notaties in verband met stelsels van vergelijkingen van de eerste graad. Bij homogene stelsels is het voor de ruimtemeetkunde van belang de speciale oplossingsmethode voor 2x3 stelsels te

17 16 B kunnen een stelsel oplossen met behulp van de methode van Gauss-Jordan. U kennen de nodige eigenschappen in verband met de oplosbaarheid van stelsels (in het bijzonder voor homogene stelsels) en kunnen de oplosbaarheid van een stelsel met een parameter bespreken. B kunnen toepassingen die aanleiding geven tot stelsels oplossen. U kunnen de rang van een matrix bepalen. U kunnen stelsels oplossen met de methode van Cramer. kennen. Het bespreken van stelsels kan gebeuren met rangen van matrices of met de Gauss-Jordan-methode. Enkel besprekingen van hoogstens 3x3 stelsels met 1 parameter die aanleiding geven tot een veeltermvergelijking in de parameter met graad hoogstens 3 dienen te worden behandeld. 1.8 Complexe getallen B kennen het begrip complex getal. B kunnen complexe getallen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. B kunnen de k-de macht van een complex getal berekenen. B kunnen algebraïsch vierkantswortels uit een complex getal berekenen. B kunnen vergelijkingen van de tweede graad met reële coëfficiënten oplossen in J B kunnen complexe getallen voorstellen in het vlak van Gauss. B kennen de goniometrische gedaante van een complex getal Het is wenselijk het invoeren van de complexe getallen te motiveren met het zoeken naar oplossingen van vergelijkingen zoals x² = -1. Een meer meetkundige of axiomatische invoering (via een speciale bewerking in ²) behoort ook tot de mogelijkheden. In elk geval worden de veldstructuur en de vectorruimteeigenschappen van J belicht, alsook het isomorfisme met het vlak van Gauss. Het is hierbij echter niet de bedoeling deze structuren op zich te benoemen en er verdere theoretische beschouwingen aan te wijden. Bij de oplossingsmethodes van veeltermvergelijkingen in J kan men zich beperken tot de discriminantmethode bij vierkantsvergelijkingen, het gebruik van de goniometrische gedaante bij binomiaalvergelijkingen en de regel van Horner bij hogeregraadsvergelijkingen. Een doorgedreven studie van de hoofdstelling van de algebra en haar gevolgen is hier niet

18 17 B kunnen product, quotiënt en macht berekenen van complexe getallen in goniometrische gedaante. B kennen de formule van de Moivre. aangewezen. Het spreekt voor zich dat met behulp van de n-de wortels binomiaalvergelijkingen kunnen opgelost worden. B kunnen goniometrisch de n-de wortels berekenen uit een complex getal in goniometrische gedaante. B kennen het begrip binomiaalvergelijking en kunnen deze oplossen. B kunnen de hoofdstelling van de algebra in verband met nulwaarden van veeltermfuncties formuleren. 2 Analyse 2.1 Reële functies B kennen het onderscheid tussen een wiskundige en een empirische functie B kennen de definitie van een reële functie en de verschillende aspecten (verwoording, voorschrift, tabel en grafiek) ervan B kennen de begrippen - domein, - bereik, - nulwaarde, - tekenverloop, Soms bestaat het verband tussen twee grootheden uit genoteerde overeenstemmende waarden van de grootheden, die bekomen werden door metingen. Een typisch voorbeeld hiervan is het noteren van de temperatuur van een zieke op verschillende tijdstippen. In dergelijke gevallen spreken we van een empirische functie. De leerlingen maakten reeds in de tweede graad kennis met deze begrippen, bijvoorbeeld bij de standaardfuncties en hun getransformeerden, maar ook bij de studie van eerste- en tweedegraadsfuncties. Bijzondere aandacht moet besteed worden aan het feit dat een functie aan ieder reëel getal hoogstens één beeld toekent. Het is niet zozeer de bedoeling deze begrippen hier afzonderlijk te behandelen, dan wel deze begrippen daar waar ze aan de orde kunnen komen (bij de studie van de verschillende types

