INLEIDENDE CURSUS WISKUNDE

Transcriptie

1 INLEIDENDE CURSUS WISKUNDE Deze begeleidende tekst is een handleiding bij de inleidende cursus wiskunde in de opleiding Handelswetenschappen. Het gebruikte handboek [WBT] is: Verheyen, P. & Janssens, D., Wiskunde met bedrijfseconomische toepassingen, Acco, Leuven/ Den Haag, 2017 (4 de editie, ISBN: ). We behandelen in deze inleidende cursus hoofdstuk 1, uitgezonderd en 1.13, hoofdstuk en 2.2, en blikken vooruit naar tot en met Oplossingen en verder begeleidend materiaal zijn beschikbaar via Toledo en : Inleidende Cursus Wiskunde KU Leuven FEB Antwerpen - Begeleidende tekst 1

2 Basiskennis: samenvatting 1 Algebra Getallen en bewerkingen [WBT ] Binnen de getallenverzameling R met deelverzamelingen N, Z en Q, ben je vertrouwd met n-de machtswortels (n N) en bewerkingen met exponenten. Je kent de specifieke volgorde waarin bewerkingen dienen uitgevoerd en gebruikt correct haken om hiervan af te wijken. Algebraïsche vergelijkingen [WBT 1.10 uitgezonderd ] Je kan eerste- en tweedegraadsvergelijkingen oplossen in R. In het bijzonder weet je dat ax 2 + bx + c = 0 maximaal twee reële oplossingen heeft, afhankelijk van het teken van de discriminant d b 2 4ac, waarbij deze voor d 0 gegeven worden door x 1,2 = b ± d. 2a Voor veeltermvergelijkingen met graad groter dan 2, kan je eventueel gebruik maken van het ontbinden in factoren, om deze op te lossen. Theoretisch kan je elke veelterm ontbinden in eerstegraadsfactoren en tweedegraadsfactoren met discriminant kleiner dan 0. Praktisch zijn er daartoe problemen, zoals het niet bestaan van formules om een veeltermvergelijking met graad groter dan 4 op te lossen. Soms helpt de regel van Horner om te ontbinden in factoren (bij vergelijkingen met gehele coëfficiënten en gehele oplossingen) of moet je je beperken tot numerieke oplossingen van een vergelijking. Sommige vergelijkingen kan je oplossen door een factor buiten haken te brengen, of door het feit dat deze te schrijven zijn als een tweedegraadsvergelijking in een uitdrukking verschillend van x (zoals bv. bikwadratische vergelijkingen). Ongelijkheden Algebraïsche ongelijkheden los je op door de overeenkomstige gelijkheden op te lossen en dan via een tekenschema de oplossingen van de oorspronkelijke ongelijkheid te zoeken. Afleiden Je kan veeltermfuncties afleiden via de lineariteitseigenschap en Dx n = n x n 1 voor n N 0. Inleidende Cursus Wiskunde KU Leuven FEB Antwerpen - Begeleidende tekst 2

3 2 Meetkunde [WBT 1.11] Grafische voorstellingen Je kan de een veeltermvergelijking met graad 1 grafisch voorstellen als een rechte en deze met graad 2 als een parabool met een verticale symmetrie-as. Rechten in een vlak Richtingscoëfficiënt van een rechte (helling) Voor een niet verticale rechte met gegeven vergelijking, vind je de richtingscoëfficiënt als de coëfficiënt van x wanneer je deze vergelijking oplost naar y. Grafische voorstelling Grafisch stel je de corresponderende rechte voor door de snijpunten met de assen te zoeken en deze punten met elkaar te verbinden. Indien beide snijpunten samenvallen met (0,0), zoek je een willekeurig ander punt. Bij evenwijdigheid met de X-as gaat het om een horizontale rechte met vergelijking y = constante, terwijl het bij evenwijdigheid met de Y-as gaat het om een verticale rechte met vergelijking x = constante. Vergelijking van een rechte De rechte door twee verschillende gegeven punten a en b met respectievelijke coördinaatgetallen (x a, y a ) en (x b, y b ) heeft als richtingscoëfficiënt indien x b x a 0 en als vergelijking m = y b y a x b x a y y a = m (x x a ). Indien x b x a = 0 gaat het om een verticale rechte met vergelijking x = x a. Evenwijdigheid Twee rechten zijn evenwijdig wanneer zij dezelfde richtingscoëfficiënten hebben (of als ze beide verticaal zijn). Loodrechte stand Twee rechten met respectievelijk richtingscoëfficiënten m 1 en m 2, staan onderling loodrecht als en slechts als het product van hun richtingscoëfficiënten gelijk is aan 1. Inleidende Cursus Wiskunde KU Leuven FEB Antwerpen - Begeleidende tekst 3

