Analyse van eensamengestelde steekproef. L.P.Kamil

Transcriptie

1 NN : VOOR CULTUURTECHNIEK EN WATERHUISHOUDING NOTA no.95dd. 1september1961 Analyse van eensamengestelde steekproef L.P.Kamil Inleiding Ineenomschreven gebied,bestaande uit eengroot aantal veehouderijen, worden de kavels grasland per bedrijf ingedeeld inde klassen: I kavels op afstand 0-5OO m van de boerderij 5OO m II it H III " " " m IV» " " 15OO m V " " " 000-3OOO m VI " " " > 3OOO m it ti Y/il menhet aantal weidedagen perklasse weten, dan kan mende veehouders verzoeken te noteren hoe frequent gedurende het weideseizoen de kavels in de verschillende klassen worden gebruikt door melkvee. Indienmen deze gegevens verkrijgt kanmen eengemiddelde gebruiksfrequentie perklasse voor het gebiedmaken. Dit systeem heeft de volgende nadelen: 1e. Men kan niet verwachten, dat alle veehouders aanhet verzoek zullen voldoen. e. Een onbekend aantal vandeveehouders zullen denotities niet systematisch bijhouden, zodat foutieve gegevens niet uitgesloten zijn. 3e. Indienhet mogelijk is een aantal veehouderste selecteren,welke welgeacht kunnenworden gegevens teverschaffen, danbehoeft de gemiddelde gebruiks-frequentie vandezegroep nog geen juistbeeld te geven vande gemiddelde gebruiks-frequentie vanhet gebied. Eenander systeem verkrijgt men door een toevalssteekproef te nemen uitallebedrijven. Vanhet aantalbedrijven inde steekproef zal men door eigenkrachten dagelijks latennoteren waar het vee staat. 67; 05/0961/3O lj$^hê

2 Zodoende verkrijgt men een betrouwbaar beeld. Het behoeft echter geen betoog, dat de kosten, verbonden aan eenop deze wijze opgezet onderzoek hoog zullen zijn. Een systeem, dat een zuiver beeld zal geven en waarvan de kosten belangrijk minder zullen zijn, zalinhet volgende worden verklaard. Ter vereenvoudiging wordt slechts gewerkt met twee klassen s I de kavels op afstand mvan de boerderij II deandere kavels. In de gegeven afleidingen kanmen de klasse m vervangen door elke der andere klasse.deberekeningen verlopen overigens analoog. Achtereenvolgens wordenbehandeld de steekproeven uit de weidedagen, de steekproef uit de bedrijven, terwijl tenslotte door samenstelling van de beide soorten steekproeven een oplossing gevonden wordt voor het gestelde probleem. 1. De steekproef uit het aantal weidedagen Men beschouwe één bedrijf, waarvan men steekproefsgewijs het aantal dagen wil bepalen, dat melkvee op de kavels op afstand m van de boerderij staat. Men noemt het aantal weidedagen N het totaal aantal weidedagen op genoemde kavels X en het aantal dagen op andere kavels N - X. Men neemt een steekproef ter grootte n, waarvan op x dagen het vee op genoemde kavels wordt gevonden en op (n -x)dagen op andere kavels. Indien de steekproef zo gekozen is,dat alle dagen evenveel kans hebben gehad in de steekproef te worden opgenomen, dan geldt dat X een zuivere schatter is van X: x-j^ (Eenschatter X van Xheet zuiver als geldt s E(X) = X) Een zuivere schatter van de variantie van X is; N (N - n ) var(x) = -L-3 J- pq ( ), 1 n - x waarin p = -en q n x 1 _ 1 n 1 Om in 3 verwarring te voorkomen wordt voor Xhet symbool Y ingevoerd. Men kan nu schrijven? 05/0961/30/ Y = X + d co

3 -3- Doordat men Xschat door een steekproef-uitkomst Y, zal in het algemeen eenafwijking d bestaan. Nu is E(d) = E(Y) -X = X-X = 0 (3) on var(d) = E[Y - X - E(Y - X)] = E[Y - E(Y) - X + E(X)] dusvar(d)= ~ =E[Y - E(Y)] = var(y) = var(x) MN - n ) ] ~- pq (4). De steekproefuit het aantal bedrijven Steldat men van het gebiedvan elk bedrijfhetjuiste aantal weidedagenx. kent,dat het vee opde kavelsop afstand m van de boerderijstaat. Het totaal aantal bedrijvenin de populatie isn_en menneemt een toevalssteekproef ter grootte n om een schattingte maken van het gemiddelde aantalweidedagen [i op genoemde kavels over alle bedrijven. ZU3.vere H N z x. i i = 1 N schatter van -x i is; (niet stochastisch) *>* = X " n n E X î = 1 n (5).De schatter van de variantie van X is: ~ n tv \ N - n ^X± x var(x ) = _ - X ) : " n N n (n -l) (6) Het deel E (X.-X)/(n-1) in het rechterlid van (6) is een schatter van 1 S (de populatie-variantie. 3. De samengestelde steekproef Men neemtuit N bedrijven een steekproefter grootte n Van de O5/O961/3O/3