19 18 - stijgen/dalen/constant zijn, - extremum en kunnen deze aflezen op een grafiek functies) telkens te herhalen. Het spreekt voor zich dat het gebruik van ICT hier zeker op zijn plaats is en dus ten stelligste aan te raden. B kunnen symmetrieën aflezen op een grafiek 2.2 Veeltermfuncties B kunnen aan de hand van het functievoorschrift - een tabel, - het domein, - de nulwaarden, - het tekenverloop bepalen van veeltermfuncties van de eerste, tweede en derde graad. B kunnen aan de hand van de grafiek: - domein, - bereik, - nulwaarden, - tekenverloop, - stijgen/dalen, - extrema bepalen van veeltermfuncties van de eerste, tweede en derde graad. B kunnen met behulp van ICT de grafiek lezen van veeltermfuncties van graad hoger dan drie. Het is hier zeker de bedoeling sterk de link te leggen met de grafiek, wat niet betekent dat leerlingen de verschillende karakteristieken niet vanuit het voorschrift moeten kunnen bepalen. Maar een visuele voorstelling zorgt voor een betere begripsvorming. Besteed hier ook de nodige aandacht aan de verschillende voorstellingswijzen van een functie: verwoording, tabel, grafiek, voorschrift. Er kan hier natuurlijk gebruik gemaakt worden van het feit dat de leerlingen deze begrippen reeds in de tweede graad hebben behandeld, in het bijzonder voor functies van de eerste en tweede graad. In tegenstelling tot functies van de derde graad, moeten functies van hogere graad niet vanuit het functievoorschrift kunnen behandeld worden. Een functionele toepassing van ICT is hier op zijn plaats.

20 19 B kunnen aan de hand van het voorschrift bepalen of een functie even of oneven is en kennen de grafische kenmerken van even en oneven functies. B kennen het begrip absolute waarde en kunnen eenvoudige functies met absolute waarden grafisch voorstellen. B kunnen een grafische voorstelling maken van functies met meervoudig voorschrift, opgebouwd uit veeltermfuncties. B kunnen vraagstukken/problemen oplossen die aanleiding geven tot een veeltermvergelijking, veeltermongelijkheid of veeltermfunctie, eventueel met behulp van ICT. Men kan hier opmerken dat ook functies met absolute waarden met een meervoudig functievoorschrift kunnen geschreven worden. Probeer hier zoveel mogelijk uit te gaan van concrete, realistische problemen. De nadruk ligt hier op het omzetten van een vraagstuk of probleem naar wiskundige gedaante. Bij het oplossen van de vergelijking, ongelijkheid of functie is het aangewezen ICT in te schakelen. De gevonden oplossing moet nadien natuurlijk opnieuw vertaald worden naar het oorspronkelijke vraagstuk of probleem. 2.3 Rationale functies B kunnen rationale vergelijkingen oplossen, waarbij de graad van teller en noemer hoogstens gelijk is aan twee. B aan de hand van het functievoorschrift: - een tabel, - het domein, - de nulwaarden, - het tekenverloop bepalen van rationale functies waarbij de graad van teller en noemer hoogstens gelijk is aan twee. Hier gelden gelijkaardige opmerkingen en bedenkingen als hierboven bij veeltermfuncties. Er dient wel de nodige aandacht besteed te worden aan de problematiek van de nulwaarden van de noemer bij het bepalen van het domein, de nulwaarden van de functie en het tekenverloop. Bij het asymptotische gedrag is het op dit moment nog niet de bedoeling de asymptoten ook effectief te gaan bepalen vanuit het functievoorschrift. Het is wel de bedoeling dat de leerlingen aan de hand van voldoende voorbeelden een idee krijgen van de grafische betekenis van limietgedrag en asymptotisch gedrag, begrippen die later concreet aan bod komen. Het is

21 20 B kunnen aan de hand van de grafiek: - domein, - bereik, - nulwaarden, - tekenverloop, - stijgen/dalen, - extrema bepalen van rationale functies waarbij de graad van teller en noemer hoogstens gelijk is aan twee. B rationale ongelijkheden oplossen (eventueel met behulp van ICT), waarbij de graad van teller en noemer hoogstens gelijk is aan twee. B het asymptotische gedrag van een grafiek aflezen. B vraagstukken/problemen oplossen die aanleiding geven tot een rationale vergelijking, ongelijkheid of functie. vanzelfsprekend dat ICT hierbij een onmisbaar hulpmiddel is. Bijzondere aandacht kan besteed worden aan het feit dat nulwaarden van de noemer niet automatisch leiden tot verticaal asymptotisch gedrag. Denk hierbij aan een geperforeerde 2 x 4 grafiek, zoals bijvoorbeeld bij de functie f( x) =. x 2 Het spreekt voor zich dat bij het oplossen van vraagstukken/problemen ICT op een functionele wijze kan ingeschakeld worden. 2.4 Continuïteit en limieten B kennen de grafische betekenis van het begrip continuïteit. B kunnen een wiskundige definitie van het begrip continuïteit formuleren. Het begrip continuïteit moet niet expliciet gedefinieerd te worden, maar een intuïtief begrip van de grafische betekenis ervan is zeker aan de orde. Denk hierbij ook aan continuïteit in een interval. Een meer wiskundige definitie is niet noodzakelijk en hangt samen met het al dan niet formuleren van een wiskundige definitie van het begrip limiet. U kennen de stelling van Bolzano en de grafische Deze stellingen staan in het teken van de benaderingsmethodes