4 Parabolen met verticale symmetrie-as De top van de parabool met vergelijking y = Ax 2 + Bx + C (met A, B en C reële getallen, A 0), bepaal je door de rechterhandzijde af te leiden en gelijk te stellen aan 0, waardoor de x-coördinaat x top van deze top gevonden wordt als de oplossing van 2Ax + B = 0. De y-coördinaat vind je dan door deze oplossing x top in te vullen voor x in de rechterhandzijde Ax 2 + Bx + C. Voor A > 0 bekom je een minimum en voor A < 0 een maximum van de corresponderende tweedegraadsfunctie: het gaat respectievelijk om een dal- en bergparabool. Afstand in een vlak Ten opzichte van een orthonormale basis in een vlak wordt de afstand d(a, b) tussen punten a(x a, y a ) en b(x b, y b ) gedefinieerd door d(a, b): = (x b x a ) 2 + (y b y a ) 2. Cirkels + Een cirkel met middelpunt a(x a, y a ) en straal r R 0 heeft als vergelijking (x x a ) 2 + (y y a ) 2 = r 2. Omgekeerd bepaalt een tweedegraadsuitdrukking in x en y waarbij de coëfficiënten van x 2 en y 2 gelijk zijn (en verschillend van 0) en waarbij er geen term in xy optreedt, mogelijk een cirkel: je bepaalt in een dergelijk geval middelpunt en straal door de uitdrukking te herleiden naar de vorm x 2 + y 2 + Ax + By + = 0 (A, B en C R) en deze te vervolledigen tot een perfect kwadraat voor x en voor y. 3 Stelsels vergelijkingen [WBT 1.12] Om stelsels vergelijkingen op te lossen, kan je beroep doen op de substitutiemethode, de combinatiemethode of een mengvorm van beide. Stelsels eerstegraadsvergelijkingen: methode van Gauss en Gauss-Jordan Indien het gaat om stelsels eerstegraadsvergelijkingen, vertaalt zich dit naar het gebruik van uitgebreide matrices en de methode van Gauss of Gauss-Jordan. Omdat bij het oplossen van een dergelijk stelsel alleen de coëfficiënten der onbekenden en de rechterhandzijden der vergelijkingen van belang zijn, wordt een dergelijk stelsel voorgesteld via een zogenaamde (uitgebreide) matrix (d.w.z. een rechthoekige tabel met getallen). Inleidende Cursus Wiskunde KU Leuven FEB Antwerpen - Begeleidende tekst 4

5 De gevolgde oplossingsmethode wordt gerepresenteerd door een sequentie van equivalent (uitgebreide) matrices, waarbij nullen gevormd wordt naar beneden (Gauss) of naar beneden en boven (Gauss-Jordan). Hierbij is het toegestaan om 1) een rij te vervangen door een van nul verschillend veelvoud van deze rij; 2) een rij te vervangen door deze rij vermeerderd met een veelvoud van een andere rij; 3) rijen van plaats te wisselen. Men spreekt over elementaire rijtransformaties. Stelsels veeltermvergelijkingen waaronder niet-eerstegraadsvergelijkingen Alleen de geciteerde mogelijkheden: substitutie-, combinatiemethode of mengvorm zijn toe te passen. 4 Functies in één reële variabele Voor een functie f: R R: x f(x). kan je het domein bepalen, d.w.z. de verzameling van alle x in R waarvoor f(x) bestaat (in R). Elementaire functies [WBT 2.1] Verder ken je de grafische voorstellingen van elementaire functies: eerstegraadsfuncties als rechten; tweedegraadsfuncties als parabolen; de derdegraadsfunctie R R: x x 3 Inleidende Cursus Wiskunde KU Leuven FEB Antwerpen - Begeleidende tekst 5