4 -4- indesteekproefvoorkomendebedrijvenschatmenvoorolk bedrijfhet aantalweidedagenopdekavelsindeklasse mdoor Yuitsteekproeventergrootte n, Menheeft dus; N bedrijvenindepopulatiewaarvan n? bedrijvenindesteekproef, envoorelkvande n indesteekproefvoorkomendebedrijven N weidedageninhetseizoenwaarvan n weidedagenindesteekproef. Nu kangeschrevenworden s Y, = X, +d Y. - X, =d » «OX «ÏN - \* '\ V \- '\ Destochastiekend,d d zijnonderlingonafhankelijken -1'-' -N onafhankelijkvan X. Verdergeldt E(d) = 0terwijlalleöa. 'verschillendkunnenzijn. Volgens (l)en(5) geldtdat Y eenzuivereschatterisvanp., i " n nl. : Omdatpqin () maximaalisalsp=q=0.5,volgtuit (4), ondervoorwaarde dat N en n voorallebedrijvengelijk isj var(d.) s<0,5 N 1 (N 1 " V (8) en var(d ) x < 0,5 Nl Nl " V (9) " n n ( n i - 1 ) (Doordatdesteekproefgrootteuitdebedrijven n is, heeft men dus n trekkingenuitdestochastiekend. ; /& \ N.(N, - nj Zp.q. N (N.- O var(d )=var! Ij s<0.5, -- x - n / n (n 1-1) n g n^^ -1) 05/0961/3O/4

5 -5- De variantio van Y. volgt uit var(y.) = E[(X. + d.) - E(X. + d.)] V.' lx -. -.' -1-1 / J = E[X. - E(X.) +d. - E(d.)].r, E [X. - E(X.)]^ + E[d rj w. M ± - E^)]^ + E[X. - E(X i )][d. - E(d ± )]. ^rj -/J M = E[X. - E(X.)]^ + E[d ± - E(d.)]' wegens onafhankelijkheid van X en d. Dus var(y.) = var(x.) + var(d.) (10) Voor de var(y ) volgt na substitutie van (6) en (9) in (10) " n, var(y ).<_ + o. 5! 3 1_ ~ n X N n n ( ni - 1) (11) Indien n en n niet te klein zijn, geldt dat de normale verdeling als benadering toegepast kan worden, zodat met 95$ betrouwbaarheid de v/aarde (J, zal liggen binnen de grenzen; Y Vvar( v 7)<,u < Y Vvarlj) (1) 4. De keuze van n 1 en n Indien men uit gelijksoortigwaarnemingsmateriaal een schatting van S kan maken, kan men de grootte van de nieuw te nemen steekproeven zo kiezen, dat het betrouwbaarheidsinterval een van tevoren bepaalde lengte heeft. Noemt men deze lengte Ldanis (zie(1))s L = 1.96 V var(y) (13) L Stelt men nu( ) =Q, danis : Q = var(y) 1.96 Substitutie van (il) geeft bij benadering: N 9 - n S N (N _ n ) 0) = -S +O N n n (n 1 - l) hetgeen na uitwerking geeft s 1 05/0961/3O/5 (QN 9 + S )n N N 9 - N.S (QN + S^)n + 0.5N 1 N - Ï^S" U4;