22 21 betekenis ervan. U kennen de tussenwaardenstelling en de grafische betekenis ervan U kunnen, met behulp van benaderingsmethodes en ICT, nulwaarden van een functie bepalen. B kennen het begrip limiet dat op intuïtieve wijze wordt gesticht en kunnen grafisch limieten bepalen. B kunnen een wiskundige definitie van het begrip limiet formuleren. B kunnen met behulp van rekenregels limieten berekenen van veeltermfuncties en rationale functies. voor het bepalen van nulwaarden van een functie. De nadruk ligt hier zeker op de grafische betekenis en deze stellingen dienen dan ook zeker niet bewezen te worden. Het begrip limiet dient op intuïtieve wijze aangebracht te worden. Men kan hierbij uitgaan van de grafiek van een aantal willekeurige functies. Ook aan de hand van enkele rationale functies kan een intuïtief inzicht in het begrip limiet worden aangebracht. Besteed daarbij zeker ook de nodige aandacht aan limietgedrag in nulwaarden van de noemer en limietgedrag op oneindig. De notatie lim f ( x ) x a dient wel ingevoerd te worden. Berekenen van limieten kan de leerling doen inzien dat de limietwaarde vaak met de functiewaarde samenvalt, maar dat het de onbepaalde en oneigenlijke limieten zijn die, in samenhang met het opsporen van asymptoten, het ruimst bijdragen tot het tekenen van de grafiek van de betrokken functie. Bij lim f( x) aandacht besteden aan de feiten dat x moet kunnen x a naderen naar a (a is een adherent, niet geïsoleerd punt van het definitiegebied van f) én dat de functiewaarde f(a) geen enkel belang heeft. De leerlingen kunnen aan de hand van de elementaire rekenregels voor limieten (zoals bijvoorbeeld limiet van een som en limiet van een product) limieten van veeltermfuncties en rationale functies berekenen. Dit is waarschijnlijk ook het geschikte ogenblik om een aantal rekenregels in 3 {-,+ } aan bod te laten komen. Besteed in deze context ook reeds aandacht aan de onbepaaldheden. B kennen het getal e als een bijzondere limiet. Door x voldoende groot of voldoende klein te laten worden in de betrekking + n 1 1 kan men tot het getal e komen. Men kan n

23 22 B kunnen met behulp van limieten de horizontale, verticale en schuine asymptoten van rationale functies bepalen. daarbij opmerken dat dit een irrationaal getal is. Dit getal komt later, bij exponentiële en logaritmische functies, opnieuw aan bod. Het bij rationale functies opgedane intuïtieve begrip van asymptotisch gedrag, wordt hier vertaald naar een concrete bepaling van de asymptoten. Voor de leerlingen uit de basisvorming volstaat het dat ze rekentechnisch de verticale en horizontale asymptoten kunnen bepalen vanuit het functievoorschrift. Bij het bepalen van de asymptoten van rationale functies kan men de keuze maken tussen het maken van de deling of het gebruik van limieten. ICT kan hier ingeschakeld worden om de limieten te bepalen (de nadruk ligt hier op het bepalen van de asymptoten en niet op de rekenregels van limieten) en om de gevonden asymptoten grafisch te controleren. 2.5 Afgeleiden B kennen de definitie van afgeleid getal. B kunnen bij functies met behulp van het intuïtief begrip van limiet het verband leggen tussen: - het begrip afgeleide, - het begrip differentiequotiënt, - de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek, - de maat voor de ogenblikkelijke verandering In de wiskunde wordt het begrip afgeleide gebruikt om te beschrijven hoe sterk bij een functie de verandering van de y- waarde is als de x-waarde verandert. Voor wiskundigen is dit een vertrouwd begrip, maar in feite is dit een vrij complex begrip. Het is het meest gesofisticeerde uit een reeks van drie instrumenten om te meten hoe sterk functiewaarden veranderen. De eenvoudigste manier om de verandering in y-waarde te beschrijven is aan de hand van differenties, het verschil tussen twee functiewaarden: f( x) f( a). Een differentie beschrijft de totale verandering over een interval. In de afgeleide vinden we de differentie terug in de teller van de breuk.