6 de functie R R: x 1 met als grafiek een hyperbool x de rationale functie R R: x x2 x met als grafiek een doorboorde rechte: ; de absolute waarde functie ABS =. ; ; Inleidende Cursus Wiskunde KU Leuven FEB Antwerpen - Begeleidende tekst 6

7 de goniometrische functies sin en cos ; de functie FLOOR, gedefinieerd door de eis dat FLOOR(x)= x het grootste gehele getal kleiner dan of gelijk aan x is. Dit bepaalt een trapfunctie met domein R en beeld Z ; exponentiële en logaritmische functies (zie bespreking infra). Inleidende Cursus Wiskunde KU Leuven FEB Antwerpen - Begeleidende tekst 7

8 Exponentiële functies [WBT 1.2] (a R 0 + {1}) 0 < a < 1 a > 1 exp a : R R 0 + : x a x Logaritmische functies (a R + I 0 {1}) log a : = exp a d.w.z. log a x =? x = a? 0 < a < 1 a > 1 EIGENSCHAPPEN: log a (x 1 x 2 ) = log a x 1 + log a x 2, log a x 1 x 2 = log a x 1 log a x 2 log a (b x ) = x log a b. De overgang tussen logaritmenstelsels wordt gegeven door log a x = log b x log b a. Voor het irrationale getal e 2,71 defineert men ln x : = log e x. zodat de overgang tussen logaritmenstelsels kan geschreven worden als ln x log a x = ln a. Inleidende Cursus Wiskunde KU Leuven FEB Antwerpen - Begeleidende tekst 8

9 1. Algebraïsche basisbegrippen 1.1 Machten in R [WBT 1.2] 1) Werk uit: a) 9 = b) 3 8 = c) 3 8 = d) ( 8) 1 3 = e) = f) = g) 2 2 : 2 3 = h) 2 3 : 2 2 = i) ( 2) 4 : 2 3 = j) 2 4 : 2 3 = k) (2 3 ) 2 = l) 2 (32) = m) (5 3 ) 2 = n) 6 a 3 a = 2) Vereenvoudig (veronderstel dat deze uitdrukkingen bestaan): 1 1 ) x + 1 x x 1 ) 3x 2 (2x + 5) 1 3 x (2x + 5) 2 3 (2x + 5) 2 3 Inleidende Cursus Wiskunde KU Leuven FEB Antwerpen - Begeleidende tekst 9

10 1.2 Het sommatieteken [WBT 1.6] Schrijf de volgende uitdrukkingen met een sommatieteken voluit: 3 1) 2 n n=0 3 = 2) 2i = i=1 3 3) i + 2 = i=1 3 4) (i + 2) = i=1 3 5) 2 = k=1 Wiskunde_PV > Basiskennis Voor te bereiden opgaven 1 Juist of fout? Ga na of de volgende uitspraken juist zijn voor alle reële getallen x, y, a, b: 1) 3 x = x 1 3 2) x x = 1 3) (a + b) 2 = a 2 + b 2 4) a 2 b 2 = (a + b)(a b) 5) x 3 1 = (x 1)(x 2 + x + 1) 6) x 3 1 = (x + 1)(x 2 + x 1) Inleidende Cursus Wiskunde KU Leuven FEB Antwerpen - Begeleidende tekst 10