6 -6- In (14)zijn N,, N Q, en S constanten, terwijl na keuze van n de grootte van n vaststaat. TÏ 1 ^ fv ï * N 0 - n 0 S^ N, (N. - nj De benadering van var(y J door " n N n ' n ( ni - 1) hoeft tot gevolg dat de grootte van n en n aandeveilige kantgekozen worden, d.w.z.dat de kans dat (j, ligtbinnen het interval groter is dan95^>. Y-L<^<Y + L Indienmenverwacht, dat p veel groter of kleiner dan0,5zal zijn, (b.v. p <0,3 of p > 0,7), vervangt men 0,5 door pq, waarin voor p en q = (1-p) deverwachte v/aarde van pwordtingevuld. 5. Steekproef opzet Omschrijf hetproefgebied. Bepaalhot aantal bedrijven: N. Bepaal (schat)het totaal aantal weidedagen: N. Schat S uit gelijksoortigwaarnemingsmatoriaal. Bepaal de gewenste nauwkeurigheid L bij een gewenste betrouwbaarheid' Bepaal n en n uit (14), zodat de kostenvanhet onderzoek minimaal zijn. Trek eentoevalssteekproef ter grootte n uit de bedrijven. Trekvoor elkvan degekozen n 9 bedrijven eentoevalssteekproef ter grootte n uit deweidedagen. 6. Voorbeeld Voor devolgende waarden zijn inenige figuren de verbanden tussen n n S, Lenhetbetrouwbaarhcidspcrcentagc weergegeven. Gesteld wordt dathet aantalweidedagen 00zal zijn,terwijl inhet gebied 1500 bedrijven liggen. Nuis dus: N = 00weidedagen N = 1500 bedrijven Figuur 1 geeft het verband tussen n. en n weer bij ; L = Debetrouwbaarheid is95/*» O5/0961/3O/6 S = 5 ; 49 ;81 ;11

7 Inde figuur isaf telezen datmenbijb.v. S =11metde volgende paren n 1 en n de gewenste nauwkeurigheid kanverwachten in 95op de 100 steekproeven; n ; n % Bijkleiner worden van n ziet men,dat delijnen steeds steiler lopen, zodat dev/aarde van n sterker toeneemt. Figuur geeft het verband tussen n en n weer bij L = 4 S = 5 ; 49 ;81 ;11 Debetrouwbaarheid is95^» Bepaalt men thans de paren n en n bij S =11 danvindt men; n : n s Figuur 3 geeft eenzelfde verband bij s L = 4 S = 5 ;11 Debetrouwbaarheid is QOfo I-Ion kannu de gewenste nauwkeurigheid (L=4) bij een betrouwbaarheid van 80^o bereikenmet de paren; n ; n ; Stelt men datmen op een dag 40 bedrijvenkanbereiken, dan zou menin het weideseizoen 30 keer eenplaatsbepaling vanhet veemoetenmaken. Figuur 4 tenslotte geeft het verband tussen Lenhet percentage betrouwbaarheid bij : S = 5 ;11 n =40 n 1 = 10 ;0 ; 30 Inde figuur is aftelezen dat bij n = 10,0of 30en P = 95^; 90$; 80/0 men devolgende waarden voor L zal kunnenbereiken; 05/0961/30/7

8 -8- Dewaarden van L bij N_ =40 p V f 0 ll.l 8, Cffo $ 7,0 5 = 0 4,0 Tot slotmoet worden opgemerkt,dateentoevalssteekproef overde weidedagenvervangenmoetwordendoor eengelaagde steekproef,indiende gebruiks-frequentieinhet seizoen verandert, Menzoudanhetweideseizoen indrieklassenkunnen indelen?y/aarna binnenelkeklasse een toevalssteekproefwordt getrokken. Hetprincipe vande steekproef-opzotverandert hierdoor niet,dochdeformulesvoordesteekproefuitde weidedagen, zowelalsdie voorde samengestelde steekproef, zullen veranderen. Debewijzen voordoformuleswelkeniet indetekst zijn bewezen, wordengegevenins W.G.Cochran "SamplingTechniques"(London 1953).?O5/0961/30/8

9 guur Is Eet verband tussen n. en ~~?5? 49 I81 ;11 or. " VC waara e a u t. : IÏ =»150C 1 ' :") i;io VK, m., 40

10 '"i P;U ir- dt -:t t v^roana OJ:C.<;. 1. ; ' V-: 17 ;:; ót V Cl O Q. cj u * Vü i.ju 4: de h._lvc ~U;^ U. va-i h«'i -O BO - S o 01

11 Figuur 5! ^e* 'verband tussen n. en n p bi^ en = 'l :.- 'l f Jiiv.!: I' VÙûrWwc: I''i (. ''' p««1ï?00 bfcai'ijvci". -. = 'c'.oo Wfe i U t; u t-i'."6li -"«ijï Q fc; Jlüj. VC' i.c!:. ' üc, Y-I.J1 Î' 1 aarheidsi nt-fen^-.-l 40

12 t'igxiur ;Î iet V'jr^fu-^a laii;,: n n, f ^e naive lengte vfirj iiex betrouwbaarheidsinterval en het percentage betr.,iwbó.arheia bij constante 1,rj. en o» a /()( 1 1