24 23 Deze manier van werken voldoet niet altijd. Zo heeft het bijvoorbeeld geen zin om differenties te vergelijken wanneer voor de toename van de x-waarde verschillende waarden worden genomen. In dat geval moet je het f( x) f( a) differentiequotiënt gebruiken:. Het x a differentiequotiënt beschrijft de gemiddelde verandering over een interval (denk hierbij bijvoorbeeld aan de gemiddelde snelheid over een tijdsinterval). Ook het differentiequotiënt vinden we terug bij de afgeleide, het is namelijk de breuk waarvan de limiet wordt genomen. De verandering in één punt (bijvoorbeeld de snelheid op een bepaald ogenblik) wordt beschreven door de afgeleide, zoals reeds vermeld is dit de limietwaarde van het differentiequotiënt. Elk van deze drie instrumenten kan worden gebruikt om de verandering van de y-waarden te beschrijven. Traditioneel is gebruik gemaakt van de afgeleide om veranderingen te beschrijven. Dit is echter een moeilijk toegankelijk begrip, en vaak leerden de leerlingen wel afgeleiden te berekenen, maar wisten ze niet goed wat de afgeleide juist voorstelde. Daarom wordt er gevraagd om ook het differentiequotiënt in te voeren. Door de stap naar de limiet niet te zetten kan de klemtoon verschuiven van techniek (om afgeleiden te berekenen) naar meer begripsvorming en inzicht wat betreft de verandering van een functie. B kennen het begrip afgeleide functie. Eenmaal het begrip limiet gesticht, is er niets dat belet de begrippen afgeleid getal en afgeleide functie in te voeren, alsook de afleidingsregels op te stellen (al dan niet met bewijs) van veeltermfuncties. B kunnen de afgeleide functie berekenen van f( x) = 2 3 n (c 3), f( x) = x, f( x) = x, f( x) = x en f( x) = x (met n!). B kunnen op de bovenstaande functies de somregel, de veelvoudregel, de productregel en de quotiëntregel toepassen. c De berekening van de afgeleide van deze functies kan, naargelang het niveau van de leerlingen, gemaakt worden door een numerieke limietberekening, door een symbolische limietberekening of op beide manieren. Deze regels kunnen verantwoord worden aan de hand van de berekening van de afgeleide van enkele eenvoudige functies 2 zoals bijvoorbeeld f( x) = 3x of f( x) = x + x. Besteed hierbij

25 24 B kunnen, met behulp van de grafische betekenis van het afgeleid getal, de raaklijn aan de grafiek van een functie construeren, in een punt van de kromme. U kunnen de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van een functie opstellen, in een punt van de kromme. B kunnen de kettingregel voor het afleiden van samengestelde functies toepassen. U kunnen, met behulp van ICT, nulwaarden van een functie bepalen door middel van de methode van Newton-Raphson. B kunnen de regel van de l Hospital voor het berekenen van limieten toepassen. B kennen het verband tussen het tekenverloop van de eerste afgeleide en het opsporen van extrema en kunnen het verloop van een veeltermfunctie van de derde graad uitleggen. zeker ook de nodige aandacht aan de grafische interpretatie van deze regels. Deze rekenregels leiden ertoe dat de leerlingen de afgeleide functie van veeltermfuncties en rationale functies kunnen bepalen. Let daarbij op de correcte formulering van de stellingen van de l Hospital. Met behulp van de afgeleide kunnen de leerlingen nagaan waar een functie stijgt of daalt en kunnen ze de helling in een concreet punt bepalen. Als de afgeleide functie gelijk is aan nul kunnen zich drie gevallen voordoen: de grafiek vertoont een minimum, een maximum of een buigpunt met een horizontale buigraaklijn. Onderscheid tussen deze gevallen wordt gemaakt door het interpreteren van een tekenoverzicht van de afgeleide functie. Met het oog op het bereiken van het hoofddoel zijn het de meetkundige betekenis van het afgeleid getal enerzijds, het tekenverloop van de afgeleide functie anderzijds, die een krachtige bijdrage leveren bij het tekenen van de grafiek van de gegeven functie. Het verloop van functies is hier zeker niet als een doel op zich bedoeld, doch eerder als een synthese van het voorgaande, als een illustratie van een puzzel die mooi in mekaar past. Dit sluit aan bij het gegeven dat enkele toetsaanslagen volstaan om de grafiek van een functie te bekomen. Dit belet echter niet dat het zinvol is enkele voorbeelden uit te werken zodat de leerlingen