11 7) x y ax ay 8) x y x 2 y 2 9) 1 x2 = x ) x 2 = 1 x = 1 11) x = 1 x 2 = 1 2 Spoor de fouten op in de volgende uiteenzettingen 1) Een student beweert dat de volgende stelling juist is: Als één student slaagt voor het examen over het vak Chaos in de economie, dan zijn alle studenten geslaagd voor dit vak. Deze student baseert zich voor het bewijs van deze stelling op het volgende lemma: Twee willekeurige studenten behalen steeds hetzelfde aantal punten voor het vak Chaos in de economie. Deze laatste hulpstelling kan immers eenvoudig bewezen worden. Stel dat het gaat om de studenten A en B, waarbij A a punten scoort en B b punten. Noem m het rekenkundig gemiddelde van beide uitslagen. Dan geldt 2m = a + b, zodat a = 2m b en b = 2m a. Bijgevolg geldt ook (2m b) b = a (2m a), wat impliceert dat 2mb b 2 = 2ma a 2. Daarom geldt ook dat b 2 2mb = a 2 2ma, waaruit volgt dat b 2 2mb + m 2 = a 2 2ma + m 2. Met andere woorden (b m) 2 = (a m) 2, wat leidt tot b m = a m, of nog b = a. 2) Stel N = Dan geldt N = 1 + ( ) = ( ) = N Bijgevolg is N = 1, wat betekent dat 1 = Inleidende Cursus Wiskunde KU Leuven FEB Antwerpen - Begeleidende tekst 11

12 2. Vergelijkingen en ongelijkheden in één variabele 2.1 (On)gelijkheden betreffende veeltermen [WBT 1.10] 1) Onderzoek volledig het tekenverloop van de volgende veeltermen: a) 2x + 3 b) 2x + 5 c) x 2 3x + 2 d) 3x 2 + 5x 2 2) Vervolledig tot een perfect kwadraat a) x 2 + 6x + 1 b) x 2 3x + 1 e) x 2 x + 1 f) x 4 9x 2 + 4x + 12 g) x 4 9x x 2 32 h) x 4 x (On)gelijkheden betreffende rationale vormen Los op: a) 2 > 1 x b) x 4 4x 3 + 5x 2 4x + 4 x 0 c) x 2 + 3x + 6 x 2 2x 3 x + 3 x + 1 x x 3 d) x 2 + 4x + 1 x 2 4x 5 x + 3 x + 1 > 2x x 5 Wiskunde_PV > Basiskennis Inleidende Cursus Wiskunde KU Leuven FEB Antwerpen - Begeleidende tekst 12

13 3. Meetkundige basisbegrippen [WBT 1.11] Cirkels in een vlak 1) Bepaal middelpunt en straal van de cirkel met vergelijking a) x 2 + y 2 2x 4y + 1 = 0 d) x 2 + y 2 6x 2y 15 = 0 b) x 2 + y 2 + 9x 2y 6 = 0 e) x 2 + y 2 + 8x + 7 = 0 c) x 2 + y 2 4x + 2y = 4 f) x 2 + y 2 2x + 10y 23 = 0 2) Zoek een vergelijking van de cirkel met middelpunt m, zodat het punt b op de cirkel ligt: a) m(1,0) en b(4,4) b) m(5,2) en b(-1,-6) Rechten in een vlak 1) Stel een vergelijking op van de rechte a) door (0,0) en (2,3), b) door (3,1) en evenwijdig met de rechte 2y = 3x 5, c) door (3,2) en evenwijdig met de Y-as, d) door (1,2) en evenwijdig met de X-as, e) door (2,1) en (3,1), f) door (-2,-3) en (-2,-1), g) door (1,2) en loodrecht op y = 3x 5, h) door (2,-3) en loodrecht op 4x + 3y 12 = 0. 2) Zoek de snijpunten van x + 3y = 1 en x 2y = 1. Wiskunde_PV > Basiskennis Inleidende Cursus Wiskunde KU Leuven FEB Antwerpen - Begeleidende tekst 13

14 4. Stelsels eerstegraadsvergelijkingen [WBT 1.12] Stelsels eerstegraadsvergelijkingen Los op en stel grafisch voor: x + y = 5 1) { x 2y = 4 3x 2y = 8 2) { 6x 4y = 3 4x y = 3 3) { 8x 2y = 6 Stelsels vergelijkingen waarbij een vergelijking met graad groter dan één optreedt Los op en stel grafisch voor: 2x + y = 1 1) { y = x 2 + x + 3 x y = 0 2) { x 2 + y 2 4y = 0 y = x2 3) { x 2 + y 2 2 = 0 Wiskunde_PV > Basiskennis 4) { x2 + y 2 2x 6y 6 = 0 x y 2 = 0 5) { x2 + x y = 0 x + 2y 2 = 0 6) { x2 + y 2 2x = 0 x 2 + y 2 6y = 0 Inleidende Cursus Wiskunde KU Leuven FEB Antwerpen - Begeleidende tekst 14

15 5. Reële functies f: R R in één veranderlijke Bepaal het domein van de functie f:r R: x f(x) als f(x) gelijk is aan 1) 1 5) x2 1 x 2 4 x 2 4 2) x2 1 6) x 2 log 2 x 2 4 x 3) x2 1 7) x + 2 log 2 x2 4 x 4) x 2 1 8) log 2 (x 2) log 2 x x2 4 Wiskunde_PV > Basiskennis Inleidende Cursus Wiskunde KU Leuven FEB Antwerpen - Begeleidende tekst 15

16 6. Toepassingen 1) Stel C(x) = 2x + 5 (een kostenfunctie waarbij x bv. arbeid voorstelt [of meer algemeen een inputfactor]) en stel dat q = 2(x 5) 2 3 (een productiefunctie waarbij de geproduceerde hoeveelheid q in functie staat van bv. de arbeid x). Bepaal dan de (kosten)functie C in functie van q (geproduceerde hoeveelheid). 2) Stel q = 15 2p (een vraagfunctie met q als hoeveelheid en p als prijs) en stel C(q) = q 2 + 2q (een kostenfunctie), bereken dan W(q) = p q C(q) (de winstfunctie). 3) Een balkvormig glazen aquarium (zonder bovenrand) heeft als zijwanden links en rechts twee vierkanten. De inhoud van dit aquarium bedraagt 160 dm 3, terwijl de manteloppervlakte (gevormd door de twee vierkanten links en rechts, het grondvlak en de voor- en achterwand) gelijk is aan 152 dm 2. Bepaal de afmetingen van dit aquarium. 4) Beschouw in een vlak de rechten met vergelijking y = x + 1 en 4x + 2y = 9. Y b a X Bepaal (positieve) getallen a en b zodat de rechthoek op bovenstaande figuur een oppervlakte gelijk aan 1 heeft. Deze rechthoek is gelegen in het eerste kwadrant en heeft naast de hoekpunten (0,a), (0,b) twee hoekpunten die tot de rechten y = x + 1 en 4x + 2y = 9 behoren. Inleidende Cursus Wiskunde KU Leuven FEB Antwerpen - Begeleidende tekst 16

17 5) Beschouw in een vlak de rechten met vergelijking y = 12 x en y = x 4. Bepaal de grootte van de verschuiving t van de rechte y = 12 x zodat de oppervlakte van het getoonde parallellogram maximaal is. t 6) Je hebt een beltegoed van 10. Je kan hiermee bellen voor 0,25 per minuut of sms en voor 0,10 per bericht. Geef aan welke combinaties van bellen en sms en mogelijk zijn voor 10 (d.w.z. stel de vergelijking op van de geassocieerde budgetrechte en teken deze). Bepaal voor de volgende veranderingen telkens de nieuwe budgetrechte en maak een tekening. Voor iedere vraag vertrek je van de originele gegevens. (1) Het beltegoed wijzigt naar 20 euro. (2) De eenheidsprijs voor bellen wijzigt naar 0,2 per minuut. (3) De eenheidsprijs van sms en verandert naar 0,02 per bericht. In de volgende opgaven [7) 10)] bespreken we vraag- en aanbodfuncties (zie [WBT ]). Men noteert voor de vraagfunctie standaard q = q v (p), maar men tekent daarentegen standaard de inverse p = p v (q) : Inleidende Cursus Wiskunde KU Leuven FEB Antwerpen - Begeleidende tekst 17