26 25 B kunnen extremumvraagstukken (ook van buiten de wiskunde) die aanleiding geven tot veeltermfuncties en rationale functies, oplossen. B kennen het verband tussen het tekenverloop van de tweede afgeleide en het hol/bol zijn van de grafiek van een functie. het nodige inzicht verwerven in de verschillende verbanden. Bij de vraagstelling kan hier de nodige aandacht besteed worden aan bijvoorbeeld: het schetsen van de grafiek van de afgeleide functie bij gegeven grafiek van een functie en omgekeerd, bij gegeven afgeleide functie een passende grafiek van een functie selecteren uit een aantal gegeven grafieken, het tekenverloop van de eerste afgeleide bepalen als de grafiek van een functie gegeven is. Bij de extremumvraagstukken mag, net zoals bij het verloop van functies, zeker niet de nadruk liggen op het rekenwerk. Dit impliceert dat dit uitgelezen momenten zijn om op een functionele manier gebruik te maken van ICT. 2.6 Goniometrische functies B kennen de definitie van radiaal, kunnen het verband leggen tussen graden en radialen en kunnen de sinus, cosinus, tangens en cotangens van een reëel getal berekenen. B kunnen de goniometrische getallen van verwante hoeken berekenen. B kunnen de optellingsformules voor sinus, cosinus en De leerlingen kennen de begrippen sinus, cosinus, tangens en goniometrische cirkel uit de tweede graad. De kennis in verband met de radiaal staat in het teken van het functioneel verband, zoals f( x) = sinx. De nadruk ligt m.a.w. op het feit dat de sinus van een reëel getal kan worden berekend. Zorg er bijvoorbeeld voor dat de leerlingen duidelijk weten dat sin30 sin30. De studie van de goniometrische formules is geen echt doel op zich, maar een hulpmiddel bij het integreren van goniometrische functies. Let op de bestaansvoorwaarden voor de tangens van een som.

27 26 tangens opstellen en toepassen. B kunnen de verdubbelingsformules voor sinus, cosinus en tangens opstellen en toepassen. B kunnen de halveringsformules voor sinus en cosinus opstellen en toepassen. B kunnen de formules van Simpson opstellen en toepassen. B kunnen de grafiek van de functies f( x) = sinx, f( x) = cosx en f( x) = tanx construeren vanuit de goniometrische cirkel. B kunnen van de functies f( x) = sinx, f( x) = cosx en f( x) = tanx - de tabel, - het domein, - enkele bijzondere waarden, - de periodiciteit, - het stijgen/dalen, - de eventuele extrema bepalen B kunnen aan de hand van de grafiek: - domein, - bereik, - nulwaarden, - tekenverloop, - periodiciteit, - stijgen/dalen, Analytische oefeningen ("identiteit"-bewijsoefeningen) op de formules kunnen ongetwijfeld bijdragen tot het verhogen van de reken- en vooral de redeneervaardigheden bij bewijstechnieken. Men mag hierin echter niet overdrijven; er wordt hieraan slechts een beperkte tijd besteed. Hoofddoel is het inoefenen van de formules en het manipuleren ervan. Belangrijk is hier op te merken dat leerlingen die in de tweede graad enkel de basisvorming gevolgd hebben, geen goniometrische getallen van verwante hoeken behandeld hebben. De behandeling van verwante hoeken staat hier in functie van de constructie van de elementaire goniometrische functies vanuit de goniometrische cirkel. Het doel is hier om, met nadruk op de grafische kenmerken, de verbanden tussen verwante hoeken te kunnen aanwenden bij de constructie van de elementaire goniometrische functies. Na een grondige studie van de elementaire functies f( x) = sinx, f( x) = cosx en f( x) = tanx is het de bedoeling dat leerlingen in staat zijn de algemene sinusfunctie te onderzoeken. Dit gebeurt best stapsgewijs, waarbij in verschillende fasen ( ) = sin + ( ) = sin + f( x) = k.sin x en f x ( x k ), f x ( x) k, ( ) f( x) = sin (. ) k x behandeld worden. Hierbij dient telkens de nodige aandacht aan de interpretatie van de betekenis van de parameter k geschonken te worden. Bij de vergelijkingen kan men zich beperken tot de vermelde vormen. Men kan naast de grafische oplossing van deze vergelijkingen de leerlingen ook aanleren deze vergelijkingen manueel op te lossen. Bovendien kan men ook de vorm hier iets uitbreiden, zonder daarbij te overdrijven (dit zal mede bepaald worden door de beschikbare tijd). Bij de toepassingen kan men zich beperken tot de bestudeerde vergelijkingen. Ongelijkheden kunnen hier ook aan bod komen en met behulp van ICT opgelost worden.