18 en analoog voor de aanbodfunctie q = q a (p) met grafische voorstelling p = p a (q): 7) Gegeven zijn de volgende vraag- en aanbodfunctie: q v (p) = p en q a (p) = 2p 50. Bepaal het marktevenwicht en stel grafisch voor. 8) Veronderstel dat de vraag naar een product een eerstegraadsfunctie is in de prijs p ervan. Bepaal deze vraagfunctie als je weet dat bij een prijs 10 de vraag 200 eenheden bedraagt en dat bij een prijs 15 de vraag 150 eenheden is. Opmerking: in de literatuur spreekt men hierbij soms over een lineaire functie in plaats van over een eerstegraadsfunctie. 9) De inverse vraagfunctie naar een product wordt gegeven door de vergelijking p = e 1 0,1q + 1 en de inverse aanbodfunctie door p = 3 e 1 0,1q. Bepaal het marktevenwicht. Inleidende Cursus Wiskunde KU Leuven FEB Antwerpen - Begeleidende tekst 18

19 10) De vraagfunctie naar een bepaald goed wordt gegeven door q = e 3 1p3, waarbij q de gevraagde hoeveelheid is uitgedrukt in kg en p de eenheidsprijs uitgedrukt in euro. Bereken de gemiddelde vraagverandering (afgerond op twee decimalen) indien de prijs toeneemt van 2,1 euro tot 2,4 euro. 11) Veronderstel dat de kostprijs in om q eenheden van een product te produceren gegeven wordt door de functie C: R + R: q C(q) q3 3q q a) Wat is de kostprijs om 10 eenheden te produceren? b) Hoeveel bedraagt de kostprijs om de 10 de eenheid te produceren (d.w.z. de wijziging in de kostprijs om de 10 de eenheid te produceren als je er al 9 produceerde)? c) Wat is de gemiddelde kostenwijziging om van 5 naar 10 eenheden te gaan? d) Wat is de ogenblikkelijke kostenwijziging bij q = 5? e) Geef een uitdrukking voor de winstfunctie indien elke eenheid verkocht wordt aan ) Firma Electroplus produceert TV s (T) en stereo s (S). De productiemogelijkhedenkromme wordt gegeven door de vergelijking S 2 + 3S + 5T = 130 Bepaal: a) het maximaal aantal TV s dat Electroplus kan produceren ongeacht het aantal stereo s. b) het maximaal aantal stereo s dat Electroplus kan produceren ongeacht het aantal TV s. c) het maximaal aantal stereo s dat kan geproduceerd worden als men 18 TV s maakt. 13) Harold is eigenaar van een sandwich shop. Observaties leren hem dat de dagelijkse kosten om q sandwiches te vervaardigen C(q) = q 2 10q + 40 bedragen. a) Schets de figuur die de dagelijkse kosten voorstelt. b) Bepaal het aantal sandwiches dat Harold dagelijks moet verkopen om minimale kosten te hebben. c) Bereken deze minimale kosten. Inleidende Cursus Wiskunde KU Leuven FEB Antwerpen - Begeleidende tekst 19

20 14) Volgens schattingen blijkt dat het aantal inwoners van een bepaald dorp t jaar vanaf 1 januari 2005 gegeven wordt door P: R + R: t P(t) t 3 a) Hoe groot is het inwonersaantal op 1 januari 2010? b) Met welk aantal zal de bevolking er aangroeien tussen 1 januari 2010 en 1 januari 2011? c) Bepaal de gemiddelde jaarlijkse bevolkingsaangroei tussen 1 januari 2010 en 1 januari d) Wat is de ogenblikkelijke aangroeisnelheid op 1 januari 2010? 15) De Engelse econoom Thomas Malthus bestudeerde in zijn boek "Principles of population"(1789) de groei van de voedselvoorraad en de bevolkingstoename. Hij hield rekening met een exponentiële groei van de bevolking en met een lineaire groei van het beschikbare voedsel. Beredeneer wat de conclusie was van Malthus over de voedselproblematiek in de toekomst, indien het nodige voedsel om te overleven per persoon constant verondersteld wordt in de tijd. 16) De consumptie van elektriciteit steeg gedurende de laatste jaren globaal met 6% per jaar. Indien deze stijging zich zou handhaven aan dezelfde groeisnelheid, bepaal dan het aantal jaren vooraleer de consumptie verdubbeld is. Inleidende Cursus Wiskunde KU Leuven FEB Antwerpen - Begeleidende tekst 20